A közoktatás függvénytani ismereteinek összefoglalása

A közoktatás függvénytani ismereteinek összefoglalása Vigné Dr. Lencsés Ágnes 2005.

Lektorálta : Dr. Klincsik Mihály a matematika tudományok kandidátusa Szerkesztette: Pilgermajer Ákos Az ábrákat készítette: Pálfi Róbert

Tartalomjegyzék Bevezetés

1

I. A függvény fogalma

3

II. Fontosabb függvénytípusok 1. Racionális függvények . . . . . . . . . . . . . . . A. Hatványfüggvények . . . . . . . . . . . . . B. Racionális egész függvények . . . . . . . . C. Racionális tört függvények . . . . . . . . . 2. Irracionális függvények . . . . . . . . . . . . . . . 3. Trigonometrikus függvények és inverzeik . . . . . A. Trigonometrikus függvények . . . . . . . . B. Arcus függvények . . . . . . . . . . . . . . 4. Exponenciális és logaritmus függvények . . . . . A. Exponenciális függvények . . . . . . . . . B. Logaritmus függvények . . . . . . . . . . . 5. Hiperbolikus és area függvények . . . . . . . . . . 6. Néhány, az előző típusokba nem tartozó függvény

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

7 9 9 12 15 17 20 20 29 33 33 36 39 49

III.Valós függvények tulajdonságai 1. Zérushely . . . . . . . . . . . . 2. Paritás . . . . . . . . . . . . . . 3. Periodicitás . . . . . . . . . . . 4. Monotonitás . . . . . . . . . . . 5. Szélsőérték . . . . . . . . . . . 6. Korlátosság . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

53 53 55 57 60 63 67

i

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

IV.Műveletek függvényekkel 1. Leszűkítés, kiterjesztés . . 2. Összeg, szorzat, hányados 3. Összetett függvény . . . . 4. Inverz függvény . . . . . . 5. Elemi alapfüggvények és a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . függvény műveletek

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

69 69 71 74 78 82

V. Függvénytranszformációk

83

Irodalomjegyzék

89

Bevezetés A függvény fogalma a matematika, ezen belül főként a matematikai analízis alapvető fogalma. Alaposabb vizsgálatuk nem csak a matematika, hanem a természettudományok (fizika, kémia, műszaki és közgazdasági tudományok) számos területének művelése szempontjából alapvető fontosságú. A közoktatás minden szintjén, egyre bővülő ismeretekkel a tanulók eljutnak a függvény precíz matematikai fogalmához, megismerkednek a függvények sokféleségével. Középiskolában figyelmüket a függvényeken belül a kiemelt fontosságú egyváltozós valós függvények felé fordítják, a vizsgálat tárgyát a függvénytípusok és ezek tulajdonságai képezik. Megismerkednek a függvényképzési módok kal (műveletek), a függvény-transzformációval. Mindezek ismeretében az elemi alapfüggvények kiemelésével a függvényműveletek segítségével az egyváltozós valós függvények halmazán egy új tájékozódási bázist alakítanak ki, melyre a későbbi tanulmányok során az analízis épül. A matematikai analízis ismeretanyagának elsajátításához tehát szükséges a közoktatásban tanult függvénytan precíz, alkalmazni képes tudása. Ebben a fejezetben ezért röviden összefoglaljuk a korábban tanult, feltétlenül szükséges függvénytani ismereteket. Egy másfajta felépítésben tesszük ezt, mint amilyen sorrendben a közoktatásban tanulták, és néhány helyen kiegészítjük azt új ismeretekkel is. A fejezet tagolása a következő : Először a függvény fogalmát definiáljuk, majd szűkítjük a tárgyalást az egyváltozós valós függvényekre; ezen belül először a középiskolában tanult függvénytípusokat vizsgáljuk és egészítjük ki; majd megfogalmazzuk a középiskolában megismert függvénytulajdonságok definícióit; összefoglaljuk a függvényekkel végzett műveletek (függvényképzési módok) pontos fogalmát; az egyváltozós valós függvények egy részhalmazának szemléltetésére, a grafikon megrajzolására alkalmazzuk a lineáris transzformációval való ábrázolást; végül fejezetünket az elemi alapfüggvények kimelésével zárjuk.

I. fejezet

A függvény fogalma Középiskolában a függvény fogalmát a következőképpen határozták meg. Legyen adott A és B két nem üres, különben tetszőleges halmaz! Ha az A halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a B halmaz ponosan egy (egy és csak egy) elemét, akkor az A halmazon függvényt adtunk meg, melynek értékei a B halmazhoz tartoznak (röviden: az egyértelmű hozzárendelés függvényt ad meg). Jelölés: f : A −→ B. Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük, melyet Df -fel (dominium) jelölünk. A B halmaz azon részhalmaza, amelyeket a A-beli elemekhez rendeltünk, a függvény értékkészlete, melynek jelölése Rf (range). Szemléltetve: A a1

B f b1

a2 a3 Df

b2 b3

Injektív hozzárendelés (egy-egyértelmű hozzárendelés)

b5 b4

Rf

4

I. FEJEZET. A FÜGGVÉNY FOGALMA A a a1 a2

B f

Több-egyértelmű hozzárendelés (van olyan hozzárendelt elem, aminek több eredetije van), a hozzárendelés a C(⊂ B) halmazra szürjektív.

b b1 b2 b3

a3 a4 a5

b4 b5 Rf

Df A a

B f

b

a1

b1

a2

b2

a3

b3

Egy-egyértelmű hozzárendelés (kölcsönösen egyértelmű: minden hozzárendelt elemnek egy eredetije van) (bijektív megfeleltetés) egyszerre szürjektív és injektív.

Rf Df Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az olvasó találkozhatott olyan megfogalmazással is, hogy f az A halmazt a B halmazba(-ra) képezi le, azaz a függvény egyértelmű leképezés. Problémaként merül fel az előző megfogalmazások kapcsán, hogy a „hozzárendelést”, „leképezést” korábban nem definiálták, hallgatólagosan alapfogalomnak tekintik, ezért a későbbiekben a függvény fogalomra egy precízebb definíciót adunk. Mielőtt ezt megtennénk, nézzünk néhány példát az eddigi tanulmányokból! 1. A = B = {a sík vektorai} , v ∈ A , f : A −→ A , f : v −→ −v (vektor-vektor függvény) 2. S síkon legyen adott a t egyenes! A t minden pontjához rendeljük önmagát! A t-re nem illeszkedő bármely P ponthoz rendeljük azt a P pontot, amelyre a P P szakasz felezőmerőlegese t! (pont-pont függvény; tengelyes tükrözés) 3. Legyen t ∈ R , B = i, j sík egységvektorai , f : R −→ V , f : t −→ (cos t)i+ + (sin t)j = h(t) (skalár-vektor függvény)

5 4. Legyen n ∈ N+ ! f : N+ −→ R f : n −→ 3n+1 n+2 (valós számsorozat) 5. Legyen x∈R! f :R−→R f :x−→cos 2x + π3 (egyváltozós valós függvény) Függvényt akkor tekintünk adott nak, ha adott az értelmezési tartománya és a hozzárendelési szabálya. E kettő már tulajdonképpen meghatározza az értékkészletet is. Két függvényt egyenlőnek nevezünk, ha értelmezési tartományuk és értékkészletük megegyezik, valamint, ha az értelmezési tartományuk ugyanazon elemeihez hozzárendelt értékek elemről elemre megegyeznek. A precízebb függvény-fogalomhoz ismerkedjünk meg előbb a rendezett pár és a halmazok Descartes (direkt)-szorzatának fogalmával! Két tetszőleges elemből rendezett elempár t úgy alkothatunk, hogy a két elemet meghatározott sorrendben tekintjük. Például (p, q) rendezett elempár első komponense p , második komponense q. (A (q, p) egy másik, az előzőktől különböző rendezett pár.) Fontos különbség a rendezett elempárok és a kételemű halmazok között, hogy az utóbbiban az elemek sorrendje tetszőleges. Definíció. Az A és B halmaz Descartes (direkt)- szorzatán az összes olyan rendezett elempár halmazát értjük, amely párok első komponense A-beli, második komponense B-beli elem. Jelölés: A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} ♣ A rendezett elempárok, illetve a direkt szorzat definíciójának segítségével most már megadhatjuk a függvény precízebb definícióját, amely teljesen összhangban van a középiskolában tanult definícióval. Definíció. Legyen A és B két nem üres halmaz! Az f ⊆ A × B ( olvasd: az A × Bf részhalmazát) függvénynek nevezzük, ha (a, b) ∈ f és (a, b1 ) ∈ f , akkor b = b1 . Jelölés: f : A −→ B. ♣ (Tehát különböző első komponensű rendezett elempárok halmaza a függvény. Vesse össze a definíciót a halmazos ábrával!) Tehát az f : A −→ B szimbólum jelentése : 1. A és B két nem üres halmaz; a ∈ A, b ∈ B 2. f ⊆ A × B és ∀(a, b) ∈ f, (a, b1 ) ∈ f esetén b = b1 3. f értelmezési tartománya A, vagy A részhalmaza.

6

I. FEJEZET. A FÜGGVÉNY FOGALMA

Az a ∈ A elemhez hozzárendelt b ∈ B elemet az f függvény a helyen felvett (helyettesítési) értékének nevezzük és f (a)-val jelöljük. Ha f : A −→ B , akkor Df ⊆ A, Rf ⊆ B és f (Df ) = Rf . Ha a függvények tulajdonságait akarjuk vizsgálni, ezt egyszerre nem tudjuk megtenni, mert igen sokfélék. A függvényfogalomból is láthatjuk, hogy az abban szereplő A és B halmazokra semmiféle feltételt nem szabtunk (azon kívül, hogy nem üresek), elemeik bármik lehetnek. Nyilván a függvény tulajdonságai és vizsgálati módjai attól függnek, hogy mik az A illetve B halmaz elemei. Ezért a továbbiakban szűkítjük a tárgyalást, a függvények közül igen kis szeletet vizsgálunk, azokat, amelyekkel eddigi tanulmányaik során részletesen foglalkoztak, nevezetesen: amelyek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok halmaza, vagy annak részhalmaza. Ezek az egyváltozós valós függvények. Az egyváltozós valós függvények esetén a hozzárendelés módjának megadására legtöbbször képlet et használunk. Például: f : R −→ R , x −→ cos 2x + π3 = f (x) Megállapodunk abban, hogy akkor is adottnak tekintjük az egyváltozós valós függvényt, ha csak a hozzárendelés módja adott, az értelmezési tartománya nem. Ekkor a függvény értelmezési tartományán a valós számok azon legbővebb részhalmazát értjük, amely elemekre a hozzárendelési szabály értelmes, értéke kiszámítható. A középiskolában a függvények leírására, szemléltetésére (de általában nem megadására !!!) használják még a – nyíldiagrammot (lásd halmazos ábra), melynek előnye, hogy jól szemlélteti a függvény fogalmát, a hozzárendelés irányát; – értéktáblázat ot, melynek előnye, hogy világosan látszanak a függvényt alkotó rendezett elempárok; – grafikont, síkbeli Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben. Az f : H −→ R (H ⊆ R) függvény grafikonján a G = (x, y) ∈ R2 : x ∈ H, y = f (x) ⊆ R × R = R2 síkbeli ponthalmazt értjük. A grafikon előnye, hogy annak geometriai tulajdonságai jól tükrözik a függvény tulajdonságait. Vigyázat! A függvényt ne azonosítsuk a grafikonjával! Az y = f (x) nem a függvény, hanem a függvényt szemléltető görbe, geometriai alakzat egyenlete. A grafikon csak eszköz a függvény megismeréséhez.

II. fejezet

Fontosabb függvénytípusok (egyváltozós valós) Ebben a részben összefoglaljuk a középiskolában megismert egyváltozós valós függvények típusait, azok tulajdonságait.

Definíció. Egyváltozós valós elemi függvénynek nevezzük a konstans, hatvány, gyök-, trigonometrikus-, exponenciális- és logaritmus függvényeket, illetve az ezen függvényekből véges számú függvény képzési móddal (összeadással, kivonással, szorzással, osztással, összetett és inverz képzéssel, értelmezési tartomány leszűkítésével) előállított függvényeket. ♣

Ezeket tovább szokás két nagy csoportra bontani: algebrai illetve transzcendens függvényekre. Az algebrai függvények racionálisak vagy irracionálisak, a racionálisak egészek vagy törtek. Ezt a felosztást szemléltetjük, példával illusztráljuk, melynek segítségével pontosan megfogalmazható az elnevezés miértje.

8

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK

Elemi függvények XX XXX XX z 9 Algebrai függvények Transzcendens függvények XXXX XX z 9 x −→ sinx x Racionális Irracionális 2 PP x −→ 2−x + 1 P ) q P √ x −→ log3 x x −→ x Egész Tört √ 3 x −→ x + 3 x −→ x2 x −→ x1 1√ x −→ √ 3 x+ x x+1 x −→ −x3 + x + 1 x −→ 2x−1 x −→ x10 − 1 x −→ x21+1 A jobb tájékozódás érdekében nézzük a fejezet további tagolását, melyben megjelöljük azokat az új ismereteket is, amelyek kiegészítik a középiskolában megismert függvényekkel kapcsolatos ismereteket. 1. Racionális függvények (a) Hatványfüggvények (emlékeztetőül: x −→ x2 , x −→ x3 , · · · ) (b) Racionális egész függvények (például: x −→ x2 + x − 1) (c) Racionális tört függvények (például: x −→

1 x

, x −→

x+1 x−1 )

2. Irracionális függvények (mint a hatványfüggvények inverzei) √ √ √ 5 például: x −→ x , x −→ 3 x , x −→ x3 3. Trigonometrikus függvények és azok inverzei (a) A sin, cos, tg, ctg függvények (b) Arcus függvények új ismeret : a trigonometrikus függvények leszűkítettjeinek inverzei 4. Exponenciális és logaritmus függvények 5. Hiperbolikus és area függvények új ismeret 6. Néhány, az előző típusokba nem sorolható függvény Előjel-, abszolútérték-, egészrész, törtrész függvény

1. RACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK

9

Felhívjuk figyelmét, hogy a függvények jellemzésében használt fogalmak értelmezését – amennyiben nem emlékezne rá eddigi tanulmányaiból – az III. fejezetben találja meg. A származtatás esetén találkozik különböző függvény képzési módokkal is, ezek definíciói az IV. fejezetben találhatók.

1. Racionális függvények A. Hatványfüggvények A racionális függvények „magját” a hatványfüggvények képezik. Definíció. Az f : R −→ R , x −→ xn = f (x) (n ∈ N+ adott) hozzárendeléssel megadott függvényeket hatványfüggvények nek nevezzük. ♣ Az alábbi ábra az n = 1,2,3,4 esetet szemlélteti. Feltételezzük, hogy ismeri a pozitív egész kitevőjű hatvány fogalmát és az erre vonatkozó azonosságokat, de álljon itt emlékeztetőül ! · · · a. Definíció. a ∈ R, n ∈ N+ . Ekkor an = a · a

♣

ndb

Azonosságok : an · am an am an · bn an bn (an )m

=

an+m

(II.1)

=

an−m (n > m , a = 0)

(II.2)

=

(a · b) a n (b = 0) b n·m a

(II.3)

n

= =

(II.4) (II.5)

Nevezetes azonosságok : (a + b)2

=

a2 + 2ab + b2

(II.6)

3

=

a + 3a b + 3ab + b

a2 − b2

=

(a − b) (a + b)

a3 − b3

=

(a − b) a2 + ab + b2

a3 + b3

=

(a + b) a2 − ab + b2

a −b

=

(a + b)

n

n

3

2

2

3

(a − b) an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1

(II.7) (II.8) (II.9) (II.10) (II.11)

Hatványfüggvények grafikonja és jellemzése (n = 1,2,3,4 esetén az ábra)

10

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK y 8 x→x4 x→x2

−2

1 1 2

x

x→x

x→x3

−8

értelmezési tartomány: paritás: ha n páratlan: ha n páros: zérushely: monotonitás: ha n páratlan: ha n páros:

szélsőértékek: ha n páratlan: ha n páros: értékkészlet: ha n páratlan: ha n páros:

Jellemzésük x∈R f páratlan f páros x=0 szigorúan monoton nő nem monoton ekkor x < 0-ra szigorúan monoton csökken x > 0-ra szigorúan monoton nő nincs x = 0 helyen helyi minimum, f (0) = 0 xn ∈ R xn ≥ 0


11

Felhívjuk a figyelmét a következőkre: az x −→ xn (n ∈ N+ ) hatványfüggvényeket két csoportba oszthatjuk aszerint, hogy n páratlan vagy páros. Ha n = 2k + 1 alakú, azaz páratlan, akkor a hatványfüggvények értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok halmaza, szigorúan monoton növekvőek, azaz minden értéküket csak egy helyen veszik fel, tehát az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei között kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés. Ha n = 2k alakú, azaz páros, akkor az xn = f (x) függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete viszont a nem negatív valós számok halmaza. A nulla értéket csak egy helyen, az x=0-ban veszik fel, bármely más pozitív értéket pedig két helyen. Ezek az értelmezési tartományban egymás ellentett elemei. Tehát az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei között nem kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés. A hatványfüggvények esetén, ha n = 2k + 1, a hozzárendelés irányát – elemről elemre – ellenkezőre váltva is függvényt kapunk, azaz ezek invertálhatók, de n = 2k esetén ezen függvényeknek nincs inverzük. Utóbbiak értelmezési tartományát x ≥ 0-ra leszűkítve, a hozzárendelés már kölcsönösen egyértelmű, tehát már invertálhatók. Így juthatunk az irracionális függvényekhez, amelyeket a 2. szakaszban tárgyalunk. A hatványfüggvények tulajdonságait felsoroltuk, de nem bizonyítottuk. Példaként lássuk be, hogy x ≥ 0 esetén az f (x) = x2 szigorúan monoton növekvő !

