IV. Algebra Algebrai átalakítások. Polinomok 624. a) Öttel osztható számok pl: -10; -5; 0; 5…általánosan 5 $ l alakú, ahol l tetszôleges egész szám. Matematikai jelöléssel: 5 $ l; ahol l ! Z ; b) 3 $ k + 1; vagy 3 $ k - 2; ahol k ! Z ; c) 4 $ m - 2 vagy 4 $ m + 2 alakú, ahol m ! Z ; d) 7 $ n + 6 vagy 7 $ n - 1 alakú, ahol n ! Z . 625. a) Ezek a páratlan számok, így pl.: -21; 5; 17; 101. b) Az ilyen alakú számok hárommal osztva 2-t adnak maradékul. Ilyenek pl.: 2; 5; -1; -10. c) Az ilyen alakban megadott számok 7-tel osztva ötöt adnak maradékul. Pl.: 5; 12; 33; -2. d) Ez megegyezik a c) résszel. 626. 11 $ l + 10, vagy 11 $ l - 1 alakú, ahol l ! Z . 627. A feltételek alapján az oldalak csökkenô sorrendben: 2 $ k + 1, 2 $ k, 2 $ k - 1 alakúak. A háromszög kerülete a három oldal összege. K = 2 $ k + 1 + 2 $ k + + 2 $ k - 1 = 6k. Pl: 3, 4, 5 vagy 9, 10, 11. 628. a) Legyen a két szám a, b; (a + b) + ( a - b) = 2a. Így igaz az állítás. b) A feltételek szerint a három szám közül a középsô 2k alakú, a két szomszédos szám 2k + 1, illetve 2k - 1 alakú. A három szám számtani 2k - 1 + 2k + 2k + 1 6k = = 2k . Az állítás igaz. közepe: 3 3 c) Legyen a két szám a, b; (a + b) - (a - b) = a + b - a + b = 2b. Az állítás hamis. 629. a) A, b) C, c) B, d) C, e) B, f) A, g) A, h) A. 1 630. a) - 3x 6 + x 5 + 2x 2 + 7x - 5 ; 2 7 9 3 y + 16y 8 + 4y 5 + y 3 - 16y 2 - 0,3y + 1; b) 8 4 c) - z 12 - 3z 11 + 6z 10 - 7z 7 + 8z 3 - 5z 2 + 2z + 4 . 631. a) a szerint: - 2ab3 + 9a2 b2 - 8a3 b4 - 7a4 b5 + a5 b ; b szerint: a5 b + 9a2 b2 - 2ab3 - 8a3 b4 - 7a4 b 5 . 1 5 2 3 d + 3d 6 + cd 2 - c2 d - 11c 4 + 3c9 d 10 ; b) c szerint: - 88 + 11 3 2 3 2 2 2 1 5 4 d + 3d 6 + 3c9 d 10 . d szerint: - 88 - 11c - c d + cd + 2 3 11 3 2 5 632. - x 66 - x 7 + x 5 + x 3 + 100 x . 2 3 4
IV
98
IV
Algebrai átalakítások. Polinomok
633. a) 2xy; 17xy; - 2xy; 9 2 - xy2 ; xy ; 7 1 2 x y; 9x 2 y; 4x 2 y . 8 b) 5a2 bc; 7a2 bc; - 6a2 bc; ab2 c; 2ab2 c; - 6ab2 c; 5ab2 c; 9abc2 ; - abc2 ; - 3abc; 3abc. 7 x x ; b 5 a; axy; ; - 2y13; 2a _1 - xi . 634. a2 ; 5 2 3 2 1 635. a) 2ab =- 2; - 3a3 =- ; 0,6x 2 = 0,15; - y =- ; - 3b = 6 ; 8 5 10 1 1 2 1 5 2 2 3 2 2 ; - x y =; - x y =; 5xy = ; b) 3x y = ; 2xy = 3 12 27 36 6 c) abc =- 2; 2a2 bc2 =- 4; - 3ab3 = 12; 4abc2 =- 16; 4a2 bc =- 4. 636. a) 2a - 2b ; b) 2x - 2y ; c) 3y - 5 ; d) - 3m - 9 + 3n ; e) 5a2 - 12a. 637. a) 6c + 23d ; b) 10x 3 - x 2 ; c) - 19b2 ; d) x 2 y + 14xy2 . 638. a) 28x - 21y + 25z ; b) 5m2 - 3mn - 3n2 ; c) 14ab - 53bc - 13cd ; d) 20abc - 17bcd - 24cde. 1 1 9 1 7 z ; b) ab bc ac ; 639. a) 1 x + 1 y 6 6 20 14 15 c) 1,1ab - 3bc + 2cd ; d) 2abc - 0,3bcd + 0,5acd . 