Pengaruh Waktu Tunda pada Model Pertumbuhan Logistik Agus Suryanto dan Isnani Darti Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Brawijaya
[email protected] www.asuryanto.lecture.ub.ac.id
Prodi Pendidikan Matematika – Prodi Matematika UNIROW TUBAN, 24 Mei 2014
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Definisi Populasi
Organisme
Populasi
Komunitas
Ekosistem
Dinamika/Pertumbuhan populasi Model Matematika BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Populasi berubah setiap waktu
Prediksi jumlah individu dalam populasi penting dalam berbagai bidang
Model matematika pertumbuhan populasi
Model pertumbuhan logistik
Pengaruh waktu tunda? BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Pemodelan dengan Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Persamaan Matematika yang digunakan untuk mempelajari fenomena yang bergantung waktu “Persamaan diferensial” dari suatu fungsi = persamaan yang memuat fungsi dan turunannya “Turunan” adalah fungsi yang merepresentasikan perubahan variabel bebas akibat perubahan variabel tak bebas. (Sering diidentifikasikan sebagai slope/gradien.) BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Model Pertumbuhan Populasi Satu Spesies Model populasi satu spesies relevan pada skala laboratorium, tetapi dapat menjelaskan efek-efek yang berpengaruh pada dinamika populasi Basic Equation: Rate of change of a population
=
Births
− +
Death s Immigration
−
Emigration
dN(t)/dt = births – deaths + migration where N(t) = population of species at time t BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Pertumbuhan Eksponensial Malthus (1798)
Model paling sederhana: tidak ada migrasi, kelahiran dan kematian proporsional dengan N
dN = (b − d )N dt
b, d konstanta positif
N (t ) = N 0e (b − d )t ; N 0 = N( 0 ) b > d: populasi tumbuh secara eksponensial b = d: population konstan b < d: populasi berkurang secara konstan, 0
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Pertumbuhan Eks ksponen ponenssial ial:: Realisti Realistiss?
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Model Pertumbuhan Logistik Verhulst (1838) Model logistik : proses self-limiting beroperasi ketika populasi terlalu besar dN N = rN 1 − , N (0 ) = N 0 ; r , K > 0 dt K r = laju kelahiran intrinsik r(1 – N/K) = laju kelahiran K = daya dukung lingkungan (carrying capacity)
Penyelesaian:
N (t ) =
N0K
(K − N 0 )e −rt + N 0
Konvergen ke K ketika t ∞ BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Model Pertumbuhan Logistik Verhulst (1838)
Tak stabil
stabil
dN N = rN 1 − dt K BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Pertumbuhan Eksponen ksponenssial vs Logisti Logistik k
N(1-N/3e8)
dN N = rN 1 − dt K Kompetisi intra-spesies Instan realistis?
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Why do some populations increase smoothly and level off and others fluctuate in numbers? overshoot
Copyright © 2002UNIVERSITY Pearson Education, Inc., publishing as Benjamin Cummings BRAWIJAYA
Agus Suryanto
Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda Diskret Persamaan Hutchinson: dN (t ) = rN (t )1 − N (t − τ ) , dt K N (t ) = ϕ (t ), t ∈ [− τ ,0]
(Murray, 2002; Ruan, 2006)
Titik tetap:
dN / dt = 0 ⇒ N 0* = 0 ∨ N1* = K Perilaku dinamik di sekitar titik tetap Linearisasi
N (t ) = N * + εx(t ); ε << 1
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Substitusi ke model, abaikan suku-suku order tinggi Agus Suryanto
Kestabilan Titik Tetap N 0*
=0
dx(t ) = r x(t ); r > 0 dt
N (t ) = N * + ε x(t ); ε << 1 N1* = K
dx(t ) = −r x(t − τ ); r > 0 dt
rt
Penyelesaian: x(t ) = ce λt
x(t) tumbuh secara
Re(λ ) < 0 ⇒ N1* stabil
x(t ) = x0 e ; x0 = x(0) eksponensial
Tak stabil BRAWIJAYA UNIVERSITY
Re(λ ) > 0 ⇒ N1* tak stabil
λ = − re − λτ Agus Suryanto
Kestabilan Titik Tetap N1* = K
x(t ) = ce λt
λ = − re − λτ (Pers. Karakteristik)
τ = 0 λ = - r Logistik tanpa waktu tunda τ ≠ 0 λ(τ) = α(τ) + i β(τ) dengan λ(0) = α(0) = − r
α(0) < 0 τ =0
α(τ0) = 0
α(τ>τ0) = ?
τ
τ =τ0
α + r exp(− ατ ) cos(βτ ) = 0 β − r exp(− ατ )sin (βτ ) = 0.
