D¨ ont´ eselm´ elet h´ azi feladat, 2011-12 tan´ ev II. f´ el´ ev
A h´ azi feladat bead´ asa az al´ a´ır´ as felt´ etele. A h´azi feladatra adott min˝os´ıt´es az (anyag els˝o fel´ere vonatkoz´o) jegyben 40% s´ullyal szerepel, ennek megfelel˝oen a min˝os´ıt´es sz´am´ert´eke 0-t´ol 40-ig terjed, a tartalmi helyess´eg (30 pont) ´es a formai megfelel´es (10 pont) alapj´an. A megold´ asokat A/4-es lapokra nyomtatva kell beadni, a WinQSB szoftver haszn´ alata eset´ en az adatok beviteli ´ es megold´ asi ´ ert´ ekeinek kinyomtat´ as´ aval. Sz¨ oveges feladatn´ al a megold´ as r¨ ovid ´ ertelmez´ es´ et is meg kell adni. Mintak´ent az el˝oad´ason megoldott feladatok szolg´alnak. A h´ azi feladat bead´ asi hat´ arideje 2012. m´arcius 30. Minden hallgat´ o egy´ eni feladatot kap, ehhez el˝osz¨or mindenkinek ki kell sz´am´ıtania k´et egy´eni param´etert: √ a = 2 + [ i] 163 − i b =2+ 14 ahol 1 ≤ i ≤ 162 a hallgat´o sorsz´ama a csatolt n´evsorban, [x] az x sz´am eg´esz r´esze. Helyes sz´am´ıt´as eset´en 2 ≤ a ≤ 14, 2 ≤ b ≤ 13.
1
2
(1) Oldja meg grafikusan az al´abbi LP probl´em´at: x1, x2 ax1 + bx2 3ax1 + bx2 2x1 3x2 z = x1 + x2
≥0 ≤ ab ≥ ab ≤b ≥a → max ´es → min
(2) Oldja meg szimplex t´abl´azat seg´ıts´eg´evel az al´abbi line´aris programoz´asi feladatot: (a)
x1, x2, x3 ≥ 0
x1 + 2x2 − x3 ≤ a + 1 4x1 − x2 + 2x3 ≤ a + b x2 + x3 ≤ a z = 3x1 + 2x2 + 5x3 → max Ellen˝orizze a megold´as´at a WinQSB szoftverrel (´es az erre vonatkoz´o adatokat is adja meg)! (3) Oldja meg az al´abbi transzshipment probl´em´at (a WinQSB Net´ work Modeling modul Network Flow csomagj´aval)! Arut kell elsz´all´ıtani h´arom telephelyr˝ol (S1, S2, S3) k´et a´trakod´asi ponton (T1, T2) kereszt¨ul n´egy rakt´arba (D1, D2, D3, D4). Az a´ruk mozg´as´at, a telephelyek ´es a´trakod´asi pontok k´eszleteit, az a´trakod´asi pontok ´es rakt´arak ig´enyeit, tov´abb´a az egys´egnyi mennyis´eg˝u ´ar´u sz´all´ıt´asi k¨olts´egeit ismerj¨uk. A feladat annak meghat´aroz´asa, hogy mennyi a´rut kell elsz´all´ıtani az egyes telephelyekr˝ol az egyes ´atrakod´asi pontokon kereszt¨ul az egyes rakt´arakba u´gy, hogy a sz´all´ıt´asi k¨olts´eg minim´alis legyen, az ig´enyeket (a k´eszletek erej´eig) kiel´eg´ıts¨uk, ´es term´eszetesen sehonnan sem sz´all´ıthatunk el az ottani k´eszletn´el t¨obbet. A k´eszleteket ´es ig´enyeket (tonn´aban) a sz´all´ıt´asi k¨olts´egeket (ezer Ft/t-ban) az al´abbi t´abl´azat adja.
3
S1 S2 S3 T1 T2 D1 D2 D3 D4 Ig´eny
S1 S2 S3 T1 6 4 6
T2 4 7 3 2
D1
D2
D3
3
4 6
5 4
D4 K´eszlet 20 + 3a 15 + b 25 + 3a 2a + 4b 6 2b
10 10+3b 20 + 3a 20 + 5a 4b
Adja meg a fenti sz´ all´ıt´ asi probl´ em´ anak megfelel˝ o line´ aris programoz´ asi feladatot is! Az Si-b˝ol Tj -be sz´all´ıtott a´r´u s´uly´at jel¨olje xij (tonn´aban), a T1-b˝ol T2-be sz´all´ıtott a´r´u s´uly´at jel¨olje y12, a Ti-b˝ol Dj -be sz´all´ıtott a´r´u s´uly´at jel¨olje zij ! Ellen˝orizze a k´eszleteket ´es ig´enyek viszony´at! (4) Egy v´allalat t = 10 + 2a + b milli´o Ft k´eszp´enzt akar befektetni. Lehet˝os´eg van 1, 2 ´es 6 h´onapos futamidej˝u let´eti jegyeket venni, ezek v´as´arl´asi felt´eteleit ´es kamathozamait az al´abbi t´abl´azat mutatja (a megadott kamatok a futamid˝ore vonatkoznak): Hozam Futamid˝o A let´eti jegy v´as´arolhat´o: 1 havi let´eti jegy: 1% 1 1., 2., 3., 4., 5., 6. h´onap elej´en 2 havi let´eti jegy: 2,5% 2 1., 3. ´es 5. h´onap elej´en 6 havi let´eti jegy: 8% 6 1. h´onap elej´en Az egyes h´onapokban a v´allalat m˝uk¨od´es´ehez sz¨uks´eges ¨osszegek rendre -6, 3a, −b, −3a, −a, -4 milli´o Ft, (a kifizet´es negat´ıv el˝ojel˝u, a befizet´es pozit´ıv el˝ojel˝u). (a) Mekkora egy f´el´ev alatt el´erhet˝o maxim´alis kamatbev´etel, ´es hogyan kell a befektet´eseket v´egrehajtani?