5 3 5 3 640. a) x 2 y 2 - ab - 1 a2 b2 - ; 6 4 6 4 1 3 2 2 1 2 1 1 b) - 2 x - 2 x y - 2 xy - 2 y 3 - . 3 3 4 2 3 641. a) 8a2 - ab - b2 ; b) - 11x 3 + 13x 2 - 4x - 1. 642. a) 9a2 - 5b2 ; b) 10a - 8c + 9b ; c) 18m - 9n ; d) 20a2 - 3a. 43 2 b c ; f) - 6x 2 y 3 ; 643. a) 6a; b) 4a; c) - 2a2 ; d) 14k 3 l 2 ; e) 30 g) 3a n - 2a2 . 644. a) 14b + 2; b) 2c + 2d; c) -19i + 29j - 4k; d) - 2x 2 - 6xy - 2y 2 ; e) a3 + 7a2 - 9a - 2 . 645. a) 6x 5 ; b) 8a4 ; c) 15m3 ; d) 12p6 ; e) - 18c3 ; f) 16d 4 ; g) 3t 3 ; h) - 20b4 ; i) 3a6 ; j) 2a2n + 3 ; k) - 3x 3n . 1 5 646. a) - 6a3 b2 ; b) 16x 3 y 3 ; c) - c 5d 3 ; d) - m5 n3 ; e) - 0,3x 5 y 6 ; 2 9 1 f) - 1,2k 5 b4 ; g) 0,32a2n + 1 b3m ; h) - x k y k + 3 . 2
99
Nevezetes azonosságok
647. a) a8 ; b) 10b17 ; c) 8c13 ; d) - 32e 5d 7 ; e) g)
1 2l
2
;
648. a) G 2 =
2
h)
3 49m4
j 3 ; i) 4
l k4
; b) H 3 = 6
2 3
g11 h7 ; f) i 3 ;
. 312 n3
; c) G $ H =
9
; 7 m r 7n mr4 G G4 714 m23 = 6 4 2 ; e) = . d) H 3 n r H5 328 n17 r 7 2 2 649. a) 2a - 8ab ; b) - 15c + 20c ; c) 12x 3 - 24x 2 + 20x ; d) 12i 4 - 8i 3 - 6i 2 ; e) - 6p3 q + 4p2 q 2 - 8pq 3 ; 4 14 4 2 7 3 2 7 2 3 r s + r s + r s . f) - r 5 s 3 3 15 2 4 650. a) a2k - 3a k + 3 ; b) - 10b2n + 6b2n -1 + 14b n + 2 ; c) - 12i 2k - 4 - 6i 2k + 15i 2k - 1 ; d) 21x 3n - 15x 3n - 1 + 9x 3n - 2 . 651. a) a2 - 7a + 12 ; b) - 2b2 - b - 15 ; c) 10c2 + 7cd - 12d 2 ; d) - 6p3 + 12p2 q + 4pq - 8q 2 ; e) 3u3 v 3 - 9u2 v2 - u2 v3 + 3uv2 ; f) 6x 4 - 19x 3 y + 19x 2 y 2 - 6xy3 - 6x 2 + 4xy. 652. a) 2a2 - 30 ; b) 4b + 14 ; c) c4 + 2c3 + c2 - 1; d) d 4 - 1; e) 9e2 - 36 . 6
81n r 7 3 m5
6
9 3
2
Nevezetes azonosságok A következô feladatoknál a nevezetes azonosságok felismerése a cél.
653. A következô párosításokat lehet megtenni: a - C; b - B; c - D; e - C. Nincs párja: d, A, E kifejezéseknek. 654. A lehetséges párosítások: A - d; B - c; C - d; D - c; F - a; G - e; Nincs párja az E, b, e kifejezéseknek. 2 655. Zárójelfelbontás után látható, hogy _ b - 1i - 4 = b2 - 2b - 3 . Ha a két tag négyzetének különbségére vonatkozó azonosságot alkalmazzuk, 2 2 akkor _ b - 1i - 4 = _ b - 1i - 2 2 = _ b - 1 - 2i_ b - 1 + 2i = _ b - 3i_ b + 1i . Így tehát az a), illetve c) kifejezéssel egyenlô. 2 2 2 2 2 656. a) _ c - 1i ; b) _ b + 3i ; c) _ l - 10i ; d) _7z - 8r i ; e) _12j + 5ii ; 2 J4 2 2 2 3 N f) KK l - k OO ; g) ` a2 - 2j ; h) ` d 3 + 5j ; i) `2p2 - 3q 3j . 3 4 L P 657. A-hoz választható: c), d); B-hez választható b), e); C-hez választható: c), d); D-hez választható: g).
