A csoport
Statika ZH-1. 2015. 10. 14.
1. feladat Határozza meg az erőrendszer nyomatékát a F pontra! a=3m
b=4m
F1 = 500 N
c=4m
F2 = 1000 N
M = 500 Nm
Megoldás: 𝐌 = 0 𝐢 + 0 𝐣 − 400 𝐤 𝐅1 = 200 𝐅2 = 800
0𝐢+3𝐣−4𝐤 √0 + 9 + 16 3𝐢+0𝐣−4𝐤 √9 + 0 + 16
= 0 𝐢 + 120 𝐣 − 160 𝐤 = 480 𝐢 + 0 𝐣 − 640 𝐤
𝐌G = ∑ 𝐌i + ∑ 𝐫i x𝐅i
𝐫GB = 3 𝐢 + 3 𝐣 − 4 𝐤 𝐣 𝐢 𝐤 𝐫GB x(𝐅1 + 𝐅2 ) = | 3 −4 | = −1920 𝐢 + 480 𝐣 − 1080 𝐤 3 480 120 −800 𝐌G = −1920 𝐢 + 480 𝐣 − 1480 𝐤
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 1
2. feladat Határozza meg az erőrendsszer nyomatékát a t tengelyre! a=3m b=5m
c=4m
𝐅𝐅 = 50 𝐢 + 150 𝐣 − 200 𝐤 𝐌𝐅 = 200 𝐢 + 400 𝐣 − 800 𝐤
Megoldás: 𝐌B = ∑ 𝐌F + ∑ 𝐫BF x𝐅F 𝐌D = ∑ 𝐌F + ∑ 𝐫DF x𝐅F 𝐫BF = −5 𝐢 + 0 𝐣 + 4 𝐤 𝐫DF = −5 𝐢 + 3 𝐣 + 0 𝐤
𝐣 𝐢 𝐤 𝐫BF x𝐅F = |−5 4 | = −600 𝐢 − 800 𝐣 − 750 𝐤 0 50 150 −200 𝐌B = −400 𝐢 − 400 𝐣 − 1550 𝐤 𝐞t =
0𝐢−3𝐣+4𝐤 √0 + 9 + 16
= 0 𝐢 − 0,6 𝐣 + 0,8 𝐤
Mt = 𝐌B ∗ 𝐞t = 1000 Nm vagy 𝐣 𝐢 𝐤 𝐫DF x𝐅F = |−5 0 | = −600 𝐢 − 1000 𝐣 − 900 𝐤 3 50 150 −200 𝐌B = −400 𝐢 − 600 𝐣 − 1700 𝐤 𝐞t =
0𝐢−3𝐣+4𝐤 √0 + 9 + 16
= 0 𝐢 − 0,6 𝐣 + 0,8 𝐤
Mt = 𝐌B ∗ 𝐞t = 1000 Nm © dr. Galambosi Frigyes
Oldal 2
3. feladat Határozza meg a centrális egyenes egy pontját az origóhoz viszonyítva! a=3m
b=4m
F1 = 400 N
c=5m
F2 = 500 N
Megoldás: 𝐅1 = 0 𝐢 + 0 𝐣 − 400 𝐤 𝐅2 = 500 𝐢 + 0 𝐣 + 0 𝐤 𝐅0 = 500 𝐢 + 0 𝐣 − 400 𝐤
𝐌0 = ∑ 𝐌i + ∑ 𝐫i x𝐅i
𝐫OD = 6 𝐢 + 0 𝐣 + 8 𝐤 5𝐤
𝐫OF = 0 𝐢 + 3 𝐣 +
𝐢 𝐣 𝐤 𝐫OD x𝐅1 = |4 0 0 | = 0 𝐢 + 1600 𝐣 + 0 𝐤 0 0 −400 𝐣 𝐤 𝐢 𝐫OF x𝐅2 = | 0 3 5| = 0 𝐢 + 2500 𝐣 − 1500 𝐤 500 0 0 𝐌O = 0 𝐢 + 4100 𝐣 − 1500 𝐤 𝐚=
1 𝐅0 2
(𝐅0 x 𝐌0 )
𝐅0 2 = 5002 + 4002 = 410000 𝐣 𝐢 𝐤 𝐅O x𝐌O = |500 −400 | = 1640000 𝐢 + 750000 𝐣 + 2050000 𝐤 0 0 4100 −1500 𝐚 = 4 𝐢 + 1,83 𝐣 + 5 𝐤 © dr. Galambosi Frigyes
Oldal 3
4. feladat Határozza meg a kényszererőket! a=3m
b=4m
d=3m
e=2m
F1 = 400 N
c=5m
F2 = 800 N
F3 = 300 N
M = 600 Nm
Megoldás:
∑X = 0
Ax − 800 = 0
∑𝑌 = 0
Ay − 400 − 300 + By = 0
∑ 𝑀𝐴 = 0
−400 ∗ 2 − 600 − 800 ∗ 5 − 300 ∗ 7 − 𝐵𝑦 ∗ 3 = 0
Ax = 800 𝑁
Ay = −1800 𝑁
By = 2500 𝑁
Az Ax és By erők irány megegyezik a felvett iránnyal, míg a Ay erő iránya a felvettel ellentétes.
