8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

1

Typeset by LATEX 2ε

8

Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8.1

Stejnolehlost (homotetie) v rovině

Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC)

rozumíme reálné číslo, které splňuje následující podmínky: |AC| 1. |λ| = |BC| , 2. λ > 0 ⇔ C neleží mezi body A, B a λ < 0 ⇔ C leží mezi body A, B. Poznámka 8.1.1. Z definice ihned plyne, že λ ∈ < \ {0, 1}. Věta 8.1.1. Nechť (ABC) = λ. Potom platí: (BAC) =

(CBA) =

λ λ−1 ,

(CAB) =

1 1−λ .

1 λ,

(ACB) = 1 − λ, (BCA) = 1 −

1 λ

=

λ−1 λ ,

Definice 8.1.2. Je dán bod S a reálné číslo κ ∈ < \ {0, 1}. Uvažujme zobrazení H(S, κ) v rovině E2 ,

které je určeno následujícím předpisem: (i) Obrazem bodu S je bod S 0 = S. (ii) Obrazem bodu X 6= S je bod X 0 takový, že (X 0 XS) = κ. Zobrazení H(S, κ) se nazývá stejnolehlost (homotetie), bod S nazýváme střed stejnolehlosti a reálné číslo κ nazýváme koeficient stejnolehlosti. Poznámka 8.1.2. Porovnáním konstrukčních definic obou zobrazení zjistíme, že platí

H(S, −1) = S(S), tj. středová souměrnost je zvláštním případem stejnolehlosti. Poznámka 8.1.3. Obdobně bychom definovali i stejnolehlost v prostoru E3 nebo na přímce E1 . Věta 8.1.2. Stejnolehlost je prosté zobrazení. Věta 8.1.3. Inverzním zobrazením ke stejnolehlosti H(S, κ) je opět stejnolehlost, neboli

1 H−1 (S, κ) = H(S, . κ Věta 8.1.4. Ve stejnolehlosti H(S, κ) je

• obrazem přímky p přímka p0 s ní rovnoběžná; • obrazem úsečky AB úsečka A0 B 0 , přičemž |A0 B 0 | = |κ| · |AB|; • obrazem polopřímky AB polopřímka A0 B 0 , přičemž → A0 B 0 ↑↑ → AB ⇔ κ > 0 a → A0 B 0 ↑↓ → AB ⇔ κ < 0; • obrazem úhlu AV B úhel A0 V 0 B 0 shodný s úhlem AV B.

Věta 8.1.5. Stejnolehlost H(S, κ) má jediný samodružný bod – střed stejnolehlosti. Samodružnými

přímkami jsou všechny přímky procházející středem stejnolehlosti. Všechny směry jsou samodružné. Stejnolehlost 2 kružnic Věta 8.1.6. Obrazem kružnice k(S0 , r) ve stejnolehlosti H(S, κ) je kružnice k 0 (S00 , |κ|r). Věta 8.1.7. Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé. Věta 8.1.8. Dotýkají-li se dvě kružnice, potom bod dotyku je jedním ze středů stejnolehlosti.

2

Typeset by LATEX 2ε

Věta 8.1.9. Jsou-li dány 2 nesoustředné kružnice k1 , k2 (S1 6= S2 ) a přímka t, která je tečnou kružnice k1 a současně prochází jedním ze středů stejnolehlosti, potom je přímka t i tečnou kružnice k2 . Věta 8.1.10. Společná tečna 2 nesoustředných kružnic k1 (S1 , r1 ), k2 (S2 , r2 ) prochází některým ze

středů stejnolehlosti kružnic k1 , k2 nebo je rovnoběžná s přímkou S1 S2 . Poznámka 8.1.4. Předcházející věty lze využít při konstrukci společné tečny 2 kružnic. Poznámka 8.1.5. Při konstrukci společné tečny 2 kružnic lze využít metodu kontrakce a dilatace.

