A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. I

Középszintű matematika érettségi feladatsor

Orosz Gyula, 2005. november

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Orosz Gyula; dátum: 2005. november A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I – III. példatárát. I. rész 1. feladat Pista kíváncsi volt, hogy „szabályos-e” házilag gyártott dobókockája, ezért 100-szor feldobta a kockát, s a dobási eredményeket lejegyezte. Összesítés után az alábbi táblázatot kapta: A dobott szám: Előfordulások száma:

1 11

2 15

3 17

4 19

5 10

6 28

Mennyi a 100 dobás eredményéből álló adathalmaz a) módusza; b) mediánja; c) átlaga? (3 pont) 2. feladat Hány centiméterrel kell megnövelni egy kör sugarát, ha azt szeretnénk, hogy a keletkezett új kör kerülete 20 cm-rel legyen nagyobb a réginél? (2 pont) 3. feladat Egy könyvkereskedő az egyik könyv árát 5%-kal leszállította, s így a vevők 8%-kal több könyvet vásároltak. Hány százalékkal nőtt a könyv eladásából származó tervezett bevétel, ha az összes könyvet sikerült eladni? (2 pont) 4. feladat Melyik igaz, melyik hamis az alábbi állítások közül? (Válaszait indokolja!) a) Van olyan deltoid, amely valamelyik átlójának behúzásával felbontható két egybevágó háromszögre. b) Minden deltoid felbontható valamelyik átlójának behúzásával két egyenlő szárú háromszögre. c) Ha egy deltoid húrnégyszög, akkor van két szemköztes derékszöge. d) Ha egy húrnégyszögben két szemköztes szög derékszög, akkor a négyszög deltoid. (4 pont) 5. feladat Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amellyel 666-ot megszorozva négyzetszámot kapunk eredményül? (2 pont) 1



6. feladat Mely pontokban metszi a derékszögű koordinátarendszer x és y tengelyét az f: x  log2(x + 8) függvény grafikonja? (2 pont) 7. feladat Oldja meg a valós számok halmazán:

x 2 3 x

0.

(3 pont) 8. feladat Egyenlő szárú háromszög szárainak hossza 10 cm, területe 25 cm2. Mekkora lehet a háromszög alapja? (3 pont) 9. feladat Egy számsorozat bármely tagja az előző tag háromszorosa. Határozza meg a sorozat 20. 2 tagját, ha a 12. tag értéke ! 81 (3 pont) 10. feladat Az e egyenes áthalad a derékszögű koordinátarendszer A(–2; 3) és B(1; 9) pontjain. Határozza meg az egyenes egyenletét! (3 pont) 11. feladat Öt cédulára felírtuk az 1, 2, 3, 4, 5 számokat, majd az összekevert cédulákat véletlenszerűen egymás mögé téve egy ötjegyű számot kaptunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így kapott szám osztható 6-tal? (3 pont)

2



II./A rész 12. feladat A föld felszínéről kilőtt lövedék levegőben megtett röppályáját az f(x) = x – 0,1x2 függvény grafikonja írja le. (A függvény a felszíntől mért magasságot adja meg a vízszintes elmozdulás függvényében.) A lövedék épp a tervezett célban csapódik a földbe. a) Mi az f függvény - fizikai tartalomnak megfelelő - értelmezési tartománya ? b) Mekkora a lőtávolság? c) Mekkora a lövedék által elért legnagyobb magasság? d) Ábrázolja a függvényt! (12 pont) 13. feladat Hány olyan négyjegyű természetes szám van, amely 2-vel osztva 1, 3-mal osztva 2 és 5-tel osztva 3 maradékot ad? (12 pont) 14. feladat Az alábbi táblázatban az 1990 és 2002 közötti néhány évben a személyi sérüléssel járó közúti közlekedési balesetekről soroltunk fel néhány adatot. Balesetek száma Ebből: járművezető hibája gyalogos hibája műszaki hiba Ittasan okozott balesetek száma Ebből: járművezető hibája gyalogos hibája Meghalt személyek száma Sérült személyek száma

1990 27 801 23 890 3426 241

2000 17 493 15 302 1886 129

2001 18 505 16 235 2031 82

2002 19 686 17 317 2001 105

4258 3741 507

2062 1827 233

2138 1928 208

2440 2209 226

2432 36 996

1200 22 698

1239 24 149

1429 25 978

a) Egy-egy átlagos napra hány baleset, ittasan okozott baleset, személyi sérülés, halállal végződő sérülés jutott 1990-ben és 2002-ben? (365 nappal számoljunk.) (4 pont) b) Mekkora 1990-ben és 2002-ben a gyalogosok hibájából, illetve a műszaki hibából történt balesetek százalékos aránya? (2 pont) c) Határozzuk meg, hogy 1990-ben és 2002-ben az ittasan okozott balesetek hány százalékát okozták az ittas gyalogosok! Állapítsuk meg azt is, hogy 2001-ben és 2002-ben az előző évihez képest hány százalékkal változott az ittas járművezetők, illetve az ittas gyalogosok által okozott balesetek száma! (6 pont)

