Egész kitevôjû hatványok
823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2 + 5 + 2 = 9 ; 824. a) 2- 1 , 2- 4 , 5- 3 , 3- 5 , 2 $ 5- 4 , 4 $ 3- 8 ; b) 3 $ 2- 3 , 5 $ 3- 3 , 9 $ 2- 4 , 11 $ 7- 1 , 16 $ 5- 1 , 12 $ 10- 2 ; c) a- 3 , 3 $ x- 4 , a- 5 b- 4 , (x + 1)- 3 , (a + 2b)- 1 . 825. a) 2 $ a2 , x $ k 3 , (x 2 - y 2 )3 , a2 b5 x- 3 y 4 , b3 a- 3 ; b) p2 q- 4 r - 3 s 4 , m4 n- 5 k 3 l - 7 , (a + b)- 7 , (x - y)- 8 ; 826. (a + b)- 7 , (x - y)2 (x + y)- 1 . 4 6 1 1 1 1 827. 2 , , , , , . 10 6 2 4 6 2 3 4 a b y a b p q xy z y y2 1 6 b4 x 2 y2 828. a) 2 , , , , . a x+ y x x 3 y2 p6 J a2 + b2 N2 J a + b N2 x- y O. K O , , K b) K K ab O ab O x+ y L P L P 1+a p3 + q 3 2 2 2 829. , , x +y +z . 1-a p3 - q 3 830. 3,8 $ ab =- 1,9 . -1 J 1 1 N K - O 1 3 3 1 b + a2 73 K a2 b O = 831. a) $ x y =- ; b) K ; O = 3 3 b - a2 71 K 1 +1 O K 2 bO 832. La P (p2 - 1)( p + 1) 25 = c) . 26 p2 + 1 832. A helyesen kitöltött keresztrejtvény (a függ. 4. elsô két számjegye felcserélhetô): 832. ábra. A számjegyek összege: 43. 833. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 833. ábra. A számjegyekkel felírható legnagyobb hatjegyû szám: 999 411. 834. a) x- 2 , a10 , p14 , b- 7 , 1; b) a13 , x 8 , q- 1 , 1; 833. c) 1 + x + x 2 , 2a3 + 2a2 + 2a7 , 6y 7 + 4y 3 - 3y 2 ; d) a15 , b60 , x- 4 , p2 , 1. 835. a) a- 2 b20 x 5 , p30 q- 14 r 8 , x- 15 y- 12 s18 ; a3 b 5 c11 x 8 p10 q 4 k - 8 b) , . y6 x 16 y 2
137
IV
138
Hatvány, gyök, logaritmus
836. a) a2 b2 ,
x 4 y- 5 + x 3 y 2 + xy;
b) pq (p + q)( 1 + p2 q 2 ) , 5
-1
c) a b +
837.
IV 838. 839. 840. 841.
x3
ab
a4 - b4 + ab (a - b) + 1
1
4
a2 b
2
(a3 - b3 ) ;
3
- 4 + x - 1 + 4 - xy . , x6 y3 xy x y 100 20 16 10 a) 20 > 100 ; b) 10 > 16 ; 5 12 c) egyenlôk; d) 10 11 < 11 10 . 7 $3 7 $3 a) Ha q < 1, akkor az elsô szám, ha q > 1, akkor a második szám a nagyobb, q = 1 esetén a két szám egyenlô. b) Az elsô szám a nagyobb. a) hamis, b) hamis, c) igaz, d) igaz. a) igaz, b) igaz. A hatványozás azonosságai alapján a tört ilyen alakra hozható:
23 (23 n - 7 n ) - 4 $ 4 n (19 n - 3 n ) 41 (41 n - 25 n )
.
Innen pedig – tudva, hogy a n - b n minden n-re osztható a - b -vel – már következik az állítás. 842. A hatványozás azonosságai alapján a tört így alakítható: 7 $ 49 n + 34 $ 8 n 18 $ 2 n + 23 $ 43 n =
=
7 (41 + 8) n + 34 $ 8 n 18 $ 2 n + 23 (41 + 2) n
7 $ 41K + 41 $ 8 n 23 $ 41M + 41 $ 2 n
=
7 $ 41K + 7 $ 8 n + 34 $ 8 n 18 $ 2 n + 23 $ 41M + 23 $ 2 n
=
.
843. Legyenek a háromszög oldalai: 2 k < 2 n< 2 r . Elég belátni, hogy nincs olyan k, n, r pozitív egész számhármas, melyre 2 k + 2 n> 2 r teljesülne. Ha ugyanis ez igaz lenne, akkor 2k - r + 2n - r> 1 teljesülne, ami a feltételek miatt nyilván lehetetlen.
A négyzetgyök fogalma és azonosságai 844. a) 4, 13, 70, 50; b) x , y 2 , a - 1 , b + 3 ; c) a + 1 , 2x - 1 , 3x - 1 ; d) 3 a , 6 b , a , 9y 6 .
139
A négyzetgyök fogalma és azonosságai a b2
845. a) ac , b)
2
x y
x 2 y4 z6 a2 b 3 c 4
846. a) x $ 1, b) x $ -
3
x4 r 2
,
3
3 a b
x $ - 3,
a+b
,
x 6 y8
p2 q 2 p + q
x+ y ,
,
2
x 3 y 4 (x + y)2
x $ 6,
x # - 2,
; . x#-3
vagy
x $ 3;
1
, x $ 1, minden valós szám, minden valós szám, min2 den valós szám; c) x = 2 , x =- 3 , x # 1 vagy x $ 7 , - 6 # x # 0 . 1 847. a) x <- 3 vagy x $ 2 , x <- 2 vagy x $ , - 2 # x < 1 vagy x $ 2 , 2 x $ 2, x $ 2; 2 5 vagy x > 0 , x < 2 vagy x $ , b) x >- 3 , de x ! 3 , x # a b b x < 2 vagy x $ . a
848.
x $ 4 vagy x < 1,
1 # x < 3 vagy 6 # x < 8 , 6 # x < 8 . 1 849. a) A + B = : & x $ 5 0 , A - B = : * # x < 5 4 ; 2 b) A + B = :{ - 2 # x # 0}, A - B = :{ - 0 < x # 2}. A - B = :{ - 2 < x <- 1} . 850. A + B = :{ x # - 2 , - 1 # x # 1 , 4 # x} , 2 2 p qs q . 851. a) 5 x , 10 a b b , 11a b ,
852. a) b)
853.
