A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a

1.

A csoport fogalma

1.1.

Szimmetri´ ak lesz´ aml´ al´ asa

A szimmetri´ ak tanulm´ anyoz´ asa természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalm´ ahoz. Ezt a k¨ ovetkez˝ o elemi geometriai kérdés megv´ alaszol´ as´ aval szemléltetj¨ uk: H´ any olyan egybev´ ag´ os´ aga van a térnek, ami saj´ atmag´ aba visz egy r¨ ogz´ıtett kock´ at? Jel¨ olje G a tér azon egybev´ ag´ os´ againak halmaz´ at, amelyek saj´ atmag´ aba viszik a kijel¨ olt kock´ at. Egybev´ ag´ os´ agon a tér saj´ atmag´ aba men˝ o t´ avols´ agtart´ o leképezését értj¨ uk. Egybev´ ag´ os´ agoknak képezhetj¨ uk a kompoz´ıci´ oj´ at, tov´ abb´ a egy egybev´ ag´ os´ agnak – bijekt´ıv leképezés lévén – van inverze, ami szintén egybev´ ag´ os´ ag. Nyilv´ anval´ o, hogy f, g ∈ G esetén f ◦ g ∈ G és f −1 ∈ G. Sz´ amozzuk meg a kocka cs´ ucsait az 1, . . . , 8 sz´ amokkal. Oszt´ alyozzuk G elemeit aszerint, hogy hova viszik az 1 cs´ ucsot. Legyen G1 = {g ∈ G | g(1) = 1}. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy tetsz˝ oleges i cs´ ucshoz létezik olyan fi ∈ G, amire fi (1) = i (ugyanis egy r¨ ogz´ıtett lapon bel¨ ul a lapk¨ ozépponton a ´tmen˝ o, a lapra mer˝ oleges egyenes k¨ or¨ uli 90 fokos forgat´ asokkal ak´ armelyik cs´ ucsot ak´ armelyikbe el tudjuk vinni, a kocka k¨ ozéppontj´ ara val´ o t¨ ukr¨ ozés pedig a laphoz tartoz´ o négy cs´ ucsot kicseréli a m´ asik négy cs´ ucsra). K¨ onny˝ u bel´ atni, hogy G azon elemeinek halmaza, amelyek az 1 cs´ ucsot i-be viszik f i ◦ G1 := {fi ◦ h | h ∈ G1 }. (Val´ oban, tegy¨ uk fel, hogy g(1) = i. Ekkor g(1) = fi (1), teh´ at fi−1 (g(1)) = 1, azaz h = fi−1 ◦ g eleme G1 -nek, ´ıgy g = fi ◦ h ∈ fi ◦ G1 . Ford´ıtva, ha g = fi ◦ h valamely h ∈ G1 -re, akkor g(1) = (fi ◦ h)(1) = fi (h(1)) = fi (1) = i.) Tov´ abb´ a fi ◦ G1 elemsz´ ama megegyezik G1 elemsz´ am´ aval, hiszen az ¨ fi ◦ g = fi ◦ h (g, h ∈ G1 ) egyenl˝ oséget balr´ ol fi−1 -zel kompon´ alva kapjuk, hogy g = h. Osszefoglalva azt S aronként diszjunkt, |G1 | elemsz´ am´ u részhalmazokkal val´ o befedése G-nek. kaptuk, hogy G = 8i=1 fi ◦ G1 p´ K¨ ovetkezésképpen |G| = 8|G1 |. Most m´ ar elég G1 elemsz´ am´ at meghat´ arozni. Alkalmazzuk u ´jra az el˝ oz˝ o gondolatmenetet: legyenek az 1 cs´ ucs szomszédai a 2, 3, 4 cs´ ucsok. Oszt´ alyozzuk G1 elemeit aszerint, hogy hova viszik a 2-es cs´ ucsot. Mivel 1 fixen marad, a szomszédai egym´ as k¨ ozt permut´ al´ odnak. M´ asfel˝ ol az 1 cs´ ucson a ´tmen˝ o test´ atl´ o k¨ or¨ uli 120 fokos forgat´ asokkal 2 elvihet˝ o a 2, 3, 4 mindegyikébe. Ezért ugyan´ ugy, mint fenn, kapjuk, hogy |G1 | = 3|G1,2 |, ahol G1,2 = {g ∈ G1 | g(2) = 2}. Az 1, 2 cs´ ucsokat helybenhagy´ o egybev´ ag´ os´ ag 3, 4-et egym´ as k¨ ozt permut´ alja, m´ asfel˝ ol az 12 élen és a kocka k¨ ozéppontj´ an a ´tmen˝ o s´ıkra val´ o t¨ ukr¨ ozés val´ oban kicseréli a 3, 4 cs´ ucsokat. Ezért az el˝ obbiekhez hasonl´ o érveléssel kapjuk, hogy |G1,2 | = 2|G1,2,3 |, ahol G1,2,3 = {g ∈ G1,2 | g(3) = 3}. Viszont G tetsz˝ oleges eleme fix´ alja a kocka k¨ ozéppontj´ at, ´ıgy G 1,2,3 elemei fixen hagynak négy nem egys´ık´ u pontot. Elemi geometri´ abol tudjuk, hogy ilyen egybev´ ag´ os´ ag csak egy van, az identit´ as. Teh´ at az eredeti kérdésre a v´ alasz: |G| = 8 · |G1 | = 8 · 3 · |G1,2 | = 8 · 3 · 2 · |G1,2,3 | = 8 · 3 · 2 · 1 = 48. A kés˝ obbi absztrah´ al´ as érdekében megjegyezz¨ uk, hogy az el˝ obbi sz´ amol´ asban a k¨ ovetkez˝ oket haszn´ altuk ki lényegesen: • G elemeinek lehet a kompoz´ıci´ oj´ at képezni; • A kompoz´ıcı´ o képzése asszociat´ıv; • Az identikus leképezés benne van G-ben; • B´ armely G-beli leképezés inverze benne van G-ben. Ezenk´ıv¨ ul hivatkoztunk arra is, G elemei permut´ alj´ ak egy véges halmaz (a cs´ ucsok halmaza) elemeit.

1.2.

Absztrakt csoportok

Defin´ıci´ o 1.2.1 Legyen G egy halmaz, amelyen adott egy kétv´ altoz´ os m˝ uvelet, azaz adott egy G × G → G leképezés. Az (a, b) ∈ G × G p´ ar képét jel¨ olje a · b, és nevezz¨ uk ezt az elemet a és b szorzat´ anak. Azt mondjuk, hogy G a · m˝ uveletre nézve csoportot alkot, ha teljes¨ ulnek a k¨ ovetkez˝ ok: (i) A m˝ uvelet asszociat´ıv, azaz tetsz˝ oleges a, b, c ∈ G esetén (a · b) · c = a · (b · c).

1

(ii) Létezik egységelem G-ben, azaz létezik egy olyan elem G-ben –jel¨ olje ezt az elemet 1–, amelyre fenn´ all, hogy tetsz˝ oleges a ∈ G esetén 1 · a = a · 1. (iii) G minden elemének van inverze, azaz tetsz˝ oleges a ∈ G elemhez létezik egy olyan elem –jel¨ olje ezt az elemet a−1 –, amelyre a · a−1 = 1 = a−1 · a. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a fenti axi´ om´ akb´ ol k¨ ovetkezik az egységelem és az inverz egyértelm˝ usége. Hagyom´ anyos elnevez´ esek ´ es jel¨ ol´ esek: 1. Azt mondjuk, hogy G Abel-csoport, ha a m˝ uvelet kommutat´ıv, azaz tetsz˝ oleges a, b ∈ G esetén a · b = b · a. Abel-csoport esetén szok´ as a m˝ uveletet o ¨sszead´ asnak nevezni és + jellel jel¨ olni. Ezen addit´ıv ´ır´ asm´ od esetén az egységelem bevett elnevezése nullelem, az inverz elnevezése ellentett, jele −a. 2. Hacsak nem lesz r´ a k¨ ul¨ on okunk, mi csoportr´ ol beszélve a 1.2.1 Defin´ıci´ oban haszn´ alt u ń. multiplikat´ıv ´ır´ asm´ odot alkalmazzuk. Gyakran elhagyjuk a m˝ uvelet jelét, és a · b helyett ab-t ´ırunk. P´ eld´ ak. I. A V euklideszi tér egybev´ ag´ os´ agai a kompoz´ıci´ o m˝ uveletével, jel¨ olje ezt a csoportot O(V ). Itt az egységelem az identikus leképezés, és egy elem csoportbeli inverze egybeesik a leképezéskénti inverzével. II. A tér azon egybev´ ag´ os´ agai, amelyek saj´ atmag´ aba visznek egy r¨ ogz´ıtett kock´ at. III. Szimmetrikus csoport: Tetsz˝ oleges X halmaz esetén jel¨ olje S(X) az X halmaz o ¨sszes permut´ aci´ oinak (azaz az X → X bijekci´ oknak) a halmaz´ at. S(X) csoportot alkot a kompoz´ıci´ o m˝ uveletére nézve, egységelem az identikus permut´ aci´ o, csoportbeli inverz a leképezéskénti inverz. Speci´ alis eset: az n-edfok´ u szimmetrikus csoport Sn = S({1, . . . , n}). Pl. legyen n = 6, ekkor S6 1 2 3 4 5 6 , ahol az i alatti sz´ am π(i). K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy tetsz˝ oleges egy eleme π = 4 2 1 3 6 5 permut´ aci´ o felbonthat´ o – a tényez˝ ok sorrendjét˝ ol eltekintve egyértelm˝ uen – p´ aronként diszjunkt elemhalmazokat mozgat´ o ciklusok szorzataként. Péld´ aul π = (1 4 3) · (5 6), ahol (i 1 · · · id ) jel¨ oli azt a permut´ aci´ ot, amelynél az i1 képe i2 , i2 képe i3 , stb., id képe i1 , és az alaphalmaz t¨ obbi eleme fixen marad (az ilyen permut´ aci´ o neve d-ciklus). IV. (C∗ , ·), azaz a nem-nulla komplex sz´ amok a szorz´ assal. Defin´ıci´ o 1.2.2 Legyen G csoport, és H nem-¨ ures részhalmaz G-ben. Ha tetsz˝ oleges a, b ∈ H esetén a · b ∈ H és a−1 ∈ H, akkor a G-beli m˝ uvelet megszor´ıthat´ o H-ra, és ´ıgy csoportot kapunk. Ilyenkor azt mondjuk, hogy H részcsoport G-ben (jele: H ≤ G). Péld´ aul, legyen X a tér pontjainak halmaza. Ekkor az I. pontban szerepl˝ o csoport, a tér egybev´ ag´ os´ againak csoportja részcsoport S(X)-ben. A II. pontban szerepl˝ o csoport pedig egy véges részcsoport a tér egybev´ ag´ os´ againak csoportj´ aban. Defin´ıci´ o 1.2.3 Legyen A tetsz˝ oleges részhalmaz G-ben. Ekkor az A elemeib˝ ol és inverzeikb˝ ol képzett véges szorzatok nyilv´ anval´ oan részcsoportot alkotnak G-ben, ez az A a ´ltal gener´ alt részcsoport, jele: hAi. Azt mondjuk, hogy az A gener´ alja G-t, ha hAi = G. Speci´ alisan, egyetlen g elem a ´ltal gener´ alt (rész)csoport: hgi = {. . . , g −2 , g −1 , 1, g, g 2 , g 3 , . . .} Az egyetlen elem a ´ltal gener´ alt csoportokat ciklikusnak nevezz¨ uk. Ha g i = g j csak i = j esetén a ´ll fenn, akkor végtelen ciklikus csoportot kapunk. Ezek ”ugyanolyanok” (ennek jelentését mindj´ art prec´ızen megfogalmazzuk), mint (Z, +) azaz az egész sz´ amok a szok´ asos o ¨sszead´ asra nézve. Amennyiben van olyan i < j hogy g i = g j , akkor ezt az egyenl˝ oséget (g i )−1 = g −i -vel szorozva nyerj¨ uk, hogy g j−i = 1. Jel¨ olje n n a legkisebb olyan pozit´ıv egészet, amelyre g = 1. Ekkor hgi = {g, g 2 , . . . , g n−1 , g n = 1} n elem˝ u ciklikus csoport. o ¨sszead´ assal.

Ez olyan, mint (Z/n, +), azaz a modulo n maradékoszt´ alyok a szok´ asos

Defin´ıci´ o 1.2.4 Egy g ∈ G csoportelem rendje o(g) = |hgi|. 2

A rend szerepét mutatja az al´ abbi trivi´ alis a ´ll´ıt´ as: ´ ıt´ All´ as 1.2.5 Legyen g véges rend˝ u elem a G csoportban. Ekkor valamely n egészre g n = 1 akkor és csak akkor teljes¨ ul, ha o(g) oszt´ oja n-nek. Az 1.1 alfejezetben szerepl˝ o csoport elemeit beosztottuk azonos elemsz´ am´ u részhalmazokba. Ez a fajta oszt´ alyoz´ as megfogalmazhat´ oa ´ltal´ aban, tetsz˝ oleges csoport esetén. Legyen H részcsoport a G csoportban, g ∈ G. A g elem H szerinti baloldali mellékoszt´ alya gH := {gh | h ∈ H}. Mivel 1 ∈ H, ezért g ∈ gH, azaz minden elem benne van az o ˝ baloldali melékoszt´ aly´ aban. Ford´ıtva, az is igaz, hogy egy baloldali mellékoszt´ aly képviselhet˝ o b´ armelyik elemével, azaz ha f ∈ gH, akkor f H = gH. Val´ oban, el˝ osz¨ or nézz¨ uk meg az 1 mellékoszt´ aly´ at, azaz H-t. Legyen h ∈ H, ekkor hH = {hh0 | h0 ∈ H} ⊆ H, mivel H részcsoport. M´ asfel˝ ol tetsz˝ oleges h0 ∈ H fel´ırhat´ o h(h−1 h0 ) alakban, és h−1 h0 ∈ H miatt kapjuk, hogy h0 ∈ hH. Teh´ at hH = H tetsz˝ oleges h ∈ H esetén. Legyen most f ∈ gH, azaz f = gh valamely h ∈ H-ra. Ekkor f H = (gh)H = g(hH) = gH. Bel´ attuk teh´ at, hogy két H szerinti baloldali mellékoszt´ aly vagy diszjunkt, vagy egybeesik (ui. tegy¨ uk fel, hogy x ∈ gH ∩ f H, akkor gH = xH = f H). Teh´ at a H szerinti baloldali mellékoszt´ alyok p´ aronként diszjunkt részhalmazokkal val´ o befedését adj´ ak G-nek. A H szerinti baloldali mellékoszt´ alyok sz´ am´ at H indexének nevezz¨ uk, és [G : H]-val jel¨ olj¨ uk. Ebb˝ ol az egyszer˝ u észrevételb˝ ol azonnal er˝ os aritmetikai feltételt kapunk egy véges csoport részcsoportj´ anak elemsz´ am´ ara: T´ etel 1.2.6 (Lagrange t´ etele) Legyen G véges csoport. Ekkor G b´ armelyik H részcsoportj´ anak elemsz´ ama oszt´ oja G elemsz´ am´ anak. Pontosabban sz´ olva, fenn´ all a |G| = |H| · [G : H] egyenl˝ oség. Bizony´ıt´ as. Legyen H részcsoport G-ben, és tekints¨ unk egy gH baloldali mellékoszt´ alyt. Mivel a gh 1 = gh2 egyenl˝ oségb˝ ol (balr´ ol g −1 -zel szorozva) k¨ ovetkezik h1 = h2 , azért a g-vel val´ o balr´ ol szorz´ as megad egy H → gH bijekci´ ot, ´ıgy |gH| = |H|. Teh´ at a H szerinti baloldali mellékoszt´ alyok [G : H] darab, p´ aronként diszjunkt, |H| elemsz´ am´ u részhalmazzal val´ o befedését adj´ ak G-nek, k¨ ovetkezésképpen |G| = |H| · [G : H]. K¨ ovetkezm´ eny 1.2.7 Véges csoport tetsz˝ oleges elemének a rendje oszt´ oja a csoport elemsz´ am´ anak. Térj¨ unk vissza az I. Péld´ aban szerepl˝ o O csoporthoz. A tér egybev´ ag´ os´ agaihoz szok´ as el˝ ojelet rendelni. Legyen sgn : O → {1, −1} az a leképezés, amelyik az ir´ any´ıt´ astart´ o egybev´ ag´ os´ agokhoz (mozg´ asokhoz) 1-et, az ir´ any´ıt´ asv´ alt´ okhoz −1-et rendel. A {−1, 1} halmaz is csoport a szok´ asos szorz´ assal (részcsoportja a IV. Péld´ aban szerepl˝ o csoportnak). A sgn leképezés j´ ol ismert alapvet˝ o tulajdons´ aga, hogy b´ armely két elem szorzat´ anak képe a képek szorzata, azaz pl. ir´ any´ıt´ asv´ alt´ o egybev´ ag´ os´ agok kompoz´ıci´ oja ir´ any´ıt´ astart´ o, stb. Kimondatlanul b´ ar, de lényeges szerepet j´ atszottak az 1.1 alfejezetben is csoportok k¨ oz¨ otti m˝ uvelettart´ o leképezések. Legyen G az ott szerepl˝ ocsoport, és legyen φ : G → S 8 az a leképezés, ami egy a kock´ at saj´ atmag´ aba képez˝ o egybev´ ag´ os´ aghoz hozz´ arendeli azt a permut´ aci´ ot, ahogyan g permut´ alja az {1, 2, . . . , 8} cs´ ucsokat. Vil´ agos, hogy egybev´ ag´ os´ agok kompoz´ıci´ oja u ´gy permut´ alja a cs´ ucsokat, ahogyan a megfelel˝ o permut´ aci´ ok kompoz´ıci´ oja. Defin´ıci´ o 1.2.8 Egy φ : G → H csoportok k¨ oz¨ otti leképezést homomorfizmusnak nevez¨ unk, ha m˝ uvelettart´ o, azaz tetsz˝ oleges a, b ∈ G esetén fenn´ all, hogy φ(a · b) = φ(a) · φ(b). A φ homomorfizmust izomorfizmusnak nevezz¨ uk, ha injekt´ıv és sz¨ urjekt´ıv. Azt mondjuk, hogy G és H csoportok izomorfak, ha létezik G → H izomorfizmus. Legyen φ : G → H homomorfizmus. A defin´ıci´ okb´ ol azonnal ad´ odik, hogy φ(1 G ) = 1H és φ(g −1 ) = −1 −1 −1 φ(g) . Tov´ abb´ a, φ(a) = φ(b) ⇔ φ(a) φ(b) = 1 ⇔ φ(a b) = 1. A ker(φ) := {g ∈ G | φ(g) = 1} G-beli részhalmazt a φ magj´ anak, m´ıg az im(φ) := {h ∈ H | ∃g ∈ G : φ(g) = h} H-beli részhalmazt a φ képének nevezz¨ uk. Nyilv´ anval´ o, hogy im(φ) részcsoport H-ban és ker(φ) részcsoport G-ben. S˝ ot, ker(φ) rendelkezik egy olyan tulajdons´ aggal is, ami nem teljes¨ ul minden részcsoportra. Nevezetesen, ha φ(g) = 1, akkor tetsz˝ oleges x ∈ G esetén φ(xgx−1 ) = φ(x)φ(g)φ(x−1 ) = φ(x) · 1 · φ(x)−1 = 1. 3

