Pithagoraszi sz´ amh´ armasok.
Defin´ıci´ok.
Hatv´any¨osszegekre bont´as.
(a, b, c) ∈ N3 Pithagoraszi sz´amh´armas, ha
Pithagoraszi sz´amh´armasok, a Fermat probl´emak¨ or.
a2 + b 2 = c 2 . Klukovits Lajos
Az x2 + y2 = z2
TTIK Bolyai Int´ ezet
egyenletet szok´as Pithagoraszi egyenletnek nevezni. 2014. ´aprilis 1.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
1 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Pithagoraszi sz´ amh´ armasok.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
2 / 27
Pithagoraszi sz´ amh´ armasok.
A folyammenti kult´ur´ak. G¨or¨og¨ok.
Mindegyikben ismert´ek a (3, 4, 5) h´armast ´ Az Obabyloni Birodalom kor´ab´ ol sz´armaz´ o Plimpton 622-es agyagt´abl´an 15 olyan (racion´alis sz´amokb´ ol ´all´ o) h´armas van, amelyekre teljes¨ ul a Pithagoraszi egyenlet.
Ha m p´aratlan sz´am, akkor m2 − 1 m2 + 1 m, , 2 2
Indi´aban a I.e. I. ´evezredben sz´amos ilyen h´armas szerepel az u ´n. sz´ utr´akban, t¨obbnyire olt´ar-konstrukci´ os probl´em´ak kapcs´an.
u ´n. Pithagoraszi sz´amh´armas, azaz az ilyen oldalhossz´ us´ag´ u h´aromsz¨ ogek der´eksz¨ og˝ uek.
P´eld´aul (5, 12, 13), (12, 35, 37), (15, 36, 39), ¨ osszesen 6 h´armast ismertek.
Ez v´elhet˝ oen a tarrentumi Archytasz eredm´enye.
Ugyancsak a I.e. I. ´evezredben K´ın´aban is ismertek t¨ obb Pithagoraszi sz´amh´armast.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
3 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
4 / 27
Pithagoraszi sz´ amh´ armasok.
Pithagoraszi sz´ amh´ armasok.
A pisai Leonardo: Liber quadratorum.
A pisai Leonardo: Liber quadratorum.
Az 1. k¨onyv bevezet˝o ´all´ıt´asa.
Az els˝o eset: p´aratlan n´egyzetsz´am.
Az els˝o n p´aralan sz´am ¨osszege
Legyen a p´aratlan n´egyzetsz´am a 9.
n2 .
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 , 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 ,
A k¨onyv f˝o probl´em´aja.
kaptuk, hogy 52 = 32 + 42 .
Keress¨ unk olyan n´ egyzetsz´ amokat, amelyek el˝ o´ allnak k´ et n´ egyzetsz´ am ¨ osszegek´ ent.
´ anosan. Altal´
M´ask´eppen fogalmazva: Keress¨ uk a Pithagoraszi egyenlet megold´asait.
Legyen y 2 = d p´aratlan. Ekkor
Megjegyz´ es. A kor szok´asainak megfelel˝oen Leonardo speci´alis eseteket vizsg´alt, mindig konkr´et sz´amokkal dolgozott. M´ odszere azonban tartalmazta az ´altal´anos´ıt´as cs´ır´aj´at. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
5 / 27
x 2 = 1 + 3 + . . . + (d − 2) = z 2 = x 2 + y 2 = 1 + 3 + . . . + (d − 2) + d =
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Pithagoraszi sz´ amh´ armasok.
Sz´ amelm. t¨ ort.
d −1 2
2
d +1 2
2 .
2014. ´ aprilis 1.
6 / 27
Pithagoraszi sz´ amh´ armasok.
A pisai Leonardo: Liber quadratorum.
A pisai Leonardo: Liber quadratorum. A p´aros n´egyzetsz´am esete ´altal´anosan.
Egy tov´abbi eset: p´aros n´egyzetsz´am.
