Kieg´ esz´ıt´ es az el˝ oad´ assorozathoz. ´ Attekint´ es a felhaszn´ alt line´ aris algebrai ismeretekr˝ ol. A val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as (´es a matematika) bizonyos k´erd´eseiben fontos szerepet j´ atszik a line´aris algebra n´eh´ any fogalma ´es eredm´enye. Egyr´eszt meg kell ´erteni az euklideszi tereken ´ertelmezett biline´aris f¨ uggv´enyek fogalm´at, ezek kapcsolat´ at a line´aris transzform´ aci´okkal, m´ atrixokkal, illetve az ezen fogalmakhoz kapcsol´od´ o legfontosabb eredm´enyeket. Ezek az eredm´enyek fontos szerepet j´ atszanak a t¨obb-v´ altoz´ os val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok (k¨ ul¨ on¨ osen a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok) vizsg´alat´aban. Egy m´ asik fontos, a val´ osz´ın˝ us´egi vizsg´alatokban szint´en haszn´ alt, ´es a line´aris algebr´ahoz kapcsol´od´ o eredm´eny a t¨obb-v´ altoz´ os integr´alok kisz´ am´ıt´ as´at seg´ıt˝ o, az integr´alok ´ert´ek´et meg˝ orz˝o integr´altranszform´ aci´ok le´ır´asa. Ahhoz, hogy ezt az eredm´enyt meg´erts¨ uk, el˝ osz¨ or a determin´ansok, pontosabban a m´ atrixok determin´ansainak szeml´eletes tartalm´ at kell meg´erten¨ unk. Az al´abbiakban ezeket a fogalmakat ´es eredm´enyeket tekintj¨ uk ´ at. Egy tipikus line´ aris algebrai modell. El˝osz¨ or tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o, a line´aris tereket ´es az ott megjelen˝o fogalmakat tartalmaz´ o legjellemz˝obb p´eld´at. Tekints¨ uk az (x1 , . . . , xk ) k hossz´ us´ ag´ u sorozatokb´ol a´ll´ o teret, ´es defini´aljuk k´et (x1 , . . . , xk ) ´es (y1 , . . . , yk ) sorozat ¨ osszeg´et, mint (x1 , . . . , xk ) + (y1 , . . . , yk ) = (x1 + y1 , . . . , xk + yk ), ´es egy (x1 , . . . , xk ) sorozat szorzat´at egy α konstanssal mint α(x1 , . . . , xk ) = (αx1 , . . . , αxk ). A k-hossz´ us´ ag´ u sorozatok ter´et a fenti m˝ uveletekkel line´aris t´ernek nevezz¨ uk, a t´er elemeit, a k hossz´ us´ ag´ u sorozatokat pedig (k-dimenzi´os) vektoroknak h´ıvjuk. Jel¨olj¨ uk Ek -val a fent defini´alt line´aris teret. Ha bevezetj¨ uk k´et x = (x1 , . . . , xk ) ´es y = (y1 , . . . , yk ) Ek t´erbeli vektor skal´ arszorzat´ at k P xp yp k´eplettel, akkor az Ek line´aris teret ezzel a skal´ arszorzattal is az (x, y) = p=1
egy¨ utt euklideszi t´ernek nevezz¨ uk. A skal´ arszorzat bevezet´ese az´ert hasznos, mert ez lehet˝ ov´e teszi, hogy defini´aljuk egy vektor hossz´at, k´et vektor ´ altal bez´ art sz¨oget, egy a k-dimenzi´os t´erben tekintett (sz´ep) halmaz t´erfogat´ at, azaz, hogy fel´ep´ıts¨ uk az Ek t´er geometri´aj´at. Azt mondhatjuk, hogy a line´aris t´er ´es euklideszi t´er k¨ oz¨ ott az a l´enyeges k¨ ul¨ onbs´eg, hogy a line´aris terek fogalm´at a minket k¨ or¨ ulvev˝o vil´ag (t´er) algebrai strukt´ ur´ aj´anak le´ır´asa ´erdek´eben vezett´ek be, m´ıg az euklideszi t´er sz´amot ad annak geometriai tulajdons´agair´ ol is.
A k-hossz´ u sorozatokb´ol ´ all´ o Ek line´aris t´erben defini´alhatjuk a line´aris oper´ atorokat ´es biline´aris f¨ uggv´enyeket a k¨ ovetkez˝ o m´ odon: Egy Ek → Ek z = A(x) transzform´ aci´ot line´aris transzform´ aci´onak nevez¨ unk, ha A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) minden x ∈ Ek , y ∈ Ek vektorra valamint α ´es β sz´amra. Egy A(x, y), x ∈ Ek , y ∈ Ek k´etv´ altoz´ os val´ os (vagy komplex) sz´am ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny biline´aris f¨ uggv´eny, ha teljes¨ ulnek az A(αx1 + βx2 , y) = αA(x1 , y) + βA(x2 , y), ´es A(x, αy1 + βy2 ) = α ¯ A(x, y1 ) + ¯ βA(x, y2 ) azonoss´agok minden x1 ∈ Ek , x2 ∈ Ek , y ∈ Ek , vektorra, α, ´es β sz´amra, illetve minden y1 ∈ Ek , y2 ∈ Ek , x ∈ Ek vektorra ´es α ´es β sz´amra, ahol z¯ a z komplex sz´am konjug´ altj´ at jel¨oli. A k¨ ovetkez˝ o m´ odon tudunk defini´alni line´aris transzform´aci´okat: Legyen A egy k × k m´eret˝ u m´ atrix. Akkor A(x) = xA, x ∈ Ek , line´aris 1
transzform´ aci´o, ahol xA az x vektor ´es A m´ atrix szok´ asos szorzat´at jel¨oli. Hasonl´ oan egy A k × k m´eret˝ u m´ atrix seg´ıts´eg´evel defini´alhatunk egy biline´aris f¨ uggv´enyt, ha az Ek t´erben bevezetj¨ uk a skal´ arszorzatot is, azaz Ek -t nemcsak line´aris, hanem euklideszi t´ernek is tekintj¨ uk. Ezt a k¨ ovetkez˝ o m´ odon tehetj¨ uk: Legyen A(x, y) = (xA, y), ahol xA vektor ´es m´ atrix szok´ asos szorzat´at, (·, ·) pedig a skal´ arszorzatot jel¨oli. Az altal´ ´ anos elm´eletb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy az Ek t´eren minden line´aris transzform´ aci´ot illetve biline´aris f¨ uggv´enyt meg lehet adni ilyen m´ odon egy alkalmas A k × k m´eret˝ u m´ atrix seg´ıts´eg´evel. Megjegyzem, hogy a fenti fogalmakat ´es eredm´enyeket term´eszetes m´ odon lehet a´ltal´ anos´ıtani arra az esetre is, amikor az Ek t´ernek egy El t´erbe val´ o line´aris lek´epez´eseit akarjuk tekinteni, illetve olyan A(x, y) biline´aris f¨ uggv´enyeket akarunk defini´alni, amelyekre x ∈ Ek , y ∈ El , ´es a k illetve l indexek k¨ ul¨ onb¨oz˝ oek is lehetnek. Viszont a minket ´erdekl˝ o probl´em´ak vizsg´alat´aban elegend˝ o csak a k = l esettel foglalkozni. A line´ aris algebra n´eh´ any fontos fogalma ´es k´erd´ese. Megadjuk a line´aris terek, euklideszi terek ´es a rajtuk ´ertelmezett line´aris transzform´aci´ok, biline´aris f¨ uggv´enyek ´ altal´ anos, ,,absztrakt” definici´ oj´at, illetve a vel¨ uk kapcsolatos legfontosabb eredm´enyeket. B´ar ez a definici´ o form´alisan a´ltal´ anosabb, mint az el˝ obb tekintett p´eld´akban le´ırt eset, val´ oj´aban be lehet l´atni, hogy tetsz˝oleges line´aris t´er, illetve euklideszi t´er ´es a rajtuk defini´alt line´aris transzform´ aci´ok illetve bilini´ aris f¨ uggv´enyek izomorfak a fenti p´eld´aban tekintett modellek valamelyik´evel. M´egis ´erdemes az ,,absztrakt” definici´ ot bevezetni. Bizonyos probl´em´akat egyszer˝ ubb ´es term´eszetesebb m´ odon lehet vizsg´alni, ha az ´ altal´ anos modellt tekintj¨ uk, ´es annak struktur´ aj´at jobban meg´ertj¨ uk. Vezess¨ uk be el˝ osz¨ or a line´aris t´er fogalm´at. Egy X halmazt line´aris t´ernek neveznek, ha minden x ∈ X ´es y ∈ X elemre, (amelyeket az irodalomban vektornak neveznek) ´es α, val´ os (komplex) sz´amra, defini´alva van az x + y ∈ X ¨ osszeg ´es az αx ∈ X konstanssal k´epzett szorzat. Tov´ abb´a megk¨ ovetelj¨ uk, hogy ezek a m˝ uveletek teljes´ıts´ek a k¨ ovetkez˝ o algebrai azonoss´agokat: x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + z, l´etezik 0 ∈ X, (a line´aris t´er null eleme), amelyre x + 0 = x, minden x pontnak l´etezik −x inverze, amelyre x + (−x) = 0, (α + β)x = αx + βx, α(βx) = (αβ)x, 0x = 0, azaz, ha egy vektort beszorzunk a nulla sz´ammal akkor a nulla vektort kapjuk.) Valamely k P x1 , . . . , xk ∈ X vektorokat line´arisan f¨ uggetleneknek nevez¨ unk, ha a α j xj = 0 j=1
