32. MBq 32P preparátum aktivitása mennyi idő alatt csökken 0,1 kBq-re? (kb. 205 nap)
Adatok: T = 14.28d Λ 0 = 2 MBq = 2000 Bq Λ = 0.1kBq A számoláshoz a radioaktív bomlási törvényt használjuk: Λ = Λ 0 ⋅ e − λ ⋅t A bomlási állandó a fizikai felezési időből számítható: ln 2 ln 2 λ= = = 0.04854d −1 T 14.28d Rendezzük az egyenletet és helyettesítsük be az adatokat: Λ = Λ 0 ⋅ e − λ ⋅t Λ ln Λ t= 0 −λ
0.1kBq ln − 9.9 = 2000kBq = = 204d −1 − 0.04854d − 0.04854d −1
33. 30 órával ezelőtt érkezett 0,5 GBq 24Na-izotóp. Most kimérünk belőle 50 MBq mennyiséget. Az érkezéstől számított, mennyi idő múlva lesz a maradék aktivitása 50 MBq? (38,8 óra)
34. Mekkora aktivitású az 1 µg tömegű hordozómentes 131I? (4,636 GBq)
Adatok: T = 8.04nap
m = 1 µ g = 10 M W (131 I ) = 131
−6
g
g mol
A bomlási törvény: dN = −λN dt Az aktivitás definíciója: dN − =Λ dt A két egyenlet kombinációjából: Λ = λN Ahol dN a dt időegység alatt elbomló atomok száma, N az el nem bomlott atomok száma, λ a bomlási állandó, és Λ az aktivitás. Először számoljuk ki az izotópban lévő atomok számát: m 10 −6 g N= ⋅ NA = ⋅ 6 ⋅ 10 23 mol −1 = 4.58 ⋅ 1015 g MW 131 mol A bomlási állandó a fizikai felezési időből számítható. Mivel az aktivitás mértékegysége bomlás/másodperc, T-t másodpercben kell behelyettesítenünk: T = 8.04nap = 6.95 ⋅ 105 s ln 2 ln 2 = 9.978 ⋅ 10 −7 s −1 λ= = 5 T 6.95 ⋅ 10 s Helyettesítsük be λ-t: Λ = λN = 9.978 ⋅ 10 −7 s −1 ⋅ 4.58 ⋅ 1015 = 4.57 ⋅ 10 9 Bq = 4.57GBq
35. Hány mól radioaktív jódvegyület van a 0,5 MBq aktivitású 131I készítményben? (8,3.10-13 mól)
Adatok: T = 8.04nap Λ = 0.5MBq = 5 ⋅ 10 5 Bq g M W (131 I ) = 131 mol A bomlási törvény: dN = −λN dt Az aktivitás definíciója: dN − =Λ dt
A két egyenlet kombinációjából: Λ Λ = λN → N =
λ
Ahol dN a dt időegység alatt elbomló atomok száma, N az el nem bomlott atomok száma, λ a bomlási állandó, és Λ az aktivitás. A bomlási állandó a fizikai felezési időből számítható. Mivel az aktivitás mértékegysége bomlás/másodperc, T-t másodpercben kell behelyettesítenünk: T = 8.04nap = 6.95 ⋅ 105 s ln 2 ln 2 λ= = = 9.978 ⋅ 10 −7 s −1 5 T 6.95 ⋅ 10 s Helyettesítsük be λ-t: Λ 5 ⋅ 10 5 Bq N= = = 5.01 ⋅ 1011 − 7 −1 λ 9.978 ⋅ 10 s Váltsuk át az atomok számát mólokra: 5.01 ⋅ 1011 5.01 ⋅ 1011 = = 8.35 ⋅ 10 −13 mol 23 NA 6 ⋅ 10
36. Hány radioaktív jódatom van 2,4 MBq aktivitású 131I készítményben? (2,4.1012)
Adatok: T = 8.04 nap Λ = 2.4 MBq = 2.4 ⋅ 10 6 Bq g M W (131 I ) = 131 mol A bomlási törvény: dN = −λN dt Az aktivitás definíciója: dN − =Λ dt A két egyenlet kombinációjából: Λ Λ = λN → N =
λ