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 4
5. feladat Határozza meg a síkidom súlypontját! R = 9 cm
Megoldás: A síkidomot felosztjuk olyan rész síkidomokra, amelyeknek ismerjük a saját súlypontját. Jelen példánkban ez 3 db rész síkidomot jelent. Elkészítjük a számításokhoz szükséges táblázatot, amelyben a távolságok cm-ben a területek cm2 ben vannak megadva.
1. 2. 3. ∑
Ai 18𝜋 144 -18 182,52
Xi -8/ 𝜋 6 10
Xs = Ys =
© dr. Galambosi Frigyes
Yi 6 6 10
Ai ∗ X i -144 864 -180 540
Ai ∗ Yi 339,15 864 -180 1023,12
∑ Ai ∗ X i 540 = = 2,959 cm ∑ Ai 182,52
∑ Ai ∗ Yi 1023,12 = = 6,606 cm ∑ Ai 182,52
Oldal 5
B csoport
Statika ZH-1. 2015. 10. 14. 1. feladat
Határozza meg az erőrendszer nyomatékát az F pontra! a=3m b=4m F1 = 500 N
c=4m
F2 = 1000 N
M = 500 Nm
Megoldás: 𝐌 = 0 𝐢 + 500 𝐣 + 0 𝐤 𝐅1 = 500
4𝐢+3𝐣+0𝐤 = 400 𝐢 + 300 𝐣 + 0 𝐤 0
𝐅2 = 1000
0 𝐢 + 3𝐣 + 4 𝐤 √0 + 9 + 16
= 0 𝐢 + 600 𝐣 + 800 𝐤
𝐌F = ∑ 𝐌i + ∑ 𝐫i x𝐅i
𝐫FE = 4𝐢 + 0 𝐣 + 0 𝐤 𝐣 𝐢 𝐤 𝐫FE x(𝐅1 + 𝐅2 ) = | 4 0 | = 0 𝐢 − 3200 𝐣 + 3600 𝐤 0 400 900 800 𝐌F = 0 𝐢 − 2700 𝐣 + 3600 𝐤
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 6
2. feladat Határozza meg az erőrendsszer nyomatékát a t tengelyre! a=6m b=8m
c=6m
𝐅𝐃 = 100 𝐢 + 200 𝐣 − 300 𝐤 𝐌𝐃 = 400 𝐢 + 200 𝐣 + 600 𝐤
Megoldás: 𝐌B = ∑ 𝐌D + ∑ 𝐫BD x𝐅D 𝐌F = ∑ 𝐌D + ∑ 𝐫FD x𝐅D 𝐫BD = 0 𝐢 − 6 𝐣 + 6 𝐤 𝐫FD = 8 𝐢 − 6 𝐣 + 0 𝐤
𝐣 𝐢 𝐤 𝐫BD x𝐅D = | 0 6 | = 600 𝐢 + 600 𝐣 + 600 𝐤 −6 100 200 −300 𝐌B = 1000 𝐢 + 800 𝐣 + 1200 𝐤 𝐞t =
−8 𝐢 + 0 𝐣 + 6𝐤 √64 + 0 + 36
= −0,8 𝐢 + 0 𝐣 + 0,6 𝐤
Mt = 𝐌B ∗ 𝐞t = -80 Nm vagy 𝐣 𝐢 𝐤 𝐫FD x𝐅F = | 8 0 | = 1800 𝐢 + 2400 𝐣 + 2200 𝐤 −6 100 200 −300 𝐌F = 2200 𝐢 + 2600 𝐣 + 2800 𝐤 𝐞t =
0𝐢−3𝐣+4𝐤 √0 + 9 + 16
= 0 𝐢 − 0,6 𝐣 + 0,8 𝐤
