Tahák – sbírka vzorců/příkladů pro zkoušku INM, autor: Petr Pospíšil,
[email protected], 29. 1. 2011
A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f’(x) > 0 => rostoucí, f’(x) < 0 => klesající, f’’(x) > 0 => konvexní ᴗ, f’’(x) < 0 => konkávní ᴖ, f’’(x) = 0 ᴧ f’’’(x) != 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic: 1.1. půlení intervalů: najdu dva body kte v jednom to vychází + a v druhém -, spočítám hodnotu ve středním bodě a podle toho změním buď min nebo max, furt dokola 1.2. newtonova metoda (tečen) x1 = x0 – (f(x0))/(f’(x0)); konverguje pokud f(x0) · f’’(x0) > 0 1.3. metoda prosté inerace musí jít zderivovat, konvergovat, jen pro záporné kořeny. Zadanou rovnici přepíši do tvaru x = g(x). Zvolím počáteční x0, další xk+1 = g(xk). 2. Soustavy lineárních rovnic: 2.1. Jacobiho metoda: Funguje pouze pokud v zadání |x1| > |x2| + |x3| ᴧ |x2| > |x1| + |x3| ᴧ |x3| > |x2| + |x1| (je ostře diagonálně dominantní) Pokud nesplňuje, zkusím přeskládat aby splňovala. Z 1. rovnice vyjádřím x1, z 2. x2 a z 3. x3. Pokud nejde vyjádřit, přeskládám aby šlo vyjádřit. Zvolím počátační odhady do tabulky – první řádek tabulky. Většinou nuly pokud nemám nic lepšího. Postupně dopočítávám další řádky s použitím předchozích dokud to není dost přesné. 2.2. Gaus-seidlova metoda Stejné jak Jacobiho, ale výsledky používám hned jak je to možné. Ale pokud není ostře diagonálně dominantní, stačí když je pozitivně definitivní, to je pokud má det. všech stupňů > 0. Převod na pozitivně definitivní: K čtvercové matici udělalám T T transponovanou, a pak Ax = b => A Ax = A b (levou I pravou stranu vynásobím transponovanou, záleží na pořadí operandů!), vzniklá matice určitě konverguje pro GS metodu. 3. Soustavy nelineárních rovnic: 3.1. metoda prosté iterace: Soustavu upravíme na tvar x = g1(x,y), y = g2(x,y). Zvolím počáteční aproximace x0 a y0. Počítám další aproximace xk+1 = g1(xk,yk), yk+1 = g2(xk,yk). Skončím až |xk+1 - xk|< Ɛ |yk+1 - yk|< Ɛ. Metoda může divergovat a zpravidla také diverguje. 3.2. metoda tečen: Spočítám matici parciálních derivací. Do této matice dosadím počáteční odhady x0 a y0. Dostanu levou stranu soustavy. Počáteční odhady dosadím také do zadaných fcí, obrácenou pravou stranu. Vyřeším soustavu. K výsledku přiču xk-1 a yk-1. Dostávám xk a yk. Pokračuju znovu dosazováním a získáváním soustavy. Př. 1: Zadání: f1(x,y) = (x-1)2+y2-4; f2(x,y) = x+(y+1)2-1. (
Matice derivací:
)
(
) Volím x0 = 0, y0 = -2. (
1. Krok Dosadím x0 a y0 do F’ a také do zadání, dostávám Vyřeším.
=> x1 = x0 + (
2. Krok
)
)
( ). Sestavím soustavu s obrácenými F.
= 0 + 0.25 = 0.25. y1 = y0 + (
= -2 + 0.125 = -1.875.
) Sestrojím soustavu.
x2 = x1 + = 0.25 + 0.01226 = 0.26226. y2 = y1 + Aproximace funkcí Jde o to vytvořit přibližný předpis funkcí pro pár zadaných bodů - interpolace. 4.1. Lagrangeův interpolační polynom: Př. 2: Zadání: xi -1 0 2 3
Vyřeším:
= -1.875 + 0.01593 = -1.85907. Atd.
4.
fi
5
Řešení: Mám zadané
10
2
1 4 body, takže polynom bude nejvýše 3. stupně.
