A rögzített tengely körül forgó test csapágyreakcióinak meghatározása a forgástengely ferde helyzete esetében Bevezetés Az előző dolgozatokban nem esett szó a forgástengely ferde helyzetének esetéről. Azokban az ábrák is a forgástengely vízszintes és függőleges helyzetének megfelelően készültek, sugalmazva mintegy annak egyszerűségét és célszerűségét. Most szakítunk ezzel, így mondhatjuk, hogy előfeltevéseink erejéig a vizsgálat egy általánosabb esetre vonatkozik. Az előfeltevések: ~ a forgórész tetszőleges tömegeloszlású, ami az időben változatlan; ~ a forgórész merev, vagyis deformációjától eltekinthetünk; ~ a forgás geometriai tengelye rögzített; ~ a forgórész a két végén csapágyazott; ~ a forgórészt a saját súlya, a motor forgatónyomatéka, a csapágyerők és a forgás miatt fellépő tehetetlenségi erők terhelik. A súrlódási és az egyéb veszteségektől eltekintünk. A nem - szakember is tudja, hogy nem olyan ritka és ezért nem is lényegtelen eset ez. Azonban az is könnyen látható, hogy ez nem a létező legáltalánosabb eset, még a merev forgórészekre vonatkozóan sem. Gondoljuk meg, hogy például ~ a forgó késtengelybe befogott forgácsoló szerszám által a késtengelyre kifejtett erők csak forgás közben léphetnek fel, s akkor sem mindig ugyanúgy: eltérő sűrűségű anyagrészek, üresjárat, stb.; ~ a forgó betonkeverő gépben a beton nedves - képlékeny, így mozgása nem egyezik a forgórész mozgásával: elválik attól, megváltoztatva a forgórész tömegeloszlását, stb. Az anyag alábbi tárgyalása többnyire [ 1 ] - et követi, ahol levezették a mondott előfeltevéseknek megfelelő eset képleteit. Ez a számítás szép, ám nem egyszerű és rövid: kitartást igényel; ráadásul vektorszámítást alkalmaz, így ilyen irányú előtanulmányokra is szükség lehet. Ebben a Függelék is segíthet. A csapágyreakciókat leíró képletek levezetése Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
1. ábra
2
Az ábrán a ferde helyzetű forgórészt szemlélhetjük, egy ( XYZ ) térbeli koordináta rendszerben ábrázolva. A forgórész forgástengelye z, mely az YZ síkban helyezkedik el, és a Z tengellyel θ szöget zár be. A forgórészt az A és B pontokban csapágyazták; itt lépnek fel a A és B csapágyreakció - erők. A forgástengelyen felvettünk egy O pontot, a csapágyaktól a és b távolságra, ahol a b l. (1) Az O pont egy olyan ( xyz ) koordináta - rendszer kezdőpontja, mely a testhez mereven rögzített, azaz vele együtt forog. A forgás szögsebessége ω, szöggyorsulása ε. A térben nyugvó ( XYZ ) koordináta - rendszer tengelyeinek egységvektorai: ( I, J, K ). A test súlypontja G, súlya G m g m g J. (2) A súlypont helyvektora az ( Oxyz ) koordináta - rendszerben: r* rG rS . Az 1. ábrán a forgó tengelykereszt a kezdeti helyzetéből éppen ψ szöggel fordult el, a z tengely körül. Az Mz nagyságú forgatónyomatékot a tengelyre kifejtő gépészeti egység ( motor ) az ábrán nincs feltüntetve. Annak érdekében, hogy a térben nyugvó és forgó mennyiségek közti kapcsolatot megkapjuk, először állítsuk fel az egységvektorok közötti összefüggéseket! Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra
3
A 2. ábra szerint:
i 0 cos i sin j cos i sin j;
(3)
j0 cos(90 ) i sin(90 ) j sin i cos j.
(4)
Szintén a 2. ábra alapján, ( 3 ) és ( 4 ) felhasználásával:
I j0 sin i cos j; J cos i 0 sin k cos cos i cos sin j sin k .
(5) (6)
Most a külső – akció + reakció – erők eredőjét írjuk fel:
F = A B m g J;
(7)
komponensekben, ( 6 ) - tal is:
Fx A x Bx m g cos cos ; Fy A y By m g cos sin ; Fz A z Bz m g sin .