4a2 x 3 d z2 z 1 xy
$
x 2 - y2
a+b
7 (p + q)
,
xy
3 pq ,
ab 2
x y
2
,
(x - y)4 2
p q
a2 b 2
,
2
a+b $
1
,
x 2 y3
x
ab2 a
.
pq
2 x
. y x - 3x + 1 854. a) hamis, b) hamis (egyenlôk) 855. a) igaz, b) hamis, c) hamis (egyenlôk), d) igaz, e) igaz. 19 $ 3; 856. a) 3 2 ; b) 6 3 ; c) 8 2 ; d) 2 e) 17 x ; f) - 4 5 ; g) 14 2b ; h) 38 3y . 2
,
p+q
857. a) 4 + 24 - 20 = 8 ; c) 7 - 2 = 5 ; e) 1;
b) 30 + 45 - 30 = 45 ; d) 8 - 3 = 5 ; f) 4.
;
IV
140
Hatvány, gyök, logaritmus
858. a) 36 + 30 + 18 - 24 = 60 ; b) 18 - 12 = 6 ; c) a2 b - b2 a = ab (a - b) ; d) a3 b - b3 a = ab (a2 - b2 ) ; e) 7 5 $ 0 = 0 ; f) b2 2 - 2 3 lb 3 + 2 l =- 2 ;
IV
g) x + y - ^ x - yh = 2y ; 3+2 2 1-2 2 + = 2; h) 2 2 i) a2 - a2 + 4 = 2 . 859. a) y ; b) 1.
860.
18 ,
100 = 10 ,
861. a) 40 , b)
a2 b ,
c)
pq ,
15 2
40 , 3
18 ,
,
x 4 y4 , a3
rt ,
b
3
x
,
y
343 . 8
,
4
12a4 ,
(x - y)2 = x - y ,
862.
200 , 7
;
100p 5 ,
4x 9 y 5 ;
x 2 y 2^ x + yh .
,
(x + a)2 = x + a ,
2 (p - q) p+q
.
863. 3, 25, 45, 75. 864. a) a2 b , x 4 y , p 5 q 3 , s9 t 13 ; b) - 2 2 , 81 3 , - 12500 2 , 3969; c) 4 + 2 3 , 9 - 4 5 , 7 - 2 10 , 30 + 12 6 ; d) a + 1 - 2 a , e) 1 + x + 2
x,
x+ y+2
xy ,
pq b p + q - 2
a + b - 2 ab ,
f) 2 + 2 - 2 1 + 2 ,
2
pq l= pq b p - q l ;
19 - 6 2 ;
nincs értelme, 2a + 1 + 2 a2 + a .
865. a) 6 + 2 ( 2 + 3 + 6 ) , 8 - 2 ( 10 + 2 - 5 ) , a2 + 3a + 1 + 2 a (1 + a) ; b) 2 20 + 8 , 4 ( 3 - 2 ) ; a b 2 x3 x2 x2 x + , + . c) 2 (a - 1) , 4 9 3 b2 a2 ab 3 b1 - 5 l , 7 b1 + 7 l , 15 b 5 + 1l ; 866. a) 2 b1 + 3 l , b)
2 b1 - 3 + 5 l ,
3 b1 + 5 - 6 l ,
5 b1 + 2 - 3 l .
141
A négyzetgyök fogalma és azonosságai a b a + 1l ,
867. a)
xb x -1+
ab b a + b l ,
y l,
p b p + 1l_ p + 1i ; xy b x -
b)
yl ,
x+ y bx- y
p bq
p l,
868. a) ab b a + b - ab l , 2
b) b a + 2 b l ,
869. a) 870. a)
5 1
3
; b)
2 x2
; b)
a
x -2
x +
2
bx-
xl ,
bp q +q
7
.
3
; c) p; d)
a - b.
x +
y
.
p- q
872. a) b4 3 - 5 l b4 3 + 5 l = 43 ; b) b7 2 + 2 3 l b7 2 - 2 3 l = 86 ; b10 3 - 1l b10 3 + 1l
c)
299
; 11 11 d) 2 b 3 + 4 2 l b 3 - 4 2 l =- 58 ; e)
=
2
b4 6 - 3lb4 6 + 3l =
174
5 5 f) b12 + 10 l b12 - 10 l = 134 ;
;
b23 - 5 7 l b23 + 5 7 l
g)
= 118 ; 3 h) 25 b2 2 + 3 l b2 2 - 3 l = 125 .
873. a) b13 - 5 l b13 + 5 l = 164 ; b) 4; c)
4 2 +2.
2
pq l ; 2
pl ;
b2 a + b lb1 + a + ab l .
; c)
; b) y
x + y l,
x l.
y+
pq b pq + q - p + pq
y xy
871. a)
x by 2
x _ x - 1ib x - 1l , 2
x - y b1 +
x - y l;
c) b y + q lb x +
c)
p + 1l ,
IV
142
Hatvány, gyök, logaritmus
874. a) 3 2 , b) c)
IV
6 3 6 3
875. a)
2 5, 35
,
5 7
,
21 ab
a,
a
ab
b)
,
b x- y
c)
,
7
x- y
4 3,
3 8,
3 2,
10 ,
10 + 15
,
5 p
,
pq q
b a,
(2 a + 3 b ) a + b d) 1,
a+b 2 2 - 1, 25.
876. a) 3 6 ,
2
2 ,
3 3+ 6
,
b
x
,
2 - 1,
d) b 2 + 1l ,
e)
a -1 a-1 b1 +
f)
xl 1-x 1-x
12 + 18 - 30
2
30 yl
x- y 2
p-q 6
-
c a + a2 - 1 m ,
,
3 5 +5 3
(3 5 + 5 3 )2
b x +
,
a-1
2 b2 3 + 3l ;
2
b 17 + 15 l
,
bp q +q
,
2 pl
p-1 + q-1 p-q
b 2 + 3 + 5 lb 10 - 2l ,
4 2 + 3 + 2 e 3 + 2 - 2 ob 2 + 1l .