4.2. Newtonův interpolační polynom: Pn (x) = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0)(x − x1) + · · · + an (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1). a0, a1.. jsou poměrné diference – první řádek tabulky. Při dosazování x zůstává x! xi
fi
x0
f0 = a0
x1
f1
x2
f2
x3
f3
fi, i+1
fi, i+1, i+2
fi, i+1, i+2, i+3
4.3. Spline – metoda nejmenších čtverců: Po částech nasekaný polynom, navazující plynule na sebe. Ve společných bodech musí mít stejné derivace (tečny). Př. 3: Zadání: x -3 0 3 5 y -2 1 2 3 Sestrojím tabulku, poslední řádek jsou sumy: 2 3 4 2 xi yi xi xiyi xi xi x i×yi
Tahák – sbírka vzorců/příkladů pro zkoušku INM, autor: Petr Pospíšil,
[email protected], 29. 1. 2011
-3 0 3 5 a 5
-2 1 2 3 b 4
9 0 9 25 c 43
6 0 6 15 d 27
-27 0 27 125 e 125
81 0 81 625 f 787
-18 0 18 75 g 75
Prokládám přímkou: poc_bod a b 4 a+5 b=4 a c d 5 a + 43 b = 27
Prokládám parabolou: poc_bod a c b 4 a + 5 b +43 c = 4 a c e d 5 a + 43 b +125 c = 27 c e f g 43 a + 125 b + 787 c = 75
y = a + bx y = 0.25 + 0.59x
2
y = a + bx + cx 2
poc_bod = počet bodů které mám zadané
y = -0.57x + 0.70x - 0.06
5. Numerické derivování 5.1. Chci dostat zderivovanej předpis: Mám body. Proložím vhodným interpolačním polynomem. Zderivuju polynom. 5.2. Chci dostat derivace v jednotlivých bodech: Musím stanovit krok h. Pak podle vzorce. 5.2.1. Základní vzorec:
5.2.2. Vylepšený vzorec:
5.2.3. Další vzorce:
5.2.4. Pouze sečna mezi dvěma body:
6.
Numerická integrace Používá se tam, kde něco nelze zintegrovat. Používáme Newton-Cotesovy vzorce. 6.1. Obdélníková metoda ∫
(
)
6.2. Lichoběžníková metoda ∫
(
)
hyba:
6.3. Simpsonova metoda ∫
(
(
)
)
Toto je podobné jako lichoběžníková, ale prokládám křivkou. Potřebuji hodnotu v počátečním, koncovém a středovém bodě. 6.4. Složená lichoběžníková metoda ∫
(
)
První a poslední bod se násobí ½. Interval
rozdělím na m dílků délky
.
Chyba:
Prý prakticky nelze určit . Největší možná chyba: | | | | Výpočet M2: Provedu druhou derivaci. Za x zkouším dosazovat něco z t tak, abych dostal co nejvyšší výsledek. | |
Př. 4: 6.5. Složená Simpsonova metoda ∫
| |
| |
Tahák – sbírka vzorců/příkladů pro zkoušku INM, autor: Petr Pospíšil, [email protected], 29. 1. 2011
Interval rozdělím na sudý počet m dílků délky
.
Chyba:
Nejvyšší možná chyba: | | |
|
M4 spočítám podle stejného principu jako M2 výše. Diferenciální rovnice Dostanu zadanou y’=f(x,y) a musím z toho dostat y(x)=?. Potřebuji PP, aby bylo 1 řešení. Nezískám přesný předpis, ale pouze graf (lomenou čáru). 7.1. Eulerova metoda
7.
Postupně dopočítávám další body, f(xi, yi) je směrnice a získám ji dosazováním do zadání. Př. 5: Zadání: y’ = y-2x; y(0) = 1; volím h=1. Toto je pro mě y0. y1 = 1+1×1 = 2 Na 1 jsem přišel: y’ = y-2x = 1-2×0 = 1 y2 = 2+1×0 = 2 Na 0 jsem přišel: y’ = y-2x = 2-2×1 = 0 y3 = 2+1×(-2) = 0 Na -2 jsem přišel: y’ = y-2x = 2-2×2 = -2 y4 = 0+1×(-6) = -6 Na -6 jsem přišel: y’ = y-2x = 0-2×3 = -6 Výsledkem je tabulka + graf. 7.2. První modifikovaná Eulerova metoda (
)
(
)
(
)
i 0 1 2 3 4
xi 0 1 2 3 4
yi 1 2 2 0 -6
7.3. Druhá modifikovaná Eulerova metoda
7.4. Metoda Rungeho-Kutty 4. řádu
Funkce
Derivace
Funkce
Derivace
c (kons.)