IV
100
Nevezetes azonosságok
A teljes négyzetté átírt alak: A. x 2 ! 4x + 4 = _ x ! 2i ; B. 4x 2 ! 12x + 9 = _2x ! 3i ; J1 N2 1 2 2 K x ! 4x + 16 = K x ! 4OO ; D. 4x 2- 8x + 4 = _2x - 2i . C. 4 2 L P 658. a) a2 + 2a + 1; b) b2 - 6b + 9 ; c) 4c2 - 20c + 25 ; d) 16d 2 - 24d + 9 ; 1 3 e) e 2 + e + 9 ; f) f 2 + 6f + 9 ; g) 9a4 b2 - 6a2 b + 1; 4 2 9 4 2 3 4 4 2 9 2 4 x y 2x y + x y ; h) 16a b - 8a2 b3 + 9a2 b2 ; i) 4 9 25 8 4 40 8 6 16 4 9 x y x y + x y . j) 49 21 9 2 2 2 2 659. a) _ a - 4i ; b) _ b - 4i - 1; c) _ c + 2i - 1; d) _ d - 1, 5i + 0, 25 ; 2
IV
2
e) _ e - 5i - 19 ; f) _ f - 3, 5i - 7, 25 . 660. a) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2cb; b) x 2 + y 2 + 1 + 2xy + 2x + 2y ; 1 c) mx2 + b2 + 9 + 2mxb + 8mx + 6b ; d) ax 2 + b2 + - 2axb + ax - b ; 4 e) 4a2 + 9b2 + 16 - 12ab - 16a + 24b ; f) 9a2 + 25b2 + c2 - 30ab + 6ac - 10bc . 2
2
661. a) _ x + y + zi ; b) _- a + b + ci ; c) _- c - d + ei ; d) _2x + 3y - zi ; 2
2
2
2
e) _ x + y ! 2i ; f) ` m2 + m + 1j . 2
2
662. a) ` c2 + c + 1j ; b) `2x 2 + 3x + 2j ; c) _ a - 2a + 3i . 2
2
2
663. a) x 3 + 3x 2 y + 3xy2 + y 3 ; b) k 3 - 3k 2 l + 3kl 2 + l 2 ; c) a3 - 9a2 + 27a - 27 ; d) c 3 + 3c2 + 3c + 1; e) 8b3 + 36b2 + 54b + 27 ; 1 3 1 2 1 1 3 p - p q + pq2 q ; f) d 3 - 12d 2 + 48d - 64 ; g) 8 4 6 27 125 3 x + 50x 2 y + 20xy2 + 8y 3 ; i) 8x 6 y 3 - 36x 5 y 5 + 54x 4 y 7 - 27x 3 y 9 ; h) 27 27 12 3 9 9 5 1 6 5 1 3 9 a y - a y - a y a y . j) 8 4 2 27 664. a) a2 - 1; b) b2 - 9 ; c) 4c2 - 25 ; d) 9d 2 - 25c2 ; e) 9f 4 - 4 ; f) 16i 2 j 2 - 9k 2 ; g) 25r 4 - 9r 2 ; h) a2n - b8 ; i) 9x 4 y 2 - 4 . 665. a) 2 _ a + bi ; b) 3 _2c - di ; c) d _ a + bi ; d) y _15x - 5zi ; e) 3c _4d + 7ai ; f) y _ xy - zi . 666. a) 3 _2 - ni ; b) a3` a2 - 1j ; c) y 3_ y + xi ; d) 9x ` x 2 - 2j ; e) 12y `2y 2 - 3j ;
f) ab2_1 + abi ;
g) a2 y 2` a2 y - 1j .
667. a) x n_1 - xi ; b) y 2k`1 + y 3kj ; c) 7z n - 2`2z 2 - 3j ; d) a2 x k -1` ax 4 + 3j .
101
Nevezetes azonosságok
668. a) y _ a + b + ci ; b) a ` a3 - 4a - 2j ; c) 3mn _ n + 5 - 2mi ; d) 5abc _7a - b + 4ci . 669. a) _ a + 2i_ x + yi ; b) _ j - 3i_6 + ji ; c) _ x - yi_2x - 3yi ; d) _ a - bi_5m - 3ni ; e) _ x - yi_2a + 3bi ; f) _ m - 2i_5 - mi ; g) _ x + 5i_3x - 4i ; h) _ u - 1i_7u + 1i . 670. a) _2 + ai_ x + yi ; b) _ a + bi_ n - mi ; c) _ i + ji_ i - ki ; d) _ u - vi_5a + 1i ; e) _ a - 2i_2a - 1i ; f) _7n + 5mi_ a - bi ;
IV
g) _2i + 3ki_11i - 5ji ; h) x _ x + 1i_ x - 1i . 671. a) _ a - 2i_ a - 3i ; b) _ b - 3i_ b - 5i ; c) _ c - 4i_ c + 3i ; 2
d) _ d + 10i_ d - 3i ; e) 2 ` g 2 + g - 2j = 2 _ g + 2i_ g - 1i ;
f) -` k 2 - 6k + 8j =- _ k - 4i_ k - 2i =- _4 - ki_ k - 2i ; g) -` l 2 - 3l - 10j =- _ l - 5i_ l + 2i = _5 - li_ l + 2i .