egyenlet csak trivi´ alis m´ odon teljes¨ ulhet, azaz csak akkor, ha mindegyik αj sz´amra (egy¨ utthat´ora) αj = 0. Azt mondjuk, hogy az x1 , . . . , xk vektorok gener´ atorrendszert k P alkotnak, ha minden y ∈ X el˝ o´all´ıthat´ oy = αk xk alakban. Ha az x1 , . . . , xk vekj=1
torok egyr´eszt gener´ atorrendszert alkotnak, m´ asr´eszt line´arisan f¨ uggetlenek, akkor ezen vektorok rendszer´et b´azisnak h´ıvj´ ak. A line´aris algebra n´eh´ any egyszer˝ u eredm´enye kifejezi a b´azisok fontos tulajdons´agait. Ezen eredm´enyek egyike szerint minden vektor egy´ertelm˝ uen fejezhet˝ o ki, mint egy b´azis elemeinek line´aris kombin´aci´oja. Egy line´aris t´ernek k¨ ul¨ onb¨oz˝ o b´azisai l´eteznek. Viszont egy line´aris t´er minden b´azisa ugyanannyi 2
elemb˝ol a´ll. Egy line´aris t´er b´azisainak elemsz´am´at h´ıvj´ ak a t´er dimenzi´ oj´anak. Mi csak azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a line´aris t´er dimenzi´ oja egy v´eges sz´am. A line´aris algebra egyik fontos fogalma a line´aris transzform´ aci´o. Egy X line´aris t´er A: X → X ¨ onmag´ aba val´ o lek´epez´es´et line´aris transzform´ aci´onak nevezz¨ uk, ha minden x ∈ X ´es y ∈ X vektorra α ´es β (komplex) sz´amra (αx + βy)A = α(xA) + β(yA). (Az irodalomban nem egys´eges a jel¨ol´esrendszer, van ahol xA-t ´es van ahol Ax-et ´ırnak.) K´et line´aris transzform´ aci´o szorzat´an a transzform´ aci´ok egym´ as ut´ ani alkalmaz´as´at ´ertj¨ uk, ami szint´en line´aris transzform´ aci´o. Sok fontos vizsg´alat elv´egz´ese ´erdek´eben ´erdemes bevezetni bizonyos extra-tulajdons´agokkal rendelkez˝ o line´aris tereket, amelyeket euklideszi tereknek h´ıvnak. Egy X line´aris t´er euklideszi t´er, ha ´ertelmezve van benne egy skal´ arszorzat, azaz, ha minden x ∈ X ´es y ∈ X vektorra l´etezik egy az x ´es y skal´ arszorzat´ anak nevezett (x, y) mennyis´eg, amely val´ os (illetve ´ altal´ anosabb esetekben komplex) sz´am, ´es teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o felt´eteleket: (x, x) ≥ 0, s˝ ot (x, x) > 0, ha x 6= 0, (αx1 + βx2 , y) = α(x1 , y) + β(x2 , y), altj´ at jel¨oli. A skal´ aszorzat lehet˝ ov´e, (x, y) = (y, x), ahol z a z komplex sz´am konjug´ teszi, hogy egy X euklideszi t´erben besz´elhess¨ unk egy x ∈ X vektor |x| hossz´ar´ ol, amelyet az |x|2 = (x, x) formula defini´al, valamint k´et x ´es y vektor sz¨og´er˝ ol, (speci´ alisan (x,y) mer˝olegess´eg´er˝ ol), amelyet a cos(x ´es y ´ altal bez´ art sz¨og) = |x||y| formula defini´al. Az x ∈ X ´es y ∈ X vektorokat mer˝olegeseknek vagy m´ as sz´oval ortogon´ alisoknak nevezz¨ uk, ha (x, y) = 0. Defini´ alhatunk u ´gynevezett A(x, y) biline´aris f¨ uggv´enyeket is egy X euklideszi t´erben. Az A(x, y), x ∈ X, y ∈ X, val´ os vagy komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny biline´aris f¨ uggv´eny, ha A(α1 x + α2 x2 , y) = α1 A(x1 , y) + α2 A(x2 , y), ´es A(x, α1 y1 + α2 y2 ) = α ¯ 1 A(x, y1 ) + α ¯ 2 A(x2 , y2 ). Val´ oj´aban az el˝ obb defini´alt biline´aris f¨ uggv´enyeket defini´alhattuk volna tetsz˝oleges line´aris t´erben is, mivel a definici´ o nem haszn´ alja a skal´ arszorzat fogalm´ at. Viszont az euklideszi terekben jobban jellemezhet˝ oek a biline´aris f¨ uggv´enyek. Nevezetesen, ha tekint¨ unk egy olyan A line´aris lek´epez´est valamely E euklideszi terb˝ol o¨nmag´ aba, akkor a g(x, y) = (xA, y) f¨ uggv´eny, ahol (·, ·) az euklideszi t´erben szerepl˝o skal´ arszorzatot jel¨oli, biline´aris f¨ uggv´eny. S˝ot, igaz az a line´aris algebr´aban nagyon fontos eredm´eny, amely szerint minden biline´aris f¨ uggv´eny megadhat´ o ilyen m´ odon, ´es a biline´aris f¨ uggv´eny egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza az ˝ ot defini´al´ o A line´aris lek´epez´est. (Term´eszetesen ez az eredm´eny csak euklideszi terekben fogalmazhat˝o meg. Maga az eredm´eny azon alapul, hogy minden az E euklideszi teret a sz´amegyenesre k´epez˝ o g: ] E → R line´aris lek´epez´es megadhat´ o g(x) = (e, x), x ∈ E, alakban, ´es az ebben formul´ aban szerepl˝o e ∈ E vektort egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza a g(·) lek´epez´es.)
Ez azt jelenti, hogy euklideszi terekben a t´er ¨ onmag´ aba k´epez˝ o line´aris transzform´aci´oi ´es biline´aris f¨ uggv´enyei k¨ oz¨ ott k¨ olcs¨on¨ osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es van. Ez a megfeleltet´es teszi lehet˝ ov´e lek´epez´es transzpon´altj´ anak ´es ¨ onadjung´ alt vagy unit´er lekpez´esek definici´ oj´at euklideszi terekben. Ezeket a rendk´ıv¨ ul fontos fogalmakat e jegyzet k´es˝obbi r´esz´eben ismertetni fogom.
R¨ ogz´ıts¨ uk egy X k-dimenzi´os X line´aris t´er vagy speci´alisan euklideszi t´er egy e1 , . . . , ek b´azis´at. Ha ismerj¨ uk egy A line´aris transzform´ aci´o k´ep´et mindegyik ej , 1 ≤ j ≤ k, b´azisvektorra, azaz ismerj¨ uk az ¨ osszes aj,p , 1 ≤ j, p ≤ k, egy¨ utthat´ot 3
az ej A =
k P
p=1
aj,p ep , 1 ≤ j ≤ k, egyenletekben, akkor tetsz˝oleges x vektor xA k´ep´et
ki tudjuk sz´amolni. A line´aris algebra term´eszetes ´es fontos probl´em´ai a k¨ ovetkez˝ o k´erd´esek megv´ alaszol´asa: Hogyan lehet ezt az xA vektort effektive kisz´ amolni, milyen sz´amol´ asokat kell v´egrehajtani, ha egy e1 , . . . , ek b´azis helyett egy m´ asik e¯1 , . . . , e¯k b´azisra t´er¨ unk ´ at, ´es ott akarjuk kisz´ amolni az A line´aris transzform´ aci´o hat´as´at? Mely b´azis v´ alaszt´ assal tudjuk a legegyszer˝ ubben l´atni egy A line´aris transzform´ aci´o viselked´es´et? Hasonl´ o k´erd´esek fogalmazhat´oak meg egy az X euklideszi t´erben defini´alt A(·, ·) biline´aris f¨ uggv´eny eset´eben. Be lehet l´atni, hogy egy k-dimenzi´os euklideszi t´erben nemcsak b´azis, hanem speci´alis, u ´gynevezett ortonorm´alt b´azis is l´etezik, azaz meg lehet adni, olyan e1 , . . . , ek b´azist, amelyre (ej , ep ) = 0, ha j 6= p, (ej , ej ) = 1, 1 ≤ j, p ≤ k. B´ar nem lenne k¨ otelez˝o, de ha euklideszi t´erben biline´aris f¨ uggv´enyeket vizsg´alnak mindig ortonorm´alt b´azisban dolgoznak. (´Igy ˝ orizz¨ uk meg az euklideszi t´er geometriai szerkezet´et.) Ha r¨ogz´ıt¨ unk egy e1 , . . . , ek ortonorm´alt b´azist, akkor az A(ej , ep ), 1 ≤ j, p ≤ k, ´ert´ekek seg´ıts´eg´evel ki lehet sz´am´ıtani tetsz˝oleges x ∈ X ´es y ∈ X vektorra az A(x, y) biline´aris f¨ uggv´eny ´ert´ek´et. Itt is felmer¨ ul a k´erd´es, hogyan lehet ezt a sz´amol´ ast effektive elv´egezni, hogyan tudjuk kisz´ am´ıtani a biline´aris f¨ uggv´enyt, ha egy ortonorm´alt b´azisr´ol ´ att´er¨ unk egy m´ asikra, ´es melyik ortonorm´alt b´azisban tudjuk a biline´aris f¨ uggv´eny viselked´es´et a legegyszer˝ ubben l´atni. A fent megfogalmazott k´erd´es euklideszi terekben defini´alt biline´aris f¨ uggv´enyek jellemz´es´er˝ ol term´eszetes m´ odon ´ atfogalmazhat´ o, mint line´aris transzform´ aci´ok jellemz´ese. Mint megjegyezt¨ uk, egy X euklideszi t´erben term´eszetes k¨ olcs¨on¨ osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es l´etezik a t´er ¨ onmag´ aba k´epez˝ o line´aris transzform´ aci´oi ´es az X t´eren defini´ alt biline´aris f¨ uggv´enyek k¨ oz¨ ott. Egy A line´aris transzform´ aci´o ´es a (·, ·) skal´ arszorzat seg´ıts´eg´evel defini´alhat´ o az A(x, y) = (xA, y) kifejez´es, ´es ez biline´aris f¨ uggv´eny. Megford´ıtva, tetsz˝oleges A(·, ·) biline´aris f¨ uggv´eny egy´ertelm˝ uen fel´ırhat´ o ilyen form´aban egy alkalmas A line´aris transzform´ aci´o seg´ıts´eg´evel. Legegyszer˝ ubb ezt a megfeleltet´est u ´gy megadni, hogy r¨ogz´ıt¨ unk egy e1 , . . . , ek ortonorm´alt b´azist az euklideszi t´erben, ´es defini´aljuk az A(·, ·) biline´aris f¨ uggv´eny ¯ ¯ valamint az e1 , . . . , ek b´azis ´es (·, ·) skal´ arszorzat seg´ıts´eg´evel azt az A = A(e1 , . . . , ek ) m´ atrixot, amelynek j-ik sor´ aban ´es p-ik oszlop´aban az aj,p = A(ej , ep ) sz´am a´ll. Ekkor k k ¯y ∗ minden x ∈ X, y ∈ X vektorra, ahol x = P xj ej , y = P yj ej , A(x, y) = x ¯A¯ j=1
j=1
x ¯ = (x1 , . . . , xk ), y¯ = (y1 , . . . , yk ), ´es y¯∗ a y¯ vektor transzpon´ altj´ at jel¨oli. Term´eszetesen ¯ az el˝ obb defini´alt A m´ atrix f¨ ugg att´ol, hogy melyik ortonorm´alt b´azist v´ alasztottuk, de be lehet l´atni, hogy az a line´aris transzform´ aci´o, amelyet ez a m´ atrix meghat´ aroz m´ ar nem f¨ ugg az (ortonorm´ alt) b´azis megv´ alaszt´ as´at´ ol. A fenti megfeleltet´esek egyben azt is mutatj´ak, hogy hogyan lehet egy ´ altal´ anos line´aris transzform´ aci´onak illetve biline´aris f¨ uggv´enynak r¨ogz´ıtett (biline´aris f¨ uggv´eny eset´eben az euklideszi t´erben ortonorm´alt) b´azis eset´eben egy olyan speci´alis (a sz´am-k-asok ter´en defini´alt) izomorf modellt megfeleltetni, mint amilyet az ismertet´es elej´en megadtam.
4
N´eh´ any eredm´eny lin´ aris transzform´ aci´ okr´ ol. Tekints¨ uk ´ at el˝ osz¨ or r¨oviden azt, hogy hogyan lehet egy A line´aris transzform´ aci´ot egyszer˝ uen megadni egy alkalmas b´azisban. Az ilyen vizsg´alatokban rendk´ıv¨ ul hasznos fogalom egy line´aris oper´ ator saj´ atvektor´anak ´es a saj´ atvektor saj´ at´ert´ek´enek a fogalma. Egy e vektor az A oper´ ator saj´ atvektora λ saj´ at´ert´ekkel, ha teljes¨ ul az eA = λe azonoss´ag. Felmer¨ ul a k´erd´es, hogy van-e minden oper´ atornak olyan b´azisa, amelyiknek minden eleme saj´ atvektor. Ha az A line´aris transzform´ aci´onak van ilyen b´azisa, akkor ´erdemes az A transzform´ aci´o m´ atrix´at ebben a b´azisban fel´ırni. Az A transzform´ aci´o m´ atrixa egy ilyen b´azisban diagon´ alis m´ atrix, azaz a m´atrixban a f˝ o´atl´ on k´ıv¨ ul minden¨ utt nulla van. Tov´ abb´a a m´ atrix diagon´ alis´ aban az A transzform´ aci´o saj´ at´ert´ekei allnak. De nem minden line´aris oper´ ´ atornak van ilyen b´azisa. Az a´ltal´ anos esetben egy line´aris lek´epez´es a legegyszer˝ ubb m´ odon az u ´gynevezett Jordan f´ele norm´ alalakban adhat´o meg. A Jordan f´ele norm´ alalak l´etez´ese nagyon ´erdekes eredm´eny, amelyik sok matematikai probl´em´aban, p´eld´aul a (t¨ obbv´ altoz´ os line´aris) differenci´ alegyenletek elm´elet´eben nagyon hasznos. Egy A line´aris lek´epez´es Jordan f´ele norm´ alakj´ anak el˝ oall´ıt´ ´ as´aban fontos l´ep´es az A line´aris oper´ ator invari´ ans altereinek a megtal´ al´ asa, azaz az olyan D ⊂ E line´aris terek´e, amelyekre x ∈ D eset´eben az xA ∈ D. Az A line´aris oper´ ator egydimenzi´ os invari´ ans alterei, megegyeznek a D = {αe: α tetsz˝oleges sz´am} alak´ u egydimenzi´ os alterekkel, ahol e az A oper´ ator saj´ atvektora. De mivel a minket ´erdekl˝ o k´erd´esek vizsg´alat´aban a Jordan f´ele norm´alalak nem jelenik meg, ez´ert ennek a k´erd´esnek a t´argyal´ as´at elhagyom. Hasonl´ o okokb´ ol nem t´argyalom, hogyan v´ altozik egy line´aris transzform´ aci´o m´ atrixa, ha egy b´azisb´ ol egy m´ asik b´azisra t´er¨ unk a´t. Csak r¨oviden megadom az eredm´enyt: Legyen e1 , . . . , ek ´es e¯1 , . . . e¯k k´et b´azis egy E line´aris t´erben. Ekkor l´etezik egy egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott, ´es invert´ alhat´ o B line´aris transzform´ aci´o, amelyre ej B = ¯ m´ e¯j , 1 ≤ j ≤ k. A B transzform´ aci´o B atrixa megegyezik az e1 , . . . , ek ´es e¯1 , . . . e¯k ¯ −1 m´ b´azisokban, ´es ugyanez az ´ all´ıt´ as ´erv´enyes a B m´ atrix B −1 inverz´enek a B atrix´ara is. Be lehet l´atni, hogy ha egy A line´aris transzform´ aci´o m´ atrixa az A¯ m´ atrix az ¯ A¯B ¯ −1 e1 , . . . , ek b´azisban, akkor az A transzform´ aci´o m´ atrixa az e¯1 , . . . e¯k b´azisban a B m´ atrix. ¨ Biline´ aris f¨ uggv´enyek n´eh´ any fontos tulajdons´ aga. Onadjung´ alt ´es unit´er lek´epez´esek. A mi vizsg´alatainkban fontosabb szerepet j´ atszik egy euklideszi t´erben defini´alt biline´aris f¨ uggv´enyek tulajdons´againak a meg´ert´ese. Mint kor´ abban ´ırtam, egy X euklideszi t´erben minden A(·, ·) biline´aris f¨ uggv´eny fel´ırhat´ o egy´ertelm˝ uen A(x, y) = (xA, y) alakban, ahol A egy az X euklideszi t´eren defini´alt line´aris transzform´ aci´o, tov´ abb´a minden A line´aris transzform´ aci´o meghat´ aroz ezen a m´ odon egy biline´aris f¨ uggv´enyt. Ez´ert egy A(·, ·) biline´aris f¨ uggv´enyt azonos´ıthatunk az ˝ ot meghat´ aroz´o A line´aris transzform´ aci´oval. Ez a megjegyz´es lehet˝ ov´e teszi, hogy defini´aljuk egy X euklideszi t´erben megadott A line´aris transzform´ aci´o A∗ adjung´altj´ at a k¨ ovetkez˝ o m´ odon: Az A∗ line´aris ∗ transzform´ aci´ot meghat´ arozza az (xA, y) = (x, yA ) azonoss´ag teljes¨ ul´ese minden x ∈ X ´es y ∈ X vektorra. Ha egy A line´aris transzform´ aci´o m´ atrix´at egy ortonorm´alt b´azisban ´ırjuk fel, akkor k¨ onnyen megadhatjuk az A transzform´ aci´o A∗ adjung´altj´ anak a m´ atrix´at 5
ugyanabban a b´azisban. Nevezetesen a A∗ adjung´alt oper´ ator m´ atrix´at u ´gy kapjuk meg, hogy az A oper´ ator m´ atrix´anak az elemeit az ´ atl´ ora t¨ ukr¨ ozz¨ uk, ´es ha komplex ´ert´ek˝ u akkor konjug´ aljuk is. Azaz ha A = (aj,p ), 1 ≤ j, p ≤ k, akkor A∗ = (¯ ap,j ), 1 ≤ j, p ≤ k. Ez egyben azt is jelenti, hogy besz´elhet¨ unk egy A m´ atrix adjung´altj´ ar´ ol is, azaz noha ugyanaz a m´ atrix t¨obb k¨ ul¨ onb¨oz˝ o line´aris transzform´ aci´o m´ atrixak´ent jelenhet meg, att´ol f¨ ugg˝oen, hogy mely (ortonorm´ alt) b´azisban dolgozunk, az A m´ atrix A∗ adjung´altja mindig ugyanaz az A∗ m´ atrix. Fel´ırom az A → A∗ lek´epez´essel kapcsolatos ∗ legfontosabb azonoss´agokat. Ezek: (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (αA)∗ = α ¯ A∗ , (A∗ ) = A, (AB)∗ = B ∗ A∗ , (teh´ at az utols´ o azonoss´ag jobboldal´ an fel kell cser´elni a t´enyez˝ oket), −(1 ∗ ∗ −1 ´es A = (A ) .
