I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f (x1 , x2 , . . . , xn ), která je definovaná v otevřené množině G ⊂ Rn . Řekneme, že funkce f = f (x1 , x2 , . . . , xn ) má v bodě a ∈ G lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U (a) bodu a takové, že f (x) ≤ f (a),
resp. f (x) ≥ f (a),
pro x ∈ U (a) ∩ G. Platí-li pro body x 6= a ostrá nerovnost, mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. ostrém lokálním minimu. Říkáme, že funkce má v bodě lokální extrém, má-li lokální maximum či lokální minimum. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Budeme nejdříve uvádět podmínky a způsob výpočtu pro funkci dvou proměnných a omezíme se na případy, kdy má funkce f = f (x, y) spojité parciální derivace druhého řádu v otevřené množině G ⊂ R2 . Podmínky pro existenci lokálního extrému. Nechť bod a je stacionárním bodem funkce f = f (x, y), tj. ∂f ∂f (a) = (a) = 0. ∂x ∂y Jestliže platí: !2
∂2f ∂2f ∂2f ∂2f (♠) ∆1 = (a) < 0 a ∆ = (a) (a) − (a) 2 ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y
> 0,
resp. (♠)
∂2f (a) > 0 a ∂x2
!2
∂2f ∂2f ∂2f (a) (a) − (a) ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y
> 0,
pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je !2
∂2f ∂2f ∂2f (a) 2 (a) − (a) ∂x2 ∂y ∂x∂y
< 0,
pak funkce f = f (x, y) nemá v bodě a lokální extrém. Řešené příklady pro funkce dvou proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 3y − 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R2 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x + y, ∂x
∂f = 2y + x − 3. ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 2x + y = 0, 39
x + 2y = 3,
která má řešení x = −1, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂f ∂2f = 2, = 1, = 2. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Z podmínek (♠) vyplývá, že v bodě a = (−2, 1) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, tudíž má funkce f v bodě a = (−2, 1) lokální minimum a f (−2, 1) = −2. 2. f (x, y) = 6xy − x3 − 8y 3 + 125. Definičním oborem funkce je množina Df = R2 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 6y − 3x2 , ∂x
∂f = 6x − 24y 2 . ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 3x2 − 6y = 0
6x − 24y 2 = 0,
která má řešení x1 = 0, y1 = 0 a x2 = 1, y2 = 12 . Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f = −6x, ∂x2
∂f = 6, ∂x∂y
∂2f = −48y. ∂y 2
Z podmínek (♠) vyplývá, že v bodě a1 = (0, 0) je ∆1 = 0, ∆2 = −36 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a1 = (0, 0) lokální extrém. V bodě a2 = (1, 12 ) je ∆1 = −6 < 0, ∆2 = 108 > 0 má tedy funkce f v tomto bodě lokální maximum a f (1, 12 ) = 126. 3. f (x, y) = x2 − 2y 2 − 4x + 8y − 6. Definičním oborem funkce je množina Df = R2 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x − 4, ∂x
∂f = −4y + 8. ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 2x − 4 = 0
− 4y + 8 = 0,
která má řešení x = 2, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂f ∂2f = 2, = 0, = −4. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Z podmínek (♠) vyplývá, že v bodě a = (2, 2) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = −8 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a = (2, 2) lokální extrém.