672. a) _ x + yi_ x - yi ; b) _ m - ni_ m + ni ; c) _ q - 4i_ q + 4i ; d) _2r + 3i_2r - 3i ; e) _ x + 1i_ x - 1i ; f) _ a + 5i_ a - 5i ; g) _3 - ci_3 + ci ; h) _ b + 2i_ b - 2i . 673. a) `8 + c2j`8 - c2j; b) ` l 2 - 3kj` l 2 + 3kj; c) `5ur 2 + 4p3j`5ur 2 - 4p3j; J2 NJ 2 N J5 NJ 5 N d) `7 - d 2j`7 + d 2j ; e) KK p - 1OOKK p + 1OO; f) KK q 2 - 13OOKK q + 13OO. 3 3 6 6 L PL P L PL P 674. a) _1 - xyi_1 + xyi ; b) `2p2 + 3j`2p2 - 3j ; c) _ p + abi_ p - abi ; d) ` a3 b - c2 d 2j` a3 b + c2 d 2j ; e) `4i 2 - 3jj`4i 2 + 3jj ; f) _9uv + 1i_9uv - 1i ; g) `10m2 - 8n3j`10m2 + 8n3j ;
h) _1 - 0,1xi_1 + 0,1xi . J 6 NJ 6 N 675. a) KK 0,2x - yOOKK 0,2x + yOO; b) `0,1t + 0,5u2j`0,1t - 0,5u2j ; 7 7 L PL P J 12 N J J 1 9 k - 1 12 k 9 k - 1N 5m NJ 1 5m N k OK O; x - y OOKK x + y OO; d) KK + c) KK 5 8 5 8 3m 11 OK 3m 11 O L PL P L PL P J 0,2 3t NJ 0,2 3t N e) KK 2 - OOKK 2 + OO. r r L t PL t P 2 2 2 2 676. a) _ a + bi ; b) _ x - yi ; c) _ n - 3i ; d) _ c + di ; e) _ a - 1i ;
f) _ b + 2i ; g) _2c + 1i ;
2
2
i) - _ d + 3i ; 2
h) - _ d + 1i ;
2
2
j) -`3c - 2d 2j . 2
677. a) ` a2 + bj ; b) ` c2 - bj ; c) `5m2 - nj ; d) `3k 2 + lj ; e) -` i 2 + jj . 2
2
2
2
2
102
Nevezetes azonosságok
678. a) _ a + bi` a2 - ab + b2j ; b) _ a - bi` a2 + ab + b2j ; c) _ m + ni` m2 + mn + n2j ; d) _ c - di` c2 + cd + d 2j ; e) _ a + 2i` a2 + 2a + 4j ; f) _ l + 3i` l 2 - 3l + 9j ; g) _ r - 7i` r 2 + 7r + 49j ; h) _ q + 1i` q 2 - q + 1j ; i) _4 - ji`16 + 4j + j 2j .
679. a) _1 + ai`1 - a + a2j ; b) _1 - 2bi`1 + 2b + 4b2j ;
IV
c) _2a + bi`4a2 - 2ab + b2j ; d) _2 - 3ii`4 + 6i + 9i 2j ; e) ` 5x + 4y 2j`25x 2 - 20xy2 + 16y 4j ; J1 3 NJ 1 3 9 4N kl 2 + l O. f) KK k - l 2 OOKK k 2 + 2 5 4 10 25 O L PL P 3 3 3 3 680. a) _ a + bi ; b) _ m - ni ; c) _ p - 2qi ; d) _2c + 1i . 3 J3 2 2N 3 3 3 2 K O 681. a) _5m + 1i ; b) _4 - 2ai ; c) _ a + 6i ; d) K ab - c O . 4 3 L P 682. a) 11 _ a - bi_ a + bi ; b) 3 _ c - di_ c + di ; c) 7 _ m + 1i_ m - 1i ; d) x _ x - 1i_ x + 1i ; e) c2_ c + 1i_ c - 1i ; f) ab _ a - bi_ a + bi . 683. a) 6 _ m - ni_ m + ni ; b) 5 _ i + 2ji_ i - 2ji ; c) 8r 2_ p + 3qi_ p - 3qi ; d) u2 v2`4u2 - 9v2j .
684. a) 2 _ a - bi ; b) 5 _ c + di ; c) 6 _ m + 1i ; d) 3r _ s - 1i ; 2
2
e) 2u _1 - vi ;
2
2
f) 2j 3 k _3j + ki .
