7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v
C.
Numerické
°e²ení rovnic
7
Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v
C.
Numerické °e²ení rovnic
(typy algebraických rovnic a základní metody jejich °e²ení lineární, kvadratické, reciproké rovnice a rovnice vy²²ích °ád·, rovnice a nerovnice nealgebraické s neznámou ve jmenovateli, s absolutními hodnotami, iracionální, lineární a kvadratické nerovnice, základní metody numerického °e²ení rovnice metoda p·lení intervalu, metoda te£en, se£en, itera£ní metoda) Rovnice a nerovnice
Rovnice s jednou neznámou je zápis rovnosti dvou výraz·, v nichº se vyskytuje ne-
známá (ozna£ená písmenem). Kaºdé £íslo, jehoº dosazení do rovnice dostaneme platnou rovnost, se nazývá °e²ení rovnice ko°en rovnice. Vy°e²it rovnici znamená najít mnoºinu ko°en·.
Nerovnice s jednou neznámou je zápis nerovnosti dvou výraz·, v nichº se vyskytuje
neznámá (ozna£ená písmenem). Ko°enem nerovnice nazýváme kaºdé £íslo, jehoº dosazením za neznámou dostaneme platnou nerovnost. Vy°e²it nerovnici znamená najít mnoºinu ko°en·. Algebraické rovnice a nerovnice
Polynomické (lineární, kvadratické, vy²²ích stup¬·) Nealgebraické rovnice a nerovnice
V podílovém tvaru S absolutní hodnotou Iracionální Exponenciální, logaritmické, goniometrické
Úpravy rovnic Ekvivalentní úpravy jsou úpravy, jimiº se mnoºina ko°en· nem¥ní (s£ítání, od£ítání, násobení). Po t¥chto úpravách není zkou²ka nutnou sou£ástí °e²ení.
Neekvivalentní úpravy jsou úpravy, jimiº se mnoºina ko°en· m¥ní (umoc¬ování). Po t¥chto úpravách je nutné provést zkou²ku.
1
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v
C.
Numerické
°e²ení rovnic
Lineární rovnice
Rovnice ax + b = 0, kde a, b ∈ R, se nazývá lineární rovnice. Mezi ekvivalentní úpravy pat°í: p°i£tení stejného výrazu obsahující neznámou (de novaného pro v²echny hodnoty neznáme z mnoºiny £ísel, v nichº rovnici °e²íme) k ob¥ma stranám rovnice, vynásobení rovnice nenulovým £íslem a ekvivalentní úpravy výraz· na obou stranách. a 6= 0 ⇒ jediným ko°enem je x =
−b a
a = 0 ∧ b = 0 ⇒ kaºdé reálné £íslo x je ko°enem a = 0 ∧ b 6= 0 ⇒ rovnice nemá °e²ení Lineární nerovnice
Nerovnice
ax + b ax + b ax + b ax + b
> ≥ < ≤
0 0 0 0
kde a, b ∈ R se nazývají lineární nerovnice. Mezi ekvivalentní úpravy pat°í: p°i£tení stejného výrazu obsahující neznámou (de novaného pro v²echny hodnoty neznáme z mnoºiny £ísel, v nichº nerovnici °e²íme) k ob¥ma stranám nerovnice, vynásobení nerovnice kladným £íslem, vynásobení nerovnice záporným £íslem a sou£asné obrácení znaku nerovnosti, ekvivalentní úpravy výraz· na obou stranách. a>0⇒x>
−b a
a<0⇒x<
−b a
a = 0 ∧ b > 0 ⇒ kaºdé reálné £íslo x je ko°enem a = 0 ∧ b ≤ 0 ⇒ rovnice nemá °e²ení
Gra cké °e²ení lineárních rovnic a nerovnic Levou i pravou stranu rovnice si vyjád°íme jako funkci a narýsujeme grafy. Pr·se£ík grafu funkcí je ko°en rovnice. Pokud jsou grafy rovnob¥ºné r·zné p°ímky, rovnice nemá °e²ení. Pokud grafy splynou v jedné p°ímce, má rovnice nekone£n¥ mnoho °e²ení. U nerovnic postupujeme stejn¥, hledáme intervaly, v nichº je graf první funkce nad (pod) grafem druhé. 2
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v
C.
Numerické
°e²ení rovnic
Kvadratická rovnice
Rovnice ax2 + bx + c = 0 kde a, b, c ∈ R, a 6= 0 se nazývá kvadratická rovnice; ax2 je její kvadratický £len, bx je lineární £len a c absolutní £len. c = 0 Rovnice bez absolutního £lenu
−b , x2 = 0 a =0
b 6= 0 ⇒ x1 = b = 0 ⇒ x12
b = 0 Ryze kvadratická rovnice r −c x12 = ± a Obecná kvadratická rovnice
b − 4ac > 0 ⇒ x12 = 2
−b ±
√
b2 − 4ac 2a
−b 2a p −b ± |b2 − 4ac|i = 2a
b2 − 4ac = 0 ⇒ x12 = b2 − 4ac < 0 ⇒ x12
a = 1 Normovaný tvar kvadratické rovnice
Viètovy vztahy Mezi ko°eny kvadratické rovnice a jejími koe cienty platí následující vztahy:
−b a c = a
x1 + x 2 = x1 · x2 Rovnice vy²²ích stup¬·
Rovnice vy²²ích stup¬· °e²íme rozloºením na sou£inový tvar (nap°. Hornerovo schéma). Poté se sou£in n¥kolika £ísel rovná nule práv¥ tehdy, kdyº alespo¬ jeden z £initel· se rovná nule.
