1
Peramalan Volume Produksi Air Bersih di PDAM Kabupaten Bojonegoro berdasarkan Jumlah Pelanggan dan Volume Konsumsi Air Fastha Aulia Pradhani dan Adatul Mukarromah Jurusan Statistika, FMIPA, ITS Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail:
[email protected],
[email protected]
Abstrak—Hampir seluruh aktivitas manusia di berbagai belahan bumi sangat bergantung terhadap ketersediaan air bersih. Hal itu membuat faktor kualitas air yang bersih dan kuantitas air selalu menjadi prioritas yang sama pentingnya. Pemerintah Bojonegoro mendirikan PDAM Bojoengoro pada tahun 1982 yang bertujuan untuk memenuhi kebutuhan air bersih masyarakatnya. Produksi air merupakan salah satu faktor utama dalam pelayanan penyaluran air bersih. Hal tersebut membuat peneliti tertarik untuk melakukan penelitian mengenai peramalan volume produksi air bersih di PDAM Bojonegoro. Secara kuantitas persyaratan dalam penyediaan air bersih bersih ditinjau dari jumlah kebutuhan air yang dikonsumsi serta jumlah pelanggan. Dengan adanya penelitian ini, akan diperoleh manfaat untuk PDAM yaitu sebuah tambahan informasi mengenai produksi air. Data yang dipakai pada penelitian ini berjumlah 84 data dibagi menjadi 72 data in sample dan 12 data out sample. Pada penelitian ini, dilakukan perbandingan beberapa model yaitu model ARIMA, Fungsi Transfer Single dan Multi Input. Dari ketiga model tersebut, akan dipilih satu model terbaik yang dipakai untuk meramalkan volume produksi air untuk beberapa periode ke depan. Hasil yang didapatkan setelah dilakukan analisis adalah model fungsi transfer multi input dengan orde b=23 r=0 s=0 serta b=24 r=0 s=0 dan komponen noise ARIMA ([10],0,1) merupakan model terbaik yang dipilih berdasarkan dua kriteria yaitu AIC untuk in sample dan RMSE untuk out sample. Kata Kunci—Air bersih, ARIMA, Fungsi Transfer, PDAM
A
I. PENDAHULUAN
ir merupakan sumber kehidupan. Ketersediaan air yang cukup dan kualitas air bersih merupakan salah satu faktor yang membuat kehidupan di dunia ini dapat terus berlangsung. [1]. Bojonegoro memiliki luas wilayah 230.706 Ha dan jumlah penduduk sebesar 1.178.386 jiwa [2]. Pemerintah Kabupaten Bojonegoro mendirikan PDAM Bojonegoro pada tahun 1982 untuk memenuhi kebutuhan air bersih masyarakatnya. Seiring dengan bertambahnya jumlah penduduk, akan semakin beragam aktivitas manusia yang akan berdampak pada peningkatan permintaan air bersih, tetapi beberapa kendala dalam pemenuhan kebutuhan air konsumen masih dihadapi oleh PDAM Bojonegoro saat ini. Salah satu kendalanya adalah masih terbatasnya jumlah sumber air untuk proses produksi dan sistem jaringan penyediaan air bersih yang belum mampu menjangkau seluruh wilayah di Kabupaten Bojonegoro [3]. Produksi air adalah salah satu faktor utama dalam pelayanan penyaluran air bersih. Besar kecilnya volume produksi air
bersih tentu saja tidak hanya didasarkan oleh volume produksi air bersih pada beberapa periode sebelumnya. Salah satu persyaratan air bersih secara kuantitas ditinjau dari kesesuaian produksi air bersih dengan jumlah kebutuhan air yang dikonsumsi oleh pelanggan [4]. Hal tersebut membuat peneliti tertarik untuk melakukan penelitian mengenai peramalan volume produksi air bersih berdasarkan jumlah pelanggan dan volume konsumsi air bersih, namun pada penelitian ini peneliti hanya fokus pada pelanggan kategori rumah tangga. Fungsi transfer merupakan salah satu alternatif untuk menyelesaikan permasalahan apabila terdapat lebih dari satu deret berkala, dan salah satu variabelnya berpengaruh terhadap keadaan lainnya [5]. Pada penelitian ini peramalan produksi air akan dilakukan dengan membandingkan beberapa metode fungsi transfer yaitu single dan multi input, serta metode ARIMA. Namun peramalan hanya akan dilakukan pada satu model terbaik yang dipilih berdasarkan kriteria AIC dan RMSE. Berdasarkan hasil peramalan yang diperoleh diharapkan penelitian ini dapat memberikan tambahan informasi mengenai volume produksi air untuk beberapa periode ke depan bagi pihak PDAM Bojonegoro. Berbagai penelitian telah dilakukan sebelumnya terhadap volume pemakaian air diantaranya adalah adalah Nurina (2013) meneliti tentang peramalan volume pemakaian air sektor rumah tangga di Kabupaten Gresik dengan menggunakan fungsi transfer dan diperoleh hasil volume pemakaian air bulan ini dipengaruhi oleh volume pemakaian air pada dua belas dan dua puluh empat bulan sebelumnya, serta dipengaruhi oleh jumlah penduduk pada delapan, dua puluh dan tiga puluh dua periode sebelumnya[6]. Aristia (2011) meneliti peramalan produksi air dengan metode arima di perusahaan daerah air minum (PDAM) surya sembada Surabaya dan diperoleh model yang sesuai untuk Ngagel I ([12],1,1), Ngagel II (2,1,0), Ngagel III (1,1,[12]). Karangpilang I ([1,11],1,0), Karangpilang ii ([6],0,[2]) [7]. II. TINJAUAN PUSTAKA A. Prosedur ARIMA Box-Jenkins Prosedur ini dipakai digunakan untuk memilih model ARIMA yang sesuai pada data time series. Prosedur ini memiliki 4 tahapan yaitu identifikasi, penaksiran dan pengujian parameter, pemeriksaan diagnosis pada residual dan peramalan[8]. Pada tahapan identifikasi model, terdapat beberapa tahapan untuk melakukannya yaitu membuat time series plot
2 dan memilih transformasi yang sesuai jika diperlukan, menyelidiki plot ACF dan PACF, dan memastikan data sudah stasioner terhadap mean atau tidak, menentukan orde p dan q melalui plot ACF dan PACF [9].Karakteristik yang dipakai untuk menentukan orde disajikan pada Tabel 1.