2
2
685. a) _ a + bi - 1 = _ a + b + 1i_ a + b - 1i 2
b) _ c - di - 4 = _ c - d - 2i_ c - d + 2i ; 2
c) 52 - _ x - yi = _5 - x + yi_5 + x - yi ; 2
d) 12 - _ i + ji = _1 - i - ji_1 + i + ji ; 2
e) _2a - 5bi - 36 = _2a - 5b - 6i_2a - 5b + 6i ; 2
f) _4m - ni - 49 = _4m - n - 7i_4m - n + 7i . 686. a) _ a - bi_ a + b + 1i ; b) _ c + di_ c - d + 1i ; c) _ e - f i_ e + f + 1i ; 2
d) k 3 + l 3 - k 2 l - kl 2 = _ k + li` k 2 - kl + l 2j - kl _ k + li = _ k + li_ k - li ; 2
e) 687. a) d) g) 688. a)
_ i - ji_ i + ji ; f) _ x + yi - z _ x + xi = _ x + yi_ x + y - zi . _ a - 3i_ a - 2i ; b) _ b + 2i_ b + 4i ; c) _ c - 3di_ c - 4di ; _ e - 5f i_ e - 2f i ; e) _ i - 4i_ i + 3i ; f) _ g + 4i_ g - 3i ; _ k - 5li_ k + 3li ; h) _ m + 5ni_ m - 3ni . 2 _ x + 3i_ x + 2i ; b) 2 _ x + 3i_ x + 4i ; c) 2 _ y - 2i_ y - 1i ; 2
d) 3 _ y + 6i_ y + 3i .
2
103
Nevezetes azonosságok
689. a) a3_ a + 1i + a _ a + 1i = a _ a + 1i` a2 + 1j ; b) _ b - 2i` b2 + 2b + 4j + 6b _ b - 2i = _ b - 2i` b2 + 8b + 4j ; c) m3` m2 - 1j + ` m2 - 1j = _ m - 1i_ m + 1i ` m2 - m + 1j ; 2
d) _ n + mi` n2 - nm + m2j - nm _ n + mi = _ n + mi_ n - mi ; 2
e) d 3_ d + 1i + _ d + 1i = _ d + 1i ` d 2 + d + 1j ; 2
f) e 4` e 2 - 1j + 4e 2_ e + 1i = _ e + 1i9 e 4_ e - 1i + 4e 2 C = e 2_ e + 1i` e 3 - e 2 + 4j .
690. a) a8 + 2a4 + 1 - a4 = ` a4 + 1j - a4 = ` a4 + a2 + 1j` a4 - a2 + 1j ; 2
b) ` a2 + b2j - a2 b2 = ` a2 - ab + b2j` a2 + ab + b2j ; 2
c) a3 - 4a + a + 2 = a _ a + 2i_ a - 2i + a + 2 = _ a + 2i_ a - 1i ; 2
d) a3 + 2a2 + a2 - 4 = a2_ a + 2i + _ a - 2i_ a + 2i = _ a + 2i` a2 + a - 2j = =_ a + 2i_ a + 2i_ a - 1i .
691. a) x 3 - 1 + x 2 - 1 = _ x - 1i` x 2 + 2x + 2j ; b) x 3 + x 2 + 7x 2 + 7x + 12x + 12 = x 2_ x + 1i + 7x _ x + 1i + 12 _ x + 1i = =_ x + 1i_ x + 3i_ x + 4i ; c) y 4` y 2 - 1j + 2y 2_ y + 1i = y 2_ y + 1i` y 3 - y 2 + 2j ; d) y 4 - 9 + 5y 3 + 15y = ` y 2 + 3j` y 2 + 5y - 3j ; e) x 3 + 27 + 9x 2 + 27x - x - 3 = _ x + 3i` x 2 - 3x + 9j + 9x _ x + 3i - (x + 3) = = _ x + 3i` x 2 + 6x + 8j = _ x + 2i_ x + 3i_ x + 4i ; f) ` x 2 - 49j - 10y _ x - 7i = _ x - 7i_ x - 10y + 7i .
692. Legyen n egész szám. 2 2 _2n + 3i - _2n + 1i = 8n + 8 = 8 _ n + 1i Mivel n + 1 egész szám, így az állítás bizonyított. 693. Legyen k egész szám. 2 _ k + 1i - k 2 = 2k + 1, ami minden k egész esetén páratlan. 694. Felhasználva az elôzô feladat megoldását: K = 10032 - 10022 + 10012 - 10002 + … + 32 - 22 + 12 = 2005 + 2001 + … + + 5 + 1 = 503 506. 695. a) Legyen n = 121 212 , ekkor a tört: n $ _2n - 1i + _2n - 1i_ n + 2i _2n - 1i_2n + 2i = = 1; 4n $ _ n + 1i - 2n + 2 _4n - 2i_ n + 1i a) Jelöljük 60 000 000-t n-nel. Ekkor: n $ _ n + 4i - _ n + 2i_ n - 2i 4 $ _ n + 1i = = 4. n+1 n $ _ n + 1i - _ n + 1i_ n - 1i
IV
104
Algebrai törtek
696. Ha a egész szám, akkor közös nevezôre hozva: 2 2 80a _2a + 5i - _2a - 5i : = 2a + 5 , mely minden a-ra páratlan egész 2 _2a - 5i _2a - 5i_2a + 5i szám. 697. A kisebbik egész számot t-vel jelölve: t 2 + _ t + 1i + 8 t _ t + 1iB = t 4 + 2t 3 + 3t 2 + 2t + 1 = ` t 2 + t + 1j , mely egy egész
IV
2
2
2
szám négyzete.