40
4. f (x, y) = 3lnx + xy 2 − y 3 . Definičním oborem funkce je množina Df = {(x, y); x > 0} a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f 3 = + y2, ∂x x
∂f = 2xy − 3y 2 . ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 3 + y2 = 0 y(2x − 3y) = 0, x √ √ která má řešení x = − 32 3 2, y = − 3 2. Tento bod není v definičním oboru. Funkce nemá žádný stacionární bod, tudíž nemá lokální extrémy. 5. f (x, y) = x3 + y 3 − 18xy + 15. Definičním oborem funkce je množina Df = R2 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 3x2 − 18y, ∂x
∂f = 3y 2 − 18x. ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic x2 − 6y = 0
y 2 − 6x = 0,
která má řešení x1 = 0, y1 = 0 a x2 = 6, y2 = 6. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f = 6x, ∂x2
∂f = −18, ∂x∂y
∂2f = 6y. ∂y 2
Z podmínek (♠) vyplývá, že v bodě a1 = (0, 0) je ∆1 = 0, ∆2 = −324 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a = (0, 0) lokální extrém. V bodě a2 = (6, 6) je ∆1 = 36 > 0, ∆2 = 972 > 0, tudíž má funkce f v bodě a2 = (6, 6) lokální minimum a f (6, 6) = −201. 6. f (x, y) = ln(x3 ) + 2lny + ln(12 − x − y). Definičním oborem funkce je množina Df = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y < 12} a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f 3 1 ∂f 2 1 = − , = − . ∂x x 12 − x − y ∂y y 12 − x − y Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 3 x 2 y
− −
1 12−x−y 1 12−x−y
=0 4x + 3y = 36 ⇔ =0 2x + 3y = 24
41
která má řešení x = 6, y = 4. Bod a = (6, 4) je bodem definičního oboru. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f 3 1 = − 2− , 2 ∂x x (12 − x − y)2
∂f −1 = , ∂x∂y (12 − x − y)2
∂2f 2 1 = − 2− . 2 ∂y y (12 − x − y)2
1 Z podmínek (♠) vyplývá, že v bodě a = (6, 4) je ∆1 = − 13 < 0, ∆2 = 16 > 0, tudíž má funkce f v bodě a = (6, 4) lokální maximum a je f (6, 4) = ln6912.
Neřešené příklady pro funkce dvou proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f (x, y) = x2 + y 2 − xy − x − y + 3. [Df = R2 ,
∂f ∂x
∂f ∂y
= 2x − y − 1,
= 2y − x − 1.]
[stacionární bod a = (1, 1), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 2. f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 6x − 9y. [Df = R2 ,
∂f ∂x
∂f ∂y
= 2x + y − 6,
= x + 2y − 9.]
[stacionární bod a = (1, 4), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 3. f (x, y) = 6xy + x − 3y − 2x2 − 5y 2 + 7. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 6y + 1 − 4x,
∂f ∂y
= 6x − 3 − 10y.]
[stacionární bod a = (−2, − 32 ), ∆1 = −4 < 0, ∆2 = 4 > 0, lokální maximum.)] 4. f (x, y) = x2 − y 2 + 2x + 6y + 5. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 2x + 2,
∂f ∂y
= 2y − 6.]
[stacionární bod a = (−1, 3), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = −4 < 0, není lokální extrém.)] 5. f (x, y) = 3x + 6y − x2 − xy + y 2 . [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 3 − 2x − y,
∂f ∂y
= 6 − x + 2y.]
[stacionární bod a = ( 12 , − 95 ), ∆1 = −2 < 0, ∆2 = −5 < 0, není lokální extrém.)] 5 x
6. f (x, y) = e 2 (x + y 2 ). [Df = R2 ,
∂f ∂x
x
= e 2 ( x2 +
y2 2
+ 1),
∂f ∂y
x
= 2ye 2 .]
[stacionární bod a = (−2, 0), ∆1 = 12 e−1 > 0, ∆2 = e−2 > 0, lokální minimum.)] 7. f (x, y) =
1 x
+
1 y
− xy. [Df = {(x, y); x 6= 0, y 6= 0},
∂f ∂x
= − x12 − y,
∂f ∂y
= − y12 − x.]
[stacionární bod a = (−1, −1), ∆1 = −2 < 0, ∆2 = 3 > 0, lokální maximum.)]
42
8. f (x, y) = 2x3 y − x2 y 2 + 32x + 5. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 6x2 y − 2xy 2 + 32,
∂f ∂y
= 2x3 − 2x2 y.]
[stacionární bod a = (−2, −2), ∆1 = 24 > 0, ∆2 = −192 < 0, není lokální extrém.)] 9. f (x, y) = 2x3 + xy 2 − 24x + 5. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 6x2 + 2y 2 − 24,
∂f ∂y
= 2xy.]
[stacionární bod a1 = (2, 0), ∆1 = 24 > 0, ∆2 = 96 > 0, lokální minimum.)] [stacionární bod a2 = (−2, 0), ∆1 = −24 < 0, ∆2 = 96 > 0, lokální maximum.)] √ [stacionární bod a = (0, 2 3), ∆1 = 0, ∆2 = −192 < 0, není lokální extrém.)] √ [stacionární bod a = (0, −2 3), ∆1 = 0, ∆2 = −192 < 0, není lokální extrém.)] √ 10. f (x, y) = 3x2 − 2x y + y − 8x + 12. √ [Df = {(x, y); y > 0}, ∂f = 6x − 2 y − 8, ∂f = − √xy + 1.] ∂x ∂y [stacionární bod a = (2, 4), ∆1 = 6 > 0, ∆2 =
1 2
> 0, lokální minimum.)]