Az euklideszi t´eren ´ertelmezett line´aris transzform´ aci´ok k¨ oz¨ ott k¨ ul¨ on¨ osen fontos szerepet j´ atszanak az ¨ onadjung´ alt ´es unit´er lek´epez´esek. Le´ırom ezek definici´ oj´at ´es a vel¨ uk kapcsolatos legfontosabb tudnival´ okat.
Az X euklideszi t´er egy A line´aris transzform´ aci´oj´at ¨ onadjung´ altnak nevez¨ unk, ha A = A∗ , egy U transzform´ aci´oj´at unit´ernek, ha U U ∗ = U ∗ U = I, ahol I az identit´ as lek´epez´es. Az, hogy az A line´aris transzform´ aci´o ¨ onadjung´ alt u ´gy is megfogalmazhat´ o, hogy az ´ altala meghat´ arozott A(·, ·) biline´aris f¨ uggv´eny teljes´ıti az A(x, y) = A(y, x) azonoss´agot. Az unit´er transzform´ aci´ok egyik fontos tulajdons´aga az, hogy val´ oj´aban ∗ ∗ el´eg az U U = I vagy U U = I azonoss´agok egyik´et megk¨ ovetelni, a m´ asik azonoss´ag ebb˝ol k¨ ovetkezik. Egy k-dimenzi´os euklideszi t´er valamely transzform´ aci´oja akkor ´es csak akkor unit´er, ha r¨ogz´ıtve az euklideszi t´er egy ortonorm´alt b´azis´at ´es fel´ırva a transzform´ aci´o m´ atrix´at ebben a b´azisban az ´ıgy kapott m´ atrix sorai (vagy oszlopai) ortonorm´alt rendszert alkotnak a sz´am k-asok ter´eben. Az unit´er transzform´ aci´oknak fontos geometriai jelent´es¨ uk van. Ezek az X euklideszi t´er t´avols´ ag ´es sz¨ogtart´o lek´epez´esei. Speci´ alisan, az unit´er transzform´ aci´ok ortonorm´alt b´azist ortonorm´alt b´azisba k´epeznek. Egy o¨nadjung´ alt line´aris lek´epez´es m´ atrix´at valamilyen r¨ogz´ıtett ortonorm´alt b´azisban ¨ onadjung´ alt m´ atrixnak, egy unit´er line´aris lek´epez´es m´ atrix´at pedig unit´er m´ atrixnak h´ıvj´ ak. Ez az elnevez´es jogos, mert az, hogy egy m´ atrix ¨ onadjung´ alt vagy unit´er-e eld¨onthet˝ o csak a m´ atrix ismeret´eben, ´es nem f¨ ugg att´ol, hogy milyen m´ odon kaptuk ezt a m´ atrixot egy alkalmas oper´ ator seg´ıts´eg´evel. Nevezetesen, egy A = (aj,p ), 1 ≤ j, p ≤ k, k × k m´eret˝ u m´ atrix akkor ´es csak akkor ¨ onadjung´ alt, ha aj,p = a ¯p,j minden 1 ≤ j, p ≤ k indexre. Egy U = (uj,p ), 1 ≤ j, p ≤ k, k × k m´eret˝ u m´ atrix akkor ´es csak akkor unit´er, k P uj,p u ¯j,p = 1, minden 1 ≤ j ≤ k indexre, ha az U m´ atrix sorai ortonorm´altak, azaz p=1
´es
k P
p=1
uj,p u ¯l,p = 0, minden 1 ≤ j, l ≤ k indexre, ha j 6= l.
Egy A ¨ onadjung´ alt lek´epez´esre (xA, x) val´ os sz´am minden x ∈ X vektorra, mert onadjung´ alt lek´epez´es pozit´ıv (xA, x) = (x, xA) = (xA, x). Azt mondjuk, hogy egy ¨ szemidefinit, ha (xA, x) ≥ 0 minden x ∈ X vektorra, pozit´ıv definit, ha (xA, x) > 0 minden x 6= 0 vektorra. Nem neh´ez bel´ atni, hogy ha A ¨ onadjung´ alt transzform´ aci´o, akkor ezt a transzform´ aci´ot illetve az ´ altala defini´alt (xA, y) biline´aris f¨ uggv´enyt meghat´ arozza e f¨ ugv´eny megszor´ıt´ asa az x = y pontokra, azaz az (xA, x) f¨ uggv´eny, amelyet kvadrati6
kus alaknak h´ıvnak az irodalomban. A line´aris algebra egyik fontos eredm´enye arr´ ol sz´ol, hogy hogyan lehet o¨nadjung´ alt oper´ atorokat a legegyszer˝ ubb m´ odon jellemezni egy alkalmas ortonorm´alt b´azis seg´ıts´eg´evel. A k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ as ´erv´enyes. Ha A ¨ onadjung´ alt oper´ ator egy X k-dimenzi´os euklideszi t´erben akkor l´etezik az A transzform´ aci´onak k darab e1 , . . . , ek ortonorm´alt saj´atvektorb´ ol ´ all´ o b´azisa, azaz olyan egym´ asra mer˝oleges (egy hossz´ us´ ag´ u) e p , 1 ≤ p ≤ k vektorokb´ol ´ all´ o b´azis, amelyekre ep A = λp ep valamely λp saj´ at´ert´ekkel. Tov´ abb´a a λp saj´ at´ert´ekek val´ os sz´amok minden p = 1, . . . , k indexre. Ebben a saj´ atvektorokb´ol all´ ´ o b´azisban az A transzform´ aci´o m´ atrixa egy diagon´ alis Λ m´ atrix, ´es a Λ m´ atrix diagon´ alis elemei a λp saj´ at´ert´ekek. Egy A ¨ onadjung´ alt oper´ ator akkor ´es csak akkor pozit´ıv szemidefinit, ha minden saj´ at´ert´eke nem-negat´ıv, ´es akkor ´es csak akkor pozit´ıv definit, ha mindegyik saj´ at´ert´eke szigor´ uan pozit´ıv. A fenti ´ all´ıt´ as arr´ ol, hogy egy X k-dimenzi´os euklideszi t´erben defini´alt A o¨nadjung´alt oper´ atornak l´etezik e1 , . . . , ek saj´ atvektorokb´ol ´ all´ o ortonorm´alt b´azisa, a k¨ ovetkez˝ o jellemz´es´et adja az A oper´ atornak m´ atrix ´ altal´ anos ortonorm´alt b´azisban. Legyen f1 , . . . , fk tetsz˝oleges ortonorm´alt b´azis. Ekkor az a saj´ at´ert´ekekb˝ ol a´ll´ o ortonorm´alt k P uj,p fp , j = 1, . . . , k, alakban. Tov´ abb´a az U = (uj,p ), b´azis elemei kifejezhet˝oek ej = p=1
1 ≤ j, p ≤ k, m´ atrix unit´er. Ugyanis abb´ol, hogy mind az e1 , . . . , ek mind az f1 , . . . , fk b´azis ortonorm´alt rendszert alkot k¨ ovetkezik, hogy az U m´ atrix sorai ortonorm´alt rendszert alkotnak a sz´am k-asok ter´eben. Be lehet l´atni, hogy az A o¨nadjung´ alt oper´ ator ∗ m´ atrixa az f1 , . . . , fk b´azisban az U ΛU m´ atrix, ahol U az el˝ obb defini´alt unit´er m´ atrix, Λ pedig az a diagon´ alis m´ atrix, amelynek p-ik sor´ aban (´es p-ik oszlop´ aban) az ep saj´ atvektor λp saj´ at´ert´eke ´ all. Rejtett m´ odon egy transzform´ aci´o A m´ atrix´anak A = U ∗ ΛU alak´ u el˝ o´all´ıt´ asa jelenti azt az eredm´enyt, amelyet az irodalomban f˝ otengely transzform´ aci´onak neveznek. Ez azt mondja ki, hogy egy ¨ onadjung´ alt oper´ ator m´ atrixa alkalmas ortonorm´alt b´azisban diagon´ alis. Ahhoz, hogy ezt az el˝ o´all´ıt´ ast megadjuk az oper´ ator saj´ atvektorait ´es saj´ at´ert´ekeit kell ismern¨ unk.