(1 + 3 + . . . + 15) + (17 + 19) = 102 ,
Legyen a p´aros n´egyzetsz´am 4k = (2k − 1) + (2k + 1), majd Leonardo elj´ar´as´at k¨ ovetve 2k − 3 + 1 2 = 1 + 3 + . . . + (2k − 3) = = (k − 1)2 2 2k + 1 + 1 2 (1 + 3 + . . . + (2k − 3)) + ((2k − 1) + (2k + 1)) = , 2 = (k + 1)2 ,
amib˝ol a 102 = 82 + 62 f¨olbont´as ad´ odik.
amelyekb˝ ol (k − 1)2 + 4k = (k + 1)2 .
Megjegyzi, hogy a p´aros n´egyzetsz´amok oszthat´ ok 4-gyel, tov´abb´a k´et egym´ast k¨ovet˝o p´aratlan sz´am ¨ osszeg´ere bomlanak. Legyen a p´aros n´egyzetsz´am a 36, 36 = 17 + 19. 1 + 3 + . . . + 15 = 82 , azaz ¨osszegezte a 17-n´el kisebb p´aratlan sz´amokat.
Megjegyz´ es.
Megjegyz´ es.
E h´armas megkaphat´o az el˝obbi (3, 4, 5) h´armasb´ ol, de Leonardo igyekezett minden egyes ´altala vizsg´alt h´armast min´el t¨ obbf´elek´epp el˝ o´all´ıtani.
Az elj´ar´assal
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
(a2 − 1, 2a, a2 + 1), a > 1 alak´ u h´armasokat kap. 7 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
8 / 27
Pithagoraszi sz´ amh´ armasok.
a Fermat probl´ emak¨ or.
Mit mondhatunk ma.
Fermat probl´emak¨or
Defin´ıci´ o.
A kiindul´opont.
Az olyan (a, b, c) Pithagoraszi sz´amh´armast, amelyre ln. k. o.(a, b, c) = 1, primit´ıv Pithagoraszi sz´amh´armasnak nevezz¨ uk.
1637-ben Pierre Fermat Diophantosz Aritmetik´aj´aban az u ´n. Pithagoraszi sz´amh´armasokr´ ol olvasott.
Egy t´etel.
F¨ olismerte, hogy bizonyos n´egyzetsz´amok k´et n´egyzetsz´am ¨ osszeg´ere bonthat´ ok, pl. 25 = 9 + 16, azaz 52 = 32 + 42 .
Legyenek m > n > 0 eg´eszek, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o parit´as´ uak ´es ln. k. o.(m, n) = 1. Az a = m2 − n2 , b = 2mn, c = m2 + n2 h´armas primit´ıv primit´ıv Pithagoraszi sz´amh´armas, ´es az ¨ osszes primit´ıv Pithagoraszi sz´amh´armas el˝o´all ilyen alakban.
A legend´as lapsz´eli mondat. ...csod´alatos bizony´ıt´ast tal´altam arra, hogy sem egyetlen k¨ obsz´am, ” negyedik ´es magasabb hatv´any nem bonthat´ o k´et k¨ obsz´am, k´et negyedik hatv´any, ´es ´ıgy tov´abb, ¨ osszeg´ere, azaz az xn + yn = zn
n≥3
K¨ovetkezm´eny. egyenletnek nincs megold´asa a pozit´ıv eg´eszekben, de t´ ul kicsi e marg´ o arra, hogy ezt ide le´ırjam...”
V´egtelen sok primit´ıv Pithagoraszi sz´amh´armas l´etezik. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
9 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
a Fermat probl´ emak¨ or.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
10 / 27
a Fermat probl´ emak¨ or.
Fermat probl´emak¨or
Az n = 2 eset. Ha az a p´aros, akkor a2 = c 2 − b 2 = (c + b)(c − b), amib˝ ol
E r¨ovid bejegyz´es — amelyet kezdetben u ´gy emlegettek, mint A ” Nagy Fermat T´etel”, vagy Fermat utols´ o t´etele” —, egy kiterjedt ” kutat´ast ind´ıtott el.
a 2
A kezdeti ´altal´anos v´eleked´es szerint a bizony´ıt´as l´etezett, csak u ´jra ” meg kell tal´alni”. A XIX. sz´azad k¨ozep´et˝ol — az ´altal´anos sikertelens´eg miatt — kezd´ek az ´all´ıt´ast Fermat-sejt´esk´ent” eml´ıteni. ” A sejt´est a XX. sz´azad utols´ o ´evtized´eben siker¨ ult igazolni.