11. f (x, y) = x3 + 8y 3 − 6xy + 5. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 3x2 − 6y,
∂f ∂y
= 24y 2 − 6x.]
[stacionární bod a = (0, 0), ∆1 = 0, ∆2 = −36 < 0, není lokální extrém.)] [stacionární bod a = (1, 21 ), ∆1 = 6 > 0, ∆2 = 108 > 0, lokální minimum.)] 12. f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 6x − 9y. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 2x + y − 6,
∂f ∂y
= x + 2y − 9.]
[stacionární bod a = (1, 4), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 13. f (x, y) = 2xy − 2x − 4y. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 2y − 2,
∂f ∂y
= 2x − 4.]
[stacionární bod a = (2, 1), ∆1 = 0, ∆2 = −4 < 0, není lokální extrém.)] √ 14. f (x, y) = x y − x2 − y + 6x + 3. √ [Df = {(x, y); y > 0}, ∂f = y − 2x + 6, ∂f = 2√x y − 1.] ∂x ∂y [stacionární bod a = (4, 4), ∆1 = −2 < 0, ∆2 =
3 16
> 0, lokální maximum.)]
Lokální extrémy funkce tří proměnných. Nyní uvedeme podmínky a způsob výpočtu pro funkci tří proměnných a omezíme se na případy, kdy má funkce f = f (x, y, z) spojité parciální derivace druhého řádu v otevřené množině G ⊂ R3 . Podmínky pro existenci lokálního extrému. Nechť bod a je stacionárním bodem funkce f = f (x, y, z), tj. ∂f ∂f ∂f (a) = (a) = (a) = 0. ∂x ∂y ∂z 43
Označme ∆1 =
∂2f , ∂x2
∆2 =
∂2f , ∂x2 2 ∂ f , ∂x∂y
∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y 2
,
∆3 =
∂2f , ∂x2 ∂2f , ∂x∂y ∂2f , ∂x∂z
∂2f , ∂x∂y ∂2f , ∂y 2 ∂2f , ∂y∂z
∂2f ∂x∂z ∂2f ∂y∂z ∂2f ∂z 2
.
Jestliže v bodě a platí: (♠♠) 1. ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, pak má funkce f v bodě a ostré lokální minimum 2. ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, pak má funkce f v bodě a ostré lokální maximum 3. ∆3 6= 0 a nenastane-li žádná z možností z 1 a 2, pak funkce f v bodě a lokální extrém nemá. Řešené příklady pro funkce tří proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + 2z − xy + xz. Definičním oborem funkce je množina Df = R3 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x − y + z, ∂x
∂f = 2y − x, ∂y
∂f = 2 + x. ∂z
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 2x − y + z = 0
2y − x = 0
2 + x = 0,
která má řešení x = −2, y = −1, z = 3. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂2f ∂2f = 2, = 2, = 0, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂f ∂f ∂f = −1, = 1, = 0. ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z Z podmínek (♠♠) vyplývá, že v bodě a = (−2, −1, 3) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, ∆3 = −2 < 0 tudíž funkce f nemá lokální extrém. 2. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + xz − z + x − 2y + 5. Definičním oborem funkce je množina Df = R3 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x + z + 1, ∂x
∂f = 2y − 2, ∂y
∂f = 2z + x − 1. ∂z
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 2x + z + 1 = 0
x + 2z − 1 = 0
2y − 2 = 0,
která má řešení x = −1, y = 1, z = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂2f ∂2f = 2, = 2, = 2, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 44
∂f ∂f ∂f = 0, = 1, = 0. ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z Z podmínek (♠♠) vyplývá, že v bodě a = (−1, 1, 1) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 4 > 0, ∆3 = 6 > 0 tudíž má funkce f v bodě a = (−1, 1, 1) lokální minimum. 3. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 3yz + xz − 8x − 3z. Definičním oborem funkce je množina Df = R3 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x + 2y + z − 8, ∂x
∂f = 2y + 2x − 3z, ∂y
∂f = 2z − 3y + x − 3. ∂z
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 2x + 2y + z − 8 = 0
2x + 2y − 3z = 0
x − 3y + 2z − 3 = 0,
která má řešení x = 2, y = 1, z = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂2f ∂2f = 2, = 2, = 2, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂f ∂f ∂f = 2, = 1, = −3. ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z Z podmínek (♠♠) vyplývá, že v bodě a = (2, 1, 2) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 0, ∆3 = −32 < 0 tudíž nemá funkce f v bodě a = (2, 1, 2) lokální extrém. 4. f (x, y, z) = x +
y2 4x
+
z2 y
+ z2 , x > 0, y > 0, z > 0.