Legyen 0 ≤ x1 < x2 tetszőleges! Vizsgáljuk meg az x1 és x2 helyeken felvett függvényértékek különbségét! f (x2 )−f (x1 )=x2 2 −x1 2 =(x2 − −x1 )(x2 +x1 )>0 az x1 , x2 -re szabott feltétel miatt (mindkét tényező pozitív). Az egyenlőtlenséget rendezve kapjuk, hogy 0≤x1 <x2 esetén f (x1 )
12


fogalmakat ebben a fejezetben még nem definiáljuk, ezek precíz definícióit az analízisben fogjuk megismerni. Megjegyzések – Figyeljünk az aritmetika és a függvénytan kapcsolatára ! a (II.3) hatványazonosság az x−→xn függvény egy tulajdonságát fejezi ki : adott pozitív egész kitevőjű hatványfüggvény szorzat (a · b) helyen felvett értéke a tényezők (a és b) helyeken felvett értékeinek szorzatával egyenlő. Hasonlóan átfogalmazható a (II.4)-es azonosság is. Ezeket a tulaj f (a) donságokat általánosan így is fogalmazhatjuk : f (a· b) = f (a)· f (b) illetve f ab = f (b) , b = 0, f (b) = 0. – Az (II.5) azonosság összekapcsolja az (II.1),(II.2) és a (II.3),(II.4) azonosságok két csoportját. Az (II.5) azonoság jelentése az összetett függvény képzésénél derül ki számunkra. Nézzük meg egy példán ! x −→ x5 =u u −→ u2

x −→ x5

2

= x10

Úgy is fogalmazhatunk, hogy az összetett függvény képzése a pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények köréből nem vezet ki.

B. Racionális egész függvények (polinomok) A hatványfüggvények konstansszorosainak összegeként (véges sok) jutunk el a polinomokhoz illetve a racionális egész függvényekhez. (A polinom szó „több tag”-ot jelent.) Eddigi tanulmányai során ezek közül az első- és másodfokúakkal találkozott. A racionális egész függvény definíciójának megadása előtt az ezekkel kapcsolatos tudnivalókat ismételjük át. Definíció. Az f : R −→ R , f (x) = ax+b (a = 0 , a, b ∈ R adott) függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Néhány elemét szemlélteti a következő ábra. ♣ y

x→ 45 x−1

2

1 x→x+ 32

1

y

x

x→−x+3

1

x x→− 13 x+1 x→−2x−1

x→ 52 x−2


értelmezési tartomány: monotonitás: változásuk mértéke: zérushely: y tengelymetszet: értékkészlet:

13

Jellemzésük x∈R ha a > 0, szigorúan monoton növekvők ha a < 0, szigorúan monoton csökkenők állandó: a x = ab f (0) = b f (x) ∈ R

Definíció. Az f : R −→ R , f (x) = ax2 + bx + c függvényeket másodfokú függvényeknek nevezzük.

y 9

(a = 0 , a, b, c ∈ R adott) ♣

y x→x2−6x+9=(x−3)2

−2 1 1 3

x

x→−x2−4x−4=−(x+2)2

x→ 12 x2−x− 32 = 12(x−1)2−2

1 1 3

x

x→−2x2−4x+1=−2(x+1)2+3

Jellemzésükhöz alakítsuk át a képletet!(Teljes négyzetté egészítünk ki.) 2 b b b2 2 x −→ ax + bx + c = a x + x + c = a x + − 2 +c = a 2a 4a b b2 = a x+ − + c = a (x − u)2 + v = f (x) 2a 4a 2

2

b b = u és − 4a +c = v jelölést bevezetve. Az a előjelétől függően két csoportra a − 2a bonthatók.

14

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK y

y v

v

1

1 1 u

u

x

1

x

a<0

a>0 értelmezési tartomány: zérushely: ha D = b2 − 4ac > 0, ha D = b2 − 4ac = 0, ha D = b2 − 4ac < 0, szélsőérték: helye x = u: minősége: monotonitás: ha a > 0 ha a < 0

Jellemzésük x∈R ax2 + bx + c = 0 egyenlet valós megoldásai két különböző egy(illetve két egybeeső) nincs valós zérushely értéke: f (u) = v ha a > 0, minimum ha a < 0, maximum nem monoton függvények , x < u-ra szigorúan monoton , x > u-ra szigorúan monoton , x < u-ra szigorúan monoton , x > u-ra szigorúan monoton

csökkenők növekvők növekvők csökkenők

értékkészlet: a > 0 esetén a < 0 esetén

f (x) ≥ v, alulról korlátos f (x) ≤ v, felülről korlátos

A másodfokú függvények képletét – ha két zérushely van – gyakran úgynevezett gyöktényezős alakban is használjuk. Mint például az ábrán látható 3 1 1 1 2 f (x) = x2 − x − = (x − 1) − 2 = (x + 1) (x − 3) 2 2 2 2 függvény esetén, ahol f (−1) = f (3) = 0. Az f : R −→ R , f (x) = ax3 + bx2 + cx+ d (a = 0 , a, b, c, d ∈ R) függvények a harmadfokú polinomok. Ezek vizsgálata nem szerepel a középiskolai tanulmányok során. A kettőnél magasabb fokú racionális egész függvények (polinomok)


15

vizsgálatával az analízis keretein belül ismerkedünk meg. Ehelyütt definíciójukat adjuk meg. Definíció. Az f :R−→R , f (x)= a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn függvényeket, ahol a0 , a1 , ..., an ∈R és an = 0 n-ed fokú polinomnak (racionális egész függvényeknek) nevezzük. ♣

C. Racionális tört függvények A legegyszerűbb racionális törtfüggvény az f : R −→ R , f (x) = x1 x = 0. Ez a függvény képezi a „magját” a racionális törtfüggvényeknek, az x −→ x hatványfüggvény reciproka. y 1 x→ x

1 1

értelmezési tartomány: zérushely: paritás: monotonitás:

értékkészlet:

x

Jellemzés x = 0 nincs 1 páratlan (f (−x) = −x = − x1 = −f (x)) nem monoton x < 0-ra szigorúan monoton csökken x > 0-ra szigorúan monoton növekvő f (x) = 0

Definíció. Lineáris törtfüggvénynek nevezzük az f : R −→ R , függvényeket (x = − dc ), ahol c = 0 , a, b, c, d ∈ R adott.

f (x) =

ax+b cx+d

♣

Nézzünk egy példát! f (x) =

x+1 , Df : x = −2, zérushely: x = −1. x+2

Az ábrázoláshoz és néhány további tulajdonság megállapításához alakítsuk át a képletet! A számlálóban és a nevezőben elsőfokú polinom szerepel, ezért a tört

16


nem valódi tört. Írjuk fel egy egész és egy valódi tört összegeként! Egyszerű fogással megtehetjük, hogy előállítjuk a számlálóban a nevezőt, majd tagonként osztunk. x + 1 (x + 2) − 1 1 f (x) = = = 1− x+2 x+2 x+2 Innen már megállapítható Rf : f (x) = 1. Ebből az alakból az x1 függvényből kiindulva függvénytranszformációval már képet alkothatunk a monotonitásról, és arról is, hogyan viselkedik tetszőlegesen nagy illetve kicsi x-ekre, valamint a −2 hely környezetében. y

x→ x+1 x+2

1 −2

1

x

(A grafikonnak mindig csak egy darabja rajzolható fel!) A függvény nem monoton. x < −2-re szigorúan monoton növekvő, x > −2-re szigorúan monoton növekvő, az értelmezési tartományon folytonos. Bármely nagy (illetve kicsi ) x-ekre a függvényértékek tetszőlegesen közel vannak 1-hez. Ezt a tulajdonságot úgy nevezzük – későbbi tanulmányaink során definiáljuk –, hogy ∞-ben (−∞-ben) a határértéke 1. A −2 bal- (illetve jobb-) oldali környezetében vizsgálva, a függvényértékek tetszőlegesen nagyok (illetve kicsik), azaz a −2-ben a baloldali határérték ∞ (jobboldali −∞). A lineáris törtfüggvény általános jellemzését nem végezzük el, a fenti példa mintájára járunk el. Definíció. Racionális törtfüggvénynek nevezzük a két racionális egész függvény hányadosaként értelmezett függvényt. ♣

f : R −→ R , f (x) =

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Pn (x) = , Qm (x) bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0

ahol an , bm = 0 (n, m ∈ N , m ≥ 1)

2. IRRACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK

17

(Vegyük észre, hogy az előző példa ide sorolandó : n = 1, m = 1 !) Értelmezési tartomány: a Qm (x) polinom zérushelyeit kivéve a valós számok halmaza, zérushely: Pn (x) polinom zérushelyei, ... Tudásunk itt már elég hiányos, nem tudjuk megállapítani a függvény tulajdonságait, grafikonjáról sincs elképzelésünk. Példák egyszerű racionális törtfüggvényekre: ezeket a grafikonokat olyan meggondolással készíthetjük el, hogy egy transzformációval ábrázolható függvény (nevezőben lévő) értékeinek reciprokát vesszük. y y

y

x→x2 − 1 x→x2 + 1

x→x2

1 2

x→ x12

1

1

x→ x21+1

1

x

1

x

x

x→ x21−1

2. Irracionális függvények Induljunk ki az A. pontban szereplő hatványfüggvényekből! Konkrétan az x −→ x2 és x −→ x3 függvényekből! Az x−→x2 esetén az értelmezési tartomány néhány elemére a hozzárendelés: (−3) −→ 9, (−1) −→ 1, 0 −→ 0, 1 −→ 1, 3 −→ 9. A hozzárendelés irányát – elemről elemre – ellenkezőjére váltva : 9 −→ (−3), 1 −→ (−1), 0 −→ 0, 1 −→ 1, 9 −→ 3 nem kapunk függvényt, mert nem egyértelmű a hozzárendelés (például: 1-hez a (−1)-et is és az 1-et is hozzárendeltük.) Az x−→x3 esetén az értelmezési tartomány néhány elemére a hozzárendelés: (−3) −→ −27, (−1) −→ −1, 0 −→ 0, 1 −→ 1, 3 −→ 27. A hozzárendelés irányát – elemről elemre – ellenkezőjére váltva : −27 −→ (−3), (−1) −→ −1, 0 −→ 0, 1 −→ 1, 27 −→ 3 függvényt kapunk. Ha az x −→ x2 értelmezési tartományát leszűkítjük x ≥ 0-ra, a hozzárendelés már kölcsönösen egyértelmű, tehát a hozzárendelés irányát ellenkezőjére váltva is függvényt kapunk.

18

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK y 4

y x2 Q függvény x→x2 x≥0

4

1

1 1 2x

R függvény √ y→ y

y

1√y 2 x

x

Az x −→ x2 (x ≥ 0) függvényt Q-val jelöltük, mert emlékeztet a négyzet √ területére, a kvadratúrára, az y −→ y függvényt R-rel jelöltük, mert a radix √ √ (gyökér) szó kezdőbetűjéből származik a jel. A y az R függvénynek az az √ √ értéke, amely az y-hoz tartozik, a y az y-ból ered, a y-nak az y a gyökere (radixa), négyzetgyöke. Az R függvénygrafikonját hozzuk a megszokott helyzetbe! Origó körül 90◦ -kal elforgatva, majd x tengely körül 180◦ -kal √elforgatva és a tengelyeket a szokásos módon jelölve kapjuk a jól ismert x −→ x függvényt! y x x R R R √ y

1

√

√

y

1

x

1

y 1 1 1 y y x x Az x −→ x3 esetén a√hozzárendelés irányát – elemről elemre – ellenkezőjére váltva jutunk az x −→ 3 x függvényhez. y

y x→f (x)=

√ 3

x

1 1

x

x→f (x)=x3

A gyökfüggvények illetve irracionális függvények a hatványfüggvények (illetve páros n esetén x≥0-ra leszűkítettjeik) inverzei. Közös koordinátarendszerben

2. IRRACIONÁLIS FÜGGVÉNYEK

19

√ → x, az x −→ x3 (x ∈ R) és a fenti√ábrán szerepel az x −→ x2 (x ≥ 0) és x −√ x −→ 3 x, valamint az x −→ x4 (x ≥ 0) és x −→ 4 x. y

x→f (x)=x2 , x ≥ 0

y

x→f (x)=x4, x ≥ 0

√ x→f(x)= x, x ≥ 0

1

x→f (x)=

√ 4

x, x ≥ 0

1 1

x

Definíció. Az f : R −→ R , f (x) = függvényeknek nevezzük.

értelmezési tartomány: szélsőérték: monotonitás: zérushely: értékkészlet:

1

x

√ n x függvényeket irracionális (vagy gyök) ♣

Jellemzésük n = 2k + 1 n = 2k x∈R x≥0 nincs x = 0-ban min. és f (0) = 0 szig. mon. nő szig. mon. nő x=0 x=0 f (x) ∈ R f (x) ≥ 0

Emlékeztetőül – az inverz függvény hozzárendelési szabálya alapján – felelevenítjük a gyök fogalmát és a rá vonatkozó azonosságokat. √ Definíció. Ha a ≥ 0 , a az a nem negatív szám, amelynek négyzete a. √ 2 √ Jelöléssel : a ≥ 0, a =a≥0 √ n √ – n = 2k esetén : ha a ≥ 0, n a ≥ 0, amelyre n a = a √ n √ – n = 2k + 1 esetén : ha a ∈ R, n a ∈ R, amelyre n a = a ♣ Néhány azonosság : (a, b definícióban megadott értékei esetén érvényesek) √ √ √ n n n ab = a b

√ n a a n √ = n b b √ n √ k nk a = a √ k n n a = ak

(II.12) (II.13) (II.14) (II.15) (II.16)

Megjegyzések

20

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK – Az x −→ =

f (a) f (b)

√ n

x (páros n-re x ≥ 0) függvényekre is igaz az f (ab) = f (a)·f (b) illetve f

a b

=

tulajdonság, amint azt az (II.12) és (II.13) azonosság mutatja.

– A (II.14) azonosság azt jelenti, hogy a gyökfüggvények az összetettfüggvényképzésre nézve zártak. Például : √ x −→ 3 x =u √ √ 3 x −→ x = 6 x (x ≥ 0) √ u −→ u – A pozitív egész kitevős hatványfüggvényeket, ezek reciprokait és a gyökfüggvényeket kapcsoljuk össze összetett függvényképzéssel ! •

x −→ x3 =u u −→

•

x −→

√ 5

u −→ u x −→ •

x −→

u

x −→

x =u

•

√

x −→

5

√ x3

√ 5 5

x

(x ≥ 0)

=x

(x ∈ R)

1 =u 1 x x −→ √ 3 √ x 3 u −→ u

√ 5

x =u

1 1 x −→ √ 5 4 x u −→ 4 u

(x = 0)

(x = 0)

√ √1 Általánosan az x −→ n xm illetve az x −→ n függvényekhez jutunk, ahol n, m∈ N+ . xm Az összes ilyen függvény értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza.

3. Trigonometrikus függvények és inverzeik A. Trigonometrikus függvények Középiskolában a háromszögek hasonlósága lehetővé tette, hogy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szögfüggvényeit értelmezzük. Hegyesszög és oldalak aránya közt kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítve definiálhatjuk derékszögű háromszögben hegyesszög sinusát, cosinusát, tangensét, cotangensét. B β

c

a

α

A

b

C

sin α =

a c

, cos α =

b c

, tg α =

a b

, ctg α = ab .

3. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK

21

Matematikai és fizikai problémák vizsgálata szükségessé tette, hogy tetszőleges szögekre kiterjesszük ezeket a fogalmakat. A szög forgásmennyiség. Kétféle mérését használjuk, fokban illetve radiánban (ívmértékkel) mérjük. Mivel a szög forgásmennyiség, ezért vizsgálva a körmozgásokat, azon belül is az egyenletes körmozgásokat, ezek leírásával kapjuk a sinus és cosinus függvényeket. Elegendő olyan egyenletes körmozgást vizsgálni, amely pályájának sugara egységnyi (r = 1), és amelynek szögsebessége is egységnyi (ω = 1), azaz a tömegpont egy másodperc alatt 1 radián szöget fut be. Legyen a tömegpont a nulla időpontban P -ben, a szöget az OP félegyenestől mérjük. (Az időpontok és a forgásmennyiségek – szögek – között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van; ezen körmozgásnál a keringési idő 2π másodperc.) Helyezzük a vektorsíkot a kör síkjára úgy, hogy az origó a kör középpontjában legyen, az x tengely pozitív fele az OP félegyenesre illeszkedjék! + O

P

A tömegpont helyét minden időpontban egy helyvektorral (h) egyértelműen adhatjuk meg. (Minden időpontnak megfelel a tömegpont egy helyzete, azaz pontosan egy vektor,egy vektornak végtelen sok időpont felel meg.) Azaz függvényt kapunk : t −→ h, melynek értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete pedig a sík egységvektorainak halmaza.

y

+

j

h

O

i

M P

x

Minden helyvektornak egyértelműen megfelel egy rendezett valós számpár, a vektor koordinátái, tehát a t −→ h (skalár-vektor) függvényt felbonthatjuk két valós-valós függvényre.

22


y M

j

h

O

Q

M j

x

i

S

h

O

i

x

Ha az M tömegpont a körön egyenletesen mozog, akkor ezen pont x tengelyre eső merőleges vetületének (Q) a mozgása a t −→ x függvényt adja meg, melynek első negyedbeli értékei a derékszögű háromszögben értelmezett cosinus függvény értékei, tehát a t −→ x függvény ezen függvény kiterjesztése. Az M tömegpont y tengelyre eső merőleges vetületének (S) mozgása a t −→ y függvényt adja meg, írja le, melynek első negyedbeli értékei a derékszögű háromszögben értelmezett sinus függvény értékei, tehát ennek a t−→y függvény kiterjesztése. A t −→ h függvény tehát : t −→ (cos t)i + (sin t)j (t ∈ R). A koordinátarendszerbe rajzolt kör nem a t −→ h függvény grafikonja, mert nincs rajta az értelmezési tartományt szemléltető t tengely. Ez a kör nem lehet a függvény értékkészlete sem, mert a t −→ h függvény értékei vektorok. Ez a kör a t −→ h függvény értékkészletéhez tartozó – egységnyi hosszúságú – vektorok végpontjai által meghatározott halmaz. A fentiek alapján fogalmazzuk meg a középiskolából jól ismert definíciókat a szokásos jelölést használva : Definíció. Az x(∈ R) szög sinusán (cosinusán) értjük az i vektor x szögű el♣ forgatott vektorának (h) második (első) koordinátáját. y h = (cos x)i + (sin x)j

j(0; 1)

x

cos x

sin x

i(1; 0)

x

Az értelmezésből adódnak az x −→ sin x és x −→ cos x függvények tulajdonságai és rajzolhatók meg grafikonjaik.


23

f : R −→ R , x −→ sin x = f (x)

y

y j x

sin x i

− π2

1

x → sin x

x

π 2

−1

2π

π

x

Jellemzés értelmezési tartomány: x ∈ R periodicitás: 2π szerint periódikus sin x = sin(x + 2kπ) (k ∈ Z) periódusa 2π paritás: páratlan sin(−x) = − sin x zérushely: x = kπ (k ∈ Z) szélsőérték: x = π2 + 2kπ-ben sin x = 1 helyi maximum x = 3π 2 + 2kπ-ben sin x = −1 helyi minimum értékkészlet: −1 ≤ sin x ≤ 1 folytonos

f : R −→ R , x −→ cos x = f (x)

y j

y

cos x

x → cos x

− π2

x

i

x −1

π 2

π

2π

x

24

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Jellemzés értelmezési tartomány: x ∈ R periodicitás: 2π szerint periódikus cos x = cos(x + 2kπ) (k ∈ Z) periódusa 2π paritás: páros cos(−x) = cos x zérushely: x = π2 + kπ (k ∈ Z) szélsőérték: x = 2kπ-ben cos x = 1 helyi maximum x = π + 2kπ-ben cos x = −1 helyi minimum értékkészlet: −1 ≤ cos x ≤ 1 folytonos

Megjegyzés – vegyük észre, hogy a cosinus függvényt a sinus függvényből is származtathattuk volna : ∀x ∈ R :

cos x = sin

π

2

+x .

– Igazak a sinus és cosinus függvény közötti úgy nevezett pótszöges öszefüggések :

sin x −

∀x ∈ R :

π = cos x, 2

cos x −

π = sin x. 2

A tangens és cotangens függvények bevezetése a középiskolában kétféleképpen történik. 1. mód Tekintsük az origó középpontú, egységsugarú körbe helyezve az α hegyesszögű, egységnyi átfogójú, derékszögű háromszöget! y 1 1 0

α

(1, tg α) tg α 1

y=1

y 1

ctg α

1

1

x 0 x=1

α

α

(ctg α,1)

1

x


25

Húzzuk meg az x = 1 illetve az y = 1 egyeneseket (tengelyekkel párhuzamos körérintőket)! Az α szögszár ezekkel alkotott metszéspontjainak koordinátái(1, tg α) illetve (ctg α, 1), melyek a keletkező két új háromszögből leolvashatók a hegyesszög tangensének illetve cotangensének derékszögű háromszögben tett értelmezése alapján. Ez az észrevétel lehetővé teszi, hogy tetszőleges x szög (x ∈ R) tangensét illetve cotangensét az alábbi módon értelmezzük. Definíció. Az x szög tangensén értjük az x = 1 egyenes és az x szögszár metszéspontjának második koordinátáját. ♣ Definíció. Az x szög cotangensén értjük az y = 1 egyenes és az x szögszár metszéspontjának első koordinátáját. ♣ Ebből az értelmezésből azonnal látjuk, hogy nincs minden szögnek tangense illetve cotangense. Ha a szögszár párhuzamos az érintővel, nem kapunk metszéspontot, tehát nincs tangense az x = π2 + kπ (k ∈ Z) illetve nincs cotangense az x = kπ (k ∈ Z) szögeknek. 2. mód Hegyesszögek tangensének, cotangensének értelmezéséből látható, hogy milyen kapcsolat van a hegyesszög tangense illetve cotangense és ugyanazon szög sinusa és cosinusa közt: B B c

1

a

α

A

α

a

sin α tg α = ab = ab = cos α; b b cos α ctg α = a = a = sin α

C b A C b Kézenfekvő ezen összefüggések alapján értelmezni tetszőleges szög tangensét illetve cotangensét. Definíció. Jelentse az x szög tangensét illetve cotangensét sinusuk és cosinusuk illetve cosinusuk és sinusuk hányadosa. Jelöléssel: f : R −→ R

π sin α = tg x = f (x) x = + kπ (k ∈ Z) illetve cos α 2 cos α = ctg x = f (x) x = kπ (k ∈ Z) , x −→ sin α ♣

, x −→

f : R −→ R

26

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Nyilván ekkor tangens esetén az x szögek közül ki kell zárni a cosinus függvény zérushelyeit, cotangens esetén a sinus függvény zérushelyeit. (Tehát két függvény hányadosaként értelmeztünk.)

Mutassuk meg, hogy a kétféle bevezetési mód (közvetlen illetve függvények hányadosaként) egyenértékű, egy és ugyanazt jelenti!

B 1 S R M tg x sinx O NA 1 ctg x

x

cos x

Az ON M ∼OAB (x szög közös és derékszögűek), így a megfelelő oldalak tg x sin x aránya : cos x = 1 = tg x Az ON M ∼ ORS (x szög váltószög és derékszögűek), így a megfelelő ctg x x oldalak aránya : cos sin x = 1 = ctg x Az értelmezésből következnek a függvénytulajdonságok, melyeket az alábbiakban foglalunk össze és megrajzoljuk a grafikonokat.

f : R −→ R , x −→ tg x = f (x)


27

y

y = tg x 1

y

(1; tg x) tg x

x

− π2

1

1x −1

értelmezési tartomány: periodicitás: paritás: zérushely: monotonitás: értékkészlet: folytonos

3π 2

π 2 π 4

π

x

Jellemzés x = π2 + kπ (k ∈ Z) tg x = tg(x + kπ) (k ∈ Z) periódusa π páratlan tg(−x) = − tg x x = kπ (k ∈ Z) nem monoton, de egy periódusban szigorúan monoton növekvő tg x ∈ R

f : R −→ R , x −→ ctg x = f (x)

28


y =ctg x y 1

ctg x

x

(ctg x; 1)

− π2

1

1x

π 2

π x

π 4

−1

értelmezési tartomány: periodicitás: paritás: zérushely: monotonitás: értékkészlet: folytonos

Jellemzés x = kπ (k ∈ Z) ctg x = ctg(x + kπ) (k ∈ Z) periódusa π páratlan ctg(−x) = − ctg x x = π2 + kπ (k ∈ Z) nem monoton, de egy periódusban szigorúan monoton csökken ctg x ∈ R

Megjegyzés Vegyük észre, hogy ha a tangens függvény illetve cotangens függvény értelmezési tartományából elhagyjuk a zérushelyeiket (azaz az értelmezési tartományukat leszűkítjük x ∈ R, de x = k π2 (k ∈ Z) elemekre), akkor a két függvény értékei egymás reciprokai : tg x =

1 ctg x

x = k

π 2

(k ∈ Z)

illetve

ctg x =

1 tg x

x = k

π 2

(k ∈ Z)

A trigonometrikus függvények értékeit az értelmezési tartományuk tetszőleges elemére nem tudjuk kiszámítani, ezt majd az analízis tanulmányok teszik lehetővé. Jelenleg a számológép segítségével adjuk meg közelítő értékeiket. A


29

számológép számolási algoritmusára is a későbbi tanulmányok adnak magyarázatot. Értelmezésük alapján az úgynevezett nevezetes szögek és határszögek és a trigonometrikus azonosságok felhasználásával ezekből nyerhető szögek szögfüggvényeinek értékét tudjuk megadni. A 30◦ , 60◦ illetve 45◦ szögfüggvényeinek értékét a következő háromszögekről célszerű leolvasni. Ezeket jegyezzük meg ! (Két egység oldalú, szabályos illetve egységnyi befogójú , egyenlő szárú háromszögek.)

2

30◦√

√ 2

2

3

60◦

1

1

45◦

1

1

A középiskolában tanult szögfüggvények közötti összefüggések közül a következő ötből bármely másik könnyen levezethető, ezért csak ezeket célszerű memorizálni. cos2 α + sin2 α

= 1

(II.17)

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin 2α = 2 sin α cos α 2

2

cos 2α = cos α − sin α

(II.18) (II.19) (II.20) (II.21)

B. Arcus függvények Ebben a részben új fogalmakkal, függvényekkel ismerkedhetünk meg, ezeket nem tanuljuk a középiskolában. Ezeket a trigonometrikus függvényekből származtatjuk függvényképzési móddal, nevezetesen leszűkítéssel és inverz képzéssel. Az új függvényeket arcus függvényeknek hívjuk. A sinus és cosinus függvények 2π szerint periodikus, a tangens és cotangens függvények π szerint periodikus függvények, tehát ugyanazt a függvényértéket több (végtelen sok) értelmezési tartománybeli elemhez hozzárendelik, azaz a hozzárendelés nem bijektív, nem kölcsönösen egyértelmű. Így, ha a hozzárendelés irányát elemről-elemre ellenkezőre váltjuk, az így kapott hozzárendelés nem lesz egyértelmű, azaz nem függvény. Ezért alkalmas módon leszűkítjük értelmezési tartományukat. Ezt többféle módon megtehetnénk,de a matematikusok közti megállapodás szerint sinus esetén

30


a − π2 , π2 zárt, a cosinusnak a [0, π] zárt, a tangensnél a − π2 , π2 nyílt, a cotangensnél a (0, π) nyílt intervallumra szűkítjük le az értelmezési tartományt. Ezen az intervallumon a hozzárendelések már kölcsönösen egyértelműek (bijektívek), azaz invertálhatók. Az arcsin x függvény értelmezése Definíció. Az

π π f: − , −→ [−1,1] , x −→ sin x = f (x) inverze az 2 2 π π , x− → arcsin x = f (x); f : [−1,1] −→ − , 2 2

az arcsin x (olvasd: árkusszinusz) azt a − π2 , π2 zárt intervallumba eső szöget jelenti, amelynek sinusa x-szel egyenlő. Formulákkal: π π − ≤ arcsin x ≤ és sin (arcsin x) = x, ha − 1 ≤ x ≤ 1. 2 2 ♣ y π 2

y x → arcsin x

1 − π2

π 2

1

x → sin x

−1

x → f (x)

−1 1

π 2

x

−1 − π2

1

x

−1 − π2 arcsin értelmezési tartomány: monotonitás: zérushely: paritás: értékkészlet: korlátos: folytonos

jellemzése −1 ≤ x ≤ 1 szigorúan monoton növekvő x=0 páratlan arcsin(−x) = − arcsin x − π2 ≤ arcsin x ≤ π2 k = − π2 , K = π2


31

Az arccos x függvény értelmezése Definíció. Az f : [0, π] −→ [−1,1] , x −→ cos x = f (x) inverze az f : [−1,1] −→ [0, π] , x −→ arccos x = f (x); az arccos x (olvasd: árkuszkoszinusz) jelenti azt a [0, π] zárt intervallumba eső szöget, amelynek cosinusa x-szel egyenlő. Formulákkal: 0 ≤ arccos x ≤ π és cos (arccos x) = x, ha − 1 ≤ x ≤ 1. ♣ y

y π

π

x → arccos x

x → f (x)

π 2

π 2

1

1 π 2

2π 3

π

1

−1 − 1 2 −1

x

−1

1

x

x → cos x arccos értelmezési tartomány: monotonitás: zérushely: értékkészlet: korlátos: folytonos

jellemzése −1 ≤ x ≤ 1 szigorúan monoton csökken x=1 0 ≤ arccos x ≤ π k = 0, K = π

Az arctg x függvény értelmezése Definíció. Az

π π f: − , −→ R, x −→ tg x = f (x) inverze az 2 2 π π , x− → arctg x = f (x); f : R −→ − , 2 2

32


az arctg x (olvasd: árkusztangens) jelenti azt a − π2 , π2 nyílt intervallumba eső szöget, amelynek tangense x-szel egyenlő. Formulákkal: −

π π < arctg x < és tg (arctg x) = x, ha x ∈ R. 2 2 ♣ y

y x → tg x π 2 π 4

− π2 −1

π 2 π 4

x → arctg x − π4 − π2

1

π 2

x

arctg értelmezési tartomány: monotonitás: zérushely: paritás: értékkészlet: korlátos: határértéke:

−1

x → f (x) − π4 − π2

1

jellemzése x∈R szigorúan monoton növekvő x=0 páratlan arctg(−x) = − arctg x − π2 < arcsin x < π2 k = − π2 , K = π2 −∞-ben − π2 ∞-ben π2

folytonos Az arcctg x függvény értelmezése Definíció. Az f : (0, π) −→ R, x −→ ctg x = f (x) inverze az f : R −→ (0, π) , x −→ arcctg x = f (x);

x

4. EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNYEK

33

az arcctg x (olvasd: árkuszkotangens) jelenti azt a (0, π) nyílt intervallumba eső szöget, amelynek cotangense x-szel egyenlő. Formulákkal: 0 < ctg x < π és ctg (arcctg x) = x, ha x ∈ R. ♣ y

y

π

π

x → arcctg x π 4

−1

π 4

1

π 2

π

x

−1

3π 4 π 2

x → f (x)

1

x

x→ctg x arcctg értelmezési tartomány: monotonitás: értékkészlet: korlátos: határértéke:

jellemzése x∈R szigorúan monoton csökken 0 < arcctg x < π k = 0, K = π −∞-ben π ∞-ben 0

folytonos

4. Exponenciális és logaritmus függvények A. Exponenciális függvények Ezen függvénytípus bevezetéséhez tekintsük a korábban tárgyalt függvénytípu3 n sok közül a hatványfüggvényeket (x−→x, x√ −→x2 , x− √→x , ..., x √−→x ), az ezek√ ből származtatott gyökfüggvényeket (x−→ x, x−→ 3 x, x−→ 4 x, ..., x−→ n x), 1 1 1 1 a hatványfüggvények reciprokait (x −→ x , x −→ x2 , x −→ x3 , ..., x −→ xn ) és az √ 1 ezek összetételéből nyert x −→ n xm , x −→ √ n m függvényeket! x Mint korában megállapítottuk, ezek közös értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza. Képzeljük el grafikonjaikat egy közös koordinátarendszerben! (Az alábbi ábra néhányat szemléltet.)

