7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový element soustava sil F1 ,F2 ,F3, je napjatost elementu určena 9 složkami napětí: 6 smykovými a 3 normálovými (Obr. 7.1):
Obr. 7.1: Napjatost v objemovém infinitezimálním elementu Při zachování podmínky rovnováhy vzhledem k těžišti elementu platí:
σ
12
= σ
σ
21
23
= σ
σ
32
13
= σ
31
(7.1)
a tedy pro určení napjatosti systému postačí 6 složek napětí z celkových 9. Lineární vztah mezi napětím a deformací vyjadřuje Hookův zákon v obecném tvaru:
σ = kε , σ ≠ f ( t ) σ σ σ σ σ σ
C1111 C1122 C 2211 22 ... 33 = ... 13 ... 23 C 12 1211 11
(7.2) C1133
C1113
C1123
C1112 ε 11 ε 22 ε . 33 ε 13 ε 23 C1212 ε 12
(7.3)
Polymerní látky se deformují lineárně elasticky jen při velice nízkých hodnotách deformace.
7.1 Vymezení důležitých pojmů Základní typy deformačního namáhání schematicky znázorňuje Obr. 7.2.
Obr. 7.2: Způsoby deformačního namáhání Napěťový stav se často vyjadřuje pomocí invariant napětí a deformace, což jsou veličiny nezávislé na souřadném systému. Vyjádříme-li poměrné deformace:
λ 1 = 1 + ε 11
λ 3 = 1 + ε 33
λ 2 = 1 + ε 22
(7.4)
Pro invarianty deformace platí: 2
I1 = λ 1 + λ 2
2
2
+λ3
2
2
2
(7.5) 2
2
I2 = λ 1 λ 2 + λ 1 λ 3 + λ 2 λ 3 V I 3 = λ 1λ 2 λ 3 = V0
2
(7.6)
2
(7.7)
Invarianty napětí:
I 3 = − σ 11σ
2 23
I1 = σ
11
+σ
22
+σ
33
I2 = σ
2 12
+σ
2 23
+σ
2 31
− σ 22σ
2 31
− σ 33σ
2 12
(7.8) − σ 11σ
+ σ 11σ 22σ
33
22
− σ 22σ
+ 2σ 12σ 23σ
31
33
− σ 33σ
11
(7.9)
(7.10)
Často je žádoucí určit, jak se složky napětí změní se změnou orientace souřadného systému. Zavedeme-li předpoklad, že složky napětí v jedné rovině jsou rovny nule, pak se napjatost systému zjednodušuje na dvojsou (rovinnou). Elementem vymezeným rozměry b a dx schématicky znázorněným na Obr. 7.3 vedeme řez pod úhlem α (v našem případě 45°). Smykové τα a normálové σα napětí v řezu určíme z rovnice rovnováhy sil:
Obr. 7.3: Změna orientace souřadného systému Pro bilanci sil nejprve vyjádříme: Fα τ = τ a a = τ
a
Fα σ = σ a a = σ
dx sin α a
(7.11)
dx (7.12) sin α
Pro přehlednost znázorníme rozklad smykových a normálových napětí odděleně (Obr. 7.4) a pouze pro jeden kvadrant:
Obr. 7.4: Rozložení smykových a normálových napětí
Výpočet τα: −σ
11
cosα dx + σ
τ α = − 1 / 2( σ
11
−σ
22
22
sin α .b − σ
) sin 2α
+σ
12
21
sin α dx + σ
cos 2α
21
cosα .b − τ α
(7.14)
dx = 0 sin α
(7.13)
Výpočet σα:
σ
11
sin α dx + σ
σ
α
= −σ
Výpočet
τ
τ
α +
α+
Vyjádření
σ
π 2
σ
π α + 2
π 2
12
22
cos α .b − σ
sin 2α + σ
11
12
cosα dx − σ
sin 2 α + σ
22
21
cos 2 α
sin α .b − σ
α
dx = 0 (7.15) sin α
(7.16)
:
= −τ α
α+
π 2
=σ
(7.17)
: 12
sin 2α + σ
11
cos 2 α + σ
22
sin 2 α
(7.18)
Nyní budeme zjišťovat, zda existuje taková orientace souřadného systému, že smyková napětí vymizí: 1 τ α ,m = − sin 2α ( σ 11 − σ 22 ) + σ 12 cos 2α = 0 (7.19) 2 po úpravě:
α
m
=
1 2σ 12 cot g 2 σ 11 − σ 22
(7.20)
a normálová napětí dosáhnou extrémních hodnot: dσ α = − 2σ dα
12
cos 2α + 2σ
11
sin α . cosα + 2σ
22
cosα ( − sin α ) = 0
(7.21)
po derivaci a úpravě:
α
m
=
1 2σ 12 cot g 2 σ 11 − σ 22
(7.22)
V soustavě existují 2 plochy pod úhlem αm a α m + π / 2 , kde jsou smyková napětí rovna nule a normálová napětí jsou extrémní. Tato napětí se pak označují jako hlavní σ1, σ2.
