7. modul: Rúdszerkezetek alakváltozása, statikailag határozatlan rúdszerkezetek lecke: Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztóerői

7. modul: Rúdszerkezetek alakváltozása, statikailag határozatlan rúdszerkezetek 7.3. lecke: Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztóerői A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje támasztóerőinek meghatározását.

a

statikailag

határozatlan

rúdszerkezetek

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha  meg tudja határozni a statikailag határozatlan szerkezet fogalmát;  fel tudja a sorolni a statikai egyenleteket;  fel tudja sorolni egy tartó támasztó erő-koordinátáit;  meg tudja határozni egy statikailag határozatlan szerkezet esetén a határozottá tétel lehetséges módozatait;  fel tudja sorolni statikailag határozatlan szerkezetekre a támasztó erőrendszer meghatározásának lépéseit a Castigliano-tétel alkalmazásával;  ki tudja számítani az integrálokat;  fel tudja írni az integrálás összefüggéseit;  ki tudja számítani a statikailag határozatlan tartó/rúdszerkezet támasztóerőit;  fel tudja rajzolni a statikailag határozatlan tartó/rúdszerkezet igénybevételi ábráit. Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 50 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak:  tartó, rúdszerkezet  Castigliano-tétel, statikailag határozatlan szerkezet  statikai egyenletek, támasztóerők, támasztóerő koordináta  statikailag határozottá tétel  befalazás, görgős támasz, csukló, kényszer  erő, nyomaték  integrálás zárt alakban, numerikus integrálás (Simpson formula)  kinematikai előírás  igénybevételi ábra, veszélyes keresztmetszet

Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztóerői Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulmányozza a példát! Írja fel a statikai egyenleteket és az ismeretlen támasztóerő koordinátákat! Döntse el, hogy a tartó statikailag határozott vagy határozatlan! Tartalom: a) A Castigliano-tétel alkalmazása statikailag határozatlan szerkezetekre: A tétel alkalmazását egy példán mutatjuk be. Adott: a síkbeli terhelésű rúdszerkezet méretei, y megtámasztásai és terhelése. F FAz z B A M Ax FAy

l

FBy

Feladat: a támasztó erőrendszer meghatározása. 3 statikai egyenlet : Fz  0, Fy  0, M x  0  A tartó statikailag egyszeresen határozatlan.

4 ismeretlen támasztó erő (nyomaték) koordináta ( FAz , FAy , FBy , M Ax ). Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Elemezze a határozottá tétel logikáját! Írja fel és értelmezze a megoldás gondolatmenetének a lépéseit! Tartalom: A megoldás gondolatmenete: 1. lépés: A szerkezetet a megtámasztás módosításával statikailag határozottá tesszük. A statikailag határozottá tétel többféle módon történhet. -  ) lehetőség: y FAz M Ax FAy

A görgős támaszt elhagyjuk. Szükség van egy olyan FBy erőre, amely

F

z

B

A l

FBy

biztosítja, hogy a B pont y irányban ne mozduljon el.

Az FBy -ból származó igénybevételeket külön kezeljük: Ty ( z )  Ty 01 ( z )  FBy t1 ( z ) ,

M hx ( z )  M 01 ( z )  FBy m1 ( z ) .

Indítsa el a videót! Figyelje meg az átalakítást! A video megtekintéséhez lépjen vissza és nézze meg!

-  ) lehetőség: y F

FAz

z

B

A

M Ax FAy

l

A befalazás helyett csuklós támaszt alkalmazunk. Szükség van egy olyan M Ax nyomatékra, amely biztosítja, hogy az A keresztmetszet az x tengely körül ne forduljon el.