34

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK y x→x

2

√ x→ x

1

1 x→ x

1

x

x→x x→x3

Jelöljük az előbb felsorolt összes függvényt: x −→ xα -val, ahol α ∈ Q, x > 0 ! Vegyük például a közös értelmezési tartományból az x = 2 helyen a helyettesítési értékeiket, 2α -t kapunk. α-hoz rendeljük hozzá a 2α -t, így az xα függvények „metszeteként” racionális kitevőre a 2α függvényt kaptuk. Az x = = 13 vagy x = 4 vagy x = 53 helyettesítést elvégezve az xα függvények esetén az α α α−→ 13 , α−→4α , α−→ 53 függvényekhez jutunk, melyek értelmezési tarto α α mánya (α) a racionális számok halmaza. A 2α , 13 , 4α , 53 értékei pozitívak, szigorúan monoton növekvőek. Az xα függvények „metszeteként” kapott új függvények változója a kitevőben szerepel, így idegen szóval exponenciális függvényeknek nevezzük őket, melyeknek értelmezési tartománya jelenleg a racionális számok halmaza. Az exponens szó kitevőt jelent. Kitérő ! A racionális kitevőjű hatványfogalommal kapcsolatban felelevenítjük a tanult definíciókat. Figyeljen arra, hogy a hatványfogalom racionális kitevőre való kiterjesztésénél az alapok halmazát szűkíteni kell ! a0 = 1 a−n a

p q

1 = n a √ q = ap

a = 0 a = 0 a>0


35

Megjegyezzük, hogy racionális kitevő esetén is érvényesek a pozitív egész kitevőjű hatvány fogalmára érvényes öt azonosság. Természetesen értelmezhető 2-nek, 13 -nak, 4-nek, 53 nak (stb.) irracionális kitevőjű hatványa√is. Ezzel későbbi tanulmányai során fog találkozni, itt csak egy szemléltetést mutatunk α = 2 esetére. 1< 1,4 < 1,41 < 1,414 <

√ √ √ √

2<2 2 < 1,5 2 < 1,42

2 < 1,415 .

√

21 < 2

√

21,4 < 2

√

1,41 <2 −→ 2 1,414

2

√

<2

2

< 22

2

< 21,5

2

< 21,42

2

< 21,415 .. .

..

√

A baloldali racionális kitevőjű hatványok nőnek, a jobboldaliak csökkennek, ezért a 2 tartalmazó intervallumok egyre szűkebbek.

2 -t

Az irracionális kitevőjű hatványt tetszőleges pontossággal lehet „közrefogni” racionális kitevőjű hatványokkal. Egymásba skatulyázott intervallumokat kapunk, ezek közös pontja a √ 2 2.

A bevezető példánkhoz hasonlóan a közös értelmezési tartományból (x > > 0) választott x = a helyen véve az xα függvények helyettesítési értékeit, ezen függvények „metszeteként” jutunk az aα exponenciális függvényhez racionális α-ra, ez is értelmezhető irracionális α esetén is. A szokásos jelöléssel: Definíció. Az f : R −→ R, x −→ ax = f (x) függvényt, ahol a adott pozitív szám, exponenciális függvénynek nevezzük. ♣ A függvény tulajdonságai tehát a hatvány tulajdonságaiból származnak. Az a alaptól függően három csoportba sorolhatók:

x→

x→

1 3

4 5

x

y

y

y x→2x

x

1 1

x→

1 1

x

1

1

3 2

x

x

1 1

x→1x

1

x

36


f (x) = ax Df monotonitás: értékkészlet: határértéke ∞-ben határértéke −∞-ben folytonos

Jellemzésük 0
a=1 R állandó 1 1 1

1
(Az értelmezési tartományon folytonos függvények, ∞-ben a > 1 esetén ∞, 01 esetén 0, 0
B. Logaritmus függvények Az exponenciális függvény a > 0, de a = 1 esetén szigorúan monoton, tehát az értelmezési tartomány és értékkészlet elemei között a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű. Tehát a> 0, de a = 1 esetén a hozzárendelés irányát – elemről elemre – ellenkezőre váltva függvényt kapunk, azaz


37

Definíció. Az ax exponenciális függvények a > 0, de a = 1 esetén invertálhatók, ezek inverzeit logaritmus függvények nek nevezzük. (A logaritmus szó jelentése viszonyszám.) ♣ Nézzünk egy konkrét példát ! Tekintsük az x −→ 2x exponenciális függvényt! Az értelmezési tartomány néhány elemére a hozzárendelés: −1 −→ 2−1 = 12 , 0 −→ 20 = 1, 3 −→ 23 = 8, 4 −→ 24 = 16. A hozzárendelés irányát – elemről elemre – ellenkezőjére váltva : 2−1 = 12 −→ −1, 20 = 1 −→ 0, 23 = 8 −→ 3, 24 = 16 −→ 4. Úgy fogalmazhatjuk ezen utóbbi hozzárendeléseket, hogy például a 16-hoz kettes alap mellett a 4 kitevő tartozik, vagy 8-hoz kettes alap mellett a 3 kitevő tartozik. Általában erre a logaritmus elnevezést használjuk: 16 −→ 4 = log2 16, 8 −→ 3 = log2 8, ... stb. y

y x→ax =y y →loga y =x

y0 =ax0

ax0

1

1 1 x0

1

x

x0 =loga y0

x

A második ábrát a megfelelő helyzetbe hozva, a változókat a szokásos módon jelölve a jól ismert logaritmus függvényekhez jutunk. Az x −→ loga x = f (x) néhány adott a esetén: y

y

x→log 3 x 2

x→log2 x

1

x→lg x

1

1

1

x

x x→log x→log 1 x 3

x→log 4 x 5

1 10

x

38

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK Az x −→ loga x = f (x) a > 0, a = 1 jellemzése értelmezési tartomány: x > 0 monotonitás: a > 1 esetén szig. mon. növekvő 0 < a < 1 esetén szig. mon. csökkenő zérushely: x=1 értékkészlet: loga x ∈ R folytonos. Megjegyzések 1. A logaritmusfüggvény tehát az exponenciális függvény inverze (a = 1), x −→ ax = f (x), visszarendelve : f (x) −→ x = f (ax ) = loga ax = x. 2. Hangsúlyozzuk, hogy az inverz szimmetrikus viszony, az exponenciális és logaritmus függvények egymás inverzei. Tehát azt is mondhatjuk, hogy a logaritmus függvény inverze azexponenciális függvény. x −→ loga x = f (x), visszarendelve : f (x) −→ x = = f f (x) = f (loga x) = aloga x . A középiskolából jól ismert aloga x = x

(x > 0, a >

> 0, a = 1) alakhoz jutunk, melyet a logaritmus fogalmának nevezünk. 3. Az inverz kapcsolatból következik, hogy a hatványazonosságok igazak maradnak, ha a logaritmus nyelvére fordítjuk le azokat. Például a > 0, a = 1, u, v > 0 esetén : hatványalak

logaritmusos alak

u = ap

loga u = p

v = aq

loga v = q

uv = a

loga uv = p + q = loga u + loga v

p+q

Tehát a szorzat logaritmusa :loga uv = loga u + loga v. Hasonlóan adódik a tört (hányados) logaritmusa : a > 0, a = 1, u, v > 0 esetén loga u = loga u − loga v és a hatvány v logaritmusa : a > 0, a = 1, u, v > 0, k ∈ R esetén loga uk = k loga u. 4. Vizsgáljuk meg, milyen kapcsolat van a logaritmusfüggvények között! hatványalak

logaritmusos alak

u = ap

loga u = p

u = bq

logb u = q

u=a =b p

loga ap = loga bq

q

,azaz p loga a = q loga b és mivel loga a = 1, így p = q loga b. Figyelembe véve p és q jelentését: loga u = logb u · loga b, melyet rendezve a logb u =

loga u loga b

különböző alakú logaritmusok közötti összefüggést kapjuk. Például térjünk át 3-as alalog x pú logaritmus függvényről 10-es alapúra ! x −→ log3 x = log10 3 = lg13 lg x (x > 0), azaz 10

5. HIPERBOLIKUS ÉS AREA FÜGGVÉNYEK

39

a 3-as alapú logaritmus függvény a 10-es alapú konstansszorosa lg x lg a

1 lg 3

. Analóg mó-

1 lg a

= lg x (a > 0, a = 1, x > 0); természetesen a 10-es alapú don : x −→ loga x = logaritmusnak nincs kitüntetett szerepe, bármely más alapú logaritmus függvényt is vehettük volna. Tehát a logaritmus függvények halmazának bármely eleme előállítható egy konkrét elemének (példánkban x −→ lg x) c (c = 0) konstansszorosaként.

5. Hiperbolikus és area függvények Ebben a szakaszban olyan, az elemi függvények közé sorolt függvényekkel ismerkedünk meg, melyek nem szerepelnek a közoktatás matematika anyagában, de a későbbi tanulmányokhoz szükségesek. Mielőtt ezeket értelmeznénk előkészítés képpen két lépést teszünk. 1. Az exponenciális függvények esetén az adott a alap tetszőleges pozitív számot jelenthet. Ezen függvényhalmaz egy kitüntetett elemével ismerkedjünk meg! Az a alapnak egy irracionális számot választunk (nem szakaszos, végtelen tizedes törtet), melynek értéke 2 és 3 között van és fontos szerepe lesz az analízis tanulmányokban is. Ezt az irracionális számot e-vel jelölik a matematikusok, melynek közelítő értéke 2,718281828..., Euler-féle számnak is nevezik. Az x −→ ex = f (x) (x ∈ R) függvény az exponenciális függvényeknél az a > 1 esetre leírt tulajdonságokkal rendelkezik. Inverze az x −→ ln x = f (x) (x > 0) (olvasd:elenx) a természetes alapú logaritmus függvény. y

x→ex

x→ln x

e 1 1 e

x

2. A műszaki életben – a középiskolában megismert függvénymegadási, leírási módokon túl – (a fizikában is) fontos szerepet játszik az úgynevezett paraméteres megadási mód. Ez a leírási mód nagyon gyakran nem is függvényt ad meg, hanem görbék egyenletét. Például az x2 + y 2 = 1 kör egyenletét

40

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK x = cos t, y = sin t, ahol 0 ≤ t ≤ 2π egyenletrendszer alakban írhatjuk fel (cos2 t + sin2 t = 1), vagy t −→ v(t) = (cos t) i + (sin t) j. (Például egy test ezen a körpályán mozog, ez a pálya egyenlete, de nem függvény (egyenletes körmozgás: egységnyi szögsebesség, r = 1)!) A t paraméter az elfordulás szöge, de egyben az OP EP körcikk területe is! y P (x, y)

O

t

sinx

(1,0)E

cos x

x

P Vajon mi lehet az x2 −y 2 = 1 hiperbola pályán mozgó tömegpont paraméteres egyenletrendszere? y

P (x, y) t

(1,0)

E x

O P

A P hiperbolapont abszcisszája (x) is, ordinátája (y) is a t paraméter (OP EP idom területe) függvényeként írható fel. Ezen függvények hasonló tulajdonságokat mutatnak a trigonometrikus függvények tulajdonságaihoz, és mivel hiperbola paraméteres előállítását adják, cosinushiperbolikus illetve sinushiperbolikus elnevezéssel illetjük őket. Tehát az x2 −y 2 = 1 hiperbola paramétereselőállítása : x = ch t, y = sh t,melyből t −→ v(t) = = (ch t) i + (sh t) j és ch2 t − sh2 t = 1. Ezeket az új függvényeket már


41

ismert függvényekkel ki tudjuk fejezni. ex − e−x 2 sh x x −→ th x = ch x

ex + e−x 2 ch x x −→ cth x = sh x

x −→ sh x =

x −→ ch x =

A sinushiperbolikus függvény és inverze x

−x

Definíció. Az f :R−→R, x−→f (x)=sh x= e −e hozzárendeléssel megadott 2 függvényt sinushiperbolikus függvénynek nevezzük. ♣ y

1 x→

értelmezési tartomány: paritás:

zérushely: monotonitás: értékkészlet: folytonos.

ex 2

x→sh x

1 2 −x

1x→− e 2 x

Jellemzés x∈R páratlan −x x sh(−x) = f (−x) = e 2−e = x −x = −f (x) = − sh x = − e −e 2 x −x e −e = 0 ⇔ ex − e1x = 0 ⇔ e2x = 1 ⇔ x = 0 2 szigorúan monoton növekvő sh x ∈ R

Az sh x szigorúan monoton növekvő (tehát kölcsönösen egyértelmű), így invertálható.

42


Definíció. A sinushiperbolikus függvény inverzét areasinushiperbolikus függvénynek nevezzük és arsh x-szel jelöljük. ♣ Az inverz képletének meghatározása : ex − e−x 2 2 2ex f (x) = (ex ) − 1

/ · 2ex

f (x) =

0 = (ex )2 − 2ex f (x) − 1 2f (x) ± 4f 2 (x) + 4 = f (x) ± f 2 (x) + 1. (ex )1,2 = 2 Mivel ex > 0, ezért csak a + előjel jöhet szóba, így ex = f (x)+ f 2 (x) + 1, azaz x = ln f (x) + f 2 (x) + 1 . A változók cseréjét elvégezve az sh x inverze: x −→ f (x) = ln x + x2 + 1 arsh x = ln x + x2 + 1 .

Df = R

y x→arsh x 1 1

x→sh x A cosinushiperbolikus függvény és inverze

x

Rf = R

5. HIPERBOLIKUS ÉS AREA FÜGGVÉNYEK x

43 −x

Definíció. Az f :R−→R, x−→f (x)=ch x= e +e hozzárendeléssel megadott 2 függvényt cosinushiperbolikus függvénynek nevezzük. ♣ y

x→ch x =

1

ex +e−x 2

1 2

1

értelmezési tartomány: paritás: monotonitás: értékkészlet: folytonos.

Jellemzés x∈R páros ch(−x) = f (−x) = nem monoton ch x ≥ 1

x

e−x +ex 2

= f (x) = ch x

Trigonometrikus azonosságokkal analóg összefüggések: ch2 x − sh2 x =

4 e2x + e−2x + 2ex e−x e2x + e−2x − 2ex e−x − = = 1, 4 4 4

ch2 x + sh2 x = ch 2x,

sh 2x = 2 sh x ch x.

A bizonyítást az olvasóra bízzuk. Az ch x függvény nem invertálható ! Szűkítsük le az értelmezési tartományát x ≥ 0, így már kölcsönösen egyértelmű. Definíció. Az x ≥ 0-ra leszűkített cosinushiperbolikus függvény inverzét areacosinushiperbolikus függvénynek nevezzük és arch x-szel jelöljük. ♣ A hozzárendelés szabályának levezetését az arsh függvény levezetése alapján az olvasóra bízzuk. Df : x ≥ 1 Rf : f (x) ≥ 0 x −→ f (x) = arch x = ln x + x2 − 1

44


x→ch x

1

x→arch x 1

x

A tangenshiperbolikus függvény és inverze x

−x

sh x e −e Definíció. Az f : R −→ R, x −→ f (x) = th x = ch x = ex +e−x hozzárendeléssel megadott függvényt tangenshiperbolikus függvénynek nevezzük. ♣

y 1 x→th x 1

x

Jellemzés értelmezési tartomány: x ∈ R paritás: páratlan −x x th(−x) = f (−x) = ee−x −e +ex = −x x = − ee−x −e +ex = −f (x) = − th x zérushely: x=0 monotonitás: szigorúan monoton növekvő értékkészlet: −1 < th x < 1 határértéke: −∞-ben -1 ∞-ben 1 folytonos. Az értékkészlet meghatározásához: th x =

2 e2x − 1 e2x + 1 − 2 ex − e−x = = 1 − 2x , innen = 2x x −x e +e e +1 e2x + 1 e +1


45

e2x > 0 e2x + 1 > 1 1 <1 0 < 2x e +1 2 0 > − 2x > −2 e +1 2 > −1 1 >1 − 2x e +1 1 > th x > −1.