R¨ oviden ismertetem, hogy felhaszn´alva azt az eredm´enyt amely szerint minden A ¨nadjung´ o alt oper´ atornak l´etezik az A oper´ ator ortogon´ alis saj´ atvektoraib´ol a´ll´ o b´azisa, ∗ hogyan lehet l´atni azt, hogy az A oper´ ator m´ atrixa U ΛU alakban ´ırhat´ o. Legyen k P uj,p fp az ej saj´ atvektor el˝ o´all´ıt´ asa a vizsg´alt f1 , . . . , fk ortonorm´alt b´azisban ej = p=1
(j)
alak´ u, ´es vezess¨ uk be az u = (uj,1 . . . , uj,k ), j = 1, . . . , k jel¨ol´est. Ekkor el´eg bel´ atni, (j) ∗ (l) ∗ hogy teljes¨ ul az (ej A, el ) = u U ΛU u azonoss´ag minden 1 ≤ j, l ≤ k indexre. Ezt az azonoss´agot viszont nem neh´ez ellen˝ orizni, felhaszn´alva a k¨ ovetkez˝ o azonoss´agokat: Egyr´eszt (ej A, ej ) = λj , ´es (ej A, el ) = 0, ha j 6= l, 1 ≤ j, l ≤ k. M´asr´eszt u(j) U ∗ az a k hossz´ us´ ag´ u sz´amsorozat, amelynek j-ik koordin´ at´ aja 1, ´es az ¨ osszes t¨obbi koordin´ at´ aja ∗ nulla, ´es az U u(l) vektor az a k hossz´ us´ ag´ u oszlopvektor, amelynek l-ik koordin´ at´ aja 1, ´es az o¨sszes t¨obbi koordin´ at´ aja nulla. Jegyezz¨ uk meg, hogy ´erv´enyes ´es hasonl´oan bizony´ıthat´ o a k¨ ovetkez˝ o a´ll´ıt´ as: Ha egy X k-dimenzi´os euklideszi t´erben defini´alt (mem felt´etlen¨ ul o¨nadjung´ alt) biline´aris f¨ uggv´eny m´ atrixa egy B m´ atrix valamilyen e1 , . . . , ek ortonorm´alt b´azisban, ´es tekint¨ unk 7
egy m´ asik ortonorm´alt f1 , . . . , fk b´azist az X t´erben, akkor fel´ırhatjuk az ej =
k P
uj,p fp
p=1
azonoss´agokat, 1 ≤ j ≤ k, alkalmas uj,p egy¨ utthat´okkal, ´es az U = (uj,p ), 1 ≤ j, p ≤ k k × k m´eret˝ u m´ atrix unit´er. Tov´ abb´a a tekintett biline´aris f¨ uggv´eny m´ atrixa az u ´j f1 , . . . , fk b´azisban az U ∗ BU m´ atrix. Jegyezz¨ uk meg, hogy az U ∗ = U −1 m´ atrix az U m´ atrix inverze. A most eml´ıtett formula alapj´ an egy ¨ onadjung´ alt oper´ ator fel´ır´asa U ∗ ΛU alakban inform´ alisan a k¨ ovetkez˝ o m´ odon interpret´alhat´ o: Ez a k´eplet azt mutatja meg, hogy hogyan ,,l´ atjuk” egy ¨ onadjung´ alt oper´ atornak a saj´ atvektorok a´ltal meghat´ arozott b´azisban megjelen˝o diagon´ alis alakj´ at egy m´ asik ortonorm´alt b´azisb´ ol. Term´eszetesen felmer¨ ul az a k´erd´es, hogy van-e hasonl´o sz´ep, alkalmas koordin´atarendszerben diagon´ alis m´ atrix form´aban megadhat´ o el˝ o´all´ıt´ asa az unit´er transzform´aci´oknak. Ezzel a k´erd´essel ekvivalens az a probl´ema, hogy l´etezik-e minden unit´er oper´ atornak ortogon´ alis saj´ atvektorokb´ol ´ all´ o b´azisa. A v´ alasz erre a k´erd´esre igenl˝ o. A k¨ ul¨ onbs´eg mind¨ ossze annyi, hogy az ¨ onadjung´ alt oper´ atorok saj´ at´ert´ekei val´ os sz´amok, ´ m´ıg az unit´er oper´ atorok saj´ at´ert´ekei egy abszolut ´ert´ek˝ u komplex sz´amok. Erdemes megjegyezni, hogy a fent eml´ıtett ´ all´ıt´ as az unit´er oper´ atorokr´ ol csak akkor ´erv´enyes, ha nem val´ os hanem u ´gynevezett komplex euklideszi terekben dolgozunk, azaz az euklideszi t´er elemeit nemcsak val´ os, hanem komplex sz´amokkal is megszorozhatjuk. Szint´en ismert az, hogy hogyan lehet val´ os euklideszi tereken ´ertelmezett unit´er transzform´ aci´ok m´ atrix´at egyszer˝ u m´ odon el˝ o´all´ıtani alkalmas b´azisban. Ennek az eredm´enynek ´erdekes geometriai k¨ ovetkezm´enyei vannak, de ezt a k´erd´est itt nem t´argyalom. Egy´ebk´ent ismert az is, hogy melyek azok az oper´ atorok, amelyeknek l´etezik saj´ atvektorokb´ol a´ll´ o ortonorm´alt b´azisa. Ezek az u ´gynevezett norm´ alis oper´ atorok. Egy oper´ ator akkor norm´ alis, ha AA∗ = A∗ A. M´eg egy eredm´enyt fogalmazok meg ´es bizony´ıtok be euklideszi t´erben defini´alt m´ atrixoknak u ´gynevezett pol´ ar felbont´as´ar´ ol. A line´aris algebra ezen fontos, de nem el´egg´e ismert eredm´enye seg´ıt a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ asban is a norm´ alis eloszl´ as´ u vektorok viselked´es´enek jobb meg´ert´es´eben. T´ etel egy m´ atrix pol´ ar felbont´ as´ ar´ ol. Legyen A egy Euklideszi t´er line´ aris transzform´ aci´ oj´ anak a m´ atrixa. L´etezik az A m´ atrixnak A = U K (´es A = LV ) alak´ u pol´ ar felbont´ asa, ahol U (illetve V ) unit´er, K (illetve L) pozit´ıv szemidefinit szimmetrikus m´ atrix. A K m´ atrix az A∗ A pozit´ıv definit, szimmetrikus m´ atrix egy´ertelm˝ uen ∗ meghat´ arozott pozit´ıv n´egyzetgy¨ oke. (Az L m´ atrix az AA m´ atrix pozit´ıv n´egyzetgy¨ oke.) Megjegyz´es. Ezen eredm´eny elnevez´es´enek az az oka, hogy a pozit´ıv szemidefinit m´ atrixok a nem negat´ıv val´ os sz´amoknak, az unit´er transzform´ aci´ok pedig az egy abszolut ´ert´ek˝ u komplex sz´amoknak (a komplex t´er forgat´ asainak) a term´eszetes megfelel˝ oi, ha a komplex sz´amok ter´et egy Euklideszi t´er oper´ atorainak a ter´evel helyettes´ıtj¨ uk. Ahogy egy tetsz˝oleges z komplex sz´am fel´ırhat´ o z = Reiϕ ‘pol´ arkoordin´ at´ as’ alakban, u ´gy tetsz˝oleges A m´ atrix fel´ırhat´ o a t´etelben megadott A = U K alakban. Mivel a m´ atrixszorz´ as nem kommutat´ıv, ez´ert az A = U K ´es A = LV el˝ o´all´ıt´ asokban k¨ ul¨ onb¨oz˝ o m´ atrixok szerepelnek az ´ altal´ anos esetben. A K m´ atrix alakja k¨ ovetkezik az A∗ A = (U K)∗ (U K) = K ∗ (U ∗ U )K = K ∗ K = K 2 8
ez´ert K = (A∗ A)1/2
azonoss´agb´ol. A m´ atrixok pol´ ar felbont´ as´ ar´ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ asa. L´ attuk, hogy ha l´etezik az A m´ atrixnak A = U K alak´ u pol´ ar felbont´asa, akkor K = (A∗ A)1/2 , az A∗ A m´ atrix pon zit´ıv n´egyzetgy¨oke. Legyen A n × n-es m´ atrix, ´es legyen e1 , . . . , en az R t´ernek az A∗ A szimmetrikus pozit´ıv, szemidefinit m´ atrix ortonorm´alt saj´ atvektoraib´ol a´ll´ o b´azisa 2 2 ∗ 2 µ1 , . . . , µk , µj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ k, saj´ at´ert´ekekkel, azaz legyen ej A A = µj ej . Ekkor ∗ ∗ ∗ 2 (ej A , ek A ) = (ej A A, ek ) = µj (ej , ek ) = δj,k µ2j , ahol δj,k = 0, ha j 6= k, ´es δj,k = 1, ha j = k. Azt ´ all´ıtom, hogy az Rn t´ernek l´etezik olyan ortonorm´alt v1 , . . . , vn b´azisa, amelyre e A∗ ej A∗ = µj vj minden 1 ≤ j ≤ n indexre. Val´ oban, legyen vj = jµj , ha µj 6= 0, ´es eg´esz´ıts¨ uk ki ezeket a vektorokat a t´er egy ortonorm´alt b´azis´av´a. Ezzel a v´ alaszt´ assal ej A∗ = µj vj minden j indexre. Ugyanis ez az azonoss´ag ´erv´enyes definici´ o szerint, ha µj 6= 0, ´es ej A∗ = 0 (mivel (ej A∗ , ej A∗ ) = µ2j = 0) valamint µj vj = 0 miatt ´erv´enyes akkor is, ha µj = 0. Defini´ aljuk az U oper´ atort a ej U ∗ = vj rel´ aci´oval a fenti e1 , . . . , en ´es v1 , . . . , vn ∗ vektorokkal. Ekkor U ´es U unit´er oper´ atorok. Tov´ abb´a a K = (A∗ A)1/2 oper´ atorra ej K = µj ej . Ez´ert ej A∗ = µj vj = ej KU ∗ minden 1 ≤ j ≤ n indexre. Innen A∗ = KU ∗ , ´es A = (A∗ )∗ = (KU ∗ )∗ = U K. ´Igy megkaptuk az A = U K pol´ ar felbont´ast. Az A = LV pol´ ar felbont´ast hasonl´oan kaphatjuk meg. A line´ aris algebra alkalmaz´ asa val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ asi probl´em´ akban.