2
;
pq _ p - qi
; ,
;
2
,
a b a + 1l
p2 + 1 + q 2 + 1
g)
10 - 4 5 , -
5
,
,
pq q ;
5 b 2 + 1l ,
,
5
b2 2 + 3 l
2
pq ;
2
a ,
2 6 2 ,
6-3 2,
.
;
5 + 1,
c) 3 + 3 ,
2q
,
(a - b) a + b
p-q,
6 b4 - 6 l b)
4
y;
ab ,
2 10 + 2
,
6
a ab + b a
a + 1,
x+ y
1;
ab
,
(x - y) x + y
,
11 ;
,
2
;
143
A négyzetgyök fogalma és azonosságai 2
2
877. a) e 4 + 7 - 4 - 7 o = 2 , b 2 l = 2 , tehát a kifejezés étéke: 0; b) a kifejezés negatív; c) a kifejezés értéke: 0; d) a kifejezés negatív; e) a kifejezés értéke: 0. 878. a) a kifejezés értéke: 0. 879. a)A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 879. ábra. A képezhetô hétjegyû számok száma:
7!
879.
IV
= 1260 .
2! $ 2!
880. a) 5 - 2 + 5 + 2 = 10 ; b)
1
1
-
10 - 3
=
1
10 + 3
b a + 2lb a + 1l - 2
881.
10 + 3 - 10 + 3
a-1
$
a-1
= 6.
= a.
a +3
882. a) Emeljünk négyzetre, és használjuk fel, hogy b2 - 3 lb2 + 3 l = 1. A kifejezés értéke:
6;
b) A zárójelben szereplô kifejezés.
c)
q 2 - p2 ; 1
-2
p2 - q 2 q
. A végeredmény:
;
a2 - b 2 d) A zárójelben szereplô kifejezés. e) A kifejezés második tagja:
f) A kifejezés elsô tagja:
x+ y x- y 1
. Így az eredmény:
ab a + bl
p- q
x -
. A végeredmény:
y; 1
;
a
. A végeredmény: 1;
p+ q 2
g) Az elsô zárójelben szereplô kifejezés: b a + b l . A végeredmény: 1.
883. a) Mindkét oldalt négyzetre emelve adódik az egyenlôség. b) Mindkét oldalt négyzetre emelve adódik az egyenlôség.
144
Hatvány, gyök, logaritmus
884. A bal oldal mindkét törtjének nevezôjét gyöktelenítve, a zárójeleket felbontva és összevonva a bizonyítandó egyenlôség: 3
3
b2 - 3 l + b2 + 3 l = 3 6 .
Innen négyzetre emelés után adódik az egyenlôség. 885. A belsô négyzetgyökök alatt teljes négyzetek szerepelnek:
IV
2 a a
b a - 2 + a + 2l = 4 = 2 .
886. Szorozzuk meg mindkét oldalt a ^c + ah^c + bh közös nevezôvel. Innen átrendezés, kiemelés, négyzetre emelés, majd összevonás után a c2_ c2 - b2 - a2i = 0 alakra jutunk, amibôl már következik a bizonyítandó állítás.
887. Megmutatjuk, hogy ha a > 1, akkor a - 1 + a + 1 <2 a . Ugyanis négyzetre emelés után 2a + 2 a2 - 1 < 4a,
azaz
a2 - 1 < a2 .
Ezen ötlet alapján a feladat a), b) része már könnyen igazolható. 888. Az elôzô feladat alapján ez is könnyen igazolható. 889. Emeljük négyzetre mindkét oldalt, majd összevonás után használjuk fel, hogy ad = bc . - x 2 + px - p + x $ 0 egyenlôtlenségnek kell teljesülnie. Ábrázoljuk 890. A 2 x - 2005x + 2004 a számlálóban és a nevezôben szereplô másodfokú kifejezéseket egy koordináta-rendszerben. A nevezô zérushelyei: 1 és 2004, a számláló zérushelyei: 1 és p. Ha p # 2004 , akkor az értelmezési tartomány egyetlen prímet sem tartalmaz. Ha p > 2004, 890. akkor az értelmezési tartomány: 2004 < x # p . Mivel a 2004 utáni elsô prímszám 2011, ezért a megadott kifejezés értelmezési tartománya akkor nem fog egyetlen prímet sem tartalmazni, ha p < 2011. 891. Most a - x 2 + (2 + p) x - 2p $ 0 és - x 2 + 2005 > 0 egyenlôtlenségeknek kell teljesülniük. A számláló zérushelyei: 2 és p. A nevezô zérushelyei: 0 és 2005. Az értelmezési tartománynak mindenképpen eleme a 2, ezért p < 3 kell, hogy legyen.
145
Az n-edik gyök fogalma és azonosságai - 4x 2 + 2 (a + 1) x - a $ 0 892. A és 892. 2 x - 12x + 35 > 0 egyenlôtlenségeknek kell teljesülniük. A nevezô zérushelyei: 5 és 7, a 1 a számláló zérushelyei és (lásd ábra). 2 2 1 # x < 5 vagy Az értelmezési tartomány: 2 a 7 <x # . 2 Az értelmezési tartományban akkor lesz pontosan 5 db prímszám, ha a 17 # < 19 , 34 # a < 38 . azaz 2 893. A feltételek szerint: 10a + b = a2 + b2 + 2ab , azaz
IV
a2 + 2a (b - 5) + b2 - b = 0 . Ennek az a-ban másodfokú egyenletnek csak akkor lehet egész megoldása, ha a diszkriminánsa négyzetszám: 4 (b - 5)2 - 4 (b2 - b) = K 2 ,
ahonnan
25 - 9b = R 2 .