Az th x szigorúan monoton növekvő (tehát kölcsönösen egyértelmű), így invertálható. Definíció. A tangenshiperbolikus függvény inverzét areatangenshiperbolikus függvénynek nevezzük és arth x-szel jelöljük. ♣ Az inverz képletének meghatározása :

f (x) = th x =

ex − e−x e2x − 1 = ex + e−x e2x + 1

f (x)e2x + f (x) = e2x − 1 [f (x) − 1] e2x = − [f (x) + 1] f (x) + 1 f (x) + 1 = f (x) − 1 1 − f (x) 1 f (x) + 1 x = ln . 2 1 − f (x)

e2x = −

(f (x) < 1)

Betűcserével: 1 x −→ f (x) = ln 2

x+1 1−x

= arth x

Df = −1 < x < 1

Rf : arth x ∈ R

46


1 x→arth x −1

1 x

A cotangenshiperbolikus függvény és inverze

x

−x

x e +e Definíció. Az f : R −→ R, x −→ f (x) = cth x = ch x = 0 hozzárensh x = ex −e−x deléssel megadott függvényt cotangenshiperbolikus függvénynek nevezzük. ♣

y x→cth x 1 −1

1

x


értelmezési tartomány: paritás:

monotonitás:

értékkészlet: határértéke:

47

Jellemzés x = 0 x ∈ R páratlan −x x cth(−x) = f (−x) = ee−x +e −ex = −x x +e = − ee−x −e x = −f (x) = − cth x nem monoton x < 0-ra szigorúan monoton csökken x > 0-ra szigorúan monoton csökken |cth x| > 1 −∞-ben -1 ∞-ben 1

folytonos.

Az értékkészlet meghatározásához:

cth x =

ex + e−x 2 e2x + 1 e2x − 1 + 2 = = 1 + 2x , innen = 2x x −x e −e e −1 e2x − 1 e −1

1. ha x > 0, akkor

e2x > 1 e2x − 1 > 0 1 >0 e2x − 1 2 >0 2x e −1 2 > 1, cth x = 1 + 2x e −1

/·2 /+1

48

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK 2. ha x < 0, akkor 0 < e2x < 1 −1 < e2x − 1 < 0 1 < −1 2x e −1 2 < −2 e2x − 1 2 cth x = 1 + 2x < −1. e −1

/·2 /+1

Az cth x kölcsönösen egyértelmű, így invertálható. Definíció. A cotangenshiperbolikus függvény inverzét areacotangenshiperbolikus függvénynek nevezzük és arcth x-szel jelöljük. ♣ y x→arcth x 1 −1

1

x

Az inverz képletének meghatározását az olvasóra bízzuk.

x −→ f (x) = arcth x =

1 ln 2

x+1 1−x

Df = |x| > 1

Rf : arcth x = 0

6. NÉHÁNY, AZ ELŐZŐ TÍPUSOKBA NEM TARTOZÓ FÜGGVÉNY

49

6. Néhány, az előző típusokba nem tartozó függvény Előjel függvény Definíció. Az f : R −→ R, x −→ f (x) = sgn x hozzárendeléssel megadott függvényt szignum vagy előjel függvénynek nevezzük, ahol ⎧ ⎪ ,ha x > 0 ⎨1 sgn x = 0 ,ha x = 0 ⎪ ⎩ −1 ,ha x < 0. ♣ y x→sgn x

1 x −1

értelmezési tartomány: zérushely: paritás: monotonitás: értékkészlet: folytonosság: határértéke a 0 helyen:

Jellemzés x∈R x=0 páratlan monoton nő {−1,0,1} a 0 hely kivételével folytonos és jobbról 1 balról -1

Abszolútérték függvény Definíció. Az f :R−→R, x−→f (x)=|x| hozzárendeléssel megadott függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük, ahol x ,ha x ≥ 0 |x| = x ,ha x < 0. ♣

50

II. FEJEZET. FONTOSABB FÜGGVÉNYTÍPUSOK y x→|x| 1 1

értelmezési tartomány: zérushely: paritás: monotonitás:

szélsőérték: értékkészlet: folytonos.

x

Jellemzés x∈R x=0 páros, |−x| = |x| nem monoton x < 0-ra szigorúan monoton csökken x > 0-ra szigorúan monoton növekvő x = 0-ban helyi minimum, f (0) = 0 |x| ≥ 0, alulról korlátos

Az alsó egészrész függvény Definíció. Egy valós szám egész részén azt a legnagyobb egész számot értjük, mely a számnál nem nagyobb. Az f : R −→ R, x −→ f (x) = [x] hozzárendeléssel megadott függvényt egészrész függvénynek nevezzük. ♣ x→[x] 2 1 2 −1

y

1 2 −1

3x

2

értelmezési tartomány: zérushely: monotonitás: értékkészlet: határérték: folytonosság:

Jellemzés x∈R 0≤x<1 monoton nő [x] ∈ Z az egész helyeken nincs határértéke x ∈ Z helyeken jobbról folytonos, Df más helyein folytonos.

6. NÉHÁNY, AZ ELŐZŐ TÍPUSOKBA NEM TARTOZÓ FÜGGVÉNY

51

A törtrész függvény Definíció. Az f :R−→R, x−→f (x)= {x} = x−[x] hozzárendeléssel megadott függvényt törtrész függvénynek nevezzük. ♣ y

x→{x} 1

−2 −1

értelmezési tartomány: zérushely: monotonitás: periodicitás: értékkészlet: határérték: folytonosság:

1 2 3

x

Jellemzés x∈R x∈Z nem monoton periodikus, periódusa: p = 1 0 ≤ {x} < 1, korlátos az egész helyeken féloldali határértéke van csak x ∈ Z helyeken jobbról folytonos, Df más helyein folytonos.

52


III. fejezet

Egyváltozós valós függvények tulajdonságainak definíciói Ebben a fejezetben megadjuk a korábban használt fogalmak pontos definícióit.

1. Zérushely Definíció. Az f : R −→ R függvény zérushelyén az értelmezési tartomány (Df ) azon elemét (elemeit) értjük, amelyhez az f függvény a 0 értéket rendeli. (f (x)= = 0 egyenlet megoldásai) ♣ Példák zérushely meghatározására: 1. f : R −→ R,

f (x) = x2 − 3x − 10

Df : x ∈ R, x2 − 3x − 10 = 0 ⇔ x1 = −2 zérushelyei: x1 = −2 és x2 = 5. 2. f : R −→ R,

f (x) =

∨

x2 = 5. Tehát a függvény

x2 − 25 10 + 3x − x2

– Df meghatározása : 10 + 3x − x2 = 0 azaz x1 = −2, x2 = 5, tehát az értelmezési tartomány: x ∈ R, de x1 = −2, x2 = 5.

54

III. FEJEZET. VALÓS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI – f (x) = 0 egyenlet megoldása : x2 − 25 = 0, azaz x3 = 5 ∨ ahol x3 ∈ / Df , x4 ∈ Df , tehát f (x) zérushelye: x = −5.

x4 = −5,

3. Tekintsük az f (x) = x2 − (a + 1)x + a + 4

f : R −→ R,

másodfokú függvényeket, a ∈ R paraméter! Határozzuk meg az a értékét úgy, hogy a függvénynek két különböző negatív zérushelye legyen ! – Két különböző zérushely van, ha x2 − (a+ 1)x+ a+ 4 = 0 egyenletnek két különböző valós megoldása van. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha az egyenlet diszkriminánsa pozitív: 2

D = [− (a + 1)] − 4 (a + 4) > 0 a2 + 2a + 1 − 4a − 16 > 0 a2 − 2a − 15 > 0 (a + 3) (a − 5) > 0, y −3

5

x

tehát a < −3 vagy 5 < a, – Ha a két zérushely negatív, akkor ezek szorzata pozitív, azaz a+4 > 0 és a zérushelyek összege negatív, azaz a + 1 < 0, amiből a+4 > 0 a > −4 ⇔ ⇔ −4 < a < −1 a+1 < 0 a < −1 M2 M1 −4 −3

−1

0

1

5

a

Mindkét feltétel −4 < a < −3 esetén teljesül, tehát a függvény képletébe ebből a halmazból az a paraméter helyére írt számokkal olyan másodfokú függvényeket kapunk, melyeknek két negatív zérushelye van.

2. PARITÁS

55

4. f : R −→ R,

f (x) = sin 2x + 2 sin x,

Df = R

f (x) = sin 2x + 2 sin x = 0 2 sin x cos x + 2 sin x = 0 sin x (cos x + 1) = 0

sin x = 0 x1 = kπ

cos x + 1 = 0 (k ∈ Z)

tehát a zérushelyek: x = kπ

cos x = −1 x2 = π + 2lπ

(l ∈ Z),

(k ∈ Z).

2. Paritás Definíció. Az f : R −→ R, nevezzük, ha

x −→ f (x) függvényt párosnak illetve páratlannak

1. ∀x ∈ Df esetén −x ∈ Df is teljesül és 2. ∀x ∈ Df esetén f (−x) = f (x) illetve f (−x) = −f (x). ♣ Páros függvények például: x−→x2 , x−→cos x. Páratlan függvények például: x −→ x3 , x −→ sin x, x −→ x1 . Vigyázat! Nem lehet minden függvényt a páros vagy páratlan függvények osztályába sorolni, a függvények többségének nincs 2 paritása. Ilyen függvények például: x −→ 2x , x −→ sin x + π3 , x −→ (x + 1) −2. Ha az egyváltozós valós függvénynek felrajzolható a grafikonja és a függvény páros, akkor a grafikon szimmetrikus az y tengelyre; ha az egyváltozós valós függvénynek felrajzolható a grafikonja és a függvény páratlan, akkor a grafikon középpontosan szimmetrikus az O origóra.

56

III. FEJEZET. VALÓS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI y y x→f (x)

x→f (x)

f (x)

−x

x

x

−f (x) f (x)=−f (x)

−x

x

x

Megjegyezzük, hogy például a Dirichlet-függvény (ejtsd: dirislé) 1 ha x ∈ Q f : R −→ R, f (x) = 0 ha x ∈ Q∗ . páros, de grafikonja nem elkészíthető. Példák paritásvizsgálatra 1. f : R −→ R,

Df = R,

f (−x) =

x −→ f (x) =

3−x − 1 = 3−x + 1

3x − 1 . 3x + 1

1 3x 1 3x

− 1 1 − 3x = = + 1 1 + 3x 3x − 1 =− x = −f (x) ∀x ∈ Df esetén, 3 +1

tehát a függvény páratlan. 2. f : R −→ R,

x −→ f (x) =

sin x + tg x . sin x − tg x

Először az értelmezési tartományt állapítjuk meg. A tg x értelmezési tartománya : x = π2 + kπ k ∈ Z és a nevező nem lehet nulla : 0 = sin x − tg x = sin x −

sin x sin x cos x − sin x sin x (cos x − 1) = = , cos x cos x cos x

3. PERIODICITÁS

57

azaz sin x = 0 azaz x = kπ és cos x − 1 = 0 azaz x = 2kπ, összefoglalva : Df : x ∈ R,

x = k

π 2

k∈Z

Az értelmezési tartomány a valós számoknak olyan részhalmaza, mely a nullára szimmetrikus, tehát ∀x ∈ Df esetén −x ∈ Df teljesül. f (−x) =

sin (−x) + tg (−x) − sin x − tg x sin x + tg x = = = f (x) ∀x ∈ Df , sin (−x) − tg (−x) − sin x + tg x sin x − tg x

felhasználva a sin, tg függvények páratlanságát és (−1)-gyel bővítve, tehát kapjuk, hogy f páros. 3. f : R −→ R, Df = R

√ x −→ f (x) = x 3 x + 2 sin x.

√ f (−x) = (−x) 3 −x + 2 sin(−x) = √ f (x) ⇒ f nem páros 3 = x x − 2 sin x = f (−x) ⇒ f nem páratlan

4. f : R −→ R,

√ x −→ f (x) = x2 x + 1.

Df : x ≥ −1, amely esetén nem tejesül, hogy x ∈ Df esetén −x is eleme Df , tehát ez a függvény se nem páros, se nem páratlan.

3. Periodicitás Definíció. Az f : R −→ R, x −→ f (x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan p ∈ R+ szám, hogy 1. ∀x :

x ∈ Df ⇒ (x + p) ∈ Df ,

2. ∀x ∈ Df :

f (x) = f (x + p).

Ha egy függvényhez van ilyen p szám, akkor nyilván kp (k ∈ Z) is ilyen tulajdonságú. A definíciónak eleget tevő legkisebb p(> 0) számot a függvény periódusának nevezzük. ♣ Periodikus függvények például:

58

III. FEJEZET. VALÓS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI sin 2π

Függvények periódusuk

cos 2π

tg π

ctg π

{x} 1

1

x

−1

x+2

y

2

3

4

x

Példák periodicitás vizsgálatra 1.

π + 5 Df = R x −→ f (x) = sin 3x − 2 Tudjuk, hogy a sinus függvény 2π szerint periodikus: sin(x + 2π) = sin x (x ∈ R). Keressük azt a p > 0 számot, melyre ∀x ∈ R esetén π π + 5 = sin 3x − + 5 = f (x), azaz f (x + p) = sin 3 (x + p) − 2 2

π π sin 3 (x + p) − = sin 3x − = 2 2 felhasználva a sin periodicitását írhatjuk, hogy

2π π π − . = sin 3x − + 2π = sin 3 x + 2 3 2 f : R −→ R,

A bal- és jobboldal összehasonlításával megállapítható, hogy a függvény periodikus és periódusa : p = 2π 3 . Felhívjuk a figyelmet, hogy ez az f függvény a sinus függvényből lineáris transzformációval ábrázolható (lásd: V fejezet). A transzformációs lépésekből csak az x tengely irányú nyújtás-zsugorítás változtat egy periodikus függvény periódusán. Itt a transzformációs lépések: sin x, sin 3x (x tengely

irányú 13 -szoros „zsugorítás”), sin 3 x − π6 (x tengely irányú π6 -tal való eltolás). Mint látható, az x tengely irányú zsugorítás a periódust is harmadára változtatja. 2. f : R −→ R,

x −→ f (x) = cos2 x

Df = R.

A függvény képletét át kell alakítanunk a periodicitás vizsgálatához, mert egy hatványfüggvény külső függvényű összetett függvény adja meg a hozzárendelési szabályt (lásd: IV fejezet). Hívjunk segítségül cos2 x-et tartalmazó trigonometrikus összefüggéseket! cos2 x + sin2 x = 1,

cos2 x − sin2 x = cos 2x.

3. PERIODICITÁS

59

A két összefüggés összeadásával első hatványon levő trigonometrikus függvény segítségével fejezhetjük ki a cos2 x-et: 2 cos2 x = 1 + cos 2x 1 1 cos2 x = + cos 2x 2 2 Ebből az alakból akár lineáris transzformációval is ábrázolható a cos2 x, melynek lépései: cos x, cos 2x, 12 cos 2x, 12 + 12 cos 2x. Az első transzformációs lépésről megállapítható, hogy a cos2 x függvény periódusa a cos periódusának fele, tehát p = π. 3. f : R −→ R, x −→ f (x) = sin 4x − tg 2x + 1 π π π k ∈ Z. Df : 2x = + kπ, azaz x = + k 2 4 2 Az x −→ sin 4x = sin (4x + 2kπ) = sin 4 x + k π2 k ∈ Z, tehát a sin 4x periódusa p1 = π2 . k ∈Z, tehát a tg 2x periódusa Az x−→tg 2x=tg (2x + kπ)=tg 2 x + k π2 p2 = π2 . Így az x −→ sin 4x − tg 2x + 1 periódusa p = π2 . 4. f : R −→ R,

x x −→ f (x) = sin ax − cos , a ∈ R+ adott Df = R. a

f (x) = sin ax − cos

x x = sin (ax + 2kπ) − cos + 2lπ = a a 2π 1 = sin a x + k − cos (x + 2lπa) a a

k, l ∈ Z.

2 Ha van olyan k, l ∈ Z, hogy k 2π a = 2lπa, azaz k = a l, akkor periodikus. √ 2 ∈ Q+ racionális szám. Például a = 2 Ez pontosan akkor áll fenn, ha a√ √ 4 / Q+ , azaz ebben az esetén a2 = 2 ∈ Q+ , viszont a = 2 esetén a2 = 2 ∈ esetben f nem periodikus.