Mt = 𝐌F ∗ 𝐞t = -80 Nm
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 7
3. feladat Határozza meg a centrális egyenes egy pontját az origóhoz viszonyítva! a=5m F1 = 100 N
b=6m
c=8m
F2 = 200 N
Megoldás: 𝐅1 = 0 𝐢 + 100 𝐣 + 0 𝐤 𝐅2 = 0 𝐢 + 0 𝐣 + 200 𝐤 𝐅0 = 0 𝐢 + 100 𝐣 + 200 𝐤
𝐌0 = ∑ 𝐌i + ∑ 𝐫i x𝐅i 𝐫OD = 6 𝐢 + 0 𝐣 + 8 𝐤
𝐫OC = 0 𝐢 + 5 𝐣 + 0 𝐤
𝐣 𝐢 𝐤 𝐫OD x𝐅1 = |6 8| = −800 𝐢 + 0 𝐣 + 600 𝐤 0 0 100 0 𝐢 𝐫OC x𝐅2 = |0 0
𝐣 𝐤 0 | = 1000 𝐢 + 0 𝐣 + 0 𝐤 5 0 200
𝐌O = 𝟐𝟎0 𝐢 + 0 𝐣 + 600 𝐤 𝐚=
1 𝐅0 2
(𝐅0 x 𝐌0 )
𝐅0 2 = 1002 + 2002 = 50000 𝐣 𝐢 𝐤 𝐅O x𝐌O = | 0 100 200| = 60000 𝐢 + 40000 𝐣 − 20000 𝐤 200 600 0 𝐚 = 1,2 𝐢 + 0,8 𝐣 − 0,4 𝐤 © dr. Galambosi Frigyes
Oldal 8
4. feladat Határozza meg a kényszererőket! a=6m
b=8m
d=2m
e=2m
F1 = 100 N
c=4m
F2 = 200 N
F3 = 300 N
M = 200 Nm
Megoldás: ∑X = 0 Ax + 100 + 300 + Bx = 0 ∑𝑌 = 0 Ay − 200 = 0 ∑ 𝑀𝐴 = 0 −100 ∗ 2 − 400 − 200 ∗ 4 − 300 ∗ 14 − 𝐵𝑥 ∗ 6 = 0 Ax = 500 𝑁
Ay = 200 𝑁
Bx = −900 𝑁
Az Ax és Ay erők irány megegyezik a felvett iránnyal, míg a Bx erő iránya a felvettel ellentétes.
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 9
5. feladat Határozza meg a síkidom súlypontját! R = 9 cm
Megoldás: A síkidomot felosztjuk olyan rész síkidomokra, amelyeknek ismerjük a saját súlypontját. Jelen példánkban ez 3 db rész síkidomot jelent. Elkészítjük a számításokhoz szükséges táblázatot, amelyben a távolságok cm-ben a területek cm2 -ben vannak megadva.
1. 2. 3. ∑
Ai 162 324 -40,5𝜋 358,83
Xi -6 9 12/ 𝜋
Xs = Ys =
© dr. Galambosi Frigyes
Yi 12 9 9
Ai ∗ X i -972 2916 -486 1458
Ai ∗ Yi 1944 2916 -1144,53 3715,47
∑ Ai ∗ X i 1458 = = 4,06 cm ∑ Ai 358,83
∑ Ai ∗ Yi 3715,47 = = 10,354 cm ∑ Ai 358,83
Oldal 10
Statika ZH-2. 2015. 11. 24.
