Mˇ eˇ ren´ı rychlosti svˇ etla Abstrakt Rychlost svˇetla je jednou z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch a z´aroveˇ n nejzaj´ımavˇejˇs´ıch pˇr´ırodn´ıch konstant. Nez´aleˇz´ı na tom, jestli svˇetlo pˇrich´az´ı ze vzd´alen´e hvˇezdy nebo z laseru v laboratoˇri, jeho rychlost ve vakuu je vˇzdy stejn´a. Aˇc se jedn´a o hodnotu v ˇr´adu stovek tis´ıc kilometr˚ u za sekundu, je moˇzn´e ji relativnˇe pˇresnˇe zmˇeˇrit i v laboratoˇri. V t´eto u ´loze k tomu pouˇzijeme metodu Foucaultova rotuj´ıc´ıho zrc´atka, kter´a m´a sv´e poˇc´atky jiˇz v polovinˇe 19. stolet´ı.
Obr. 1: Experiment´ aln´ı sestava pro mˇeˇren´ı rychlosti svˇetla Foucaultovou metodou.
Pom˚ ucky Modul s rotaˇcn´ım zrc´atkem vˇcetnˇe ovl´ad´an´ı, pevn´e sf´erick´e zrcadlo na podstavci, mˇeˇr´ıc´ı mikroskop s dˇeliˇcem svazku, 2 ˇcoˇcky (ohniskov´e vzd´alenosti 48 mm a 252 mm), polariz´ator, 0.5 mW He-Ne laser 632.8 nm, optick´a lavice 1 m spojen´a s nastavitelnou lavic´ı pro laser, zamˇeˇrovaˇce svazku.
1
Pracovn´ı u ´ koly 1. V dom´ac´ı pˇr´ıpravˇe odvod’te vztah (1) vˇcetnˇe n´aˇcrtku. 2. V dom´ac´ı pˇr´ıpravˇe odvod’te vztah pro stˇredn´ı odhad relativn´ı chyby mˇeˇren´ı rychlosti svˇetla c. Potˇrebn´e informace najdete na: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/CHYBY1n.pdf 3. Vyberte si vhodn´e m´ısto a pˇredem si promyslete, kam um´ıst´ıte optickou lavici a kam pevn´e sf´erick´e zrcadlo. Pot´e sestavte (a nastavte) aparaturu dle n´avodu. 4. Vhodn´ ym zp˚ usobem zmˇeˇrte vzd´alenosti A, B a D (viz odd´ıl 4) a poznamenejte si chyby dan´ ych mˇeˇren´ı. 5. Proved’te meˇren´ı alespoˇ n pro 10 r˚ uzn´ ych frekvenc´ı v rozmez´ı 200 - 1300 ot./min. Vaˇse mˇeˇren´ı vhodn´ ym zp˚ usobem statisticky zpracujte. 6. V´aˇs v´ ysledek srovnejte s tabulkovou hodnotou c a diskutujte.