Proses AR (p) MA (q) ARIMA (p,q)
Tabel 1. Karakteristik ACF dan PACF [9] ACF PACF Turun cepat secara Cuts off setelah lag p eksponensial Cuts off setelah lag q Turun cepat secara eksponensial Turun cepat setelah lag Turun cepat setelah lag (q-p) (p-q)
Selanjutnya dilakukan estimasi parameter model dengan menggunakan metode maximum likelihood. Dan dilanjutkan dengan pemeriksaan diagnostik pada setiap dugaan model dari hasil estimasi. Pemeriksaan diagnostik dapat dibagi ke dalam dua bagian yaitu, uji kesignifikanan parameter dan uji kesesuaian model yang meliputi uji asumsi white noise dan distribusi normal [9]. Setelah semua dugaan model memenuhi asumsi yang dibutuhkan, maka dapat dipilih model terbaik dengan menggunakan kriteria AIC. Nilai AIC dan RMSE yang dapat ditentukan berturut-turut dengan (1) dan (2). n
AIC (M ) n ln ˆ a2 2M (1)
RMSE
e i 1
2 i
n
M adalah jumlah parameter dalam model, n adalah jumlah observasi. Setelah diperoleh satu model terbaik, dapat dilakukan pembuatan model ARIMA dengan (3) berikut. p ( B)(1 B) d Zt 0 q ( B)at
(2)
(3)
B. Fungsi Transfer Fungsi transfer merupakan salah satu alternatif untuk menyelesaikan permasalahan apabila terdapat lebih dari satu deret berkala, dan salah satu variabel berpengaruh terhadap keadaan yang lainnya [10]. Model fungsi transfer single input dapat dituliskan seperti pada (4). (4) ( B) ( B) yt
( B)
X t b
( B)
at
( B) 0 1B 2 B 2 .... s B s, ( B) 1 1B 2 B 2 .... r B r, ( B) 1 1B 2 B 2 .... p B p, ( B) 1 1B 2 B 2 ..... p B p, yt = nilai Yt yang telah stasioner, xt adalah nilai Xt yang telah stasioner at adalah eror, r, s, p, q dan b adalah konstanta[8]. Sedangkan untuk model fungsi transfer multi input ditampilkan k ( B) ( B) pada (5). j yt x jt bj at ( B) (5) j 1 j ( B )
Dengan j (B) adalah operator moving average order sj untuk deret ke-j, j (B) adalah operator autoregressive order rj untuk deret ke-j, (B) adalah suatu operator moving average order q, dan (B) adalah operator autoregressive order p [9]. Langkah-langkah yang perlu dilakukan dalam pengidentifikasian model fungsi transfer meliputi beberpa tahapan [8] yaitu mempersiapkan deret input dan deret output, prewhitening deret input, prewhitening deret output, perhitungan korelasi silang untuk deret input dan output yang telah diprewhitening, penetapan r,s,b untuk model fungsi transfer, pengujian noise series, dan Penetapan (pn,qn) untuk model ARIMA (pn,0, qn) dari deret noise. Setelah tahapan
pengidentifikasian model selesai dilaksanakan selanjutnya dilakukan penaksiran dan pengujian parameter model fungsi transfer dengan menggunakan metode maximum likelihood. Dan tahapan terakhir sebelum dilakukan pemilihan model terbaik adalah diagnostik model fungsi transfer yang terdiri dari dua tahapan yaitu pemeriksaan korelasi silang dan pemeriksaan autokorelasi. Rumus untuk menghitung uji korelasi silang dan pemeriksaan autokorelasi berturut-turut ditampilkan pada (6) dan (7) berikut. K K ˆ 2 ( j ) ˆ 2 ( j ) (6) Q1 m(m 2) ˆ Q0 m(m 2) aˆ (7) j 1 m j j 0 m j m dicari dengan menghitung n – t0 +1, n adalah banyaknya pengamatan, K adalah lag maksimum, dan t0 dicari dengan menghitung {p+r+1,p+s+1}. Selanjutnya jika nilai dari (6) lebih kecil dari dari χ2((k+1)-M,α) maka dapat dikatkan bahwa model fungsi transfer sudah layak. Begitu pula untuk nilai dari (7), jika hasil yang diperoleh lebih kecil daripada χ2(K-p-q) maka dapat dikatakan model untuk deret noise nt sudah layak. Selanjutnya dapat dilakukan pemilihan model terbaik menggunakan kriteria AIC dan RMSE. III.METODOLOGI PENELITIAN A. Sumber Data dan Variabel Penelitian Data yang dipakai adalah data sekunder yang diperoleh melalui PDAM Bojonegoro. Data dibagi menjadi data in sample sejumlah 72 data mulai Januari 2007- Desember 2012 dan out sample sejumlah 12 data terakhir, mulai bulan Januari – Desember 2013. Volume produksi air