A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát

Emelt szintű matematika érettségi feladatsor

Orosz Gyula, 2005. november

Emelt szintű érettségi feladatsor Összeállította: Orosz Gyula; dátum: 2005. október A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I – III. példatárát. I. rész 1. feladat Egy osztályban 24-en írtak matematika dolgozatot. Feleannyi 5-ös dolgozat volt, mint 4es. A dolgozatok közül 20%-kal több volt a 3-as, mint a 2-es. A 4-es és 5-ös dolgozatok együttes száma megegyezett az 1-es, 2-es és 3-as dolgozatok együttes számával. Mennyi volt a dolgozatok a) átlaga; b) módusza; c) mediánja? (12 pont) 2. feladat Adott a valós számok halmazán értelmezett két függvény: f(x) =

x2 6

3 x 4

5 , 3

1 2 5x x 0,5 . 3 12 a) Mely pontban metszi az f függvény a derékszögű koordináta-rendszer y tengelyét? b) Mely pontban metszi a g függvény a derékszögű koordináta-rendszer x tengelyét? c) Oldja meg az f(x) – 2 g(x) egyenlőtlenséget! (12 pont)

g(x) =

3. feladat A H1, H2, H3, … halmazokból álló sorozat képzési szabálya a következő: H1 = {1}, H2 = {2, 3}, H3 = {4, 5, 6} stb. (Mindig a soron következő természetes számok kerülnek be az új halmazba, és az n. halmazban n darab szám van (n N+)). a) Mely elemekből áll H40? b) Mennyi H40 elemeinek összege? (13 pont) 4. feladat Egy templom építésekor az ábra szerinti félkör alakú ablakkeretbe három kör alakú díszítőelemet terveztek. A szimmetrikusan elhelyezkedő díszítő körablakok egymást és a keretet is érintik. Számítsuk ki a két kisebb kör alakú ablak sugarát! 60 cm

(14 pont)

1



II. rész Az 5. - 9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, az ötödik sorszámát írja be a 2. oldalon az üres négyzetbe! 5. feladat A derékszögű koordináta-rendszerben adott a k: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 egyenletű kör. a) Határozza meg, mely pontokban metszi a kör a koordináta-rendszer tengelyeit! b) Mekkora szögben metszi a kör a tengelyeket? (Egyenes és kör szögén az egyenesnek és a közös pontban a körhöz húzott érintőnek a szögét értjük.) (16 pont) 6. feladat Hány olyan ötjegyű pozitív egész szám van, amelyben van 8-as és 9-es számjegy is? (16 pont) 7. feladat Egy acélból készült szabályos ötszög alapú gúlát levélnehezéknek használunk. Mekkora a tömege, ha az alapéle a = 1,56 cm és az oldaléle = 72°45’-os szöget zár be az alaplappal? (Az acél sűrűsége = 7,2 g/cm3.) (16 pont) 8. feladat Az a, b, c pozitív egész számok összege 300. Mennyi a K =

a 2b bc

b 2c ac

c 2a ab

kifejezés minimuma, s ezt az értéket milyen a, b, c esetén veszi fel? (16 pont) 9. feladat 2x

3

3 2 x 40 Hány rácsponton megy át az f : x  függvény görbéje, ha a függvény 2x 1 értelmezési tartománya Df = [–3; 30]? (A derékszögű koordináta-rendszer P(x; y) pontját akkor nevezzük rácspontnak, ha x és y egész szám.) (16 pont)

2



Orosz Gyula 2005. novemberi emelt szintű feladatsorának pontozási útmutatója 1. feladat a) Jelöljük az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös dolgozatok számát d1, d2, d3, d4, d5-tel, ekkor: (1) d1 + d2 + d3 + d4 + d5 = 24; (2) 2d5 = d4. (3) 1,2d2 = d3. (4) d1 + d2 + d3 = d4 + d5 ( = 12), 1 d1 2 d 2 3 d 3 4 d 4 5 d 5 és keressük értékét. 24 2 pont (2)-ből és (4)-ből d5 = 4, d4 = 8. (3)-ból d2 5-nek többszöröse. 2 pont 11 5 2 6 3 8 4 4 5 Ha d2 = 5, akkor d3 = 6, d1 = 1, az átlag 3,375 . 24 1 pont 10 vagy több 2-es nem lehetséges, 1 pont viszont a 0 darab 2-esnek matematikailag van értelme. Ekkor az átlag 12 1 0 2 0 3 8 4 4 5 2,67 . 24 2 pont b) Ha az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös dolgozatok száma rendre 1, 5, 6, 8, 4, akkor a módusz 4; ha pedig a számuk rendre 12, 0, 0, 8, 4, akkor a módusz 1. 2 pont c) Az első esetben a medián 3,5, a második esetben 3. 2 pont Összesen: 12 pont 2. feladat a) f(0) =

