2016.05.17.
Kalkulus II.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK 1. Hat´ arozzuk meg a
Z Z H
xy dA integr´ alt, ahol H az A(1, −1), B(0, 0) ´es C(1, 2) pontok ´ altal meghay+3
t´ arozott h´ aromsz¨ og.
20pt
2. Oldjuk meg: y ′′ − 2y ′ + 5y = e−2x , y(0) = −1, y ′ (0) = 2. Z 2 dx + 2xy dy ´ert´eket, ahol γ 3. Hat´ arozzuk meg 2 γ x
20pt
√ √ √ √ a) az O(0, 0) k¨ oz´eppont´ u, r = 2 sugar´ u, negat´ıv ir´ any´ıtas´ u k¨ orvonal P (− 2, 2), Q( 2, 2) pontjait osszek¨ot˝o k¨ ¨ or´ıv. b) az A(−1, 1), B(0, 2) ´es C(1, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o t¨ ort szakasz (A → B → C).
30pt
4. Hat´ arozzuk meg az f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekeit a (0, 0), (0, 3), ´es (3, 0) pontok a´ltal kijel¨olt z´ art h´ aromsz¨ og¨ on.
20pt
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez legal´ abb 40 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
1
Z Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x + a| + C, (x 6= a), sin xdx = − cos x + C α+1 x+a Z Z Z Z 1 1 1 cos xdx = sin x + C, dx = tg x + C, dx = arctg x + C, dx = − ctg x + C, cos2 x x2 + 1 sin2 x Z Z ax 1 √ dx = arcsin x + C, ax dx = + C, (0 < a 6= 1), ln a 1 − x2 Z Z x p 1 1 √ dx = ln tg + C. dx = ln x + x2 + a + C, sin x 2 x2 + a Z
xα dx =
L[f ](p) : =
Z
∞
0
L[cos ax](p) =
p2
f (x)e−px dx, L[eax f (x)](p) = L[f (x)](p − a), L[xf (x)](p) = −L′ [f (x)](p), L[xn ](p) = p a , L[sin ax](p) = 2 , L[y ′ ] = pL[y] − y(0), L[y ′′ ] = p2 L[y] − py(0) − y ′ (0), 2 +a p + a2
∞ ∞ X X 1 1 < ∞ ⇐⇒ p > 1, xn = ⇐⇒ |x| < 1, p n 1 − x n=0 n=1 Z ∞ Z ∞ ∞ X f (x)dx < an < ak + f (x)dx. k
n=k
f˜(x) = a0 +
∞ X
1 an : = π
∞ X α n x ⇐⇒ |x| < 1, n n=0
k
(an cos nx + bn sin nx) , a0 :=
n=1 π
1 f (x) cos nxdx, bn := π −π
Z
(1 + x)α =
Z
1 2π
Z
π
f (x)dx,
−π
π
f (x) sin nxdx
−π
z = x + iy, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), u′x = vy′ , −u′y = vx′ , u′′xx + u′′yy = 0 Z
L
cn =
f (n) (z0 ) 1 = n! 2πi
I
γ
f (z)dz =
Z
β
f (z(t))z ′ (t)dt
α
f (z) 1 dz, c−1 = n+1 (z − z0 ) 2πi
I
γ
f (z) dz, f (z) =
∞ X
n=−∞
cn (z − z0 )n .
h(a) 1 , Res(f, a) = lim [(z − a)n f (z)](n−1) . ′ g (a) (n − 1)! z→a Z π Z ∞ ∞ X 1 1 ck := f (x)e−ikx dx, fˆ(x) := ck eikx , Fˆ (ω) := √ f (x)e−iωx dx 2π −π 2π −∞ k=−∞ Res(f, a) =
2
n! pn+1
,
2016.05.24.
Kalkulus II.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK 1. Hat´ arozzuk meg a
Z Z H
2xy dA integr´ alt, ahol H az A(1, 1), B(3, 0) ´es C(3, 2) pontok ´ altal meghay+3
t´ arozott h´ aromsz¨ og.