Algebrai törtek 698. Az a), d), j) esetben minden valós szám esetén értelmezhetô az adott kifejezés. c) b ! 2 ; e) d !- 2 ; b) a ! 3 ; 3 g) f !- ; h) n ! 4 ; f) e ! 0 ; 4 i) h ! 0; h ! 3 . 699. Az a), c), e) kifejezések esetében (-1)-szeresére változik a tört értéke, a többi esetben változatlan marad. 700. a) Nem változik. b) Nem változik. c) Kétszeresére változik. d) Négyszeresére változik. e) Nem változik. 1 b 701. a) ; b) ; a-1 1-b b-a a-b 5-a a-5 , vagy c) ; d) , vagy ; c-d d-c a-2 2-a n+m e) . a+b 702. Az elôzô feladat következménye. a d2 x , b ! 0; , d ! 0, x ! 0 ; 703. a) 5a, a ! 0 ; b) c) 6b 5 d)
6q 5p
,
p; q ! 0 ;
704. a) - 1, a ! b ; c) -
3a 2b
, d ! c;
e)
13s6 t 2 6r
, r; s; q ! 0 . b) - 1, b ! 3 ; d) -
n 3m
, i ! j;
105
Algebrai törtek e) g) i)
705. a)
a-b
, c ! 0; a ! - c ;
a+b f 1-f r+ b s+t a
, e ! 0; f ! 1 ;
h)
, s ! 0; s ! - t ;
j)
,
a-1
a ! 1;
b+3
b
b) -
3
i-k n+1 a+b
, i; k ! 0; i ! k ; , n ! 0; a ! - b .
f)
c-d c+d a+1 a-1
,
c ! d ;
,
a ! 1;
, b ! 3.
b-3
c-3
k2
, c ! 0; c ! - d ;
b ! 1; c)
,
706. a) a + 1, a ! 1; c)
c+d
b+1 1 , m ! n; e) m- n
d) - e - 2, e ! 2 ; g)
1
f)
2
, b ! 5; 3 d-9 , d ! - 9; d) 5 b)
, c ! 3;
e) A számláló nem alakítható szorzattá, így nem egyszerûsíthetô a tört. f)
7 2-f
h) j)
k l
,
f ! 0 ; 2;
c c-d
, c ! d;
d)
2
b)
_ x + yi` x 2 + y 2j 2
x + xy + y 7ab 2
a -b
2
;
e)
b)
; 2 g+ h
3 _ g - hi` g + h j 2
5 _3e + 2f i
k)
707. a) ` x - y j ;
708. a)
i) n _1 - mi, m ! - 1;
, l ! 0; l ! 3k ;
2
d)
g) - 1, g ! 5 ;
2
; e)
2 _3e - 2f i
x 2 - xy + y 2 _ x - yi` x + y j 2
1 x- 2
c n-1 n+1
;
;
c)
f)
;
c2 - d 2
2
;
c) f)
, e!
1 x- y 1 x+ 3
2
;
;
10 2
f.
3
e - 2e + 4
;
2 _ n - mi 3 ` n2 - nm + m2j
.
IV
106
Algebrai törtek
709. a) d)
IV
g)
710. a) b)
c)
711. a) c)
712. a)
c)
4 _ a - bi 3 _ a + bi c+d
_ u - 3i
5 _ c + 3di a _ m + 1i
e)
;
3
3 _ c - 3di
b)
;
m _ m - 1i 2 _ t + 1i
2
u+3
h)
;
5 _ x - yi + a _ x - yi 4 _ a + 5i
=
p _ p - qi - x _ p - qi _ p - xi
2
t2 - t + 1 x- y 4
=
p-x
_ c - di_ c + di - _ c + di _ a + bi` a2 - ab + b2j 2
2
a - 2ab + b + ab x _ y - 2i - 3 _ y - 2i x _ y - 2i _ a + 2i_ a + 3i _ a + 2i
2
_ c - 4i_ c - 3i _ c - 3i
2
=
=
=
c)
;
f)
a+3
c-4 c-3
; b)
; d)
_ x - 2ai
c)
714. a) c)
11m - 17 24
b)
;
- 17c2 - 7d 2 20 53n + 59m 30 xy + 3y 2 6
.
;
;
d) b)
;
2
_ x - 2ai_ x + 2ai
=
. _ b + 1i_ b + 5i
_ b + 2i_ b + 1i _ d + 7i_ d + 1i _ d + 1i
2
Algebrai törtek összeadása, kivonása 713. a)
i
.
c-d-1
x- 3
a+2
i-2
;
;
c2 - cd + d 2
x
a2 + b 2
.
