Alapvizsga 2014. MATEMATIKA 10.A Megoldókulcs
I. rész A megoldásra 35 perc áll rendelkezésre
1. Adja meg az ábrán látható függvény hozzárendelési szabályát! Határozza meg a szélsőértékét és helyét! Adja meg a függvény értékkészletét a[-2;4] intervallumon!
(5 pont) Megoldás:
1 f(x)=− 2 |𝑥
− 2| + 3
2 pont
Maximum értéke: y=3 1 pont Maximum helye: x=2 1 pont É.T.: {𝑦𝜖𝑅|1 ≤ 𝑦 ≤ 3} 1 pont ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ számot, majd döntse el, hogy az x változó milyen 2. Írja át kettesből tízes számrendszerbe a 101010𝑥 helyettesítési értéke mellett osztható a szám 6-tal? Indokoljon! (5 pont) Megoldás: A szám tízes számrendszerben: 64+16+4+x=84+x
1 pont
Kettes számrendszerben az X helyén csak 0 vagy 1 lehet.
1 pont
Egy szám akkor osztható hattal, ha kettővel és hárommal osztható.
1 pont
Kettővel oszthatóság miatt x nem lehet 1, viszont 0 lehet,
1 pont
ez pedig 3-mal való oszthatóság szempontjából is megfelelő (84+0=84 osztható 3-mal). Tehát x=o
1 pont
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Milyen számot kell beírni p helyére, hogy igaz legyen az alábbi egyenlőség? (x≠5) 𝑥 2 −10𝑥+𝑝 𝑥−5
=𝑥−5
(3 pont)
Megoldás: A nevezővel átszorozva kapjuk: x²-10x+p=(x-5)(x-5)
1 pont
x²-10x+p=x²-10x+25
1 pont
ahonnan p=25
1 pont
(szebb lenne, ha felismerné az azonosságot, ahonnan egyszerűsítene (x-5)-tel…)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4; Hány átlója van annak a szabályos sokszögnek, melynek egy belső szöge 157,5°? Megoldás: Az n oldalú szabályos sokszög egy belső szöge 𝛼 = Tehát 157,5 =
(4 pont)
(𝑛−2)∙180° 𝑛
(𝑛−2)∙180°
1 pont
𝑛
157,5n=180n-360 ebből n=16
1 pont
Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma
𝑛∙(𝑛−3) 2
=
16∙13 2
1 pont
azaz 104°
1 pont
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5; Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a racionális számok halmazán! Megoldás: Mivel a tört számlálója negatív, x-5≤0 kell legyen,
−2 𝑥−5
≥0
(3 pont) 1 pont
de a kikötés miatt x-5≠0 (x≠5), így
1 pont
x-5<0, azaz x<5 a megoldása az egyenlőtlenségnek.
1 pont
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6; Írja fel egy gyökjel segítségével a következő kifejezéseket! 3
3
b; √𝑥 √𝑥
a; √𝑥 ∙ √𝑥 Megoldás: a;
6
3
(4 pont) 6
6
6
√𝑥 ∙ √𝑥 = √𝑥 3 √𝑥 2 = √𝑥 3 ∙ 𝑥 2 = √𝑥 5 3
b, √𝑥 √𝑥
3
6
= √ √𝑥 3 ∙ 𝑥 = √𝑥 4
2 pont 2 pont
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----7; Márciusban egy adott héten öt reggelen mérték meg a hőmérsékletet. Az öt adat átlaga 1, mediánja 0 volt. Adjon meg egy ilyen lehetséges adathalmazt! (3 pont) Megoldás: Mediánja 0, tehát kell két negatív és két pozitív adat a 0 mellé.
1 pont
A két negatív szám mellé úgy kell választani két pozítívat, hogy az átlaguk 1, azaz összegük 5 legyen. Például:-2, -1; 0; 1; 7
2 pont
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. RÉSZ A II/ A és B rész megoldására összesen 55 perc áll rendelkezésre
II/A rész
Mindkét feladat megoldása kötelező!
8; Zoli a háromszög alakú kiskertjüket rajzolta le arányosan kicsinyítve egy papírra. A derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, a köré írt kör sugara 8,5 cm lett. Mekkora a másik befogója? Mekkora a kiskert területe, ha a rajz az eredeti kert 1:150 arányú kicsinyített mása? Zoli a kiskertjét ketté akarja választani egy kerítéssel, mely a derékszögű háromszög alakú kert rövidebb befogójával párhuzamos, és a hosszabb befogót 2:3 arányú részekre osztja úgy, hogy a rövidebb rész a derékszögű sarok felé esik. Mennyi drótkerítést kell vennie, ha a kerítés rögzítéséhez a két végére plusz 40-40 centit számol? (12 pont) Megoldás: Legyen a megadott befogó a, a másik befogó b, az átfogó c. (Rajz) A Thalész-tétel alapján az átfogó a kör átmérőjével egyenlő, azaz c=2r=17cm.