Ek
Tekints¨ uk az ismertet´es elej´en t´argyalt k hossz´ us´ ag´ u (x1 , . . . , xk ) sorozatokb´ol a´ll´ o k P xp y¯p skal´ arszorzattal. Legyen tov´ abb´a adva k euklideszi teret az (x, y) = p=1
ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, amelyekre Eξp = 0, 2 Eξp < ∞, 1 ≤ p ≤ k. E val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok seg´ıts´eg´evel defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o biline´aris f¨ uggv´enyt az Ek euklideszi! t´eren. Ha x = (x1 , . . . , xk ), y = (y1 , . . . , yk ) k k P P akkor legyen A(x, y) = E xj ξj yl ξl . Nem neh´ez bel´ atni, hogy ez a bij=1
l=1
line´aris f¨ uggv´eny megadhat´ o A(x, y) = xDy ∗ alakban, ahol D = dj,l , 1 ≤ j, l ≤ k, dj,l = Eξj ξl = Cov (ξj , ξl ), a (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor kovariancia m´ atrixa. Ennek a biline´aris f¨ uggv´enynek, illetve a neki megfelel˝ o kovarianciam´ atrixnak a vizsg´alata fontos szerepet j´ atszott a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as, illetve a t¨obb-dimenzi´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel vizsg´alat´aban. L´ attuk, hogy a D kovariancia m´ atrix o¨nadjung´ alt, ´es pozit´ıv szemidefinit. Megjegyezt¨ uk, hogy a line´aris algebra eredm´enyeib˝ol k¨ ovetkezik, hogy minden A pozit´ıv szemidefinit m´ atrix fel´ırhat´ o A = B ∗ B alakban. Az el˝ oad´asban l´attuk, hogy ennek az eredm´enynek az az egyik k¨ ovetkezm´enye, hogy minden szimmetrikus pozit´ıv szemidefinit m´ atrix eset´eben l´etezik olyan t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelyiknek ez a kovariancia m´ artixa. L´ assuk be, mi´ert l´etezik A = BB ∗ alak´ u el˝ o´all´ıt´ asa egy A pozit´ıv (szemi)definit m´ atrixnak. Egy pozit´ıv szemidefinit diagon´ alis Λ m´ atrix eset´eben ez az a´ll´ıt´ as nagyon egyszer˝ uen bizony´ıthat´ o. Legyenek λ1 , . . . , λk a Λ m´ atrix ´ atl´ oj´aban l´ev˝o elemek. Az, 9
hogy a Λ m´ atrix pozit´ıv szemidefinit, azt jelenti, hogy λj ≥ 0 minden 1 ≤ j ≤ k √ ∗ √ √ √ √ Λ Λ, ahol Λ az a diagon´ alis m´ atrix, amelynek indexre. Ez´ert Λ = Λ Λ = p elemei a λj , 1 ≤ j ≤ k sz´amok. Az ´ altal´ anos esetben egy A szimmetrikus m´ atrix ∗ fel´ırhat´ o A = U ΛU alakban, ahol U unit´er, Λ pedig diagon´ alis m´ atrix. Az, hogy az A m´ atrix pozit´ıv szemidefinit azt jelenti, hogy a Λ m´ atrix diagon´ alis´ aban a´ll´ o elemek (az A m´ atrix saj´ atvektoraihoz tartoz´o saj´ at´ ul √ert´ekek) nem negat´ıv sz´amok. Ez´ert teljes¨ 2 ∗ ∗ ∗ az √ A = B√ = B B azonoss´ag B = U ΛU v´ alaszt´ assal. Ugyanis ekkor B B = ul azt is biztos´ıtottuk, hogy a U ∗ ΛU U ∗ ΛU = U ∗ ΛU = A, ´es B = B ∗ . (Ezenk´ıv¨ fenti el˝ o´all´ıt´ asban szerepl˝o B m´ atrix pozit´ıv szemidefinit.) Az A = B ∗ B el˝ o´all´ıt´ as nem ¯ = VB egy´ertelm˝ u. Val´ oban, legyen V tetsz˝oleges unit´er m´ atrix, ´es defini´aljuk a B ¯ ∗B ¯ = B ∗ V ∗ V B = B ∗ B = A, ha teljes¨ m´ atrixot. Ekkor B ul az A = B ∗ B azonoss´ag. ´ trixok determina ´ nsa, Egy transzforma ´ cio ´ Jacobianja, To ¨ bbva ´ ltozo ´s Ma ´ lok transzforma ´ cio ´ i. integra Tekints¨ uk egy A k × k m´eret˝ u A = (aj,l ), 1 ≤ j, l ≤ k, alak´ u m´ atrix det A determin´ans´ at. Ennek a determin´ansnak a k¨ ovetkez˝ o szeml´eletes jelent´ese van: Tekints¨ uk az A m´ atrix a(j) = (aj,1 , . . . , aj,k ) sorait, 1 ≤ j ≤ k, mint vektorokat a kdimenzi´ os t´erben. Ekkor det A megegyezik az a(j) , 1 ≤ j ≤ k, vektorok a´ltal kifesz´ıtett parallelepipedon el˝ ojeles t´erfogat´ aval. Az A m´ atrix sorvektorai a´ltal kifesz´ıtett parallelepipedon a k-dimenzi´os egys´egkocka k´epe, ha az A m´ atrix a´ltal meghat´ arozott line´aris transzform´ aci´ot alkalmazzuk. Ez´ert a fent eml´ıtett eredm´eny szerint a det A geometriai tartalma azt fejezi ki, hogy az A m´ atrix h´anyszoros´ ara nagy´ıtja egy kdimenzi´ os vektorok ´ altal kifesz´ıtett parallelepipedon el˝ ojeles t´erfogat´ at. Ennek a geometriai t´enynek fontos k¨ ovetkezm´enyei vannak. Ez az eredm´eny magyar´ azza meg a det(AB) = det A det B azonoss´ag ok´at ´es szeml´eletes tartalm´ at. Nevezetesen, det(AB) azt m´eri, hogy h´anyszoros´ ara nagy´ıtja az el˝ ojeles t´erfogatot az A ´es B line´aris transzform´aci´ok egym´ as ut´ ani alkalmaz´asa, m´ıg az azonoss´ag jobboldala azt m´eri, hogy az egyes A ´es B transzform´ aci´ok k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on h´anyszorosra nagy´ıtj´ak az el˝ ojeles t´erfogatot. S˝ot, ennek a geometriai k´epnek m´ as sz´amunkra fontos k¨ ovetkezm´enye is van. Ez magyar´ azza meg azt, hogy hogyan kell kisz´ am´ıtani t¨obbv´ altoz´ os f¨ uggv´enyek integr´alj´at, ha a f¨ uggv´enyt transzform´ aljuk, ´es mi´ert jelenik meg ebben a formul´ aban a lek´epez´es Jacobian-j´ anak nevezett mennyis´eg. Mag´anak a fent eml´ıtett t´enynek a bizony´ıt´ as´at elhagyom, csak r¨oviden utalok a det AB = det A det B eredm´eny ok´ara. Ha tekint¨ unk k darab k-dimenzi´os vektort, akkor mind az ´ altaluk kifesz´ıtett parallelepipedon el˝ ojeles t´erfogata, mind azon m´ atrix (j) (j) determin´ans´ anak az ´ert´eke, amely m´ atrix j-ik sor´ aban az a vektor a´ll, az a vektorok multiline´ aris f¨ uggv´enye. Azaz, b´arhogy r¨ogz´ıtj¨ uk egy vektor kiv´etel´evel az o¨sszes t¨obbi vektor ´ert´ek´et, akkor az ´ıgy kapott f¨ uggv´eny a nem r¨ogz´ıtett vektorv´altoz´ o line´aris f¨ uggv´enye. Annak bel´ at´ as´ahoz, hogy k´et multiline´ aris f¨ uggv´eny megegyezik elegend˝ o bel´ atni a k´et f¨ uggv´eny azonoss´ag´ at bizonyos speci´alis esetekben. Meg lehet mutatni, hogy jelen esetben elegend˝ o bel´ atni azt, hogy a tekintett el˝ ojeles t´erfogat ´es determin´ans ´ert´eke megegyezik azokban a speci´alis esetekben, amikor mindegyik a(j) vektor olyan, hogy az egyik koordin´ at´ aja 1, az ¨ osszes t¨obbi koordin´ at´ aja pedig nulla. Tov´ abb´a 10