20pt
2. Oldjuk meg: xy ′ + y 2 + y = 0, y(2) = 3.. Z 2 dx + 2xy dy ´ert´eket, ahol γ 3. Hat´ arozzuk meg 2 γ x
20pt
√ √ √ a) az O(0, 0) k¨ oz´eppont´ u, r = 2 sugar´ u, negat´ıv ir´ any´ıtas´ u k¨ orvonal P (1, 3), Q( 2, − 2) pontjait osszek¨ot˝o k¨ ¨ or´ıv (P → Q). b) az A(1, 1), B(2, 3) ´es C(2, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o t¨ ort szakasz (A → B → C).
30pt
4. Hat´ arozzuk meg az f (x, y) = x3 + 3xy + y 3 f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekeit a (0, 0), (0, −3), ´es (−3, 0) pontok altal kijel¨ ´ olt z´ art h´ aromsz¨ og¨ on.
20pt
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez legal´ abb 40 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
3
Z Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x + a| + C, (x 6= a), sin xdx = − cos x + C α+1 x+a Z Z Z Z 1 1 1 cos xdx = sin x + C, dx = tg x + C, dx = arctg x + C, dx = − ctg x + C, cos2 x x2 + 1 sin2 x Z Z ax 1 √ dx = arcsin x + C, ax dx = + C, (0 < a 6= 1), ln a 1 − x2 Z Z x p 1 1 √ dx = ln tg + C. dx = ln x + x2 + a + C, sin x 2 x2 + a Z
xα dx =
L[f ](p) : =
Z
∞
0
L[cos ax](p) =
p2
f (x)e−px dx, L[eax f (x)](p) = L[f (x)](p − a), L[xf (x)](p) = −L′ [f (x)](p), L[xn ](p) = p a , L[sin ax](p) = 2 , L[y ′ ] = pL[y] − y(0), L[y ′′ ] = p2 L[y] − py(0) − y ′ (0), 2 +a p + a2
∞ ∞ X X 1 1 < ∞ ⇐⇒ p > 1, xn = ⇐⇒ |x| < 1, p n 1 − x n=0 n=1 Z ∞ Z ∞ ∞ X f (x)dx < an < ak + f (x)dx. k
n=k
f˜(x) = a0 +
∞ X
1 an : = π
∞ X α n x ⇐⇒ |x| < 1, n n=0
k
(an cos nx + bn sin nx) , a0 :=
n=1 π
1 f (x) cos nxdx, bn := π −π
Z
(1 + x)α =
Z
1 2π
Z
π
f (x)dx,
−π
π
f (x) sin nxdx
−π
z = x + iy, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), u′x = vy′ , −u′y = vx′ , u′′xx + u′′yy = 0 Z
L
cn =
f (n) (z0 ) 1 = n! 2πi
I
γ
f (z)dz =
Z
β
f (z(t))z ′ (t)dt
α
f (z) 1 dz, c−1 = n+1 (z − z0 ) 2πi
I
γ
f (z) dz, f (z) =
∞ X
n=−∞
cn (z − z0 )n .
h(a) 1 , Res(f, a) = lim [(z − a)n f (z)](n−1) . ′ g (a) (n − 1)! z→a Z π Z ∞ ∞ X 1 1 ck := f (x)e−ikx dx, fˆ(x) := ck eikx , Fˆ (ω) := √ f (x)e−iωx dx 2π −π 2π −∞ k=−∞ Res(f, a) =
4
n! pn+1
,
2016.05.31.
Kalkulus II.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK ´ azoljuk az F (x) := 1. Abr´
∞ X
n=1
n+3 n+1
n2 (x − 1)
+
∞ X n−3 n (x − 1) f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´ any´ at. 30pt n 2 n=0
2. Oldjuk meg: y ′′ − 2y ′ = 3e2x − 5x + 1, y(0) = 2, y ′ (0) = 1 .
20pt
3. Oldjuk meg: xy ′ − y = x4 − 2x3 sin x .
20pt
3
4. Hat´ arozzuk meg a) A = (0, 0),
x − 2xy + 1 hat´ ar´ert´eket, ahol (x,y)→A x2 y − xy 2 lim
b) A = (∞, −3),
c) A = (1, −∞),
d) A = (∞, ∞).