= a + b ; b) =
a2 - b 2
;
p-q
_ c + di` c2 - cd + d 2j
;
6a - 11b 36
;
11u - 23v 12 22a + 65b 24
; ;
=
=
b+5 b+2 d+7 d+1
;
.
x - 2a x + 2a
;
107
Algebrai törtek összeadása, kivonása
715. a) c)
716. a) c) e) g)
h) i)
717. a)
19a
b)
; 5 4n - 2m
; 3 2bc + 3ad abx 5p 2 3n 2 mnp
d) , a; b; x ! 0 ; b)
, m; n; p ! 0 ;
6a - 7b a
, a; b ! 0 ;
27gf 2 - 15e 2 f + 32eg2 36e 2 f 2 g 2 10ab - 3b2 - 7a2 a2 b 2 2 6a + 2a - 5 a2 b 11a - 3
d) f)
- 3c - 9d
;
4 9r - 5s
. 8 30x - 14 6x 2 2a - 3d d
2
3a - 4b a4 b 3
x ! 0;
,
IV
, d ! 0; , a; b ! 0 ;
, e; f; g ! 0 ;
, a; b ! 0 ;
, a; b ! 0 ;
, a ! 0; 1;
j) b)
a _ a - 1i 17i , i ! 1; c) d) 2 _ i - 1i 7e - f , e ! f ; f) e) _ e - f i_ e + f i 2b 2b = 2 , g) _2a - bi_2a + bi 4a - b2 2c + 8d 2c + 8d = 2 , c 718. a) _ c - di_ c + di c - d2 a2 + 9 , a ! 3. c) 2 a -9 13 , x ! 1; 719. a) 4 _ x - 1i 2m2 + mn - 3n2 , m ! n. c) 5 ` m2 - n2 j 6x - 4 , x ! 2; 720. a) 2 x -4
- m2 - 2m + 4 mn
- 2b - 6 b _ b + 2i 9d - 4 4 _ d + 2i - 2k
, m; n ! 0 .
, b ! 0; 2 ; , d !- 2;
_ j - ki_ j + ki
=
2k 2
k - j2
,
j ! k ;
,
m ! n;
b ! 2a . ! d ;
b)
m2 + n2 m2 - n2
b) 0, a !- b ;
b)
2 a+2
,
a ! 2;
108
Algebrai törtek c) e) g)
IV 721. a)
m+ n 2 _ n - mi
m ! n;
d)
, e ! 0; ! 3 ;
f)
,
e 2 - 8e + 3 2e ` e 2 - 9j x 2 + 2x + 2 2x ` x 2 - 1j
,
x ! 0; ! 1;
6b2 - 6ab - 2a2
c-d 2 _ c + di
,
c ! d ;
2 ` i 2 + ij + j 2j 3 ` j 2 - i 2j
,
j ! i ;
h) 0, u; v ! 0, u ! v .
, a; b ! 0,
3
b; 2ab _2a - 3bi_2a + 3bi - 14b p2 + 4p + 37 , b ! 2 , p ! 3; b) ; c) 2 2 _ p - 3i_ p + 3i _ b - 2i _ b + 2i m + 13 g+ 1 , m ! - 3; , g ! 4. d) e) 2 2 2 _ m + 3i 5 _ g - 4i a+5 15b + 8 3 , a ! 1 , b ! 722. a) ; b) ; 2 2 4b2 - 9 6 _ a + 1i - 6m + 5 6m - 5 2 = , m ! ; c) 3 _3m - 2i_3m + 2i 4 - 9m 2 - 2p2 + 15p - 45 8x 2 - 18 3 , p ! 3; =-2, x ! . d) e) 2 2 _ p + 3i_ p - 3i2 _3 - 2xi_3 + 2xi 12a - 4a + 2 1 1 , a ! 1 =, a ! 0 ; 723. a) ; b) ; a 2 2a _2a - 1i 1 - a3 10 ` a2 + 1j 10a2 + 10 2 _ a - bi = , a ! 1; d) 2 , a ! b. c) 2 2 2 a + ab + b2 _ a + 1i _ a - 1i ` a2 - 1j 724. a) Használjuk fel az a - b =- _ b - ai összefüggést. Közös nevezôre hozás után kapjuk: b2 c - bc2 - a2 c + ac2 + a2 b - ab2 abc _ a - bi_ a - ci_ b - ci
a !
2
, ahol a; b; c ! 0, a ! b; c, b ! c .
A számláló szorzattá alakítható a következôképpen:_ b - ci_ a - bi_ a - ci . 1 A tört értéke egyszerûsítés után: . abc b) 0; c) Az a) részhez hasonlóan kapjuk, hogy a tört értéke -3; d) Két tag négyzetének különbségére vonatkozó azonosság többszöri alkalmazásával kapjuk, hogy a tört értéke: 1.