60

III. FEJEZET. VALÓS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI

4. Monotonitás Definíció. Az f : R −→ R, x −→ f (x) függvényt monoton növekedőnek illetve monoton csökkenőnek nevezzük, ha az értelmezési tartomány minden olyan x1 , x2 elemére, amelyre x1 < x2 , fennáll, hogy f (x1 ) ≤ f (x2 ) illetve f (x1 ) ≥ f (x2 ) Jelöléssel: ∀x1 , x2 ∈ Df :

x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) illetve f (x1 ) ≥ f (x2 ).

Ha a fentiekben az egyenlőséget nem engedjük meg, akkor f (x1 ) < f (x2 ) illetve f (x1 ) > f (x2 ). Ekkor a függvényt szigorúan monoton növekvőnek illetve szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük. ♣ Monoton függvények például: x −→ 5x (szigorúan monoton növekvő), x −→ log 13 x, x>0 (szigorúan monoton csökkenő), x −→ [x] (monoton növekvő), x −→ x3 (szigorúan monoton növekvő). Vigyázat! A x −→ x1 , x = 0 nem monoton! 0 < x1 < x2 esetén f (x1 ) = x11 > noton csökkenő.

1 x2

= f (x2 ), tehát pozitív x-ekre szigorúan mo-

x1 < x2 < 0 esetén f (x1 ) = x11 > x12 = f (x2 ), tehát negatív x-ekre is szigorúan monoton csökkenő, de például x1 = −1 < 2 = x2 esetén f (x1 ) = −1 <

1 2

= f (x2 ) áll fenn.

Van tehát definíciónk a függvények monotonitására, de a monotonitás vizsgálatára vonatkozó ismereteinket később bővítjük. A monotonitás a függvény változásának egyfajta jellemzése. A változás minőségét (nő, csökken) fogalmazzák meg a definíciók, a függvény változásának (monotonitásának) mértékére nem adnak felvilágosítást. x a függvény? 1 x Gondoljunk x Milyen mértékben nő, csökken exponenciális például az x −→ 32 , x −→ 10x vagy az x −→ 23 , x −→ 10 függvényekre, vagy ezek inverzeire, az ugyanilyen alapú logaritmus függvényekre! y y x→

x→

1 10

x

2 x 3

x→10x

1 1

x→

1 1

x

1

1

3 2

x

x

4. MONOTONITÁS

61

y

y

x→log 3 x 2

1

x→lg x

1

1

1

x x→log

1 10

x

x

x→log 2 x 3

A grafikonról tudunk pillanatnyilag „olvasni”. Szemléletünk alapján mondhatjuk: a növekedés illetve fogyás mértéke különböző. Azt mondanánk, hogy például a 3-as alapú exponenciális függvény „gyorsabban nő”, mint a kettes alapú. A 10-es alapú „még gyorsabban nő”. Az analízis témaköreinek tárgyalása során tudjuk majd ezeket a kérdéseket vizsgálni. Néhány példa monotonitás vizsgálatára: 1. f : R −→ R,

x −→ f (x) = 2x − 3

Df = R.

Legyen x1 < x2 (x ∈ R)! Vizsgáljuk az f (x2 ) − f (x1 ) különbséget ! f (x2 )−f (x1 ) = 2x2 −3−(2x1 − 3)= 2 (x2 − x1 ) > 0 az x1 < x2 feltétel miatt. Rendezve f (x2 ) > f (x1 ), azaz az f függvény szigorúan monoton növekvő. A növekedés mértéke: f (x2 ) − f (x1 ) 2x2 − 3 − (2x1 − 3) 2 (x2 − x1 ) = = = 2, x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 tehát az x −→ 2x − 3 függvény esetén bármely [x1 , x2 ] intervallumon a függvény változásának mértéke kettő, „egyenlő hosszúságú lépésekre” a függvény ugyanannyival nő. (Gondoljon az egyenes vonalú egyenletes mozgásra ! A t −→ 2t − 3 = s(t) hely-idő függvénnyel leírt ilyen mozgás esetén a sebesség kettő. Ha egy egyenes vonalú – nem egyenletes – mozgás sebességfüggvénye a t −→ 2t − 3 = v(t) függvény, akkor a gyorsulás kettő.) 2. Igazoljuk, hogy az x −→ sin x függvény a − π2 , π2 intervallumon szigorúan monoton növekvő!

62

III. FEJEZET. VALÓS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Azt kell belátni, hogy tetszőleges − π2 < x1 < x2 < π2 esetén sin x1 < sin x2 . Utóbbi egyenlőtlenséget átrendezett alakban bizonyítjuk: sin x2 −sin x1 > > 0. Különbség pozitív voltát nehéz megmutatni, szorzatét a tényezők előjeléből könnyebb. Próbáljuk tehát szorzattá alakítani! A két szög összege és különbsége sinusára van olyan összefüggés, melyben trigonometrikus szorzatok szerepelnek. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β Az elsőből a másodikat kivonva sinusok különbségét szorzat alakban kapjuk. sin(α + β) − sin(α − β) = 2 cos α sin β Feladatunkban az α + β-nak x2 , α − β-nak x1 felel meg, ebből α, β meghatározható. ⎫ x1 + x2 ⎪ ⎬ α= α + β = x2 + 2α =x1 + x2 2 ⇔ ⇔ x2 − x1 ⎪ α − β = x1 − 2β =x2 − x1 ⎭ β= 2 2 1 sin x2 −x . Tehát sin x2 − sin x1 = 2 cos x1 +x 2 2

A feltétel szerint: − π2 < x1 < π2 , − π2 < x2 < π2 , ezért −π < x1 + x2 < π, 2 < π2 , mely szögek cosinusa (a cos értelmezése alapján) azaz − π2 < x1 +x 2 x1 +x2 pozitív, tehát cos 2 > 0. A feltételi egyenlőtlenségekből − π2 < x1 < x2 < 1 < π2 (x1 = x2 ), mely szögek sinusa < π2 ⇔ 0 < x2 −x1 < π, tehát 0 < x2 −x 2 1 (ugyancsak az értelmezésből) pozitív, tehát sin x2 −x > 0. 2 A szorzat mindkét tényezője pozitív, így a szorzat is az, vagyis sin x2 − − sin x1 > 0. 3. Igazoljuk, hogy az x −→ x3 = f (x) függvény szigorúan monoton növekvő! „Ha x1 < x2 (x1 , x2 ∈ R), akkor x1 3 < x2 3 , vagy 0 < x2 3 −x1 3 ” állítást kell belátni! Itt is alakítsunk szorzattá, majd egészítsünk ki teljes négyzetté! x2 3 − x1 3 = (x2 − x1 ) x2 2 + x1 x2 + x1 2 = x1 2 3 2 = (x2 − x1 ) x2 + + x1 > 0, 2 4 mert az első tényező a feltétel miatt, a második tényező mindkét tagja az x −→ x2 függvény értékkészlete miatt pozitív.

5. SZÉLSŐÉRTÉK

63

5. Szélsőérték Kétféle szélsőértéket – maximumot, minimumot – különböztetünk meg : abszolút maximumot, abszolút minimumot, mely a függvénynek az értelmezési tartományán felvett legnagyobb illetve legkisebb értéke (ha léteznek), valamint a helyi maximumot illetve a helyi minimumot. Utóbbiak az x0 helyen felvett függvényértéket hasonlítják össze az x0 környezetében felvett függvényértékekkel. Definíció. Az f : R −→ R, x −→ f (x) függvénynek az x0 ∈ Df helyen abszolút maximuma illetve minimuma van, ha az értelmezési tartomány bármely x0 -tól különböző x elemére (∀x ∈ Df \{x0 }) fennáll: f (x) ≤ f (x0 ) illetve f (x) ≥ f (x0 ). ♣ Definíció. Az f :R−→R, x−→f (x) függvénynek x0 ∈Df helyen helyi (lokális) maximuma illetve minimuma van, ha van x0 -nak olyan δ(> 0) sugarú környezete, hogy bármely, a függvény értelmezési tartományának e környezetbe eső x elemére (∀x ∈ Df és x0 −δ < x < x0 +δ) fennáll: f (x) ≤ f (x0 ) illetve f (x) ≥ f (x0 ). ♣ y f (x2 ) f (x0 )

(x ) 2

x

x2 + δ3

1

x2 − δ3

(x )

x1 + δ2

f (x1 )

x1 − δ2

0

x0 + δ1

x0 − δ1

(x )

Van tehát definíció a függvény szélsőértékeivel kapcsolatban, de hasonlóan a monotonitáshoz, vizsgálatára ismereteink szintén korlátozottak. Több esetben a grafikon segít csak pillanatnyilag illetve az alapfüggvények tulajdonságaira hivatkozva állapítunk meg helyi szélsőértéket. A helyi szélsőérték vizsgálatához bármely – deriválható – egyváltozós valós függvény esetén az analízis fogalmaira, tételeire van szükség. Helyi szélsőértékkel rendelkező függvényekre példák x −→ x2 = f (x) x ∈ R függvénynek x = 0-ban helyi minimuma van, f (0) = 0 a minimum érték, ez egyben abszolút minimum is, mivel ∀x ∈ R x2 ≥ 0. Helyi és abszolút maximuma nincs. 2 x −→ − (x + 3) +2 = f (x) x ∈ R függvénynek az x = −3 helyen helyi maximuma van, f (−3) = 2 a maximum érték, ez egyben abszolút maximum is, mivel x ∈ R f (x) ≤ 2. Helyi és abszolút minimuma nincs.

64

III. FEJEZET. VALÓS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Néhány példa szélsőérték meghatározásra 1. Határozzuk meg az x −→ x2 +(3 − x)2 = f (x) helyeit !

x ∈ R függvény szélsőérték-

A függvény képletét átalakítjuk: elvégezve a műveleteket, teljes négyzetté kiegészítve a másodfokú függvény transzformációs alakját kapjuk. Erről leolvasható a szélsőérték. 2 f (x) = x2 + (3 − x) = x2 + 9 − 6x + x2 = 2x2 − 6x + 9 = 2 x2 − 3x + 9 = 2 2 2 3 3 9 9 9 3 +9 = 2 x− − − +9 = 2 x− + = 2 x− 2 4 2 2 2 2 A függvénynek (az a (x − u)2 + v alakkal összehasonlítva) az x = 32 helyen van helyi szélsőértéke, ez helyi minimum, mert a=2 (pozitív) és a minimum értéke f ( 32 ) = 92 . √ 2. Határozzuk meg az x −→ cos x+ 3 sin x = f (x) tékhelyeit !

x ∈ R függvény szélsőér-

A megadott hozzárendelési mód nem alkalmas arra, hogy a sinus és cosinus függvények szélsőértékeit fel tudjuk használni. Alakítsuk át úgy a képletet, hogy vagy csak sinus, vagy csak cosinus legyen benne! A cos x √ √ együtthatója 1, a sin x-é 3 ; ha ezek helyett 12 illetve 23 állna, ezeket nevezetes szögek sinusának illetve cosinusának tekintve az addíciós tételeket alkalmazva elérhető a kívánt helyzet. Szorozzunk és osszunk 2-vel: √ 3 1 cos x + 3 sin x = 2 cos x + sin x = 2 2 π π π = 2 sin cos x + cos sin x = 2 sin x + vagy 6 6 6 √ 1 π π π 3 2 cos x + sin x = 2 cos cos x + sin sin x = 2 cos x + . 2 2 3 3 3 √

Az első alakból a sinus helyi szélsőértékeit tudva kapjuk, hogy f (x)-nek helyi maximuma van, ha x + π6 = π2 + 2kπ maximum értéke f ( π3 + 2kπ) = 2 és

k ∈ Z, tehát x =

π 3

+ 2kπ,

5. SZÉLSŐÉRTÉK

65

helyi minimuma van, ha x + π6 = 3π 2 + 2kπ minimum értéke f ( 4π + 2kπ) = −2. 3

k ∈ Z, tehát x =

4π 3

+ 2kπ,

Természetesen a második alakból a cosinus szélsőértékeinek ismeretében ugyanerre az eredményre jutunk. Ennek ellenőrzését az olvasóra bízzuk. 3. Határozzuk meg az x −→ f (x) = és legnagyobb értékeit !

2x2 −9x−11 x2 −5x−6

0 ≤ x ≤ 5 függvény legkisebb

A megadott függvény racionális törtfüggvény, a számláló és a nevező is másodfokú polinom, azaz a tört nem valódi tört. Írjuk fel egy racionális egész és egy valódi tört összegeként! Alakítsuk át a számlálót úgy, hogy szerepeljen benne a nevező kétszerese, ekkor alkalmas csoportosítás után tagonként osztva elérjük a kívánt alakot. Megvizsgáljuk még a törtegyszerűsítés lehetőségét is. 2x2 − 9x − 11 2x2 − 10x − 12 + x + 1 2 x2 − 5x − 6 + (x + 1) = = = f (x)= 2 x − 5x − 6 x2 − 5x − 6 x2 − 5x − 6 x+1 x+1 1 = 2+ 2 = 2+ = 2+ 0 ≤ x ≤ 5. x − 5x − 6 (x + 1) (x − 6) x−6 A átalakítással nyert függvényképletben felismerhetjük, hogy az x −→ transzformáltja.

1 x

y

2 1 1

5

6

x

A függvény a [0,5] intervallumon szigorúan monoton csökken, tehát a legnagyobb értéket az intervallum bal végpontjában (x = 0), a legkisebb értéket az intervallum jobb végpontjában (x = 5) helyen veszi fel: fmax (0) = 1 1 = 11 = 2 + −6 6 és fmin (5) = 2 + −1 = 1.

66

III. FEJEZET. VALÓS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI 4. A t területű körcikkek közül melyiknek a kerülete minimális? Mekkora ez a minimális kerület ?

α r t i = rα A körcikkeket a sugár (r > 0) és a középponti szög (0◦ < α < 360◦ ) határozza meg. Adott a körcikkek területe (0 < t), és keressük ezek közül azt, amelynek k kerülete minimális. A kerület: k(r, α) = rα + 2r r-nek és α-nak is függvénye, tehát kétváltozós függvény, melynek szélsőértékét keressük. A két változó egymástól 2 nem függetlenül változik, mindig ugyanakkora t = r 2α területű körcikket határoznak meg, így az utóbbi összefüggés felhasználásával k(r, α)-t egyváltozós valós függvényként írhatjuk fel. t = r2 α2 ⇒ α = r2t2 , ezt helyettesítjük k(r, α)-ba ! Helyettesítsük! k(r) = r r2t2 +2r = 2t r +2r egyváltozós valós függvény szélsőértékét kell megkeresni, melynek értelmezési tartománya r > 0, és t adott pozitív szám. (Gondolja meg, hogy ez a függvény nem más, mint az x −→ f (x) = 2t x + +2x x > 0, t > 0 adott!) Ezen függvény az r −→ 1r számszorosának és az r −→2r függvénynek az összege. Ábrázolni nem tudjuk, a tanult függvénytípusok szélsőértékkel kapcsolatos tulajdonságait nem tudjuk felhasználni. Mivel r>0, a függvény képletében két pozitív szám összege szerepel, ennek kell a minimumát, a legkisebb értékét meghatározni, próbáljuk alulról becsülni. Pozitív számok számtani és mértani közepe közötti összefüggéssel √ ab) próbálkozzunk! (a, b > 0 esetén a+b 2 ≥ k 1 = 2 2

√ 2t 2t + 2r ≥ 2r = 2 t r r

√ A k2 akkor minimális, ha egyenlőség áll fenn, ha értéke 2 t, ezért a kör√ cikkek kerületének minimális értéke kmin = 4 t. Keressük meg a minimum helyét!

6. KORLÁTOSSÁG 2t r +2r=4

67

√ t egyenletből törteltávolítás, 2-vel való egyszerűsítéssel kapjuk: √ t + r2 = 2r t √ r2 − 2r t + t = 0 √ 2 r− t = 0 √ r= t

a minimum helye; az α = r2t2 = 2 radián. √ Tehát a t területű körcikkek közül az r = t sugarú α = 2 (radián) középponti szögűnek a kerülete minimális.