0
x
1
xn
nxn-1
xα
αxα-1
ex
ex
ax
axln(a)
ln(x) sin(x) tg(x) arcsin(x)
√
cosh(x)
(a f(x) + b g(x))‘ = a f‘(x) + b g‘(x) )
cosh(x)
∫
∫
∫
√
sinh(x)
cotgh(x) (f(x)g(x))‘ = f‘(x)g(x) + f(x)g‘(x) (f[g(x)])‘ = f‘[g(x)]g‘(x)
∫ ∫
∫
arccotg(x)
tgh(x)
(
arccos(x)
∫
∫
-sin(x)
cotg(x)
arctg(x) sinh(x)
cos(x)
∫
∫
logax cos(x)
Integrace
∫ ∫
| |
Tahák – sbírka vzorců/příkladů pro zkoušku INM, autor: Petr Pospíšil, [email protected], 29. 1. 2011
5.
B PRAVĚPODOBNOST 1.
|
Klasická PST Funguje, pokud je pro vše stejná PST. Ω – základní prostor – všechny možné výsledky náhodný jev – libovolná podmožina možných výsledků
Př. 1: 2x hodím kostkou. Jaká je PST že součet bude 4? Ω = {[1,1], [1,2],…, [6,6],}; |Ω| = 36 A = {[1,3], [2, 2], [3, 1]}; |A| = 3
Př. 2: 2x hodím kostkou. Jaká je PST 2. hod > 1.hod? Ω = {[1,1], [1,2],…, [6,6],}; |Ω| = 36 B = {[1,2], [1,3],…, [5,6]}; |A| = 15 tady to chce asi umět kombinatoriku
Př. 3: 3x hodím kostkou. PST, že nepadne 6? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116, …, 666}; |Ω| = 63 = 216 A = {111, 112, …, 555}; |A| = 53 = 125
Př. 4: 3x hodím kostkou. PST, že součet max. 5? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116, …, 666}; |Ω| = 63 = 216 A = {111, 112, …,122}; |A| = 10
Podmíněná PST – PST jevu za nějaké podmínky |
Př. 12: 3 kostky. PST, že alespoň 1x dvojka za podmínky součet 5. A … součet 5; A = {113, 131, 311, 122, 212, 221}; |A| = 6 B … alespoň 1x dvojka | 6.
7.
Nezávislé jevy Jev A je na podmínce B nezávislý, pokud přidání B neovlivní PST. Nezávislé: | (PST jevu A za podmínky B) Úplná PST Př. 13: švestky od 3 dodavatelů I … dodává 50% švestek, z toho je 5% červavých P(A|H1) = 0.05 II … dodává 30% švestek, z toho je 8% červavých P(A|H2) = 0.08 III … dodává 20% švestek, z toho je 15% červavých P(A|H3) = 0.15 a) Náhodně vyberu švestku. Jaká je PST, že je červavá? H1 … švestka od I P(H1) = 0.5 H2 … švestka od II P(H1) = 0.3 H3 … švestka od III P(H1) = 0.2 P(A) = 0.05×0.5 + 0.08×0.3 + 0.15×0.5 = 0.079. b) Vytáhl jsem červavou, jaká je PST, že je od III? |
Př. 5: 3x hodím kostkou. PST, že 3 různá čísla? Ω = {111, 112, 113, 114, 115, 116, …, 666}; |Ω| = 63 = 216 |A| = 6×5×4 = 120
Př. 6: 6 mincí. PST, že 6x líc? |Ω| = 26 = 64 A = {rrrrrr}; |A| = 1
Př. 7: 6 mincí. PST, že 3x líc, 3x rub? 0 … líc, 1 … rub |Ω| = 26 = 64 A = {lllrrr, llrrrl, lrrrll, …}; |A| = ( )= 20
7.1.