4
(b) Megoldhat´o-e a feladat, ha a 7. h´onap elej´en a v´allalatnak legal´abb 1, 2a milli´o Ft k´eszp´enze kell, hogy maradjon! A megold´ asban a feladat modellj´ et is le kell ´ırni! (5) Egy szupermarketben, mely a h´et els˝o hat napj´an azonos id˝oszakban van nyitva, vas´arnap pedig z´arva van, 46 f˝o dolgozik. Minden dolgoz´o egy h´eten ¨ot napot dolgozik, ´es k´et pihen˝onapja van, az egyik pihen˝onap vas´arnap, a m´asik a h´et els˝o hat napja k¨oz¨ul b´armelyik lehet. A dolgoz´ok napi b´ere azonos, 6000 Ft, kiv´eve a szombatot, a szombati b´er enn´el 50 sz´azal´ekkal magasabb. Ismert, hogy a h´et egyes napjain h´any dolgoz´ora van sz¨uks´eg a munka ell´at´as´ahoz. A jelenlegi ´ allapotot, ´ es a napi l´ etsz´ amig´ enyt az al´abbi t´abl´azat mutatja (pl. az I. munkarendben dolgoz´o h´etf˝on kap szabadnapot a szombati pihen˝onap helyett): M.rend I II III IV V VI
Szabadnap Dolgoz´ok H´etf˝o 44 Kedd 46 Szerda 40 Cs¨ut¨ort¨ok 42 P´entek 34 Szombat 24 Beosztva o¨sszesen: L´etsz´amig´eny:
H 0 8 8 6 8 4 34 30
K 8 0 8 8 8 3 34 32
Sze 6 10 0 10 4 4 34 34
Cs 8 8 6 0 8 8 38 34
P 12 12 8 8 0 6 46 44
Szo 10 8 10 10 6 0 44 40
Egy dolgoz´o napi b´ere 6000 Ft, napi o¨sszb´er 46 · 6000 = 276000 Ft/munkanap, heti b´er, a jelenlegi beoszt´as szerint, figyelembev´eve a szombati 50 sz´azal´ekos t¨obbletb´ert: 5 · 276000 + 44 · 3000 = 1512000 Ft. A feladat az, hogy a dolgoz´ok l´etsz´am´at ´es munkarendj´et u´gy alak´ıtsuk ki, hogy a l´etsz´amig´enyt kiel´eg´ıts¨uk, ´es a heti b´erk¨olts´eg a lehet˝o legkisebb legyen. A megold´ asban a feladat modellj´ et is le kell ´ırni!
5
(6) Oldja meg a k¨ovetkez˝o d¨ont´esi probl´em´at az (a) maximin, (b) maximax (c) Hurwicz (α = 0, 8 v´alaszt´assal) m´odszerrel, ´es ha t¨obb megold´as ad´odik akkor azt a szempontok X3, X4, X1, X2, X5, X6 fontoss´agi sorrendj´evel tegye egy´ertelm˝uv´e. Az alternat´ıv´ak (aj´anlatok A1, A2, A3, A4, A5) ´es szempontok X1, X2, X3, X4, X5, X6 t´abl´azata a k¨ovetkez˝o: X3-n´al a legkisebb ´ ert´ ek az ide´ alis, az X1, X2, X4 sorokban a maxim´ alis ´ ert´ ek az ide´ alis. Az aj´anlatok A1 X1 700 X2 3b + 10 X3 22000 X4 a + 3 X5 a´ X6 j
t´abl´azata: A2 A3 A4 1500 900 1000 3b + 7 3b + 1 3b + 10 19000 20000 25000 a+7 a+6 a+1 a nj j a´ j a´
A5 1200 3b + 2 25000 a+1 a´ nj
ahol na=nagyon alacsony =1 pont, a=alacsony =3 pont, ´a=´atlagos =5 pont, j=j´o =7 pont, nj=nagyon j´o =9 pont veend˝o az utols´o k´et szempontban l´ev˝o adatok sz´amszer˝us´ıt´es´ehez. Transzform´alja a t´abl´azat ´ert´ekeit az els˝o tanult m´odszerrrel. (7) Rajzolja fel a d¨ ont´ esi f´ at, majd oldja meg a k¨ ovetkez˝ o feladatot a WinQSB Decision Analysis csomagja seg´ıts´ eg´ evel! Egy v´allalatnak el kell d¨ontenie, hogy v´egezzen-e olajf´ur´ast a Kina d´eli r´esz´en. A k¨olts´eg (minden¨utt 1000$-os egys´egekben) 100 + 5a, ´es ha olajat tal´alnak, abb´ol becsl´esek szerint a v´allalatnak 600 + 40a nyeres´ege lesz. Jelenleg a v´allalat u´gy gondolja, 45% es´elye van annak, hogy olajat tal´aljanak. A f´ur´as el˝ott a v´ allalat alkalmazhat egy geol´ ogust (10 + 2b -´ert), hogy t¨obb inform´aci´ot kapjon. 50% az es´elye annak, hogy a geol´ogus kedvez˝o jelent´est ad, ´es 50% a kedvez˝otlen jelent´es es´elye
6
is. Ha kedvez˝o a geol´ogus jelent´ese, akkor 80% az es´ely arra, hogy a kiszemelt helyen olaj tal´alhat´o. Kedvez˝otlen jelent´es eset´en az olaj ottl´et´enek val´osz´ın˝us´ege 0,1. Hogyan d¨onts¨on a c´eg?