1
Historick´ yu ´ vod
Dlouhou dobu si lid´e mysleli, ˇze rychlost svˇetla je nekoneˇcn´a. Aˇz poˇca´tkem 17. stolet´ı se italsk´ y fyzik Galileo Galilei pokusil poprv´e zmˇeˇrit tuto rychlost a dok´azat tak opak. Jeho experiment byl zaloˇzen na prost´em zmˇeˇren´ı ˇcasu, kter´ y svˇetlo potˇrebuje, aby pˇrekonalo vzd´alenost mezi dvˇema kopci. Bohuˇzel, technick´e prostˇredky t´e doby neumoˇzn ˇovaly tak pˇresn´e mˇeˇren´ı. ´ eˇsnˇejˇs´ı byl aˇz roku 1675 d´ansk´ Uspˇ y astronom Olaf R¨omer. Ten si vˇsiml rozd´ılu mezi pˇredpovˇed´ı a pozorov´an´ım z´akryt˚ u Jupiterova mˇes´ıce Io. Doba trv´an´ı z´akrytu byla delˇs´ı, vzdalovala-li se Zemˇe od Jupiteru neˇz kdyˇz se pˇribliˇzovala. R¨omer spr´avnˇe pˇredpokl´adal, ˇze je tento rozd´ıl zp˚ usoben dobou putov´an´ı svˇetla k Zemi. Ze znalosti parametr˚ u dr´ahy 8 −1 a rozmˇer˚ u Zemˇe, Jupitera a Io, spoˇc´ıtal rychlost ˇs´ıˇren´ı svˇetla na 2.1 × 10 m · s . Odchylka od dneˇsn´ı hodnoty je 30 %, i tak ale R¨omer dok´azal, ˇze rychlost svˇetla je koneˇcn´a. Roku 1849 francouzsk´ y vˇedec Hippolyte Fizeau urˇcil na Zemi rychlost svˇetla pomoc´ı ot´aˇcej´ıc´ıho se ozuben´eho kola. Pˇred kolem byl um´ıstˇen zdroj svˇetla a za kolem bylo um´ıstˇeno zrc´atko. Rychlost svˇetla urˇcil tak, ˇze mˇenil rychlost ot´aˇcen´ı kola a pozoroval, kdy se svˇetlo vr´at´ı stejnou mezerou mezi zuby a kdy uˇz ne. Rychlost svˇetla tak urˇcil na 3.15 × 108 m · s−1 . O rok pozdˇeji dalˇs´ı francouzsk´ y vˇedec, Jean Foucault, vylepˇsil Fizeauovu metodu: ozuben´e kolo nahradil rychle rotuj´ıc´ım zrcadlem. Svˇetlo letˇelo k rotuj´ıc´ımu se zrcadlu, kde se odrazilo 2
smˇerem na nepohybliv´e zrcadlo a od nˇej zpˇet na rotuj´ıc´ı, kter´e se mezit´ım pootoˇcilo o mal´ y u ´hel. Z u ´hlu pootoˇcen´ı odraˇzen´eho paprsku a vzd´alenosti zrcadel urˇcil roku 1862 Foucault rychlost svˇetla na 2.999 × 108 m · s−1 . Tuto metodu pozdˇeji (mezi roky 1926 a 1929) vylepˇsil vynikaj´ıc´ı experiment´ator Albert Michelson a zpˇresnil hodnotu na 2.99774 × 108 m · s−1 .
2
Teoretick´ y popis
Z´akladn´ı sch´ema experimentu je na Obr. 2. Svazek svˇetla z laseru je ˇcoˇckou L1 fokusov´an ˇ cka L2 d´ale fokusuje obraz z bodu s pˇres rotuj´ıc´ı zrc´atko MR do bodu S na do bodu s. Coˇ pevn´em sf´erick´em zrcadle MF . To odr´aˇz´ı paprsek po stejn´e dr´aze zpˇet na MR . V pˇr´ıpadˇe, ˇze MR velmi rychle rotuje, svˇetlo odraˇzen´e od MF ho cestou zpˇet zastihne v jin´e poloze a proto se jiˇz obraz nezformuje zp´atky v bodˇe s, ale v bodˇe s1 - viz Obr. 3. Aby bylo moˇzn´e odraˇzen´ y obraz pozorovat, je mezi L1 a L2 um´ıstˇeno polopropustn´e zrcadlo, kter´e bod s (resp. s1 ) zobraz´ı v bodˇe s0 (resp. s01 ).