80 = 8 + 1. Ez csak b = 1-re teljesül, ahonnan pedig a = 8 . 894. b # 2005. Azt vizsgáljuk, hogy az elsô két tag összege milyen b esetén lesz nagyobb a harmadik tagnál: 2005 + 20052 - b2 - 2005 - 20052 - b2 > 6 . Négyzetre emelés után a következôre jutunk: 4010 - 2 b2 > 6 ,
azaz
b < 2002.
Ezek szerint ha b < 2002, akkor a kifejezés értéke pozitív, ha b = 2002 , akkor a kifejezés értéke 0, ha 2002 < b # 2005 , akkor a kifejezés értéke negatív.
Az n-edik gyök fogalma és azonosságai 895. a) 3, -3, 2, 5, -4; b) 0,3 -2, 3, -3, -2; 2 2 1 1 1 c) , , - , , - ; 3 3 2 3 3 d) nincs értelme,
nincs értelme,
nincs értelme,
3, -
5 2
.
146
Hatvány, gyök, logaritmus
c , a , x2 . 896. a, b , 897. a) 2 $ 3 3 , 2 $ 4 2 , 3 $ 3 2 , b) 2 $ 3 b2 ,
2 $ 4 4x 3 ,
899.
3
900. a) b)
3
16 , 3
3
a4 ,
135 , 4
b5 ,
p7 q 5 , a3
8
4
5
x9
b)
3
8 ` x 3 + x 4 + x 5j ,
c)
3
p+q,
p q
902. a) 10, 3 b) , 2 c) 20, 903. a) 144, b)
n
c)
3
,
6
905.
906. 907.
xq ,
y z
4
a-b
1
d 11 ,
4
a5
,
14
x 2 y $ k + 2 xy . 4
3
4
a4 b7 c10 4
8
x y
13
4
,
3
9
.
a6 b7 ; m3
,
b5 3
pq $ 4 pq2 .
k $ n + 1 k2 ;
729 , 3
3$3 3;
n3 ,
.
4
81 ` m10 + m11j ,
_ x + yi ; 3
3
8 ` a8 b3 - 3a7 b4 + 2a4 b 5j ;
.
12, 4 2 , 6; 4 1 2 , , ; 5 15 3 10, 15, 14. ab, p2 q 2 ;
x 3n y 4n = x 3 y 4 , 144 - 19 = 5 ,
k 4
mk
2
+ 4k
n3k = m k + 4 n3 ;
100 - 19 = 3 ,
5
64 - 32 = 2 ;
3
49 - 22 = 243 , 4 121 - 57 = 16 2 . J xy N2 p3 q2 2a2 K O, a) , ; K zO 2r 3b3 L P b) x - y , m - n . a) 3 27 = 3 , 4 16 = 2 , 5 32 = 2 , 3 27 = 3 ; 1 3 2 3 b) , , , . 10 4 3 2 a) 2a, 2x, 2p; b) a2 b , x 2 y 5 , m4 n4 k 3 . ab 3x 4 y 7 2p4 q 6 , , . c z3 3r 2
d)
904.
10
a+b 3
5 3
c11 ,
x 35 y 47 ,
6
2
p
5
48 ,
901. a)
4
x$
c 3 d 2 $ k cd 3 ,
b) ab $ n a2 b ,
IV
2b $ 3 2a2 b ,
b2 $ n b ,
898. a) a $ k a ,
2$5 2,
147
Az n-edik gyök fogalma és azonosságai
908. Az a3 + b3 = _ a + bi` a2 - ab + b2j és a3 - b3 = _ a - bi` a2 + ab + b2j azonosságok alapján a) 7; b) 6. 909. Az elôzô feladat azonosságai alapján a) p + q ; b) p - q . 910. a) 6 2 , 12 3 , 10 7 , 12 5 , 42 10 ; 6
a,
c)
6
34 ,
6
4
911. a) b) c)
912. a) b) c)
913.
12
a9 ,
12
6
a17 ,
24
x7
p31 60
15
224 .
x ;
J 2 N5 K O , K9O L P
1
,
8
J 3 N4 K O . K 11 O L P
15
15
;
n14
x 98 .
p5 36
m11
,
x3 90
,
q 42
15
432 ,
b25 ;
a29 ,
36
,
y6
q11
z3 ;
2 10 ;
12
6
p13
24
11
15
b ,
a19 ,
36
12
135 ,
J 5 N4 K O , K7O L P
12
J a N4 K O , K bO L P
9
12
y5 ,
14
8
311 ,
24
J 2 N3 K O , K 3O L P
12
15
48 , a ,
29 ,
x4 ,
15
4
9
a ,
12
24
b5 ,
12
b)
q5
.
914. a) igaz, b) igaz, c) hamis, d) igaz, e) igaz. 915. a) hamis, b) hamis, c) igaz, d) igaz, e) hamis, f) igaz, g) igaz. 916. a) b)
917. a)
4
12
6
9 $ 53 ,
15
J 3 N5 K O , K2O L P 2
b)
12
c)
4
a3 ,
d)
12
a17 ,
e)
34 $ 4 3 ,
12
8,
15
27
35 $ 4 3 ,
2 6
,
3
1
,
20
12 12
J b N2 K O , K aO L P
162
b7 ,
4
15
y10
37
x 11 , 40
,
12
, 24
p 57 ,
p3
21
2 7 $ 33 .
J 5 N7 K O ; K2O L P
12
J 2 N13 K O ; K 3O L P
p11 ; 30
q19 30
4 $ 55 ;
24 $ 73 ,
12
52
30
x 11
10
J 3 N3 K O , K 5O L P
,
x 25 ,
12
55 ,
6
,
m53 ; m47 20
n37
.
IV
148
Hatvány, gyök, logaritmus
918. a) b) c)
IV
a13 12
12
12
13
b
,
a31 , J a N7 K O , K bO L P
p7 60 12
q
14
1
,
30
b27 , x 65
30
y 37
30
,
16
m n34
;
y 53 ; n25 24
m
.
919. a) 2 - 6 2 7 + 4 2 5 = 2 b1 - 6 2 + 4 2 l ; b) 3 + 6 37 - 4 35 = 3 b1 + 6 3 - 4 3 l .