Skládání stejnolehlostí Věta 8.1.11. (Mongeova věta: Nechť jsou dány stejnolehlosti H1 (S1 , κ1 ), H2 (S2 , κ2 ). Složením H1 ◦ H2

vznikne 1. identita I ⇐⇒ S1 = S2 ∧ κ1 κ2 = 1; 2. translace T ⇐⇒ S1 6= S2 ∧ κ1 κ2 = 1; 3. stejnolehlost H(S, κ1 κ2 ) ⇐⇒ κ1 κ2 6= 1. Věta 8.1.12. Množina všech stejnolehlostí, všech translací a identity tvoří vzhledem k operaci skládání

grupu. Definice 8.1.3. Grupa GM z předcházející věty se nazývá Mongeova grupa. Poznámka 8.1.6. Průnikem Mongeovy grupy GM a grupy všech shodností GS je grupa tvořená stře-

dovými souměrnostmi, translacemi a identitou.

8.2

Podobná zobrazení (podobnosti). Skládání podobností

Definice 8.2.1. Je dáno kladné reálné číslo k. Zobrazení P(k) v množině M se nazývá

podobné zobrazení (zkráceně podobnost) v množině M , právě když (∀X, Y ∈ M ) (P(k) :

X −→ X 0 =⇒ |X 0 Y 0 | = k · |XY |). Y −→ Y 0

Číslo k se nazývá poměr podobnosti. Poznámka 8.2.1. M = E1 (eukleidovská přímka) — podobná zobrazení na přímce, M = E2 (euklei-

dovská rovina) — podobná zobrazení v rovině, M = E3 (eukleidovský prostor) — podobná zobrazení v prostoru Poznámka 8.2.2. Základním invariantem podobných zobrazení je poměr velikostí úseček. Z definice shodnosti dvou úhlů vyplývá, že tato vlastnost je ekvivalentní se zachováním velikosti úhlu. Definice 8.2.2. Podobnost P(1) se nazývá nevlastní podobnost. Podobnost P(k) (k 6= 1) se nazývá vlastní podobnost. Pro k > 1 hovoříme o zvětšení, pro k < 1 o zmenšení. Věta 8.2.1. Shodnost S je nevlastní podobnost. Věta 8.2.2. Každá vlastní podobnost má nejvýše jeden samodružný bod. Věta 8.2.3. Stejnolehlost H s koeficientem κ je podobnost s poměrem podobnosti |κ|. Věta 8.2.4. Každé podobné zobrazení je prosté.

3

Typeset by LATEX 2ε

Věta 8.2.5. Inverzní zobrazení k podobnosti P(k) je podobnost P( k1 ). Věta 8.2.6. Složením dvou podobných zobrazení v množině M vzniká opět podobné zobrazení v mno-

žině M . Věta 8.2.7. Každou vlastní podobnost v rovině lze rozložit na stejnolehlost a shodnost, a to v libovol-

ném pořadí. Definice 8.2.3. Podobnost, která vznikne složením stejnolehlosti a přímé (nepřímé) shodnosti se nazývá

přímá (nepřímá) podobnost. Poznámka 8.2.3. Opět platí:

Sestrojíme-li libovolný trojúhelník ABC a jeho obraz A0 B 0 C 0 v přímé podobnosti, potom jsou smysly obíhání vrcholů obou trojúhelníků souhlasné. Sestrojíme-li libovolný trojúhelník ABC a jeho obraz A0 B 0 C 0 v nepřímé podobnosti, potom jsou smysly obíhání vrcholů obou trojúhelníků opačné. Věta 8.2.8. Složením dvou přímých podobností vzniká přímá podobnost.