Obr. 2: Z´ akladn´ı sch´ema Foucaultovy metody. [1]
Abychom z´ıskali vztah mezi rychlost´ı svˇetla a posunem bodu s → s1 , je potˇreba podrobnˇe proj´ıt dr´ahu, po kter´e svˇetlo putuje (viz Obr. 3). Po pr˚ uchodu ˇcoˇckou L2 doraz´ı paprsek na zrcadlo MR v okamˇziku, kdy je v poloze 1, tedy pootoˇceno o u ´hel θ. Odraz´ı se a putuje na MF , kde dopadne do bodu S a odraz´ı se zpˇet. Tato dr´aha sv´ır´a se spojnic´ı MR -laser u ´hel 2θ. Pˇri dopadu na MR je ale toto zrcadlo jiˇz v poloze 2, pootoˇceno o u ´hel ∆θ v˚ uˇci poloze 1 (celkovˇe tedy o θ + ∆θ) a proto se paprsek odraz´ı smˇerem k laseru pod u ´hlem 2∆θ od spojnice MR -laser. Nyn´ı je dobr´e si pˇredstavit, ˇze tento vracej´ıc´ı se paprsek se odrazil od MR nikoli v poloze 2, ale v poloze 1. To by znamenalo, ˇze zrcadlo MF neopouˇstˇel v bodˇe S, ale 3
Obr. 3: N´aˇcrt pro odvozen´ı u ´hl˚ u. Teˇckovan´a ˇc´ara pˇredstavuje pomysln´ y paprsek, resp. dr´ahu, po kter´e by svˇetlo putovalo, kdyby bylo zrcadlo pˇri n´avratu svˇetla z MR v poloze 1 m´ısto v poloze 2.
´ v pomysln´em bodˇe S1 . Uhel mezi pˇr´ımkami MR S a MR S1 je tedy |∠S1 MR S| = 2∆θ
(1)
Oznaˇc´ıme-li vzd´alenost mezi MF a MR jako D, vzd´alenost mezi bodem S a pomysln´ ym bodem S1 bude ∆S = |S1 S| = 2D∆θ (2) D´ale je tˇreba urˇcit velikost posunu s → s1 . Tuto vzd´alenost oznaˇc´ıme jako ∆s = |s1 s| (resp. po odklonu polopropustn´ ym zrcadlem jako ∆s0 = |s01 s0 |). Kv˚ uli zpˇrehlednˇen´ı situace je v´ yhodnˇejˇs´ı odmyslet si rotuj´ıc´ı zrcadlo MR a pouˇz´ıt virtu´aln´ı obraz MF na ose svazku, viz Obr. 4. Se zrcadlem MR v poloze 1 leˇz´ı bod S pˇr´ımo na ose svazku, bod S1 je od nˇej vzd´alen o ∆S. Probl´em se tak redukuje na u ´lohu o tenk´ ych ˇcoˇck´ach: oznaˇc´ıme-li vzd´alenost mezi MR a L2 jako B = |MR L2 | a vzd´alenost mezi L2 a bodem s jako A = |L2 s|, pak plat´ı ∆s0 = ∆s =
A ∆S D+B
(3)
Dosad´ıme-li do (3) vztah (2) dostaneme pro ∆s0 vztah ∆s0 =
2AD∆θ D+B 4
(4)
Obr. 4: N´ aˇcrt k anal´ yze virtu´aln´ıch obraz˚ u. [1]
Velikost ∆θ ovˇsem z´avis´ı na frekvenci ot´aˇcen´ı MR a na ˇcase, za kter´ y svˇetlo uraz´ı vzd´alenost 2D: 4πDf (5) ∆θ = c Dosazen´ım (5) do (4) z´ısk´ame hledan´ y vztah, kter´ y uprav´ıme do tvaru c=
8πAD2 f (D + B)∆s0
(6)
Ze znalosti dan´ ych vzd´alenost´ı, vych´ ylen´ı bodu ∆s0 a frekvence ot´aˇcen´ı rotuj´ıc´ıho zrcadla MR tak m˚ uˇzeme urˇcit rychlost svˇetla.