mind a determin´ans mind az (el˝ ojeles) t´erfogat ´ert´eke nulla, ha az o˝ket meghat´ aroz´o a(j) vektorok k¨ oz¨ ott van k´et egyenl˝o vektor. Ezekben az esetekben viszont nem neh´ez ellen˝ orizni az ´ all´ıt´ ast. R Tekints¨ unk egy f (y1 , . . . , yk ) f¨ uggv´enyt, illetve annak B f (y1 , . . . , yk ) dy1 . . . dyk integr´alj´at valamely B tartom´anyban. Arra vagyunk kiv´ancsiak, hogy hogyan lehet kisz´amolni ezt az integr´alt, ha a k-dimenzi´os t´er A halmaz´ anak egy yj = Tj (x1 , . . . , xk ), 1 ≤ j ≤ k, lek´epez´es´et alkalmazzuk erre a B tartom´anyra. Ezt a lek´epez´est r¨oviden az y = T (x) form´aban ´ırjuk, ahol az y = (y1 , . . . , yk ), x = (x1 , . . . , xk ), T = (T1 , . . . , Tk ) jel¨ol´est alkalmazzuk. Tulajdonk´eppen az Z
b ′
f (g(x))g (x) dx = a
Z
g(b)
f (y) dy g(a)
azonoss´ag t¨obbdimenzi´ os v´ altozat´ at keress¨ uk. Tegy¨ uk fel, hogy a tov´ abbi ´ervel´esekben az o¨sszes el˝ ofordul´o f¨ uggv´eny ´es halmaz el´eg sz´ep, azok minden sz´amunkra sz¨ uks´eges tulajdons´aggal rendelkeznek. Tov´ abb´a, ha m´ ask´epp nem mondjuk, felt´etelezz¨ uk azt is, hogy a k-dimenzi´os t´er T transzform´ aci´oja az A k-dimenzi´os tartom´anynak invert´ alhat´ o lek´epez´ese a k-dimenzi´os egy B tartom´any´ ara, azaz az y = T (x) egyenletnek egy´ertelm˝ u megold´ asa van az x v´ altoz´ oban minden y ∈ B vektorra. R ovetkez˝ o jelleg˝ u integr´alk¨ oA vizsg´aland´o B f (y1 , . . . , uk ) dy1 . . . dyk integr´alt a k¨ zel´ıt˝ o¨ osszegek seg´ıts´eg´evel sz´amolhatjuk ki. Osszuk fel az A tartom´anyt kis a´tm´er˝ oj˝ u, diszjunkt A1 , . . . , An halmazok uni´oj´ara, ´es defini´aljuk a Bs = T (As ), s = 1, . . . , n halmazokat, ahol T (C) = {T (x): x ∈ C} minden V´alasszunk ki C ⊂ A halmazra. (s)
(s)
mindegyik Bs halmazb´ol egy v (s) = T (u(s) ) = v1 , . . . , vk , s = 1, . . . , n, pontot, R (s) (s) ∈ As . Tekints¨ uk ezut´ an az B f (y1 , . . . , yk ) dy1 . . . dyk ahol u(s) = u1 , . . . , uk n P f v (s) λ(Bs ) alak´ u integr´al k¨ ozel´ıt˝ o¨ osszegeit, ahol λ(C) egy C k-dimenzi´os integr´al s=1
halmaz t´erfogat´ at jel¨oli. A vizsg´aland´o integr´al ezen k¨ ozel´ıt˝ o¨ osszegek hat´ar´ert´eke, ha az A1 , . . . , An illetve a T transzform´ aci´o (egyenletes) folytonoss´aga miatt a B1 , . . . , Bn halmazrendszerben szerepl˝o halmazok ´ atm´er˝ oj´enek a maximuma null´ ahoz tart. Hogyan tudjuk a tekintett integr´al k¨ ozel´ıt´es´et vizsg´alni a T lek´epz´es k´epter´eben? Az el˝ obb tekintett integr´alk¨ ozel´ıt˝ o¨ osszegekre fel´ırhatjuk a k¨ ovetkez˝ o azonoss´agot: n n λ(B ) X X s (s) λ(As ), λ(Bs ) = f v f T u(s) λ(A ) s s=1 s=1
(∗)
´es a vizsg´alt integr´alra az azonoss´ag jobboldal´ an szerepl˝o kifejez´es kis a´tm´er˝ oj˝ u As halmazok v´ alaszt´ asa eset´en egyr´eszt j´ o k¨ oze´ıt´est ad a vizsg´alt integr´alra, m´ asr´eszt be lehet l´atni, hogy ez a kifejez´es j´ ol k¨ ozel´ıt egy az A tartom´anyon alkalmasan defini´alt s) integr´alt, ha j´ o becsl´est tudunk adni a λ(B anyadosokra. λ(As ) h´ Vegy¨ uk ´eszre, hogy
λ(Bs ) λ(As )
=
λ(T (As )) λ(As ) .
11
Mivel az As halmazok ´ atm´er˝ oje kicsi, u(s) ∈ As , ez´ert a T = (T1 , . . . , Tk ) lek´epez´es megszor´ıt´ asa az As halmazra j´ ol k¨ ozel´ıthet˝ oa (s) yj
−
(s) vj
k X ∂Tj (x1 , . . . , xk ) (s) (s) x p − up , ∼ (s) (s) ∂xp (x1 ,...,xk )=(u ,...,u ) p=1 1
j = 1, . . . , k,
k
(s) (s) pont k¨ or¨ uli Taylor kifejez´essel, azaz a T transzform´ aci´onak az u(s) = u1 , . . . , uk sor´ anak els˝ o tagj´ aval. A fenti azonoss´ag vektor jel¨ol´essel ∂T (x) (s) (s) (s) (s) y −v ∼ x −u ∂x x=u(s)
alakban ´ırhat´ o, ahol
´es a
∂T (x) ∂x
(s) (s) (s) (s) x(s) − u(s) = x1 − u1 , . . . , xk − uk (s) (s) (s) (s) (s) (s) y − v = y 1 − v 1 , . . . , yk − v k , az a k × k m´eret˝ u m´ atrix, amelynek j-ik sor´ aban ´es l-ik oszlop´ aban
x=u (s) ∂Tj (x1 ,...,xk ) ∂xl x=u(s)
elem ´ all. ∂Tj (x1 ,...,xk ) Ez azt jelenti, hogy a ∂xl
x=u(s)
m´ atrix (elhanyagolhat´ on kis hib´at´ ol
eltekintve) az As halmazt a Bs halmazba viszi. Ez a t´eny, illetve a m´ atrix determin´ans´ anak megt´ argyalt geometriai jelent´ese miatt λ(Bs ) ∂Tj (x1 , . . . , xk ) . ∼ det λ(As ) ∂xl (s) x=u
Jegyezz¨ uk meg, hogy itt abszolut ´ert´eket kellett venni, mert a t¨obb-v´ altoz´ os integr´alokat olyan k¨ ozel´ıt˝ o¨ osszegek seg´ıts´eg´evel vizsg´aljuk, amelyekben a halmazok t´erfogat´ at ´es nem el˝ ojeles t´erfogat´ at tekintj¨ uk. Ez n´emi elt´er´est jelent az egy ´es t¨obb-dimenzi´ os integr´alok defin´ıci´ oj´aban ´es viselked´es´eben.
A fenti rel´ aci´o azt sugallja, hogy az A halmaz asa eset´ eben a (∗) Z finom feloszt´ ∂T (x) dx integr´alt, formula jobboldal´ an szerepl˝o ¨ osszeg j´ ol k¨ ozel´ıti az f (T (x)) det ∂x A ez´ert hat´ar´ atmenetet v´egrehajtva megkapjuk az Z Z ∂T (x) dx f (y) dy = f (T (x)) det ∂x B A
azonoss´agot. Ezt az eredm´enyt, illetve a hozz´ a sz¨ uks´eges defin´ıci´ ot fogalmazom meg az al´ abbiakban. 12
Defini´ aljuk el˝ osz¨ or a k-dimenzi´os t´er sima transzform´ aci´oinak a Jacobian-j´at. Jacobian definic´ı´ oja. Legyen yj = Tj (x1 , . . . , xn ), 1 ≤ j ≤ k, a k-dimenzi´ os t´er egy A tartom´ any´ anak sima lek´epez´es a k-dimenzi´ os t´er egy m´ asik B tartom´ any´ aba. Jel¨ olje T(x1 , . . . , xk ) = (T1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Tk (x1 , . . . , xn )) ezt a transzform´ aci´ ot. E transzform´ aci´ o J (T(x1 , . . . , xk )) Jacobi´ anj´ at egy (x1 , . . . , xk ) ∈ A pontban u ´gy defini´ aljuk, hogy tekintj¨ uk el˝ osz¨ or a T lek´epez´es
∂Tj (x1 , . . . , xk ) ∂xl
,
1 ≤ j, l ≤ k,
deriv´ altj´ at az (x1 , . . . , xk ) pontban, ami egy k × k m´eret˝ u m´ atrix. Ezut´ an a T lek´epez´es J (T(x1 , . . . , xk )) Jacobianj´ at az (x1 , . . . , xk ) pontban u ´gy defini´ aljuk mint ezen (deriv´ alt) m´ atrix determin´ ans´ anak az abszolut ´ert´ek´et. (A Jacobian szeml´eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az (x1 , . . . , xk ) pont kis k¨ ornyezet´enek a t´erfogat´ at a T = (T1 , . . . , Tk ) transzform´ aci´ o h´ anyszoros´ ara nagy´ıtja ki.) Az integr´altranszform´ aci´or´ ol sz´ol´ o t´etelt el˝ osz¨ or abban (a kor´ abban t´argyalt) speci´ alis esetben mondom ki, amikor a T transzform´ aci´o invert´ alhat´ o, majd megfogalmazom az a´ltal´ anosabb esetben ´erv´enyes eredm´enyt is. Integr´ altranszform´ aci´ or´ ol sz´ ol´ o k´ eplet speci´ alis esete. Legyen adva a k-dimenzi´ os t´er egy A tartom´ any´ anak egy sima yj = Tj (x1 , . . . , xk ), 1 ≤ j ≤ k, transzform´ altja a k-dimenzi´ os t´er egy m´ asik B tartom´ any´ aba, amelyik invert´ alhat´ o, azaz az yj = Tj (x1 , . . . , xk ), 1 ≤ j ≤ k, egyenletrendszernek egyetlen (x1 , . . . , xk ) ∈ A megold´ asa van minden (y1 , . . . , yk ) ∈ B pontra. Legyen tov´ abb´ a adva az A tartom´ anyon egy (integr´ alhat´ o) f (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny. Ekkor Z