Složením dvou nepřímých podobností vzniká přímá podobnost. Složením přímé a nepřímé podobnosti vzniká nepřímá podobnost. D˚ usledek 8.2.1. Skládání přímých podobností je uzavřená operace. Věta 8.2.9. Všechny podobnosti v rovině vytvářejí grupu (GP , ◦). Věta 8.2.10. Všechny přímé podobnosti v rovině vytvářejí grupu (G0P , ◦), která je podgrupou grupy

všech podobností GP . Věta 8.2.11. Grupa všech shodností GS je podgrupou grupy všech podobností GP . Grupa všech

přímých shodností G0S je podgrupou grupy všech přímých podobností G0P . Věta 8.2.12. Mongeova grupa GM je podgrupou grupy všech podobností GP Věta 8.2.13. (O určenosti podobného zobrazení) Nechť jsou dány dva trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 ,

přičemž platí |A0 B 0 | = k|AB|, |B 0 C 0 | = k|BC| a |C 0 A0 | = k|CA|ÿ. Potom existuje jediná podobnost, která převádí bod A v bod A0 , bod B v bod B 0 a bod C v bod C 0 .

8.3

Podobnost trojúhelníků. Eukleidovy věty, Pythagorova věta

Definice 8.3.1. Útvar U je podobný útvaru U 0 , jestliže existuje podobnost Z, která převádí útvar U

na útvar U 0 . Značíme U ∼ U 0 . V závislosti na podobnosti Z hovoříme o útvarech přímo podobných a nepřímo podobných. Poznámka 8.3.1. Relace podobnosti je reflexivní, symetrická a tranzitivní, tj. jedná se o relaci ekviva-

lence. Ta vytváří na množině geometrických útvarů třídy navzájem podobných útvarů. Poznámka 8.3.2. Zřejmě platí:

• • • •

Každé Každé Každé Každé

2 2 2 2

kružnice jsou podobné. čtverce jsou podobné. rovnostranné trojúhelníky jsou podobné. pravidelné n-úhelníky jsou podobné.

Věta 8.3.1. Věty o podobnosti trojúhelníků

Jsou dány trojúhelníky ABC (velikosti stran a, b, c a velikosti vnitřních úhlů α, β, γ) a A0 B 0 C 0 (velikosti stran a0 , b0 , c0 a velikosti vnitřních úhlů α0 , β 0 , γ 0 ).

4

Typeset by LATEX 2ε

• Věta sss o podobnosti trojúhelníků a0 = k · a ∧ b0 = k · b ∧ c0 = k · c ∧ k > 0 =⇒ 4A0 B 0 C 0 ∼ 4ABC • Věta sus o podobnosti trojúhelníků (b0 = k · b ∧ c0 = k · c ∧ k > 0) ∧ α0 = α =⇒ 4A0 B 0 C 0 ∼ 4ABC • Věta uu o podobnosti trojúhelníků α0 = α ∧ β 0 = β =⇒ 4A0 B 0 C 0 ∼ 4ABC • Věta Ssu o podobnosti trojúhelníků (a0 = k · a ∧ b0 = k · b ∧ k > 0) ∧ a > b ∧ α0 = α =⇒ 4A0 B 0 C 0 ∼ 4ABC Věta 8.3.2. Eukleidovy věty:

Nechť je dán pravoúhlý 4ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Označme C0 patu výšky spuštěné z vrcholu C a ca , cb velikosti úseků přepony (ca = |BC0 |, cb = |AC0 |. Potom platí • a2 = ca · c b2 = cb · c;

Eukleidova věta o odvěsně

• vc2 = ca · cb

Eukleidova věta o výšce

Věta 8.3.3. Pythagorova věta:

Nechť je dán pravoúhlý 4ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Potom platí a2 + b2 = c2 .