20pt
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez legal´ abb 40 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
5
Z Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x + a| + C, (x 6= a), sin xdx = − cos x + C α+1 x+a Z Z Z Z 1 1 1 cos xdx = sin x + C, dx = tg x + C, dx = arctg x + C, dx = − ctg x + C, cos2 x x2 + 1 sin2 x Z Z ax 1 √ dx = arcsin x + C, ax dx = + C, (0 < a 6= 1), ln a 1 − x2 Z Z x p 1 1 √ dx = ln tg + C. dx = ln x + x2 + a + C, sin x 2 x2 + a Z
xα dx =
L[f ](p) : =
Z
∞
0
L[cos ax](p) =
p2
f (x)e−px dx, L[eax f (x)](p) = L[f (x)](p − a), L[xf (x)](p) = −L′ [f (x)](p), L[xn ](p) = p a , L[sin ax](p) = 2 , L[y ′ ] = pL[y] − y(0), L[y ′′ ] = p2 L[y] − py(0) − y ′ (0), 2 +a p + a2
∞ ∞ X X 1 1 < ∞ ⇐⇒ p > 1, xn = ⇐⇒ |x| < 1, p n 1 − x n=0 n=1 Z ∞ Z ∞ ∞ X f (x)dx < an < ak + f (x)dx. k
n=k
f˜(x) = a0 +
∞ X
1 an : = π
∞ X α n x ⇐⇒ |x| < 1, n n=0
k
(an cos nx + bn sin nx) , a0 :=
n=1 π
1 f (x) cos nxdx, bn := π −π
Z
(1 + x)α =
Z
1 2π
Z
π
f (x)dx,
−π
π
f (x) sin nxdx
−π
z = x + iy, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), u′x = vy′ , −u′y = vx′ , u′′xx + u′′yy = 0 Z
L
cn =
f (n) (z0 ) 1 = n! 2πi
I
γ
f (z)dz =
Z
β
f (z(t))z ′ (t)dt
α
f (z) 1 dz, c−1 = n+1 (z − z0 ) 2πi
I
γ
f (z) dz, f (z) =
∞ X
n=−∞
cn (z − z0 )n .
h(a) 1 , Res(f, a) = lim [(z − a)n f (z)](n−1) . ′ g (a) (n − 1)! z→a Z π Z ∞ ∞ X 1 1 ck := f (x)e−ikx dx, fˆ(x) := ck eikx , Fˆ (ω) := √ f (x)e−iωx dx 2π −π 2π −∞ k=−∞ Res(f, a) =
6
n! pn+1
,
2016.06.07.
Kalkulus II.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK 1. a) Hat´arozzuk meg a
∞ X
n=3
b) Konvergens-e
∞ X
n2
(−1)n+1
n=1
2. Oldjuk meg: (x + 1)y ′ −
y x
4 sor ¨ osszeg´et. +n−2 3 − 2n . n2 − n + 5
25pt
− xex = 0, y(1) = e .
3. Defin´ıci´o alapj´ an ´es form´ alisan is hat´ arozzuk meg az f (x, y) =
20pt p
2x2 y − y f¨ uggv´eny fx′ (−2, 3),
fy′ (1/2, −5) parci´ alis deriv´ altjait. 20pt Z 4. Hat´ arozzuk meg 3yx dx + (2x − y) dy ´ert´eket, ahol γ az O(2, −1) k¨ oz´eppont´ u, r = 2 sugar´ u pozit´ıv γ
ir´any´ıt´ as´ u k¨ orvonal A(2, −3) ´es B(0, −1) pontjait ¨ osszek¨ ot˝ o k¨ or´ıv.