sebagai variabel Yt dan data konsumsi air serta jumlah pelanggan sebagai variabel Xt. B. Metode Analisis Data. Langkah-langkah dalam pembentukan model adalah sebagai berikut. (i) Menentukan model ARIMA pada data volume produksi air bersih dengan langkah berikut. a. Membuat time series plot pada data in sample b. Melakukan transformasi jika data tidak stasioner terhadap varians dan differencing jika tidak stasioner terhadap mean. c. Identifikasi dan pendugaan model sementara berdasarkan plot ACF dan PACF d. Pengujian signifikansi parameter dan pemeriksaan diagnostik residual pada model sementara. e. Pemilihan model terbaik berdasarkan nilai AIC (ii) Menentukan model fungsi transfer single input antara jumlah pelanggan (X1) dengan produksi air (Y) dengan langkah berikut. a. Menentukan model ARIMA yang sesuai untuk data input X1 b. Prewhitening deret input sehingga diperoleh α1t c. Prewhitening deret output untuk mendapatkan β1t d. Menghitung korelasi silang (CCF) antara α1t dan β1t e. Menentukan orde b,r,s f. Menaksir parameter model fungsi transfer single input sementara
3
(iii)
(iv)
(v) (vi)
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Model Peramalan Volume Produksi Air dengan ARIMA Metode awal yang akan dipakai untuk meramalkan adalah dengan menggunakan metode ARIMA. Langkah awal dalam pemodelan ARIMA adalah data harus stasioner terhadap mean dan varians. Dari transformasi box-cox yang telah dilakukan, dapat diketahui bahwa data sudah stasioner terhadap varians, yang diketahui melalui nilai rounded value sebesar 5. Pengecekan kestationeran terhadap mean dilakukan menggunakan plot ACF, dan pengujian dicky fuller. Dari hasil dicky fuller didapat nilai p_value sebesar 0,01906. Artinya data produksi air telah stasioner terhadap mean, karena p_value yang dihasilkan bernilai lebih kecil daripada alpha 5%. Selanjutnya dapat dilakukan pendugaan model melalui plot ACF dan PACF, yang disajikan pada Gambar 1 dan 2 berikut
Partial Autocorrelation Function for in sample
Autocorrelation Function for in sample
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
Autocorrelation
Partial Autocorrelation
g. Menguji signifikansi parameter dari hasil model yang terbentuk. h. Identifikasi komponen noise, jika asumsi white noise tidak terpenuhi dilanjutkan dengan penentuan model ARIMA i. Menguji signifikansi parameter dari model yang telah ditambah komponen noise j. Menguji residual white noise dan kenormalan dari model yang telah ditambah komponen noise k. Menguji crosscorrelation antara residual (at) dengan deret input (α1t) yaitu jumlah pelanggan l. Memilih model terbaik berdasarkan kriteria AIC dan RMSE Menentukan model fungsi transfer single input antara volume konsumsi air (X2) dengan produksi air (Y) dengan langkah yang sama, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya Menentukan model fungsi transfer multi input antara produksi air dengan konsumsi air dan jumlah pelanggan dengan langkah sebagai berikut. a. Menetapkan orde b,r,s yang didapat dari hasil model fungsi transfer single input antara Y dengan X1 serta Y dengan X2 b. Orde b,s,r dari X1 dan X2 dimodelkan, sehingga didapatkan beberapa parameter c. Menguji signifikansi parameter dari dugaan model sementara d. Identifikasi deret noise jika asumsi white noise tidak terpenuhi dilanjutkan dengan penentuan model ARIMA e. Menguji signifikansi parameter, residual white noise, kenormalan residual dari model yang telah ditambah komponen noise f. Pengujian crosscorrelation antara residual (at) dengan deret input g. Menentukan model terbaik dari beberapa model yang telah terbentuk berdasarkan kriteria nilai AIC dan RMSE Menentukan model terbaik dengan menggunakan kriteria RMSE Out Sample Peramalan menggunakan model terbaik untuk beberapa periode ke depan.
0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6
0.0 -0.4 -0.6
-0.8
.
