Algebrai struktúrák, mátrixok

BMF

A számítástudomány matematikai alapjai

Algebrai struktúrák, mátrixok Def.: Algebrai struktúrán olyan nemüres halmazt értünk amelyen legalább egy művelet van definiálva. Def.: A H nemüres halmazon értelmezett kétváltozós műveleten egy H´H ®H függvényt értünk. (olyan leképezést, amely bármely (a,b) ÎH elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet. Ezért a műveletre vonatkozó „zártságot” szükségtelen kikötni.) Az n változós művelet ehhez hasonlóan olyan függvény, melynek értelmezési tartománya H´H….´H=Hn, értékkészlete pedig H. Jelölés: Sokféle lehet. Kétváltozós művelet esetében célszerű az ún. infix jelölés, amikor a műveleti jelet az elempár elemei közé tesszük, ahogyan eddig is pl. a valós számok, vektorok esetében. Tehát az f(a, b)=c prefix jelölés helyett az a f b=c infix jelölést használjuk. Megjegyezzük, hogy az ún. postfix jelölés; (a,b)f nagyon ritkán használatos. Többváltozós műveletnél a prefix jelölés a célszerűbb. Feladat: Mondjunk példát műveletekre! Def.: A H-n értelmezett * művelet asszociatív(csoportosítható), ha bármely a,b,cÎH-ra a* (b*c)=(a*b)*c teljesül. A H-n értelmezett * művelet kommutatív (felcserélhető), ha bármely a,bÎH-ra a*b=b*a teljesül. Bal oldali egységelemnek olyan ebÎH elemet nevezünk, amelyre minden aÎH-val eba=a teljesül. Jobb oldali egységelemnek egy olyan ejÎH elemet nevezünk, amelyre minden aÎH-val eja=a teljesül. Az eÎH elem egységelem (vagy kétoldali egységelem), ha mind bal, mind pedig a jobb oldal egységelem, azaz minden aÎH-ra ea=ae=a. Tétel: Minden, bal, -illetve jobboldali egységelemes művelettel rendelkező algebrai struktúrában a baloldali és a jobboldali egyégelem egyenlő: eb= ej. Más szavakkal: A baloldali és a jobboldali egyégelemes művelettel rendelkező algebrai struktúrákban van (kétoldali) egységelem, ez megegyezik mind a bal-, mind a jobboldali egységelemmel, tehát az egységelem egyértelmű. Bizonyítás: eb= eb * ej (a jobboldali egségelem def. miatt)= ej (a baloldali egységelem def. miatt) Összeadásnak nevezett művelet esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük.

©Bércesné Novák Ágnes, 2003.

1

BMF


Az aÎH elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan abÎH elemet értünk, amelyre aba=e. Az aÎH elem jobb oldali inverzén (vagy röviden jobbinverzén) egy olyan ajÎH elemet értünk, amelyre aja=e. Az aÎH elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a-1ÎH elem, amely az a-nak mind a bal, mind pedig a jobb oldali inverze, azaz a-1a= aa-1=e. Tétel: Minden, asszociatív művelettel rendelkező algebrai struktúrában, amennyiben léteznek, a bal- (ab) és jobboldali (aj) inverzek megegyeznek: ab = aj:=a-1 Biz.: ab(aaj)= abe = ab = (aba)aj=eaj=aj Def.: A T, legalább kételemű halmazt kommutatív testnek nevezünk, ha: - Értelmezve van a T-n két művelet – egyiket összeadásnak (+), másikat szorzásnak (*) hívjuk. - T mindkét műveletre nézve kommutatív csoport, de az összeadás egységelemének, az ún. nullelemnek nincsen inverz eleme a szorzásra nézve. - bármely a, b, c ÎT-re a*(b+c)=a*b+a*c teljesül. Az elnevezésben a „kommutatív” jelző a szorzás kommutativitására utal. Ha a szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív ill. ferdetestről beszélünk. Feladat: Ellenőrizzük, hogy az alábbi halmazok közül melyek alkotnak testet. Ahol nem adjuk meg, ott az eddig ismert szokásos műveletekre vizsgáljuk. - természetes számok halmaza - racionális számok halmaza - valós számok halmaza - modulo 3 szerinti maradékosztályok (általában modulo p szeritni maradékosztályok, ahol p prímszám). Ez példa véges elemszámú testre. Def.: Legyen T kommutatív test, k, n természetes számok. Ekkor a T test feletti kń-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek k sora és n oszlopa van, elemei pedig a T-ből valók. A mátrix típusa kń. A T – beli elemekkel rendelkező, kń típusú mátrixok halmazát T kń-nel is jelöljük. A továbbiakban T =R (valós számok). További jelölések:


2

BMF

A :

 a 11 a12   a 21 a 22  ... ...   a n1 a n 2


... a1m   ... a 2m   a ik n ´ m ... ...   ... a nm 

Î T kń

Speciális mátrixok: Sorvektor : [a1, a2, a3, ….. an] Oszlopvektor:  b1  b   2  b3      b n  Nullmátrix (összeadás egységeleme): 0  0 0  ...  a ik =0, jele: = 0

0 0 ... 0

... ... ... ...