3



II./B rész A 15 - 17. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania. 15. feladat Oldja meg a 3 4x – 2 2x+2 + 5

0 egyenlőtlenséget, ha x < 2! (17 pont)

16. feladat Egy épület a lábától egyenletesen lejtő úton mért 24 méter távolságból 35°50’, és a lejtőn 28 méterrel még lejjebbről 19°30’-es szög alatt látszik. a) Mekkora távolságra van légvonalban az épület teteje a második mérési ponttól? b) Milyen magas az épület? (17 pont) 17. feladat

P D

A

C

B

Az ABCD négyzet oldala 10 egység hosszúságú. Egy P pont az ábra szerinti AC egyenesen A-tól és C-től távolodva mozog v sebességgel úgy, hogy kezdetben a C pontban van. Határozzuk meg az ABP háromszög kerületét és területét a) az eltelt idő függvényében; b) a P pontnak az AD egyenestől való távolsága függvényében! (17 pont)

4



Orosz Gyula 2005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója I. rész 1. feladat a) A módusz 6; 1 pont b) a medián 4; 1 pont

11 1 15 2 17 3 19 4 10 5 28 6 c) az átlag = 3,86. 100 1 pont Összesen: 3 pont 2. feladat Ha a kör eredeti sugara r cm, és x cm-es a növelés, akkor 2(r + x) = 2r + 20. 1 pont Innen x =

10

3,18 (cm). 1 pont Összesen: 2 pont

3. feladat Ha B jelöli a tervezett bevételt, akkor az új bevétel B 0,95 1,08 = 1,026B. A növekedés 2,6%-os volt. Összesen: 2 pont 4. feladat a) Igaz. A tükörtengely átló behúzásával minden deltoid két egybevágó háromszögre bontható. 1 pont b) Hamis. Ellenpélda a konkáv deltoid. 1 pont c) Igaz. Húrnégyszögben két-két szemközti szög összege 180°, s a deltoidnak mindig van két tükrös helyzetű szemköztes szögpárja. 1 pont d) Hamis. Ellenpélda pl. a nem egyenlő oldalú téglalap, vagy az ábrán látható, nem tengelyesen szimmetrikus négyszög. 1 pont Összesen: 4 pont 5. feladat 666 = 2 32 37, a keresett szám 2 37 = 74. (Pontosan azok a számok négyzetszámok, amelyek prímtényezős felbontásában minden prím páros kitevőn szerepel.) Összesen: 2 pont

5



6. feladat Az f függvénygörbe y = log2(x + 8) egyenletéből: ha x = 0, akkor y = 3; ha pedig y = 0, akkor x = –7. Az f függvény görbéje az y tengelyt a (0; 3), az x tengelyt pedig a (–7; 0) pontban metszi. Összesen: 2 pont 7. feladat Egy tört akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője ellentétes előjelű. 1 pont A számláló pozitív és a nevező negatív, ha x > 3; a számláló negatív (ill. zérus) és a nevező pozitív, ha x –2. Eredmény: x ]– ; –2] ]3; ]. 2 pont Összesen: 3 pont 8. feladat A szárakat b-vel, az általuk bezárt szöget -val jelölve a trigonometrikus területképlet b b sin alapján t = . Innen 25 = 50sin , vagyis sin = 0,5. 2 1 pont Két megoldás van: 1 = 30° vagy 2 = 150°. 2 pont Összesen: 3 pont 9. feladat A mértani sorozat hányadosa 3, 1 pont így a 20. tag

2 8 3 = 2 34 = 162. 81

2 pont Összesen: 3 pont 10. feladat Az egyenes meredeksége m =

9 3 = 2, 1 ( 2)

1 pont az egyenlete e: y = 2x + 7. 2 pont Összesen: 3 pont 11. feladat A számjegyek összege 15, a szám mindig osztható 3-mal. 1 pont Az utolsó helyiértéken 2 vagy 4 állhat. 1 pont