0.2 -0.2
-0.8
-1.0
-1.0 1
5
10
15
20
25
30
35 40 Lag
45
50
55
60
Gambar 1. Karakteristik PACF
65
70
1
5
10
15
20
25
30
35 40 Lag
45
50
55
60
65
70
Gambar 2. Karakteristik ACF
Berdasarkan Gambar 1 dan 2 diperoleh beberapa dugaan model yaitu ARIMA ([1,11,13],0,[4]), ARIMA ([1,13],0,[4]), dan ARIMA([1,11],0,0). Dari ketiga dugaan model tersebut dilakukan pengujian signifikansi parameter dan diperoleh hasil bahwa hanya model ARIMA ([1,11],0,0) saja yang seluruh parameternya signifikan terhadap model. Hal ini dapat diindikasi melalui nilai p_value dari setiap parameter (=0,0001, 1=0,0001, 11=0,0002) yang bernilai kurang dari alpha 5%. Sehingga pada tahapan pengujian residual white noise dan kenormalan hanya akan dilakukan pada model ARIMA ([1,11],0,0). Setelah dilakukan pengujian dapat diketahui bahwa model ARIMA ([1,11],0,0) telah memenuhi asumsi white noise karena pada tiap lag 6,8,12,dan 24 memiliki nilai p_value yang lebih besar daripada alpha 5% (0,5400;0,222;0,3599;0,2479). Dan nilai p_value yang dihasilkan pada pengujian kenormalan sebesar 0,1316. Sehingga dapat diketahui bahwa residual model telah memenuhi asumsi kenormalan, karena nilai p_value bernilai lebih besar daripada alpha 5%.Berikutnya dilanjutkan dengan pembentukan model ARIMA ([1,11],0,0) secara matematis yang ditampilkan sebagai berikut. (1 1 B 2 B11) yt 0 at
yt 1 yt 1 2 yt 11 0 at yt 0 1 yt 1 2 yt 11 at yt 283110,3 0,53047 yt 1 0,35224 yt 11 at
Model diatas dapat diartikan bahwa volume produksi air bulan ini dipengaruhi oleh volume produksi air pada 1 dan 11 bulan sebelumnya. B. Model Fungsi Transfer Single Input Berdasarkan Jumlah Pelanggan Sebelum dilakukan pemodelan dengan menggunakan fungsi transfer, model ARIMA terbaik untuk jumlah pelanggan harus ditentukan terlebih dahulu. Hal ini perlu dilakukan sebab prewhitening deret input dilakukan pada model ARIMA terbaik yang diperoleh dari data jumlah pelanggan. Langkah pertama yaitu pengecekan kestasioneran data baik terhadap varians maupun mean. Dari box-cox yang telah dibuat dapat diketahui bahwa nilai rounded value sudah bernilai 1, sehingga tidak perlu lagi dilakukan transformasi. Namun pada plot ACF dan pengujian dicky fuller yang telah dilakukan dapat diketahui bahwa data belum stasioner terhadap mean. Hal tersebut dikarena plot pada ACF menunjukkan bahwa lag-lag mengalami turun lambat, berdasarkan hasil pengujian dicky fuller yang diperoleh juga didapat nilai p_value yang lebih besar dari 0,05 yaitu 0,99. Setelah dilakukan differencing reguler, dari hasil plot ACF dan PACF yang telah dibuat, diperoleh hasil beberapa dugaan model yaitu ARIMA([1,33],1,1), ARIMA -([1,33],1,0), dan ARIMA ([33],1,0).
4 Tahapan selanjutnya pada ketiga model tersebut dilakukan pengujian signifikansi parameter serta residual white noise, dan diperoleh hasil bahwa hanya model ARIMA ([33],1,0) yang seluruh parameternya signifikan secara statistik. Hal ini disebabkan p_value yang diperoleh bernilai lebih kecil daripada alpha 5% (33=0,0131). Pada pengujian selanjutnya yaitu residual white noise diperoleh hasil bahwa model ARIMA ([33],1,0) telah memenuhi asumsi white noise. Hal tersebut diindikasi melalui nilai p_value dari setiap lag yang bernilai lebih besar daripada alpha 5% (0,116;0,1244;0,2341;0,4774). Sehingga dapat diketahi bahwa model ARIMA ([33],1,0) merupakan model terbaik Prosedur berikunya dilanjutkan dengan prewhitening deret input dan output dari model ARIMA ([33],1,0). Lalu dilanjutkan dengan pendugaan model fungsi transfer melalui crosscorrelation plot. Dari crosscorrelation plot dihasilkan beberapa dugaan model yaitu model dengan orde b=0,r=0 s=0. dan b=23, r=0, dan s=0. Kedua model tersebut dapat diduga melalui lag-lag yang signifikan pada crosscorrelation plot yaitu lag 0 dan 23. Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi parameter pada kedua orde model, dan didapatkan hasil bahwa kedua orde model tersebut memiliki parameter yang signifikan secara statistik, karena p_value yang dihasilkan bernilai kurang dari alpha 5%, yaitu untuk orde b=0,r=0 s=0 sebesar 0,0107 dan b=23,r=0 s=0 sebesar 0,0339. Sehingga kedua model tersebut dapat dilanjutkan dengan identifikasi komponen noise. Suatu model perlu ditambahkan komponen noise, jika model tersebut tidak memenuhi asumsi residual white noise. Hasil dari pengujian residual white noise, ditampilkan pada Tabel 2 berikut. Model b=0 r=0 s=0 b=23 r=0 s=0