Defin´ıci´ o 1.2.9 Legyen N részcsoport a G csoportban. Azt mondjuk, hogy N norm´ aloszt´ o (vagy norm´ alis részcsoport) G-ben (jele: N / G), ha tetsz˝ oleges n ∈ N és g ∈ G esetén gng −1 is benne van N -ben. Ezen fogalom bevezetése ut´ an az el˝ obbi meggondol´ asunk a k¨ ovetkez˝ oképpen fogalmazhat´ o: ´ ıt´ All´ as 1.2.10 Homomorfizmus magja norm´ aloszt´ o, azaz tetsz˝ oleges φ : G → H homomorfizmusra ker(φ)/ G. A H részcsoport szerinti baloldali mellékoszt´ alyokhoz hasonl´ oan defini´ alhatjuk a jobboldali mellékoszt´ alyokat is: a g ∈ G elem H szerinti jobboldali mellékoszt´ alya Hg := {hg | h ∈ H}. A norm´ aloszt´ os´ ag tulajdons´ aga u ´gy is jellemezhet˝ o, hogy tetsz˝ oleges elem baloldali illetve jobboldali mellékoszt´ alya megegyezik (a kérdéses részcsoport szerint): ´ ıt´ All´ as 1.2.11 A G csoport N részcsoportj´ ara az al´ abbiak ekvivalensek: (i) N norm´ aloszt´ o G-ben. (ii) Tetsz˝ oleges g ∈ G-re gN = N g. Bizony´ıt´ as. (i) ⇒ (ii): gN = {gn | n ∈ N } = {(gng −1 )g | n ∈ N } ⊆ N g. Hasonl´ oan kapjuk, hogy N g ⊆ gN . (ii) ⇒ (i): Tetsz˝ oleges n ∈ N esetén gn ∈ gN = N g, teh´ at van olyan n0 ∈ N , amelyre gn = n0 g. Innen −1 0 gng = n ∈ N , ´ıgy N / G. Legyen N /G, és g1 N , g2 N két N szerinti melékoszt´ aly. Vegy¨ unk egy-egy elemet mindkét mellékoszt´ alyb´ ol: g10 = g1 n1 és g20 = g2 n2 , ahol n1 , n2 ∈ N . Képezz¨ uk a szorzatukat: g10 g20 = (g1 n1 )(g2 n2 ) = g1 (n1 g2 )g2 = g1 (g2 (g2−1 n1 g2 ))n2 = (g1 g2 )(n01 n2 ) ∈ (g1 g2 )N . Azt kaptuk teh´ at, hogy r¨ ogz´ıtve két N szerinti mellékoszt´ alyt, b´ armely két bel˝ ol¨ uk vett elemp´ ar szorzat´ anak ugyanaz az N szerinti mellékoszt´ alya. Ezért értelmes a k¨ ovetkez˝ o defin´ıci´ o: Defin´ıci´ o 1.2.12 Legyen N norm´ aloszt´ o G-ben. A G/N factorcsoport elemei az N szerinti mellékoszt´ alyok, és az aN , bN mellékoszt´ alyok szorzata (aN ) · (bN ) := abN. (Az el˝ obbi megfigyelés¨ unk szerint abN csak az a és b N szerinti mellékoszt´ aly´ at´ ol f¨ ugg.) Vil´ agos, hogy G/N a megadott m˝ uvelettel csoport; az egységelem az N mellékoszt´ aly, m´ıg az aN mellékoszt´ aly inverze a−1 N . P´ elda. Legyen G = Z, az egész sz´ amok addit´ıv csoportja, és n pozit´ıv egész. Jel¨ olje nZ az n-nel oszthat´ o egészek halmaz´ at. K¨ onny˝ u ellen˝ orizni, hogy nZ részcsoport Z-ben, s˝ ot, minthogy Z Abel-csoport, nZ automatikusan norm´ aloszt´ o. Így képezhetj¨ uk az Z/nZ faktorcsoportot. Ez nem m´ as, mint a modulo n maradékoszt´ alyok addit´ıv csoportja. A faktorcsoport defin´ıci´ oj´ ab´ ol azonnal k¨ ovetkezik, hogy az η : G → G/N , g 7→ gN leképezés sz¨ urjekt´ıv homomorfizmus, és ker(η) = N . Ezt a homomorfizmust természetes homomorfizmusnak szok´ as nevezni. Az al´ abbi a ´ll´ıt´ as azt mondja, hogy bizonyos értelemben minden csoporthomomorfizmus ilyen: ´ ıt´ All´ as 1.2.13 (Homomorfizmus-t´ etel) Legyen φ : G → H homomorfizmus. Akkor im(φ) ∼ = G/ ker(φ). Bizony´ıt´ as. Kor´ abban m´ ar meggondoltuk, hogy két G-beli elemnek akkor és csak akkor ugyanaz a képe, ha megegyezik a ker(φ) szerinti mellékoszt´ alyuk. Így tetsz˝ oleges h ∈ im(φ) esetén φ−1 (h) egy ker(φ) szerinti mellékoszt´ aly. Tekints¨ uk az α : im(φ) → G/ ker(φ), h 7→ φ−1 (h) leképezést. A φ m˝ uvelettart´ os´ ag´ ab´ ol ad´ odik, hogy α homomorfizmus. Trivi´ alis, hogy α bijekt´ıv, azaz α izomorfizmus.

4

1.3.

Csoporthat´ asok

Egy tér szimmetri´ ain azon o ¨nmag´ ara val´ o bijekt´ıv leképezéseit szoktuk érteni, amelyek meg˝ oriznek – az adott k¨ ornyezetben lényegesnek min˝ os¨ ul˝ o – mennyiségeket vagy tulajdons´ agokat. A csoportelmélet jelent˝ osége abban a ´ll, hogy egy tér szimmetri´ ainak o ¨sszessége rendelkezik természetes csoport-strukt´ ur´ aval. Ennek megfelel˝ oen – amint arra az 1.1 alfejezet és a tov´ abbi péld´ aink t¨ obbsége is vallott –, a csoportok a ´ltal´ aban egy halmazon val´ o permut´ aci´ os hat´ assal egy¨ utt jelennek meg a matematik´ aban. Defin´ıci´ o 1.3.1 Legyen G egy csoport, X pedig egy halmaz. Tegy¨ uk fel, hogy adott egy s : G → S(X) homomorfizmus. Ekkor azt mondjuk, hogy G hat az X halmazon, és haszn´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o jel¨ olést: g ∈ G és x ∈ X esetén g · x := (s(g))(x). Az, hogy s csoporthomomorfizmus, egyenérték˝ u azzal, hogy a fenti jel¨ olésre érvényes a (gh)·x = g·(h·x) (g, h ∈ G, x ∈ X) azonoss´ ag. Tov´ abbi elnevezések: • G · x := {g · x | g ∈ G} az x p´ aly´ aja. (A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o p´ aly´ ak part´ıci´ oj´ at – azaz p´ aronként diszjunkt részhalmazokkal val´ o befedését – alkotj´ ak X-nek.) • Gx := {g ∈ G | g · x = x} az x stabiliz´ atora. (Nyilv´ anval´ o, hogy Gx részcsoport G-ben.) • G-nek az X-en val´ o hat´ asa h˝ uséges, ha s injekt´ıv. (Ilyenkor G izomorf im(s)-sel, azaz S(X) egy részcsoportj´ aval.) • G-nek az X-en val´ o hat´ asa tranzit´ıv, ha csak egy p´ alya van, azaz tetsz˝ oleges x, y ∈ X-hez létezik olyan g ∈ G, amelyre y = g · x. ´ ıt´ All´ as 1.3.2 Tegy¨ uk fel, hogy G hat X-en, és legyen x ∈ X. Ekkor az x p´ aly´ aj´ anak elemei k¨ olcs¨ on¨ osen egyértelm˝ u megfeleltetésben a ´llnak G-nek a Gx szerinti baloldali mellékoszt´ alyaival. Bizony´ıt´ as. Tetsz˝ oleges g, h ∈ G-re g · x = h · x ⇔ (h−1 g) · x = x ⇔ h−1 g ∈ Gx ⇔ gGx = hGx . Ez azt jelenti, hogy y 7→ {g ∈ G | g · x = y} (y ∈ G · x) a k´ıv´ ant megfeleltetés. Ebb˝ ol és Lagrange tételéb˝ ol ad´ odik a k¨ ovetkez˝ o formula: K¨ ovetkezm´ eny 1.3.3 Tegy¨ uk fel, hogy a G véges csoport hat az X halmazon. Ekkor tetsz˝ oleges x ∈ X esetén fenn´ all, hogy |G| = |Gx | · |G · x|. Megjegyezz¨ uk, hogy az 1.1 alfejezetben éppen ennek a formul´ anak az ismételt alkalmaz´ as´ aval hat´ aroztuk meg a kocka szimmetri´ ainak sz´ am´ at.

2.

Line´ aris csoport´ abr´ azol´ asok

2.1.

´ azol´ Abr´ aselm´ eleti alapfogalmak

Legyen V egy vektortér a K test felett (K = R vagy K = C). Jel¨ olje GL(V ) a line´ aris transzform´ aci´ ok részcsoportj´ at S(V )-ben. Ez az a ´ltal´ anos line´ aris csoport. Defin´ıci´ o 2.1.1 A G csoport V vektortéren val´ oa ´br´ azol´ as´ an egy ρ : G → GL(V ) homomorfizmust ért¨ unk. Adott a ´br´ azol´ asra haszn´ aljuk a g · v := ρ(g)(v) (g ∈ G, v ∈ V ) jel¨ olést. (Mivel ρ(g) line´ aris, azért g · (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 (g · v1 ) + λ2 (g · v2 ) tetsz˝ oleges g ∈ G, v1 , v2 ∈ V és λ1 , λ2 ∈ K esetén.) Az a ´br´ azol´ as dimenzi´ oja dim(V ). Komplex a ´br´ azol´ asr´ ol beszél¨ unk, ha K = C, és val´ os a ´br´ azol´ asr´ ol, ha K = R. Defin´ıci´ o 2.1.2 A ρ1 : G → GL(V1 ) és ρ2 : G → GL(V2 ) a ´br´ azol´ asok k¨ oz¨ otti kapcsol´ o oper´ atorok azon T : V1 → V2 line´ aris leképezések, amelyekre T ◦ ρ1 (g) = ρ2 (g) ◦ T b´ armely g ∈ G esetén. Ha r´ aad´ asul T bijekt´ıv, akkor izomorfizmusnak nevezz¨ uk. A ρ1 és ρ2 a ´br´ azol´ asok izomorfak (jele: ρ1 ∼ = ρ2 ), ha létezik k¨ ozt¨ uk izomorfizmus. 5

Legyen : G → GL(V ) egy a ´br´ azol´ as. A V vektortér W alterét invari´ ans altérnek nevezz¨ uk, ha b´ armely g ∈ G-re és w ∈ W -re g ·w ∈ W . Ekkor a ρ(g) transzform´ aci´ o megszor´ıthat´ o W -re, az ´ıgy kapott ρ W : G → GL(W ), g 7→ ρ(g)|W a ´br´ azol´ as neve rész´ abr´ azol´ as. Tekints¨ uk most a V /W faktorteret, ennek elemei a v +W mellékoszt´ alyok. W invari´ ans altér, ezért v +W = v 0 +W -b˝ ol k¨ ovetkezik, hogy g ·v +W = g ·v 0 +W . Így defini´ alhatjuk a ρV /W : G → GL(V /W ) faktor´ abr´ azol´ ast a ρV /W (g)(v + W ) := g · v + W formul´ aval. Tegy¨ uk fel, hogy V a V1 és V2 invari´ ans altereinek direkt o ¨sszege. Ez azt jelenti, hogy tetsz˝ oleges v ∈ V egyértelm˝ uen el˝ oa ´ll v = v1 + v2 alakban, ahol v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 , ´ıgy ρ(g)(v) = ρV1 (g)(v1 ) + ρV2 (g)(v2 ). Ekkor azt mondjuk, hogy ρ a ρV1 és ρV2 a ´br´ azol´ asok o ¨sszege, ennek jele: ρ = ρV1 + ρV2 . Ebben az esetben ρV /V1 ∼ = ρ V2 . Ford´ıtva, ha adottak a ρi : G → GL(Vi ) (i = 1, 2) a ´br´ azol´ asok, akkor defini´ alhatunk egy ρ1 + ρ2 -vel jel¨ olt a ´br´ azol´ ast a V1 és V2 vektorterek direkt o ¨sszegén a (ρ1 + ρ2 )(g)(v1 , v2 ) := (ρ1 (g)(v1 ), ρ2 (g)(v2 )) formul´ aval. Azt mondjuk, hogy a ρ a ´br´ azol´ as irreducibilis, ha nincs val´ odi (azaz a {0}-t´ ol és az egész tért˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o) invari´ ans altér. Ha W val´ odi invari´ ans altér, akkor ρ bizonyos értelemben a ρ W és a ρV /W a ´br´ azol´ asokb´ ol ép¨ ul fel (l´ atni fogjuk azonban, hogy ρW és ρV /W nem mindig hat´ arozza meg egyértelm˝ uen ρ-t). Ezért az a ´br´ azol´ asok oszt´ alyoz´ as´ aban az els˝ o lépés az irreducibilisek a ´ttekintése.

2.2.

Abel-csoportok v´ eges dimenzi´ os komplex irreducibilis ´ abr´ azol´ asai

Lemma 2.2.1 (Schur-lemma I.) Egy csoport irreducibilis a ´br´ azol´ asai k¨ ozti kapcsol´ o oper´ ator vagy izomorfizmus, vagy a nulla leképezés. Bizony´ıt´ as. Legyenek ρi : G → GL(Vi ), i = 1, 2 irreducibilis a ´br´ azol´ asai G-nek, és legyen T : V1 → V2 kapcsol´ o oper´ ator. ker(T ) invari´ ans altér V1 -ben, u.i. T (v) = 0-b´ ol k¨ ovetkezik, hogy 0 = g · T (v) = T (g · v), azaz g · v ∈ ker(T ). Hasonl´ oan im(T ) invari´ ans altér V2 -ben. K¨ ovetkezésképpen ha T 6= 0, akkor ker(T ) = {0} és im(T ) = V2 , teh´ at T izomorfizmus. Lemma 2.2.2 (Schur-lemma II.) Legyen ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ as. Ekkor ρ b´ armely endomorfizmusa, azaz b´ armely T : V → V kapcsol´ o oper´ ator (ρ és ρ k¨ oz¨ ott) skal´ arral val´ o szorz´ as. Bizony´ıt´ as. Legyen λ ∈ C saj´ atértéke T -nek. Vil´ agos, hogy a T 0 = T − λ · idV : V → V leképezés is endomorfizmus. T 0 nem izomorfizmus, hiszen ker(T 0 ) tartalmazza a λ-hoz tartoz´ o saj´ atalteret. Így Schur-lemma I. szerint T 0 = 0, azaz T = λ · idV . T´ etel 2.2.3 Abel-csoport véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ asa 1-dimenzi´ os. Bizony´ıt´ as. Legyen G Abel-csoport, és ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ as. R¨ ogz´ıts¨ unk egy tetsz˝ oleges g elemet G-ben. B´ armely x ∈ G-re fenn´ all, hogy ρ(g) ◦ ρ(x) = ρ(gx) = ρ(xg) = ρ(x) ◦ ρ(g). Ez azt jelenti, hogy ρ(g) endomorfizmusa ρ-nak, ´ıgy Schur-lemma II. szerint skal´ arral val´ o szorz´ as. Teh´ at b´ armely g ∈ G skal´ arral val´ o szorz´ asként hat V -n, k¨ ovetkezésképpen V minden altere invari´ ans altér. Ezért ρ csak u ´gy lehet irreducibilis, hogy dim(V ) = 1. P´ elda. A fenti tételben lényeges feltétel, hogy komplex a ´br´ azol´ asr´ ol van sz´ o. Legyen ugyanis V a 2dimenzi´ os val´ os euklideszi tér, és G = (R, +), a val´ os sz´ amok addit´ıv csoportja. Legyen ρ : G → GL(V ) az a leképezés, ami a α val´ os sz´ amhoz hozz´ arendeli az orig´ o k¨ ozéppont´ u α sz¨ og˝ u forgat´ ast. Ez egy 2-dimenzi´ os val´ os irreducibilis a ´br´ azol´ asa egy Abel-csoportnak.

2.3.

M´ atrix ´ abr´ azol´ asok

Jel¨ olje GL(n, K) az n × n-es nem-nulla determin´ ans´ u K feletti m´ atrixok halmaz´ at, ez csoport a m´ atrix szorz´ assal. Defin´ıci´ o 2.3.1 Egy G → GL(n, K) homomorfizmust a G csoport n-edfok´ u m´ atrix a ´br´ azol´ as´ nak nevezz¨ uk. (Ezt felfoghatjuk a K n oszlopvektorok terén val´ oa ´br´ azol´ asnak, azonos´ıtva egy n × n-es m´ atrixot a vele val´ o szorz´ assal, mint K n → K n line´ aris leképezéssel.) 6

Legyen V n-dimenzi´ os K-vektortér. V -beli b´ azis v´ alaszt´ asa meghat´ aroz egy GL(V ) → GL(n, K) izomorfizmust. Val´ oban, r¨ ogz´ıts¨ unk egy b = (b1 , . . . , bn ) b´ azist V -ben. Tetsz˝ oleges v ∈ V egyértelm˝ uen fel´ırhat´ o v = v1 b1 + · · · + vn bn alakban (vi ∈ K), jel¨ olje vb a V koordin´ ata-m´ atrix´ at, azaz a (v1 , . . . , vn )t oszlopvektort. Véve egy A ∈ GL(V ) line´ aris transzform´ aci´ ot, legyen A b az az n × n-es m´ atrix, amelynek i-edik oszlopa A(bi )b . Ezt az A transzform´ aci´ o b b´ azisbeli m´ atrix´ anak nevezik, mert minden v ∈ V -re teljes¨ ul az A(v)b = Ab · vb o ¨sszef¨ uggés. K¨ ovetkezésképpen az A → Ab leképezés egy GL(V ) → GL(n, K) izomorfizmus. Ennek megfelel˝ oen, a ρ : G → GL(V ) n-dimenzi´ os a ´br´ azol´ ashoz a b b´ azis v´ alaszt´ asa hozz´ arendeli a ρb : G → GL(n, K), g 7→ ρ(g)b m´ atrix a ´br´ azol´ ast. Legyen b0 egy m´ asik b´ azis, és T a b´ azis´ attérés m´ atrixa, azaz T i-edik oszlopa a (b0i )b . Ekkor a ρb és a ρb0 m´ atrix a ´br´ azol´ asok k¨ oz¨ ott az a kapcsolat, hogy alja az al´ abbi defin´ıci´ ot: ρb0 (g) = T −1 ρ(g)T minden g ∈ G-re. Ez motiv´ Defin´ıci´ o 2.3.2 Azt mondjuk, hogy a ρ : G → GL(n, K) és ρ0 : G → GL(n, K) m´ atrix a ´br´ azol´ asok ekvivalensek, ha létezik olyan T ∈ GL(n, K), amelyre ρ0 (g) = T −1 ρ(g)T minden g ∈ G-re. Line´ aris algebrai trivialit´ as a k¨ ovetkez˝ o: ´ ıt´ All´ as 2.3.3 A G csoport n-dimenzi´ os a ´br´ azol´ asainak izomorfia oszt´ alyai k¨ olcs¨ on¨ osen egyértelm˝ u megfeleltetésben a ´llnak G n-edfok´ u m´ atrix a ´br´ azol´ asainak ekvivalencia oszt´ alyaival, méghozz´ a u ´gy, hogy a ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ as izomorfia oszt´ aly´ anak megfelel a ρ b m´ atrix a ´br´ azol´ as ekvivalencia oszt´ alya, ahol b tetsz˝ oleges b´ azis V -ben. ´ Erdemes meggondolni, hogyan jelennek meg a rész illetve faktor a ´br´ azol´ asok a m´ atrix a ´br´ azol´ asban. Legyen ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ as, W ≤ V invari´ ans altér, ˜b = (b1 , . . . , bk ) b´ azis W -ben, ezt egész´ıts¨ uk ki V b = (b1 , . . . , bn ) b´ azis´ av´ a, ´ıgy ¯b = (bk+1 + W, . . . , bn + W ) b´ azis V /W -ben. Ekkor a ρb m´ atrix a ´br´ azol´ as a k¨ ovetkez˝ o alak´ u: ρW (g)˜b ∗ ρb (g) = 0 ρV /W (g)¯b Amennyiben a W invari´ ans altérnek létezik U invari´ ans direkt kiegész´ıt˝ oje, azaz ρ = ρ W + ρU , akkor v´ alszthatjuk a b b´ azist u ´gy, hogy ˆb = (bk+1 , . . . , bn ) b´ azis legyen U -ban, és ekkor ρW (g)˜b 0 ρb (g) = . 0 ρU (g)ˆb

3. 3.1.

Teljesen reducibilis ´ abr´ azol´ asok Irreducibilis ´ abr´ azol´ asok o ¨sszegei

Defin´ıci´ o 3.1.1 A ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ as teljesen reducibilis, ha tetsz˝ oleges U ≤ V invari´ ans altérnek létezik invari´ ans direkt kiegész´ıo ˝je, azaz létezik olyan W invari´ ans altér, amelyre V = U ⊕ W (azaz V = U + W , U ∩ W = {0}). P´ Tekints¨ uk C a komplex sz´ amok csoportj´ at az o ¨sszead´ assal, és legyen ρ : C → GL(2, C), t 7→ elda. 1 t . Az 0 1 1 t 1 t0 1 t + t0 · = 0 1 0 1 0 1 egyenl˝ oség mutatja, hogy ρ a ´br´ azol´ asa (C, +)-nak a C2 vektortéren. Megmutatjuk, hogy csak egy val´ odi invari´ ans altér van. Vegy¨ unk ugyanis egy U val´ odi invari´ ans alteret. Ez sz¨ ukségképpen 1-dimenzi´ os, mondjuk az u ∈ U gener´ alja. Az, hogy Cu invari´ a ns alt´ e r, azt jelenti, hogy u k¨ o z¨ o s saj´ a tvektora az o ¨ sszes x ρ(t)-nek. Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy U = { | x ∈ C}. Ez val´ oban invari´ ans altér, és az elmondottakb´ ol 0 nyilv´ anval´ o, hogy nincs invari´ ans direkt kiegész´ıt˝ oje.