920. a) a + 6 a7 - 4 a5 = a b1 + 6 a - 4 a l ; 6 - 4 27 + 6 32 - 12 2 4 $ 33 ;
b)
x 13 - 4 x 13 + 6 x 5 - 12 x 23 ; 1 3 d) p - 3 $ 6 p8 - $ 6 p7 + $ 6 p3 ; 2 2 x- y e) 3 . x+ y 2 2 d 6 m2 n 5 - 6 n2 m 5 n b m + nl = 921. A szögletes zárójel elsô tagja: . 6 mn m7 n7 m- n Ennek felhasználásával a kifejezés: . mn 922. Vigyük át a bal oldal utolsó tagját a jobb oldalra, majd emeljük köbre minkét oldalt: c)
6
3
1 - 12 $ 3 7 + 6 $ 3 49 = b2 - 3 7 l .
923. Legyen a kifejezés értéke k. Tegyünk úgy, mint az elôzô feladat esetében: 3
1 - 27 $ 3 26 + 9 $ 3 26 2 = b k - 3 26 l . A mûveletek elvégzése és a megfelelô átalakítások után kapjuk, hogy csak k = 3 lehet. Ezek után bizonyítsuk be – az elôzô feladathoz hasonlóan –, hogy 3
1 - 27 $ 3 26 + 9 $ 3 26 2 + 3 26 = 3 .
924. Az egyenlet így alakítható: a k + 2 $ nk a n + 2 = a, azaz a n + k + 4 = a nk . Innen nk - n - k - 4 = 0, (n - 1)( k - 1) = 5 . Innen pedig n = 2 , k = 6 , vagy fordítva. nk
149
Törtkitevôjû hatványok
925. Az elôzô feladathoz hasonló átalakítást végezve azt kapjuk: pq - 2q - 3p - 5 = 0 , _ q - 3i_ p - 2i = 11.
Innen q = 4 , p = 13 , vagy fordítva. 926. A kifejezés így alakítható: 2 b3 3 - 5l
3
6
b2 + 3 l $ 6
2
IV
.
4
A megfelelô mûveletek elvégzése után kapjuk, hogy a kifejezés értéke: 1.
Törtkitevôjû hatványok 927. a) 2, 2, 2, 3, 10; b) 125, 81, 32, 27, 4; 1 1 1 1 1 , , , , . c) 1000 8 25 343 10 16807 32 928. 8, 32, 3125, , . 32 243 929. a) 3 2 , 4 125 , 5 16 , 6 6 , 10 10 ; 1 1 1 4 8 b) , , , 3 , ; 9 3 169 2 2 3 3 54 3 1 1 1 c) 4 a , 3 b2 , , , ; 4 c 3 p4 x3 3
d) 3 x ,
a
,
3
y
9
930.
a $3 b,
4
12
a 3
3 8
n
.
4 $ 3 y2 1
,
m3
8
1
,
y2
3
,
x
8
,
.
q $ 4 p5
931. a) igaz, b) hamis, c) hamis, d) hamis, e) igaz. 932. a) igaz, b) igaz, c) igaz, d) hamis. 933. a) igaz, b) hamis. 3
7
r
x4,
p5,
xn,
1
934. a 3 , 2
1
1
935. a) p 3 q 3 , 3
b) a 4 , 1
1
3
3
mk . 3
r 4 s4 ,
4
7
9
4
b6 ,
x8,
y3;
1
c) a 2 b 3 c 6 ,
4
5
x5 y5, 2
x3 y9,
3
4
m6 n3 , 1
p4 q5,
13
m 20 .
2
7
a 5 b 10 ;
150
Hatvány, gyök, logaritmus 15
3
936. a 16 ,
1
3
b4 c2 , 1
5
x8 y8.
1
1
1
937. a) xy 2 - yx 2 , 10a 4 + 15a 6 , b) m5 - n5 ,
2a +
1 b2
1
2 a3 2
p - q;
1 4a 3
3
b 2 - 2b 2 ,
1
x 2 - x2 .
1
938. a) - b - 3b 2 , - 25x 3 + 4x 3 + 6 ; 1
IV
b) p 12 ,
939.
1 a) a 2 -
23 24 ,
-
m 1 b2 ;
-
p
29 24 ,
1
1
b)
940. a)
941. a)
$
7 q 18 ;
b)
2 ` m2 + n2 j _ m - ni
2
3
x2+ x4+ x4 x-
1 p3
5
x4.
1 x2
1 b2
c2 - c
3
1
.
1 1
.
b4 + b2 c4 ;
b)
1 rs
3
; c) 2y 5 .
A logaritmus fogalma és azonosságai 942. a) 3, 2, 1, 2, 0; b) 2, 2, 2, 2, 5; 1 1 1 c) -1, - , - , - , -6; 2 2 2 1 1 3 2 d) - , - , -4, , ; 3 2 2 3 1 1 5 e) - , -8, 8, - , - . 6 4 2 4 6 2 1 943. a) , , , ; 5 5 21 2 2 4 1 b) 3, -4, , - , . 3 3 25 944. a) igaz, b) igaz, c) hamis, d) igaz, e) igaz, f) hamis, g) igaz, h) igaz, i) hamis, j) igaz, k) igaz, l) igaz, m) hamis, n) igaz, o) hamis, p) igaz, q) hamis. 945. 132, 7, 8, 5, 3, 1. 16 1 946. a) 5, 36, , 100, ; 3 24 1 c) 27, 64, 16, 310 , ; 25
b) 9,
25,
d) 2,
2,
9, 3
7,
16, 3,
8; 1 5
.
151
A logaritmus fogalma és azonosságai
947. a) 36, 75, b) 57
948.
949.
950.
951.