(8)
Az impulzustételnek a Függelék ( F59 ) egyenlet - alakjából: Fx m x S z2 yS z ; 2 Fy m yS z x S z ; Fz 0.
(9)
Összehasonlítva ( 8 ) és ( 9 ) - et: 2 A x Bx m g cos cos m x S z yS z ; 2 A y B y m g cos sin m yS z x S z ;
( 10 )
A z Bz m g sin 0. Most felírjuk az O pontra vett nyomatékvektort:
M (O) rS × m g J a k × A b k × B M z k . Részletezzük a számításokat.
( 11 )
4
rS × J xS i yS j zS k × cos cos i cos sin j sin k xS cos sin i × j x S sin i × k yS cos cos j× i yS sin j× k zS cos cos k × i zS cos sin k × j; ( 12 ) felhasználva, hogy
i × j j× i k ; i × k k × i j; j× k k × j i ,
( 13 )
( 12 ) és ( 13 ) szerint kapjuk, hogy
rS × J xS cos sin yS cos cos k x S sin zS cos cos j yS sin zS cos sin i;
( 14 )
végül ( 11 ) első tagja:
rS × m g J m g yS sin m g zS cos sin i m g x S sin m g zS cos cos j m g x S cos sin m g yS cos cos k.
( 15 )
Most foglalkozzunk ( 11 ) második tagjával!
k × A k × A x i A y j A z k A x k × i A y k × j A x j A y i A y i A x j;
( 16 )
ezzel ( 11 ) második tagja:
a k × A A y a i A x a j.
( 17 )
Hasonlóképpen ( 11 ) harmadik tagja:
b k × B B y b i B x b j.
( 18 )
Ezután a ( 11 ), ( 15 ), ( 16 ), ( 17 ) képletekkel:
M (O) i m g yS sin m g zS cos sin A y a B y b j m g x S sin m g zS cos cos A x a Bx b k m g x S cos sin m g yS cos cos M z .
Komponensekben:
( 19 )
5
M (O) x A y a B y b m g yS sin m g z S cos sin ; M (O) A a B b m g x sin m g z cos cos ; y x x S S (O) M z M z m g x S cos sin m g yS cos cos .
( 20 )
Az impulzusmomentum - tételnek a Függelék ( F52 ) alakú egyenleteivel: 2 M (O) J J ; x xz z yz z (O) 2 M y J yz z J xz z ; (O) M z J zz z .
( 21 )
Összehasonlítva ( 20 ) és ( 21 ) - et:
A y a By b m g yS sin m g zS cos sin J xz z J yz z2 ;
A x a Bx b m g x S sin m g zS cos cos J yz z J xz z2 ;
M z m g xS cos sin m g yS cos cos J zz z . ( 22 ) A ( 10 ) és a ( 22 ) egyenletek: a forgórész mozgásegyenletei. Ide kívánkozik még a ψ és az ωz mennyiségek közti kapcsolatot kifejező
d z . dt
( 23 )
összefüggés is. Az eredmények taglalása A fentiek alapján mondhatjuk, hogy az általánosabb esetet jelentő ferde helyzetű merev forgórész - modell szerinti számítás eredményei nem egyszerűek. Ezt az állítást mindjárt alá is támasztjuk; ( 22 ) harmadik egyenletéből kapjuk, hogy:
J zz z m g x S cos sin (t) m g y S cos cos (t) M z (t). ( 24 ) Majd ( 23 ) és ( 24 ) - gyel:
d 2 (t) J zz m g x S cos sin (t) m g yS cos cos (t) M z (t). dt 2 ( 25 )
6
A (25 ) egyenlet: egy nemlineáris közönséges másodrendű differenciálegyenlet a (t) függvényre. Ennek megoldására célszerű numerikus módszert alkalmazni; ez már önmagában is elég komoly nehézséget jelenthet. Márpedig a szögelfordulás, majd ezzel a szögsebesség és a szöggyorsulás függvényei általában a ( 25 ) egyenlet (t) megoldásából kaphatók meg. Most vizsgáljunk meg néhány könnyebb speciális esetet! S1.: A forgórész statikusan kiegyensúlyozott x S 0; yS 0. Ekkor ( 24 ) és ( * ) - gal:
(*)
J zz z (t) M z (t), innen
z (t)
M z (t) , majd ebből J zz
z (t)
1 M z (t)dt C1; végül ( 23 ) - ból: J zz
(t) z (t)dt C2 . Itt C1 és C2 állandók, melyek a feladat kezdeti feltételeiből számíthatók ki. Most vegyük azt az alesetet, hogy
M z (t) 0 ;
( S1 - a )
ekkor
z konst.
