Algebrai egész kifejezések (polinomok)
Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m x 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipálya kerülete, területe?
a = 107 m b = 68 m
Terület T = a ⋅ b = 107m ⋅ 68m = 7276m2 Kerület K = 2 ⋅ (a + b) = 2 ⋅ (107m + 68m) = 350m
Az összeadás és a szorzás műveletének tulajdonságai összeadás
szorzás
kommutatív
a+b=b+a
a·b=b·a
asszociatív
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
A szorzás disztributív az összeadásra nézve. a · (b + c) = a·c + b·c
Egy-egy matematikai probléma általánosítása esetén gyakran használunk betűket. Ezt a problémától függően nevezhetjük változónak, határozatlannak vagy ismeretlennek.
A betűs kifejezések használatakor minden esetben fontos megadnunk, hogy az általunk használt betűk mely számhalmaz elemeit helyettesítik. Ez a számhalmaz az alaphalmaz.
Algebrai kifejezés Algebrai kifejezést kapunk, ha a benne szereplő mennyiségeket (számokat, betűket), illetve azok egész kitevőjű hatványait vagy gyökeit a négy alapművelet véges számú alkalmazásával kötünk össze.
Például: 3a2b
2x3 + 4xy
(2x – y)(3a2 + 7b)
2x – 3y2 + 5a4
A betűket szorzó számokat együtthatónak nevezzük.
Együttható
Változó
3⋅ x
A szorzás jelét általában nem tesszük ki: 3x = 3x ; 6 · a · b = 6ab ; a · b · c = abc
Egyváltozós és többváltozós kifejezések Egyváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak egy betű szerepel.
5b + 3 2 pl.: 3x, 16y + 1, a , 11 3
A több különböző betűt tartalmazó kifejezést többváltozós kifejezésnek nevezzük. pl.: 6a + 7b, 3x + 4xy + 5y,
5yxz
Algebrai egész kifejezés Algebrai egész kifejezésről beszélünk akkor, ha az algebrai kifejezésben nincs tört, vagy az előforduló tört nevezőjében nincs változó.
2 5b + 3 a , pl.: 3x, 16y + 1, 11 3
Algebrai tört kifejezés Algebrai törtkifejezésről beszélünk akkor, ha az algebrai kifejezésben előforduló tört nevezőjében van változó. pl.:
1 , x
2x + 1 , y
x 2 + 3xy − 5y 2 xy
Egy algebrai tört értelmezési tartományán a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát értjük, melynek elemeit a változó helyére beírva a kifejezésben szereplő műveletek elvégezhetőek.
Egytagú kifejezés Olyan algebrai kifejezések, melyekben a számokat és a számokat helyettesítő betűket, illetve azok pozitív egész kitevőjű hatványait csak a szorzás műveletével kötjük össze.
Például: 3a2b
12x3y7
x2
5ab2c3
Fokszám Egytagú kifejezések fokszáma a benne szereplő betűk kitevőinek összege.
Például: 32xy4
ötödfokú
8x3
harmadfokú
12a2b5
nyolcadfokú
15x
elsőfokú
9
nulladfokú
A polinom A polinom egytagú algebrai kifejezések összege.
Például: 7x4 – 9x3 + 3x2 – 3x + 4 Azokat a tagokat, melyek csak együtthatóban térnek el egymástól, egynemű tagoknak nevezzük.
Például: 3x2y
5yx2
8x2y
A polinomban az egynemű tagokat összevonhatjuk.
A polinom fokszáma A polinomban szereplő legnagyobb fokszámú tag fokszámával egyenlő.
Például: másodfokú:
3x2 – 2x + 1;
3y2 + a2 + xy
harmadfokú:
6a3 – 5xa + 2
5x2y – 3x
Csak egy betűt tartalmazó polinomok tagjait olyan sorrendben szoktuk írni, hogy a tagok fokszáma csökkenjen.
Például: 7x5 + 8x3 – 4x2 + x – 12
A P(x) = anxn + an–1xn–1 + a2x2 + a1x + a0 alakú kifejezés egyváltozós polinom, ahol x∈R, an, an–1, a2, a1, a0 valós számok a polinom együtthatói, an ≠ 0 és n∈N+. n a polinom fokszáma.