Funkce f má spojité parciální derivace všech řádů v uvažované množině a je ∂f y2 = 1 − 2, ∂x 4x
∂f 2y z 2 = − , ∂y 4x y 2
∂f 2z 2 = − 2. ∂z y z
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 4x2 − y 2 = 0 která má řešení x = dostaneme, že
1 , 2
2y 3 − 4xz 2 = 0
2z 3 − 2y = 0,
y = 1, z = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a
∂2f y2 = , ∂x2 2x3
∂2f 1 2z 2 = + , ∂y 2 2x y3
∂f −2y = , ∂x∂y 4x2
∂f = 0, ∂x∂z
∂2f 2 4 = + 3, 2 ∂z y z ∂f 2z = − 2. ∂y∂z y
Z podmínek (♠♠) vyplývá, že v bodě a = ( 21 , 1, 1) je ∆1 = 4 > 0, ∆2 = 8 > 0, ∆3 = 32 > 0 tudíž má funkce f v bodě a = ( 21 , 1, 1) lokální minimum. Neřešené příklady pro funkce tří proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce.
45
1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y − 6z. [Df = R3 ,
∂f ∂x
= 2x + 2,
∂f ∂y
= 2y + 4,
∂f ∂z
= 2z − 6.]
[stacionární bod a = (−1, −2, 3), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 4 > 0, ∆3 = 8 > 0, lokální minimum.] 2. f (x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z. [Df = R3 ,
∂f ∂x
= 3x2 + 12y,
∂f ∂y
= 2y + 12x,
∂f ∂z
= 2z + 2.]
[stacionární bod a1 = (0, 0, −1), ∆1 = 0, ∆2 = −144 < 0, ∆3 = −48 < 0, není lokální extrém.] [stacionární bod a2 = (24, −144, −1), ∆1 = 144 > 0, ∆2 = 144 > 0, ∆3 = 288 > 0, lokální minimum.] 3. f (x, y, z) = 2xy − x2 − y + ey + z − 5arctgz. [Df = R3 ,
∂f ∂x
= 2y − 2x,
∂f ∂y
= 2x − 1 + ey ,
∂f ∂z
=1−
5 .] 1+z 2
[stacionární bod a1 = (0, 0, 2), ∆1 = −2 < 0, ∆2 = −6 < 0, ∆3 = − 24 < 0, není 5 lokální extrém.] [stacionární bod a2 = (0, 0, −2), ∆1 = −2 < 0, ∆2 = −6 < 0, ∆3 = lokální extrém.]
24 5
< 0, není
6. Vázané a absolutní extrémy. Při vyšetřování chování funkce z pohledu největší a nejmenší její hodnoty, řešíme často úlohu, kdy nehledáme tyto hodnotu v celém definičním oboru funkce, ale pouze na nějaké jeho podmnožině. Tato podmnožina bývá obvykle popsána soustavou rovnic a nerovnic. V případě, že je omezující podmínka dána jako rovnice či soustava rovnic mluvíme o vázaných extrémech. Uvedeme formulaci pro funkce dvou a tří proměnných. Funkce f = f (x, y), má spojité parciální derivace v otevřené množině G ⊂ R2 a množina M ⊂ R2 je vymezena podmínkou M = {(x, y); g(x, y) = 0}, kde funkce g = g(x, y) má spojité parciální derivace. Funkce f = f (x, y, z) má spojité parciální derivace v otevřené množině G ⊂ R3 s množina M ⊂ R3 je vymezena podmínkou M = {(x, y, z); g(x, y, z) = 0}
nebo
M = {(x, y, z); g1 (x, y, z) = 0, g2 (x, y, z) = 0}.