(§)
Határozzuk meg ebben a speciális esetben a támaszreakciókat! A ( 10 ) és ( * ) összefüggésekből:
A x Bx m g cos cos 0; A y By m g cos sin 0; A z Bz m g sin 0.
( S1 - b )
Továbbá a ( 22 ), ( * ), ( S1 - a ) képletek szerint:
A x a B x b m g zS cos cos J xz z2 ; A y a B y b m g zS cos sin J yz z2 ;
( S1 - c )
Az ( S1 - b ) képlet harmadik egyenletéből:
A z Bz m g sin .
( S1 - d )
7
Feltéve, hogy A - nál hengeres, B - nél gömbcsuklós a megtámasztás, ( S1 - d ) - vel is:
A z 0; Bz m g sin .
( S1 - e ) ( S1 - f )
A többi reakció - komponens meghatározására ( S1 - b ) első és második egyenlete, valamint ( S1 - c ) szolgál. Megoldva:
zS b J xz 2 z ; l l zS b J yz 2 A y m g cos sin z ; l l A x m g cos cos
( S1 - g )
zS a J xz 2 z ; l l zS a J yz 2 By m g cos sin z . l l Bx m g cos cos
( S1 - h )
S2. A forgórész statikusan kiegyensúlyozatlan és csak a súlyerő hatása alatt áll. Ekkor általában
x S 0; yS 0,
( ** )
és
M z (t) 0.
( *** )
Most ( 24 ) - ből:
J zz z m g x S cos sin (t) m g yS cos cos (t) 0.
( S2 - a )
Szorítkozzunk a kis kitérések esetére; ekkor
sin (t) (t);
cos (t) 1,
( S2 - b )
azaz ( a ) és ( b ) - vel:
J zz z m g x S cos (t) m g yS cos 0;
( S2 - c )
innen
(t)
m g x S cos m g yS cos (t) 0; J zz J zz
( S2 - d )
Először nézzük a
(t) 0 alesetet!
(!)
8
Ekkor a forgórész áll, nem forog. A ( ! ) egyenlet ugyanis azt mondja, hogy a szöggyorsulás bármely időpontban zérus, azaz a szögsebesség állandó. Mivel pedig a kis kitérések esetére szorítkoztunk, vagyis a forgórész nem fordul körbe, így a szögsebesség nem lehet más állandó, csak zérus. Ekkor ( S2 - d ) - ből:
m g x S cos m g yS cos 0 0, azaz J zz J zz y 0 S . xS
( S2 - e /1 )
Arra jutottunk, hogy a forgórész a saját súly hatására felvett nyugalmi helyzetét az ( S2 - e / 1 ) egyenlet szerinti kis szöggel jellemezhetjük. Vezessük le ezt másképpen is! Az (S2 - a ) egyenletből ωz ≡ 0 - val:
m g xS cos sin 0 m g yS cos cos 0 0, innen pedig tg 0
yS , xS
( S2 - e /2 )
ami kis kitérések esetén átmegy ( S2 - e / 1 ) - be. Másodszor vizsgáljuk meg ( S2 - d ) általános megoldását! Első lépésként alakítsuk át! m g x S cos y (t) (t) S 0; ( S2 e / 1 ) - gyel is: J zz x S
(t) 0
m g x S cos (t) 0 0; J zz
bevezetve a
1 (t) (t) 0
( S2 - ψ1 )
jelölést, előző egyenletünk így alakul:
1 (t) k 2 1 (t) 0,
( S2 - ψ2 )
ahol alkalmaztuk a
k2
m g x S cos J zz
( S2 - k )
jelölést. Az ( S2 - ψ2 ) egyenlet általános megoldása:
1 (t) K1 sin(k t) K 2 cos(k t).
( S2 - ψ3 )
A t = 0 - ra vonatkozó ( felvett kezdeti ) feltételek:
1 (0) 1max ,
( S2 - kf 1 )
1 (0) 0.
( S2 - kf 2 )
Most ( S2 - ψ3 ) és ( S2 - kf 1 ) - gyel:
K 2 1max . Továbbá ( S2 - ψ3 ) és ( S2 - K2 ) - vel:
( S2 - K2 )
9
1 (t) K1 sin(k t) 1max cos(k t).