7.2 Vztah napětí-deformace pro jednosměrné protažení (stlačení) Pro jednosměrné protažení/stlačení izotropního elementu znázorněném na Obr. 7.5 platí:
Obr. 7.5: Jednosměrné protažení (a) a stlačení (b) izotropního tělesa Napětí ve směru osy protahování/stlačení:
σ
11
=σ
(7.23)
0
Napětí ve zbývajících směrech:
σ
22
=σ
33
= 0 (7.24)
Deformace pro jednosměrné protažení:
ε 11 =
l − l0 〉 0 podélné prodloužení ε 11 〈 0 (7.25) l0
ε 22 =
a − a0 〈 0 boční zkrácení a0
ε 22 〉 0 (7.26)
ε 33 =
b − b0 〈 0 boční zkrácení b0
ε 33 〉 0 (7.27)
Deformace při jednosměrném stlačení:
Poměr bočního zkrácení a podélného prodloužení při jednosměrném tahovém namáhání se nazývá Poissonův poměr:
ν = −
ε 22 ε 11
(7.28)
Poměrná změna objemu pro malé deformace: ∆V = ε 11 + ε 22 + ε 33 V
(7.29)
Vztah mezi napětím a deformací vyjádříme Hookovým zákonem pro jednosměrné protažení/stlačení:
σ
11
= Eε 11
(7.30)
Konstantou úměrnosti mezi napětím a deformací pro namáhání na tah/tlak je modul pružnosti v tahu (Youngův modul) E. Deformace v jednotlivých směrech vyjádříme:
ε 11 =
σ
(7.31)
11
E
ε 22 = ε 33 = − ν ε 11 = −
ν σ 11 E
(7.32)
Poměrnou změnu objemu lze následně vyjádřit:
σ ∆V = ε 11 − 2ν ε 11 = ε 11 (1 − 2ν ) = 11 (1 − 2ν V E
) (7.33)
a Poissonův poměr zapsat:
ν =
1 1 dV 1 − 2 V dε 11
(7.34)
Hodnotě Poissonova poměru pro nestlačitelné látky (ν = 0,5) se nejvíce blíží pryž hodnotou 0,499; další příklady materiálů jsou zachyceny v Tab. 7.1. Tab. 7.1: Hodnoty Poissonova poměru pro vybrané materiály Materiál Materiál ν diamant 0,23 LDPE ocel 0,28 PS zlato 0,23 PMMA voda 0,3 PA-66
ν 0,4 0,38 0,33 0,44
7.3 Vztah napětí-deformace pro všestranné stlačení vlivem hydrostatického tlaku Působení hydrostatického tlaku vyvolá všestranné stlačení tělesa, jak je schématicky znázorněno na Obr. 7.6.
Obr. 7.6: Schematické znázornění deformace elementu vlivem všestranného stlačení (působením hydrostatického tlaku) Normálová napětí vyvolaná v jednotlivých směrech mají stejnou hodnotu:
σ
11
=σ
22
=σ
33
= − P (7.35)
Vzniklé normálové deformace mají zápornou hodnotu:
ε 11 = ε 22 = ε 33 > 0
(7.36)
Spojením vyjádření hydrostatického (negativního) tlaku:
(σ 11 + σ
22
+σ
33
) /3 =
−P
(7.37)
a vyjádření objemové změny: ∆ V / V = 3ε (7.38) získáme Hookův zákon ve tvaru: P = − K ( ∆ V /V )
(7.39)
kde K je objemový modul pružnosti.