Ahol dN a dt időegység alatt elbomló atomok száma, N az el nem bomlott atomok száma, λ a bomlási állandó, és Λ az aktivitás. A bomlási állandó a fizikai felezési időből számítható. Mivel az aktivitás mértékegysége bomlás/másodperc, T-t másodpercben kell behelyettesítenünk: T = 8.04nap = 6.95 ⋅ 105 s ln 2 ln 2 λ= = = 9.978 ⋅ 10 −7 s −1 5 T 6.95 ⋅ 10 s Helyettesítsük be λ-t: Λ 2.4 ⋅ 10 6 Bq N= = = 2.4 ⋅ 1012 − 7 −1 λ 9.978 ⋅ 10 s
37. Mekkora a kén biológiai felezési ideje a bőrben, ha a vizsgálat kezdetén a bőr 1 grammjában 6 kBq, 2 hét múlva pedig 3,45 kBq 35S-t találtunk? (Teff = 17,4 nap, Tbiol = 22 nap)
Adatok: T fizikai = 87.2nap kBq g kBq Λ = 3.45 g t = 2hét = 14nap Λ0 = 6
A biológiai és fizikai bomlások együttesen eredményezik az aktivitás csökkenését, a kettő kombinációját effektív bomlásnak nevezzük. Helyettesítsünk be a bomlási törvénybe, hogy megkapjuk az effektív bomlási állandót: Λ = Λ 0 ⋅ e − λ ⋅t Λ = −λ ⋅ t ln Λ0 kBq 3.45 g ln Λ kBq ln 6 g − 0.5534 Λ = λeff = 0 = = 0.03953nap −1 −t − 14nap − 14nap Számoljuk ki az effektív felezési időt: ln 2 ln 2 Teff = = = nap λeff 0.03953d −1 Az effektív felezési idő reciprokális kombinációja a biológiai és fizikai felezési időnek: 1 1 1 = + Teff T fiz Tbiol Az egyenlet rendezésével kifejezhetjük a biológiai felezési időt: 1 1 1 = + Teff T fiz Tbiol Tbiol =
1 1 1 − Teff T fiz
=
1 1 1 − 17.536nap 87.2nap
= 21.95nap
39. 5 MBq aktivitású α-sugárzó izotópunk van. Az α-részecskék energiája 6,2 MeV. A teljes energiát 0,1 kg vízben nyeletjük el. Hány fokkal emelkedik a víz hőmérséklete 1/2 óráig tartó besugárzás alatt? (A fizikai bomláscsökkenéstől eltekintünk.) (2,1.10-5 °C)
Adatok: Λ = 5MBq = 5 ⋅ 10 6 Bq
ε α = 6.2 MeV = 6.2 ⋅ 10 6 eV = 9.92 ⋅ 10 −13 J m = 0.1kg t = 0.5h = 1800 s cvíz=4180 J/(kg*K) Az izotóp másodpercenként 5 ⋅ 10 6 db egyenként 9.92 ⋅ 10 −13 J energiájú alfa részecskét emittál, tehát az emittált teljesítmény: 1 J P = 5 ⋅ 10 6 ⋅ 9.92 ⋅ 10 −13 J = 4.96 ⋅ 10 − 6 s s A teljes kibocsátott energia fél óra alatt: J ∆ E = P ⋅ t = 4 . 96 ⋅ 10 − 6 ⋅ 1800 s = 8 . 928 ⋅ 10 − 3 J s Ez az energia a vízben való elnyelődés során hővé alakul. A hőmérsékletváltozás a fajhő segítségével számítható ki: ∆Q = c ⋅ m ⋅ ∆T ∆T =
∆Q = c⋅m
8.928 ⋅ 10 −3 J = 2.14 ⋅ 10 −5 K J 4180 ⋅ 0.1kg kg ⋅ K
44. Az ember számára az ún. halálos dózis értéke egész test besugárzás esetén 6 Gy. Hány fokkal "melegszik fel" a szervezet ekkora dózis közvetlen hatására? (A test fajlagos hőkapacitását vegyük 4 kJ/kg.K-nek). (1,5.10-3 °C)
Adatok: D = 6Gy = 6
c=4
J kg
kJ J = 4000 kg ⋅ K kg ⋅ K