1
9 781
,
30;
13
. 81 5 7 18 a) x > 4, x > , x >- , x > ; 2 3 5 b) x > 3, x > 4, x > 4, x > 22. 5 a) x >- , x ! 1, x > 3, x ! 5 , x > 5, x !-10 , x > 7, x ! 10 ; 3 b) - 3 < x < 5 , 3, 5 < x < 6, x > 6; c) x > 4, x > 2, x < 1 vagy x > 7, x <- 5 vagy x > 7. a) x < 2 , x > 6 , x !- 4 , x <- 2 , x > 5 , x !- 6 ; x < 0 , x > 9 , x !- 1, x ! 10 ; 1 2 1 3 b) x <- 3 , x > , x < , x > 3 , 2 < x < 3 , x <- , x > ; 2 3 3 2 0 < x < 2 , 5 < x <10 , üres halmaz; c) x <- 7 , 5 < x < 7 , x <- 7 , 1 9 3 <x # , x $ . d) 1 < x # 5 , 2 2 2 8 ! 14 a) 5 < x < 9, 2 < x # 3 , 5 # x < 6 , x ! ; 2 b) x <- 2 , - 1 < x < 1 , x > 4 , 2
,
1
x <- 3 , - 2 < x < 2 , 3 < x < 4 , x > 9 ,
x!
13 ! 29 2
952. Jelöljük R-rel az adott kifejezések értékkészletét! a) R # 0 , R # 2 , R # 8 ; b) R # 2 , R # - 4 , R # 4 . 1 1 953. a) 0 < R # 4 , R $ , R $ ; 6 25 b) R # 0 , R # 0 , R > 0, R # - 1. 954. A helyesen kitöltött keresztrejtvényt a 954. ábra mutatja. 955. A helyesen kitöltött keresztrejtvényt a 955. ábra mutatja. 954.
955.
.
IV
152
IV
Hatvány, gyök, logaritmus
956. a) lg lg lg lg lg b) lg lg lg lg 957. a) lg lg lg lg
958.
959. 960. 961. 962. 963.
x = lg a + lg b + lg c, x = lg 6 + lg p + lg q , x = lg 10 + lg m + 2 lg n , x = lg 5 + lg (r + s) , x = lg (a + b) + lg (a - b) ; x = 2 lg a + 3 lg b + 4 lg c , x = lg 2 + 6 lg p + 3 lg q + 2 lg r , x = lg (m + n) - lg (m - n) , x = lg a + lg b + lg c - lg 4 - lg T . x = lg 2 + 3 lg a - lg 3 - 2 lg b , x = lg 4 + 3 lg r + lg r - lg 3 , x = lg m + lg n - 2 lg r , x = lg a + 2 lg b + lg 2 + lg p + lg q - 2 lg r - 3 lg s ; 1 1 b) lg x = lg a + lg b - lg b - lg a , 2 2 1 lg x = 2 lg p + lg q - 3 lg q - lg (p + q) , 3 1 lg x = lg m + lg n - lg (m + n) - lg (m - n) , 5 1 1 lg x = 3 lg m + lg n - (3 lg m + lg n) ; 3 2 R V 1S 1 W c) lg x = Slg a + lg b - 4 lg aW, W 2S 2 TR X V 1 S 3 W lg x = S4 lg p + lg q - 4 lg p - 2 lg q W, W 3 S 4 X JT N 2 lg x = 5 KK 4 lg m - lg nOO, 3 L P J NN 1 K 1J 1 lg x = 4 lg s + KK 2 lg s + lg r - _lg s + 3 lg r iOOO. O 2 K 3 2 L PP L pq a) x = ab , x = , x = m2 n3 ; r J a N3 3 p2 $ 4 q 3 3 b) x = a $ b , x = , x = 5 KK OO . b r L P 3 2 3 a p q a) x = , x= 4 . 2 3 b c r a) 1, b) 3, c) 2, d) 4. a) 3, b) 1, c) 4. a) 4, b) 6, c) 3. a) -2, b) 4, c) 1, d) 3.
153
A logaritmus fogalma és azonosságai
3 964. - . 2 965. 1 404 371; 201 533; 30,057. 966. a) 306,28; 20,728; 36 202 551; b) 134 366; 17 374; 2,057 $ 10- 3 . 967. 4899,78; 5,696 $ 10- 4 ; 1,0156. 968. lg 75 = lg 15 + lg 5 = a, lg 45 = lg 15 + lg 3 = b . E két egyenlôség öszszege: 2 lg 15 + lg 3 + lg 5 = 3 lg 15 = a + b , ahonnan lg 15 =
a+b
. 3 969. lg 48 = lg 3 + 4 lg 2 = p, lg 72 = 2 lg 3 + 3 lg 2 = q . A lg 3-ban és a lg 22p - q ben a kétismeretlenes, elsôfokú egyenletrendszer megoldása: lg 2 = , 5 4q - 3p lg 3 = . 5 3q - p Tehát lg 6 = lg 2 + lg 3 = . 5 970. lg (10!) = lg 2 + lg 3 + lg 4 + lg 5 + lg 6 + lg 7 + lg 8 + lg 9 + lg 10 = = 4n + 6m + k + 2 . 1 1 + 2k 971. log 6 150 = ( log6 6 + log6 25) = . 2 2 p 1 2 = 1 - log p q = , azaz log p q = . Írjuk át a 972. A feltételbôl log p q 3 3 kiszámítandó mennyiséget p alapra. log p log p
p5
1 55 - log p q q 2 = = p 1 - log p q 1q
973. A feltételekbôl 1 1 log x a = , log x b = , p q log x a + log x b + log x c =
1 3 = 14 . 2 3
log x abc = 1 p
+
1 q
2 p+q
+ log x c =
; 2 p+q
.
Innen log x c =
2 p+q
-
1 p
-
1 q
=-
p2 + q 2 pq (p + q)
,
tehát
logc x =-
pq (p + q) p2 + q 2
.