( S2 - ψ4 )
Deriválva ( S2 - ψ4 ) - et:
1 (t) K1 k cos(k t) 1max k sin(k t); ebből t = 0 - val és ( S2 - kf 2 ) - vel: 0 K1 k, vagyis
K1 0.
( S2 - K1 )
Most ( S2 - ψ4 ) és ( S2 - K1 ) - gyel:
1 (t) 1max cos(k t).
( S2 - ψ5 )
Ezután ( S2 - ψ1 ) és ( S2 - ψ5 ) - tel:
(t) 0 max 0 cos(k t); rendezve:
(t) 0 max 0 cos(k t);
( S2 - ψ6 )
most ( S2 - e / 1 ) és ( S2 - k ) - val is:
m g x cos y yS S (t) max cos t S . x S J zz x S
( S2 - ψ7 )
Ez egy harmonikus lengés egyenlete; a lengésidő ( S2 - k ) - val is:
T
2 J zz 2 . k m g x S cos
( S2 - T )
Látható, hogy
ha 90 , akkor T , ami bizonyos eszközöknél fontos tervezési szempont lehet ( szeizmikus detektorok ). S3. A forgórész statikusan és dinamikusan is kiegyensúlyozott és z konst. A statikus és dinamikus kiegyensúlyozottság esetén egyidejűleg fennállnak az
x S 0; ys 0; J xz 0; J yz 0
($)
feltételek. Ekkor ( S1- g ) - ből:
zS b ; l zS b A y m g cos sin ; l A x m g cos cos
Hasonlóan ( S1 - h ) - ból:
( S3 - a )
10
zS a ; l zS a B y m g cos sin . l Bx m g cos cos
( S3 - b )
Megfigyelhető, hogy a J xz 0; J yz 0 feltételek ugyanolyan hatásúak, mint ha ωz = 0 lenne. Más szavakkal: az ( S3 - a,b ) képletekkel írhatók le a nyugvó forgórész csapágyreakció - komponensei is. Ezek a komponensek a forgó ( xyz ) koordináta rendszerben lettek felírva. Keressük meg az álló ( XYZ ) koordináta - rendszerben érvényes képleteket is! Az A csapágyban ébredő reakcióerő vektora:
A A x i A y j A z k;
( S3 - c )
komponensei az ( S1 - e ) és ( S3 - a ) képletekkel adottak a mozgó rendszerben. Tudjuk, hogy az álló rendszerbeli komponensekre fennáll, hogy
A A X I A Y J A Z K.
( S3 - d )
Innen:
A X A I, ( S3 - e / 1,2 )
A Y A J. Emlékeztetőül:
I sin i cos j; J cos cos i cos sin j sin k .
(5) (6)
Most ( S3 - c ), ( 5 ) és ( S3 - e / 1 ) - gyel:
A X A I A x i A y j A z k sin i cos j ( S3 - f )
sin A x cos A y ; Majd ( S3 - a ) és ( S3 - f ) - fel:
A X sin m g cos cos
zS b z b cos m g cos sin S 0, l l
tehát
A X 0.
( S3 - g )
Hasonlóan ( S3 - c ), ( 6 ) és ( S3 - e / 2 ) - vel:
A Y A J A x i A y j A z k cos cos i cos sin j sin k cos cos A x cos sin A y sin A z ; ( S3 - h )
Most ( S3 - a ) és ( S3 - h ) képletekkel:
11
zS b l z b cos sin m g cos sin S sin A z ; l
A Y cos cos m g cos cos
rendezve:
AY m g
zS b cos 2 cos 2 sin 2 sin A z , l
vagy még egyszerűbben:
A Y m g cos 2
zS b sin A z . l
( S3 - i )
A B csapágyban ébredő reakcióerő vektora:
B B x i B y j Bz k ;
( S3 - j )
komponensei az ( S1 - f ) és ( S3 - b ) képletekkel adottak a mozgó rendszerben. Tudjuk, hogy az álló rendszerbeli komponensekre fennáll, hogy
B BX I BY J B Z K.
( S3 - k )
Innen:
BX B I, BY B J.
( S3 – l / 1,2)
A korábbiak szerint:
BX B I Bx i By j Bz k sin i cos j sin Bx cos By ;
( S3 - m )
Most ( S3 - b ) és ( S3 - m ) - mel:
z a BX sin m g cos cos S l z a cos m g cos sin S 0, l tehát:
BX 0.