7

´ ıt´ All´ as 3.1.2 Teljesen reducibilis a ´br´ azol´ as része, faktora is teljesen reducibilis. Bizony´ıt´ as. Legyen ρ : G → GL(V ) teljesen reducibilis a ´br´ azol´ as, U ≤ V invari´ ans altér. Ekkor a feltevés szerint tetsz˝ oleges W ≤ U invari´ ans altérhez létezik olyan W1 invari´ ans altér, amelyre V = W ⊕W1 . Ekkor U = W ⊕ (W1 ∩ U ), és nyilv´ anval´ o, hogy W1 ∩ U is invari´ ans altér. A faktor esete a visszavezethet˝ o a rész esetére, mivel ρ V /U ∼ ans direkt = ρU1 , ahol U1 az U invari´ kiegész´ıt˝ oje. Lemma 3.1.3 Legyen ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ as, és tegy¨ uk fel, hogy V = V 1 + · · · + Vm , ahol Vi minim´ alis invari´ ans altér V -ben (i = 1, . . . , m), azaz ρVi irreducibilis. Ekkor tetsz˝ oleges U ≤ V invari´ ans altérhez létezik {i1 , . . . , ip } ⊆ {1, . . . , m} u ´gy, hogy V = U ⊕ Vi1 ⊕ · · · ⊕ Vip . Speci´ alisan, irreducibilis a ´br´ azol´ asok o ¨sszege teljesen reducibilis. Bizony´ıt´ as. Legyen {i1 , . . . , ip } maxim´ alis olyan részhalmaza {1, . . . , m}-nek, hogy az U, Vi1 , . . . , Vip alterek b´ armelyike diszjunkt a t¨ obbi o ¨sszegét˝ ol. Jel¨ olje ezen alterek o ¨sszegét W , nyilv´ an W = U ⊕ V i1 ⊕ · · · ⊕ Vip . Megmutatjuk, hogy W = V . Ehhez elég bel´ atni, hogy W ≥ Vj (j = 1, . . . , m). Ez j ∈ {i1 , . . . , ip } esetén trivi´ alis. Legyen j ezekt˝ ol az indexekt˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o. A V j ∩ W invari´ ans altér Vj -ben, és nem-nulla, mert k¨ ul¨ onben j hozz´ avehet˝ o lenne {i1 , . . . , ip }-hez. Így Vj minimalit´ asa miatt Vj ∩ W = Vj , azaz Vj ≤ W . T´ etel 3.1.4 (i) Véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ as akkor és csak akkor teljesen reducibilis, ha irreducibilisek o ¨sszege. (ii) Tegy¨ uk fel, hogy ρ = ρ1 + · · · + ρm , ahol ρi irreducibilis. Ekkor ρ tetsz˝ oleges része vagy faktora ρ1 , . . . , ρm k¨ oz¨ ul néh´ anynak az o ¨sszegével izomorf. (iii) Tegy¨ uk fel, hogy a ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ asra fenn´ all, hogy ρ 1 +· · ·+ρm = ρ = σ1 +· · ·+σp , ahol ρi , σj irreducibilis a ´br´ azol´ asai G-nek. Ekkor m = p, és ρi ∼ = σi (i = 1, . . . , m) alkalmas indexelés esetén. Azaz egy a ´br´ azol´ as irreducibilisek o ¨sszegére val´ o felbont´ asa izomorfia erejéig egyértelm˝ u (feltéve, hogy létezik). Megjegyz´ es. A teljesen reducibilis ρ a ´br´ azol´ as irreducibilisek o ¨sszegére val´ o felbont´ as´ aban természetesen egym´ assal izomorf tagok is szerepelhetnek, mondjuk mk 1 1 1 ρ = ρ11 + ρ21 + · · · + ρm 1 + ρ2 + · · · + ρ k + · · · + ρ k ,

ahol ρji ∼ aroként nem-izomorf irreducibilisek. Ekkor = ρi , i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , mi , és ρ1 , . . . , ρk p´ azt mondjuk, hogy ρ irreducibilis komponensei ρ1 , . . . , ρk (itt ρi egy izomorfia oszt´ alyt képvisel, és csak Pk ∼ izomorfia erejéig meghat´ arozott), és a ρi multiplicit´ asa mi ; jele: ρ = i=1 mi ρi . A 3.1.4 Tétel (iii) szerint az irreducibilis komponensek izomorfia t´ıpusa és multiplicit´ asuk j´ ol defini´ alt (és persze csak ρ izomorfia t´ıpus´ at´ ol f¨ ugg), tov´ abb´ a nyilv´ anval´ o, hogy izomorfia erejéig meghat´ arozz´ ak ρ-t. Bizony´ıt´ as. (i) ⇐: K¨ ovetkezik a 3.1.3 Lemm´ ab´ ol, U = {0} v´ alaszt´ assal. ⇒: Legyen ρ teljesen reducibilis a ´br´ azol´ as a V véges dimenzi´ os vektortéren. Alkalmazzunk indukci´ ot dim(V )-re. Ha ρ irreducibilis, akkor készen vagyunk. Ha U egy val´ odi invari´ ans alér, akkor ρ = ρ U + ρW , ´ ıt´ ahol W az U invari´ ans direkt kiegész´ıt˝ oje, és a 3.1.2 All´ as szerint ρU , ρW teljesen reducibilisek. Az indukci´ os feltevés szerint ρU , ρW irreducibilisek o ¨sszege, teh´ at ugyanez igaz ρ-ra is. (ii) A feltevés szerint az a ´br´ azol´ as tere V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vm , ahol ρi = ρVi , azaz Vi minim´ alis invari´ ans altér. Legyen U tetsz˝ oleges invari´ ans altér V -ben. A 3.1.3 Lemma alapj´ an V = U ⊕ V i1 ⊕ · · · ⊕ Vip , teh´ at ρV /U = ρVi1 ⊕···⊕Vip = ρi1 + · · · + ρip . A részre vonatkoz´ oa ´ll´ıt´ as visszavezethet˝ o erre, a m´ ar l´ atott m´ odon. ot (iii) A feltevés szerint V1 ⊕ · · · ⊕ Vm = U1 ⊕ · · · ⊕ Up , ahol ρVi = ρi és ρUj = σj . Alkalmazzunk indukci´ olje m-re. Az m = 1 eset trivi´ alis. Legyen m > 1. A 3.1.3 Lemma szerint V = U1 ⊕ Vi1 ⊕ · · · Vik . Jel¨ {j1 , . . . , jm−k } az {i1 , . . . , ik } halmaz komplementerét {1, . . . , m}-ben. Ekkor σ1 = ρU1 = ρV /Vi1 ⊕···⊕Vip ∼ = ρVj1 ⊕···⊕Vjm−k = ρj1 + · · · + ρjm−k , amib˝ ol m − k = 1 és σ1 = ρj1 k¨ ovetkezik. Feltehet˝ o, hogy j1 = 1. Kij¨ ott, hogy σ1 ∼ = ρ1 és V = os asfel˝ ol ρV /U1 ∼ U1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm . Innen ρV /U1 ∼ = ρU2 ⊕···⊕Up = σ2 + · · · + σp . Az indukci´ = ρ2 + · · · + ρm . M´ ´br´ azol´ asra nyerj¨ uk a k´ıv´ ant a ´ll´ıt´ ast. feltevést alkalmazva a ρV /U1 a 8

Az al´ abbi k¨ ovetkezmény felfoghat´ o azon j´ ol ismert line´ aris algebrai tény a ´ltal´ anos´ıt´ as´ anak, miszerint egy line´ aris transzform´ aci´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´ atértékeihez tartoz´ o saj´ atvektorok line´ arisan f¨ uggetlenek. K¨ ovetkezm´ eny 3.1.5 Legyenek V1 , . . . , Vm minim´ alis invari´ ans alterek a ρ a ´br´ azol´ as terében u ´gy, hogy aronként nem-izomorfak. Ekkor a V1 , . . . , Vm alterek line´ arisan f¨ uggetlenek. ρV1 , . . . , ρVm p´ Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel, hogy valamely k ∈ {1, . . . , m−1}-re V1 , . . . , Vk line´ arisan f¨ uggetlen, de V1 , . . . , Vk+1 line´ arisan o ¨sszef¨ ugg˝ o, azaz {0} 6= Vk+1 ∩ (V1 + · · · + Vk ) =: W . Mivel W nem-nulla invari´ ans altér, és benne van a Vk+1 minim´ alis invari´ ans altérben, azért W = Vk+1 , teh´ at Vk+1 ≤ V1 + · · · + Vk . Teh´ at a ρ V1 + · · · + ρ Vk a ´br´ azol´ asnak (ami a 3.1.3 Lemma szerint teljesen reducibilis) van ρVk+1 -gyel izomorf rész´ abr´ azol´ asa. Ez ellentmond a 3.1.4 Tétel (ii) a ´ll´ıt´ as´ anak. A fenti 3.1.4 Tétel az irreducibilisek o ¨sszegeként val´ o el˝ oa ´ll´ıt´ asnak csak az izomorfia erejéig val´ o egyértelm˝ uségét a ´ll´ıtja, de nem mondja azt, hogy az a ´br´ azol´ as terének minim´ alis invari´ ans alterek o ¨sszegeként val´ o el˝ oa ´ll´ıt´ asa egyértelm˝ u. Ez ut´ obbi a ´ltal´ aban nem igaz: tekints¨ uk péld´ aul egy ak´ armilyen csoportnak a trivi´ alis hat´ as´ at egy legal´ abb 2-dimenzi´ os vektortéren. Ekkor minden altér invari´ ans, és az egész tér végtelen sokféleképpen el˝ oa ´ll 1-dimenzi´ osak o ¨sszegeként. Van azonban egy fontos olyan eset, amikor igaz ez az er˝ osebb értelemben vett egyértelm˝ uség, err˝ ol sz´ ol a k¨ ovetkez˝ o lemma. Lemma 3.1.6 Tegy¨ uk fel, hogy a ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ asra fenn´ all, hogy V = V 1 ⊕ · · · ⊕ Vm , ahol ´br´ azol´ asok p´ aronként nem-izomorfak. Ekkor V Vi minim´ alis invari´ ans alterek, és a ρVi irreducibilis a tetsz˝ oleges invari´ ans altere V1 , . . . , Vm k¨ oz¨ ul néh´ anynak az o ¨sszege. Bizony´ıt´ as. Elég bel´ atni, hogy tetsz˝ oleges U minim´ alis altér egybeesik V 1 , . . . , Vm valamelyikével. A 3.1.4 Tétel szerint ρU ∼ u k, hogy ρU ∼ uk a P : V → V2 +· · ·+Vm = ρVi valamelyik i-re, feltehetj¨ = ρV1 . Tekints¨ projekci´ ot, melyre ker(P ) = V1 . Vil´ a gos, hogy P : U → V + · · · + V kapcsol´ o oper´ ator a ρU és a 2 m U ρV2 +···+Vm a ´br´ azol´ asok k¨ oz¨ ott. Ha P U 6= 0, akkor az U képén egy ρV1 -gyel izomorf rész´ abr´ azol´ ast kapunk ρV2 +···+Vm ∼ at U ≤ ker(P ) = V1 , és V1 = ρV2 + · · · + ρVm -ben, ami lehetetlen a 3.1.4 Tétel szerint. Teh´ minimalit´ asa miatt ´ıgy U = V1 .

3.2.

Unit´ er ´ abr´ azol´ asok

Defin´ıci´ o 3.2.1 Azt mondjuk, hogy a ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ as unitér, ha létezik olyan (−, −) : V × V → K skal´ aris szorzat V -n, ami G-invari´ ans, azaz tetsz˝ oleges g ∈ G és v, w ∈ V esetén (gv, gw) = (v, w). (K = R esetén az unitér a ´br´ azol´ ast ortogon´ alis a ´br´ azol´ asnak szok´ as nevezni.) A kés˝ obbiekben ha adott unitér a ´br´ azol´ asr´ ol beszél¨ unk, akkor azt automatikusan u ´gy értj¨ uk, hogy az a ´br´ azol´ as terén r¨ ogz´ıtett¨ unk egy invari´ ans skal´ aris szorzatot, ´ıgy az a ´br´ azol´ as tere nem csak vektortér, hanem komplex (ill. val´ os) euklideszi tér, és haszn´ aljuk a szok´ asos euklideszi térben értelmezett fogalmakat. Legyen ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os unitér a ´br´ azol´ as, és legyen b = (b 1 , . . . , bn ) ortonorm´ alt b´ azis V -ben, teh´ at (x, y) = x∗b · yb , ahol ∗ jel¨ oli a megfelel˝ o m´ atrix transzpon´ altj´ anak a komplex konjug´ altj´ at. ol Akkor x∗b yb = (x, y) = (gx, gy) = (ρ(g)b xb )∗ (ρ(g)b yb ) = x∗b (ρ(g)∗b ρ(g)b )yb minden x, y ∈ V -re. Ebb˝ ∗ k¨ ovetkezik, hogy ρ(g)−1 = ρ(g) , azaz ρ(g) unit´ e r m´ a trix. Jel¨ o lje b b b Un (C) = {A ∈ GL(n, C) | A−1 = A∗ } az unitér m´ atrixok részcsoportj´ at GL(n, C)-ben. Azt kaptuk, hogy ρ b : G → Un (C) unitér m´ atrix´ abr´ azol´ as. A K = R speci´ alis esetben ez azt jelenti, hogy ortogon´ alis a ´br´ azol´ ashoz ortonorm´ alt b´ azisban fel´ırt m´ atrix´ abr´ azol´ as ortogon´ alis m´ atrixokb´ ol a ´ll, azaz ρ b : G → On (R) = {A ∈ GL(n, R) | A−1 = At }. Lemma 3.2.2 Véges dimenzi´ os unitér a ´br´ azol´ as teljesen reducibilis. Bizony´ıt´ as. Legyen U ≤ V invari´ ans altér a V véges dimenzi´ os térben, amelyen unitéren hat egy G csoport. Ekkor U -nak létezik invari´ ans direkt kiegész´ıt˝ oje, méghozz´ a U ⊥ = {v ∈ V | ∀u ∈ U : (u, v) = 0}. A ⊥ V véges dimenzi´ oss´ ag´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy V = U ⊕ U , és tetsz˝ oleges v ∈ U ⊥ , g ∈ G, u ∈ U esetén −1 −1 (u, gv) = (g u, v) = 0, mert g u is benne van az U invari´ ans altérben. Teh´ at U ⊥ invari´ ans altér. 9

L´ atni fogjuk a kés˝ obbiekben, hogy az érdekes csoport´ abr´ azol´ asok széles oszt´ alya unitér, ´ıgy a fenti Lemma garant´ alja a teljes reducibilit´ asukat. Ennek illusztr´ al´ as´ ara szolg´ aljon a k¨ ovetkez˝ o: T´ etel 3.2.3 Véges csoport tetsz˝ oleges véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ asa unitér. Bizony´ıt´ as. R¨ ogz´ıts¨ unk egy tetsz˝ oleges skal´ aris szorzatot az a ´br´ azol´ as terén, V -n, majd ezt ”´ atlagoljuk ki” a G csoportra, és ´ıgy kapjuk a k´ıv´ ant invari´ ans skal´ aris szorzatot: Legyen [−, −] : V × V → K tetsz˝ oleges skal´ aris szorzat, és defini´ aljuk a (−, −) : V × V → K f¨ uggvényt az X [gx, gy] (x, y) := g∈G

formul´ aval. Rutin ellen˝ orzés mutatja, hogy (−, aris szorzat, r´ aad´ asul b´ armely h ∈ G-ra (hx, hy) = P−) skal´ P P [gx, gy] = (x, y), azaz (−, −) invari´ ans is. [(gh)x, (gh)y] = [g(hx), g(hy)] = g∈G g∈G g∈G

3.3.

Kompakt csoportok ´ abr´ azol´ asainak unit´ ers´ ege

Az alkalmaz´ asokban leggyakrabban el˝ ofordul´ o csoportok topologikus strukt´ ur´ aval is rendelkeznek. Emlékeztet¨ unk a topol´ ogia fogalm´ ara: azt mondjuk, hogy az X halmazon adott egy topol´ ogia, ha adott X u ´gynevezett ny´ılt részhalmazainak rendszere u ´gy, hogy ny´ıltak véges metszete és tetsz˝ oleges egyes´ıtése is ny´ılt, tov´ abb´ a az ∅, X ny´ıltak. Egy topologikus terek k¨ ozti leképezést folytonosnak nevez¨ unk, ha ny´ılt halmazok o ˝sképe is ny´ılt. Egy részhalmazt z´ artnak nevez¨ unk, ha a komplementere ny´ılt. Adott X, Y topologikus terek esetén az X × Y teret ell´ atjuk az u ń. szorzattopl´ ogi´ aval. Itt a ny´ılt halmazok rendszerének b´ azis´ at alkotj´ ak az U × V halmazok, ahol U ⊆ X, V ⊆ Y ny´ıltak. Defin´ıci´ o 3.3.1 Legyen G csoport, amelyen adott egy topol´ ogia. Azt mondjuk, hogy G topologikus csoport, ha a csoportm˝ uveletek folytonosak, azaz a G × G → G, (g, h) 7→ g · h és G → G, g 7→ g −1 leképezések folytonosak. P´ eld´ ak. 1. GL(n, K) a K n×n euklideszi topol´ ogi´ aja a ´ltal induk´ alt topol´ ogi´ aval. (Megjegyezz¨ uk, hogy GL(n, K) ny´ılt részhalmaz K n×n -ben.) 2. K n addit´ıv csoportja az euklideszi topol´ ogi´ aval. 3. B´ armely topologikus csoport részcsoportja az induk´ alt topol´ ogi´ aval. 4. Tetsz˝ olges G csoport a diszkrét topol´ ogi´ aval. (Ebben az esetben persze a topol´ ogia semmilyen extra inform´ aci´ ot nem tartalmaz, hiszen G minden részhalmaza ny´ılt, k¨ ovetkezésképpen minden G-n értelmezett f¨ uggvény folytonos. Néha az anal´ ogia vagy a motiv´ aci´ o kedvéért mégis érdemes lesz a ´ltal´ anos csoportokr´ ol sz´ ol´ o témyeket topologikus csoportra vonatkoz´ oa ´ll´ıt´ asként megfogalmazni.) A kés˝ obbiekben ha egy topologikus csoportnak az X topologikus téren val´ o hat´ as´ ar´ ol beszél¨ unk, automatikusan feltételezz¨ uk, hogy a hat´ as folytonos, azaz a G × X → X, (g, x) 7→ g · x leképezés folytonos. Hasonl´ oan, topologikus csoport ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ asr´ ol beszélve feltételezz¨ uk, hogy V topologikus vektortér (pl. b´ armely véges dimenzi´ os vektortér az euklideszi topol´ ogi´ aval, vagy egy Hilbert-tér az er˝ os topol´ ogi´ aval), és G-nek a V -n val´ o line´ aris hat´ asa folytonos. Topologikus csoport véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ as´ an teh´ at olyan ρ : G → GL(V ) homomorfizmust ért¨ unk, amelyre (valamely b V -beli b´ azisra) a ρb : G → GL(n, K) m´ atrix´ abr´ azol´ as koordin´ ata f¨ uggvényei folytonos G → K f¨ uggvények (K = R vagy K = C ell´ atva a szok´ asos topol´ ogi´ aval). A b´ azis´ attérés sz´ amol´ asi szab´ alya mutatja, hogy ez f¨ uggetlen a b´ azis v´ alaszt´ as´ at´ ol. Defin´ıci´ o 3.3.2 Kompakt csoporton olyan topologikus csoportot ért¨ unk, ami mint topologikus tér kompakt, azaz tetsz˝ oleges ny´ılt fedéséb˝ ol kiv´ alaszthat´ o véges fedés. P´ eld´ ak. 1. Az unitér m´ atrixok U (n, C) csoportja. 2. Az ortogon´lis m´ atrixok O(n, R) csoportja. 3. Kompakt csoport z´ art részcsoportja. 4. Tetsz˝ oleges véges csoport a diszkrét topol´ ogi´ aval. A 3.2.3 Tétel anal´ ogi´ aj´ ara érvényes a k¨ ovetkez˝ oa ´ltal´ anosabb tétel: T´ etel 3.3.3 Kompakt csoport véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ asa unitér. 10

Bizony´ıt´ as. Az egyszer˝ ubb fogalmaz´ as kedvéért feltessz¨ uk, hogy K = R. Legyen G kompakt csoport, ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ as. Ez induk´ al egy a ´br´ azol´ ast a szimmetrikus biline´ aris f¨ uggvények B + (V ) val´ os euklideszi terén, mégpedig β : V × V → R esetén (g · β)(x, y) := β(g −1 x, g −1 y) (x, y ∈ V ). Jel¨ olje P a pozit´ıv definit szimmetrikus biline´ aris f¨ uggvények (azaz a skal´ aris szorzatok) részhalmaz´ at. A P halmaz ny´ılt (ez k¨ ovetkezik a pozit´ıv definit m´ atrixok sarokaldetermin´ ansokkal val´ o jellemzéséb˝ ol). Tov´ abb´ a P konvex, és G-invari´ ans (Ellen˝ orizz¨ uk!). Vegy¨ unk egy C 0 pozit´ıv mérték˝ u kompakt r´ eszhalmazt S P -ben (péld´ aul egy tetsz˝ oleges P -beli pont k¨ or¨ uli kell˝ oen kis sugar´ u z´ art g¨ omb¨ ot). Legyen C := g∈G g·C0 , azaz C a G×C0 kompakt halmaz képe a (g, c) 7→ g·cRfolytonos leképezésnél, ´ıgy a Bolzano-Weierstrass tétel 1 szerint kompakt. Tekints¨ uk a C halmaz κ := µ(C) xdµ(x) t¨ omegk¨ ozéppontj´ at (ebben a képletben µ x∈C + jel¨ oli a szok´ asos Lebesgue-mértéket a B (V ) euklideszi téren). Megmutatjuk,Phogy κ egy G-invari´ ans skal´ aris szorzat. Az integr´ al defin´ oja szerint κ el˝ oa ´ll mint a Sn ıci´ n 1 µ(C )x alak´ u pontokb´ o l a ´ ll´ o sorozatnak, ahol C = C kompakt r´ e szhalmazokra limesze egy µ(C) i i i i=1 i=1 P val´ oP part´ıci´ oja C-nek, és xi ∈ Ci . Ebb˝ ol azonnal k¨ ovetkezik, hogy κ benne van a conv(K) = { λi xi | xi ∈ C, λi = 1, λi ≥ 0} konvex burok lez´ artj´ aban. Mivel C kompakt, azért conv(C) z´ art, és P konvexit´ asa miatt conv(C) ⊂ P . Teh´ at κ ∈ P . Vég¨ ul, C konstrukci´ oja miatt tetsz˝ oleges g ∈ G-re fenn´ all, hogy g · C = C. M´ asfel˝ ol, a g · C halmaz κ(g · C) t¨ omegk¨ ozéppontja Z Z 1 1 κ(g · C) = xdµ(x) = gxdµ(gx) µ(g · C) x∈g·C | det(g)|µ(C) x∈C Z Z 1 1 gx| det(g)|dµ(x) = gxdµ(x) = | det(g)|µ(C) x∈C µ(C) x∈C Z 1 =g·( xdµ(x)) = g · κ, µ(C) x∈C teh´ at g · κ = κ minden g ∈ G-re, ami éppen azt jelenti, hogy κ invari´ ans skal´ aris szorzat V -n.