Az n = 2 eset.
2
=
c +b 2
2 c −b 2 · . 2
A jobb oldali k´et t´enyez˝ o is relat´ıv pr´ım, ´ıgy a sz´amelm´elet alapt´etel´eb˝ ol ad´ od´ oan c +b = m2 , 2
c −b = n2 , 2
azaz mindkett˝ o n´egyzetsz´am.
Legyen (a, b, c) primit´ıv Pithagoraszi sz´amh´armas.
m > n, ln. k. o.(m, n) = 1, ´es m, n ellenkez˝ o parit´as´ u.
Vil´agos, hogy ln. k. o.(a, b) = ln. k. o.(a, c) = ln. k. o.(b, c) = 1.
Kaptuk: a = 2mn, b = m2 − n2 , c = m2 + n2 .
Nyilv´anval´o, hogy a, b, c nem lehet mind p´aratlan, ez´ert k¨ oz¨ ul¨ uk kett˝ o p´aratlan, egy p´aros. c nem lehet p´aros.
Vil´agos, hogy minden primit´ıv h´armas ilyen alak´ u, ´es az ¨ osszes ilyen h´armas Pithagoraszi.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
11 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
12 / 27
a Fermat probl´ emak¨ or.
a Fermat probl´ emak¨ or.
Az n = 4 eset.
Euler megold´asa az n = 3 esetre. Az u´n. Euler eg´eszek gy˝ur˝uje.
Ezzel az esettel r´eszletesen foglalkozott Fermat.
Euler az x 3 + y 3 + z 3 = 0 egyenletet vizsg´alta.
Megmutatta, hogy ha (a, b, c) megold´asa az x 4 + y 4 = z 2 egyenletnek, akkor van olyan (a0 , b 0 , c 0 ) megold´asa is, hogy c 0 < c.
Igazolta, hogy nincs nemtrivi´alis megold´asa az {a + bα : a, b ∈ Z, α 6= 1, α3 = 1} ⊂ C
Az alkalmazott m´odszer az u ´n. v´egtelen lesz´all´as. Ebb˝ol m´ar k¨ovetkezik, hogy az nemtrivi´alis eg´esz megold´asa.
x4
+
y4
=
z4
egyenletnek nincs
alak´ u komplex sz´amok (az u ´n. Euler eg´eszek) gy˝ ur˝ uj´eben.
V´elhet˝o, hogy — hasonl´o m´ odszerrel — az n = 3 esettel is boldogult. Bizony´ıt´asaiban alapvet˝o volt, hogy alkalmazhatta a sz´amelm´elet alapt´etel´et. (Azaz, hogy l´etezik egy´ertelm˝ u pr´ımfaktoriz´aci´ o.)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
Mivel e gy˝ ur˝ u tartalmazza az eg´eszeket, eredm´eny´eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy az x 3 + y 3 = z 3 egyenletnek nincs nemtrivi´alis (racion´alis) eg´esz megold´asa. Euler bizony´ıt´as´aban is alapvet˝ o volt, hogy az Euler eg´eszek k¨ or´eben ´erv´enyes a sz´amelm´elet alapt´etel´enek egy ´altal´anos´ıt´asa.
13 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
a Fermat probl´ emak¨ or.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
14 / 27
a Fermat probl´ emak¨ or.
Fermat probl´emak¨or: a tov´abbl´ep´es egy lehet˝os´ege.
Fermat probl´emak¨or: a tov´abbl´ep´es egy lehet˝os´ege. Euler elj´ar´as´anak ´altal´anos´ıt´asa.
Egy egyszer˝u ´eszrev´etel. Nyilv´anval´o, hogy az x n + y n = z n n > 2 egyenlet megoldhatatlans´ag´at elegend˝ o az n = 4 esetre igazolni, valamint arra, ha n p´aratlan pr´ım.