6. Korlátosság Definíció. Az f :R−→R, x−→f (x) függvényt a Df értelmezési tartományán alulról illetve felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k illetve K valós szám, hogy bármely x ∈ Df esetén k ≤ f (x) illetve K ≥ f (x) teljesül. Az alulról és felülről is korlátos függvényt korlátos függvénynek nevezzük. ♣ Megjegyzések 1. Ha f : R −→ R, x −→ f (x) függvény korlátos, akkor elegendő az egyik korlát megadása, mert M = max {|k| , |K|} választással ∀x ∈ Df -re teljesül, hogy −M ≤ f (x) ≤ M , azaz |f (x)| ≤ M . 2. Korlátos függvény grafikonja az y = k és y = K egyenesek által határolt, x tengellyel párhuzamos sávban van. y K f : [a, b]→R

k a

b x

3. Úgy is fogalmazható a korlátosság definíciója, hogy x −→ f (x) függvény korlátos, ha értékkészlete korlátos halmaz.

Alulról korlátos függvény például: x−→x2 , mert ∀x∈R-re x2 ≥0 ; az x−→ch x, mert ∀x ∈ R-re ch x ≥ 1, felülről egyik sem korlátos. 4 Felülről korlátos függvény például: ∀x ∈ R-re −x4 ≤ 0 ; x −→ − 1 x x −→ −x 1,mert x 1 x − 3 , mert ∀x∈R-re 3 > 0, így − 3 < 0, alulról egyik sem korlátos.

68

III. FEJEZET. VALÓS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI

Korlátos függvények például: x −→ cos x, mert ∀x ∈ R-re −1 ≤ cos x ≤ 1 ; x −→ arctg x, mert ∀x ∈ R-re − π2 < arctg x < π2 . sem alulról, sem felülről nem korlátos függvények például: x−→3x−1 (x∈R), x −→ log 13 x (x > 0), x −→ tg x (x = π2 + kπ (k ∈ Z)) Az értékkészlet meghatározására, így a korlátosság megállapítására sok esetben eddigi ismereteink nem elegendőek. Az analízis lesz majd későbbiekben segítségünkre. Példák korlátosság vizsgálatra 1. Korlátos-e az f :R−→R,

x−→f (x)=2 sin x − π3 −3 függvény? (Df =R)

−1 ≤ sin x ≤ 1 π −1 ≤ sin x − ≤1 3π ≤2 −2 ≤ 2 sin x − 3 π − 3 ≤ −1 −5 ≤ 2 sin x − 3 Tehát a függvény korlátos, mert van olyan k = −5, K = −1 valós szám, hogy bármely x ∈ R-re −5 ≤ f (x) ≤ −1 fennáll. 2. Korlátos-e az f :R−→R,

x−→f (x)= 3 ch (x + 1)−4 függvény? (Df = R) 1 ≤ ch x 1 ≤ ch (x + 1) 3 ≤ 3 ch (x + 1) −1 ≤ 3 ch (x + 1) − 4

A függvény alulról korlátos, mert van olyan k = −1 valós szám, hogy bármely x ∈ R-re −1 ≤ f (x) fennáll. 1 3. Korlátos-e az f : R −→ R, x −→ f (x) = 1+x 2 függvény? (Df = R) A függvény értékei az értelmezési tartományán pozitívak, így k = 0 alsó 1 1 korlátja ; felülről is korlátos, mert 1+x 2 ≤ 1+0 = 1 teljesül bármely x ∈ Df 1 esetén. Tehát 0 < 1+x2 ≤ 1 ∀x ∈ R-re, így a függvény korlátos.

IV. fejezet

Műveletek függvényekkel A függvénytípusok felelevenítése, valamint a tulajdonságok átismétlése során is végeztünk az egyváltozós valós függvényekkel különböző műveleteket. Ebben a fejezetben ezek definícióit adjuk meg.

1. Leszűkítés, kiterjesztés Definíció. Legyen f : A(⊆ R) −→ R és B ⊂ A! A g : B −→ R függvényt az f függvény leszűkítésének nevezzük, ha ∀x ∈ B esetén g(x) = f (x). Az f függvény ekkor a g függvény kiterjesztése. ♣ Például: x −→ x2 = f (x) (x ∈ R) függvény leszűkítettje az x −→ x2 = = g(x) (x ≥ 0) függvény és g kiterjesztettje f .

Néhány példa leszűkítésre 1 1. Adjuk meg az x −→ x+1 − 2 = f (x) amelyik szigorúan monoton !

(x = −1) függvény olyan leszűkítését,

70

IV. FEJEZET. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL y 1 x→ x+1 −2

−1

1 1

x

Végtelen sok megoldás lehet, ha az x > −1 ∨ x < −1 számhalmazban veszünk fel intervallumokat, ezekre leszűkítve a kapott függvény szigorúan monoton csökkenő. Például: 1 1 −2=g1 (x) (x>−1) és g2 :x−→ x+1 −2=g2(x) (−3≤x<−1) g1 :x−→ x+1 1 − 2 = g1 (x) x+1 1 − 2 = g2 (x) g2 : x −→ x+1

g1 : x −→

(x > −1) (−3 ≤ x < −1)

2. Milyen kapcsolat van a következő két függvény között ? x−1 = f (x) (Df = R \ {0,1}) és x2 − x 1 g : x −→ = g(x) (Df = R \ {0}) x

f : x −→

Az f értelmezési tartományán , azaz x = 0 és x = 1 esetén teljesül, hogy f (x) =

x−1 x−1 1 = = = g(x), 2 x − x x (x − 1) x

y

y

1

1 1 x→f (x)

x

1 x→g(x)

x

2. ÖSSZEG, SZORZAT, HÁNYADOS

71

tehát az f a g függvény leszűkítettje, g az f kiterjesztése. 3. Milyen kapcsolat van a következő két függvény között ? f : x −→ lg x2 = f (x) (x = 0) és g : x −→ 2 lg x = g(x) (x > 0) A g értelmezési tartományán, azaz x > 0-ra tejesül, hogy f (x) = lg x2 = = 2 lg x = g(x), tehát a g függvény az f függvény leszűkítettje, f a g kiterjesztése. y 1

y

x→f (x)

x→g(x)

1

1

1

x

x

2. Összeg, szorzat, hányados Definíció. Legyen f : Df −→ R , g : Dg −→ R függvény! Az f és g függvények összegén, szorzat án és hányadosán azt a h, k és l függvényt értjük, melyek értelmezési tartománya Dh = Df ∩Dg , Dk = Df ∩Dg , Dl = Df ∩Dg \ \ { x | g(x) = 0, x ∈ Dg } és hozzárendelési szabálya : h(x) = (f + g) (x) = f (x) + g(x)

x ∈ Dh

k(x) = (f · g) (x) = f (x) · g(x) f f (x) l(x) = (x) = g g(x)

x ∈ Dk x ∈ Dl . ♣

Megjegyzések – A függvények összege, szorzata tetszőleges, véges számú összeadandóra illetve tényezőre is kiterjeszthető. – A szorzást nem definiáltuk külön a skalárral való szorzás esetére, hiszen az x −→ c ∈ R, x ∈ R) függvénnyel való szorzásnak tekinthető.

(c ∈

– A függvények különbségét sem adtuk meg a definícióban, hiszen a (-1)-gyel (konstans függvénnyel) való szorzás és az összeadás műveletére visszavezethetjük. (f − g) (x) = (f + (−g)) (x) = f (x) + (−g) (x) = f (x) − g(x)

72

IV. FEJEZET. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL Néhány példa a definiált műveletekre 1. Legyen 1 1 (x = 0) és g : x −→ x − x x Adjuk meg a h1 = f + g és a h2 = f − g függvényeket ! Dh1 = Dh2 = Df ∩ Dg = R \ {0} . f : x −→ x +

(x = 0)!

1 1 + x − = 2x x x 1 1 2 h2 (x) = (f − g) (x) = f (x) − g(x) = x + − x − = x x x

h1 (x) = (f + g) (x) = f (x) + g(x) = x +

y

y

1

1

x→h1 (x)

1

1

x

x→h2 (x)

2. Legyen f : x −→ x2 − 9

(x ∈ R)

g : x −→

és

1 x−3

(x = 3)!

Adjuk meg a k = f g függvényt ! Dk = Df ∩ Dg = R \ {3} . k(x) = (f · g) (x) = f (x) · g(x) = 1 (x + 3) (x − 3) = x2 − 9 = = x+3 x−3 x−3 y

x→k(x)

1 1

x

x = 3.

x

2. ÖSSZEG, SZORZAT, HÁNYADOS

73

3. Legyen f : x −→ sin x Képezzük a k = f g és l =

(x ∈ R) f g

g : x −→ x

és

(x ∈ R)!

függvényeket !

Dk = R

k(x) = (f · g) (x) = f (x) · g(x) = x sin x f f (x) sin x = l(x) = (x) = g g(x) x

Dl = R \ {0}

y x→k(x)

1

x 2π

π

y

x→l(x)

1 x −π

π

2π

4. Döntse el melyik igaz, melyik hamis az alábbi állítások közül! Miért ? (a) Két páratlan függvény összege páratlan, szorzata páros. Megoldás Legyen f :R−→R páratlan, g :R−→R páratlan! Összegük illetve szorzatuk: x −→ h(x) = (f + g) (x) = f (x) + g(x) Dh = Df ∩ Dg x −→ k(x) = (f · g) (x) = f (x) · g(x) Legyen x ∈ Dh tetszőleges! h(−x) = (f + g) (−x) = f (−x) + g(−x) = = −f (x) − g(x) = − [f (x) + g(x)] = −h(x), mivel f, g páratlan, tehát h = f + g páratlan. k(−x) = (f · g) (−x) = f (−x) · g(−x) = = [−f (x)] [−g(x)] = f (x)g(x) = k(x), tehát k = f g páros. Az állítás igaz.

74

IV. FEJEZET. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL (b) Egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan. Megoldás Legyen f : R −→ R páros, g : R −→ R páratlan! Szorzatuk: x −→ k(x) = (f · g) (x) = f (x) · g(x)

x ∈ Df ∩ Dg = Dk

Legyen x ∈ Dk tetszőleges! k(−x) = (f · g) (−x) = f (−x) · g(−x) = = f (x) [−g(x)] = − [f (x)g(x)] = −k(x), mivel f páros és g páratlan. Tehát k páratlan, így ez az állítás is igaz.

3. Összetett függvény Definíció. A Df értelmezési tartományú f külső és a Dg értelmezési tartományú g belső függvényből álló f ◦ g (olvasd: f kör g) összetett függvényen azt a h függvényt értjük, melynek 1. értelmezési tartománya a g belső függvény Dg értelmezési tartományának azon részhalmaza, amelyhez tartozó g(x) értékek elemei az f külső függvény Df értelmezési tartományának (jelöléssel: Dh=f ◦g = { x ∈ Dg | g(x) ∈ Df }) és 2. az összetett függvény értéke ilyen x ∈ Dh -ra : h(x) = (f ◦ g) (x) = f [g(x)], azaz a külső f függvény értéke a g(x) helyen. ♣ A jobb megértés érdekében szemléltessünk halmazokkal: Dg Rg Rf g x0

g(x0 ) = u0

x1

g(x1 ) = u1

f (g(x2 ))=h(x2 ) f (g(x))=h(x)

x2 g(x2 ) = u2 f (u3 )

x g(x) = u

Df ◦g u3

Df

f

Rf ◦g

3. ÖSSZETETT FÜGGVÉNY

75

Az összetett függvény helyett használjuk a közvetett függvény elnevezést is. Példák összetett függvényre 1. Legyen g : x −→ sin x x ∈ R, f : u −→ log2 u h(x) = (f ◦ g) (x) = log2 sin x függvényt !

u > 0 ! Vizsgáljuk a

Vegyünk néhány példát a hozzárendelésre! ⎫ π π ⎬ −→ sin =1 π 2 2 2 −→ 0 1 −→ log2 1 = 0⎭ ⎫ π 1 π ⎪ ⎬ −→ sin = 6 6 2 π 6 −→ −1 1 1 ⎪ ⎭ −→ log2 = −1 2 2 π π 1 − −→ sin − =− 6 6 2 1 1 1 / Df , − −→ log2 − nem létezik, mert− ∈ 2 2 2 tehát a − π6 ∈ / Dh=f ◦g . √ 4π 3 4π −→ sin =− 3 3 2 √ √ √ 3 3 3 −→ log2 − ∈ / Df , nem létezik, mert− − 2 2 2 tehát a

4π 3

∈ / Dh=f ◦g .

Nézzük meg grafikonon is! y u

1

1 1 2

−π

− π2

−1

u→log2 u=f (u)

x→sin x=g(x)=u 4π 3 π 6

π 2

π

2π 3π 2

x

−1 −1

1 2

1

u

76

IV. FEJEZET. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL f : u −→ log2 u = f (u) értelmezési tartomány: u > 0 értékkészlet: f (u) ∈ R

g : x −→ sin x = g(x) = u értelmezési tartomány: x ∈ R értékkészlet: −1 ≤ u ≤ 1

x −→ sin x =u

x −→ log2 sin x = h(x)

u −→ log2 u = f (u)

Az első hozzárendeléssel kapott (x −→ sin x = u) függvényértékeket „áttettük” a másik függvény (u −→ log2 u) értelmezési tartományába, majd e helyen vettük a második függvény értékét. A közbeiktatott u kikapcsolásával az x −→ log2 sin x = h(x) összetett függvényhez jutunk, ahol az x −→ sin x = u = g(x) függvényt belső, az u −→ log2 u = f (u) függvényt külső függvénynek nevezzük. A π2 , π6 eleme, a − π6 , 4π 3 nem eleme az összetett függvény értelmezési tartományának. Az összetett függvény értelmezési tartományába az x−→sin x= = u belső függvény értelmezési tartományának csak azok az elemei tartoznak, amelyekhez ez a függvény olyan értékeket rendel, amelyek beletartoznak az u −→ log2 u = f (u) külső függvény értelmezési tartományába, azaz 0
− π2

1

y π 2

3π 2

x

−1

2. Legyen g : x −→ 25 −x2 + 20x − 96 = u x

∈ R, f : u −→ lgu u > 0 ! Állapítsuk meg az x−→h(x)=(f ◦ g) (x)=lg 25 −x2 + 20x − 96 függvény értelmezési tartományát és értékkészletét !

3. ÖSSZETETT FÜGGVÉNY

77

x −→ 25 −x2 + 20x − 96 = g(x) = = −25 (x − 10)2 + 100 = u értelmezési tartomány:x ∈ R értékkészlet:g(x) = u ≤ 100

u −→ lg u = f (u) értelmezési tartomány: u > 0 értékkészlet: y ∈ R

Az összetett függvény értelmezési tartományába az x −→ u = g(x) értelmezési tartományának azon részhalmaza tartozik, amelyekhez az x −→ u olyan u = g(x) értékeket rendel, amelyek beletartoznak az2u −→ f (u) értelmezési tartományába, tehát amelyekre g(x) = u = 25 −x + 20x − 96 > 0, azaz −x2 + 20x − 96 > 0. Mivel −x2 + 20x − 96 = 0 ⇔ x1 = 8 ∨ x2 = 12, így Dh : 8 < x < 12. Ezen x értékekhez tartozó g(x) = u értékekre 0 < u ≤ 100 tehát f (u) = = lg u ≤ lg 100

= 2 (lg u szigorúan monoton növekvő). Rh : h(x) = lg 25 −x2 + 20x − 96 ≤ 2. Javasoljuk, hogy az olvasó készítse el a g és f függvény grafikonját! 3. Legyen f :x−→sin x x∈R, g :x−→arcsin x −1≤x≤1 ! Képezzük az f ◦ ◦g és a g◦f összetett függvényeket ! Adjuk meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, és vázoljuk a grafikonjukat ! h1 (x) = (f ◦ g) (x) = sin (arcsin x) Értelmezési tartomány a belső függvény, azaz arcsin értelmezési tartományának azon részhalmaza, amelyhez tartozó belső függvényértékek elemei a külső függvény (sin) értelmezési tartományának. Dg : −1 ≤ x ≤ 1, ezekhez − π2 ≤ arcsin x ≤ π2 értékek tartoznak, ezek elemei a külső függvény (sinus) értelmezési tartományának, tehát Dh1 : −1 ≤ x ≤ ≤ 1, Rh1 : −1 ≤ h1 ≤ 1. h1 (x) = sin (arcsin x) = x, az inverz függvény hozzárendelési szabálya alapján. y 1 −1

h2 (x) = (g ◦ f ) (x) = arcsin (sin x)

1

x

78

IV. FEJEZET. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL Értelmezési tartománya a Df -fel azonos, mert a sinus bármely x ∈ R-re [−1,1] intervallumra eső értékeket vesz fel, melyek elemei a Dg -nek. Tehát Dh2 :x∈R és Rh2 :−1≤h2 ≤1. A h2 periodikus ,mert h2 (x)=arcsin (sin x)= = arcsin (sin (x + 2kπ)) = h2 (x + 2kπ) k ∈ Z és ∀x ∈ R-re h2 (x) = x.