Megjegyz´ es 3.3.4 A 3.3.3 Tétel a k¨ ovetkez˝ oa ´ltal´ anosabb form´ aban is igaz: kompakt csoport er˝ osen folytonos a ´br´ azol´ asa egy H Hilbert-téren unitér. Tov´ abb´ a minden ilyen irreducibilis a ´br´ azol´ as véges dimenzi´ os.

4. 4.1.

Irreducibilis ´ abr´ azol´ asok konstrukci´ oja ´ azol´ Abr´ asok szorzata

P A V és W K-vektorterek tenzorszorzata egy V ⊗ W -vel jel¨ olt K-vektortér, melynek elemei a v⊗w alak´ u véges form´ alis o ¨sszegek (ahol v ∈ V , w ∈ W ), melyekre a k¨ ovetkez˝ o sz´ amol´ asi szab´ alyok érvényesek: tetsz˝ oleges λ ∈ K, v, v1 , v2 ∈ V , w, w1 , w2 ∈ W esetén λ(v ⊗ w) = (λv) ⊗ w = v ⊗ (λw), (v1 + v2 ) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w, v ⊗ (w1 + w2 ) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2 . (R¨ oviden: a ⊗ : V × W → V ⊗ W , (v, w) 7→ v ⊗ w leképezés biline´ aris.) A v ⊗ w elemeket elemi (vagy 1-rang´ u) tenzoroknak nevezz¨ uk, V ⊗ W a ´ltal´ anos eleme elemi tenzorok o ¨sszege (de ez az el˝ oa ´ll´ıt´ as nem egyértelm˝ u). Ha b = (b 1 , . . . , bk ) b´ azis V -ben és c = (c1 , . . . , cm ) b´ azis W -ben, akkor b ⊗ c := (bi ⊗ cj | i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , m) b´ azis V ⊗ W -ben. Teh´ at V ⊗W egy dim(V )·dim(W ) dimenzi´ os vektortér. Hangs´ ulyozzuk azonban, hogy a V ⊗W tenzorszorzatnak a vektortér strukt´ ura mellett lényeges alkot´ oeleme a ⊗ : V × W → V ⊗ W leképezés. Ez rendelkezik a k¨ ovetkez˝ o univerzalit´ asi tulajdons´ aggal: Tetsz˝ oleges p : V × W → U biline´ aris leképezés a ´tvezethet˝ o ⊗-on, azaz létezik egyetlen q : V ⊗ W → U line´ aris leképezés, amelyre p = q ◦ ⊗. P´ eld´ ak. 1. Legyen V = K n , az n hossz´ us´ ag´ u oszlopvektorok tere, W = (K m )∗ , az m hossz´ us´ ag´ u sorvektorok tere. Ekkor a v ⊗ w 7→ v · w leképezés megad egy K n ⊗ (K m )∗ → K n×m izomorfizmust. (Az elemi tenzorok 1-rang´ u m´ atrixoknak felelnek meg.) 2. Tenzorszorzatok leggyakrabban akkor ker¨ ulnek el˝ o, amikor a V, W vektorterek elemei f¨ uggvények, mert ilyenkor képezhetj¨ uk ezen f¨ uggvények szok´ asos értelemben vett szorzat´ at. Legyenek V, W alterek az X → R f¨ uggvények R-vektorterében. Legyen U a v · w f¨ uggvények a ´ltal kifesz´ıtett altér. Mivel a p : V × W → U , (v, w) 7→ v · w leképezés biline´ aris, ezért létezik egy q : V ⊗ W → U line´ aris leképezés, amelyre p = q ◦ ⊗. Igen gyakran q izomorfizmus, azaz U ∼ ggvény a v ⊗ w elemi = V ⊗ W , ahol a v · w f¨ tenzornak felel meg. 11

Defin´ıci´ o 4.1.1 Legyenek ρ1 , ρ2 a G csoport a ´br´ azol´ asai a V1 illetve V2 vektortereken. Ekkor k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy a g · (v1 ⊗ v2 ) := (gv1 ) ⊗ (gv2 ) (1) képlet G-nek a V1 ⊗ V2 -n val´ oa ´br´ azol´ as´ at adja meg. Ezt a ρ1 ρ2 : G → GL(V1 ⊗ V2 ) a ´br´ azol´ ast nevezz¨ uk a ρ1 és ρ2 szorzat´ anak. (Ugyan a fenti (1) képlet csak (ρ1 ρ2 )(g) elemi tenzorokon val´ o hat´ as´ at adja meg, de ennek létezik egyértelm˝ u line´ aris kiterjesztése V1 ⊗ V2 -re. Az egyértelm˝ uség k¨ ovetkezik abb´ ol, hogy az elemi tenzorok gener´ alj´ ak V1 ⊗ V2 -t, a létezés pedig a tenzorszorzat univerzalit´ asi tulajdons´ ag´ anak k¨ ovetkezménye.) Koordin´ at´ akban, ha b = (b1 , . . . , bk ) b´ azis V1 -ben, c = (c1 , . . . , cn ) b´ azis V2 -ben, akkor ρ1 ρ2 (g)b⊗c = ρ1 (g)b ⊗ ρ2 (g)c , ahol ⊗ a megfelel˝ o m´ atrixok Kronecker-szorzat´ at jel¨ oli. Az A = (a ij )ki,j=1 és B = (bij )ni,j=1   b11 A · · · b1n A  ..  kn × kn-es m´ .. atrix. m´ atrixok Kronecker-szorzata az A ⊗ B =  ... . .  bk1 A · · · bkk A P´ elda. Jel¨ olje 1W a G csoport trivi´ alis a ´br´ azol´ as´ at a W vektortéren, azaz tetsz˝ oleges g ∈ G-re 1 W (g) a W identikus transzform´ aci´ oja. Ekkor b´ armely ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ asra ρ · 1W = ρ + · · · + ρ, ahol a tagok sz´ ama dim(W ). Val´ oban, r¨ ogz´ıtve egy (b1 , . . . , bn ) b´ azist W -ben, V ⊗ W = V ⊗ b1 ⊕ · · · ⊕ V ⊗ bn (ahol értelemszer˝ uen V ⊗bi = {v⊗bi | v ∈ V }). Nyilv´ anval´ o, hogy V ⊗bi invari´ ans a ρ·1W a ´br´ azol´ asra nézve, és (ρ·1W )V ⊗bi ∼ = ρ. ´ ıt´ All´ as 4.1.2 Legyen ρ : G → GL(V ) irreducibilis komplex a ´br´ azol´ as, W n-dimenzi´ os vektortér, és tekints¨ uk a ρ · 1W a ´br´ azol´ ast. Ekkor tetsz˝ oleges minim´ alis invari´ ans altér V ⊗ w alak´ u alkalmas w ∈ W vektorral. Bizony´ıt´ as. Az el˝ obb l´ attuk, hogy σ := ρ · 1W a ρ irreducibilis a ´br´ azol´ as n péld´ any´ anak o ¨sszege, teh´ at a 3.1.3 Lemma szerint teljesen reducibilis, és a 3.1.4 Tétel szerint b´ armely U minim´ alis invari´ ans altérre σU ∼ ogz´ıts¨ unk egy T : U → V izomorfizmust σU és ρ k¨ oz¨ ott. R¨ ogz´ıtve egy (b1 , . . . , bn ) b´ azist = ρ. R¨ W -ben, b´ armely u ∈ U egyértelm˝ uen el˝ oa ´ll u = u1 ⊗ b1 + · · · + un ⊗ bn alakban, jel¨ olje Ti : U → V az u 7→ ui leképezést (i = 1, . . . , n). Vil´ agos, hogy Ti kapcsol´ o oper´ ator σU és ρ k¨ oz¨ ott (hiszen σ(g)(u) = ρ(g)(u1 )⊗b1 +· · ·+ρ(g)(un )⊗bn ), ezért Ti = λi T alkalmas λi ∈ C-vel (alkalmazzuk a 2.2.2 Lemm´ at Ti ◦T −1 re). Teh´ at u = λ1 T (u) ⊗ b1 + · · ·+ λn T (u) ⊗ bn = T (u) ⊗ (λ1 b1 + · · ·+ λn bn ), és U ⊆ V ⊗ (λ1 b1 + · · ·+ λn bn ). Nyilv´ anval´ o, hogy ez ut´ obbi altéren val´ o hat´ asa G-nek izomorf ρ-val, teh´ at ez egy minim´ alis invari´ ans altér, ´ıgy egyenl˝ o U -val.

4.2.

Du´ alis ´ abr´ azol´ as

Egy V vektortér du´ alisa a V 0 = {ξ | ξ : V → K line´ aris} vektortér. A ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ as du´ alis´ anak nevezz¨ uk a (g · ξ)(v) := ξ(g −1 v) (g ∈ G, ξ ∈ V 0 , v ∈ V ) formul´ aval megadott ρ0 : G → GL(V 0 ) a ´br´ azol´ ast. A b = (b1 , . . . , bn ) V -beli b´ azishoz tartoz´ o du´ alis b´ azis β = (β1 , . . . , βn ), ahol ( 1, ha i = j; βi (bj ) = 0, ha i 6= j. Erre érvényes a ξ(v) = ξβt · vb o ¨sszef¨ uggés. Nézz¨ uk meg, mi lesz a du´ alis a ´br´ azol´ ashoz tartoz´ o m´ atrix´ abr´ azol´ as. Mivel ξβt ρ0β (g)t ρb (g)vb = (ρ0β (g)ξβ )t (ρb (g)vb ) = (gξ)β · (gv)b = (gξ)(gv) = ξ(g −1 gv) = ξ(v) = ξβt · vb minden ξ ∈ V 0 és v ∈ V -re, azért

ρ0β (g) = (ρb (g)−1 )t .

(2) ρ 0β (g)

Ha ρ unitér és b ortonorm´ alt, akkor a fenti formul´ ab´ ol azt kapjuk, hogy = ρb (g) (ahol a fel¨ ulvon´ as komplex konjug´ altat jel¨ ol). Speci´ alisan, ha K = R és ρ ortogon´ alis, akkor ρ ∼ = ρ0 . 12

´ ıt´ All´ as 4.2.1 A ρ véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ as akkor és csak akkor irreducibilis, ha ρ 0 irreducibilis. Bizony´ıt´ as. Tetsz˝ oleges ρ : G → GL(V ) a ´br´ azol´ asra a v 7→ (ξ 7→ ξ(v)), V → (V 0 )0 természetes izomor0 0 fizmus a ρ és (ρ ) a ´br´ azol´ asok k¨ ozti izomorfizmus. Ezért elegend˝ o azt megmutatni, hogy ρ 0 irreducibi lit´ as´ ab´ ol k¨ ovetkezik ρ irreducibilit´ asa. Legyen W invari´ ans altér V -ben. Ekkor W ⊥ := {ξ ∈ V 0 | ξ W = 0} nyilv´ anval´ oan invari´ ans altér V 0 -ban, ´ıgy W ⊥ = {0}, vagy W ⊥ = V 0 . Az els˝ o esetben W = V , a m´ asodikban W = {0}.

4.3.

Direkt szorzat ´ abr´ azol´ asai

A G és H csoportok direkt szorzata G × H = {(g, h) | g ∈ G, h ∈ H}, ell´ atva a (g, h) · (g 0 , h0 ) := (gg 0 , hh0 ) m˝ uvelettel. Vil´ agos, hogy ez csoport. A (g, 1H ) alak´ u elemek egy G-vel izomorf norm´ aloszt´ ot alkotnak G × H-ban. Hasonl´ oan, a (1G , h) alak´ u elemek egy H-val izomorf norm´ aloszt´ ot alkotnak. Ez a két norm´ aloszt´ o diszjunkt (azaz az egységelemen k´ıv¨ ul nincs k¨ oz¨ os elem¨ uk), és gener´ alj´ ak G × H-t. Ford´ıtva, tegy¨ uk fel, hogy a D csoportnak van két norm´ aloszt´ oja, G és H u ´gy, hogy G ∩ H = {1} és D = hG, Hi. Ekkor D ∼ oban, tekints¨ uk a π : G × H → D, (g, h) 7→ gh leképezést. Mivel G és = G × H. Val´ H elemei p´ aronként felcserélhet˝ ok (ld. 1/6 feladat), azért π homomorfizmus. A π képe tartalmazza G-t és H-t, teh´ at tartalmazza a gener´ atumukat, vagyis az egész D-t. A gh = 1-b˝ ol k¨ ovetkezik g = h −1 ∈ G ∩ H, ´ teh´ at g = h = 1, azaz π injekt´ıv. Igy a Homomorfizmus-tétel szerint π izomorfizmus G × H és D k¨ oz¨ ott. Defin´ıci´ o 4.3.1 Tegy¨ uk fel, hogy adott a G1 és G2 csoportok egy-egy a ´br´ azol´ asa, legyenek ezek ρ i : G → GL(Vi ) (i = 1, 2). Ekkor tekints¨ uk a G1 × G2 direkt szorzatnak a (g1 , g2 ) · v1 ⊗ v2 := (g1 v1 ) ⊗ (g2 v2 ) képlettel defini´ alt ρ1 ⊗ ρ2 : G1 × G2 → GL(V1 ⊗ V2 ) a ´br´ azol´ as´ at. Ezt nevezz¨ uk a ρ1 és ρ2 a ´br´ azol´ asok tenzor-szorzat´ anak. Ne tévessz¨ uk o ¨ssze ezt a fogalmat az a ´br´ azol´ asok szorzat´ anak fogalm´ aval, ahol egyetlen csoport két a ´br´ azol´ as´ ab´ ol konstru´ altuk ugyanazon csoport u ´jabb a ´br´ azol´ as´ at. Legyenek ρ 1 , ρ2 a G csoport a ´br´ azol´ asai. A ρ1 ⊗ ρ2 a G × G csoport a ´br´ azol´ asa. Tekints¨ uk a d : G → G × G, g 7→ (g, g) homomorfizmust. A ρ 1 és ρ2 szorzata és direkt szorzata k¨ ozti kapcsolatot fejezi ki a (ρ 1 ⊗ ρ2 ) ◦ d = ρ1 · ρ2 formula. T´ etel 4.3.2 Véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ asok direkt szorzata is irreducibilis. Bizony´ıt´ as. Legyenek ρi : Gi → GL(Vi ) (i = 1, 2) véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ asok. Mint kor´ abban megjegyezt¨ uk, G1 és G2 azonos´ıthat´ o G1 × G2 egy-egy részcsoportj´ aval, és G1 × G2 tetsz˝ o leges a ´br´ azol´ as´ at megszor´ıthatjuk G1 -re illetve G2 -re. Nyilv´ anval´ o, hogy mint G1 a ´br´ azol´ asa, (ρ1 ⊗ ρ2 ) G1 = ρ 1 · 1 V2 ∼ = ρ1 + · · · + ρ 1 . Legyen W minim´ alis G1 × G2 -invari´ ans altér V1 ⊗ V2 -ben. A W tartalmaz egy minim´ alis G1 -invari´ ans ´ ıt´ alteret, legyen U ilyen. A 4.1.2 All´ as szerint U = V1 ⊗ w valamely w ∈ V2 -re. Tetsz˝ oleges v1 ∈ V1 esetén tekints¨ uk az U (v1 ) := {v2 ∈ V2 | v1 ⊗ v2 ∈ W } részhalmazt V2 -ben. Ez egy G2 -invari´ ans altér, ugyanis ha v1 ⊗ v2 ∈ W és h ∈ G2 , akkor (1G , h)v1 ⊗ v2 = v1 ⊗ hv2 . M´ asrészt U (v1 ) 6= {0}, hiszen w ∈ U (v1 ). Ezért ρ2 irreducibil´ at´ as´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy U (v1 ) = V2 minden v1 ∈ V1 -re, ami éppen azt jelenti, hogy W = V 1 ⊗ V2 .

4.4.

´ azol´ Abr´ as m´ atrix elemei

Jel¨ olje C[G] a G → C f¨ ugvények halmaz´ at, ez egy C-vektortér a pontonkénti o ¨sszead´ asra és skal´ arral val´ o szorz´ asra nézve, a dimenzi´ oja |G|. Defin´ıci´ o 4.4.1 Legyen ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os komplex a ´br´ azol´ as, b = (b 1 , . . . , bn ) b´ azis V -ben. Jel¨ olje ρij (g) a ρ(g)b m´ atrix (i, j)-edik elemét. A ρij ∈ C[G] (1 ≤ i, j ≤ n)P f¨ uggvényeket a ρ a ´br´ azol´ as (b b´ azisra vonatkoz´ o) m´ atrix-elemeinek nevezz¨ uk. Tekints¨ uk az M (ρ) := { aij ρij | aij ∈ C} alteret C[G]-ben. Ez a ρ a ´br´ azol´ as m´ atrix-elemeinek a tere. P Az M (ρ) m´ ar nem f¨ ugg a b´ azis v´ alaszt´ as´ at´ ol. Ugyanis tetsz˝ oleges f = aij ρij ∈ M (ρ) esetén jel¨ olje A azt a V → V line´ aris leképezést, amelynek a b b´ azisra vonatkoz´ o m´ atrixa A b = (aji )ni,j=1 . Ekkor fenn´ all, 13

hogy f (x) = T r(Ab · ρ(x)b ) = T r(A ◦ ρ(x)), teh´ at M (ρ)-t megadhatjuk a b b´ azira val´ o hivatkoz´ as nélk¨ ul a k¨ ovetkez˝ o m´ odon: M (ρ) = {x 7→ T r(A · ρ(x)) | A ∈ L(V )}, ahol L(V ) jel¨ oli a V → V line´ aris leképezések halmaz´ at, és a szok´ asnak megfelel˝ oen az L(V )-beli ◦ oper´ aci´ ot szorz´ asnak ´ırjuk. ´ ıt´ All´ as 4.4.2

(i) Ha ρ1 ∼ = ρ2 , akkor M (ρ1 ) = M (ρ2 ).