IV
154
Hatvány, gyök, logaritmus
974. Elôször azt bizonyítjuk, hogy 2 2 < log2 3 + 2 log3 2 . Osszuk el mindkét oldalt 2 -vel: log2 3 2 2< + . log2 3 2 3
IV
Mivel 2 2 < 2 2 < 3 , így jobb oldalon egy 1-tôl különbözô, pozitív számnak és reciprokának összege szerepel, melyrôl tudjuk, hogy nagyobb 2-nél. Az egyenlôtlenség másik oldalának bizonyításához vezessük be a log2 3 = y ismeretlent. 2 y + < 3 , azaz y 2 - 3y + 2 < 0 . y Ez utóbbi egyenlôtlenség megoldása: 1 < y < 2. Mivel 1 < log2 3 < 2 , ezért az eredeti egyenlôtlenség igaz. 975. a) Térjünk át a bal oldalon a alapú logaritmusra! b) Térjünk át a jobb oldalon a alapú logaritmusra! c) Vegyük mindkét oldal b alapú logaritmusát, és alkalmazzuk a logaritmus megfelelô azonosságát! d) Térjünk át a bal oldal mindhárom tényezôjében ugyanolyan alapra (pl. a alapra)! 976. a) Az egyenlôség jobb oldala így alakítható: logc b logc a + logc b logc ab loga c 1 + loga b = 1 + = = = . logc a logc a logc a logab c b) Térjünk át az egyenlôség bal oldalán b alapra: logb an logb bn
=
logb a + logb n 1 + logb n
.
c) Térjünk át az egyenlôség bal oldalán b alapra! d) Az egyenlôség bal oldala így alakítható: logb a + logb a2 + logb a3 + logb a4 = logb (a $ a2 $ a3 $ a4 ) = logb a10 = = 10 $ logb a.
977. Írjuk át mindkét oldal minden tagját n alapra: 2 logn b = logn (c - a) + logn (c + a) = logn (c2 - a2 ) , ahonnan b2 = c2 - a2 , ez pedig Pitagorasz tétele szerint valóban igaz. 978. Az egyenlôség így alakítható: 2 log x m = log x p + log x q = log x pq , ahonnan m2 = pq , ez pedig a jól ismert magasságtétel. 979. Térjünk át minden tagban és tényezôben x alapra! A bal oldal: log x a $ log x b log x p $ log x q
.
155
Nehezebb feladatok a témakörbôl A jobb oldal: 1
log x p - log x q
1
-
log x
p
log x a $ log x b log x p log x p $ log x q q = = $ . 1 log x a - log x b log x p $ log x q a log x log x b log x a log x a $ log x b b
log x q 1
A bal oldalt és a jobb oldalt összevetve ezt kapjuk: p log x a p q = 1, ahonnan = . a b q log x b
IV
980. Mivel (2 + 3 )( 2 - 3 ) = 1, így valóban log2 +
3 (2
- 3 ) = log2 +
3 (2
+ 3 )- 1 =- 1.
981. A bal oldal mindkét tagja -1 (lásd elôzô feladat). 982. Térjünk át x alapra: _logn! xi = log x n! = log x 2 + log x 3 + log x 4 + f + log x n = -1
=
1 log2 x
+
1 log3 x
+f+
1 logn x
n
=
! i=2
1 logi x
n
=
! ( logi x)- 1 .
i=2
Nehezebb feladatok a témakörbôl 983. Elôször kiszámítjuk A-t és B-t. 1
1
J 2 9 - 2 4 N 4 J 2 4 (2 5 - 1) N 4 O =K O = 2, A=K K 31 O K O 31 L P L P -1 J N 1 B = KK- log8 OO = 3 . 2 L P A C mennyiségnek csak akkor van értelme, ha - p2 - 4p + 60 > 0 , ahonnan - 10 < p < 6 . Mivel - p2 - 4p + 60 =- (p + 2)2 + 64 , ezért C = log8 (- p2 - 4p + 60) # log8 64 = 2 . Ezek szerint csak A lehet a mértani közép: A2 = B $ C ; 4 = 3 $ log8 (- p2 - 4p + 60) , ahonnan p =- 2 ! 4 3 .
azaz
p2 + 4p - 44 = 0 ,
156
Hatvány, gyök, logaritmus
984. Ha log x 2 a = log xy b = log y2 (a + 2b) = k , akkor a = x 2k , vagyis
IV
b = xk yk 2k
k
a + 2b = y 2k ,
és
k
2k
x + 2x y = y ,
J x Nk J y Nk K O + 2 =K O . K yO K xO L P L P
azaz
J x Nk a De KK OO = = tg a , így ezt kapjuk: y b L P 1 tg a + 2 = , azaz tg2 a + 2 tg a - 1 = 0 . tg a
Innen a szóba jöhetô tg a = 2 - 1, ahonnan a = 22, 5 .
985. x > 0. A 4y 2 - 37y + 9 $ 0 egyenlôtlenség megoldása: y # y $ 9. Ezek szerint 1 vagy log2 x $ 9 ; a) log2 x # 4 1 vagy log22 x $ 9 . b) log22 x # 4 Az a) esetben x # 4 2 vagy x $ 2 9 = 512 . A b) esetben 1 1 - # log2 x # , vagy log2 x # - 3 , vagy log2 x $ 3 ; 2 2 azaz 1 2
# x# 2 ,
0 <x #
vagy
1 8
,
vagy
x $ 8.
Ábrázoljuk egy számegyenesen az A és B halmazok elemeit: 985.
A B - A halmaz elemei: 4
2 <x # 2
vagy
8 # x < 512 .
1 4
vagy
157
Nehezebb feladatok a témakörbôl
986. Mivel log x xyz9 = 1 + log x y + 9 log x z , ezért az egyenlôtlenség bal oldala így írható: 9 9 9 log x y + log y z + log z x + + + > 18 . log x y log y z log z x De
J log y 3 N x O. = 3 $ KK + log x y 3 log x y O L P Itt a jobb oldalon egy pozitív számnak és reciprokának összege szerepel, ami legalább 2. Ezek szerint J log y 9 3 N x O $ 6, log x y + = 3 $ KK + log x y 3 log x y O L P vagyis 9 9 9 log x y + log y z + log z x + + + $ 18 . log x y log y z log z x Egyenlôség akkor teljesülne, ha log x y = log y z = log z x = 3 lenne, ahonnan x = y = z = 0 vagy x = y = z = 1 lenne, tehát az eredeti egyenlôtlenség valóban igaz. 987. A kitûzött egyenlôtlenség bal oldala: (2 loga b + 4 logb a)2 + 3 , tehát (2 loga b + 4 logb a)2 + 3 > 2 3 (2 loga b + 4 logb a) , 3 2 loga b + 4 logb a + >2 3 , 2 loga b + 4 logb a 9
log x y +
2 loga b + 4 logb a
+
3
3 2 loga b + 4 logb a
> 2.