7.4 Vztah napětí-deformace pro smykové namáhání
Obr. 7.7 Schematické vyjádření smykového namáhání Smyková síla působící na element vyvolá napětí:
σ
21
=τ
(7.40)
a deformaci: ε 21 = ( ∂ u 2 / ∂ x1 + ∂ u1 / ∂ x2 ) = tg α = γ (7.41) Vztah mezi smykovým napětím a smykovou deformací vyjadřuje Hookův zákon ve tvaru:
τ = Gγ
(7.42)
kde G je modul pružnosti ve smyku.
7.5 Vztahy mezi moduly Charakteristické elastické konstanty materiálu jsou Youngův modul pružnosti v tahu E, smykový modul pružnosti G, objemový modul pružnosti K a Poissonův poměr ν. Při znalosti hodnoty jednoho modulu a Poissonova poměru lze další moduly vypočítat, protože mezi nimi existuje vzájemný vztah. K plné definici lineárního elastického deformačního chování izotropního tělesa při dané teplotě tedy stačí znát hodnoty dvou charakteristických konstant ze čtyř.
7.5.1 Vztah mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem objemové pružnosti K Pro vyjádření vztahu mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem objemové pružnosti K budeme kombinovat deformaci způsobenou tahem a všestranným stlačením. Při všestranném stlačení jsou normálové složky napětí všechny stejně velké a vyrovnávající působení všestranného tlaku P. Například složka napětí σ11 vyvolá deformace v jednotlivých směrech:
ε 11 = σ
11
/ E = − P / E (7.43)
ε 22 = ε 33 = − σ 11ν / E = Pν / E
(7.44)
Deformace vzniklé účinkem dalších složek napětí (σ22, σ33) jsou stejné. Zavedením předpokladu malých deformací platí:
∆ V / V = ε 11 + ε 22 + ε 33 = 3( − P / E + 2 Pν / E ) = − 3P / E (1 − 2ν
)
(7.45)
a spojením s vyjádřením Hookova zákona pro všestranné stlačení (7.39) získáme vztah mezi modulem pružnosti v tahu a modulem objemové pružnosti: E = 3K (1 − 2ν
)
(7.46)
7.5.2 Vztah mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem pružnosti ve smyku G Pro vyjádření vztahu mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem pružnosti ve smyku G budeme kombinovat deformaci způsobenou tahem a smykem, jak je schématicky znázorněno na Obr. 7.8. K tomuto účelu nám poslouží modelová situace, kdy na objemový element o jednotkových rozměrech, do něhož je vepsán stejný element pootočený o úhel 45°, působí normálová síla F, vyvolávající napětí σ11. Deformace, kterou vyvolá normálové napětí je schematicky znázorněna na Obr. 7.8.
Obr. 7.8: Schématické vyjádření vztahu mezi moduly E a G Deformaci elementu vyjádříme prostřednictvím deformace úhlu úhlopříčky elementu:
tg ( π / 4 − α / 2) =
1 + ε 22 = (1 + ε 22 )(1 − ε 11 ) = 1 − ε 11 + ε 22 = 1 − ε 11 − ν ε 11 = 1 − [ ε 11 (1 + ν 1 + ε 11
)]
(7.47) pro malé deformace zároveň platí: π α 1 − tg (α / 2 ) 1 − (α / 2 ) α tg − = = = 1− = 1− α = 1− γ 2 4 2 1 + tg (α / 2 ) 1 + (α / 2 ) 2
(7.48)
kde: α – úhel zkosu vepsaného elementu γ – smyková deformace. Porovnáním (7.47) a (7.48) získáme vyjádření deformace:
γ = ε 11 (1 + ν
) (7.49)
Dosazením za smykovou a normálovou deformaci dle Hookova zákona (smykové napětí působící na vepsaný element má poloviční hodnotu normálového napětí) pak získáme vztah mezi moduly: E = 2G (1 + ν
) (7.50)