Az elnyelt dózis tömegegységre vonatkoztatott energiamennyiség. Az abszorbeált dózis energiája hővé alakul, így az elnyelt dózist tekinthetjük tömegegységre vonatkoztatott hőváltozásnak: ∆Q D= m A hőmérsékletváltozást a fajhő segítségével számíthatjuk ki: ∆Q = c ⋅ m ⋅ ∆T J 6 ∆Q D kg ∆T = = = = 1.5 ⋅ 10 −3 K J c⋅m c 4180 kg ⋅ K
Megjegyzés: A hőmérsékletváltozás elhanyagolható. A példa arra világít rá, hogy az ionizáló sugárzás káros hatása nem a nagy elnyelt energiamennyiségnek köszönhető, hanem hogy biomolekulákkal való kölcsönhatásokat eredményez. 54. Mekkora sebességű az 5 kV feszültséggel felgyorsított elektron? Milyen hullámhosszúságú anyaghullám tartozik hozzá? Hány százaléka a hullámhossz a hidrogénatom átmérőjének? (A számolásnál tekintsünk el a relativisztikus tömegnövekedéstől.) (v = 4,2.107 m/s, λ = 17,3 pm, 16 %)
Adatok: U = 5kV = 5000V e − = 1,6 ⋅ 10 −19 C me = 9,1 ⋅ 10 −31 kg Az 5kV-tal gyorsított elektron kinetikus energiája: E = 5keV másképpen (e- az elektron töltése): E = U ⋅ e − = 5000V ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 C = 8 ⋅ 10 −16 J A kinetikus energia a tömegből és sebességből a következő módon számolható: 1 E = mv 2 2 Az adatokat behelyettesítve: 1 8 ⋅ 10 −16 J = 9,1 ⋅ 10 −31 kg ⋅ v 2 2 Ebből az elektron sebessége: m v = 4,2 ⋅ 10 6 s A hullámhossz (De Broglie) a következő módon számolható (I.3.): h λ= m⋅v Ahol h a Planck-állandó. Behelyettesítve: 6,6 ⋅ 10 −34 J ⋅ s λ= = 1,7 ⋅ 10 −11m = 17,3 pm m 9,1 ⋅ 10 −31 kg ⋅ 4,2 ⋅ 10 6 s A hidrogénatom átmérője tized nanométer (1 Angström), így a keresett százalék: 1,7 ⋅ 10 −11 m = 0,16 = 16% 10 −10 m 55. Egy elektronmikroszkóp 5 keV-es elektronokkal dolgozik. Mekkora a feloldóképessége, ha az elektronobjektív nyílásszöge 6° ? (5 nm-1)
61. Egy 9 mm belső átmérőjű artériát vizsgálunk Doppler-ultrahang módszerrel. A kibocsátott ultrahang frekvenciája 8 MHz. A vizsgáló személy által hallott hang átlagos frekvenciája 1200 Hz. Mekkora a vér átlagos sebessége az artériában? Az ultrahang sebessége a testben 1500 m/s, és feltételezzük, hogy az az ér tengelyével párhuzamosan halad. (11,25 cm/s)
Adatok: d = 9mm f = 8MHz = 8 ⋅106 Hz f D = 1200 Hz c = 1500
m s
A VIII.5 képletet használjuk, méghozzá a másodikat, mert visszavert hangról (echo) van szó: ± 2v fD = ⋅f c Ebből az áramlási sebességet kifejezve: m 1200 Hz ⋅ 1500 fD ⋅c s = 11,25 m ±v = = 6 f ⋅2 s 8 ⋅ 10 Hz ⋅ 2
70. a) Mennyi a szabad entalpiája egy 200 ml térfogatú, 0,02 mol/l koncentrációjú glukóz oldatnak 25 °C-on? (-3,65 kJ) b) Mekkora ebből a keveredési tag? (1.06 %) 76. Valakinek a hallásvesztesége adott frekvencián 40 dB. a)