1 pont
A Pitagorasz-tétel felhasználásával 8²+b²=17²,
1 pont
amiből b²=225, azaz b=15.
1 pont
A kicsinyítés arányából a kert oldalainak hossza a’=8∙150=1200cm=12m, b’=15∙150=2250cm=22,5m, (c’=17∙150=2550cm=25,5m.) 1 pont A derékszögű háromszög területe 𝑇 =
𝑎′∙𝑏′ 2
=
12∙22,5 2
= 135𝑚2
A kerítés oszlopa a hosszabb, tehát a 22,5 méteres befogót
2∙22,5 5
2 pont 3∙22,5 5
= 9, és
= 13,5 m hosszúságú részekre
osztja, úgy, hogy a derékszögű sarok felé a 9 méteres rész esik.
2 pont
Jelölje a kerítés hosszát a plusz 40 centik nélkül x: 𝑥
12
Ekkor a párhuzamos szelőszakaszok tételéből: 13,5 = 22,5 2 pont amiből x=7,2m.
1 pont
Ehhez hozzáadva kétszer a 40 cm-t (=0,4m) kapjuk, hogy a kerítéshez8 m hosszú dróthálót kell vennie. 1 pont --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9; Anna és Panna matek házi feladatot csinálnak. Anna a következő feladatot kapta: „Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! 9=3x²+6x”. Mikor kész lett a feladattal, Panna megállapította:az én egyenletem megoldásai, pont a te gyökeid reciprokai!” Írjon fel általános alakjában egy egyenletet, amely lehetett Panna feladata.
Anna a dolgozatra készülve újra átnézte az órán megoldott feladatokat, és az egyik egyenletnél azt vette észre, hogy elmosódott az x-es tag szorzója, ráadásul a megoldás nagy része is, mikor padtársa véletlenül ráborította az innivalóját. A feladat végére nézve látta, hogy annak csak egy megoldása van. Milyen szám lehetett az x szorzója az egyenletben, ha azt most p-vel jelölve az eredeti egyenlet így nézett ki: 4x²+px+25=0? (12 pont)
Megoldás: Az egyenletet 0-ra rendezve kapjuk, hogy Anna egyenletének 3x²+6x-9=0 megoldásai: 𝑥1;2 =
−6±√62 −4∙3∙(−9) 2∙3
=
−6±√36+108 6
=
1 pont
−6±12 6
1 pont
ahonnan x₁=1, x₂=-3
1 pont
Panna megoldásai tehát 1 és -⅓.
1 pont
A gyöktényezős alak felhasználásával Panna egyenlete lehet például ha a=1 –et választjuk
1 pont
1(x-1)(x-⅓)=0,
1 pont 4
1
melynek általános alakja 𝑥 2 − 3 𝑥 + 3 = 0
1 pont
Mivel az egyenletnek egy megoldása van, így a diszkriminánsa D=0
1 pont
tehát b²-4ac=0
1 pont
Behelyettesítve p²-4∙4∙25=0
1 pont
amiből p²=400, tehát |p|=20
1 pont
azaz p=±20.
1 pont
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II/B rész
A két feladat közül csak az egyiket kell megoldani!