109
Algebrai törtek szorzása, osztása
Algebrai törtek szorzása, osztása 725. a)
acd3 2b 3b
, a; b; c; d ! 0 ;
b)
, a; c ! 0 ;
d)
5c2 2d 9b
, d ! 0;
, a; b; x; y; z ! 0 ; 5ay p3 m e) 64, a; b; c; d ! 0 ; f) , a; b; c; x; y ! 0 . 12a3 b2 x 726. a) _ a - bi b , a; b ! 0 ; b) 1, e; g ! 0 ; 2 _2p - 3qi 3q , n; p; q ! 0, p ! c) ; d) x - y , x, y ! 0 , x ! - y ; npq 2 3 e) , c = d . 4 5 727. a) , a ! b ; b) 4 ` a2 + ab + b2j , a = b ; 9 3 _ x + yi` x 2 - xy + y 2j 1 , x ! y ; d) , a ! b ; c) 2 6 5 _ x - yi a _ a - 3i , a ! 2; - 3; - 4 . e) _ a - 2i_ a + 4i a-1 10 1 , a ! ! 1; , m ! ; m ! 0; 728. a) b) 2a - 1 2m + 1 2 1 - 3a 1 - 2k 2k , a ! ; = 2 2, j ! k ; c) d) 2 3 2 _3a + 1i j - k2 k -j q+p , p; q ! 0 p ! q ; e) f) x 2 + 1, x ! ! 1; q-p 1 g) , x ! 1, x ! 0 . x a+b , a; b ! 0, b ! a; 729. a) b) 4, a ! ! 1; ab -b b 3 = , a ! b. c) 2 2 _2a - 3bi 2 _3b - 2ai a-b b-c = 730. A feltétel miatt: , ebbôl a c J1 b b 1N 1 1J1 1N 1 - = - 1, 2 = b KK + OO, = KK + OO, a c a c b 2 a c L P L P ha a ! 0, c ! 0, b ! 0, b ! c . c)
50ac
IV
110
Algebrai törtek
731. A feltétel miatt, ha b ! 0, d ! 0 akkor
IV
a b
+
c d
= 1, tehát
2 2 Ja cN Ja c N J aN J c N K + O $ K - O= K O - K O . Kb dO K b dO K bO K dO L P L P L P L P 732. Legyen a és b m⋅n-jegyû pozitív egész, melyekben n jegyû szám ismétlôdik m-szer. Ekkor: ^m - 1h n + 10^m - 2h n + $$$ + 10 2n + 10 n + 1l aa $$$ a ab10 a 43 = = , tehát a törtek értéke: . bb $$$ b bb10^m - 1h n + 10^m - 2h n + $$$ + 10 2n + 10 n + 1l b 85 a =- b - c, 733. Az a + b + c = 0 feltételbôl: b =- a - c, c =- a - b. Ezeket a feltételeket írjuk be az állítás bal oldali nevezôibe:
1 b2 + c2 - _- b - ci
2
+
1 c2 + a2 - _- a - ci
2
+
1 a2 + b2 - _- a - bi
2
.
Végezzük el a nevezôben a zárójelfelbontást, és az összevonást. A következôt 1 1 1 = 0 . Közös nevezôre hozás, majd a feltétel felkapjuk: 2bc 2ac 2ab használása után kapjuk, hogy a kifejezés 0.
734. A tört számlálója: ` ab + c2j - ` ac + b2j , a nevezôje pedig: ` ab + c2j + 2
2
+` ac + b2j , így a tört értéke egyszerûsítés után: ` ab + c2j - ` ac + b2j = a _ b - ci -` b2 - c2j = _ b - ci_ a - b - ci . a b 735. A háromszög oldalai: x; y; z. Reciprok értékek szorzata: x = $ = 1. b a 1 JK a2 + b2 NO 1 JK a2 - b2 NO Összegük fele: y = . Különbségük fele: z = . A három 2 K ab O 2 K ab O L P L P szám közül a legnagyobb y és teljesül y<x+z, ha a ! b , tehát már csak azt kell J J 2 N2 J N 1 K a + b2 NOO K 1 JK a2 - b2 NOO K 2 2 2 = + 1. Ha 4a2b2igazolnunk, hogy: y =x +z , azaz: K K 2 K ab OOO KK 2 K ab OOO PP L L PP L L tel minden tagot szorzunk, akkor az így keletkezett állítás már nyilvánvaló. 736. Általánosan: _ xa + yb - zci + _ xb + yc - zai + _ xc + ya - zbi = 2
2
2
=` x 2 + y 2 + z 2j` a2 + b2 + c2j + 2 _ ab + bc + cai_ xy - yz - zxi . 1521 Így a tört értéke az a, b, c bármely értéke esetén. 361