(ii) Ha ρ = ρ1 +· · ·+ρm , akkor M (ρ) = M (ρ1 )+· · ·+M (ρm ) (itt a jobboldalon C[G] megfelel˝ o altereinek az o ¨sszegér˝ ol van sz´ o). Bizony´ıt´ as. (i) Izomorf a ´br´ azol´ asokhoz – alkalmas b´ azisokat v´ alasztva – ugyanaz a m´ atrix a ´br´ azol´ as tartozik. (ii) Az 2.3 alfejezetben m´ ar l´ attuk, hogy alkalmas b´ azist v´ alasztva a ρ a ´br´ azol´ as terében, a megfelel˝ o nem-nulla m´ atrixelemek halmaza éppen az egyes´ıtése a ρi a ´br´ azol´ asok m´ atrix-elemeib˝ ol a ´ll´ o halmazoknak. Defin´ıci´ o 4.4.3 Tetsz˝ oleges G csoport esetén az R : G × G → GL(C[G]) ((g1 , g2 ) · f )(x) := f (g2−1 xg1 ) g1 , g2 , x ∈ G, f ∈ C[G] formul´ aval megadott a ´br´ azol´ ast a kétoldali regul´ aris a ´br´ azol´ asnak nevezz¨ uk. T´ etel 4.4.4 A ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ as m´ atrix-elemeinek M (ρ) tere G × G-invari´ ans altér C[G]-ben, és mint G × G a ´br´ azol´ asa, R M (T ) ∼ = ρ ⊗ ρ0 . A fenti tétel bizony´ıt´ asa el˝ ott nézz¨ uk meg az al´ abbi, gyakran haszn´ alatos lemm´ at: Lemma 4.4.5 Legyen ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ as. Tekints¨ uk az Ad : G × G → GL(L(V )), Ad(g, h)(A) := ρ(g) ◦ A ◦ ρ(h−1 ), (g, h ∈ G, A ∈ L(V )) a ´br´ azol´ ast. Ekkor a ν : V ⊗ V 0 → L(V ), ν(v ⊗ ξ)(w) = ξ(w)v (v, w ∈ V, ξ ∈ V 0 ) leképezés egy izomorfizmus a G × G csoport ρ ⊗ ρ0 és Ad a ´br´ azol´ asai k¨ oz¨ ott. Bizony´ıt´ as. Tetsz˝ oleges g, h ∈ G, v, w ∈ V , ξ ∈ V 0 esetén fenn´ all, hogy ν((g, h) · v ⊗ ξ)(w) = ν(gv ⊗ hξ)(w) = (hξ)(w)gv = ξ(h−1 w)gv = g(ξ(h

−1

(3)

w)v) = (Ad(g, h) · ν(v ⊗ ξ))(w),

ami éppen azt jelenti, hogy ν kapcsol´ o oper´ ator a megfelel˝ oa ´br´ azol´ asok k¨ oz¨ ott. Egy kapcsol´ o oper´ ator magtere mindig invari´ ans altér. Ezért ker(ν) invari´ ans altér V ⊗ V 0 -ben, és vil´ agos, hogy ν 6= 0, azaz ker(ν) 6= V ⊗ V 0 . A 4.3.2 Tételb˝ ol tudjuk, hogy ρ ⊗ ρ0 irreducibilis. Ezért ker(ν) = {0}, azaz ν injekt´ıv. 0 A V ⊗ V és az L(V ) dimenzi´ oinak egyezése miatt ν sz¨ ukségképpen sz¨ urjekt´ıv is. Bel´ attuk teh´ at, hogy ν egy izomorfizmus ρ ⊗ ρ0 és Ad k¨ oz¨ ott. A 4.4.4 Tétel Bizony´ıt´ asa. Tekints¨ uk a µ : L(V ) → M (ρ), µ(A)(x) := T r(A · ρ(x)) (A ∈ L(V ), x ∈ G) line´ aris leképezést, kor´ abban m´ ar l´ attuk, hogy ez sz¨ urjekt´ıv. A k¨ ovetkez˝ o sz´ amol´ as mutatja, hogy M (ρ) G × G-invari´ ans, és µ kapcsol´ o oper´ ator a 4.4.5 Lemm´ aban defini´ alt Ad és a R M (ρ) a ´br´ azol´ asok k¨ oz¨ ott: b´ armely g, h ∈ G-re, µ((g, h) · A)(x) = µ(ρ(g) · A · ρ(h−1 ))(x) = T r(ρ(g)Aρ(h−1 ρ(x)) = T r(Aρ(h

−1

)ρ(x)ρ(g)) = T r(Aρ(h

−1

xg) = µ(A)(h

−1

(4)

xg)

= (R(g, h) · µ(A))(x). A 4.3.2 Tételb˝ ol és a 4.4.5 Lem´ ab´ ol tudjuk, hogy G × G irreducibilisen hat L(V )-n, ´ıgy ker(µ) csak a {0} trivi´ alis altér lehet. Teh´ at µ injekt´ıv is. Bel´ attuk teh´ at, hogy µ egy izomorfizmus Ad és R M (T ) k¨ oz¨ ott, ´ıgy 14

a 4.4.5 Lemma mutatja a k´ıv´ ant a ´ll´ıt´ ast.

A G csoport kétféleképpen is be´ agyazhat´ o G × G-be, a ι1 : G → G × G, g 7→ (g, 1), illetve a ι2 : G → G × G, g 7→ (1, g) homomorfizmusok a ´ltal. A G csoport J := R ◦ ι1 : G → GL(C[G]) a ´br´ azol´ as´ at jobboldali regul´ aris a ´br´ azol´ asnak, m´ıg a B := R ◦ ι2 : G → GL(C[G]) a ´br´ azol´ ast baloldali regul´ aris a ´br´ azol´ asnak nevezz¨ uk. K¨ ovetkezm´ eny 4.4.6 Az al´ abbiakban ρ, ρi : G → GL(V ) véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ asok. 1. M (ρ) invari´ ans a G jobboldali regul´ aris a ´br´ azol´ as´ ara nézve, és JM (ρ) ∼ = ρ+··· +ρ . | {z } dim(V ) darab

2. M (ρ) invari´ ans a G baloldali regul´ aris a ´br´ azol´ as´ ara nézve, és

3. dimC (M (ρ)) = dim(V )2

BM (ρ) ∼ = ρ0 + · · · + ρ 0 . {z } | dim(V ) darab

4. G minden irreducibilis a ´br´ azol´ asa megjelenik C[G] részeként. 5. RM (ρ1 ) ∼ = RM (ρ2 ) ⇒ ρ1 ∼ = ρ2 6. Ha ρ1 , . . . , ρq p´ aronként nem-izomorfak, akkor M (ρ1 ), . . . , M (ρq ) line´ arisan f¨ uggetlen alterek C[G]ben. Bizony´ıt´ as. 1. JM (ρ) = RM (ρ) ◦ ι1 ∼ asa hasonl´ o. = (ρ ⊗ ρ0 ) ◦ ι1 = ρ · 1V 0 ∼ = ρ + · · · + ρ. 2. bizony´ıt´ 3. és 4. azonnal k¨ ovetkeznek a 4.4.4 Tételb˝ ol. 5. RM (ρ1 ) ∼ ol az 1. szerint k¨ ovetkezik ρ1 + · · · + ρ1 ∼ = RM (ρ2 ) -b˝ = ρ2 + · · · + ρ2 , ahonnan az 3.1.4 Tétel ∼ (iii) alapj´ an ρ1 = ρ2 . 6. A 4.3.2 és 4.4.4 Tételekb˝ ol tudjuk, hogy G × G p´ aronként nem-izomorfan és irreducibilisen hat a C[G] tér M (ρ1 ), . . . , M (ρq ) alterein. Ezért ezek az alterek sz¨ ukségképpen line´ arisan f¨ uggetlenek (ld. 3.1.5).

5. 5.1.

V´ eges csoportok komplex ´ abr´ azol´ asai A regul´ aris ´ abr´ azol´ as felbont´ asa

Ebben a fejezetben végig G véges csoport, ekkor C[G] véges dimenzi´ os. A 3.2.2 Lemma és a 3.2.3 Tétel szerint J : G → GL(C[G]) teljesen reducibilis. Bontsuk irreducibilisek o ¨sszegére, a 4.4.6 K¨ ovetkezményb˝ ol tudjuk, hogy ezen véges sok o ¨sszeadand´ o k¨ oz¨ ott G irreducibilis a ´br´ azol´ asainak minden izomorfia t´ıpusa megjelenik. Jel¨ ol´ es: Legyen ρk : G → GL(Vk ), k = 1, . . . , q a G véges csoport irreducibilis komplex a ´br´ azol´ asainak izmorfia erejéig teljes (és természetesen ismétlés nélk¨ uli) list´ aja, n k := dim(Vk ). T´ etel 5.1.1 C[G] = M (ρ1 ) ⊕ · · · ⊕ M (ρq ) Bizony´ıt´ as. A 4.4.6 K¨ ovetkezmény szerint M (ρ1 ), . . . , M (ρq ) line´ arisan f¨ uggetlenek, azaz az o ¨sszeg¨ uk direkt o ¨sszeg. Elegend˝ o azt megmutatni, hogy gener´ alj´ ak C[G]-t. A G b´ armely véges dimenzi´ os ρ a ´br´ azol´ as´ ara ρ ∼ oli a ρi multiplicit´ as´ at = m1 ρ1 + · · · + mq ρq , ahol mi jel¨ ´ ρ-ban. Ezért a 4.4.2 All´ıt´ as szerint M (ρ) ⊆ M (ρ1 ) + · · · + M (ρ1 ) + · · · + M (ρq ) + · · · + M (ρq ) = M (ρ1 ) + · · · + M (ρq ). Speci´ alisan, M (ρ1 ) + · · · + M (ρq ) ⊇ M (J).

15

Bel´ atjuk, hogy M (J) ⊇ C[G]. Legyen f1 , . . . , fd b´ azis C[G]-ben, és J ezen b´ azisra vonatkoz´ o m´ atrix elemeit jel¨ olje rij , (1 ≤ i, j ≤ d). Tetsz˝ oleges j ∈ {1, . . . , d}-re fenn´ all, hogy fj (g) = fj (1G · g) = J(g)(fj )(1G ) =

d X

(rij (g)fi )(1G ) =

i=1

teh´ at fj =

Pd

i=1

d X

fi (1G )rij (g),

i=1

fi (1G )rij ∈ M (J) minden j-re.

K¨ ovetkezm´ eny 5.1.2 Pq 2. J ∼ = i=1 ni ρi .

1. n21 + · · · + n2q = |G|

Bizony´ ıt´ as. A 4.4.6 ovetkezm´ eny és a 5.1.1 Tétel alapj´ an |G| = dim(C[G]) = Pq Pq K¨ P q 2 ∼ n , ´ e s J = J n ρ . = i i M (ρ ) i i=1 q i=1 i=1

5.2.

Pq

i=1

dim(M (ρi )) =

Karakterek

Defin´ıci´ o 5.2.1 A ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ as karaktere a χ ρ : G → C, g 7→ T r(ρ(g)) f¨ uggvény. Vil´ agos, hogy χρ ∈ M (ρ). • Ha ρ ∼ o m´ atrixok nyoma egyenl˝ o. = σ, akkor χρ = χσ , mivel hasonl´ • χρ+σ = χρ + χσ , mert blokkdiagon´ alis m´ atrixok nyoma a diagon´ alis blokkok nyomainak o ¨sszege. • χρ·σ = χρ · χσ , mert m´ atrixok Kronecker-szorzat´ anak a nyoma a megfelel˝ o nyomok szorzata. • χρ0 (g) = χρ (g −1 ) a (2) szerint. • B´ armely g, x ∈ G-re fenn´ all, hogy χρ (g −1 xg) = χρ (x), mert T r(ρ(g −1 xg)) = T r(ρ(g)−1 ρ(x)ρ(g)) = T r(ρ(x)). A karakterek benne vannak a centr´ alis f¨ uggvények Cent(G) := {f ∈ C[G] | ∀g, x ∈ G : f (g −1 xg) = f (x)} terében. Ezek azok a G → C f¨ uggvények, amelyek G u ´gynevezett konjug´ alt oszt´ alyain a ´lland´ ok. A konjug´ al´ as G-nek az a saj´ atmag´ an val´ o γ : G → S(G) hat´ asa, amit a γ(g)(x) := gxg −1 formula ad meg. Az x csoportelem p´ aly´ aj´ at a γ hat´ asn´ al az x konjug´ alt oszt´ aly´ anak nevezz¨ uk, és x G -vel jel¨ olj¨ uk. Azt mondjuk, hogy x és y konjug´ altak, ha ugyanabban a konjug´ alt oszt´ alyban vannak. Lévén egy csoporthat´ as p´ aly´ ai, a konjug´ alt oszt´ alyok part´ıci´ oj´ at adj´ ak G-nek. Az x stabliliz´ ator´ at C G (x)-szel jel¨ olj¨ uk, és az x centraliz´ ator´ anak h´ıvjuk. (Az elnevezés oka, hogy CG (x) = {g ∈ G | gx = xg}.) A 1.3.3 K¨ ovetkezményt erre az esetre alkalmazva kapjuk az |xG | = [G : CG (g)] o ¨sszef¨ uggést. ´ ıt´ All´ as 5.2.2 G irreducibilis a ´br´ azol´ asainak karakterei, χρ1 , . . . , χρq b´ azist alkotnak Cent(G)-ben. Bizony´ıt´ as. A 5.1.1 Tétel szerint b´ armely f ∈ Cent(G) egyértelm˝ uen fel´ırhat´ o f = f 1 + · · · + fq alakban, ahol fi ∈ M (ρi ). Megmutatjuk, hogy fi ∈ Cent(G). Val´ oban, az, hogy f centr´ alis, ekvivalens azzal, hogy Pq R(g, g) · f = f minden g ∈ G-re. Teh´ at f = R(g, g) · f = i=1 R(g, g) · fi , és mivel M (ρi ) R-invari´ ans, f -nek ez ut´ obbi o ¨sszegként val´ o el˝ oa ´ll´ıt´ asa megegyezik az eredetivel. K¨ ovetkezésképpen R(g, g)f i = fi minden g ∈ G-re, ami azt jelenti, hogy fi ∈ Cent(G) (i = 1, . . . , q). Ezért az a ´ll´ıt´ as k¨ ovetkezik az al´ abbi lemm´ ab´ ol. Lemma 5.2.3 Tetsz˝ oleges ρ : G → GL(V ) irreducibilis a ´br´ azol´ as esetén M (ρ) ∩ Cent(G) = Cχ ρ . Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk a 4.4.4 Tétel bizony´ıt´ as´ aban szerepl˝ o µ : L(V ) → M (ρ) izomorfizmust a G × G csoport Ad és RM (ρ) a ´br´ azol´ asai k¨ oz¨ ott. A centr´ alis f¨ uggvények azoknak az A ∈ L(V ) line´ aris transzform´ aci´ oknak felelnek meg, amelyekre ρ(g)Aρ(g)−1 = A minden g ∈ G-re. A 2.2.2 Lemma szerint ezek pontosan a λ · idV transzform´ aci´ ok (λ ∈ C). A µ izomorfizmusn´ al a λ · idV képe λχρ .

16

K¨ ovetkezm´ eny 5.2.4 1. G p´ aronként nem-izomorf komplex irreducibilis a ´br´ azol´ asainak a sz´ ama megegyezik G konjug´ alt oszt´ alyainak sz´ am´ aval. 2. Az a ´br´ azol´ as izomorfia-t´ıpus´ at meghat´ arozza a karaktere, azaz ha a ρ és σ véges dimenzi´ os komplex a ´br´ azol´ asokra χρ = χσ , akkor ρ ∼ = σ. ´ ıt´ Bizony´ıt´ as. 1. A 5.2.2 All´ as szerint q megegyezeik Cent(G) dimenzi´ oj´ aval, ami nyilv´ anval´ oan a G-beli konjug´ alt oszt´ alyok sz´ ama. azP azonos karakterrel rendelkez˝ o a ´br´ azol´ asokat irreducibilisek o ¨sszegére, mondjuk ρ ∼ = Pq 2. Bontsuk ∼ q 0 m ρ ´ e s σ m ρ . Innen = i=1 i i i i i=1 q X

m i χ ρi = χ ρ = χ σ =

q X

m0i χρi .

i=1

i=1

´ ıt´ arisan f¨ uggetlenek a 5.2.2 All´ as szerint, teh´ at m1 = m01 , . . . , mq = m0q , azaz A χρ1 , . . . , χρq karakterek line´ ρ∼ = σ.

5.3.

Karakterek ortogonalit´ asa

Kezdj¨ uk két a ´ltal´ anos érvény˝ u (nem csak véges csoportokra vonatkoz´ o) lemm´ aval. Lemma 5.3.1 Legyen ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ as, és W 1 , W2 minim´ alis invari´ ans alterek V -ben u ´gy, hogy ρW1 és ρW2 nem-izomorfak. Ekkor W1 és W2 mer˝ olegesek b´ armilyen invari´ ans skal´ aris szorzatra nézve. Bizony´ıt´ as. R¨ ogz´ıts¨ unk egy invari´ ans skal´ aris szorzatot. Tekints¨ uk a V = W 1 ⊕ W1⊥ felbont´ ast, és a oz¨ ott. K¨ ovethozz´ a tartoz´ o p : V → W1 vet´ıtést. Nyilv´ anval´ o, hogy ez egy kapcsol´ o oper´ ator ρ és ρ W1 k¨ kezésképpen p W : W2 → W1 kapcsol´ o oper´ ator a ρW1 és ρW2 nem-izomorf irreducibilis a ´br´ azol´ asok k¨ oz¨ ott, 2 ezért 2.2.1 Lemma szerint p W2 = 0. Ez éppen azt jelenti, hogy W2 ≤ W1⊥ . Lemma 5.3.2 Ha létezik invari´ ans skal´ aris szorzat a ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ as terén, akkor az skal´ arszorz´ o erejéig egyértelm˝ uen meghat´ arozott.

Bizony´ıt´ as. R¨ ogz´ıts¨ unk egy (−, −) invari´ ans skal´ aris szorzatot V -n. Elemi line´ aris algebrai tény, hogy b´ armelyik m´ asik β skal´ aris szorzathoz létezik olyan B ∈ L(V ), amellyel β(x, y) = (x, B(y)) minden x, y ∈ V -re. Tegy¨ uk fel, hogy β is G-invari´ ans. Akkor minden g ∈ G-re (x, B(y)) = β(x, y) = β(gx, gy) = (gx, B(gy)) = (x, g −1 · B(gy)) = (x, (ρ(g)−1 Bρ(g))(y)), amib˝ ol ρ(g)−1 Bρ(g) = B k¨ ovetkezik. Ez egyenérték˝ u azzal, hogy B a ρ irreducibilis a ´br´ azol´ as endomorfizmusa, ´ıgy a 2.2.2 Lemma miatt valamilyen λ ∈ C skal´ arral val´ o szorz´ as. Ez éppen azt jelenti, hogy β = λ · (−, −). Vezess¨ uk be a C[G] téren az (f1 , f2 ) :=

1 X f1 (g)f2 (g) |G|

(5)

g∈G

skal´ aris szorzatot. K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ez R-invari´ ans. A 3.2.3 Tétel alapj´ an feltehetj¨ uk, hogy ρk unitér (k = 1, . . . , q), azaz adott Vk -n egy invari´ ans skal´ aris szorzat. ´ ıt´ All´ as 5.3.3 Jel¨ olje ρk,i,j (1 ≤ i, j ≤ nk ) a ρk m´ atrixelemeit Vk egy r¨ ogz´ıtett ortonorm´ alt b´ azis´ ara vonatkoz´ oan. Akkor ( 1 , ha k = k 0 , i = i0 , j = j 0 ; (ρk,i,j , ρk0 ,i0 ,j 0 ) = nk 0 egyébként.

17

Bizony´ıt´ as. Ha k 6= k 0 , akkor a 4.4.4 Tétel szerint RM (ρk ) és RM (ρk0 ) nem-izomorf irreducibilis a ´br´ azol´ asai G × G-nek, ´ıgy a 5.3.1 Lemm´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy M (ρk ) ⊥ M (ρk0 ). A tov´ abbiakban k = k 0 r¨ ogz´ıtett, a jel¨ olések egyszer˝ us´ıtése végett legyen V := V k , ρ := ρk , b = (b1 , . . . , bn ) ortonorm´ alt b´ azis V -ben. Vezess¨ uk be az (A, B) := T r(A∗ B) skal´ aris szorzatot L(V )-n (itt A∗ a V euklideszi tér A transzform´ aci´ oj´ anak az adjung´ altj´ at jel¨ oli). Ez Ad-invari´ ans, hiszen (Ad(g, h) · A, Ad(g, h) · B) = T r((ρ(g)Aρ(h)−1 )∗ (ρ(g)Bρ(h)−1 )) = T r((ρ(h)−1 )∗ A∗ ρ(g)∗ ρ(g)Bρ(h)−1 ) = T r(A∗ B) = (A, B) (emlékeztet¨ unk r´ a, hogy ρ unitérsége miatt ρ(g)∗ = ρ(g)−1 ). Azonos´ıtsuk az M (ρ) teret L(V )-vel a a 4.4.4 Tétel bizony´ıt´ as´ aban defini´ alt µ : L(V ) → M (ρ) izomorfizmus a ´ltal. Mivel Ad ∼ = RM (ρ) véges dimenzi´ os komplex irreducibilis a ´br´ azol´ asa G × G-nek, azért a 5.3.2 Lemma szerint az L(V ) = M (ρ)ban skal´ arszorz´ o erejéig csak egy G × G-invari´ ans skal´ aris szorzat van, teh´ at a most defini´ alt L(V )beli skal´ aris szorzat a (5) skal´ aris szorzat konstansszorosa. Vagyis alkalmas λ ∈ C-vel fenn´ all, hogy (µ(A), µ(B)) = λT r(A∗ B) minden A, B ∈ L(V )-re. Vil´ agos, hogy ρij = µ(E ji ), ahol E ij az a V → V line´ aris transzform´ aci´ o, amelynek a b b´ azisban fel´ırt Ebij m´ atrix´ aban az (i, j)-edik eleme 1, a t¨ obbi 0. (Val´ oban, µ(E ji )(x) = T r(E ji ρ(x)) = T r(Ebji ρb (x)) = ρij (x).) Ezért 0 0

(ρij , ρi0 j 0 ) = (µ(E ji ), µ(E j i )) = λT r((E ij )∗ E i j )λT r(E ji E ij ) = λT r(Ebji Ebij ) ( λ, ha i = i0 , j = j 0 ; = 0, egyébként. 0 0

M´ ar csak azt kell megmutatnunk, hogy λ = n1 , ahol n = dim(V ). Mivel ρ(g)b unitér m´ atix, ezért péld´ aul az els˝ o oszlop´ anak az o ¨nmag´ aval vett skal´ aris szorzata 1, azaz 1=

n X

ρi1 (g)ρi1 (g) (g ∈ G).

i=1

¨ Osszegezz¨ uk ezeket az egyenl˝ oségeket, ahogy g befutja G-t, |G|-mal leosztva azt kapjuk, hogy 1=

n 1 XX ρi1 (g)ρi1 (g) |G| i=1 g∈G

=

n X i=1

=

1 X ρi1 (g)ρi1 (g) |G| g∈G

n X

(ρi1 , ρi1 ) = n · λ.

i=1

A jel¨ olések egyszer˝ us´ıt´se végett legyen χk := χρk (k = 1, . . . , q). T´ etel 5.3.4 A χ1 , . . . , χq karakterek ortonorm´ alt b´ azist alkotnak Cent(G)-ben. Pnk ´ ıt´ Bizony´ıt´ as. Defin´ıci´ o szerint χk = i=1 ρk,i,i , ´ıgy alkalmazva a 5.3.3 All´ ast kapjuk, hogy X X X (χk , χk0 ) = ( ρk,i,i , ρk0 ,j,j ) = (ρk,i,i , ρk0 ,j,j ) i

=

(

0, P

j

i (ρk,i,i , ρk,i,i )

i,j

= nk ·

1 nk

= 1,

ha k 6= k 0 ; ha k = k 0 .