10. A tízedik évfolyam alapvizsgára felkészítő dolgozatánál 75 pont volt a maximum. Az egyik csoportban a következő eredmények születtek: 25, 47, 63, 71, 41, 65, 61, 23, 38, 16, 66, 47, 69, 41, 36. a; Írjon fel gyakorisági táblázatot a jegyekre, ha a ponthatárok a következők voltak: 0-18: elégtelen, 19-29: elégséges, 30-44: közepes, 45-59: jó, 60-75: jeles. b;Adja meg a jegyek átlagát, mediánját, móduszát! c; Mekkora a pontok terjedelme? d; Készítsen kördiagramot a jegyek eloszlásáról! e; Hányféle sorrendben oszthatja ki a tanár a dolgozatokat, ha először az elégtelen, majd az elégséges, közepes, jó és végül a jeles dolgozatokat osztja ki, de az azonos érdemjegyű dolgozatok maguk közt bárhogy keveredhetnek? f; A dolgozat egyik kérdése teszt-jellegű feladat volt. 5 kérdésre kellett válaszolniuk a diákoknak, mindegyiknél 3-3 válasz lehetőség (1; 2; X) közül kellett választaniuk. Ha valaki nem a tanultak alapján, hanem pusztán a véletlenre bízva akarta volna kitölteni a tesztet, hányféleképpen tehette volna ezt meg ezt meg? (17 pont) Megoldás: a;
jegyek gyakoriság
b; A jegyek átlaga:
elégtelen
elégséges
közepes
jó
jeles
1
2
4
2
6
1∙1+2∙2+4∙3+2∙4+6∙5 15
55 = 15 = 3, 6̇ ≈ 3,7
2 pont 2 pont
mediánja: 4
1 pont
módusza: 5
1 pont
c; A pontok terjedelme: 71-16=55 d;
jegyek gyakoriság relatív gyakoriság középponti szög
2 pont
elégtelen
elégséges
közepes
jó
jeles
1 1 15
2 2 15
4 4 15
2 2 15
6 6 15
24˚
48˚
96˚
48˚
144˚ 2 pont
Ábra a körcikkek elnevezésével
2 pont
e; A dolgozatokat 1!∙2!∙4!∙2!∙6!=1∙2∙24∙2∙720=
2 pont
=69120 féle sorrendben oszthatja ki.
1 pont
f; A válaszokra 35 = 243 féle lehetősége lenne .
2 pont
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. A tízedik évfolyamosok közül néhányan a közszolgálati munkájuk részeként eltakarították a város főteréről a március 15-dikei ünnepség után a Petőfi szobor lábához leszúrt papír zászlók maradványait. Bendegúz meg akarta örvendeztetni kistestvérét, és hazavitte neki, amit gyűjtött. Otthon szétválogatva őket, az alábbiakat állapította meg. A zászlók között csak 3 olyan volt, ami teljesen ép. Összesen 17 zászló volt gyűrött, 15 szakadt, 10-nek pedig törött volt a pálcikája. 3 zászlót talált, mely szakadt is volt és a pálcikája is el volt törve, 7-et, aminek törött volt a pálcikája és gyűrött volt, és 8-at, ami szakadt és gyűrött volt. 3 olyan zászlót vitt haza, melynek mindhárom hibája megvolt. a; Ábrázolja az adatokat Venn-diagramon! b; Hány zászlónak volt pontosan két hibája? c; Hány zászló volt csak gyűrött? d; Ha tudjuk, hogy a hazavitt zászlók harmada volt kézzel festett, a maradék felénél néggyel kevesebb pedig ceruzával színezett, a többi gyárilag színesre nyomtatott. A zászlók hány százaléka volt gyári nyomású? e; Ha a hazahozott zászlókat mind egy szatyorba teszi, és onnan egyesével, véletlenszerűen húzza elő azokat sorban, hányat kell kihúznia, hogy a kihúzottak között biztosan legyen ceruzával színezett? (Indokoljon is!) f; Bendegúz kistestvére megállapította: Minden kézzel festett zászló gyűrött. Tagadja az állítást! g;A fenti állításból következik, hogy „ha egy zászló kézzel festett, akkor gyűrött”. Fordítsa meg az állítást, és a megfordításról döntse el, hogy igaz-e! (17 pont) Megoldás: a; Helyes halmazábra
4 pont
b; 4+5+0=9 zászlónak volt pontosan két hibája
2 pont
c; 5 zászló volt csak gyűrött
1 pont
d; Összesen 3+7+4+3+5+5+3=30 zászlót vitt haza Bendegúz. 1 pont
Ennek harmada: 30:3=10 volt kézzel festett a maradék (30-10=) 20 felénél néggyel kevesebb: 20:2-4=6 ceruzával színezett. 30-(10+6)=14 zászló volt gyári színezésű.
1 pont
14 Ez a30-nak 30 ∙ 100 = 43, 6̇ (vagy ≈43,7) %-a.
2 pont
e; A 30 zászlóból 6 ceruzával színezett, 24 pedig nem. A legrosszabb esetben először kihúzza az összes olyat, ami nem ceruzával színezett (24), de 25-dikre már mindenképpen ceruzásat kell húznia, hiszen nincs már más a szatyorban. 2 pont Tehát 25-öt kell kihúznia.
1 pont
f; A mondat tagadása: Van olyan kézzel festett zászló, ami nem gyűrött.
1 pont
g; A mondat megfordítása: Ha egy zászló gyűrött, akkor kézzel festett.
1 pont
Ez nem igaz, mert több gyűrött zászló van (17), mint kézzel festett (10).
1 pont