Legyen p ≥ 3 pr´ım, ´es α ∈ C egy p-edik primit´ıv egys´eggy¨ ok (αp = 1 de α egyetlen p-n´el kisebb pozit´ıv kitev˝ os hatv´anya sem 1). Megvizsg´aljuk az x p + y p = z p egyenletet. 1847-ben Lam´e u ´gy tal´alta, hogy tetsz˝ oleges a, b ∈ Z eg´eszekre
Ugyanis, ha n ≥ 5, akkor 4 | n, vagy n-nek van p´aratlan pr´ımoszt´ oja, ´es ha megoldhat´o Z f¨ol¨ott az x n + y n = z n n > 2 egyenlet, ´es k | n akkor megoldhat´o az x k + y k = z k egyenlet is. K´ın´alkozik, hogy Euler gondolatmenet´et ´altal´anos´ıtsuk p > 3 pr´ımekre.
ap + b p = (a + b)(a + αb)(a + α2 b) . . . (a + αp−1 b)
(1)
ahol α p-edik primit´ıv egys´eggy¨ ok. Ez egy Z[α] = {a0 + a1 α + a2 α2 + . . . ap−2 αp−2 : ai ∈ Z}
(2)
gy˝ ur˝ u f¨ ol¨ otti f¨ olbont´as. E gy˝ ur˝ uk integrit´astartom´anyok. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
15 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
16 / 27
a Fermat probl´ emak¨ or.
a Fermat probl´ emak¨ or.
Fermat probl´emak¨or: a tov´abbl´ep´es egy lehet˝os´ege.
Fermat probl´emak¨or: a tov´abbl´ep´es egy lehet˝os´ege.
Euler elj´ar´as´anak ´altal´anos´ıt´asa: Lam´e elj´ar´asa
Fermat megjegyz´es´er˝ol.
Ha valamely a, b ∈ Z-re
ap
+
bp
=
cp
V´elhet˝ o, hogy Fermat k´epes volt Euler (k´es˝ obbi) gondolatmenet´enek alkalmaz´as´ara, azaz ezen az u ´ton is elint´ezni az n = 3 esetet.
alkalmas c eg´eszre, akkor
az (1) egyenl˝os´eg jobb oldal´an valamennyi t´enyez˝ o teljes p-edik hatv´any, ´es alkalmazhatjuk Euler m´ odszer´et.
Az is f¨ olt´etelezhet˝ o, hogy k´epes volt ´attekinteni az n = 5, s˝ ot tal´an m´eg az n = 7 eseteket is, amelyek m´ar igen nagym´ert´ek˝ u sz´amol´ast ig´enyelnek.
Ehhez az kell, hogy a (2)-ben defini´alt integrit´astartom´anyban ´eev´enyes legyen a sz´amelm´elet alapt´etele.
Mindezek alapj´an u ´gy v´elhette, hogy ez az elj´ar´as m˝ uk¨ odik az ¨ osszes p´aratlan pr´ımre, azaz
Kezdetben Lam´e u ´gy v´elte ez igaz, de k´es˝ obb r´aj¨ ott, hogy nem. Ugyanis
mindegyik Z[α] gy˝ ur˝ uben ´erv´enyes a sz´amelm´elet alapt´etel´enek megfelel˝ o ´altal´anos´ıt´asa.
ez minden p ≤ 19-re igaz, de m´ar p = 23-ra nem. Erre n´eh´any ´ev m´ ulva ˝o maga is r´aj¨ ott.
Sajnos ez nem bizonyult igaznak. a k´ıv´ant t´ıpus´ u f¨ olbont´asok a p < 23 pr´ımekre biztosan l´eteznek, de nagyobbakra? p = 23-ra nem..
K´erd´es: vannak-e olyan 23-n´al nagyobb pr´ımek, amelyekre van f¨olbont´asi t´etel.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
A nagy elme” is elb´ obiskol olykor. ” 17 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
a Fermat probl´ emak¨ or.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
18 / 27
a Fermat probl´ emak¨ or.