Lag 6 12 18 24 6 12 18 24
Tabel 2. Identifikasi Komponen Noise
Chi_Square 7,67 25,04 30,51 45,43 0,3592 0,0225 0,0615 0,0168
P_value 0,2633 0,0146 0,0328 0,0052 0,3592 0,0225 0,0615 0,0168
Keputusan White Noise Tidak White Noise Tidak White Noise Tidak White Noise White Noise Tidak White Noise White Noise Tidak White Noise
Berdasarkan Tabel 2 dapat diketahui bahwa kedua orde tersebut tidak memenuhi asumsi white noise, karena terdapat salah satu lag yang bernilai kurang dari alpha 5%. Sehingga kedua model tersebut perlu ditambahkan komponen noise, karena residual data masih bersifat tidak identik dan saling dependen secara statistik. Identifikasi komponen noise dapat dilakukan melalui pembentukan model ARIMA. Model ARIMA tersebut diduga melalui plot ACF dan PACF yang berada dalam model fungsi transfer antara volume produksi air dengan jumlah pelanggan. Berdasarkan Plot PACF dan ACF dari kedua orde model b=0,r=0, dan s=0. Plot PACF mengalami cut off pada beberapa lag yaitu lag 1,10,12, dan 22 ,serta lag 1 dan 10 untuk plot ACF. Sehingga model ARIMA yang diduga adalah ARIMA ([1,12],0,0), ARIMA ([1,10],0,0), dan ARIMA (1,0,[10]) untuk orde b=0,r=0, s=0, dan ARIMA ([10],0,0), ARIMA (0,0,[10]), ARIMA ([22],0,0) untuk komponen noise pada orde b=23 r=0 s=0. Berikutnya beberapa dugaan model
yang telah ditambahkan komponen noise dilakukan pengujian signifikansi parameter. Hasil dari pengujian signifikansi pada kedua orde ditampilkan pada Tabel 3. Tabel 3. Pengujian Signifikansi Setelah Ditambah Komponen Noise Parap_value Model Parap_value Model meter meter 0,0010 ARIMA 0,0073 ARIMA 0,0007 ([10],0,0) 0,0117 ([1,12],0,0) 0,0397 0,0332 ARIMA 0,0177 ARIMA 0,0386 (0,0,[10] 0,0159 ([1,10],0,0) 0,0270 0,0284 ARIMA 0,0117 ARIMA 0,0434 ([22],0,0) 0,0134 (1,0,[10]) 0,0274
Pada Tabel 3 dapat diketahui bahwa seluruh parameternya telah signifikan karena p_value yang dihasilkan bernilai kurang dari alpha 5%. Prosedur selanjutnya adalah pengujian residual white noise pada kedua orde, dan diperoleh hasil bahwa kedua orde telah memiliki residual white noise yang ditunjukkan dengan nilai alpha yang lebih besar dari alpha 5%. Selain itu kedua orde model juga telah memenuhi asumsi kenormalan residual yang ditunjukkan dengan nilai p_value sebesar 0,1500 pada semua orde model. Dan pengujian terakhir yang perlu dilakukan adalah pengujian crosscorrelation residual (at) dengan deret input (α1t). Hasil dari pengujian tersebut menunjukkan bahwa seluruh dugaan model telah white noise, artinya hubungan antara residual (at) dengan deret input (αt) identik dan saling independen secara statistik. Beberapa dugaan model tersebut harus dipilih satu untuk menjadi model terbaik yang dipakai untuk meramalkan produksi air beberapa periode ke depan. Dan diperoleh model terbaik adalah model pada orde b=23 r=0 s=0 dengan komponen noise ARIMA ([22],0,0), hal ini disebabkan nilai RMSE out sample bernilai paling kecil daripada model lainnya yaitu sebesar 193400,6 dengan nilai AIC sebesar 1029,822. Persamaan matematis dari model tersebut Dimana yt=Yt-Yt-1 dan xt-23 = Xt-23 – Xt-24 karena data jumlah pelanggan mengalami proses differencing non musiman pada lag-1, sehingga model akhir yang didapat adalah Yt= 39,877X(t-23)-39,877X(t-24)+16,444X(t-45)-16,444X(t-46)+ Y(t-1)-0,41238Y(t-22)+0,41238Y(t-23)+at Dari model diatas dapat diketahui bahwa volume produksi air PDAM Kabupaten Bojonegoro bulan ini dipengaruhi oleh volume produksi pada 1,22, dan 23 bulan yang lalu serta jumlah pelanggan pada 23, 24, 45, dan 46 bulan sebelumnya. C. Model Fungsi Transfer Single Input Berdasarkan Volume Konsumsi Air Prosedur yang sama juga dilakukan pada pemodelan fungsi transfer single input berdasarkan volume konsumsi air. Pemilihan model ARIMA terbaik dari data konsumsi air menjadi langkah awal dalam pemodelan fungsi transfer. Dalam pemodelan ARIMA, prosedur awal yang harus dilakukan adalah mengecek kestasioneran data. Pada Box-Cox Plot diperoleh hasil nilai rounded value sebesar 1, artinya data sudah stasioner terhadap varians. Selain itu data juga telah stasioner terhadap mean yang dilihat berdasarkan nilai dari p_value dicky fuller sebesar 0,08527 yang lebih besar dari alpha 5%.