b) c)
12
Mekkora intenzitású hangot vesz észre, ha az alkalmazott frekvencián a hallásküszöb 5.10W/m2? (5.10- 8 W/m2) Ha ekkora intenzitású hangból egy fal 5.10-12 W/m2-t enged át, akkor azt mondjuk, hogy a fal hangszigetelő képessége 40 dB. Hányszoros felezési rétegvastagságú ez a fal? (13,3-szeres) Ha a fal 12 cm vastag, mekkora a fal anyagának felezési rétegvastagsága és gyengítési együtthatója erre a hangra? (0,9 cm; 0,78 cm-1)
Adatok: hallásveszteség = 40dB W hallásküszöb = 5 ⋅10 −12 2 m x = 12cm a) Megjegyzés. A teljesítményerősítésszint (decibel-skála) definíciójából (VII.10) indulunk ki: n = 10 lg K P
A teljesítményerősítés a „kérdéses” teljesítmény és egy referenciteljesítmény aránya: P KP = Pref Audiometriában a kérdéses teljesítmény a páciens hallásküszöb-értéke, a referenciateljesítmény a populációra jellemző hallásküszöb. Audiometriában nem teljesítménnyel, hanem annak felületre vonatkoztatott értékével, az intenzitással számolunk. Mivel a vonatkoztatási felület (a dobhártya) konstans értéknek tekinthető, teljesítmények aránya helyett nyugodtan számolhatunk intenzitások arányával: P P I A KP = = = Pref Pref I ref A Továbbá: I n = 10 lg K P = 10 lg I ref Esetünkben a teljesítményerősítésszintnek a hallásveszteség, a referenciaintenzitásnak a hallásküszöb felel meg.Ebből a páciens hallásküszöbértéke: 40 n W W 10 10 I = 10 ⋅ I ref = 10 ⋅ 5 ⋅ 10 −12 2 = 5 ⋅ 10 −8 2 m m b) Egyszeres felező rétegvastagság a kiinduló 5 · 10-8 W/m2 intenzitást a felére, kétszeres a negyedére, háromszoros a nyolcadára stb; n-szeres a 2n-ed részére csökkenti. Esetünkben a csökkenés tízezerszeres, vagyis a fal vastagsága a felező rétegek számában kifejezve: 2 n = 10 4 n ⋅ lg 2 = 4 4 n= = 13,3 lg 2 c) A falvastagság 12 cm, és ez 13,3-szoros felező rétegvastagságnak felel meg. Ebből a felező rétegvastagság: 12cm D= = 0,9cm 13,3 A gyengítési együtthatót az ionizáló sugárzásoknál használt II.13 képlettel számoljuk: ln 2 0,693 µ= = = 0,77cm −1 D 0,9cm
77. Mr. Süketet, akinek 30 dB hallásromlása van 15-szörös felezőrétegnyi fal ellenére is zavarja a szomszéd házibuli. Csak akkor nem hallja, ha 45 dB csillapítást okozó füldugót használ. Mekkora hangintenzitás éri a falat a másik oldalon? (Egyszerűség kedvéért számoljunk úgy, mintha 1 kHz-es lenne a hang.) (≈ 1 W/m2)
Adatok: hallásveszteség = 30dB W hallásküszöb = 10 −12 2 m x = 15 D füldugó = 45dB Lásd a 76. példa megjegyzését. A 30 dB-es hallásromlás miatt csak az egészséges 30
hallásküszöb 10 10 = 10 3 -szeresét hallja meg. Ha 45 dB-es füldugót is használ, akkor további 45