FBy

Az M Ax -ból származó igénybevételeket külön kezeljük: Ty ( z )  Ty 02 ( z )  M Ax t2 ( z ) , M hx ( z)  M 02 ( z)  M Ax m2 ( z ) . Még további lehetőségek is vannak. A statikailag határozottá tett tartóra továbbra is hat a megfelelő támasztó erő / támasztó nyomaték koordináta, de ezt a terheléshez tartozónak tekintjük. Így a statikailag határozottá tett tartó terhelése két részből fog állni: - az eredeti tartó terhelése, - az ismeretlen támasztóerő / támasztó nyomatékból. 2. lépés: Előírjuk azt a kinematikai korlátozást, amely egyenértékű az elhagyott kényszerrel.  ) vB  0,  )  A  0. 3. lépés: Alkalmazzuk a Castigliano-tételt: U    ) vB  0  FBy FBy 0



M

 FBy m1 

2I x E

l 

2

dz ,

  1  1     M 01  FBy m1  m1 dz  , 0    M 01m1 dz  FBy  m12 dz  , I x E l  I x E l    l 

FBy  

M

l 

01

m1 dz

m

l 

2 1

dz

U    ) A 0 M Ax M Ax 0

01

.



l 

 M 02  M Ax m2  2I x E

2

dz ,

  1  1     M 02  M Ax m2  m2 dz  , 0    M 02 m2 dz  M Ax  m22 dz  , I x E l  I x E  l    l 

M Ax  

M

l 

02

m

l 

m2 dz

2 2

dz

.

4. lépés: Ezután a többi támasztóerő koordináta már statikai egyensúlyi egyenletekből meghatározható.

Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az integrálok kiszámításának a módjait! Írja fel Simpson formulát! Tanulja meg az integrálás szabályait! Tartalom: b) Integrálok kiszámítása: Lehetőségek: - Integrálás zárt alakban: M 0  z  , m  z  függvények felírása és integrálása a Matematikában tanultak szerint. Probléma – törések, szakadások az integrálandó függvényekben. - Numerikus integrálás - Simpson (kiejtése: szimpszon) formula: y x x f (x) fj h f x dx     fb  4 f k  f j   fk 6 x x fb fj fk f j

b

b

xb

x

xk

xj

h

Megjegyzés: - Ha az integrandusz harmadfokúnál nem magasabb fokszámú polinom, akkor a formula az integrál pontos értékét szolgáltatja. - Ha az integrandusz nem polinom, vagy harmadfokúnál magasabb fokszámú polinom, akkor az integrál közelítő értékét kapjuk. - Ha az integrálandó függvényben törés, vagy szakadás van, akkor az integrálást szakaszonként, a formula többszöri alkalmazásával kell elvégezni, mert a Simpsonformula csak folytonosan deriválható függvények integrálására alkalmas. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Tanulmányozza a gyakorló feladatokat! Oldja meg önállóan is a gyakorló feladatot! Tartalom: 1. Gyakorló feladat: Statikailag határozatlan tartó támasztóerői és igénybevételi ábrái Adott: y F l  2 m , F  32 kN , I x  50000 mm4 , z C A B D E  21105 MPa . A nyírásból származó alakváltozási 2l l l energiát elhanyagoljuk. Feladat: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása. b) A tartó statikailag határozottá tétele. c) Kinematikai előírás a b) pontban kijelölt feladathoz és az ismeretlen támasztóerő meghatározása a Castigliano-tétel segítségével. d) A többi támasztóerő koordináta meghatározása. e) A statikailag határozatlan tartó igénybevételi ábráinak megrajzolása. f) A tartó veszélyes keresztmetszetének meghatározása.

g) Oldja meg az a) – d) feladatokat a statikailag határozottá tétel másik módozatával (módozataival)! Kidolgozás: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása: Az ismeretlen támasztóerő koordináták y F száma: FAz  FAy  FBy  FCy  ni  4 . FAz A B D C z Statikai egyenletek száma: ne  3 . A tartó statikailag egyszeresen 2l l l FAy FCy határozatlan. F By

b) A tartó statikailag határozottá tétele: A tartót háromféleképpen lehet határozottá tenni: - Elhagyjuk az A pontban az y irányú támasztást. - Elhagyjuk a B pontban az y irányú támasztást. - Elhagyjuk a C pontban az y irányú támasztást. Ha a harmadik esetet választjuk, akkor a tartó igénybevételei: Ty  T0  FCy tC , M hx  M 0  FCy mC . A C ponti megtámasztás elhagyásával statikailag határozottá tett tartó igénybevételi ábrái: A statikailag határozott tartó eredeti Az FCy  1 kN terheléshez tartozó terhelésének támasztóerői és támasztóerők igénybevételi ábrái: igénybevételi ábrái:

y FAz

A

FAy

B 2l

y

F D

l  FBy

C

z

l

Az eredeti terheléshez tartozó támasztóerő-rendszer meghatározása: M a  0  2 l FBy  3 l F