5 Plot ACF juga mendukung pernyataan tersebut yang ditunjukkan dengan lag-lag yang turun secara lambat. Berdasarkan plot ACF dan PACF dari data konsumsi air setelah dilakukan differencing dihasilkan beberapa dugaan model yaitu ARIMA (0,1,1[6]), ARIMA ([6],1,1), dan ARIMA ([6],1,0). Ketiga dugaan model tersebut selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi parameter serta residual white noise. Pengujian signifikansi parameter dari ketiga model ditampilkan pada Tabel 4. Model ARIMA (0,1,1[6])
Tabel 4. Pengujian Signifikansi dan Residual White Noise Para- p_value Lag p_value meter 0,0001 6,12,18,2 0,6502; 0,0637; 0,2740; 0,0451 4 0,0847
ARIMA ([6],1,1)
0,0001 0,0001
6,12,18,2 4
0,6191; 0,0728; 0,2500 ;0,0949
ARIMA ([6],1,0)
0,0025
6,12,18,2 4
0,0020; 0,0002; 0,0023 ;0,0006
Tabel 5. Pengujian Signifikansi dan Residual White Noise Orde b=24 r=0 s=0 Model Para- p_value Lag p_value meter 0,0001 6,12,18,2 0,9139; 0,3676; 0,2775; ARIMA 0,0004 4 0,2177 (0,0,1) 0,0041 6,12,18,2 0,4917; 0,3389; 0,3571; ARIMA 0,0001 4 0,3058 ([12],0,1) 0,0101 0,0016 6,12,18,2 0,1636; 0,4197; 0,3945 ARIMA 0,0451 4 ;0,4527 ([1,10,12] 0,0012 ,0,0) 0,0116
Pada Tabel 5 menunjukkan bahwa model pada orde b=22 r=0 s=0 dan orde b=24 r=0 s=0 setelah ditambah komponen noise, telah signifikan secara statistik yang ditunjukkan dengan nilai p_value yang kurang dari alpha 5%. Sedangkan untuk pengujian residual white noise menunjukkan bahwa semua p_value dari setiap lag bernilai lebih besar dari alpha 5% artinya residual telah white noise. Tahapan berikutnya adalah pengujian kenormalan residual pada kedua orde model. Dan diperoleh hasil nilai p_value sebesar 0,0796 untuk orde b=22 r=0 s=0 dan 0,1500 pada semua orde b=24 r=0 s=0. . Artinya residual data pada kedua orde telah mengikuti distribusi normal. Tahapan terakhir sebelum dilakukan pemilihan model terbaik adalah pengujian crosscorrelation antara residual (at) dengan deret input (α2t), yaitu volume konsumsi air. Dan didapatkan hasil bahwa model pada orde b=22 r=0 s=0 tidak memenuhi asumsi white noise,karena salah satu p_value nya kurang dari alpha 5% (0,0148;0,1587; 0,2034; 0,4504) sehingga model tersebut tidak dilanjutkan pada tahapan pemilihan model terbaik, karena salah satu asumsinya tidak terpenuhi. Model terbaik yang dipilih berdasarkan kriteria AIC dan RMSE adalah model dengan orde b=24 r=0 s=0 dengan komponen noise ARIMA (0,0,1). Persamaan matematis dari model terbaik disajikan sebagai berikut.Dimana yt=Yt-Yt-1 dan xt-24 = Xt-24 – Xt-25 hal ini disebabkan karena data volume konsumsi air mengalami proses differencing non musiman pada lag-1, sehingga model akhir yang didapat adalah Yt=0,40893X(t-24)-0,40893X(t-25)+Y(t-1)+at-0,71523a(t-1) Artinya volume produksi air PDAM Kabupaten Bojonegoro bulan ini dipengaruhi oleh volume produksi pada 1 bulan sebelumnya serta volume konsumsi air pada 24 dan 25 bulan sebelumnya.