18

K¨ ovetkezm´ eny 5.3.5 Legyen ρ véges dimenzi´ os komplex a ´br´ azol´ asa G-nek. Ekkor P q ∼ 1. ρ = k=1 (χρ , χk )ρk 2. ρ akkor és csak akkor irreducibilis, ha (χρ , χρ ) = 1.

Bizony´ıt´ as. 1. ovetkezik a 5.3.4 Tételb˝ ol. Pqazonnal k¨ Pq Pq 2. ρ ∼ m ρ alkalmas m nem-negat´ ıv egészekre. Ekkor (χρ , χρ ) = ( i=1 χi , j=1 χj ) = = k k k k=1 Pq 2 es nem-negat´ıv egészek négyzet¨ osszege csak u ´gy lehet 1, ha valamelyik k¨ oz¨ ul¨ uk 1, és a t¨ obbi 0. k=1 mk , ´ Megjegyz´ es. A karakter nagyon hatékony sz´ amol´ asi eszk¨ oz a ´br´ azol´ asokkal kapcsolatos kérdések eld¨ ontésére. Defin´ıci´ o szerint egy n-dimenzi´ os a ´br´ azol´ ast |G| · n2 sz´ ammal lehet megadni (minden csoportelemhez hozz´ arendel¨ unk egy n × n-es m´ atrixot). Ehhez képest a karaktert j´ oval kevesebb sz´ ammal lehet megadni, hiszen elég megmondani minden egyes konjug´ alt oszt´ alyhoz egy sz´ amot (´ altal´ aban nem-kommutat´ıv csoport esetén a konjug´ alt oszt´ alyok sz´ ama j´ oval kisebb, mint a csoport elemsz´ ama). Mégis, l´ attuk a 5.2.4 K¨ ovetkezményben, hogy a karakter m´ ar meghat´ arozza az a ´br´ azol´ as izomorfia t´ıpus´ at. Tov´ abb´ a puszt´ an az a ´br´ azol´ as karakterének ismeretében egyszer˝ u sz´ amol´ assal eld¨ onthet˝ o, hogy a kérdéses a ´br´ azol´ as irreducibilis-e (ld. 5.3.5 K¨ ovetkezmény). S˝ ot, ha ismerj¨ uk az irreducibilis karaktereket, akkor az a ´br´ azol´ as karakteréb˝ ol ki tudjuk sz´ am´ıtani az irreducibilis komponensek multiplicit´ asait. Jel¨ olje C1 , . . . , Cq a G konjug´ alt oszt´ alyait, és mint kor´ abban, χ1 , . . . , χq az irreducibilis karaktereket. A G csoport karaktert´ abl´ aja egy q × q-as m´ atrix, melynek sorait az irreducibilis karakterek, oszlopait pedig a konjug´ alt oszt´ alyok indexelik, és a χi sor´ aban és Cj oszlop´ aban a ´ll´ o elem χi (g), ahol g ∈ Cj . P´ eld´ ak. 1. C2 = {g, g 2 = 1}, a kételem˝ u ciklikus csoport karaktert´ abl´ aja: χ1 χ2

{1} {g} 1 1 1 −1

2. C3 = {g, g 2 , g 3 = 1}, a h´ aromelem˝ u ciklikus csoport karaktert´ abl´ aja χ1 χ2 χ3 ahol ε = − 21 + i

√ 3 2

{1} {g} {g 2 } 1 1 1 , 1 ε ε2 2 1 ε ε

harmadik egységgy¨ ok.

3. D3 , a harmadfok´ u diéder csoport (ld. 1. Fejezet feladatai) karaktert´ abl´ aja: χ1 χ2 χ3

{1} {f, f 2 } {t, f t, f 2 t} 1 1 1 1 1 −1 2 −1 0

Nézz¨ uk meg, hogy a karakterek ortogonalit´ asa hogyan jelenik meg karaktert´ aban. M´ odos´ıtsuk q abl´ |Cj | ideiglenesen a karaktert´ abl´ at u ´gy, hogy az (i, j)-edik elemét szorozzuk meg a sz´ a mmal. A karak|G| terek ortonorm´ alts´ aga éppen azt jelenti, hogy a m´ odos´ıtott karaktert´ abla sorai ortonorm´ altak a standard skal´ aris szorzatra nézve, azaz a m´ odos´ıtott karaktert´ abla egy unitér m´ atrix. Akkor viszont az oszlopai is ortonorm´ altak a standard skal´ aris szorzatra nézve, ´ıgy kij¨ ott az al´ abbi k¨ ovetkezmény. K¨ ovetkezm´ eny 5.3.6 (Karakterek II. ortogonalit´ asi rel´ aci´ oja) Legyen C, C 0 két konjug´ alt oszt´ aly G-ben, 0 g ∈ Cés h ∈ C . Ekkor ( q X 0, ha C 6= C 0 ; χi (g)χi (h) = |G| ha C = C 0 . |C| , i=1 19

6. 6.1.

Fizikai alkalmaz´ asok Fizikai alkalmaz´ asok s´ em´ aja

Egy fizikai rendszert az u ´gynevezett Hamilton-oper´ ator ´ır le. A H Hamilton-oper´ ator egy V Hilbert-téren (az u ´gynevezett a ´llapottéren hat´ oo ¨nadjung´ alt oper´ ator. Az egyszer˝ uség kedvéért tegy¨ uk most fel, hogy V egy véges dimenzi´ os euklideszi tér. A rendszer szimmetria-csoportja G = {B ∈ U (V ) | BH = HB}, ahol U (V ) jel¨ oli az unitér oper´ atorok csoportj´ at. ´ ıt´ All´ as 6.1.1 Tegy¨ uk fel, hogy a H o ¨nadjung´ alt oper´ ator G szimmetriacsoportj´ anak V -n val´ oa ´br´ azol´ aban az irreducibilis komponensek – multiplicit´ assal felsorolva – n 1 , . . . , nk dimenzi´ osak (n1 +· · ·+nk = dim(V )). Akkor ennyiesével egybeesnek H saj´ atértékei. S˝ ot,Plétezik az {1, . . . , k} indexhalmaznak egy {1, . . . , k} = S ıci´ oja u ´gy, hogy dim(Vλ ) = i∈I(λ) ni (itt Spec(H) jel¨ oli a H saj´ atértékeinek halλ∈Spec(H) I(λ) part´ maz´ at, és Vλ a λ saj´ atértékhez tartoz´ o saj´ atalteret). L ¨sszegére. Tetsz˝ oleges Bizony´ıt´ as. Bontsuk fel a V teret a H saj´ ataltereinek V = λ∈Spec(H) Vλ direkt o B ∈ G és v ∈ Vλ esetén H(B(v)) = (HB)(v) = (BH)(V ) = B(H(v)) = B(λv) = λB(v), azaz a Vλ altér G-invari´ ans. Teh´ at a V egy minim´ alis G-invari´ ans alterek direkt o ¨sszegére val´ o felbont´ as´ at L megkaphatjuk u ´gy, hogy a V = λ∈Spec(H) Vλ direkt o ¨sszeg tagjait bontjuk tov´ abb (ha sz¨ ukséges).

Teh´ at a rendszer szimmetri´ ai saj´ atérték egybeeséseket vonnak maguk ut´ an. A fizikusok szerint ”csak az esik egybe, aminek musz´ aj”, azaz a rendszernek addig keresik szimmetri´ ait, ameddig elegend˝ onek nem bizonyulnak a mért egybeesések magyar´ azat´ ara. Zeeman-f´ ele term´ eszetes felhasad´ as. Példaként nézz¨ uk meg a k¨ ovetkez˝ o jelenséget: molekul´ at m´ agneses térbe helyezve a sz´ınképvonalai felhasadnak. Ennek csoportelméleti magyar´ azata, hogy a m´ agneses térben a molekula eltorzul (egy i´ anyba megny´ ulik), ´ıgy kisebb lesz a szimmetria csoportja. A régi G szimmetriacsoportnak most m´ ar csak egy F részcsoportj´ at alkotj´ ak az eltorzult molekula szimmetri´ ai. Bontsuk fel a V a ´llapotteret minim´ alis F -invari´ ans alterek direkt o ¨sszegére. Ezt megtehetj¨ uk u ´gy, hogy el˝ osz¨ or felbontjuk minim´ alis G-invari´ ans alterek direkt o ¨sszegére. Ezek a tagok persze F -invari´ ansak, de nem ´ ıt´ feltétlen¨ ul minim´ alisak. Így a ´ltal´ aban tov´ abb bomlanak, és ennek megfelel˝ oen a 6.1.1 All´ asban szerepl˝ o n1 , . . . , nk sz´ amok is kisebbekre esnek szét. Teh´ at a kisebb szimmetriacsoport a ´ltal´ aban kisebb egybeeséseket von maga ut´ an. (Péld´ aul ha F Abel-féle, akkor a 2.2.3 Tétel szerint a minim´ alis F -invari´ ans alterek 1-dimenzi´ osak, és ennek megfelel˝ oen az egybeesések megsz˝ unnek.)

6.2.

A met´ an molekula saj´ atrezg´ eseinek oszt´ alyoz´ asa

A k¨ ovetkez˝ okben ismertetj¨ uk Wigner Jen˝ o m´ odszerét a met´ an molekula saj´ atrezgéseinek oszt´ alyoz´ as´ ara. A met´ an molekula – egy szab´ alyos tetraéder cs´ ucsain elhelyezked˝ o – négy hidrogénatomb´ ol és egy – a k¨ ozéppontban elhelyezked˝ o – szénatomb´ ol a ´ll. R¨ ogz´ıts¨ unk egy-egy koordin´ atarendszert a szab´ alyos tetraéder k¨ ozépontj´ ahoz és a négy cs´ ucshoz. A rezg˝ o molekula pillanatnyi helyzetét le´ırja az az R 15 -beli vektor, aminek az els˝ o 3-dimenzi´ os komponense megadja a szénatom elmozdul´ as´ at, a m´ asodik 3-dimenzi´ os komponense az els˝ o hidrogénatom elmozdul´ as´ at, stb.. Az x ∈ R15 elmozdul´ as rezgési energi´ aj´ at le´ırja egy f : R15 → R analitikus f¨ uggvény, melyre f (0) = 0, és f (x) ≥ 0 minden x-re. Ezért az orig´ o kis k¨ ornyzetében f (x) ∼ xt Ax, ahol A egy szimmetrikus, pozit´ıv szemidefinit 15 × 15-¨ os m´ atrix. Az A saj´ atvektorai az u ´gynevezett saj´ atrezgések, (melyeknek frekvenci´ aja a megfelel˝ o saj´ atérték), ezek kifesz´ıtik a rezgések terét. A rendszer szimmetriacsoportja nyilv´ anval´ oan tartalmazza a szab´ alyos tetraéder szimmetriacsoportj´ at. Jel¨ olje G ≤ O3 (R) a 3-dimenzi´ os euklideszi tér azon egybev´ ag´ os´ againak csoportj´ at, amelyek saj´ atmag´ aba viszik a szab´ alyos tetraédert. ´ ıt´ All´ as 6.2.1 G izomorf S4 -gyel, a negyedfok´ u szimmetrikus csoporttal.

20

Bizony´ıt´ as. Vil´ agos, hogy G hat a cs´ ucsok halmaz´ an, jel¨ olje φ : G → S 4 a megfelel˝ o homomorfizmust. Ha egy egybev´ ag´ os´ ag fix´ alja a tér négy nem egys´ık´ u pontj´ at, akkor az az identit´ as. Ezért φ injekt´ıv. M´ asfel˝ ol, az 12 él felez˝ opontj´ an és a 3, 4 cs´ ucsokon a ´tmen˝ o t¨ ukr¨ ozés képe φ-nél az (1, 2) transzpoz´ıci´ o. Hasonl´ oan, (2, 3) ∈ im(φ) és (3, 4) ∈ im(φ). Teh´ at im(φ) ⊇ h(1, 2), (2, 3), (3, 4)i = S4 . Bel´ attuk teh´ at, hogy φ : G → S4 izomorfizmus. Sz¨ ukség¨ unk lesz a G ∼ abl´ aj´ ara. = S4 karaktert´ C #C χ1 χ2 χ3 χ4 χ5

id (123) (12)(34) (12) (1234) 1 8 3 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 2 −1 2 0 0 3 0 −1 1 −1 3 0 −1 −1 1

Az S4 -nek o ¨t konjug´ alt oszt´ alya van, hiszen a lehetséges ciklus szerkezetek 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1 + 1 + 1 + 1 (ld. az 5. Fejezet feladatait). A fenti t´ abl´ azatban a konjug´ alt oszt´ alyokn´ al az als´ o indexbe ´ırt sz´ am a konjug´ alt oszt´ aly elemsz´ am´ at jel¨ oli. Ezekre a sz´ amokra sz¨ ukség van a karakterek skal´ aris szorzat´ anak kisz´ amol´ as´ ahoz. A karaktert´ abl´ at péld´ aul a k¨ ovetkez˝ o érvelés magyar´ azza. A χ 1 a trivi´ alis a ´br´ azol´ as karaktere, χ2 a sign a ´br´ azol´ as karaktere. A χ4 -et u ´gy kapjuk, hogy S4 -re, mint a szab´ alyos tetraéder szimmetriacsoportj´ ara gondolunk. Ez egy 3-dimenzi´ os a ´br´ azol´ as, ami nyilv´ anval´ oan irreducibilis. 2π Az (1, 2, 3) elem képe egy egyenes k¨ or¨ uli 2π sz¨ o g˝ u forgat´ a s, ennek nyoma 1 + 2 cos( ) = 0. Az (1, 2)(3, 4) 3 3 képe egy egyenes k¨ or¨ uli π sz¨ og˝ u forgat´ as, ennek saj´ atértékei 1, −1, −1, teh´ at nyoma 1 − 1 − 1 = −1. Az (1, 2) képe s´ıkra val´ o t¨ ukr¨ ozés, ennek saj´ atértékei 1, 1, −1, teh´ at a nyoma 1 + 1 − 1 = 1. A χ 4 ((1, 2, 3, 4)) értékét egyértelm˝ uen meghat´ arozza az, hogy (χ4 , χ1 ) = 0. A χ5 = χ4 ·χ1 , és az 5. Fejezet megfelel˝ o feladata szerint egy irreducibilis és egy els˝ ofok´ u karakter szorzata is irreducibilis karakter. Az egyetlen hi´ anyz´ o sort most m´ ar kit¨ olthetj¨ uk az oszlopok ortogonalit´ asa alapj´ an: az {id} oszlop´ aban a ´ll´ o sz´ amok négyzet¨ osszege |S4 | = 24, teh´ at χ3 (id) = 2. A t¨ obbi oszlop mind ortogon´ alis az els˝ ore, ez alapj´ an kit¨ olthetj¨ uk a χ 3 sor´ at (ld. a fejezet végi feladatokat a χ3 -hoz tartoz´ o irreducibilis a ´br´ azol´ as megkonstru´ al´ as´ ahoz). G vil´ agos m´ odon hat az R15 téren: gondoljunk R15 elemeire, mint a 3 dimenzi´ os térben u ¨l˝ o térvektoro ¨t¨ os¨ okre, az els˝ o a szab´ alyos tetraéder k¨ ozéppontj´ ab´ ol, m´ıg a t¨ obbi rendre a a négy cs´ ucsb´ ol indul. Ekkor a tér azon egybev´ ag´ os´ agai, amelyek saj´ atmag´ aba viszik a szab´ alyos tetraédert, természetesen hatnak az ilyen térvektor-¨ ot¨ os¨ ok¨ on. Jel¨ olje ezt a G → GL(15, R) a ´br´ azol´ ast ρ. Jel¨ olje péld´ aul f a szab´ alyos tetraéder ∼ S asn´ al sz¨ o g˝ u forgat´ a st (ez a G els˝ o cs´ ucs´ an és a k¨ ozépponton a ´tmen˝ o egyenes k¨ or¨ uli 2π = 4 azonos´ 3  ıt´  f 0 0 0 0  0 f 0 0 0     at nyilv´ anval´ oan az (1, 2, 3) konjug´ alt oszt´ aly´ ahoz tartozik). Ekkor ρ(f ) =   0 0 0 0 ∗ , teh´  0 0 ∗ 0 0  0 0 0 ∗ 0 χρ (f ) = 2T r(f ) = 2χ4 (f ) = 2χ4 ((1, 2, 3)) = 0. Jel¨ o lje t az 1, 2 cs´ u csokon ´ e s a k¨ ozépponton a ´tmen˝ o s´ıkra   t 0 0 0 0  0 t 0 0 0     at χρ (t) = 3T r(t) = 3χ4 (t) = 3χ4 ((1, 2)) = vonatkoz´ o t¨ ukr¨ ozést. Erre ρ(t) =   0 0 t 0 0 , teh´  0 0 0 0 ∗  0 0 0 ∗ 0 3. Hasonl´ oan, a két szemk¨ ozti élfelez˝ oponton a ´tmen˝ o egyenes k¨ or¨ uli h forgat´ asra χ ρ ((1, 2)(3, 4)) = χ4 ((1, 2)(3, 4)) = −1, mivel ennél a transzform´ aci´ on´ al csak a k¨ ozéppont marad fixen, a cs´ ucsok mindegyike mozog. Ugyan´ıgy χρ ((1, 2, 3, 4)) = χ4 ((1, 2, 3, 4)) = −1. Kij¨ ott teh´ at, hogy χρ = (15, 0, −1, 3, −1). Bontsuk χρ -t irreducibilis karakterek o ¨sszegére, péld´ aul a 1 χ3 multiplicit´ asa (χρ , χ3 ) = 24 (15 · 2 + 8 · 0 · (−1) + 3 · (−1) · 2 + 6 · 3 · 0 + 6 · (−1) · 0) = 1. Azt kapjuk, hogy χρ = χ1 + χ3 + 3χ4 + χ5 . Azonban az R15 tér tartalmaz nem val´ odi rezgéseket is, péld´ aul a (v, v, v, v, v)t vektorok (v ∈ R3 ) eltol´ asokhoz tartoznak. Ez egy 3-dimenzi´ os invari´ ans altér, és ρ ezen val´ o rész´ abr´ azol´ as´ anak karaktere 21

nyilv´ anval´ oan χ4 . Hasonl´ oan, az R15 tartalmazza az u ´gynevezett infinitezim´ alis forgat´ asok 3-dimenzi´ os invari´ ans alterét. Meg lehet gondolni, hogy az ezen val´ o rész´ abr´ azol´ as karaktere χ 5 . ¨ Osszefoglalva, a val´ odi rezgések tere 9 dimenzi´ os, G ezen val´ oa ´br´ azol´ as´ anak karaktere χ 1 + χ3 + 2χ4 . Teh´ at az irreducibilis komponensek dimenzi´ oi rendre 1, 2, 3, 3, teh´ at ennyiesével egybeesnek a saj´ atértékek. Ez egybeesik a met´ an molekula sz´ınképvonalainak mérésekor tapasztaltakkal. Tegy¨ uk fel, hogy a molekul´ at olyan m´ agneses térbe helyezt¨ uk, hogy az egyik hidrogénatomot a szénatommal o ¨sszek¨ ot˝ o ir´ anyba megny´ ult. Ekkor a rendszer szimmetriacsoportja D 3 ∼ ol all´ o = S3 lesz (az S4 azon elemib˝ részcsoportja, amelyek fixen hagyj´ ak a ny´ ul´ as tengelyén lev˝ o hidrogén atomot). Jel¨ olje ψ : S 3 → O(15, R) a konfigur´ aci´ os téren val´ oa ´br´ azol´ ast. {1} {(1, 2, 3), (1, 3, 2)} {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} 1 1 1 1 1 −1 2 −1 0 15 0 3 Ekkor χψ = 4ϕ1 + ϕ2 + 5ϕ3 , és mivel χ4 S3 = ϕ1 + ϕ3 , χ5 S3 = ϕ2 + ϕ3 , kapjuk, hogy a val´ odi rezgések alterén az S3 szimmetriacsoport karaktere 3ϕ1 + 3ϕ3 . Így a saj´ atértékek multiplicit´ asai: 1,1,1,2,2,2. S3 ϕ1 ϕ2 ϕ3 χψ

7.