Bayesův vzorec |
( | )
Př. 14: Nemoc má 15% lidí. Pokud člověk má nemoc, test je pozitivní ve 100% případech. Pokud člověk nemá nemoc, test je pozitivní ve 10% případech. Test je pozitivní, jaká je PST, že jsem nemocný? H1 … člověk má nemoc P(H1) = 0.15 H2 … člověk má nemoc P(H2) = 0.85 A … test je pozitivní P(A|H1) = 1; P(A|H2) = 0.1 P(A) = 1×0.15 + 0.1×0.85 = 0.235 |
Př. 8: 6 mincí. PST, že |lic|>|rub|? |Ω| = 26 = 64 ( ) ( ) 2.
Př. 15: Tahám ze 3 sáčků podle toho co hodím kostkou. Jaká je pst, že vytáhnu bílou? ( )
Diskrétní PST Můžu použít pokud Ω je konečná nebo spočetná množina, a přitom ωi nemusí nastat se stejnou PST. ∑ Př. 9: Opakovaně hážu jednou mincí, dokud 2x po sobě nepadne líc. Jaká je PST, že skončím nejpozděj 5. hodem? Ω = {lllll, llllr, llrll, …}; |Ω| = 25 = 32 A = {rrll, lrrll, rlrll, rrll, rll, ll, lrll};
Jaká je PST, že vytáhnu bílou? P(A) = 1/2 P(B) = 1/3 P(C) = 1/6 P(K|A) = 1/4 P(K|B) = 1/3
Př. 16: př. 15 naopak. Vytaháhl jsem bílou. Jaká je PST že je z XXX? |
| 3.
Geometrická PST |
4.
Př. 10: H a M se domluvili, že se sejdou mezi 8 a 9 hod. Každý bude čekat 15 min. Jaká je PST, že se potkají? Spočátím obsah vybarveného / obsah celého čtverce a mám výsledek. Jevové pole Př. 11: 3 kostky. PST, že na dvou stejné číslo? |Ω| = 63, |A| = 62
P(K|C) = 1/2
|
|
|
Př. 17: 4 dodavatelé. A: dodává 30%, z toho 3% špatná B: dodává 25%, z toho 2% špatná C: dodává 25%, z toho 4% špatná D: dodává 20%, z toho 5% špatná a) Náhodně vyberu. Jaká PST, že je špatná? P(K) = 0.3x0.03 + 0.25x0.02 + 0.25x0.04 + 0.2x0.05 = 0.034 b) Vytáhl jsem bílou. Jaká PST, že je od D?
Tahák – sbírka vzorců/příkladů pro zkoušku INM, autor: Petr Pospíšil, [email protected], 29. 1. 2011
|
( )
Př. 18: Test má 4 otázky, každá 3 varianty. 10% studentů to umí, 90% tipuje. Test je zcela správně. Jaká je PST, že to uměl (je z 10%)? P(A) = 0.1 P(K|A) = 1 P(B) = 0.9
=11.1 |
| 8.
( )
( )
( ) ( )
Př. 24 Loterie, vyhává každý 5. los (20%). Koupím 15 losů, x=počet vyhrávajících. a) PST, že žádný nevyhrává? X~Bi(15,1/5)
P(K|B) =
P(K) = 0.1x1 + 0.9x
( )
(
Náhodné veličiny (diskrétní) náhodná veličina = fce. Př. 20: 4x hodím mincí. PST, že padne X rubů. Na toto jsem přišel tak, že jsem si vypsal všechny možnosti a spočítal to. P(0) = P(X=0) = 1/16 P(3) = P(X=3) = 2/16 P(1) = P(X=1) = 7/16 P(4) = P(X=4) = 1/16 P(2) = P(X=2) = 5/16 Graf: Histogram: Distribuční fce:
(
)( ) )( )
b) PST, že alespoň 3 vyhrávají? = 1 – p(0) – p(1) – p(2) = … p(1,2) spočítím přesně stejně jak p(0) 8.5.3. Poissonovo rozdělení X – počet událostí za jednotku času, průměrně nastává λ událostí za jednotku času. X~Po(λ)
EX = λ; DX = λ Př. 23 Dilema úředníka, lidi chodí náhodně. V průměru za 4lidi/1h. a) Jaká je PST, že během 20 min nepřijde nikdo? Nejprve musím určit lambda.
8.1.
8.2.
X = počet lidí/20min; X~Po(4/3)
Distribuční FCE F(x) = P(X < x); F = součet předchozích, jsou to stoupající schody Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny – jakási průměrná hodnota
b) PST, že během 20 min příjde 3 a více lidí. ( )
∑
Př. 24 Porodnice, událost – narození. V průměru 13 dětí/8hodin. X~Po(λ) a) PST, že během 1h 0 dětí. λ = 13/8
Př. 20 pokračování:
( 8.3.