( S3 - n )
Folytatva:
BY B J Bx i By j Bz k cos cos i cos sin j sin k cos cos Bx cos sin By sin Bz ; ( S3 - o )
12
most ( S3 - b ) és ( S3 - o ) - val:
z a BY cos cos m g cos cos S l z a cos sin m g cos sin S sin Bz ; l rendezve:
BY m g cos 2
zS a cos 2 sin 2 sin Bz ; l
vagy még egyszerűbben:
BY m g cos 2
zS a sin Bz . l
( S3 - ö )
A csapágyreakciók tehát a forgástengelyen átmenő függőleges síkban helyezkednek el. Ellenőrzés a szemlélet szerint: AY + BY = − mg ? ( S3 - i ) és ( S3 - ö ) - vel:
zS b sin A z l z a m g cos 2 S sin Bz l z b zS a m g cos 2 S sin A z Bz l l
A Y BY m g cos 2
( S3 - p )
m g cos 2 sin A z Bz . Most ( S1 - d ) és ( S3 - p ) - vel:
A Y BY m g cos 2 sin m g sin m g cos 2 sin 2 m g.
( S3 - q )
Az utolsó egyenlőség is igazolja számításaink helyességét. S4. A forgórész statikusan és dinamikusan is kiegyensúlyozatlan és z konst. Ekkor egyidejűleg fennállnak a
x S 0; ys 0; J xz 0; J yz 0
(€)
összefüggések. A csapágyreakció - komponenseket a ( 10 ) és ( 22 ) egyenletekből számítjuk ki, alkalmazva az
z 0 z konst. feltételt. A mondott egyenletek:
13
A x Bx m g cos cos m x S z2 ; A y B y m g cos sin m yS z2 ; A z Bz m g sin 0.
( S4 - a )
A y a By b m g yS sin m g zS cos sin J yz z2 ; A x a Bx b m g x S sin m g zS cos cos J xz z2 .
( S4 - b )
Az ( Ax , Ay ) , ( Bx , By ) megoldásokat ( S4 - a ) első két egyenletéből és ( S4 - b ) - ből számítjuk ki. A számítás legegyszerűbben a behelyettesítéses módszerrel végezhető el. Az eredmények:
z2 x S z b 2 S A x m g cos cos m b z m g sin J xz ; l l l z2 yS z b 2 S A y m g cos sin m b z m g sin J yz ; l l l 2z x S zS a 2 Bx m g cos cos m a z m g sin J xz ; l l l z2 yS z a 2 S B y m g cos sin m a z m g sin J yz . l l l ( S4 - c ) Az és Bz számítására ( S4 - a ) ad lehetőséget, pl. ( S1 - e ) és ( S1 - f ) szerint. Az ( S4 - c ) képletekben az előzőek szerint három rész különíthető el. Az első zárójeles tagok a statikusan és dinamikusan is kiegyensúlyozott eset összetevői. A második tagok a statikus kiegyensúlyozatlanság miatt fellépő összetevőket adják meg. A harmadik tagok pedig a dinamikus kiegyensúlyozatlanság miatt fellépő reakciórészeket írják le. Utóbbiakból jól kiolvasható, hogy ( Ax , Bx )J , valamint ( Ay , By )J egy - egy erőpárt képeznek, melyek eredője is erőpár. Utóbbi nyomatékának nagysága:
Me
J xz z2 J xz z2 z4 J xz2 J 2yz z2 J 2xz J 2yz . 2
2
( S4 - d )
Mindezek a rotorral együtt forgó koordináta - rendszerben értendők. A további esetek tárgyalását már az Olvasóra bízzuk; ez a fentiekhez hasonlóan végezhető.
Javasoljuk az Olvasónak, hogy végezze el az 0 esetre vonatkozó számítást, majd az eredményeket vesse össze a fentiekkel és a harmadik részben kapottakkal is!
14
FÜGGELÉK A merev test mozgásegyenletei ( vázlatos levezetés ) – ld. [ 2 ]! Tekintsük az m tömegű merev testet, melyet infinitezimálisan kicsiny dm tömeg - elemek együttesének gondolunk – F1. ábra!
F1. ábra A tömegelemre ható külső erő: dF. Az S súlypont helyzetét egy térben rögzített ( Oxyz ) koordináta - rendszerben az alábbi összefüggés adja meg:
m rS r dm.