Hledáme body a ∈ G ∩ M, pro které platí, že f (a) ≥ f (x),
resp.
f (a) ≤ f (x)
v nějakém okolí bodu a. Říkáme, že v těchto bodech má funkce lokální extrém vzhledem k množině M. Uvedeme několik příkladů, na kterých budeme ilustrovat postup řešení. Absolutním extrémem funkce v nějaké množině nazýváme její největší a nejmenší hodnotu. Při hledání těchto hodnot využíváme algoritmů, které jsme uvedli při hledání 46
lokálních a vázaných extrémů. Vycházíme z tvrzení, že spojitá funkce v uzavřené a omezené množině v Rn vždy nabývá své největší a nejmenší hodnoty. Algoritmus budeme ilustrovat na případě funkce dvou proměnných. Hledáme největší a nejmenší hodnotu funkce f = f (x, y) na omezené a uzavřené množině A ⊂ R2 . Předpokládáme, že funkce má spojité parciální derivace v otevřené množině G ⊂ R2 , která obsahuje množinu A. Dále předpokládáme, že hranice množiny je složena z konečného počtu křivek Mi , které můžeme popsat rovnicemi Mi = {(x, y); gi (x, y) = 0} a konečného počtu bodů bj , ve kterých na sebe křivky navazují. Označme si B = {ai } množinu bodů, kterou dostaneme tak, že vezmeme všechny body množiny A, ve kterých má funkce lokální extrémy, přidáme body množin Mi , ve kterých má funkce relativní extrémy vzhledem k těmto množinám a dále všechny body bj . Potom platí: max{f (x, y); (x, y) ∈ A} = max{f (x, y); (x, y) ∈ B}, min{f (x, y); (x, y) ∈ A} = min{f (x, y); (x, y) ∈ B}. Poznamenejme, že množina B je konečná a maximum či minimum vybíráme z konečného počtu hodnot. Řešené úlohy. 1. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = x2 + y 2 vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}. Z dané podmínky vyplývá, že požadovaná podmínka pro bod (x, y) bude splněna, pokud y = 1 − x, x ∈ R. Funkce f (x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}, jestliže bude mít lokální extrém funkce h(x) = f (x, 1 − x) jako funkce jedné proměnné v R. Po dosazení dostaneme, že h(x) = x2 + (1 − x)2 = 2x2 − 2x + 1. Je
1 h0 (x) = 4x − 2 a h0 (x) = 0 ⇔ 4x − 2 = 0 ⇔ x = . 2
Dále je 1 h00 (x) = 4 ⇒ h00 ( ) > 0, 2 má tedy funkce h = h(x) v nalezeném bodě lokální minimum. Pro x = 12 je y = 21 a tedy má funkce f (x, y) v bodě ( 21 , 12 ) lokální minimum vzhledem k množině M. 2. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = xy vzhledem k množině M = {(x, y); x2 + y 2 = 4}. Vazební podmínkou je kružnice, kterou snadno popíšeme parametricky rovnicemi x = 2 cos t, y = 2 sin t, t ∈ R. Funkce f (x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít lokální extrém funkce h(t) = f (2 cos t, 2 sin t) jako funkce jedné proměnné v R. Je h(t) = 4 cos t sin t = 2 sin 2t,
h0 (t) = 4 cos 2t 47
a
h00 (t) = −8 sin 2t.
Nulové body derivace jsou body funkcí stačí uvažovat body t1 =
π , 4
π 4
t2 =
+ k π2 a vzhledem k periodicitě goniometrických 3π , 4
t3 =
5π 4
a t4 =
7π , 4
kterým na kružnici odpovídají po řadě body √ √ √ √ √ √ √ √ a1 = ( 2, 2), a2 = (− 2, 2), a3 = (− 2, − 2) a a4 = ( 2, − 2). Protože je h00 (t1 ) = h00 (t3 ) = −8 < 0 a h00 (t2 ) = h00 (t4 ) = 8 > 0 má funkce f (x, y) v bodech a1 , a3 lokální maxima a v bodech a2 , a4 lokální minima vzhledem k množině M. 3. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = 4x + 3y − 2 vzhledem k množině M = {(x, y); xy = 1}. Vazební podmínku můžeme přepsat ve tvaru y=
1 x
x ∈ (−∞, 0),
nebo y =
1 x
x ∈ (0, ∞).