∑
b) PST, že během 1/2h 2 děti. λ = 13/16 (
Př. 20 pokračování: ( 8.4.
)
Rozptyl
Směrodatná odchylka
√ 8.5. Rozdělení PST 8.5.1. Geometrické rozdělení Mnoho opakování, stejné podmínky, opakuju dokud je úspěch. X ~ Ge(p); p(k) = pk(1-p); k = 0,1,2…
Př. 21 Hážu kostkou dokud nepadne 6. a) Jaká PST, že 6 padne max 2. hodem? P(0) + P(1) b) Jaká je střední hodnota? 1 … 5 úspěch, p = 5/6 x … počet úspěšnýcho hodů; X = Ge(5/6) ( ) ( )
( )
)
)
8.5.4. Exponenciální rozdělení X – doba mezi dvěma výskyty události, λ – počet událostí za jednotku času. Podmínka: pro kladná x:
8.5.5. Normální rozdělení
√ 8.5.5.1.
Převod na standardizované normální rozdělení
Př. 25: Zadání: μ = 998[g]; σ = 6 [g]. Balení je v normě pokud má 9901010g. Náhodně vyberu, jaká je PST, že je v normě? X~No(998,62) (
8.5.2. Binomické rozdělení X~Bi(n,p) ( ) EX = np DX = np(1-p) Př. 22 5x hodím kostkou. a) EX = ?; b) PST, že padla 2x 6? X~Bi(5,1/6) a) EX = 5x(1/6) = 5/6 b)
(
) )
(
)
Př. 26: Zadání: plním 2l lahev. μ = 1992[ml], σ = 8.5[ml], X=No(1992, 8.52) a) PST, že náhodná lahev má <= 2000 ml? ( b) PST, že náhodná lahev má 1990 - 2010 ml?
)
Tahák – sbírka vzorců/příkladů pro zkoušku INM, autor: Petr Pospíšil, [email protected], 29. 1. 2011
9.2. (
Distribuční funkce – neklesající, spojitá
) (
∫ 9.3.
)
Střední hodnota Nemusím počítat s nekonečnem, ale pouze tam kde je FCE nenulová.
c) PST, že náhodná lahev má >= 2010 ml? (
∫
) 9.4.
e) Jaký objem překlročí 1% lahví? P(X > α) = 0.01 α=? (
9.
Rozptyl ∫
obráceně 9.5. )
Spojité náhodné veličiny Př. 27 V sáčku je 5 kuliček. 3 bílé a 2 černé. 3 náhodně vytáhnu. Jaká je PST, že mám X bílích? Pro X=1,2,3. p(x) = P(X=x) F(x) = P(X<x) A = {( b c c),( c b c),( c c b)}
Směrodatná odchylka
√ 10. Moive-Laplaceova věta – převod Bi na No Př. 28: 100 kostek, PST, že 6 padne 15-25x? X~Bi(100; 1/6) P(15<=x<=25) = P(15)+P(16)+… NA DLOUHO X~No(μ,σ2); μ=np; σ2 = np(1-p) 11. Testování hypotéz H0 – náhoda, H1 – není náhoda, α – určuje co je náhoda, T – kritická hodnota kterou potřebuju spočítat Př. 29: zářivky. Průměrná životnost 950h = μ, σ = 80h. X~No(950, 802). Zlepšovák: 1100h, zkouším 1 kus.
(
) (
Distribuční FCE: (
)
)
Př. 29: děti. Průměrná výška 138cm = μ, σ = 4,5cm (směr. od.) => rozptyl = 4,52. X~No(138, 4.52) 6 dětí: 138, 142, 145, 168, 149, 150 cm. náhoda?
∑
̅
∑
̅
̅
̅
√
√
Hledám zlomovou výšku T ̅ 9.1.