0  0 ...   0 

Egységmátrix (szorzás egységeleme), kvadratikus= n x n :

En=

 1 0 ... 0     0 1 ... 0   ... ... ... ...    0 0 ... 1 


Diagonál mátrix :  a 11 0   0 a 22  ... ...  0  0

... 0   ... 0  ... ...   ... a nm 

3

BMF


Mátrixok számmal való szorzása (nem művelet!) l·A=C

lÎR, cik=l·aik

Megállapodás szerint l·A=A·l. Műveletek mátrixokkal: Mivel a már tanult vektorok speciális mátrixok, ezért a műveleteket célszerű a már ismert (koordinátás alakban tanult) vektorösszeadással és (skalár)szorzattal összhangban megadni. Mátrixok összeadása:

0

Ebben a részben A, B, C, azonos típusú mátrixok. C=A+B cik=aik+bik (számok) (cik ,aik, bik jelenti rendre a C (eredménymátrix), A, B mátrixok i.sorának k.elemét) Példa: 1 2 5 6  6 8  3 4  7 8  10 12       A mátrix összeadás tulajdonságai:

Abel-csoport

1. Valóban művelet, hiszen két (n´m) típusú mátrixhoz ugyanolyan típusú mátrixot rendel. (zártság) 2. Kommutatív : A+B=B+A 3. Asszociatív : (A+B)+C=A+(B+C) 0 4. Minden A-hoz létezik (egyetlen) egység, a (nullmátrix), amelyre A + 0 = A 5. Minden A-hoz létezik inverz (ellentett) elem 0 A’, amelyre A+A’=


4

BMF


Mátrixok szorzása 3

Vektorok skalárszorzatának kiszámítására vonatkozó tételen alapul:

a  b   a ib i i 1

A C= A·B mátrixot úgy kapjuk, hogy A minden sorvektorának képezzük a skalárszorzatát B minden oszlopvektorával. Ezért ha A típusa (n´m), akkor B típusa (m´k). Ez azt jelenti, hogy az A és B mátrix csak abban az esetben szorozható össze, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. A szorzatmátrix típusa ennek megfelelően (n´k). m

c ik :   a il  blk l 1

0 1   2

Példák:

3 0 1

4 5  6 

1 2 3   8 6 32 4 5 6 17 18 77   

Speciális eset: egységmátrixszal való szorzás: 1 0 0 1   3 4  3 4  5 6  5 6    

Feladat: Végezze el az alábbi szorzást: 3 4  5 6    1 0  0 1   


5

BMF


Mátrixok szorzásának tulajdonságai: 1. Csak tágabb értelemben művelet, ha az összes mátrixok halmazát nézzük. Ha az alaphalmaz T kń , akkor a szorzás nem művelet, hiszen különböző típusú mátrixokon van értelmezve, és különböző típust hoz létre. 2. nem kommutatív 3. asszociatív: A·(B·C)=(A·B)·C 4. disztributív: A·(B+C)=(A·B)+(A·C) (B+C)·A=(B·A)+(C·A ) (mivel a szorzás nem kommutatív) 5. (l·A)·B=A·(l·B)= l·(A·B) 6. A négyzetes, det (A)¹0 mátrixoknak van inverz eleme, A-1 (def. ld. alább). Def.: Legyen AÎTkń. Ekkor A transzponáltján azt a BÎTkń mátrixot értjük, amelyre bij=aji Az A mátrix transzponáltját AT-vel jelöljük. 1 2    3 4 5 6   mátrix transzponáltja Pl.: a 

 1 3 5    2 4 6  mátrix lesz.

Def.: Azt az A-1-gyel jelölt, n x n-es mátrixot, amelyre A. A-1= (A-1.A)=En, az A, n x n-es mátrix inverzének nevezzük. Megjegyzés: A mátrix inverzének egyértelműsége a szorzás asszociativitásának következménye.


6

BMF


Inverzmátrix egy kiszámítási módja: Tétel (2.2.3): Ha A négyzetes mátrix, és det(A)¹0, akkor A-1=

1 A* det( A)

, ahol

a*ik:=Dki, Dik=aik-hoz tartozó előjeles aldetermináns. Például 3 x 3 típusú mátrixra:

A* :=

 D11 D  12  D13

D 21 D 22 D23

D31  D32   D33 

A* az A mátrix (klasszikus) adjungáltja.


7

BMF


Bizonyítás:  D11 D  12 D A*  13

A

 a11 a  21 a 31

a12 a22 a32

a13  a 23   a 33 

D 21 D22 D23

c11 0 0 c 22   0 0

D31  D32   D33  0 0  c 33 

a11

a12

a13

c11=a11·D11+a12·D12+a13·D13==det(A)= a21

a 22

a23

a31

a 32

a33

(determináns kifejtése 1. sor szerint) Hasonlóan c22= a21·D21+a22·D22+a23·D23=det(A), c33=det(A). c12=a11·D21+a12·D22+a13·D33=0 (determináns ferde kifejtése), hasonlóan c13=0, c21=0, c31=0, c32 =0.

A*·A=

0 0  det( A )  0 det( A ) 0  = det(A)·En    0 0 det( A )

Mivel A·A-1= En 1

ezért A-1=det( A)  A *

Def.: Azt az algebrai struktúrát, amelyben két művelet, ősszeadás (+) és szorzás (*) van megadva a következő tulajdonságokkal, gyűrűnek nevezzük. Tulajdonságok: - az összeadás Abel-csoport - a szorzás asszociatív - a két műveletet a disztributív szabályok kapcsolják össze: a*(b+c)=a*b+a*c (b+c)*a=b*a+c*a


8

BMF


Feladatok: 1. Bizonyítsuk be, hogy Tnń az előzőekben definiált összeadásra és szorzásra nézve gyűrűt alkot. 2. Ellenőrizzük, hogy a háromdimenziós vektorok a szokásos vektor (mátrix!) összeadásra és a vektoriális szorzásra nézve gyűrűt alkotnak-e.


9

Algebrai struktúrák, mátrixok

Recommend Documents