5 5 , így az y tengelymetszet 0; . 3 3

1 pont 1 2 5x x 3 12 tengelymetszetek (–0,75; 0), illetve (2; 0).

b) A g(x) = 0 egyenletből

0,5 = 0, ha x1 = –0,75, x2 = 2. Tehát az x

2 pont 2

c) x2 2

x 6 1 5 x 3 6

Az

3 x 4

5 2 3

0, innen 3x2 + 2x – 5

1 2 x 3

5x 12

0,5

egyenlőtlenségből

átalakításokkal

0 adódik. 2 pont

A 3x2 + 2x – 5 = 0 egyenlet megoldásai x1 = 1, x2 =

5 . 3

2 pont 3x 1 x

5 3

0, ha a szorzat tényezői azonos előjelűek. 1 pont

3


Így a megoldás x

5 vagy 1 3


x. 4 pont Összesen: 12 pont

Megjegyzés: Az utolsó öt pont akkor is jár, ha a megfelelő intervallumokat a másodfokú függvény grafikus ábrázolása segítségével olvassuk le. 3. feladat a) A H1, H2, … H39 halmazokban összesen 1 + 2 + … + 39 elem van, 3 pont 39 40 ezek száma = 780, 2

3 pont így H40 = {781, 782, … , 820}. 3 pont (781 820) 40 b) Az elemek összege a számtani sorozat összegképlete alapján = 32 020. 2 4 pont Összesen: 13 pont 4. feladat Felhasználjuk az alábbi, körök érintkezésével kapcsolatos két tételt: 1. Az érintkezési pontba húzott sugár merőleges az érintőre; 2 pont valamint 2. az érintkező körök középpontjait összekötő centrális áthalad a körök érintési pontján. 2 pont Jelöljük a keresett kör sugarát r-rel (ábra). A fenti tételek miatt az ábra szerinti ABC háromszög oldalai (cm-ben mérve) AB = 30, BC = B 30 + r, AC = 60 – r. C T 3 pont r Ha a C pont merőleges vetületét AB-n T jelöli, A akkor AT = r, BT = 30 – r, és a CTB és CTA derékszögű háromszögekre felírhatjuk Pitagorasz tételét. 3 pont CT mindkét derékszögű háromszögben közös befogó, így BC2 – BT2 = AC2 – AT2, (30 + r)2 – (30 – r)2 = (60 – r)2 – r2, 2 pont ahonnan rendezés után r = 15 cm. 2 pont Összesen: 14 pont

4



5. feladat I. megoldása a) A K(3; 4) középpontú kör az y = 0 egyenletű x tengelyt az A(0; 0), illetve B(6; 0) c pontokban metszi; az x = 0 egyenletű y tengelyt pedig (az origón kívül) a C(0; 8) C pontban. 4 pont b) Az AK = (3; 4), BK = (–3; 4) és CK = (3; –4) vektorok rendre az A, B, C K pontokban húzott a, b, c érintők normálvektorai, így az érintők egyenlete: a: b 3x + 4y = 0; b: –3x + 4y = –18 és c: 3x – 4y = a –32 (ábra). 6 pont A B A kör és a tengelyek hajlásszöge megegyezik az érintők és a tengelyek hajlásszögével. 2 pont 3 3 3 Az érintők iránytangense rendre tg = , tg = , tg = , innen az x tengelyt A-ban 4 4 4 és B-ben 36,9°-os szögben metszi a kör; míg az y tengelyt A-ban és C-ben 53,1°-os szögben (ábra). 4 pont Összesen: 16 pont Megjegyzések: Számolás nélkül észrevehetjük, hogy pl. a és b tükrös helyzetűek az x = 3 egyenletű egyenesre; valamint hogy b és c párhuzamosak. Ezekkel az észrevételekkel kissé kényelmesebb a számolás. A kör és a tengelyek hajlásszögének meghatározásához nincs szükség az érintők egyenletére. A megoldás tovább rövidíthető, ha az AK , BK , CK normálvektorok segítségével közvetlenül számolunk hajlásszögeket. 5. feladat II. megoldása (útmutatás): A kör „alsó félkörének” egyenlete y = 4 25 ( x 3) 2 = 4 x 2 6x 16 . Ennek x = 0 és x = 6 helyen vett deriváltjai a kör és az x tengely hajlásszögeinek tangenseit adják az A 1 x 3 2x 6 = és B pontokban. y’ = . 2 x 2 6 x 16 x 2 6 x 16 3 3 y’(0) = , y’(6) = ; az első megoldással egyező eredményt kaptunk. Az y = 4 4

4 25 ( x 3) 2 „felső félkör” x = 0 helyen vett deriváltjából hasonlóan következtethetünk a C pontbeli hajlásszögre.