A csoport
1. feladat
Határozza meg a vázolt síkidom másodrendű nyomatékait a megadott koordinátarendszerben! A méretek cm-ben értendők!
Megoldás: 12 ∗ 203 124 ∗ π 62 ∗ π 8 2 62 ∗ π 8 2 2 Ix = [ + 12 ∗ 20 ∗ 2 ] − [ − ∗( ) + ∗ (8 − ) ] 12 128 2 π 2 π = 7138,06 cm4 20 ∗ 123 124 ∗ π 62 ∗ π 2 2 Iy = [ + 12 ∗ 20 ∗ 6 ] − [ + ∗ 6 ] = 8976,6 cm4 12 128 2 Ixy
= [0 + 12 ∗ 20 ∗ (−6) ∗ (−2)] − [0 +
© dr. Galambosi Frigyes
62 ∗ π 8 ∗ (8 − ) ∗ (−6)] = 4728,96 cm4 2 π
Oldal 11
2. feladat Rajzolja meg a merev gerenda igénybevételi ábráit! A távolságok m-ben, az erők N-ban, a koncentrált nyomatékok Nm-ben, a megoszló terhelés intenzitása N/m-ben vannak megadva! F1 = 1200 F2 = 200 M = 600 p = 200 Írja be a függvények jellegzetes értékeit!
∑ MA = 0
600 − 600 ∗ 1,5 − 1200 ∗ 3 − 600 ∗ 4,5 + By ∗ 6 = 0 ∑Y = 0 Ay − 600 − 1200 − 600 + 1100 = 0 ∑X = 0
−Ax + 200 = 0
By = 1100 N
Ay = 1300 N
© dr. Galambosi Frigyes
Ax = 200 N Oldal 12
3. feladat
Határozza meg a bejelölt rudak igénybevételeit ( nagyságát, húzott vagy nyomott)! A távolságok m-ben, az erő N-ban vannak megadva!
∑ MA = 0 1200 ∗ 8 − Bx ∗ 4 = 0
Bx = 2400
∑X = 0
−2400 + AX = 0
Ax = 2400
BX = BY
Mert a ferde rúd ( mint kényszer ) 450 fokos szögben áll!
∑Y = 0
−1200 + 2400 − Ay = 0
∑Y = 0
−1200 + S1y = 0
Ay = 1200
𝑆1𝑦 = 1200
A hasonló háromszögek alapján 𝑆1𝑥 = 600 . 𝑆1 = √6002 + 12002 = 600√5 = 1341,64 húzott rúd
Írjunk fel nyomatéki egyenletet a piros körrel jelzett pontra ( két ismeretlen erő metszéspontja )! 1200 ∗ 2 − S2 ∗ 4 = 0 𝑆2 = 600 húzott rúd Írjunk fel nyomatéki egyenletet a piros körrel jelzett pontra ( két ismeretlen erő metszéspontja )! −S3 ∗ 4 + 2400 ∗ 4 − 1200 ∗ 4 = 0 𝑆3 = 1200 húzott rúd © dr. Galambosi Frigyes
Oldal 13
4. feladat Adott egy síkidom súlypontjához tartozó xy koordinátarendszerben a síkidom másodrendű nyomatékainak értéke. Határozza meg a súlyponti főmásodrendű nyomatékokat és a főtengelyek irányát! Ix = 200 cm4
Iy = 100 cm4
Ixy = 50 cm4
Megoldás:
200 −50 Ixy = [ ] −50 100 (200 − 𝜆) −50 det[ ]=0 (100 − 𝜆) −50 I1 = λ1 = 220,71 cm4
𝜆2 − 300𝜆 + 17500 = 0 I2 = λ2 = 79,29 cm4
cosφ (200 − 220,71) −50 0 [ ] [ sinφ ] = [ ] (100 − 220,71) −50 0 tgφ =
sinφ = −0,4142 cosφ
φ ≅ −22,50 A másik főirány erre merőleges.