3
Experiment´ aln´ı sestava
Pˇresn´e nastaven´ı experiment´aln´ı aparatury je u t´eto u ´lohy velmi d˚ uleˇzit´e. Proto je potˇreba si vyˇclenit na nastaven´ı delˇs´ı dobu (m˚ uˇze b´ yt i 2 hodiny), samotn´e mˇeˇren´ı pak jiˇz prob´ıh´a ˇ rychle. Spatnˇe nastaven´a aparatura m˚ uˇze nejenom zmenˇsit pˇresnost mˇeˇren´ı, ale tak´e ho u ´plnˇe znemoˇznit. Pˇri nastaven´ı postupujte dle Obr. 5 a bod˚ u n´ıˇze. Vˇsechny komponenty umist’ujte zarovnan´e k okraji optick´e lavice. Pˇri pr´aci s laserem bud’te vˇzdy velmi opatrn´ı, at’ nˇekomu nevyp´ al´ıte svazkem oko!!!
5
Obr. 5: Boˇcn´ı pohled na optickou lavici s vyznaˇcen´ ymi rozmˇery. [1]
1. Um´ıstˇete optickou lavici 1 m a optickou lavici pro laser na vodorovn´ y povrch a nejsou-li, spojte je. 2. Um´ıstˇete laser na nastavitelnou (kratˇs´ı) ˇca´st lavice tak, aby v´ ystup z laseru byl co nejbl´ıˇze spoji obou lavic. 3. Na opaˇcn´ y konec delˇs´ı ˇca´sti lavice um´ıstˇete modul s rotaˇcn´ım zrc´atkem, aby toto smˇeˇrovalo k laseru. Pˇredn´ı ˇca´st mus´ı b´ yt 17.0 cm od konce lavice. 4. Zapnˇete laser (POZOR!) a zamˇeˇrte ho na stˇred rotaˇcn´ıho zrc´atka MR . Pouˇzijte k tomu dva pˇriloˇzen´e zamˇeˇrovaˇce svazku (viz Obr. 6). Pˇri spr´avn´em nastaven´ı bude svazek pˇresnˇe proch´azet obˇema otvory a dopadat tak i na stˇred MR . Nastaven´ı laseru prov´adˇejte pomoc´ı 3 stavˇec´ıch ˇsroub˚ u na laserov´e ˇca´sti optick´e lavice, pˇr´ıpadnˇe m˚ uˇzete upravit drˇz´ak laseru.
Obr. 6: Boˇcn´ı pohled na optickou lavici a um´ıstˇen´ı zamˇeˇrovaˇc˚ u svazku. [1]
6
5. Odstraˇ nte zamˇeˇrovaˇc u MR a zkontrolujte vertik´aln´ı vyrovn´an´ı MR tak, ˇze nam´ıˇr´ıte svazek zp´atky na zbyl´ y zamˇeˇrovaˇc (zrcadlo MR je hranolek a pouze jedna jeho strana je skuteˇcn´e zrcadlo! Pˇri ot´aˇcen´ı MR dejte pozor, kam vˇsude m˚ uˇze svazek dopadnout a vˇzdy mˇejte oˇci mimo vodorovnou rovinu svazku!). Svazek by mˇel dopadat pˇresnˇe vedle otvoru v zamˇeˇrovaˇci (vedle ve smyslu horizont´aln´ım). 6. Odejmˇete i druh´ y zamˇeˇrovaˇc a na lavici pak um´ıstˇete ˇcoˇcku L1 (ohniskov´a vzd´alenost 48 mm) tak, aby znaˇcka na drˇz´aku byla 93.0 cm od okraje lavice. Potom, aniˇz byste pohnuli s drˇza´kem, posuˇ nte samotnou ˇcoˇcku tak, aby svazek opˇet dopadal na stˇred MR . 7. Um´ıstˇete ˇcoˇcku L2 (ohniskov´a vzd´alenost 252 mm) na optickou lavici tak, aby znaˇcka na drˇz´aku byla 62.2 cm od okraje lavice. Potom, aniˇz byste pohnuli s drˇz´akem, posuˇ nte samotnou ˇcoˇcku tak, aby svazek opˇet dopadal na stˇred MR . 8. Mezi L1 a L2 um´ıstˇete mˇeˇr´ıc´ı mikroskop tak, aby konec podstavce byl vzd´alen 82.0 cm od konce optick´e lavice. P´aˇcku nastavte pˇr´ımo dol˚ u. POZOR! Pokud MR nerotuje, ned´ıvejte se do mikroskopu bez namontovan´ eho polariz´ atoru (viz 14. bod)! 9. Dˇeliˇc svazku ovlivn´ı dr´ahu svˇetla, proto pˇrenastavte L2 tak, aby svazek opˇet dopadal na stˇred MR . Toto udˇelejte bez posunov´an´ı drˇza´ku ˇcoˇcky. ´ 10. Do vzd´alenosti 2 aˇz 15 m um´ıstˇete pevn´e zrcadlo MF . Uhel mezi osou optick´e lavice ◦ a spojnic´ı MR a MF mus´ı b´ yt zhruba 12 , viz Obr. 7. Zrcadlo MF se mus´ı nach´azet na opaˇcn´e stranˇe optick´e lavice, neˇz je mikrometrick´ y ˇsroub mikroskopu!