10 10 = 10 4,5 -szeresére kell emelni a hangintenzitást, hogy éppen meghallja. Mivel a 15-szörös felező rétegvastagságnyi fal is gyengít, az intenzitást tovább kell emelni 215 -szeresére. Ez összesen 10 3 ⋅ 10 4,5 ⋅ 215 = 1,036 ⋅ 1012 -szeres erősítést jelent. Ha ezzel megszorozzuk az egészséges hallásküszöböt, megkapjuk az eredményt (az ez alatti intenzitású hangot nem hallja): W W W 1,036 ⋅ 1012 ⋅ 10 −12 2 = 1,036 2 ≈ 1 2 m m m 78. Mekkora intenzitású 300 Hz-es hangot hall meg az az ember, akinek a hallásvesztesége ezen a frekvencián (ahol az átlagos hallásküszöb 3.10-11 W/m2) 25 dB? (9,5.10-9 W/m2)
Adatok: hallásveszteség = 25dB hallásküszöb = 3 ⋅ 10 −11
W m2
Lásd a 76. példa a) részét. n 10
I = 10 ⋅ I ref = 10
25 10
⋅ 3 ⋅ 10 −11
W W = 9,5 ⋅ 10 −9 2 2 m m
85. Az ultrahang echogramot oszcilloszkópon vettük fel. 5 kHz-es fűrészfrekvencia és 8 cm-es képszélesség esetén a testfelületről és egy belső felületről érkező echójelek 3 cm-re vannak egymástól. Milyen mélyen van a reflektáló réteg, ha az ultrahang testszövetbeli sebessége 1500 m/s? (5,62 cm)
Adatok: f = 5kHz = 5000 Hz s kép = 8cm = 0,08m s jel = 3cm = 0,03m vUH = 1500
m s
Az 5 kHz-es frekvencia azt jelenti, hogy másodpercenkét 5000-szer futja be a fluoreszcens pont a 8 cm-es képernyőt, vagyis másodpercenkét 5000 · 8 cm = 40 000 cm = 400 m utat tesz meg (a sebessége tehát 400 m / s). Ha az echojelek távolsága 3 cm, akkor ez a távolság a sebesség ismeretében s jel 0,03m t= = = 7,5 ⋅ 10 −5 s m v jel 400 s időnek felel meg. Az ultrahang ez alatt az idő alatt oda és vissza megteszi az utat a reflektáló közeg és a testfelület között. Így a reflektáló felület mélysége (felszíntől mért távolsága) a következőképpen számolható: m 2 sUH = vUH ⋅ t = 1500 ⋅ 7,5 ⋅ 10 −5 s = 0,1125m s 0,1125m sUH = = 0,05625m = 5,625cm 2 88. Mekkora az ultrahang hullámhossza vízben, ha a frekvencia 800 kHz, és a vízbeli hangsebesség 1500 m/s? (1,87 mm ) Mekkora a reflexiós hányad izom és csont határán az alábbi táblázat adatai alapján? (33%)
hangsebesség (m/s) 3
sűrűség (kg/m )
izomban
csontban
1600
3600
1040
1700
a) Adatok: f = 800kHz = 8 ⋅ 10 5 v = 1500
1 s
m s
Bármely hullámra igaz, hogy egy periódusidő alatt egy hullámhossznyi utat tesz meg, a terjedési sebesség tehát a hullámhossz (mint út) és a periódusidő (mint idő) hányadosaként számolható: s λ v= = t T Vegyük figyelembe, hogy a frekvencia a periódusidő reciproka. Behelyettesítve:
λ
=λ⋅ f T Ebből fejezzük ki a hullámhosszat és helyettesítsünk be: m 1500 v s = 1,875 ⋅ 10 −3 m = 1,875mm λ= = 1 f 8 ⋅ 10 5 s
v=