25pt
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez legal´ abb 40 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
7
Z Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x + a| + C, (x 6= a), sin xdx = − cos x + C α+1 x+a Z Z Z Z 1 1 1 cos xdx = sin x + C, dx = tg x + C, dx = arctg x + C, dx = − ctg x + C, cos2 x x2 + 1 sin2 x Z Z ax 1 √ dx = arcsin x + C, ax dx = + C, (0 < a 6= 1), ln a 1 − x2 Z Z x p 1 1 √ dx = ln tg + C. dx = ln x + x2 + a + C, sin x 2 x2 + a Z
xα dx =
L[f ](p) : =
Z
∞
0
L[cos ax](p) =
p2
f (x)e−px dx, L[eax f (x)](p) = L[f (x)](p − a), L[xf (x)](p) = −L′ [f (x)](p), L[xn ](p) = p a , L[sin ax](p) = 2 , L[y ′ ] = pL[y] − y(0), L[y ′′ ] = p2 L[y] − py(0) − y ′ (0), 2 +a p + a2
∞ ∞ X X 1 1 < ∞ ⇐⇒ p > 1, xn = ⇐⇒ |x| < 1, p n 1 − x n=0 n=1 Z ∞ Z ∞ ∞ X f (x)dx < an < ak + f (x)dx. k
n=k
f˜(x) = a0 +
∞ X
1 an : = π
∞ X α n x ⇐⇒ |x| < 1, n n=0
k
(an cos nx + bn sin nx) , a0 :=
n=1 π
1 f (x) cos nxdx, bn := π −π
Z
(1 + x)α =
Z
1 2π
Z
π
f (x)dx,
−π
π
f (x) sin nxdx
−π
z = x + iy, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), u′x = vy′ , −u′y = vx′ , u′′xx + u′′yy = 0 Z
L
cn =
f (n) (z0 ) 1 = n! 2πi
I
γ
f (z)dz =
Z
β
f (z(t))z ′ (t)dt
α
f (z) 1 dz, c−1 = n+1 (z − z0 ) 2πi
I
γ
f (z) dz, f (z) =
∞ X
n=−∞
cn (z − z0 )n .
h(a) 1 , Res(f, a) = lim [(z − a)n f (z)](n−1) . ′ g (a) (n − 1)! z→a Z π Z ∞ ∞ X 1 1 ck := f (x)e−ikx dx, fˆ(x) := ck eikx , Fˆ (ω) := √ f (x)e−iωx dx 2π −π 2π −∞ k=−∞ Res(f, a) =
8
n! pn+1
,
2016.06.14.
Kalkulus II.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK ∞ X 32n−1 − 3 · 5n−5 sor ¨ osszeg´et. 33n+2 n=2 √ ∞ X 3n n + 1 b) A tanult m´ odon vizsg´ aljuk a (x + 3)n−2 sort. 25pt 2−5 2n n=0 2y(x − 1) ′ y =0. 20pt 2. Oldjuk meg: ln(y 2 + 1) + y2 + 1 √ 3. Defin´ıci´o alapj´ an ´es form´ alisan is hat´arozzuk meg az f (x, y) = yx − y f¨ uggv´eny ir´ anymenti deriv´ altj´ at
1. a) Hat´arozzuk meg a
a P (2, 5) pontban, az U (2, −3) ir´ anyban.
20pt
4. Hat´ arozzuk meg az f (x, y) = x2 − xy + y 2 − 2x f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekeit a (0, 0), (2, 4), ´es (3, 0) pontok altal kijel¨ ´ olt z´ art h´ aromsz¨ og¨ on.
25pt
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez legal´ abb 40 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
9
Z Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x + a| + C, (x 6= a), sin xdx = − cos x + C α+1 x+a Z Z Z Z 1 1 1 cos xdx = sin x + C, dx = tg x + C, dx = arctg x + C, dx = − ctg x + C, cos2 x x2 + 1 sin2 x Z Z ax 1 √ dx = arcsin x + C, ax dx = + C, (0 < a 6= 1), ln a 1 − x2 Z Z x p 1 1 √ dx = ln tg + C. dx = ln x + x2 + a + C, sin x 2 x2 + a Z
xα dx =
L[f ](p) : =
Z
∞
0
L[cos ax](p) =
p2
f (x)e−px dx, L[eax f (x)](p) = L[f (x)](p − a), L[xf (x)](p) = −L′ [f (x)](p), L[xn ](p) = p a , L[sin ax](p) = 2 , L[y ′ ] = pL[y] − y(0), L[y ′′ ] = p2 L[y] − py(0) − y ′ (0), 2 +a p + a2
∞ ∞ X X 1 1 < ∞ ⇐⇒ p > 1, xn = ⇐⇒ |x| < 1, p n 1 − x n=0 n=1 Z ∞ Z ∞ ∞ X f (x)dx < an < ak + f (x)dx. k
n=k
f˜(x) = a0 +
∞ X
1 an : = π
∞ X α n x ⇐⇒ |x| < 1, n n=0
k
(an cos nx + bn sin nx) , a0 :=
n=1 π
1 f (x) cos nxdx, bn := π −π
Z
(1 + x)α =
Z
1 2π
Z
π
f (x)dx,
−π
π
f (x) sin nxdx
−π
z = x + iy, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), u′x = vy′ , −u′y = vx′ , u′′xx + u′′yy = 0 Z
L
cn =
f (n) (z0 ) 1 = n! 2πi
I
γ
f (z)dz =
Z
β
f (z(t))z ′ (t)dt
α
f (z) 1 dz, c−1 = n+1 (z − z0 ) 2πi
I
γ
f (z) dz, f (z) =
∞ X
n=−∞
cn (z − z0 )n .