Obr. 7: Vzd´ alenosti a u ´hly mezi jednotliv´ ymi ˇc´astmi sestavy. [1]
11. Nastavte MR tak, aby svazek smˇeˇroval na MF . Zrcadlo MF pak pˇrenastavte tak, aby svazek dopadal pˇribliˇznˇe do jeho stˇredu. 7
12. Posunem ˇcoˇcky L2 po optick´e lavici zafokusujte svazek do co nejmenˇs´ıho bodu na MF . 13. Pomoc´ı dvou stavˇec´ıch ˇsroub˚ u na zadn´ı stranˇe MF nasmˇerujte svazek zpˇet na stˇred MR . 14. Mezi laser a ˇcoˇcku L1 vloˇzte polariz´ator. Jeho dvˇe ˇc´asti v˚ uˇci sobˇe pootoˇcte t´emˇeˇr o 90◦ - tak, aby jimi proch´azelo jen minimum svˇetla. Pokud v mikroskopu nic nevid´ıte i kdyˇz tam svazek z MR smˇeˇruje, pootoˇcte polariz´atory o menˇs´ı u ´hel. Pokud st´ale nic nevid´ıte, zkuste • pomalu ot´aˇcet p´aˇckou dˇeliˇce svazku, odraˇzen´ y obraz moˇzn´a nem´ıˇr´ı pˇr´ımo do mikroskopu (posun pod´el osy optick´e lavice) • ot´aˇcet mikrometrick´ ym ˇsroubem (posun kolmo na osu optick´e lavice) • posunout cel´ y mikroskop o p˚ ul centimetru pod´el osy optick´e lavice na tu ˇci onu stranu (vˇzdy zkontrolujte zarovn´an´ı s osou optick´e lavice) Pokud nic nezab´ır´a, vyˇza´dejte si pomoc asistenta. 15. Posunem okul´aru zaostˇrete nitkov´ y kˇr´ıˇz v mikroskopu. 16. Je-li aparatura dobˇre nastavena, uvid´ıte v mikroskopu bodov´ y obraz laserov´eho svazku. Zaostˇrete jej tak, ˇze povol´ıte ˇsroub na stranˇe tubusu a posunete mikroskopem. 17. Vedle spr´avn´eho bodu m˚ uˇzete v mikroskopu vidˇet i jin´e body, napˇr. odraz svˇetla od ˇ ˇcoˇcky. Ze se jedn´a o spr´avn´ y bod zjist´ıte tak, ˇze d´ate pˇrek´aˇzku mezi MR a MF . Spr´avn´ y bod v tu chv´ıli zmiz´ı. D´ale m˚ uˇzete vidˇet interferenˇcn´ı prouˇzky a jin´e parazitn´ı jevy. Tˇech se m˚ uˇzete zkusit zbavit tak, ˇze lehce (cca o 1◦ ) pootoˇc´ıte ˇcoˇckou L2 tak, ˇze uˇz d´al nebude kolm´a na osu optick´e lavice. 18. Je-li bod lehce roztaˇzen´ y bez znateln´eho maxima, zkuste lehce pootoˇcit ˇcoˇckou L2 kolem jej´ı optick´e osy. M´ate-li aparaturu nastavenou tak, ˇze vid´ıte ostˇre spr´avn´ y bod, m˚ uˇzete zaˇc´ıt mˇeˇrit. Jakmile se MR toˇ c´ı, je bezpeˇ cn´ e d´ıvat se do mikroskopu bez vloˇ zen´ eho polariz´ atoru.