Az SU2 ´ es SO3 csoportok ´ abr´ azol´ aselm´ elete

7.1.

Az SU2 ´ es SO3 kapcsolata

Fontos péld´ ak kompakt csoportra az al´ abbiak: • T = {z ∈ C | |z| = 1} a szorz´ assal; • SUn , az 1 determin´ ans´ u komplex unitér m´ atrixok a szorz´ assal; • SOn , az 1 determin´ ans´ u val´ os ortogon´ alis m´ atrixok a szorz´ asal. Speci´ alisan, SU2 = {

z −w ¯

w z¯

| z, w ∈ C, |z|2 + |w|2 = 1}

x1 + ix2 x3 + ix4 | x1 , x2 , x3 , x4 ∈ az = 1 egyenlet˝ u egységg¨ ombfel¨ ulete a H = { −x3 + ix4 x1 − ix2 R} 4-dimenzi´ os val´ os euklideszi térnek, teh´ at val´ oban kompakt, és o ¨sszef¨ ugg˝ o, s˝ ot, egyszeresen o ¨sszef¨ ugg˝ o, mint topologikus tér. x21

+ x22

+ x23

+ x24

T´ etel 7.1.1 Létezik egy γ : SU2 → SO3 sz¨ urjekt´ıv, folytonos homomorfizmus, és erre ker(γ) = {±I} (itt I jel¨ oli az SU2 egységelemét, vagyis a 2 × 2-es egységm´ atrixot). Bizony´ıt´ as. Jel¨ olje V := {X =

x1 x2 − ix3

x2 + ix3 −x1

| x1 , x2 , x3 ∈ R}

a 2 × 2-es 0 nyom´ u Hermitikus m´ atrixok halmaz´ at, ez egy 3-dimenzi´ os euklideszi tér az (X, X) := x21 + x22 + x23 = − det(X) skal´ aris szorzattal. Legyen γ : G → GL(V ), γ(A)(X) := AXA −1 (A ∈ SU2 , X ∈ V ). A determin´ ansok szorz´ astétele miatt det(AXA−1 ) = det(X), teh´ at γ(A) meg˝ orzi a V -an értelmezett skal´ aris szorzatot, ´ıgy im(γ) benne van a V ortogon´ alis transzform´ aci´ oinak csoportj´ aban, melyet azonos´ıthatunk O3 -mal. Mivel m´ atrixok szorzat´ anak (és inverzének) elemei folytonos f¨ uggvényei ¨ a tényez˝ ok elemeinek, ezért γ folytonos homomorfizmus. Osszef¨ ugg˝ o halmaz folytonos képe is o ¨sszef¨ ugg˝ o. O3 -nak azonban két o ¨sszef¨ ugg˝ o komponense van, ugyanis O3 diszjunkt egyes´ıtése az 1 determin´ ans´ uak, illetve a −1 determin´ ans´ uak részhalmaz´ anak, és ezek a részhalmazok z´ artak, hiszen egy-egy pont o ˝sképei a det : O3 → {1, −1} folytonos leképezésnél. Mivel im(γ) tartalmazza az 1 ∈ SO 3 -at, ´ıgy az egész im(γ) benne van SO3 -ban. Megadtuk teh´ at a k´ıv´ ant γ : SU2 → SO3 homomorfizmust. 22

Hat´ arozzuk meg ker(γ)-t. Legyen

1 0 . 0 −1 w ∈ SU2 -re JX = XJ-b˝ ol k¨ ovetkezik, hogy w = 0, és z¯

J :=

z K¨ onny˝ u sz´ amol´ as mutatja, hogy X = − w ¯ 0 1 0 1 X-b˝ ol k¨ ovetkezik, hogy z = ±1. Teh´ at val´ oban ker(γ) = {±1}. = X 1 0 1 0 Megmutatjuk, hogy im(γ) tranzit´ıvan hat V egységg¨ ombfel¨ uletén, és tartalmazza az o ¨sszes forgat´ ast az RJ tengely k¨ or¨ ul. Val´ oban, k¨ ozismert line´ aris algebrai tény, hogy minden Hermitikus atrixunitéren diagonaliz´ alhat´ o, m´ c 0 azaz b´ armely X ∈ V -hez létezik olyan B ∈ U2 , hogy BXB −1 = , ahol c ∈ R. Ha X a V 0 −c 0 1 −1 0 0 1 = egységg¨ ombjén tal´ alhat´ o, akkor itt c = ±1. Feltehet˝ o, hogy c = 1, ugyanis 1 0 0 1 1 0 1 1 0 . B-t kicserélve A := (det(B))− 2 B-re kapjuk, hogy V egységg¨ ombfel¨ uletének b´ armely X 0 −1 eleméhez létezik olyan A ∈ SU2 , melyre γ(A)(X) = J. z 0 Tetsz˝ oleges t ∈ R esetén legyen z = eti = cos(t) + i sin(t), és A(z) := ∈ SU2 . Ekkor 0 z −1 x1 x2 + ix3 γ(A(z)) x2 − ix3 −x1 2 x1 z (x2 + ix3 ) = . z −2 (x2 − ix3 ) −x1 0 1 0 i Vegy¨ uk a b := (J, , ) ortonorm´ alt b´ azist V -ben. Ebben a b´ azisban γ(A(z))b = 1  0 −i 0  1 0 0  0 cos(2t) − sin(2t) , azaz γ(A(z)) a RJ tengely k¨ or¨ uli 2t sz¨ og˝ u forgat´ as. 0 sin(2t) cos(2t) A fentiekb˝ ol az al´ abbi 7.1.2 Lemma szerint k¨ ovetkezik γ sz¨ urjektivit´ asa. Lemma 7.1.2 Tegy¨ uk fel, hogy az SO3 csoport valamely G részcsoportja tranzit´ıvan hat a 3 dimenzi´ os euklideszi tér egységg¨ ombfel¨ uletén, és van olyan tengely, hogy G tartalmazza az o ¨sszes ak¨ or¨ uli forgat´ ast. Akkor G = SO3 . Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel, hogy v olyan egységvektor, melyre G tartalmazza az o ¨sszes Rv k¨ or¨ uli forgat´ ast. Legyen f ∈ SO3 tetsz˝ oleges. Mivel G tranzit´ıvan hat az egységg¨ omb¨ on, azért létezik olyan g ∈ G, melyre f (v) = g(v). Ekkor (g −1 f )(v) = v, teh´ at g −1 f az Rv tengely k¨ or¨ uli forgat´ as, ´ıgy g −1 f ∈ G, k¨ ovetkezésképpen f ∈ gG = G. K¨ ovetkezm´ eny 7.1.3 Az SO3 véges dimenzi´ os folytonos a ´br´ azol´ asai k¨ olcs¨ on¨ osen egyértelm˝ u megfeleltetésben a ´llnak SU2 azon ρ a ´br´ azol´ asaival, melyekre ρ(−I) = id. Bizony´ıt´ as. Ha ρ az SO3 folytonos a ´br´ azol´ asa, akkor ρ˜ := ψ ◦ γ az SU2 folytonos a ´br´ azol´ asa (melynek magj´ aban nyilv´ an benne van −I). Ford´ıtva, legyen ρ : SU2 → GL(W ) egy folytonos a ´br´ azol´ as, melyre ρ(−I) = id. A 7.1.1 Tétel szerint minden g ∈ SO3 el˝ oa ´ll g = γ(h) alakban, és h egy ±1-es szorz´ o erejéig egyértelm˝ u. Mivel a feltevés¨ unk szerint ρ(h) = ρ(−h), ezért defini´ alhatjuk az SO3 csoport ρ¯ : G → GL(W ) a ´br´ azol´ as´ at a ρ¯(g) = ρ(h) képlettel. (M´ as szavakkal, mivel ρ a ´lland´ o a {±1} szerinti mellékoszt´ alyokon, ´ıgy a ´tvezethet˝ o az SU2 /{±1} ∼ atni, hogy ρ¯ folytonos. Vegy¨ unk egy tetsz˝ oleges Z = SO3 faktorcsoporton.) Csak azt kell bel´ z´ art részhalmazt GL(W )-ben. Ennek a ρ-n´ al vett o ˝sképe z´ art SU 2 -ben, mivel ρ folytonos. Kompakt halmaz z´ art részhalmaza kompakt, teh´ at ρ−1 (Z) kompakt, és ´ıgy a γ folytonos leképezésnél vett képe kompakt, ´ıgy z´ art SO3 -ban. Teh´ at ρ¯−1 (Z) = γ(ρ−1 (Z)) z´ art SO3 -ban GL(W ) minden Z z´ art részhalmaz´ ara, amib˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ρ¯ folytonos. 23

7.2.

Az SU2 v´ eges dimenzi´ os komplex irreducibilis ´ abr´ azol´ asai

Jel¨ olje Vn := {

n X

ak xk y n−k | a0 , . . . , an ∈ C}

k=0

a 2-v´ altoz´ os homog´ u polinomok vektorterét, vil´ agos, hogy dim CP (Vn ) = n + 1. Azonos´ıtsuk Pn en n-edfok´ n k n−k 2 t k n−k az f (x, y) = a x y ∈ V polinomot az f : C → C, (x, y) → 7 f¨ uggvénnyel. k n k=0 k=0 ak x y 2 A GL(2, C) csoportnak a C téren val´ o hat´ asa induk´ al egy a ´br´ azol´ ast Vn -en a m´ ar megismert m´ odon. Nevezetesen, g ∈ GL(2, C) és f ∈ Vn esetén legyen (g · f )((x, y)t ) := f (g −1 · (x, y)t ). Szor´ıtsuk meg ezt a hat´ ast a GL(2, C) csoport SU2 részcsoportj´ ara, ´ıgy kapjuk a

a ´br´ azol´ ast. Expliciten, mivel a g = (g22 x − g12 y, −g21 x + g11 y)t , és

g11 g21

φn : SU2 → GL(Vn ) g22 g12 ∈ SU2 elem inverze −g21 g22

−g12 g11

, ´ıgy g −1 · (x, y)t =

(g · f )(x, y) = f (g22 x − g12 y, −g21 x + g11 y). Nyilv´ anval´ o, hogy φn (g) m´ atrixelemei a g elemeinek polinomjai, teh´ at φn : SU2 → GL(Vn ) folytonos. T´ etel 7.2.1 Tetsz˝ oleges n = 0, 1, 2, . . . esetén φn : SU2 → GL(Vn ) n + 1-dimenzi´ os komplex, irreducibilis a ´br´ azol´ as. Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk SU2 k¨ ovetkez˝ o Abel-féle részcsoportj´ at: z 0 | |z| = 1}, T := {A(z) := 0 z −1 és vizsg´ aljukLa T hat´ as´ at Vn -en. Minden k = 0, . . . , n-re fenn´ all, hogy A(z) · (xk y n−k ) = z n−2k xk y n−k , n k n−k olyan minim´ alis T -invari´ ans alterek direkt o ¨sszegére val´ o felbont´ as, melyeken teh´ at Vn = k=0 Cx y T hat´ asa p´ aronként nem-izomorf. Ezért a 3.1.6 Lemma szerint b´ armely T -invari´ ans altér a Cx k y n−k (k = 0, . . . , n) alterek k¨ oz¨ ul néh´ anynak az o ¨sszege. Legyen W tetsz˝ oleges nem-nulla SU2 -invari´ ans altér Vn -ben. Akkor W egy´ uttal T -invari´ ans is, ´ıgy az el˝ obbiek szerint ha egy polinom benne van W -ben, akkor annak minden nem-nulla egy¨ utthat´ os monomja is benne van W -ben. Ezért létezik legal´ abb egy xk y n−k monom W -ben. Vegy¨ unk egy olyan A ∈ SU2 m´ atrixot, aminek egyik eleme se nulla. Ekkor az A · xk y n−k polinomban xn egy¨ utthat´ oja nem nulla, teh´ at n x ∈ W . Viszont A · xn -ben minden monom nem-nulla egy¨ utthat´ oval szerepel, teh´ at az o ¨sszes monom benne van W -ban, azaz W = Vn . K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy −I ∈ ker(φn ) akkor és csak akkor, ha n p´ aros. Teh´ at a 7.1.3 K¨ ovetkezmény szerint SUn ezen a ´br´ azol´ asai k¨ oz¨ ul pontosan φ0 , φ2 , φ4 , . . ., azaz a p´ aratlan dimenzi´ osak vezethet˝ ok a ´t az SO3 csoporton. Az SO3 ´ıgy kapott (sz¨ ukségszer˝ uen irreducibilis) a ´br´ azol´ asait ugyan´ ugy φ 2k -val jel¨ olj¨ uk. Kés˝ obb l´ atni fogjuk, hogy ezzel az SU2 o ¨sszes véges dimenzi´ os, folytonos, komplex a ´br´ azol´ as´ at megkaptuk.

7.3.

Kompakt csoportok m´ atrix elemei

Legyen G kompakt csoport, jel¨ olje C(G) a G → C folytonos f¨ uggvények terét. Vil´ agos, hogy C(G) Rinvari´ ans altér C[G]-ben. Bevezet¨ unk egy R-invari´ ans skal´ aris szorzatot C(G)-n. Tetsz˝ oleges f ∈ C(G) fel´ırhat´ o f = f1 + if2 alakban, ahol f1 , f2 ∈ CRR (G) = {h : G → R | h folytonos }. Nevezetes tény, hogy egyértelm˝ uen létezik egy CR (G) → R, f 7→ x∈G f (x)dx line´ aris funkcion´ al, az u ´gynevezett Haar-integr´ al, melyre fenn´ allnak a k¨ ovetkez˝ ok: 24

R

f (x)dx > 0, ha f (x) ≥ 0 minden x ∈ G-re és f 6= 0; R R 2. B´ armely g ∈ G-re x∈G f (g −1 x)dx = x∈G f (x)dx; R R 3. B´ armely g ∈ G-re x∈G f (xg)dx = x∈G f (x)dx; R 4. x∈G 1dx = 1. 1 P P´ elda. Véges csoport esetén a Haar integ´ al az f 7→ |G| al. g∈GRf (g) funkcion´ R R Defini´ aljuk az G : C(G) → C C-line´ aris funkcion´ alt az x∈G (f1 (x) + if2 (x))dx := x∈G f1 (x)dx + R aval. Vég¨ ul legyen i x∈G f2 (x)dx formul´ 1.

x∈G

(f, h) :=

Z

f (x)h(x)dx, (f, h ∈ C(G)).

x∈G

A Haar-integr´ al tulajdons´ agaib´ ol k¨ ovetkezik, hogy ez val´ oban egy R-invari´ ans skal´ aris szorzat C(G)-n. A (−, −) skal´ aris szorzat defini´ al egy topol´ ogi´ at C(G)-n. Azt mondjuk, hogy a {ϕ n }∞ uggvénysorozat n=1 f¨ teljes ortonorm´ alt rendszer C(G)-ben, ha (ϕi , ϕj ) = δji minden i, j-re, és az a ´ltaluk kifesz´ıtett altér minP∞ den¨ utt s˝ ur˝ u C(G)-ben. Ekkor a C(G) tér b´ armely eleme a konvergens f = egtelen k=1 (f, ϕk )ϕk v´ sorba fejthet˝ o. Megjegyezz¨ uk, hogy C(G) s˝ ur˝ u altér a négyzetesen integr´ alhat´ o f¨ uggvények L 2 (G) Hilbertterében, teh´ at egy {ϕn }∞ alt rendszer egy´ uttal teljes ortonorm´ alt rendszer az n=1 C(G)-beli teljes ortonorm´ L2 (G) Hilbert-térben. Legyen ρk : G → GL(Vk ) k = 1, 2, . . . a G kompakt csoport véges dimenzi´ os (folytonos) komplex, irreducibilis a ´br´ azol´ asainak izomorfia erejéig teljes list´ aja, dim(Vk ) = nk . (Az al´ abbi tétel bizony´ıt´ as´ ab´ ol ki fog der¨ ulni, hogy a jel¨ olés¨ unkkel o ¨sszhangban ez a lista megsz´ aml´ alhat´ o.) A 3.3.3 Tétel szerint ρ k unitér, legyenek ρk,i,j (i, j = 1, . . . , nk ) a m´ atrix elemei egy ortonorm´ alt b´ azisra nézve. T´ etel 7.3.1 (Peter-Weyl T´ etel) A {ρk,i,j | k = 1, 2, . . . ; i, j = 1, . . . , nk } egy teljes ortogon´ alis rendszer C(G)-ben, tov´ abb´ a (ρk,i,j , ρk,i,j ) = n1k . P´ elda. T = {z ∈ C | |z| = 1} irreducibilis a ´br´ azol´ asai: z 7→ z n (n ∈ Z) teljes ortogon´ alis rendszer C(T )-ben, ez az alapja a Fourier-sorok elméletének. A 7.3.1 Tétel Bizony´ıt´ asa. Az ortogonalit´ as sz´ o szerint ugyan´ o, mint a Rvéges csoportokra P ugy bizony´ıthat´ 1 ´ ıt´ vonatkoz´ o 5.3.3 All´ as; az egyetlen k¨ ul¨ onbség, hogy az |G| szimb´ o lum helyett a g∈G szimb´ olumot g∈G kell ´ırni. A teljesség bizony´ıt´ as´ ahoz feltessz¨ uk, hogy G ≤ GL(n, C). (Ez nem igazi megszor´ıt´ as, mert minden kompakt csoportnak létezik h˝ uséges véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ asa, ezt azonban nem bizony´ıtjuk.) Ekkor G elemei g = (xij (g))ni,j=1 m´ atrixok, ahol xij ∈ C(G). Jel¨ olje P (G) azon G → C f¨ uggvények terét, melyek az xij , x¯ij f¨ uggvények komplex egy¨ utthat´ os polinomjai. A Stone-Weierstrass-féle approxim´ aci´ os tétel szerint P∞ ´ P (G) s˝ ur˝ u C(G)-ben. Igy elég azt bel´ atni, hogy P (G) = k=1 M (ρk ). Legyen P (G)m := {f ∈ P (G) | deg(f ) ≤ m}. Vil´ agos, hogy a P (G)m altér R-invari´ ans. Ugyan´ ugy, mint az 5.1.1 Tétel bizony´ıt´ as´ aban, e ges dimenzi´ o s a ´ br´ a zol´ a s, teh´ a t felbomlik véges kij¨ on, hogy P (G)m ⊆ M (JP (G)m ). Viszont JP (G)m v´ P M (ρ ), ahol Λ v´ e ges r´ e szhalmaza N-nek. ) ⊆ dimenzi´ os irreducibilisek o ¨sszeg´ e re, ez´ e rt M (J k m P (G) m k∈Λ m P ´ll´ oa ´br´ azol´ as P G × G p´ aronként nem-izomorf K¨ ovetkezésképpen P (G)m ⊆ k∈Λm M (ρk ). A jobboldalon a irreducibilis a ´br´ azol´ asainak o ¨sszege, ezért a 3.1.6 Lemma szerint P (G) m = k∈Γm M (ρk ), ahol Γm ⊆ Λm . S Így P (G) = S∞ P (G)m = P uk fel, hogy létezik m ∈ N, amelyre m∈N Γm . Tegy¨ k∈Γ M (ρk ), ahol Γ = m=1 m ∈ / Γ. Akkor a m´ ar bizony´ıtottak szerint M (ρm ) ortogon´ alis P (G)-re, teh´ at P (G) s˝ ur˝ usége miatt P∞ ortogon´ alis az egész C(G)-re. Ez lehetetlen. Ezzel bel´ attuk, hogy P (G) = k=1 M (ρk ). Megjegyz´ es 7.3.2 Megjegyezz¨ uk, hogy a fenti bizony´ıt´ asb´ ol az is kider¨ ult, hogy G o ¨sszes véges dimenzi´ os at csak megsz´ aml´ alhat´ oan végtelen irreducibilis a ´br´ azol´ asa megjelenik JP (G)m részeként alkalmas m-re. Teh´ sok lehet bel˝ ol¨ uk.

25

7.4.