8.4

Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed

Mocnost bodu ke kružnici Věta 8.4.1. Nechť je dána kružnice k(S, r) a bod M , který na ní neleží. Nechť p a p0 jsou dvě libovolné

sečny kružnice k, které procházejí bodem M a protínají kružnici v bodech A, B a A0 , B 0 . Potom platí |M A| · |M B| = |M A0 | · |M B 0 | = k, kde k je konstantní číslo (k > 0). Věta 8.4.2. Nechť je dána kružnice k(S, r) a její vnější bod M . Nechť p je libovolná sečna kružnice k,

která prochází bodem M a protíná kružnici v bodech A, B, a t je tečna, která se dotýká kružnice k v bodě T . Potom platí |M A| · |M B| = |M T |2 = k, kde k je konstantní číslo (k > 0). Poznámka 8.4.1. Jestliže označíme |M S| = d, potom pro vnější bod M platí

|M A| · |M B| = |M A0 | · |M B 0 | = . . . = |M T |2 = d2 − r2 . Definice 8.4.1. Nechť je dán bod M a kružnice k(S, r). Označme vzdálenost |M S|

= d.

Mocností bodu M ke kružnici k(S, r) (značíme µM k ) rozumíme číslo 2 2 µM k =d −r .

2 2 D˚ usledek 8.4.1. M je vnější bod kružnice k (tj. d > r), potom µM k = d − r > 0. M je vnitřní 2 2 bod kružnice k (tj. d < r), potom µM k = d − r < 0. M je bod na kružnici k (tj. d = r), potom 2 2 µM k = d − r = 0.

Typeset by LATEX 2ε

5

Chordála dvou nesoustředných kružnic Příklad 8.4.1. Vyšetřete množinu všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke dvěma zadaným

kružnicím k1 , k2 . Závěr: Množinou všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke kružnicím k1 (S1 , r1 ) a k2 (S2 , r2 ) (|S1 S2 | = s) je přímka c kolmá na přímku ↔ S1 S2 , jejíž patou je bod P , pro který platí |S1 P | = s2 +r12 −r22 . 2s Definice 8.4.2. Přímka c, která je množinou všech bodů v rovině majících stejnou mocnost ke kružnicím

k1 a k2 , se nazývá chordála kružnic k1 , k1 . Příklad 8.4.2. Sestrojte chordálu 2 nesoustředných kružnic k1 , k2 . A a) k1 , k2 se protínají v bodech A, B. Platí A ∈ k1 ⇒ µA k1 = 0 a A ∈ k2 ⇒ µk2 = 0. Bod A je jedním bodem chordály. Ze stejného důvodu i B ∈ c, tj. c =↔ AB.

b) k1 , k2 se dotýkají v bodě T . Platí T ∈ k1 ⇒ µTk1 = 0 a T ∈ k2 ⇒ µTk2 = 0. Bod T je jedním bodem chordály. Dále víme: c ⊥↔ S1 S2 . c) k1 ∩ k2 = ∅ — viz dále Potenční střed tří (po dvou nesoustředných) kružnic Příklad 8.4.3. Jsou dány kružnice k1 (S1 , r1 ), k2 (S2 , r2 ), k3 (S3 , r3 ) (S1 6= S2 6= S3 6= S1 ). Vyšetřete,

zdali existuje bod, který by měl stejnou mocnost ke všem kružnicím. a) S1 , S2 , S3 — kolineární. Potom chordály ch12 , ch23 , ch31 jsou navzájem rovnoběžné, přičemž buďto všechny splynou, anebo žádné dvě spolu nesplynou. b) S1 , S2 , S3 —nekolineární. Potom se chordály ch12 , ch23 , ch31 protínají v jednom bodě. Definice 8.4.3. Bod P , který má stejnou mocnost ke kružnicím k1 , k2 , k3 se nazývá potenční střed kružnic. k1 , k2 , k3 . Příklad 8.4.4. Sestrojte chordálu 2 nesoustředných kružnic k1 , k2 bez společného bodu.

1. zvolíme k3 (S3 , r3 ), S3 6∈↔ S1 S2 tak, aby k1 ∩ k3 = {A, B} ∧ k2 ∩ k3 = {C, D} 2. ch13 =↔ AB ∩ ch23 =↔ CD = {P }, 3. P ∈ ch12 ∧ ch12 ⊥ S1 S2