Funkce f = f (x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít funkce h(x) = f (x, x1 ) lokální extrém jako funkce jedné proměnné. Je h(x) = 4x +
3 − 2, x
h0 (x) = 4 −
√
3 x2
a h00 (x) =
6 . x3
√
Nulové body derivace√jsou x1 = 23 , x√2 = − 23 , kterým odpovídají v množině M po řadě body a1 = ( 23 , √23 ), a2 = ( −2 3 , − √23 ). Dále je h00 (x1 ) > 0 a h00 (x2 ) < 0. Funkce f (x, y) má v bodě a1 lokální minimum a v bodě a2 má lokální maximum vzhledem k množině M. 4. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y, z) = xyz vzhledem k množině M = {(x, y, z); x + y + z = 3}. Vazební podmínku můžeme přepsat do tvaru z = 3 − x − y, (x, y) ∈ R2 a funkce f (x, y, z) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít funkce h(x, y) = f (x, y, 3 − x − y) lokální extrém jako funkce dvou proměnných v R2 . Tyto extrémy nalezneme postupem, který jsme uváděli v odstavci 5. Je h(x, y) = xy(3 − x − y) = 3xy − 3x2 y − 3xy 2 , (x, y) ∈ R2 . Dále je ∂h = 3y − 6xy − 3y 2 , ∂x ∂2h = −6y, ∂x2
∂h = 3x − 3x2 − 6xy, ∂y
∂2h = −6x, ∂y 2 48
∂2h = 3 − 6x − 6y. ∂x∂y
Stacionární body jsou určeny soustavou rovnic y 2 + 2xy − y = 0,
x2 + 2xy − x = 0,
která má řešení
(x1 , y1 ) = (0, 0),
(x2 , y2 ) = (0, 1),
(x3 , y3 ) = (1, 0) a (x4 , y4 ) =
1 1 , . 3 3
Jim odpovídají v množině M po řadě body
a1 = (0, 0, 3),
a2 = (0, 1, 2),
a3 = (1, 0, 2),
a=
1 1 7 , , . 3 3 3
V označení z odstavce 5 dostaneme pro jednotlivé body: 0, ∆2 = 3,
a1 = (0, 0, 3) : ∆1 = 0,
3 0
= −9 < 0;
0, −3 a2 = (0, 1, 2) : ∆1 = 0, ∆2 = = −9 < 0; −3, 0 0, −3 = −9 < 0; a3 = (1, 0, 1) : ∆1 = 0, ∆2 = −3, 0 −2, −1 1 1 7 a4 = , , : ∆1 = −2 < 0, ∆2 = = 3 > 0; −1, −2 3 3 3
Odtud plyne, že funkce f (x, y) má v bodě a4 = ( 13 , 13 , 73 ) lokální maximum vzhledem k množině M. V ostatních bodech lokální extrém nemá. 5. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y, z) = xy + xz + yz vzhledem k množině M = {(x, y, z); xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0}. 1 Vazební podmínku můžeme vyjádřit ve tvaru z = xy , x > 0, y > 0. Funkce f (x, y, z) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže má funkce 1 h(x, y) = f (x, y, xy ) lokální extrém v některém z bodů množiny {(x, y); x > 0, y > 0}. Je 1 1 h(x, y) = xy + + , x > 0, y > 0. y x Dále je
∂h 1 = y − 2, ∂x x
∂h 1 = x − 2, ∂y y
∂2h 2 = 3, 2 ∂x x
∂2h 2 = 3, 2 ∂y y
∂2h = 1. ∂x∂y
Stacionární body jsou určeny soustavou x2 y = 1, y 2 x = 1, x > 0, y > 0, která má řešení x = y = 1 a tomu odpovídá bod (1, 1, 1) v množině M. Pro tento bod dostaneme 2, 1 ∆1 = 2 > 0, = 3 > 0, 1, 2 má tedy funkce f (x, y, z) v bodě a = (1, 1, 1) lokální minimum vzhledem k množině M. 49
6. Úloha: Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x, y) = x2 + y 2 − xy + x + y v množině A = {(x, y); x + y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0}. Nejprve podle popsaného postupu hledáme lokální extrémy funkce f (x, y). Množina G = R2 a ∂f ∂f = 2x − y + 1, = 2y − x + 1. ∂x ∂y Stacionární body jsou řešením soustavy 2x − y + 1 = 0 x − 2y − 1 = 0 ⇔ x = −1 y = −1, ale tento bod není v množině A a nebudeme jej dále uvažovat. Nyní budeme vyšetřovat chování funkce na hranici. Ta se skládá ze tří úseček a nalezneme lokální extrémy funkce vzhledem ke každé z nich. M1 = {(x, y); y = 0, 0 < x < 3}. Hledáme lokální extrémy funkce h1 (x) = f (x, 0) = x2 + x, 0 < x < 3. Protože je h01 (x) = 2x + 1 = 0 ⇔ x = − 12 , funkce nemá lokální extrémy vzhledem k množině M1 . M2 = {(x, y); x = 0, 0 < y < 3.} Hledáme lokální extrémy funkce h2 (y) = f (0, y) = y 2 + y, 0 < y < 3. Je h02 (y) = 2y + 1 = 0 ⇔ y = − 21 , nemá funkce lokální extrémy vzhledem k množině M2 . M3 = {(x, y); y = 3 − x, 0 < x < 3.} Hledáme lokální extrémy funkce h3 (x) = f (x, 3 − x) = 3x2 − 9x + 12, 0 < x < 3. Je h03 (x) = 6x − 9 = 0 ⇔ x = protože je bod ( 32 , 32 ) bodem úsečky M3 , zahrneme jej do dalších úvah.