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 14
Statika ZH-2. 2015. 11. 24.
B csoport
1. feladat
Határozza meg a vázolt síkidom másodrendű nyomatékait a megadott koordinátarendszerben! A méretek cm-ben értendők!
Megoldás: 6 ∗ 123 64 ∗ π 32 ∗ π 4 2 32 ∗ π 4 2 2 Ix = [ + 6 ∗ 12 ∗ 2 ] + [ − ∗( ) + ∗ (8 + ) ] 12 128 2 π 2 π = 2376,1125 cm4 12 ∗ 63 64 ∗ π 32 ∗ π 2 2 Iy = [ + 6 ∗ 12 ∗ 3 ] + [ + ∗ 3 ] = 1022,9625 cm4 12 128 2 Ixy
32 𝜋 4 (−3) ∗ [− (8 − )]] = 825,12 cm4 = [0 + 12 ∗ 6 ∗ (−2) ∗ (−3)] + [0 + 2 𝜋
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 15
2. feladat Rajzolja meg a merev gerenda igénybevételi ábráit! A távolságok m-ben, az erők N-ban, a koncentrált nyomatékok Nm-ben, a megoszló terhelés intenzitása N/m-ben vannak megadva! F1 = 300 F2 = 100 M = 600 p = 300 Írja be a függvények jellegzetes értékeit!
∑ MA = 0
300 ∗ 2 − 900 ∗ 1,5 + 600 − 900 ∗ 4,5 + By ∗ 6 = 0 ∑Y = 0
−300 + Ay − 900 − 900 + 700 = 0
∑X = 0
100−Ax = 0
By = 700 N
Ay = 1400 N
© dr. Galambosi Frigyes
Ax = 100 N Oldal 16
3. feladat Határozza meg a bejelölt rudak igénybevételeit ( nagyságát, húzott vagy nyomott)! A távolságok m-ben, az erő N-ban vannak megadva!
∑ MA = 0
800 ∗ 8 − Bx ∗ 4 = 0
Bx = 1600
∑X = 0
1600 − AX = 0
Ax = 1600
BX = BY
Mert a ferde rúd ( mint kényszer ) 450 fokos szögben áll!
∑Y = 0
−800 + 1600 − Ay = 0
∑Y = 0
−800 + S1y = 0
Ay = 800
𝑆1𝑦 = 800
A hasonló háromszögek alapján 𝑆1𝑥 = 400 . 𝑆1 = √4002 + 8002 = 400√5 = 894,43 nyomott rúd
Írjunk fel nyomatéki egyenletet a piros körrel jelzett pontra ( két ismeretlen erő metszéspontja )! 800 ∗ 2 − S2 ∗ 4 = 0 𝑆2 = 400 nyomott rúd Írjunk fel nyomatéki egyenletet a piros körrel jelzett pontra ( két ismeretlen erő metszéspontja )! +S3 ∗ 4 + 1600 ∗ 4 − 800 ∗ 4 = 0 𝑆3 = −1200 nyomott rúd
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 17
4. feladat Adott egy síkidom súlypontjához tartozó xy koordinátarendszerben a síkidom másodrendű nyomatékainak értéke: Ix = 400 cm4
Iy = 200 cm4
Ixy = 50 cm4
Határozza meg Iξ és Iξη értékeit!
400 −50 𝐈xy = [ ] −50 200 𝐞ξ = [cos300 𝐞η = [−sin300
√3 1 ] sin300 ] = [ 2 2 1 √3 ] cos300 ] = [− 2 2
3 1 400 −50 √3 1 Iξ = 𝐞ξ 𝐈xy 𝐞ξ = [√ ][ ][ ] = 306,7 cm4 −50 200 2 2 2 2 1 2 3 1 400 −50 = 𝐞ξ 𝐈xy 𝐞η = [√ ] = −111,6 cm4 ][ −50 200 3 √ 2 2 [ 2 ] −
Iξη
© dr. Galambosi Frigyes
Oldal 18