Már csak azt kell belátnunk, hogy 2 loga b + 4 logb a 4 Y 0. ! 1, azaz 2 loga b + - 3= loga b 3 Mivel a 2x 2 - 3 x + 4 = 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsa -30, így az egyenlôtlenség – és ezzel az eredeti egyenlôtlenség is – teljesül. 988. Legyen 2005 2 = a, 2005 3 = b , 2005 4 = c . Azt kell belátnunk, hogy a2 + b2 + c2 > ab + ac + bc . 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc > 0 , (a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 > 0 . Ez pedig nyilvánvaló.
IV
158
IV
Hatvány, gyök, logaritmus
989. A feladat megoldásának gondolatmenete azonos a 974. feladat megoldásával. 990. A C mennyiségnél térjünk át közös (pl. 2-es) alapra: log2 5 1 C = log2 3 $ $ = 1. log2 3 log2 5 A másik két mennyiségre: 3 A = log2 3 = log4 9 > log4 8 = , 2 3 1 < B = log3 5 = log9 25 < log9 27 = . 2 Tehát a sorrend: A > B > C. 991. Ha a ! 1, akkor (áttérve minden tagban a alapra): loga k loga k loga k loga k + = + . 1 + 2 loga b 2 + loga b 1 + loga b 2 + 2 loga b Modellezve ezt az egyenlôséget: 1 1 1 1 + = + , ahonnan 2x 2 + 5x + 2 = 2x 2 + 4x + 2 . 1 + 2x 2+x 1+x 2 + 2x Innen x = loga b = 0 , így valóban b = 1. 992. Az alábbi feltételeknek kell teljesülniük: a) x 2 - 1 > 0 , b) - x 2 + 2x + 15 > 0 , c) - log23 (x 2 - 1) + 3 log3 (x 2 - 1) + 4 $ 0 . a) esetben x > 1. b) esetben a másodfokú kifejezés zérushelyei: 5 és -3, tehát - 3 < x < 5 . c) esetben a - y 2 + 3y + 4 $ 0 egyenlôtlenséget kell megoldanunk. E másodfokú kifejezés zérushelyei: 4 és -1, tehát 2 - 1 # log3 (x 2 - 1) # 4 , ahonnan # x # 82 . 3 Mindhárom feltételt figyelembe véve az értelmezési tartomány: 2 2 -3 < x # # x < 5. vagy 3 3
993. Az alábbi feltételeknek kell teljesülniük: 4 x - 68 $ 2 x + 256 $ 0 , 16 x - 68 $ 4 x + 256 $ 0 , - x 2 + x + 30 > 0 . Az egyenlôtlenségek megoldásait ábrázoltuk az alábbi számegyenesen: 993.
Az eredeti kifejezés értelmezési tartománya: - 5 < x # 1.
159
Nehezebb feladatok a témakörbôl
994. Az x > 0, x ! 1, - 7x 2 + 29x - 4 $ 0 , log x 5 > log5 x feltételeknek kell 1 1 # x< . teljesülniük. Az eredeti kifejezés értelmezési tartománya: 7 5 995. A megadott kifejezés így írható: log
2
(a - b) - log
= log2
ab = log
2
18ab - 2ab
a-b 2
ab
= log2
a2 + b2 - 2ab ab
=
IV
= 4.
ab
996. Mivel 1
........... 2
= 2 2n ,
ezért 1
- log2 log2
n
....... 2
=- log2 log2 2 2 =- log2
1 2n
=- log2 2- n = n .
997. A téglalap koordinátái párhuzamosak a tengelyekkel, a megadott egyenes pedig áthalad az átlók metszéspontján. A téglalap T területe: T = ( lg 8 n - lg 2 n )( lg 16 n - lg 8 n ) = lg Az átlók O metszéspontja: xO = yO =
lg 2 n + lg 8 n
=
2 lg 8 n + lg 16 n 2
lg 16 n
=
2 7 2
8n 2n
16 n
$ lg
8n
= 2n2 $ lg 2 2 .
= 2n lg 2 ,
n lg 2 .
E koordináták kielégítik az y = x + 1 egyenletet, tehát 7 2
n lg 2 = 2n lg a + 1,
ahonnan
n lg 2 =
2 3
.
Tehát a téglalap T területe: J 2 N2 8 T = 2n lg 2 = 2 $ KK OO = . 3 9 L P 2
2
998. Ha y = 0 , akkor x =
9
. Ha x = 0 , akkor y =
9
log3 a log3 a- 2 Az egyenes és a tengelyek alkotta háromszög T területe:
.
160 T=
Hatvány, gyök, logaritmus 9 log3 a
9
$
-2
$
log3 a
1 2
=
81 16
,
azaz log23 a = 4 ,
IV
ahonnan a = 9
vagy
a=
1 9
.
Ha a = 9 , akkor az egyenes egyenlete: 2x - 4y = 9 . Ennek a tengelyekkel alko9 9 tott metszéspontjai: x = , y =- . 2 4 1 9 9 Ha a = , akkor - 2x + 4y = 9 . Ekkor a metszéspontok: x =- , y = . 9 2 4 Tehát két egybevágó háromszögrôl van szó. Ezek átfogója: J 9 N2 J 9 N2 9 5 K O +K O = . K2O K4O 4 L P L P Tehát a háromszög K kerülete: K=
9 2
+
9 4
+
9 5 4
=
9 4
$ (3 + 5 ) .
999. A V térfogat: V = loga b $ logb a $ loga ab = loga ab . Az A felszín: A = 2 $ ( loga b logb a + loga b loga ab + logb a loga ab) , A = 2 $ [1 + loga ab ( loga b + logb a)] = 2 $ [1 + V ( loga b + logb a)], J1 N A = 2 $ KK + loga b + logb aOO. V V L P De loga b + logb a $ 2 , így a jobb oldalon a zárójelben levô mennyiség nagyobb, mint 2, azaz A V
> 4,
és éppen ezt kellett belátnunk.