Berikutnya dari hasil pengujian signifikansi parameter, dapat diketahui bahwa seluruh parameter pada model telah signifikan yang dibuktikan dengan nilai p_value yang lebih kecil daripada alpha 5%. Sedangkan untuk uji residual white noise didapat p_value pada model ARIMA ([6],1,0) bernilai lebih kecil daripada alpha 5%, sehingga dapat diketahui bahwa model ARIMA ([6],1,0) residualnya tidak white noise. Selanjutnya dari kedua model yang memenuhi semua asumsi yang dibutuhkan didapatkan salah satu model terbaik berdasarkan nilai dari kriteria AIC paling kecil yaitu model ARIMA ([6],1,1). Tahapan berikutnya adalah melakukan prewhitening pada deret input dan output dari model ARIMA ([6],1,1). Dan dilanjutkan dengan pendugaan model fungsi transfer melalui crosscorrelation plot antara deret input (α2t) dan output (β2t). Melalui crosscorrelation plot, diperoleh beberapa dugaan model berbdasarkan beberapa lag yang signifikan yaitu model dengan orde b=22 r=0 s=0 dan orde b=24 r=0 s=0. Prosedur berikutnya adalah pengujian signifikansi parameter pada kedua orde. Dan diperoleh hasil bahwa kedua orde telah signifikan secara statistik. Hal ini diketahui berdasarkan nilai p_value sebesar 0,0338 untuk orde b=22 r=0 s=0 dan 0,0387 untuk orde b=24 r=0 s=0. Kedua dugaan model yang parameternya telah signifikan secara statistik tersebut perlu dilakukan identifikasi komponen noise melalui pengujian white noise. Setelah dilakukan analisis diperoleh hasil bahwa model pada orde b=24 r=0 s=0 perlu ditambahkan komponen noise, D. Model Fungsi Transfer Multi Input Prosedur yang dipakai sebagai langkah awal dalam karena beberapa p_value nya bernilai kurang dari alpha 5% pemodelan fungsi transfer multi input adalah identifikasi nilai yaitu 0,1830;0,0262; 0,0307;0,0202. b,r,s secara serentak pada kedua input yang sebelumnya telah Penambahan komponen noise dilakukan dengan membentuk dihasilkan pada model fungsi transfer single input. Beberapa model ARIMA yang diduga melalui plot ACF dan PACF. dugaan model fungsi transfer multi input yang dihasilkan adaBerdasarkan plot PACF dan ACF yang telah dihasilkan, lah b= 23 r=0 s=0 untuk X1 dan b= 24 r=0 s=0 untuk X2, b= diperoleh beberapa dugaan model yaitu ARIMA (0,0,1), 23 r=0 s=0 untuk X dan b=0 r=0 s=[11] untuk X2 serta b=0 1 ARIMA ([12],0,1), dan ARIMA ([1,10,12],0,0). Beberapa r=0 s=0 untuk X dan b=0 r=0 s=[22] untuk X2. Prosedur 1 dugaan model tersebut akan dilakukan uji signifikansi selanjutnya yaitu pengujian signifikan parameter pada ketiga parameter, residual white noise, serta kenormalan residual. dugaan model, dan hasil yang didapatkan adalah model dengan Hasil dari pengujian signifikansi parameter dan residual white orde b=0 r=0 s=0 untuk X dan b=0 r=0 s=[22] untuk X2, 1 noise ditampilkan pada Tabel 5. parameternya tidak signifikan secara statistik, karena nilai
6 p_value yang diperoleh sebesar 𝝎01=0,692, 𝝎02=0,0009, 𝝎22=0,0149. Kedua model yang parameternya telah signifikan secara statistik akan dilanjutkan dengan identifikasi komponen noise. Berdasarkan hasil identifikasi komponen noise dapat diketahui bahwa model pada orde b=23 r=0 s=0 dan b=24 r=0 s=0 harus ditambahkan komponen noise karena beberapa nilai p_value nya bernilai kurang dari alpha 5% (0,3050; 0,0356; 0,0797; 0,0279). Identifikasi komponen noise diduga melalui plot ACF dan PACF. Dugaan dari komponen noise untuk model dengan orde b=23 r=0 s=0 dan b=24 r=0 s=0 adalah model ARIMA([10],0,1), ARIMA(0,0,1[10]), dan ARIMA([22],0,1). Tabel 6 menunjukkan hasil pengujian asumsi dari setiap model yang telah ditambah komponen noise. Tabel 6. Hasil Pengujian Asumsi Orde b=23 r=0 s=0 b=23 r=0 s=0 setelah Ditambah Komponen Noise Model Para- p_value Lag p_value p_value KS meter 0,0001 6 0,5665 ARIMA 0,0199 12 0,9122 ([10],0,1) 0,1500 0,0001 18 0,5176 0,0001 24 0,3997 0,0027 6 0,3343 ARIMA 0,0256 12 0,5774 (0,0,1[10]) 0,1500 0,0033 18 0,3400 0,0001 24 0,3303 0,0001 6 0,6764 ARIMA 0,0179 12 0,5060 ([22],0,1) 0,1500 0,0017 18 0,3699 0,0001 24 0,4660