( F1 )
( m)
Idő szerinti kétszeri differenciálással kapjuk, hogy
m rS r dm,
( F2 / 1 )
(m)
m rS r dm.
( F2 / 2 )
(m)
Az ( F 2 / 1 ) képlet jobb oldalán az egész test teljes p impulzusa áll, mint az infinitezimális impulzusok összege. Minthogy
r v,
( F3 )
ezért ( F2 / 1 ) és ( F3 ) - mal:
p m vS .
( F4 )
Szavakban: a merev test teljes impulzusa / mozgásmennyisége egyenlő a test tömegének és a súlypontja / tömegközéppontja sebességének szorzatával.
15
Az ( F2 / 2 ) képlet jobb oldalán – Newton II. törvénye szerint – :
r dm dF, és F dF, ezért ( F2 / 2 ) - vel:
m rS F,
vagy p F.
( F5 )
( F5 ) első része szavakban: a merev test tömegközéppontja úgy mozog, mintha a teljes tömege a tömegközéppontjában lenne egyesítve, és az összes külső erők erre a pontra hatnának. Ez a tömegközéppont tétele a merev testre – ld. [ 3 ] - at is ! ( F5 ) második része szavakban: a merev test teljes impulzusának idő szerinti differenciálhányadosa egyenlő a merev testre ható külső erők eredőjével – impulzustétel vagy lendület - tétel, a merev testre vonatkozóan. Az alább következő nyomatéktételt egy a merev testhez rögzített A pontra vonatkoztatva
írjuk fel. Most szorozzuk meg a v dm dF differenciális mozgástörvényt vektoriálisan az rAP vektorral, majd integráljunk az egész testre! Így azt kapjuk, hogy
r
AP
× v dm rAP × dF.
( F6 ) (A)
( F6 ) jobb oldalán a külső erők A pontra vett M nyomatékvektora áll. ( F6 ) bal oldalán átalakításokat végzünk. Induljunk ki az
(rAP × v ) rAP × v rAP × v azonosságból! Átrendezve:
rAP × v (rAP × v ) rAP × v.
( F7 )
Az F1. ábra szerint:
r rA rAP ;
( F8 )
idő szerint differenciálva:
r rA rAP ;
( F9 )
( F9 ) - et másként írva:
v v A v AP ;
( F10 )
figyelembe véve, hogy az ω szögsebesség - vektorral fennállnak a
v AP rAP ω × rAP , valamint az
(ω × rAP ) × (ω × rAP ) 0 azonosság, továbbá az ábra szerinti
( F11 )
16
rAP rAS rSP
( F12 )
összefüggések is, ( F7 ) így alakul:
rAP × v (rAP × v ) ω × rAP × v A ω × rAP (rAP × v) ω × rAP × v A (rAP × v) ω × rAS rSP × v A
( F13 )
(rAP × v) ω × rAS × v A ω × rSP × v A . Bevezetjük az A pontra vonatkoztatott forgásimpulzus / impulzusnyomaték / impulzusmomentum / perdület - vektort :
L(A) rAP × v dm,
( F14 )
(m)
majd átalakítjuk ( F6 ) bal oldalát, ( F13 ) - mal:
r
AP
× v dm
d rAP × v dm ω × rAS × v A dm dt (m) (m)
ω × rSP dm × v A . (m)
( F15 )
Felhasználva a tömegre és a súlypontra vonatkozó
dm m,
( F16 )
(m)
r
SP
dm 0
( F17 )
(m)
definíciós összefüggéseket, ( F15 ) így írható:
rAP × v dm
d rAP × v dm ω × rAS × v A m. dt (m)
( F18 )
Most ( F14 ) és ( F18 ) - cal:
dL(A) rAP × v dm ω × rAS × v A m. dt
( F19 )
Most megformulázva az ( F6 ) jobb oldalán álló nyomatékvektort:
M (A) rAP × dF, ( F6 ), ( F19 ) és ( F20 ) - szal kapjuk, hogy
( F20 )
17
M
(A)
dL( A) ω × rAS × v A m. dt
( F21 )
Az ( F21 ) egyenlet írja le az impulzus momentum - tétel egy általánosabb alakját. A gyakorlat – és dolgozatunk – szempontjából nagyon fontos speciális esetek az alábbiak. A.) A = S, vagyis a vonatkoztatási pont maga a test súlypontja. Ekkor rAS 0 miatt az ( F21 ) összefüggés így alakul: (S)
L
M (S) , S: súlypont.