5



6. feladat Jelöljük A-val és B-vel azon ötjegyű pozitív egész számok halmazát, amelyekben nincs 8as, ill. 9-es számjegy! A feladat A B elemszámának meghatározása. (A H alaphalmaz az ötjegyű pozitív egész számok halmaza.) 3 pont 4 4 4 A = B = 8 9 , A B = 7 8 , H = 9 10 . 4 pont Innen A B = H – ( A + B – A B ) = 5 pont 4

4

4

= 9 10 – 2 8 9 + 7 8 = 13 696. 4 pont (Az összes ötjegyű pozitív egész számból kivontuk azokat, amelyek nem tartalmaznak 8as, ill. 9-es számjegyet; de így a sem 8-ast, sem 9-est nem tartalmazó számokat kétszer vontuk le, tehát egyszer hozzá kell adni az összeghez.) Összesen: 16 pont 7. feladat Jelölje az ABCDE alapú gúla alaplapon kívüli csúcsát S, ennek vetületét az alaplapon T, T vetületét az AB oldalon U (ábra). 1 pont S a Az adatok alapján = TBS és UB = = 0,78 cm. 2 2 pont Az ATB egyenlő szárú háromszög szárai által bezárt szög a teljes kör ötöde: ATB = 72°. Így UTB = 36°, BT = B T UB a U = 1,33 (cm). A gúla ST magassága a sin 36 2 sin 36 A BTS derékszögű háromszögből számolható: ST = BT tg = a 4,27 (cm). tg 72,75 2 sin 36 6 pont Az ABCDE lap öt egybevágó, egyenlő szárú háromszögre bontható fel, területe TABCDE = BT AT sin 72 5 4,19 (cm2). 2 3 pont 1 A gúla térfogata V = TABCDE ST 5,96 (cm3), tömege m = V 42,94 (g). 3 4 pont Összesen: 16 pont 8. feladat a 2 2ab b 2 2bc c 2 2ac (a b c) 2 90000 Közös nevezőre hozás után K = = . abc abc abc 4 pont a b c A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt 3 abc = 100, innen 3 abc 1000000. 4 pont

6



A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségben akkor állhat egyenlőség, ha a tagok megegyeznek. Innen abc maximális, ha a = b = c = 100. 4 pont 90000 9 Ekkor K minimális, a felvett minimum K = = . 1000000 100 4 pont Összesen: 16 pont 9. feladat 3 2 x 40 2 3 2 x 3 2 x 40 5 2 x 40 45 = = =5 . x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 Ha x természetes szám, akkor 2x is természetes szám, s ha y is egész, akkor 2x – 1 osztója 45-nek. 2 pont x A lehetséges eseteket táblázatba foglalhatjuk (az x  2 exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű):

Átalakításokkal y =

2x – 1 2x x y

1 2 1 50

3 4 2 20

2x

3

5 6

9 10

15 16 4 8

45 46

3 pont Három esetben kapunk egész értéket x-re, a rácspontok: (1; 50), (2; 20), (4; 8).

Ha x negatív egész szám, akkor x = –z helyettesítéssel

=

40

5 2x 2x

3 pont 5 40 z 40 40 2 z 5 2 = = 1 1 1 2z 1 2z

45 . 2z pozitív egész szám, s ha y egész, akkor 1 – 2z osztója 45-nek. z 1 2

2 pont A lehetséges eseteket táblázatba foglalhatjuk. 1 – 2z 2z z x y

–1 2 1 –1 –95

–3 4 2 –2 –55

–5 6

–9 10

–15 16 4 –4 –43

–45 46

3 pont Három esetben kapunk egész számot x-re, az utolsó érték viszont nincs benne a [–3; 30] alaphalmazban. A megfelelő rácspontok: (–2; 55), (–1; 95). 3 pont A függvény tehát összesen öt rácsponton megy át. Összesen: 16 pont

7

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát

Recommend Documents