3 2
a
Množinu B tudíž tvoří body a1 = ( 23 , 32 ),
a2 = (0, 0),
a3 = (3, 0) a a4 = (0, 3).
V těchto bodech nabývá funkce f (x, y) hodnot f ( 32 , 32 ) =
21 , 4
f (0, 0) = 0,
f (3, 0) = 12,
f (0, 3) = 12
a tudíž má funkce maximum 12 v bodech (3, 0), (0, 3) a minimum 0 v bodě (0, 0). 7. Úloha: Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x, y) = 2x3 + 4x2 + y 2 − 2xy v množině A = {(x, y); x2 ≤ y ≤ 4}. Nejprve hledáme lokální extrémy funkce f (x, y). Pro stacionární body této funkce dostaneme soustavu rovnic ∂f = 6x2 + 8x − 2y = 0, ∂x
∂f = 2y − 2x = 0, ∂y
která má řešení (x, y) = (0, 0), (x, y) = (−1, −1). Pouze bod (0, 0) patří do množiny A. Nyní budeme hledat lokální extrémy vzhledem ke hranici. Ta se skládá ze dvou částí. První je částí paraboly a druhou je úsečka. M1 = {(x, y); y = x2 , −2 < x < 2}. Budeme vyšetřovat funkci h1 (x) = f (x, x2 ) = x4 + 4x2 . Pro tuto funkci je h01 (x) = 4x3 + 8x = 0, jestliže x = 0. Bod (0, 0) jsme již nalezli jako lokální extrém.
50
M2 = {(x, y); y = 4, −2 < x < 2}. Vyšetřujeme chování funkce h2 (x) = f (x, 4) = 2x3 + 4x2 − 8x + 16. Pro tuto funkci dostaneme h02 (x) = 6x2 + 8x − 8 = 0 jestliže x1 = 23 nebo x2 = − 83 . Pouze bod ( 23 , 4) patří do množiny A. Množinu B tvoří body a1 = (0, 0),
2 a2 = ( , 4), 3
a3 = (2, 4),
ya4 = (−2, 4).
Pro tyto body dostaneme hodnoty f (0, 0) = 0,
2 352 f ( , 4) = , 3 27
f (2, 4) = 64,
f (−2, 4) = 32.
Odtud plyne, že funkce f (x, y) má největší hodnotu 64 v bodě (2, 4) a nejmenší hodnotu 0 v bodě (0, 0). Neřešené úlohy. 1. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = exy vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 2}. [v bodě (1, 1) je lokální maximum] 2. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = 5x2 − 4y + 6x − 2 vzhledem k množině M = {(x, y); 2x2 − y − 1 = 0}. [lokální maximum v bodě (1, 1)] 3. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = e−x množině M = {(x, y); x2 + y 2 = 4}.
2 −y 2
(3x2 + 2y 2 ) vzhledem k
[lokální maxima v bodech (2, 0), (−2, 0), lokální minima v bodech (0, 2), (0, −2)] 4. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = x2 − y 2 vzhledem k množině M = {(x, y); x2 + y 2 = 1}. [lokální maxima v bodech (1, 0), (−1, 0), lokální minima v bodech (0, 1), (0, −1)]
51