Algebrai törteknek, felírhatók két polinom hányadosaként, ahol a nevezőben lévő polinom legalább elsőfokú. (Nevezőben van betű.)
x y
3x − 5x + 2 x −3 2
3xy − 5x + 6y 4x + y
Műveletek polinomokkal
Egynemű tagok összeadása, kivonása Egynemű tagok között el lehet végezni az összevonást. (Az együtthatókat összevonjuk, és a kapott számot megszorozzuk a közös betűkifejezéssel.)
Például: 4x2y + 7x2y – 5x2y = 6x2y 3a3b + 6ab2 – 5a3b + 7 a3b – 7ab2 = 5a3b – ab2
Feladat: 5x2y + 6x2y + xy2 – 2x2y – 8xy2 = 9x2y – 7xy2 (célszerű az egynemű tagokat azonos módon aláhúzni.) 4x5 – 3x2 + 2x5 + 6x4 – x2 – 7x5 + 2 + 3x4 = (– x5) + 9x4 – 4x2 + 2 3p2q – 2p2q2 + 6pq2 – (4p2q + 3p2q2 – 5pq2) = (először a zárójelet kell felbontani; ha a zárójel előtt – jel van, akkor a zárójel elhagyásakor minden tag előjelét ellentétesre változtatjuk.) 3p2q – 2p2q2 + 6pq2 – 4p2q – 3p2q2 + 5pq2 = 7p2q – 5p2q2 + 11pq2
Egy tag szorzása egy taggal Egy tagot egy taggal úgy szorzunk, hogy az együtthatókat összeszorozzuk, majd az azonos betűkkel is elvégezzük a szorzást.
Például: 3x2ay3 ⋅ 5a2x3y = 15a3x5y4
Feladat: 5a2b3c ⋅ 4a3b6c4 = 5 ⋅ 4 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ b3⋅ b6 ⋅ c ⋅c4 = 20a5b9c5
3 3 6 3 3 3 5 6 4 3 6 11 5 2x y z ⋅ x y z = 2 ⋅ ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z = x y z 4 4 2 3
5 4
5 5 2 6 2 2 4 7 5 2 5 2 2 4 6 7 5 7 6 13 p q r ⋅ p q r = ⋅ ⋅p ⋅p ⋅q ⋅q ⋅r ⋅r = p q r 6 3 6 3 9
Egy tag szorzása több taggal Egy tagot több taggal úgy szorzunk, hogy az egy taggal a több tag minden tagját megszorozzuk.
Például: 3x2y ⋅ (2x2y2 – 5xy + xy2) = 6x4y3 – 15x3y2 + 3x3y3
Feladat: a ⋅ (3b − 2c ) = 3ab − 2ac
(
)
2xy 2 ⋅ 3x 2 − 4y + 6z 2 = 6x 3 y 2 − 8xy 3 + 12xy 2 z 2 2 2 7 3 3 8 3 14 2 4 2 k n ⋅ 4k − n + km = k n − k n + k 3 m 2 n 3 5 2 15 3 5 2 3 4 3 3 2 1 2 2 1 3 4 3 5 5 5 4 5 − x y ⋅ xy − x y + x y = − x y + x y − x y 8 5 3 6 8 24 15
Több tag szorzása több taggal Több tagot több taggal úgy szorzunk, hogy az egyik többtagú összeg minden tagját a másik többtagú összeg minden tagjával megszorozzuk.
Például: (2a + 3b) ⋅ (3a – 5ab + b) = 6a2 – 10a2b + 2ab + + 9ba – 15 ab2 + 3b2 =
összevonás után:
6a2 – 10a2b + 11ab – 15 ab2 + 3b2
Feladat: (2a − b ) ⋅ (a − 3b ) = 2a 2 − 6ab − ba + 3b 2 = 2a 2 − 7ab + 3b 2
(3xy − 4y )⋅ (5x 2
(x
2
2
)
− 2y = 15x 3 y − 6xy 2 − 20y 2 x 2 + 8y 3
)
+ 4xy − 3y 2 ⋅ (2x − 5y ) =
2x 3 − 5x 2 y + 8x 2 y − 20xy 2 − 6y 2 x + 15y 3 = 2x 3 + 3x 2 y − 26xy 2 + 15y 3
2 2 7 3 3 2 2 4km − k n ⋅ 2kn − n + km = 3 5 2 28 4 3 2 14 2 4 2 2 2 3 2 4 8k m n − km n + 6k m − k n + k n − k 3 m 2 n 5 3 15