Berdasarkan Tabel 6 dapat diketahui bahwa semua parameter pada model telah signifikan secara statistik, residual pada model juga telah white noise dan berdistribusi normal. Begitu pula untuk model pada orde b=23 r=0 s=0 dan b=24 r=0 s=[11] residualnya telah memenuhi asumsi normal. Hal tersebut ditunjukkan melalui nilai p_value sebesar 0,1500 yang lebih besar daripada alpha 5%. Pengujian terakhir adalah crosscorrelation, dan diperoleh hasil semua dugaan model telah memenuhi asumsi yang dapat dibuktikan melalui nilai p_value yang lebih besar dari alpha 5%. Setelah semua asumsi terpenuhi dapat dilakukan pemilihan model terbaik. Dan diperoleh hasil bahwa model pada orde b=23 r=0 s=0 dan b=24 r=0 s=0 dengan komponen noise ARIMA ([10],0,1) merupakan model terbaik karena memiliki nilai RMSE paling minimum yaitu sebesar 4193,226. Model matematis dari model terbaik, dimana yt=Yt-Yt-1 dan xt-23 = Xt-23 – Xt-24, serta xt-24 = Xt-24 – Xt-25 hal ini disebabkan karena data jumlah pelanggan dan volume konsumsi air mengalami proses differencing non musiman pada lag-1, sehingga model akhir yang didapat adalah Yt=39,3694X(1t-23)+39,3694X(1t-24)+13,0667X(1t34)+13,0667X(1t-34)-0,5583X(2t-24)-0,5583X(2t-25)+0,1853X(2t34)-0,1853X(2t-35)+Y(t-1)-0,33129Y(t-10)+0,33129Y(t11)+at+0,81977a(t-1)-0,33129a(t-10)-0,2721a(t-11) Artinya volume produksi air PDAM Kabupaten Bojonegoro bulan ini dipengaruhi oleh volume produksi pada 1,10, dan 11 bulan sebelumnya. Jumlah pelanggan pada 23,24,33,dan 34 bulan sebelumnya juga ikut mempengaruhi volume produksi air pada bulan ini, serta volume konsumsi air
pada 24, 25, 34, dan 35 bulan sebelumnya juga mempengaruhi volume produksi air pada bulan ini. Model yang dipakai untuk peramalan merupakan model terbaik yang dipilih berdasarkan kriteria RMSE out sample. Dan setelah dihitung nilai RMSE dapat diketahui bahwa model terbaik yang dipakai untuk meramalkan produksi air untuk beberapa periode ke depan adalah model fungsi transfer multi input, dengan nilai RMSE sebesar 4193,226. V. KESIMPULAN 1. Berdasarkan model ARIMA dapat diketahui bahwa volume produksi air bulan ini dipengaruhi oleh volume produksi air pada 1 dan 11 bulan sebelumnya. 2. Model terbaik yang dipilih adalah multi input, dan dapat diketahui bahwa volume produksi air PDAM Kabupaten Bojonegoro bulan ini dipengaruhi oleh volume produksi pada 1,10, dan 11 bulan sebelumnya. Jumlah pelanggan pada 23,24,33,dan 34 bulan sebelumnya, serta volume konsumsi air pada 24, 25, 34, dan 35 bulan sebelumnya. 3. Hasil peramalan volume produksi air berdasarkan model terbaik untuk 12 periode ke depan menunjukkan bahwa volume produksi air paling tinggi terjadi pada bulan November 2014, sedangkan pada bulan Maret 2014 volume produksi airnya paling rendah DAFTAR PUSTAKA [1] Ayu. 2011. Fungsi dan Peran Air Bagi Kehidupan Manusia. http:/-/www.artikellingkung-anhidup.com/manfaat-air-bagikehidupan-manusia.html. Diakses tanggal 10 Desember 2013, pukul 11.05 WIB. [2] [PDAM Bjn] Perusahaan Daerah Air Minum Bojonegoro. 2013. Latar Belakang Berdirinya PDAM Bojonegoro. Artikel yang diakses dari http://pdambjn.co.id/ pada Minggu, 23 Desember 2013, pukul 16.37 WIB. [3] Habibi, A.M. 2013. Studi Perencanaan Jaringan Distribusi Air Bersih PDAM untuk Memenuhi Kebutuhan Air Bersih di Kecamatan Ngasem Kabupaten Bojonegoro, Laporan Tugas Akhir, Teknik Sipil-UMM, Malang. [4] Agustina, D.V. 2007. Analisa Kinerja Sistem Distribusi Air Bersih PDAM Kecamatan Banyumanik di Perumnas Banyumanik, Tesis, Magister Teknik Sipil-Universitas Diponegoro, Semarang. [5] Bowerman, B.L, dan O’Connell, R.T., 1993. Forecasting and Time Series: An Applied Approach 3rd edition. California: Duxbury Press. [6] Nurina, D.L. 2013. Peramalan Volume Pemakaian Air Sektor Rumah Tangga di Kabupaten Gresik dengan Menggunakan Fungsi Transfer. Jurnal Sains dan Seni Pomits.2(2) : 260-264 [7] Nurina, D.L. 2013. Peramalan Volume Pemakaian Air Sektor Rumah Tangga di Kabupaten Gresik dengan Menggunakan Fungsi Transfer. Jurnal Sains dan Seni Pomits.2(2) : 260-264 [8] Makridakis, S., Steven, C.W., & Victor, E.M.1999. Jilid 1 Edisi Kedua, Terjemahan Ir. Hari Suminto. Metode dan Aplikasi Peramalan, Jakarta : Bina Rupa Aksara. [9] Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. United States : Pearson Education, Inc. [10] Abraham, B., & Johannes, L. 1983. Statistical Method for Forecasting. John Willey and Sons, Inc., Canada