2 Az öt egyformán valószínű lehetőségből kettő felel meg, a keresett valószínűség . 5 1 pont Összesen: 3 pont

6



II./A rész 12. feladat x – 0,1x2 = x(1 – 0,1x), így a fv. képe olyan parabola, melynek t.metszete x=0 és x=10. 3 pont a) A szöveg alapján a függvény értelmezési tartománya a kilövés időpontjától a földre érkezés időpontjáig, a föld felszínével párhuzamosan megtett útszakasz: Df = [0; 10]. 3 pont b) A lőtávolság 10 (egység). 2 pont c) A parabola maximumpontja a zérushelyek átlagánál van. f(5) = 2,5 (egység). 4 pont Összesen: 12 pont Megjegyzések: a) A függvény grafikonjának ábrázolásáért - annak tartalmától és pontosságától függően arányos részpontszám adható. b) Pl. indoklás nélkül is elfogadható az ax2 + bx + c másodfokú kifejezés szélsőérték b helyére a tanult x összefüggés alkalmazása. 2a 13. feladat I. megoldása Ha a keresett számok 2-vel osztva 1 maradékot adnak, akkor páratlanok; továbbá ha 5-tel osztva 3 maradékot adnak, akkor 3-ra végződnek. (A 8 végződés nem lehetséges.) 2 pont Az 1003, 1013, 1023, 1033, … számok közül a legkisebb megfelelő az 1013. 2 pont Mivel [2; 3; 5] = 30, a keresett számok egy 30 különbségű számtani sorozat elemei: 4 pont 1013, 1043, 1073, 1103, … 9983. 2 pont 9983 1013 = 299, tehát a tagok száma 300. 30 2 pont Összesen: 12 pont 13. feladat II. megoldása A keresett négyjegyű számok egyesek helyén álló (utolsó) számjegye 3-as. 2 pont A tízesek és a százasok helyiértékén álló két számjegy 10 10 = 100-féle értéket vehet fel. 2 pont Végül az ezres helyiértéken lévő számjegy lehet – 1, 4 vagy 7, ha az utolsó három számjegy maradéka 3-mal osztva 1; – 2, 5 vagy 8, ha az utolsó három számjegy maradéka 3-mal osztva 0; – 3, 6 vagy 9, ha az utolsó három számjegy maradéka 3-mal osztva 2. 2 pont Vagyis az első számjegy – az utolsó három számjegytől függetlenül – mindig 3-féle lehet; 4 pont így a megfelelő négyjegyű számok száma 3 100 = 300. 2 pont Összesen: 12 pont

7



13. feladat III. megoldása (befejezés) 30 szomszédos egész szám között mindig pontosan egy olyan szám van, amely eleget tesz a feltételeknek. Az 1000-től 9999-ig terjedő számok felbonthatók 300 darab 30 szomszédos számból álló blokkra, így tehát összesen 300 megfelelő szám található. 14. feladat Az adatokat az alábbi táblázatokban tüntettük fel. (A feladat szövege az 1990-es és 2002es értékekre kérdez rá; a teljesség kedvéért feltüntettük a közbülső számadatokat is.) a) Balesetek száma ebből egy nap átlagosan Ittasan okozott balesetek száma ebből egy nap átlagosan Meghalt személyek száma ebből egy nap átlagosan Sérült személyek száma ebből egy nap átlagosan

1990 27 801 76,2 4258 11,7 2432 6,7 36 996 101,4

2000 17 493 47,9 2062 5,6 1200 3,3 22 698 62,2

2001 18 505 50,7 2138 5,9 1239 3,4 24 149 66,2

2002 19 686 53,9 2440 6,7 1429 3,9 25 978 71,2 4 pont

b) Balesetek száma Ebből: gyalogos hibája százalékos arány műszaki hiba százalékos arány

1990 27 801 3426 12,3 241 0,87

2000 17 493 1886 10,8 129 0,74

2001 18 505 2031 11,0 82 0,44

2002 19 686 2001 10,2 105 0,53 2 pont

c) Ittasan okozott balesetek száma Ebből: járművezető hibája gyalogos hibája egyik sem Gyalogosok aránya (%)

1990 4258 3741 507 10 11,9

2000 2062 1827 233 2 11,3

2001 2138 1928 208 2 9,7

2002 2440 2209 226 5 9,3

2 pont Tehát az ittasan okozott balesetek 11,9, illetve 9,3%-át okozták az említett két évben az ittas gyalogosok. 2 pont Ittas járművezetők esetében 2000 és 2001 között 1827-ről 1928-ra, 2001 és 2002 között 1928 2209 1,0552 és 1,1457 miatt 1928-ról 2209-re nőtt a balesetek száma. A növekedés 1827 1928 rendre 5,5%, illetve 14,6%. 2 pont Ittas gyalogosok esetében 2000 és 2001 között 233-ról 208-ra csökkent, 2001 és 2002 208 226 0,8927 és 1,0865 , így a között pedig 208-ról 226-ra nőtt a balesetek száma. 233 208 változás 10,7%-os csökkenés, illetve 8,7%-os növekedés. 2 pont Összesen: 12 pont