( F22 )
Szavakban: a merev test ( akárhogyan mozgó ) súlypontjára vett impulzus - momentum változási sebessége egyenlő a külső erők súlypontra vett forgatónyomatékainak eredőjével. B.) A testhez rögzített A pont egyidejűleg a térben is rögzített. Ekkor: v A 0, így az ( F21 ) összefüggés így alakul: ( A)
L
M (A) , A : fix pont.
( F23 )
Szavakban: a merev test egy tetszőleges, de térben rögzített pontjára vett impulzus momentumának változási sebessége egyenlő a külső erőknek e rögzített pontra vett forgatónyomatékainak eredőjével. A továbbiakban szükség lesz L kifejezésére, az előbb mondott speciális esetekben. Felírásához tekintsük az F2. ábrát is!
Testhez rögzített koordináta - rendszer
F2. ábra
18
Induljunk ki ( F14 ) - ből! A fentiek szerint:
L(A) rAP × v dm rAP × v A ω × rAP dm (m)
(m)
rAP dm × v A rAP × ω × rAP dm. (m) (m)
( F24 )
Az ( F24 ) képletből az A.) és a B.) speciális esetekben a jobb oldal első tagja eltűnik, így képletünk alakja:
L(A) rAP × ω × rAP dm.
( F25 )
(m)
Most felhasználjuk az
A × B ×C = B C A C A B
( F26 )
vektoralgebrai azonosságot. Ezzel 2 rAP × ω × rAP ω rAP rAP rAP ω.
( F27 )
Ezután ( F25 ) és ( F27 ) - tel: 2 2 L(A) ω rAP rAP rAP ω dm ω rAP dm rAP rAP ω dm. ( F28 ) (m)
(m)
(m)
Most kifejtjük ( F28 ) jobb oldalának második tagját. Ehhez:
rAP x i y j z k ;
( F29 )
ω x i y j z k;
( F30 )
majd ( F29 ) és ( F30 ) - cal:
rAP ω x x y y z z ,
( F31 )
így a második tag integrandusza:
rAP rAP ω x x y y z z x i y j z k i x x x x y y x z z j x y x y y y y z z k x z x y z y z z z .
Most ( F28 ), ( F30) és ( F32 ) - vel:
( F32 )
19
(A)
L
2 x i y j z k rAP dm ( m) i x x x x y y x z z dm (m) j x y x y y y y z z dm (m) k x z x y z y z z z dm ; ( m)
( F33 )
Rendezve: (A)
L
2 2 i x rAP dm x dm y x y dm z x z dm (m) (m) (m) (m) 2 2 j y rAP dm y dm x x y dm z y z dm (m) (m) (m) (m) 2 2 k z rAP dm z dm x x z dm y y z dm . (m) (m) (m) (m) ( F34 )
Most felhasználjuk, hogy 2 rAP x 2 y2 z2 ,
( F35 )
majd ezzel: 2 rAP x 2 y 2 z 2 , 2 2 2 2 rAP y x z , 2 rAP z 2 x 2 y 2 ;
( F36 ) - ot integrálva:
( F36 )
20
r x dm r dm x dm y z dm; (m) (m) (m) (m) 2 2 2 2 2 2 r y dm r dm y dm x z dm; AP AP (m) (m) (m) (m) 2 2 2 2 2 2 rAP z dm rAP dm z dm x y dm. (m) (m) (m) (m) 2 AP
2
2 AP
2
2
2
( F37 )
Most ( F34 ) és ( F37 ) - tel: (A)
L
2 2 i x y z dm y x y dm z x z dm (m) (m) (m) 2 2 j y x z dm x x y dm z y z dm (m) (m) (m) 2 2 k z x y dm x x z dm y y z dm. (m) (m) (m) ( F38 )
Átrendezve:
(A)
L
2 2 i x y z dm y x y dm z x z dm (m) (m) (m) 2 2 j x x y dm y x z dm z y z dm (m) (m) (m) 2 2 k x x z dm y y z dm z x y dm. (m) (m) (m) ( F39 )
Bevezetjük a következő jelöléseket, ill. elnevezéseket, melyek a merev test tömegeloszlásával kapcsolatosak: ~ a tehetetlenségi ( inercia - ) nyomatékok kifejezései:
21
J xx y z dm, (m) J yy x 2 z 2 dm, (m) 2 2 J zz x y dm (m) 2
2
( F40 )
~ a deviációs ( terelő - ) nyomatékok kifejezései:
J xy J yx x y dm, (m) J xz J zx x z dm, (m) J yz J zy y z dm. (m)
( F41 )
Ezek után ( F39 ), ( F40 ) és ( F41 ) - gyel:
L(A) i x J xx y J xy z J xz + j x J xy y J yy z J yz k x J xz y J yz z J zz ;
( F42 )
vagy a perdületvektor komponens - egyenletei:
L(A) x J xx x J xy y J xz z ; (A) L y J xy x J yy y J yz z ; (A) L z J xz x J yz y J zz z .