√ Hustota PST je nezáporná f(x), taková že:
(
̿
) (
)
∫ ( u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29
Φ(u) 0,5000000 0,5039894 0,5079783 0,5119665 0,5159534 0,5199388 0,5239222 0,5279032 0,5318814 0,5358564 0,5398278 0,5437953 0,5477584 0,5517168 0,5556700 0,5596177 0,5635595 0,5674949 0,5714237 0,5753454 0,5792597 0,5831662 0,5870604 0,5909541 0,5948349 0,5987063 0,6025681 0,6064199 0,6102612 0,6140919
u 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59
Φ(u) 0,6179114 0,6217195 0,6255158 0,6293000 0,6330717 0,6368307 0,6405764 0,6443088 0,6480273 0,6517317 0,6554217 0,6590970 0,6627573 0,6664022 0,6700314 0,6736448 0,6772419 0,6808225 0,6843863 0,6879331 0,6914625 0,6949743 0,6984682 0,7019440 0,7054015 0,7088403 0,7122603 0,7156612 0,7190427 0,7224047
u 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89
Φ(u) 0,7257469 0,7290691 0,7323711 0,7356527 0,7389137 0,7421539 0,7453731 0,7485711 0,7517478 0,7549029 0,7580363 0,7611479 0,7642375 0,7673049 0,7703500 0,7733726 0,7763727 0,7793501 0,7823046 0,7852361 0,7881446 0,7910299 0,7938919 0,7967306 0,7995458 0,8023375 0,8051055 0,8078498 0,8105703 0,8132671
u 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19
Φ(u) 0,8159399 0,8185887 0,8212136 0,8238145 0,8263912 0,8289439 0,8314724 0,8339768 0,8364569 0,8389129 0,8413447 0,8437524 0,8461358 0,8484950 0,8508300 0,8531409 0,8554277 0,8576903 0,8599289 0,8621434 0,8643339 0,8665005 0,8686431 0,8707619 0,8728568 0,8749281 0,8769756 0,8789995 0,8809999 0,8829768
u 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49
Φ(u) 0,8849303 0,8868606 0,8887676 0,8906514 0,8925123 0,8943502 0,8961653 0,8979577 0,8997274 0,9014747 0,9031995 0,9049021 0,9065825 0,9082409 0,9098773 0,9114920 0,9130850 0,9146565 0,9162067 0,9177356 0,9192433 0,9207302 0,9221962 0,9236415 0,9250663 0,9264707 0,9278550 0,9292191 0,9305634 0,9318879
u 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79
Φ(u) 0,9331928 0,9344783 0,9357445 0,9369916 0,9382198 0,9394392 0,9406201 0,9417924 0,9429466 0,9440826 0,9452007 0,9463011 0,9473839 0,9484493 0,9494974 0,9505285 0,9515428 0,9525403 0,9535213 0,9544860 0,9554345 0,9563671 0,9572838 0,9581849 0,9590705 0,9599408 0,9607961 0,9616364 0,9624620 0,9632730
) u 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09
Φ(u) 0,9640697 0,9648521 0,9656205 0,9663750 0,9671159 0,9678432 0,9685572 0,9692581 0,9699460 0,9706210 0,9712834 0,9719334 0,9725711 0,9731966 0,9738102 0,9744119 0,9750021 0,9755808 0,9761482 0,9767045 0,9772499 0,9777844 0,9783083 0,9788217 0,9793248 0,9798178 0,9803007 0,9807738 0,9812372 0,9816911
u 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31 2,32 2,33 2,34 2,35 2,36 2,37 2,38 2,39
Φ(u) 0,9821356 0,9825708 0,9829970 0,9834142 0,9838226 0,9842224 0,9846137 0,9849966 0,9853713 0,9857379 0,9860966 0,9864474 0,9867906 0,9871263 0,9874545 0,9877755 0,9880894 0,9883962 0,9886962 0,9889893 0,9892759 0,9895559 0,9898296 0,9900969 0,9903581 0,9906133 0,9908625 0,9911060 0,9913437 0,9915758
u 2,40 2,41 2,42 2,43 2,44 2,45 2,46 2,47 2,48 2,49 2,50 2,51 2,52 2,53 2,54 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00
Φ(u) 0,9918025 0,9920237 0,9922397 0,9924506 0,9926564 0,9928572 0,9930531 0,9932443 0,9934309 0,9936128 0,9937903 0,9939634 0,9941323 0,9942969 0,9944574 0,9946139 0,9947664 0,9949151 0,9950600 0,9952012 0,9953388 0,9965330 0,9974449 0,9981342 0,9986501 0,9993129 0,9996631 0,9998409 0,9999277 0,9999683