4
Mˇ eˇ ren´ı
Pˇred zapnut´ım motorku se ujistˇete, ˇze MR se m˚ uˇze volnˇe ot´aˇcet! Zapnˇete motorek a nastavte p´aˇckou smˇer ot´aˇcen´ı (CW/CCW). Postupnˇe zvyˇsujte ot´aˇcky motoru aˇz na 200 ot./min. Na t´eto hodnotˇe nechte motor cca 3 min. se ohˇr´at. Bude-li kdykoli bˇehem zvyˇsov´an´ı ot´aˇcek sv´ıtit ˇcerven´a LED d´ele neˇz 5 s, vypnˇete motorek a zavolejte asistenta. Po zahˇra´t´ı motorku 8
zvyˇsujte ot´aˇcky aˇz na cca 1000 ot./min. Stisknˇete a podrˇzte tlaˇc´ıtko “MAX REV/SEC”. Aˇz se ot´aˇcky stabilizuj´ı, odeˇctete jejich hodnotu a zamˇeˇrte mikrometrick´ ym ˇsroubem nitkov´ y kˇr´ıˇz v mikroskopu na svˇeteln´ y bod. Povolte tlaˇc´ıtko “MAX REV/SEC”, sniˇzte ot´aˇcky na nulu a pak odeˇctˇete u ´daj z mikrometrick´eho ˇsroubu. Pˇri zastaven´em motorku zmˇen ˇte smˇer ot´aˇcen´ı (CW/CCW) a proved’te stejn´e mˇeˇren´ı. T´ım, ˇze nebudete mˇeˇrit “nulovou polohu s0 ”, ale dvˇe krajn´ı polohy, zv´ yˇs´ıte pˇresnost mˇeˇren´ı. K tomu u ´ˇcelu je tˇreba jeˇstˇe upravit vztah (6) na 8πAD2 (fCW + fCCW ) (7) c= (D + B)(s0CW − s0CCW ) kde fCW , resp. fCCW , je frekvence ot´aˇcen´ı t´ım ˇci on´ım smˇerem a s0CW , resp. s0CCW , pˇr´ısluˇsn´e polohy bodu s0 . Posuny bodu s0CW , resp. s0CCW jsou zavisl´e na pˇr´ısluˇsn´e frekvenci fCW , ´ resp. fCCW . Upravou rovnice (7) najdete tuto z´avislost. Fitov´an´ım namˇeˇren´ ych dat z´ısk´ate smˇernici, na z´akladˇe kter´e lze dopoˇc´ıtat c. Vzd´alenost A je rovna vzd´alenosti ˇcoˇcek L1 a L2 zmenˇsen´e o ohniskouvou vzd´alenost ˇcoˇcky L1 (48 mm), B je vzd´alenost L2 od MR (od samotn´eho zrc´atka, nikoli od cel´eho modulu!) a D je vzd´alenost mezi zrcadly MR a MF .
Reference [1] B. Lee, Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific Model OS9261A, 62 and 63A, PASCO scientific, USA, 1989 [2] V. Kaizr, Mˇeˇren´ı rychlosti ˇs´ıˇren´ı svˇetla, Aldebaran Bulletin, http://www.aldebaran.cz/bulletin/2004 s1.html, [cit.: 22. 10. 2009]
9