Fermat probl´emak¨or: a tov´abbl´ep´es egy lehet˝os´ege.
Fermat probl´emak¨or: a XIX. sz´azad fejlem´enyei.
Euler elj´ar´as´anak ´altal´anos´ıt´asa, Kummer 1840-t˝ol. Defin´ıci´ o. A p p´aratlan pr´ım regul´aris, ha nem oszt´ oja a B2 , B4 , . . . , Bp−3 u ´n. Bernoulli sz´amok sz´aml´al´ oinak. t f¨ uggv´eny hatv´anysor´anak Defin´ıci´ o. A Bernoulli sz´amok a t e −1 egy¨ utthat´oiban szerepel˝ok:
Kummer eredm´enyei az 1840-es ´evekb˝ol. Kummer t´ etele. A Fermat sejt´es igaz a regul´aris pr´ımekre.
∞
X Bn t = tn. et − 1 n!
Kummer azt sejtette, hogy v´egtelen sok regul´aris pr´ım van, de ez a mai napig sem bizony´ıtott.
n=0
Ezen Bn sz´amok a nem t´ ul nagy” indexekre viszonylag k¨ onnyen ” kisz´amolhat´ok. A p < 100-ra csak a 37, 59, 67 nem regul´aris pl.: B32 = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
37 · 683 · 305065927 , 510 Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
19 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
20 / 27
a Fermat probl´ emak¨ or.
Hatv´ any¨ osszegekre bont´ as.
Fermat probl´emak¨or: a XX. sz´azad.
N´egyzet¨osszegekre bont´as. Ind´ıt´o k´erd´esek.
1993. j´ unius 23-´an Cambridge-ben Andrew Wiles bejelentette egy konferenci´an, hogy igazolta a sejt´est. Miut´an le´ırta az igen hossz´ u bizony´ıt´ast r´aj¨ ott, hogy az nem teljes, egy jelent˝os h´ezag” van benne. ” 1995-re Richard Taylorral k¨ oz¨ osen megadott egy korrekt bizony´ıt´ast, amely kb. 200 oldalas. Az alkalmazott m´odszer alapj´an vil´agos, hogy kor´abban lehetetlen volt korrekt bizony´ıt´ast adni a sejt´esre.
Pithagoraszi sz´amh´armasok: bizonyos n´egyzetsz´amok f¨ olbonthat´ ok k´et n´egyzetsz´am ¨ osszeg´ere. ´ aban megmondhat´ Altal´ o-e, hogy mely term´eszetes sz´amok bonthat´ ok k´et n´egyzetsz´am ¨ osszeg´ere? Melyek azok, amelyek csak kett˝ on´el t¨ obb n´egyzetsz´am ¨ osszeg´ere bonthat´ ok? (Ha vannak ilyenek.) Van-e olyan korl´at, hogy legf¨ oljebb annyi n´egyzetsz´am ¨ osszeg´ere m´ar mindegyik term´eszetes sz´am f¨ olbonthat´ o. Mi a helyzet a magasabb hatv´anyokkal? Tudjuk (Fermat sejt´ese, Wiles t´etele), hogy n > 2-re egyetlen n-edik hatv´any sem bonthat´ o k´et n-edik hatv´any ¨ osszeg´ere. De f¨ olbonthat´ o-e kett˝ on´el t¨ obbre?
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
21 / 27
Hatv´ any¨ osszegekre bont´ as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
N´egyzet¨osszegekre bont´as.
K´et n´egyzetsz´am o¨sszege.
H´arom n´egyzetsz´am o¨sszege.
A pisai Leonardo eredm´enye: Ha m, n ∈ N k´et n´egyzetsz´am ¨ osszeg´ere bonthat´o, akkor szorzatuk is. Pontosabban, ha m = a2 + b 2 , n = c 2 + d 2 , akkor mn = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 . K¨ovetket´esk´epp elegend˝o a pr´ımsz´amok f¨ olbonthat´ os´ag´aval foglalkozni. Egy n > 1 eg´esz pontosan akkor ´all el˝ o k´et n´egyzetsz´am ¨ osszegek´ent, ha pr´ımt´enyez˝os f¨olbont´as´aban a 4k + 3 alak´ u pr´ımek csak p´aros kitev˝ovel fordulnak el˝o. Megjegyz´ es. Itt ´es a tov´abbiakban a f¨ olbont´asokban a 0 is szerepelhet. 2014. ´ aprilis 1.