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
α + r exp(− ατ ) cos(βτ ) = 0 α(τ0) = 0 jika cos (β 0τ ) = 0, β 0 = β (τ 0 ); β − r exp(− ατ )sin (βτ ) = 0. ⇒ β 0τ j =
π 2
+ 2 jπ , j = 0,1, 2,K; β 0 = r
π
2 jπ π τj = + ⇒ τ0 = ⇒ λ (τ 0 ) = ± i r 2r r 2r dα (τ ) r2 = > 0; j = 0,1, 2, K 2 2 dτ τ =τ 1+ r τ j j α<0 τ =0 BRAWIJAYA UNIVERSITY
α=0
α>0
τ
τ =τ0 Agus Suryanto
Teorema 1 (1) Jika 0 ≤ τ < π / 2 r maka titik tetap N1* = K bersifat stabil asimtotik (2) Jika τ = τ 0 = π / 2r maka titik tetap N1* = K mengalami perubahan kestabilan, yaitu dari stabil asimtotik jika 0 ≤ τ < π / 2 r , menjadi tidak stabil dan muncul solusi periodik jikaτ > π / 2 r Terjadi bifurkasi Hopf
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Simulasi Numerik r = 0.2; K = 1 τ0 = π/2r = 7.845; N(t) = 0.1, t ∈ [−τ ,0] 2
(b) Bidang fasa grafik (a)
(a) solusi persamaan (5) dengan τ = τ0 - 0.2
2
1.8
1.8
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
N (t)
N (t)
1.2 1
1 0.8 0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2 0 0
500
1000
t
BRAWIJAYA UNIVERSITY
1500
2000
0.2 0
0.5
1
1.5
2
N(t-τ)
Agus Suryanto
Simulasi Numerik r = 0.2; K = 1 τ0 = π/2r = 7.845; N(t) = 0.1, t ∈ [−τ ,0] (c) Bidang fasa grafik (a) dan (b)
(a) Solusi persamaan (5) dengan τ = τ0 + 0.2; Nawal = 0.9
2.2
2.5
N (t)
2
Nawal = 0.1
2
Nawal = 0.9
1.5
1.8
1 1.6 0.5 1.4 0
500
1000 1500 2000 t (b) Solusi persamaan (5) dengan τ = τ0 + 0.2; Nawal = 0.1
1.2 1
1.6 1.4 N (t)
N (t)
0
0.8
1.2 0.6 1 0.4
0.8 0
500
1000 t
BRAWIJAYA UNIVERSITY
1500
2000
0.2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
N(t - τ)
Agus Suryanto
Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda Terdistribusi dN (t ) 1 t = rN (t )1 − Persamaan Hutchinson: ∫ G (t − s )N (s )ds dt K −∞
Delta dirac G(t ) = δ (t − τ ) Waktu tunda diskret t
t
−∞
−∞
∫ G (t − s )N (s )ds = ∫ δ (t − τ − s )N (s )ds = N (t − τ )
Distribusi Gamma G (u ) = φ exp(− φu ), φ > 0 (MacDonald, 1978) t
M (t ) = ∫ φ exp(− φ (t − s ))N (s )ds −∞
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda Terdistribusi dN (t ) M (t ) = r N (t )1 − dt K dM (t ) = φN (t ) − φM (t ). dt
Titik tetap:
(N0*, M 0* ) = (0,0) tak stabil (N *, M * ) = (K , K )
Linearisasi: *
N (t ) = N + ε x(t ) M (t ) = M * + ε y(t )
BRAWIJAYA UNIVERSITY
dx(t ) = − ry (t ) dt dy (t ) = φx(t ) − φy (t ). dt
Agus Suryanto
Persamaan Karakteristik:
2
λ + φλ + φ r = 0,
φ
1 2 λ1, 2 = − ± φ − 4φ r 2 2 Konvergen ke N * = K dengan osilasi jika
( )
Re λ1,2 < 0 Stabil asimtotik
φ 2 − 4φ r < 0
Teorema 2. Persamaan logistik dengan waktu tunda terdistribusi mempunyai dua titik tetap, yaitu titik tetap trivial N 0* = 0 * yang bersifat tidak stabil; dan titik tetap positif N = K yang bersifat stabil asimtotik, untuk sembarang τ.
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Simulasi Numerik r = 0.2; K = 1 1.8 φ = 0.1 φ = 0.3 φ = 0.5 φ = 1.0
1.6 1.4 1.2
N (t)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
20
40
60
*
80
100 t
120
140
Konvergen ke N = K dengan osilasi jika BRAWIJAYA UNIVERSITY
160
180
200
2
φ − 4φ r < 0 Agus Suryanto
Kesimpulan 1. Model pertumbuhan logistik menjelaskan pertumbuhan dengan limiting proses akibat kompetisi intra-spesies. 2. Waktu tunda diskret mengakibatkan kestabilan dan terjadinya bifurkasi Hopf.
perubahan
3. Waktu tunda terdistribusi tidak mengubah kestabilan titik tetap model logistk kecuali memungkinkan terjadinya fluktuasi 4. Model tersebut dapat dikembangkan untuk interaksi inter-spesie
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
Daftar Pustaka 1. Kuang, Y., Delay differential equations with applications in population dynamics, Academic Press, Boston, 1993. 2. MacDonald, N., Time lags in biological models, Lecture Notes in Biomathematics 27, Springer-Verlag, Heidelberg, 1978. 3. Murray, J.D., Mathematical biology: I. An introduction, Springer-Verlag, New York, 2002. 4. Ruan, S., Delay differential equations in single species dynamics, dalam Delay differential equations and applications, Ed(s): O. Arino, M.L. Hbid dan A. Ait Dads, Springer, Berlin, hal. 477-517, 2006. 5. Smith, H., An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences, Springer, New York, USA, 2011. BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
TERIMA KASIH ATAS
PERHATIANNYA BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
BRAWIJAYA UNIVERSITY
Agus Suryanto