8



II./B rész 15. feladat Feltétel: ha x < 2, akkor –2 < x < 2. 2 pont x

2

Az y = 2 helyettesítéssel az egyenlőtlenség 3y – 8y + 5

0 alakba írható. 3 pont

5 3y2 – 8y + 5 = 0, ha y = 1 vagy y = , így 3 2 pont 3y2 – 8y + 5 = 3 y 1 y

5 3

0, ha y

1 vagy

5 3

y.

Visszahelyettesítve és az exp.. fv. szigorúan monotonitását felhasználva 2x vagy

5 3

2x, ha log 2

5 3

0,737

1, ha x

4 pont 0; 2 pont

x.

2 pont A feltétellel összevetve kapjuk az eredményt: –2 < x

0 vagy 0,737

x < 2. 2 pont Összesen: 17 pont

Megjegyzés: A másodfokú egyenlőtlenség megoldásakor a grafikus módszer is alkalmazható. B h A

E

16. feladat Az ábra szerinti AB épület h magasságát keressük, ha az AD lejtő C és D pontjából az ACB = = 35°50’ és ADB = = 19°30’ látószögeket mértünk. Az ábra jelöléseivel x = 24 méter z és y = 28 méter. x 2 pont C a) A keresett z távolságot a BCD háromszögből határozy hatjuk meg, melyben három adatot ismerünk: CD=28, CDB = D =19°30’ és BCD =180°–ACB = 144°10’. Ekkor persze CBD =180°–(19°30’+144°10’) = 16°20’. 2 pont z sin BCD A szinusztétel alapján , y sin CBD 2 pont sin BCD sin 144 10' 28 58,2879 58,3m. innen z y sin CBD sin 16 20' 2 pont b) A BCD háromszögből először meghatározzuk a BC oldalt:

BC y

sin sin CBD

, 2 pont

innen BC

y

sin sin CBD

28

sin 19 30' sin 16 20'

33,2353 33,2m.

2 pont 9



Ekkor az ABC háromszögben ismert két oldal és a közbezárt szög, a keresett h szakaszt a koszinusz-tétellel határozhatjuk meg. h2 = x2 + BC2 – 2 x BC cos , 2 pont 2 2 2 innen h = 24 + 33,2353 – 2 24 33,2353 cos35°50’, h 19,678. Az épület magassága h 19,7 méter. 3 pont Összesen: 17 pont Második megoldás a b) feladatra: Észrevehetjük, hogy z kiszámításával az ADB háromszögben három adat ismert: BD = z = 58,2879; AD = x + y = 52; és ADB = = 19°30’. A keresett AB = h szakaszt közvetlenül (BC kiszámolása nélkül) meghatározhatjuk a koszinusz-tétel segítségével. 4 pont 2 2 2 h = z + (x + y) – 2 z (x + y) cos , 2 pont 2 2 2 innen h = 58,2879 + 52 – 2 58,2879 52 cos19°30’, h 19,678 19,7. Az épület magassága h 19,7 méter. 3 pont Megjegyzések: Ha a megoldó helytelenül alkalmazta a mértékegység átváltást (pl. 19°30’ helyett 19,30°kal számolt), de egyébként megoldása tartalmilag hibátlan, akkor 15 pontot kaphat. 17. feladat a) Ha az eltelt idő t, akkor PC = vt, PP’ = BC + = 50

5vt 2

PC 2

P

C

B

A

BP

2

, s a terület T =

AB PP' 2

területegység (ábra). 2 pont A koszinusz-tételből BP = BC + CP – 2 BC CP cos135°, 1 innen BP = 100 v 2 t 2 2 10 vt , 2 3 pont a háromszög kerülete K = AB + AP + PB = 1 egység. 10 10 2 vt 100 v 2 t 2 2 10 vt 2 2 pont b) A P pont és az AD egyenes távolsága megegyezik PP’-vel. Ha PP’ = z, akkor AP = 2 z , CP = 2 ( z 10 ) , 2 pont 1 2 10 2 ( z 10) 2 z 2 20 z 100. 2 3 pont 2

D

vt

= 10

P’

100 2( z 10) 2

A terület T

10 z 2

5 z, a kerület K

10

2z

2z 2

2

2

20z 100 egység. 3 pont Összesen: 17 pont

10

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. I

Recommend Documents