π 2

y 2π

−π

− π2

π 2

π

3π 2

x

− π2

4. Inverz függvény A függvény fogalmának tárgyalásakor (I. fejezet) az egy-egy értelmű, vagy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés vagy bijektív leképezés fogalmából, halmazos ábrájáról láthatjuk, hogy ha a hozzárendelés irányát elemről elemre ellenkezőjére váltjuk, szintén egyértelmű hozzárendelést, azaz függvényt kapunk. Tehát egyszerre különböző első komponensű és különböző második komponensű rendezett elempárok halmaza két függvényt ad meg, melyeket egymás inverzének nevezünk. Egy függvénynek tehát akkor van inverze, ha az értelmezési tartomány bármely különböző elemeihez tartozó függvényértékek is különbözők. Definíció. Az f : A −→ B (A, B ∈ R) függvényt invertálhatónak nevezzük, ha f (A) = B és ∀a1 , a2 ∈ A, a1 = a2 esetén b1 = f (a1 ) = f (a2 ) = b2 tejesül. Az f függvény inverz függvényén azt az f : B −→ A függvényt értjük, melyre ∀b ∈ B ♣ esetén fennáll: f (b) = f (f (a)) = a. Az f inverz függvényének jelölésére az f (olvasd: f felülvonás) jelet használjuk; a szakirodalomban gyakran f −1 -gyel jelölik, mely nem tévesztendő össze az f függvény (-1)-edik hatványával! A definícióból nyilvánvaló, hogy ha f invertálható függvény, inverze f , akkor Df = Rf és Rf = Df .

4. INVERZ FÜGGVÉNY

79 Df

Rf f

f (f (x1 ))=x1

f (x1 )

f (f (x2 ))=x2

f (x2 )

f (f (x3 ))=x3

f (x3 ) f (x)

f (f (x))=x

f Rf

Df

A függvénytípusok tárgyalásakor már alkalmaztuk az inverz függvény fogalmát, néhol az értelmezési tartomány alkalmas leszűkítésével: hatványfüggvények (páros kitevőre leszűkítettjeik) inverzeként nyertük a gyökfüggvényeket, a trigonometrikusok leszűkítettjeinek inverzeként kaptuk az arcusfüggvényeket, az exponenciális függvények inverzeként kaptuk a logaritmus függvényeket, valamint a hiperbolikusok inverzeként az area függvényeket. Hangsúlyozzuk, hogy az inverz kapcsolat szimmetrikus viszony: f inverze f és fordítva. Példák invertálásra 1. Invertálható-e az f1 :R−→R, x−→f1 (x)= x2 −2x−3 függvény? Képezze – esetleg az értelmezési tartomány alkalmas leszűkítésével – az inverzét ! Az x −→ f1 (x) = x2 − 2x− 3 = (x − 1)2 − 4 nem invertálható, mert például f1 (−1) = f1 (3) = 0, tehát nem kölcsönösen egyértelmű a hozzárendelés. Szűkítsük le az értelmezési tartományt 1 ≤ x-re! A leszűkített f függvény szigorúan monoton növekvő, a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát invertálható. y y

1 −1

1

1 3 x

−4 x −→ x2 − 2x − 3 = f1 (x) Df1 = R Rf1 : f1 (x) ≥ −4

−1

1

3 x

−4 x −→ x2 − 2x − 3 = f (x) Df : x ≥ 1 Rf : f (x) ≥ −4

80

IV. FEJEZET. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL Az inverz inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: Df : : x ≥ −4, Rf : f ≥ 1. Adjuk meg a hozzárendelés szabályát is (fejezzük ki x-et f (x)-szel)! x2 − 2x − 3 = f (x)

(x ≥ 1)

2

x − 2x − [3 + f (x)] = 0 4 + 4 (3 + f (x)) 2 ± 2 1 + 3 + f (x) x1,2 = = = 1 ± 4 + f (x) 2 2 Mivel Df : x ≥ 1, csak az x = 1 + 4 + f (x) a megfelelő. A változókat a szokásos módon átjelölve kapjuk: √ f (x) = 1 + 4 + x 2±

y x→f (x)

1 −4

1

2. Adjuk meg az f : x −→ 1 + x1 = f (x)

x

x = 0 függvény inverzét (ha létezik)! y

x→f (x) = 1 + x1

1 −1

Df : x = 0,

1

x

Rf : f (x) = 1

A függvény az értékkészletébe tartozó bármely értéket csak egy helyen veszi fel, tehát a függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz invertálható. (Figyeljük meg, hogy a függvény nem monoton!) Inverze: Df :x = 1, Rf :f (x) = 0, a hozzárendelés: f (x)=1+ x1 ⇔x [f (x) − 1]= 1 (f (x) = 1). = 1 ⇔ x = f (x)−1

4. INVERZ FÜGGVÉNY

81

A változók betűjelét felcserélve a hozzárendelés szabálya : x −→ f (x) =

1 x−1

x = 1

y x→f (x)=1+ x1

1 1

x

3. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Miért ? (a) Minden szigorúan monoton, egyváltozós valós függvény invertálható. Megoldás Az állítás igaz, mert ha f : R −→ R függvény szigorúan monoton, akkor ∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )∨f (x1 ) > > f (x2 ) teljesül, azaz különböző értelmezési tartomány beli x elemekhez különböző függvényérték tartoznak (∀x1 , x2 ∈ Df esetén x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )), ami az invertálhatóság definíciója. (b) Ha egy függvény invertálható, akkor az szigorúan monoton. Megoldás Az állítás hamis, mert van olyan függvény, amely invertálható, de nem szigorúan monoton. Lásd: (2) példát! További ilyen függvény például: f : R −→ R,

f (x) =

2x 0≤x<1 −x + 4 1 ≤ x ≤ 2

Az olvasó készítse el az f függvény grafikonját! A fenti két kérdés tanulságaként megfogalmazhatjuk, hogy a szigorúan monoton függvények az invertálható függvények valódi részhalmazát képezik.

82

IV. FEJEZET. MŰVELETEK FÜGGVÉNYEKKEL

5. Elemi alapfüggvények és a függvény műveletek A II. fejezet elején megadtuk az egyváltozós valós függvények definícióját, tárgyaltuk a középiskolában megismert függvénytípusokat. A függvényképzési módok illetve függvényekkel végzett műveletek értelmezése után visszanézhetünk a sokféle elemi függvénytípusra, és mondhatjuk, nem is kell nekünk ennyi függvény! Elég lesz pontosan négy darab ezek közül. Miért is? Mert ha jól választjuk meg a négyet, akkor ezekből függvényekkel végzett műveletek segítségével az összes elemi függvény előállítható. A kiválasztott négy elemi alapfüggvény: – egy konstans függvény, például: x −→ 2, – egy hatványfüggvény, például: x −→ x,

x∈R x∈R

– egy trigonometrikus függvény, például: x −→ sin x, – egy exponenciális függvény, például: x −→ 2x ,

x∈R

x∈R

Természetesen sinus helyett cosinust is választhatnánk, azaz x −→ 2x helyett 1 x x −→ 3 -t, de akár x −→ log2 x-et is, az x −→ x helyett az x −→ x2 -et, stb. (Sokféle lehetőség van.) A kiválasztott négy függvényből a függvényműveletek alkalmazásával az összes egyváltozós valós függvény előállítható. Például, gondoljuk meg, hogy az x −→ x-ből függvényszorzással az x −→ x2 , majd az x−→x3 , ... az összes hatványfüggvény előállítható ; ezek (illetve leszűkítettjeik) inverzeként kapjuk a gyökfüggvényeket stb. Vagy például az x−→sin xből az összes trigonometrikus függvény és az inverzeik előállíthatók: sin x-ből a cos x = sin π2 − x összetett függvényként, a sinusból, cosinusból a tangens cotangens leszűkítéssel és hányadosképzéssel, míg az arcusfüggvények a trigonometrikusok leszűkítettjeinek inverzeként állíthatók elő. Az x −→ 2x -ből inverzképzéssel az x −→ log2 x, ebből konstanssal való szorzással az összes logaritmus függvény, ezeket visszainvertálva kapjuk az összes exponenciális függvényt. Az analízis, a függvénytan tanulmányozásához ezzel egy tájékozódási bázist alakítottunk ki. Nem kell típusokban gondolkodni, hanem a négy elemi alapfüggvény és a függvényműveletek szerint vizsgálódunk az analízis tanulmányozása során a továbbiakban.

V. fejezet

Függvénytranszformációk Bizonyos függvényműveletek esetén van jól algoritmizálható módszer a keresett függvény grafikonjának megrajzolására az elemi függvények grafikonjainak ismeretében. Ez például a középiskolában megismert lineáris függvénytranszformáció. Ennek lépéseit foglaljuk össze az alábbiakban. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy nem a grafikon ide-oda tolása, nyújtása, zsugorítása ennek lényege, hanem a függvénytulajdonságok megőrződése illetve megváltozása az egyes transzformációs lépések esetén. Definíció. Legyen f : R −→ R, és a( = 0), c( = 0), u, v(∈ R) adott valós számok! Az x −→ a · f [c · (x − u)] + v = g(x) függvényt az f függvény lineáris transzformált jának nevezzük. ♣

A g függvény hozzárendelési szabályát megvizsgálva észrevehetjük, hogy az f hozzárendelési szabályát kétféle módon is változtattuk: 1. az értelmezési tartomány x elemét változtattuk illetve 2. f (x) függvényértékeket változtattuk. Mindkét esetben szoroztunk (c-vel illetve a-val) és hozzáadtunk (−u-t illetve v-t). A továbbiakban a szorzást is két lépésre bontjuk: pozitív konstanssal (|a| illetve |c|), majd (−1)-gyel való szorzásra. Az egyes lépéseket az alábbi táblázatban foglaljuk össze:

84

V. FEJEZET. FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK

Az x transzformációi

Az f (x) transzformációi

f (|c| x) f (x) függvény képét az x tengely 1 -szeresére nyújtjuk irányában |c| vagy zsugorítjuk.

|a| f (x) f (x) függvény képét az y tengely 1 irányában |a| -szeresére nyújtjuk vagy zsugorítjuk.

f (−x) f (x) függvény képét az y tengelyre tükrözzük

−f (x) f (x) függvény képét az x tengelyre tükrözzük

f (x − u) f (x) függvény képét az x tengely irányában u egységgel eltoljuk

f (x) + v f (x) függvény képét az y tengely irányában v egységgel eltoljuk

Az eltolások középiskolából jól ismert geometriai transzformációk, megadhatók egy-egy vektorral (u,0) illetve (0, v)-vel. A (-1)-gyel való szorzás a grafikonon tengelyes tükrözést jelent, ami szintén a közoktatás anyaga. A „nyújtás”, „zsugorítás” nem egybevágósági, sőt nem is hasonlósági transzformáció, hanem egy annál általánosabb körbe, az úgynevezett affin transzformációk körébe tartozik. Mivel ez a transzformáció az eddigi tanulmányokból nem ismert, ezért a transzformációs lépések sorrendjére ügyelni kell! Az x −→ a · f [c · (x − u)] + v = g(x) esetén a lépések sorrendjére a következőt javasoljuk: x −→ f (x) x −→ f (cx) x −→ f [c(x − u)] x −→ af [c(x − u)] x −→ af [c(x − u)] + v Példák transzformációval való ábrázolásra 1. x −→ −2(x + 1)2 + 3 = f (x) x ∈ R A lépések: x −→ x2 = f1 (x) x −→ (x + 1)2 = f2 (x) x −→ 2(x + 1)2 = f3 (x) x −→ −2(x + 1)2 = f4 (x) x −→ −2(x+1)2 +3 = f (x)

x tengely irányú u = −1-gyel való eltolás y tengely irányú a = 2-szeres nyújtás x tengelyre való tükrözés y tengely irányú v = 3-mal való eltolás

85 f2

f3

y

f1

1 −1

1

x

f

f4

Figyelje meg, hogy a transzformációs lépések során hogyan változik például a szélsőérték! 2. x −→ 3 cos 2x − π3 − 1 = f (x)

x∈R

A lépések:

x −→ cos x = f1 (x) x −→ cos 2x = f2 (x) x −→ cos 2x− π3 = = cos 2 x − π6 = f3 (x) x −→ 3 cos 2 x − π6 = f4 (x)

x −→ 3 cos 2 x − π6 − 1 = f (x)

x tengely irányú c = 12 -szeres zsugorítás x tengely irányú u = π6 -tal való eltolás y tengely irányú a = 3-szoros nyújtás y tengely irányú v = −1-gyel való eltolás

86

V. FEJEZET. FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK y f4

3

f1

f2 3π 2

π 2

− π2 π 6

π

−1

−4

x f3

f

Figyelje meg az egyes transzformációs lépések során hogyan változik például a szélsőérték a paritás és az értékkészlet!

3. x −→ − log 13

−1 2

x + 1 = f (x)

x<2

A lépések:

x −→ log 13 x = f1 (x) x −→ log 13 12 x = f2 (x) x −→ log 13 − 21 x = f3 (x)

x−→log 13 − 21 (x − 2) =f4 (x) x −→ − log 13

−1 2

x + 1 = f (x)

x tengely irányú |c| = 2-szeres nyújtás y tengelyre való tükrözés x tengely irányú u = 2-vel való eltolás x tengelyre való tükrözés (a = −1)

87 y

f3 f

f4

1 −1

3 1

f2

x

f1

Figyelje meg a transzformációs lépéseknél az egyes függvény tulajdonságok változását! Az x−→f (x) grafikonjából az x−→f (cx) függvény görbéjét 1c -szeres (c>0) x tengely irányú „nyújtással” kapjuk, ugyanis az x −→ f (cx) függvény az xc helyen veszi fel ugyanazt az értéket, mint az x −→ f (x) az x helyen: f (c xc ) = f (x). Figyeljük meg, hogy az x −→ f (x) görbéjéből x tengely irányú, u-val való eltolással kapott x−→f (x−u) függvény értéke az x+u helyen f (x−u+u)=f (x). Ez azt jelenti, hogy az f (x − u) minden értéket u hellyel „később” vesz fel. Az x −→ f (x) görbéjéből az x −→ af (x) a > 0 függvény görbéjét a-szoros y tengely irányú nyújtással kapjuk, tehát ugyanazon x helyeken az af (x) értékei nyilvánvalóan az f (x) függvényérték a-szorosa. (Gondoljunk két függvény szorzatának értelmezésére!) Az x −→ f (x) görbéjéből az x −→ f (x) + v függvény görbéje v-vel való, y tengely irányú eltolással nyerhető, nyilván ugyanazon x helyeken az x−→f (x)+v függvény értékének és az x −→ f (x) függvény értékének különbsége v.

88

V. FEJEZET. FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK

Irodalomjegyzék [1] Császár Ákos: Valós analízis I-II. Tankönyv Kiadó, Budapest 1983. [2] Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1981. [3] Kósa András: Matematikai analízis Tankönyv Kiadó, Budapest 1990. [4] Leindner László-Schipp Ferenc: Analízis I Tankönyv Kiadó, Budapest 1989. [5] Obádovics J. Gyula : Felsőbb matematika SCOLAR Kiadó, Budapest 1999. [6] Obádovics J. Gyula : Felsőbb matematikai feladatgyűjtemény SCOLAR Kiadó, Budapest 1999. [7] Peller József: Exponenciális és logaritmus függvény; differenciálszámítás, Tankönyv Kiadó, Budapest 1987. [8] Peller József: Függvények elemi vizsgálata; vektortér, Tankönyv Kiadó, Budapest 1982. [9] Peller József: Ponthalmazok; számhalmazok; polinomok; függvények; algebra, Tankönyv Kiadó, Budapest 1980. [10] Rábai Imre: Elemi matematikai példatár IV., Gondolat Kiadó, Budapest 1979. [11] Reiman István: Matematika, Műszaki könyvkiadó, Budapest 1992. [12] Schipp Ferenc: Analízis I-II.,

90

IRODALOMJEGYZÉK JPTE egyetemi tankönyv, Budapest 1996.

[13] Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei I-II., Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest 1951. [14] Szerényi Tibor : Analízis, Tankönyv Kiadó, Budapest 1977. [15] A közoktatás matematika tankönyvei és tanári kézikönyvei [16] Matematikai feladatgyűjtemény I-II. Tankönyv Kiadó, Budapest 1979.

A közoktatás függvénytani ismereteinek összefoglalása

Recommend Documents