h(a) 1 , Res(f, a) = lim [(z − a)n f (z)](n−1) . ′ g (a) (n − 1)! z→a Z π Z ∞ ∞ X 1 1 ck := f (x)e−ikx dx, fˆ(x) := ck eikx , Fˆ (ω) := √ f (x)e−iωx dx 2π −π 2π −∞ k=−∞ Res(f, a) =
10
n! pn+1
,
2016.06.21.
Kalkulus II.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK 1. Legyen f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2 . Hat´ arozzuk meg f sz´els˝ o´ert´ekeit.
20pt
2. Oldjuk meg: x2 y ′′ + 2xy ′ = ln x,
20pt
y(1) = 0, y ′ (1) = 2 . Z
1
r
x2
dx ´ert´ek´et. 20pt 3. A megfelel˝ o sorfejt´es els˝ o 5 tagj´ anak seg´ıts´eg´evel becs¨ ulj¨ uk meg x2 1 − 9 0 Z Z x + 2y 4. Hat´ arozzuk meg dxdy ´ert´ek´et, ahol H a (−2, 0), (−1, 2) ´es (0, 0) pontok ´ altal meghat´ aroH x+3 zott z´ art h´ aromsz¨ og.
30pt
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez legal´ abb 40 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
11
Z Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x + a| + C, (x 6= a), sin xdx = − cos x + C α+1 x+a Z Z Z Z 1 1 1 cos xdx = sin x + C, dx = tg x + C, dx = arctg x + C, dx = − ctg x + C, cos2 x x2 + 1 sin2 x Z Z ax 1 √ dx = arcsin x + C, ax dx = + C, (0 < a 6= 1), ln a 1 − x2 Z Z x p 1 1 √ dx = ln tg + C. dx = ln x + x2 + a + C, sin x 2 x2 + a Z
xα dx =
L[f ](p) : =
Z
∞
0
L[cos ax](p) =
p2
f (x)e−px dx, L[eax f (x)](p) = L[f (x)](p − a), L[xf (x)](p) = −L′ [f (x)](p), L[xn ](p) = p a , L[sin ax](p) = 2 , L[y ′ ] = pL[y] − y(0), L[y ′′ ] = p2 L[y] − py(0) − y ′ (0), 2 +a p + a2
∞ ∞ X X 1 1 < ∞ ⇐⇒ p > 1, xn = ⇐⇒ |x| < 1, p n 1 − x n=0 n=1 Z ∞ Z ∞ ∞ X f (x)dx < an < ak + f (x)dx. k
n=k
f˜(x) = a0 +
∞ X
1 an : = π
∞ X α n x ⇐⇒ |x| < 1, n n=0
k
(an cos nx + bn sin nx) , a0 :=
n=1 π
1 f (x) cos nxdx, bn := π −π
Z
(1 + x)α =
Z
1 2π
Z
π
f (x)dx,
−π
π
f (x) sin nxdx
−π
z = x + iy, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), u′x = vy′ , −u′y = vx′ , u′′xx + u′′yy = 0 Z
L
cn =
f (n) (z0 ) 1 = n! 2πi
I
γ
f (z)dz =
Z
β
f (z(t))z ′ (t)dt
α
f (z) 1 dz, c−1 = n+1 (z − z0 ) 2πi
I
γ
f (z) dz, f (z) =
∞ X
n=−∞
cn (z − z0 )n .
h(a) 1 , Res(f, a) = lim [(z − a)n f (z)](n−1) . ′ g (a) (n − 1)! z→a Z π Z ∞ ∞ X 1 1 ck := f (x)e−ikx dx, fˆ(x) := ck eikx , Fˆ (ω) := √ f (x)e−iωx dx 2π −π 2π −∞ k=−∞ Res(f, a) =
12
n! pn+1
,