( F43 )
Abban az esetben, ha
ω z k , akkor ( F42 ) - ből:
( F44 )
22
L(A) J xz z i J yz z j J zz z k.
( F45 )
Az ( F23 ) összefüggés alkalmazásához szükségünk lesz az alábbi összefüggésre:
dL(A) L(A) ω L(A) . dt t
( F46) (A)
Ez a nagyon fontos képlet az L vektornak a nyugvó és az ehhez képest ω szögsebességgel forgó koordináta - rendszerekben vett időbeli változási sebességei közti kapcsolatot írja le – v.ö.: [ 3 ]! Most alkalmazzuk ( F46 ) - ot ( F45 ) - re! Az első tag: L(A) J xz z i J yz z j J zz z k , t
( F47 )
hiszen a forgó rendszerben mind a tehetetlenségi és deviációs nyomatékok, mind pedig a forgó rendszerhez kötött ( i, j, k )egységvektorok állandók. Ezután ( F46 ) második tagja, ( F44 ) és ( F45 ) - tel is:
ω L(A) z k J xz z i J yz z j J zz z k
z J xz z k i J yz z k j J zz z k k ;
( F48 )
Itt figyelembe vesszük, hogy
k i j, k j i, k k 0.
( F49 )
Majd ( F48 ) és ( F49 ) - cel:
ωL(A) z J yz z i J xz z j J yz z2 i J xz z2 j.
( F50 )
Most az ( F46 ), ( F47 ) és ( F50 ) képletekkel: dL(A) L(A) (A) ω L J xz z i J yz z j J zz z k dt t J yz z2 i J xz z2 j i J yz z2 J xz z j J xz z2 J yz z k J zz z .
( F51 ) Most ( F23 ) és ( F51 ) - gyel a komponens - egyenletek:
M
(A) x
J xz z J yz 2z ;
( F52 / 1 )
23
2 M (A) y J yz z J xz z ;
M
(A ) z
( F52 / 2 )
J zz z .
( F52 / 3 )
Szükségünk lesz még a súlypont - gyorsulás kifejezésére is:
aS
dv S v S ω × rS ω× rS ω × r S dt
( F53 )
ω× rS ω × ω × rS . Most ( F44 ) - ből:
ω z k ,
( F54 )
továbbá
ω× rS z k × x S i yS j zS k
z x S k × i yS k × j z S k × k
z x S j yS i 0
( F55 )
z yS i x S j. Folytatva:
ω × ω × rS ω rS ω rS ω ω z k x S 0 yS 0 zS z z2 x S i yS j zS k i 2z x S j z2 yS k z2 zS z2 zS x S z2 i yS z2 j z2 x S i yS j. ( F56 )
Most ( F53 ), ( F55 ), ( F56 ) - tal:
a S z yS i x S j z2 xS i yS j 2 i yS z x S z j x S z yS z2
x S z2 yS z i yS z2 x S z j.
( F57 )
24
Az ( F5 ) impulzustétel:
F m aS .
( F58 )
Komponensekben – ( F57 ) és ( F58 ) szerint – : 2 Fx m a Sx m x S z yS z ; 2 Fy m a Sy m yS z x S z ; Fz m a Sz 0.
( F59 )
Irodalom: [ 1 ] – Lawrence E. Goodman ~ William H. Warner: DYNAMICS Dover Pulications, Inc., Mineola, New York, 2001. [ 2 ] – Werner Hauger ~ Walter Schnell ~ Dietmar Gross: Technische Mechanik, Band 3.: Kinetik 7. Auflage, Springer, 2002. [ 3 ] – Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2009. március 25.