B
f (y1 , . . . , yk ) dy1 . . . dyk Z = f (T1 (x1 , . . . , xk ), . . . , Tn (x1 , . . . , xk ))J (T(x1 , . . . , xk )) dx1 . . . dxk , A
ahol J (T(x1 , . . . , xk )) jel¨ oli a T(x1 , . . . , xk ) lek´epez´es Jacobianj´ at. Az ´ altal´ anos eset, amikor a T lek´epez´es az A tartom´anynak egy nem felt´etlen¨ ul invert´ alhat´ o lek´epez´ese egy B tartom´anyra hasonl´oan t´argyalhat´ o. A k¨ ul¨ onbs´eg az, hogy most meg kell fogalmaznunk azt a megszor´ıt´ ast, amely szerint csak olyan f¨ uggv´enyeket tekint¨ unk az A tartom´anyban, amelyekre f (x1 , . . . , xk ) = f (¯ x1 , . . . , x ¯k ) minden olyan (x1 , . . . , xk ) ´es (¯ x1 , . . . , x ¯k ) pontp´ arra, amelyre T(x1 , . . . , xk ) = T(¯ x1 , . . . , x ¯k ). Ezt u ´gy biztos´ıtjuk, hogy el˝ osz¨ or egy a T transzform´ aci´o B k´epter´en defini´alt f (y1 , . . . , yk ) f¨ uggv´enyt tekint¨ unk, majd megadjuk ennek a f¨ uggv´enynek a T transzform´ aci´o a´ltal induk´ alt o˝sk´ep´et az A tartom´anyon. Az integr´altranszform´ aci´os k´epletben ezek a f¨ uggv´enyek jelennek meg. 13
Tov´ abb´a, ha tekintj¨ uk az (y1 , . . . , yk ) pont kis k¨ ornyezet´et, akkor ennek hat´asa a keresett azonoss´ag m´ asik oldal´ an a k¨ ornyezet teljes ˝ osk´ep´en jelenik meg. Ennek az a k¨ ovetkezm´enye, hogy a T lek´epez´es Jacobianj´anak ´ert´ek´et egy¨ utt kell tekinten¨ unk minden olyan (x1 , . . . , xk ) pontban, amelyre T(x1 , . . . , xk ) = (y1 , . . . , yk ) valamely r¨ogz´ıtett (y1 , . . . , yk ) ∈ B pontban. Megfogalmazom az eredm´enyt. Integr´ altranszform´ aci´ or´ ol sz´ ol´ o k´ eplet. Legyen adva a k-dimenzi´ os t´er egy A tartom´ any´ anak egy sima yj = Tj (x1 , . . . , xk ), 1 ≤ j ≤ k, transzform´ altja a k-dimenzi´ os t´er egy m´ asik B tartom´ any´ aba. Legyen tov´ abb´ a adva a B tartom´ anyon egy f (y1 , . . . , yk ) f¨ uggv´eny. Ezen f (y1 , . . . , yk ) f¨ uggv´enynek a T = (T1 , . . . , Tk ) transzform´ aci´ o´ altal meghat´ arozott ˝ osk´ep´en azt az A tartom´ anyon ´ertelmezett g(x1 , . . . , xk ) = T−1 f (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´enyt ´ertj¨ uk az A tartom´ anyon, amelyre g(x1 , . . . , xk ) = f (T1 (x1 , . . . , xk ), . . . , Tk (x1 , . . . , xk )) minden (x1 , . . . , xk ) ∈ A pontban. Ekkor Z f (y1 , . . . , yk ) dy1 . . . dyk B Z T−1 f (x1 , . . . , xk ) P = A
olyan (z1 ,...,zk )∈A pontok amelyekre Tj (z1 ,...,zk )=Tj (x1 ,...,xk ) j=1,...,k
1 J (T(z1 ,...,zk ))
dx1 . . . dxk .
R¨ ovid, inform´ alis magyar´ azatot adok arra, hogy mi´ert jelenik meg egy ilyen formula a fenti t´etelben. Legyenek az x(1) ∈ A, . . . ,x(s) ∈ A pontok az y = T(x) egyenlet megold´ asai valamely r¨ogz´ıtett y ∈ B pontra, ´es tekintve az y pont egy kis C k¨ ornyezet´et legyen ennek az ˝ osk´epe olyan A1 , . . . , As halmazok uni´ oja, amelyek az x(1) , . . . , x(s) pontok kis k¨ ornyezetei. Ekkor λ(C) ∼ λ(Ar )J T x(r) minden r = 1, . . . , s s s s P P P λ(C) 1 λ(Ar ) ∼ λ(Ar ), ´es , azaz λ(C) ∼ sz´amra, ahonnan s P J (T(x(r) )) 1 r=1
r=1
J (T(x(r) ))
ez inform´ alis megfogalmaz´asban az f (y) dy =
s P
p=1
r=1
r=1
f (T(xp ))
s P
dxp formul´ at sugallja,
1 J (T(x(r) ))
r=1
ahol az x1 , . . . , xs pontok az y pont ˝ osk´epei a T lek´epez´es szerint, ´es ezekre teljes¨ ul az f (y) = f (T(xp ), p = 1, . . . , s azonoss´ag. Ebb˝ ol a formul´ ab´ ol k¨ ovetkezik a t´etelben kimondott azonoss´ag. L´ assuk az el˝ obb t´argyalt integr´altranszform´ aci´onak legfontosabb alkalmaz´as´at, azt hogy hogyan lehet k´etv´ altoz´ os integr´alokat pol´ ar koordin´ atarendszerben kisz´ amolni. Tekints¨ uk az A = {(r, ϕ): r > 0, −π < ϕ < π} tartom´anynak az x = r cos ϕ ´es y = r sin ϕ k´epletekkel megadott k¨ olcs¨on¨ osen egy´ertelm˝ u lek´epez´es´et a s´ıkra. (Pontosabban, ez a lek´epez´es az A halmazt arra a B halmazra k´epezi, amelyet u ´gy kapunk, hogy a 14
s´ıkb´ ol kihagyjuk az {(x, y): x = 0, y ≤ 0} f´elegyenest, de egy s´ıkbeli integr´al ´ert´eke nem v´ altozik meg, ha egy f´elegyenest kihagyunk az integr´al´asi tartom´anyb´ol. Sz´ amoljuk ki a tekintett lek´epez´es Jacobianj´at, majd mutassuk meg, hogy a kapott ∂x eredm´eny megfelel a szeml´eletes k´epnek. Egyszer˝ u sz´amol´ assal, ∂x ∂r = cos ϕ, ∂ϕ = −r sin ϕ,
ahonnan
∂y ∂r
= sin ϕ,
∂y ∂ϕ
= r cos ϕ, ez´ert a Jacobian ´ert´eke
cos ϕ, −r sin ϕ = r(cos2 ϕ + sin2 ϕ) = r, J (r cos ϕ, r sin ϕ) = det sin ϕ, r cos ϕ Z
∞
−∞
Z
∞
f (x, y) dx dy = −∞
Z
π
−π
Z
∞
rf (r cos ϕ, r sin ϕ) dr dϕ.
(∗∗)
0
Annak ´erdek´eben, hogy szeml´eletesen is meg´erts¨ uk mi´ert jelenik meg a pol´ ar koordin´ atarendszerre val´ o´ att´er´eskor az r-rel val´ o szorz´as az integrandusban, tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o feladatot: Ha adva van egy T = [r, r + ∆r] × [ϕ, ϕ + ∆ϕ] t´eglalap, ahol ∆r ´es ∆ϕ kis sz´amok ´es alkalmazzuk az A(r, ϕ) = (x, y), x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, lek´epez´est, ´es tekintj¨ uk a T halmaz A(T ) k´ep´et, akkor mi lesz az A(T ) ´es T halmaz ter¨ ulet´enek az ar´ anya? A T halmaz ter¨ ulete λ(T ) = ∆r∆ϕ. Az A(T ) halmaz azon pontokat tartalmazza az (x, y) s´ıkon, amelyeknek az abszolut ´ert´eke r ´es r + ∆r k¨ oz´e, az abszcissza tengellyel bez´ art sz¨oge pedig ϕ ´es ϕ + ∆ϕ k¨ oz´e esik. Ez´ert ennek ter¨ ulete A(T ) = (r + ∆r)2 ∆ϕ 2 −
r2 ∆ϕ 2 = r∆r∆ϕ +
(∆r)2 ∆ϕ , 2
ahonnan
λ(A(T )) λ(T )
λ(A(T )) λ(T )
= r+
∆r 2 .
Innen k¨ ovetkezik, hogy a
h´anyados az r sz´amhoz tart, ha ∆r → 0, ´es ∆ϕ → 0. Ebb˝ ol a formul´ ab´ ol ´es az integr´aloknak a szok´ asos integr´alk¨ ozel´ıt˝ o¨ osszegek seg´ıts´eg´evel fel´ırt approxim´ aci´oj´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy a pol´ ar-koordin´ atarendszerbe val´ o ´att´er´eskor, az (x, y) koordin´ at´ aknak az r cos ϕ, r sin ϕ v´ altoz´ okkal val´ o helyettes´ıt´esekor az integrandust az r sz´ammal kell megszorozni, azaz a (∗∗) formula ´erv´enyes.
15