 FBy  1 5 F ,

M b  0  2 l FAy  l F

 FAy  0 5 F ,

Fz  0  FAz

 FAz  0 .

Az eredeti terheléshez tartozó igénybevételi ábrák:

FAz

FCy  1 kN

A FAy

B 2l

C z

D l

FBy

l

Az FCy  1 kN terheléshez tartozó támasztóerő-rendszer meghatározása:

M a  0  2 l FBy  4 l FCy  FBy  2 FCy , M b  0  2 l FAy  2 l FCy  FAy  FCy ,

Fz  0  FAz

 FAz  0 .

Az egységnyi FCy terheléshez tartozó igénybevételi ábrák:

 kN 

T0

F

tC

F z

 12 F M0

1

1

1

 12 F

 kNm 

mC

Fl

z

1

1

m

z

z

2l

c) Kinematikai előírás a b) pontban kijelölt feladathoz és az ismeretlen támasztóerő meghatározása a Castigliano-tétel segítségével: Kinematikai előírás: a C pont y irányú elmozdulása zérus ( vC  0 ). Castigliano-tétel: vC  M h2 U  dz , 2 Ix E (4 l )

U  0. FCy

M h  M 0  FCy mC ,

U



M 0  FCy mC 

2

2 Ix E

(4 l )

A kinematikai előírás: vC  1  0  M 0 mC dz  FCy I x E  (4l )



  

dz .

U 1   0  M 0  FCy mC  mC dz .  FCy I x E (4l ) 

 (4l ) m dz   2 C



FCy  



M 0 mC dz

(4 l )



mC2 dz

.

(4 l )

Az integrálok kiszámítása:



M 0 mC dz 

(4 l )

 2l  Fl 04   l    F l   2 l     6  2  

l 13 F l 3 F l  3   ,   F l   2 l   4   l  0      6 6  2  2   2l  2l  32 l 3 2 2 2 2 2   m dz  0  4    l  2 l .  4  0   2 l  l           C 6 6  6 (4 l ) 13 F l 3 13 6 FCy    F  13 kN . 3 32 l 32 6 

Az FCy pozitív, tehát a felvett FCy irányába, vagyis felfelé mutat.

d) A többi támasztóerő koordináta meghatározása: FAz  FAz  FAz  0 , FAy  FAy  FAy  0 5 F  FCy  3 kN , FBy  FBy  FBy  1 5 F  2FCy  22 kN , FCy  13 kN .

e) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak a megrajzolása: y

A 3kN Ty

kN 

32kN D

B 22kN

C z

13kN

19

19

z

3 M hx kNm

3  13

 13

12 z

 26

f) A veszélyes keresztmetszet meghatározása: y Veszélyes keresztmetszet: D  . A veszélyes keresztmetszet igénybevételei: Ty  19 kN , M hx  26 kNm . M hx  0 x Az igénybevételeket az ábra szemlélteti. Ty  0

2. Gyakorló feladat: Statikailag határozatlan tartó támasztóerői és igénybevételi ábrái y Adott: A törtvonalú tartó méretei, terhelése és A s I x  állandó, E  21105 MPa . 2m A nyírásból származó alakváltozási s z C energiát elhanyagoljuk. 3kNm

B

4m

Feladat: a) A tartó ismeretlen támasztóerő koordinátái számának és a statikai egyenletek számának meghatározása. b) A tartó statikailag határozottá tétele. c) Kinematikai előírás a b) pontban kijelölt feladathoz és az ismeretlen támasztóerő koordináta meghatározása a Castigliano-tétel segítségével. d) A többi támasztóerő koordináta meghatározása és az igénybevételi ábrák megrajzolása.