SU2 karakterei

A véges csoportok esetéhez hasonl´ oan defini´ alhatjuk b´ armely ρ : SU 2 → GL(V ) véges dimenzi´ os a ´br´ azol´ asra a T r ◦ ρ : SU2 → C f¨ uggvényt. A nyom j´ ol ismert tulajdons´ agai miatt ez centr´ alis f¨ uggvény, azaz konjug´ alt oszt´ alyokon a ´lland´ aris algebrai tény, hogy tetsz˝ oleges B ∈ SU 2 konjug´ alt oszt´ aly´ aban o. Elemiline´ z 0 tal´ alhat´ o egy A(z) := diagon´ alis elem, ahol |z| = 1. Tov´ abb´ a A(z) és A(z −1 ) ugyanabban a 0 z −1 0 −i 0 i = A(z −1 ) egyen˝ oség mutatja. Teh´ at A(z) konjug´ alt oszt´ alyban van, amint azt a −i 0 i 0 a T r ◦ ρ f¨ uggvényt meghat´ arozza a T = {A(z) | z ∈ C, |z| = 1} részcsoportra val´ o megszor´ıt´ asa, ezért defini´ alhatjuk a ρ a ´br´ azol´ as karakterét mint a χρ : {z ∈ C | |z| = 1} → C, z 7→ T r(ρ(A(z)) egyv´ altoz´ os f¨ uggvényt. A fentiek szerint χρ (z) = χρ (¯ z ). A 7.3.2 Megjegyzésb˝ ol tudjuk, hogy χρ a z és z¯ komplex egy¨ utthat´ os polinomja. A 7.2 alfejezetben defini´ alt φn a ´br´ azol´ asok karakterei: ( z n + z n−2 + · · · + 1 + · · · + z −n , ha n p´ aros; χφn (z) = n n−2 −1 −n z +z + · · · + z + z + · · · + z , ha n p´ aratlan. Vil´ agos, hogy a χφn f¨ uggvények b´ azist alkotnak azon f (z) f¨ uggvények C terében, melyek z és z¯ komplex egy¨ utthat´ os polinomjai, és f (z) = f (¯ z ). Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy {φ n | n = 0, 1, 2, . . .} az SU2 véges dimenzi´ os irreducibilis komplex a ´br´ azol´ asainak izomorfia erejéig teljes list´ aja. (Val´ oban, tegy¨ uk fel, hogy ρ ezekt˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o irreducibilis a ´br´ azol´ as. Ennek karaktere benne van C-ben, m´ asfel˝ ol T r ◦ ρ ortogon´ alis a T r ◦φn mindegyikére, teh´ at line´ arisan f¨ uggetlen t˝ ol¨ uk. Akkor viszont χ ρ is f¨ uggetlen a χφn karakterekt˝ ol, ami ellentmond´ as.)

8. 8.1.

G¨ ombf¨ uggv´ enyek Laplace-f´ ele g¨ ombf¨ uggv´ enyek

Ebben a fejezetben legyen X = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1} a 3-dimenzi´ oRs euklideszi tér egységg¨ ombfel¨ ulete, C(X) az X → C folytonos f¨ uggvények vektortere, ell´ atva aris szorzattal. Az SO3 hat X-en a természetes m´ odon, ez induk´ al egy az (f, h) = x∈X f (x)h(x)dx skal´ a ´br´ azol´ ast C(X)-en: (g · f )(x) = f (g −1 x), g ∈ G, f ∈ C(X), x ∈ X. Jel¨ olje   cos ϕ − sin ϕ 0 SO2 = { sin ϕ cos ϕ 0  0 0 1 az x3 -tengely k¨ or¨ uli forgat´ asokb´ ol a ´ll´ o részcsoportot SO 3 -ban.

Lemma 8.1.1 B´ armely V nem-nulla véges dimenzi´ os SO3 -invari´ ans altér C(X)-ben tartalmaz olyan nem-nulla elemet, amit SO2 minden eleme fix´ al. Bizony´ıt´ as. Létezik f ∈ V , x ∈ X u ´gy, hogy f (x) 6= 0. Alkalmas g ∈ SO3 -ra gx = v := (0, 0, 1). Ekkor (g · f )(v) = f (g −1 v) = f (x) 6= 0. Teh´ at van olyan f ∈ V , melyre f (v) 6= 0. Tekints¨ uk a φ : V → C, h 7→ h(v) line´ aris leképezést. Ez nem-nulla, ´ıgy dim(ker(φ)) = dim(V ) − 1. Ezért ker(φ) ortogon´ alis komplementere V -ben 1-dimenzi´ os, mondjuk b gener´ alja. Mivel b´ armely g ∈ SO 2 -re és h ∈ V re φ(g · h) = h(g −1 v) = h(v), azért ker(φ) SO2 -invari´ ans, k¨ ovetkezésképpen Cb is SO2 -invari´ ans, azaz b´ armely g ∈ SO2 -re g · b = λ(g)b, ahol λ(g) ∈ C. M´ asfel˝ ol b(v) = b(g −1 v) = (g · b)(v) = λ(g)b(v), k¨ ovetkezésképpen λ(g) = 1.

26

Jel¨ olje A az R3 → C polinom f¨ uggvények terét, {xk11 xk22 xk33 | k1 , k2 , k3 ≥ 0} b´ azis A-ban. Az SO3 3 csoport R -¨ on val´ o hat´ asa induk´ al egy a ´br´ azol´ ast A-n. Vil´ agos, hogy az A homogén m-edfok´ u elemeib˝ ol a ´ll´ o Am altér SO3 -invari´ ans. Az SO3 csoport A-n val´ o hat´ as´ at megszor´ıthatjuk az SO2 részcsoportra, a kés˝ obbiekben erre az a ´br´ azol´ asra is hivatkozni fogunk. Az al´ abbi 8.1.3 K¨ ovetkezmény bizony´ıt´ asa végett vezess¨ uk be a hxk11 xk22 xk33 , xj11 xj22 xj33 i ( k1 !k2 !k3 !, ha k1 = j1 , k2 = j2 , k3 = j3 = 0, egyébként skal´ aris szorzatot A-n. Lemma 8.1.2 Az xi -vel val´ o szorz´ as és skal´ aris szorzatra nézve.

∂ ∂xi ,

mint A → A line´ aris oper´ atorok egym´ as adjung´ altjai a h−, −i

∂u , vi = hu, x1 vi b´ armely u, v monomokra. Bizony´ıt´ as. Egyszer˝ u sz´ amol´ as mutatja, hogy pl. h ∂x 1 2

2

2

∂ ∂ ∂ A 8.1.2 Lemm´ ab´ ol azonnal k¨ ovetkezik, hogy az r 2 = x21 +x22 +x23 -tel val´ o szorz´ as és a ∆ = ∂x 2 + ∂x2 + ∂x2 1 2 3 Laplace-oper´ ator egym´ as adjung´ altjai. Így ∆ magtere az ortogon´ alis komplementere az r 2 -tel val´ o szorz´ as képterének, azaz ker(∆) = (r 2 A)⊥ . Jel¨ olje H := ker(∆) az u ´gynevezett harmonikus polinomok terét, Hm := H ∩ Am . Mivel ∆ és az r 2 -tel val´ o szorz´ as is homogén (azaz homogén polinomok képe homogén), azért az el˝ obbi megfontol´ asainkb´ ol ad´ odik az al´ abbi k¨ ovetkezmény.

K¨ ovetkezm´ eny 8.1.3 Am = Hm ⊕ r2 Am−2 K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ∆ és r 2 · − felcserélhet˝ o SO3 hat´ as´ aval, azaz tetsz˝ oleges g ∈ SO3 és f ∈ A esetén ∆(g · f ) = g · ∆(f ), és r 2 (g · f ) = g · (r2 f ). Ezért Am -nek a 8.1.3 K¨ ovetkezménybeli direkt o ¨sszeg felbont´ as´ aban szerepl˝ o alterek SO3 -invari´ ansak. S˝ ot, ennél t¨ obbet is mondhatunk: ´ ıt´ All´ as 8.1.4 Am = Hm ⊕ r2 Hm−2 ⊕ r4 Hm−4 ⊕ r6 Hm−6 ⊕ · · ·

(6)

az Am minim´ alis SO3 -invari´ ans alterek direkt o ¨sszegére val´ o felbont´ asa. Bizony´ıt´ as. Jel¨ olje τ : Am → P (X) az X-re val´ o megszor´ıt´ ast, ez egy izomorfizmus SO3 megfelel˝ o a ´br´ azol´ asai k¨ oz¨ ott. A 8.1.1 Lemma szerint ha τ (Am ) irreducibilisek o ¨sszegére val´ o felbont´ as´ aban d tag szerepel, akkor SO2 trivi´ alis a ´br´ azol´ as´ anak multiplicit´ asa τ (Am )-ben legal´ abb d. Teh´ at ugyanez igaz Am re is. Az al´ abbi 8.1.5 Lemma szerint viszont SO2 trivi´ alis a ´br´ azol´ as´ anak multiplicit´ asa Am -ben b m 2 c + 1, és a (6) felbont´ asnak éppen ennyi tagja van. Teh´ at ez a felbont´ as nem finom´ıthat´ o tov´ abb.   cos ϕ − sin ϕ 0 A z = eiϕ egységnyi abszol´ ut érték˝ u komplex sz´ amra jel¨ olje h(z) :=  sin ϕ cos ϕ 0  az x3 0 0 1 tengely k¨ or¨ uli ϕ sz¨ og˝ u forgat´ ast. Vil´ agos, hogy εk : SO2 → C, h(z) 7→ z k , (k = 0, ±1, ±2, . . .) az SO2 p´ aronként nem-izomorf irreducibilis a ´br´ azol´ asai. Lemma 8.1.5 Az SO2 csoport Am -en val´ oa ´br´ azol´ as´ anak irreducibilis komponensei ε k , k = 0, ±1, ±2, . . ., c + 1. és εk multiplicit´ asa b m−|k| 2 Bizony´ıt´ as. Vezess¨ unk be u ´j v´ altoz´ okat: u := x1 −ix2 , u ¯ := x1 +ix2 . Ekkor h(z)·u = zu és h(z)· u ¯ = z −1 u. Tekints¨ uk az {up u ¯q xl3 | p + q + l = m, p, q, l ≥ 0} b´ azist Am -ben. Az up u ¯q xl3 monom SO2 -invari´ ans alteret fesz´ıt ki, melyen az SO2 hat´ asa εp−q -val izomorf. Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy εk multiplicit´ asa SO2 -nek az Am -en val´ oa ´br´ azol´ as´ aban |{(p, q, l) | p, q, l ≥ 0, p + q + l = m, p − q = k}|.

27

T´ etel 8.1.6 Jel¨ olje P (X) az X-en értelmezett uggvények terét, és τ : A → P (X) az X-re val´ o L∞ polinom f¨ megszor´ıt´ as oper´ ator´ at. Ekkor P (X) = alis SO3 -invari´ ans alterek direkt o ¨sszegére m=0 τ (Hm ) minim´ val´ o felbont´ asa P (X)-nek. Tov´ abb´ a dim(τ (Hm )) = 2m+1, és tetsz˝ oleges k = 0, ±1, . . . , ±m esetén τ (Hm )ben létezik egy skal´ arszorz´ o erejéig egyértelm˝ uen meghat´ arozott Y m,k f¨ uggvény, amelyre h(z)·Ym,k = z k Ym,k minden h(z) ∈ SO2 -re. Ezek az {Ym,k | m = 0, 1, 2, . . . ; k = 0, ±1, . . . , ±m} f¨ uggvények ortogon´ alis b´ azist alkotnak P (X)-ben. Megjegyz´ es 8.1.7 A 8.1 Tételben szerepl˝ o Ym,k f¨ uggvényeket nevezik Laplace-féle g¨ ombf¨ uggvényeknek. Jelent˝ oség¨ uket az adja, hogy mivel P (X) s˝ ur˝ u L2 (X)-ben, vagyis az X-en értelmezett négyzetesen integr´ alhat´ o f¨ uggvények Hilbert-terében, azért {Y m,k | m = 0, 1, 2, . . . ; k = 0, ±1, . . . , ±m} egy teljes ortogon´ alis rendszer L2 (X)-ben. ´ ıt´ A 8.1 Tétel Bizony´ıt´ asa. Az 8.1.4 All´ asb´ ol tudjuk, hogy τ (Am ) = τ (Hm ) ⊕ τ (Hm−2 ) ⊕ τ (Hm−4 ) ⊕ · · · minim´ alis SO3 -invari´ ans alterek direkt o ¨sszegére val´ o felbont´ as, teh´ at t¨ obbek k¨ oz¨ ott SO 3 irreducibilisen hat τ (Hm )-en. Az SO2 csoport εk a ´br´ azol´ as´ anak multiplicit´ asa Hm ∼ ovetkezmény = τ (Hm )-ben az 8.1.3 K¨ m−2−|k| c+1−(b +1) = 1, ha |k| ≤ m, ´ e s 0 egy´ e bk´ e nt. Teh´ a t τ (H oban és a 8.1.5 Lemma szerint b m−|k| m ) val´ 2 2 2m+1-dimenzi´ os, ésPtal´ alhat´ o benne skal´ a rszorz´ o erej´ e ig egyetlen Y a megadott tulajdons´ a ggal. M´ a sfel˝ ol m,k P P P (X) = τ (A) = τ ( m Am ) = m τ (Am ) = m τ (Hm ). M´ ar meg´ allap´ıtottuk, hogy SO3 irreducibilisen és p´ aronként nem-izomorfan hat a τ (Hm ) altereken (hiszen a dimenzi´ ojuk p´ aronként k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o), ´ıgy a 5.3.1 Lemma szerint ezek az alterek p´ a ronk´ e nt ortogon´ a lisak, ´ e s az o ¨ sszeg¨ u k direkt o ¨ sszeg. R¨ o gz´ ıtett m Pm esetén SO2 a ´br´ azol´ asa τ (Hm )-en k=−m εk , azaz p´ aronként nem-izomorf irreducibilisek o ¨sszege. Ismét alkalmazva a 5.3.1 Lemm´ at kapjuk, hogy a megfelel˝ o CYm,k (k = 0, ±1, . . . , ±m) minim´ alis invari´ ans alterek p´ aronként ortogon´ alisak. Explicit el˝ o´ all´ıt´ as. Ym,0 az egyetlen olyan f¨ uggvény τ (Hm )-ben, amit SO2 minden eleme fix´ al. A 8.1.5 Lemma bizony´ıt´ as´ aban l´ attuk, hogy Am -ben az SO2 a ´ltal fix´ alt elemek az up u ¯p xl3 (2p + l = m) monomok line´ aris kombin´ aci´ oi. A ξi := τ (xi ) (i = 1, 2, 3) jel¨ oléssel τ (up u ¯p xl3 ) = τ ((x21 + x22 )p xl3 ) = (1 − ξ32 )p ξ3l . Teh´ at Ym,0 = Qm (ξ3 ), ahol Qm egy legfeljebb m-edfok´ u 1-v´ altoz´ os polinom. Az Ym,0 , Ym−1,0 , . . . , Y0,0 line´ arisan f¨ uggetlenek, teh´ at Q0 , Q1 , . . . QmR b´ azis az m-edfok´ u polinomok terében, és Qm éppen m-edfok´ u. K¨ onnyen 1 l´ athat´ o, hogy (Ym,0 , Yl,0 ) = 2π −1 Qm (t)Ql (t)dt. ezért a g¨ ombf¨ uggvények ortogonalit´ as´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy Qm (t) ortogon´ alis az o ¨sszes ≤ m − 1-edfok´ u polinomra, ahol az 1-v´ altoz´ os polinomok terén tekintj¨ uk R1 a (P, Q) = −1 P (t)Q(t)dt skal´ aris szorzatot. Kij¨ ott teh´ at, hogy Ym,0 = Qm (ξ3 ), ahol Qm nem m´ as, mint az m-edik Legendre-polinom. (Péld´ aul: Q0 (t) = 1, Q1 (t) = t, Q2 (t) = 3t2 − 1, Q3 (t) = 5t3 − 3t, 4 2 5 Q4 (t) = 35t − 30t + 3, Q5 (t) = 63t − 70t3 + 15t.)

8.2.

Absztrakt harmonikus anal´ızis

A 8.1 alfejezetben az egységg¨ omb¨ on értelmezett folytonos f¨ uggvények terében adtunk meg egy teljes ortogon´ alis rendszert, az SO3 csoportnak az egységg¨ omb¨ on val´ o hat´ as´ ab´ ol kiindulva. A 7.3.1 Tételt széles k¨ orben alkalmazhatjuk hasonl´ o problém´ ak megold´ as´ ara. Tegy¨ uk fel, hogy a G kompakt csoport tranzit´ıvan (és folytonosan) hat az X topologikus téren. Jel¨ olje C(X) az X-en értelmezett folytonos f¨ uggvények terét, ell´ atva a G csoport természetes line´ aris hat´ as´ aval. Mindj´ art l´ atni fogjuk, hogy létezik egy G-invari´ ans skal´ aris szorzat C(X)-en. Probl´ ema. Adjunk meg egy teljes ortogon´ alis rendszert C(X)-ben. A megold´ ashoz u ´gy jutunk, hogy C(X) egy s˝ ur˝ u alterét felbontjuk minim´ alis G-invari´ ans alterek direkt o ¨sszegére. R¨ ogz´ıts¨ unk egy v ∈ X elemet, és legyen H := {g ∈ G | g · v = v} a v stabiliz´ ator részcsoportja. ´ ıt´ Amint azt l´ attuk a 1.3.2 All´ asban, az X → G/H := {gH | g ∈ G}, gv 7→ gH egy bijekci´ o. Így C(X)-et azonos´ıthatjuk a H-szerinti mellékoszt´ alyokon a ´lland´ o f¨ uggvényekb˝ ol a ´ll´ o C(G) H := {f ∈ C(G) | ∀h ∈ H, x ∈ X : f (xh) = f (x)} altérrel C(G)-ben. Megjegyezz¨ uk, hogy C(G)H -t interpret´ alhatjuk a k¨ ovetkez˝ oképpen: G-nek a C(G)-n val´ o J a ´br´ azol´ as´ at szor´ıtsuk meg H-ra, és vegy¨ uk C(G)-b˝ ol a Hfixpontok alterét. A 7.3.1 Tétel alapj´ an H M M C(G)H = M (ρk ) = M (ρk )H = P (G)H . k

k

28

P P (Itt a m´ asodik egyenl˝ oségnél azt haszn´ altuk, hogy J(h)(f ) = J(h) k fk = k JM (ρk ) fk .) Teh´ at a fenti probléma megold´ as´ ahoz nem kell m´ ast tenn¨ unk, mint expliciten le´ırni az M (ρ) H tereket a ρ : G → GL(V ) véges dimenzi´ os irreducibilis a ´br´ azol´ asokra. A 4.4.4 Tételben megadtunk egy M (ρ) ∼ = V ⊗V 0 izomorfizmust 0 a G × G csoport R és ρ ⊗ ρ a ´br´ azol´ asai k¨ oz¨ ott. Ebb˝ ol vil´ agosan k¨ ovetkezik, hogy M (ρ) H ∼ = V H ⊗ V 0 (ahol H 0 ∼ V jel¨ oli a H-fixpontok alterét V -ben), és BM (ρ)H = 1V H · ρ . Koordin´ at´ akban kifejezve ez a k¨ ovetkez˝ ot jelenti. Egész´ıts¨ uk ki a V H altér b1 , . . . , bl ortonorm´ alt b´ azis´ at a V tér b1 , . . . , bn ortonorm´ alt b´ azis´ av´ a, és jel¨ olje β1 , . . . , βn a V 0 -beli du´ alis b´ azist. Legyenek ρi,j a megfelel˝ o m´ atrix elemei ρ-nak. Mivel az M (ρ)H ∼ al ρi,j a bj ⊗ βi -nek felel = V H ⊗ V 0 izomorfizmusn´ meg, azért b´ armely j ∈ {1, . . . , l}-re ρ1,j . . . , ρn,j egy minim´ alis B-invari´ ans alteret fesz´ıt ki M (ρ)H -ban, és G-nek az ezen val´ oa ´br´ azol´ asa izomorf ρ0 -vel. ¨ Osszefoglalva, véve a fentieknek megfelel˝ oen a ρi,j (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . l) f¨ uggvényeket a G o ¨sszes véges dimenzi´ os irreducibilis a ´br´ azol´ asaira, és tekintve o ˝ket, mint C(X) elemeit, kapunk egy teljes ortogon´ alis rendszert C(X)-ben. Ezeket a ρi,j f¨ uggvényeket szok´ as g¨ ombf¨ uggvényeknek nevezni.

9.

Aj´ anlott irodalom, hivatkoz´ asok

q Az a ´br´ azol´ aselméleti anyag felép´ıtésében lényegesen t´ amaszkodtunk E. B. Vinberg Linear Representa” tions of Groups” (angolul, Birkh¨ auser, Basel) c´ım˝ u r¨ ovid tank¨ onyvére. A met´ anmolekula saj´ atrezgéseinek oszt´ alyoz´ as´ aval foglalkoz´ o részt Babai L´ aszl´ o egyetemi el˝ oad´ asain hallottam. Az érintett csoportelméleti alapfogalmak és tények megtal´ alhat´ ok a legt¨ obb absztrakt algebrai tank¨ onyvben (ld. pl. Fried Ervin ´ Altal´ anos Algebra” (Tank¨ onyvkiad´ o, 1981)). ” Létezik sz´ amos fizikusok sz´ am´ ara ´ırt csoportelméleti k¨ onyv, pl. A. O. Barut és R. Raczka Theory of ” Group Representations and Applications” (angolul, PWN–Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1980.) c´ım˝ u k¨ onyve a reprezent´ aci´ oelmélet fizikusok sz´ am´ ara lényeges fejezeteit a ´tfog´ o nagyobb lélegzet˝ u monogr´ afia. Hasonl´ oan nagysz´ am´ u Lie-csoportokkal foglalkoz´ o tank¨ onyv, monogr´ afia k¨ oz¨ ul v´ alogathat az érdekl˝ od˝ o olvas´ o. Vég¨ ul felh´ıvom a figyelmet I. R. Safarevics Algebra” (magyarul, Tipotex, Budapest, 2000.) c´ım˝ u ” izgalmas esszéjére, melyben a szerz˝ oa ´ttekinti az algebr´ at annak a matematika m´ as a ´gaival és a természettudom´ anyokkal val´ o kapcsolata szempontj´ ab´ ol.

29

A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a

Recommend Documents