Gauss: Valamely n > 1 pontosan akkor nem ´all el˝ o 3 n´egyzetsz´am osszegek´ent, ha ¨ n = 4m (8k + 7), m, k ∈ N0 .
N´egy n´egyzetsz´am o¨sszege.
Euler: Ha p = 4k + 1 pr´ım, akkor el˝ o´all k´et n´egyzetsz´am ¨ osszegek´ent.
Sz´ amelm. t¨ ort.
22 / 27
Hatv´ any¨ osszegekre bont´ as.
N´egyzet¨osszegekre bont´as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2014. ´ aprilis 1.
23 / 27
Lagrange: Ha m, n ∈ N n´egy n´egyzetsz´am ¨ osszeg´ere bonthat´ o, akkor szorzatuk is. ´Igy most is el´eg pr´ımsz´amokkal foglalkozni. Lagrange: Minden pr´ımsz´am el˝ o´all 4 n´egyzetsz´am ¨ osszegek´ent. K¨ ovetkezm´ eny. (Lagrange) Minden term´eszetes sz´am el˝ o´all n´egy n´egyzetsz´am ¨ osszegek´ent.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
24 / 27
Hatv´ any¨ osszegekre bont´ as.
Hatv´ any¨ osszegekre bont´ as.
Magasabb kitev˝os hatv´anyok.
Magasabb kitev˝os hatv´anyok.
Waring 1770.
Becsl´esek.
Bizony´ıt´as n´elk¨ ul a k¨ovetkez˝ oket jelentette be:
Ha g (k), k > 1 jel¨ oli a w (k) lehet˝ o legkisebb ´ert´ek´et, akkor " # 3 2 g (k) ≥ 2k − 2, 2
Minden (term´eszetes) sz´am el˝ o´all 4 n´egyzetsz´am, 9 k¨ obsz´am, 19 negyedik hatv´any, stb. ¨osszegek´ent. Megjegyz´ es. A stb” er˝os t´ ulz´as, mert implicite azt tartalmazza, ” hogy minden k > 1 eg´eszhez van olyan w (k) ∈ N, hogy minden term´eszetes sz´am el˝o´all w (k) sz´am´ u k-adik hatv´any ¨ osszegek´ent.
ahol [, ] at eg´eszr´esz (pontosabban az u ´n. als´ o-eg´eszr´esz) f¨ uggv´enyt jel¨ oli.
Hilbert 1909. A Waring bejelent´es szerinti w (k) sz´am minden k > 1 eg´eszre l´etezik.
Ha G (k) jel¨ oli a w (k) ´ert´ek´et el´eg nagy” n-ekre, akkor ” G (k) < 6k log k.
DE Hilbert t´etel´enek a bizony´ıt´asa egy u ´n. tiszta egzisztencia bizony´ıt´ as, azaz semmit sem mond a w (k) f¨ uggv´eny ´ert´ekeir˝ ol. Waring w (4) = 19 ´all´ıt´as´at csak 1986-ban igazolt´ak. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
25 / 27
Hatv´ any¨ osszegekre bont´ as.
Magasabb kitev˝os hatv´anyok. g (k) ´es a G (k) ´ert´ekek k g (k) G (k)
2 4 4
3 9 4−7
4 19 16
5 37 6 − 18
6 73 9 − 28
7 143 8 − 45
8 279 32 − 57
Megjegyz´ es. Sajnos m´eg kis k-ra is nagy a bizonytalans´ag a G (k) ´ert´ekekre. Pl. A G (3)-n´al a 4-7 jel¨ol´es azt mutatja, hogy csak az bizony´ıtott (jelenleg), hogy 4 ≤ G (k) ≤ 7.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
27 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 1.
26 / 27