Kidolgozás: a) A tartó ismeretlen támasztóerő koordinátái számának és a statikai egyenletek számának meghatározása: Az ismeretlen támasztóerő koordináták y száma: FAy FAz FAy , FAz , FCy , FCz  ni  4 . A s A statikai egyenletek száma: ne  3 A tartó statikailag egyszeresen határozatlan. 2m FCy s C FCz z B 4m 3kNm b) A tartó statikailag határozottá tétele: A tartót négyféleképpen lehet statikailag határozottá tenni: - Elhagyjuk az A pontban az y irányú megtámasztást. - Elhagyjuk a C pontban az y irányú megtámasztást. - Elhagyjuk az A pontban az z irányú megtámasztást. - Elhagyjuk a C pontban az z irányú megtámasztást. Ha a negyedik esetet választjuk, akkor a tartó igénybevételei: T  T0  FCz tC , M hx  M 0  FCz mC . A C pontbeli z irányú megtámasztás elhagyásával statikailag határozottá tett törtvonalú tartó igénybevételi ábrái: Eredeti terheléshez tartozó igénybevételi ábrák: y FAy

FAy

FAz

A s FCy

s

B

C

FAz

A s

D

2m

3kNm

A FCz  1 kN terheléshez tartozó igénybevételi ábrák: y

D

2m

4m

A támasztóerő-rendszer meghatározása: M a  0  4 FCy  3  FCy  0 75 kN ,

FCy

s

z

B

C

FCz z

4m

A támasztóerő-rendszer meghatározása:

M a  0  4 FCy  2 FCz  FCy  0 5 FCz ,

M d  0  4 FAy  3  FAy  0 75 kN ,

M d  0  4 FCy  2 FCz  FAy  0 5 FCz ,

Fz  0  FAz

Fz  0  FAz  FCz



FAz  0 .

Az eredeti terheléshez tartozó nyomatéki ábra:



FAz   FCz .

Az egységnyi FCz terheléshez tartozó nyomatéki ábra:

A M0

C

B

s

kNm

mC

A

B

m

2

C

s

s

3

c) Kinematikai előírás a b) pontban kijelölt feladathoz és az ismeretlen támasztóerő koordináta meghatározása a Castigliano-tétel segítségével: Kinematikai előírás az, hogy a C pont z irányú elmozdulása zérus ( wC  0 ). Castigliano-tétel: M hx2 U  ds , 2 Ix E (6 m )

wC 

U 0. FCz

M hx  M 0  FCz mC ,



U



 M 0  FCz mC 

(6 m)

2 Ix E

2

ds .

A kinematikai előírás: wC 



U 1 1 1 0 M 0 mC ds  FCz  mC2 ds   M 0  FCz mC  mC ds    FCz I x E (6 m ) I x E (6 m ) IxE (6 m )

 1    M 0 mC dz  FCz  mC2 dz  .  I x E  (6 m ) (6 m ) 

Az integrálok kiszámítása: 4 3 M 0 mC dz    3  2  4  1 5 1  0  8 kNm , 6 (6 m )





mC2 dz 

(6 m )

2 4 2 2 2 2 0  4 1   2     2   4 1  0  8 m3 .     6 6

A FCz támasztóerő koordináta meghatározása: FCz  



M 0 mC dz

(6 m )



(6 m )

2 C

m dz



8  1 kN . 8

s

Az FCz pozitív, tehát z irányába mutat.

d) A többi támasztóerő koordináta meghatározása és az igénybevételi ábrák megrajzolása: FAy  FAy  FAy  0 75  0 5  0 25 kN , FCy  FCy  FCy  0 75  0 5  0 25 kN ,

FAz  FAz  FAz  0  1  1 kN . A N

kN

B 1

s

C

1

s 0, 25

0, 25 T kN 

s

1

1

M h kNm

0, 25

2 s

1

Veszélyes keresztmetszetek: Hajlításra és nyírásra: B  , Húzásra: B  .