(x + a1 ) · (x + a2 ) · (x + a3 ) · . . . · (x + an ) = 0 x1,2,...,n = −a1,2,...,n
3
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v
C.
Numerické
°e²ení rovnic
Reciproké rovnice Je-li ko°enem reciproké rovnice an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 hodnota x, je i ko°enem rovnice.
1 x
Reciproká rovnice I. druhu: an = a0 ; an−1 = a1 ; . . .
Rovnice lichého stupn¥ jedním z ko°en· je hodnota −1, proto rovnici vyd¥líme hodnotou x + 1, £ímº dostaneme rovnici sudého stupn¥
Rovnice sudého stupn¥ rovnici vyd¥líme neznámou v tolikáté mocnin¥, v
jaké je u koe cientu a n2 (ov¥°íme, zda jsme ned¥lili nulou). Povytýkáme stejné koe cienty a zavedeme Lagrangeovu substituci x + x1 = b a rovnici do°e²íme.
Reciproká rovnice II. druhu, lichého stupn¥: an = −a0 ; an−1 = −a1 ; . . . Jedním z ko°en· je hodnota 1, proto rovnici vyd¥líme výrazem x−1, £ímº dostaneme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupn¥.
Binomické rovnice Binomická rovnice xn − a = 0, kde x ∈ C; n ∈ N; a = |a|(cos α + i sin α), má v oboru komplexních £ísel práv¥ n r·zných ko°en· ve tvaru: p α + 2kπ α + 2kπ n + i sin ; k = {0; 1; . . . ; n − 1} xk = |a| cos n n Ko°eny této rovnice leºí pro n > 2 v Gausov¥ rovin¥ ve vrcholech pravidelného n-úhelníku p n vepsaného do kruºnice se st°edem v po£átku a polom¥rem |a|.
Trinomická rovnice Rovnici ve tvaru ax2n + bxn + c = 0 °e²íme zavedením substituce xn = y . Vy°e²íme výslednou kvadratickou rovnici a dále zbylé binomické rovnice. Nerovnice vy²²ích stup¬·
Nerovnice vy²²ích stup¬· °e²íme jejich p°evedením na sou£inový tvar. Sou£in dvou £ísel je v¥t²í neº nula práv¥ tehdy, kdyº jsou bu¤ oba £initelé v¥t²í neº nula, nebo oba men²í neº nula. Zavedením t¥chto podmínek vy°e²íme danou nerovnici. Nerovnici v sou£inovém tvaru m·ºeme také °e²it metodou nulových bod·. Sou£in n¥kolika nenulových £ísel je záporný práv¥ tehdy, kdyº lichý po£et £initel· je záporný, jinak je sou£in kladný.
4
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v
C.
Numerické
°e²ení rovnic
Rovnice v podílovém tvaru
Ekvivalentní úprava: vynásobení obou stran rovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je de nován pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny £ísel, v níº rovnici °e²íme. Moºnosti °e²ení: Ode£teme pravou stranu. Zlomek je roven nule, pokud je roven nule £itatel. Stanovíme podmínky °e²itelnosti a potom rovnici vynásobíme jmenovatelem. Nerovnice v podílovém tvaru
Ekvivalentní úpravy: vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je de nován a kladný pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny £ísel, v níº nerovnici °e²íme; vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je de nován a záporný pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny £ísel, v níº nerovnici °e²íme a sou£asné obrácení znaku nerovnosti. Metody °e²ení: Ode£teme pravou stranu, zlomek je nezáporný práv¥ tehdy, kdyº bu¤ je £itatel nezáporný a jmenovatel kladný nebo £itatel nekladný a jmenovatel záporný. Ode£teme pravou stranu a nerovnici vy°e²íme metodou nulových bod·: je-li alespo¬ jeden z £initel· ve jmenovateli nulový, nemá zlomek smysl; jsou-li v²ichni £initelé ve jmenovateli nenuloví a alespo¬ jeden £initel v £itateli nulový, je zlomek roven nule; jsou-li v²ichni £initelé v £itateli i ve jmenovateli nenuloví, je zlomek záporný práv¥ tehdy, kdyº je lichý po£et £initel· záporný, jinak je zlomek kladný. Stanovíme podmínky, vynásobíme nerovnici jmenovatelem a diskutujeme, zda je kladný nebo záporný. Rovnice s absolutními hodnotami
Rovnici s absolutní hodnotou |x + a| = b m·ºeme °e²it t¥mito zp·soby: Vyuºijeme geometrického významu absolutní hodnoty (vzdálenost dvou £ísel na £íselné ose).
|x − (−a)| = b x12 = −a ± b Vyuºijeme de nici absolutní hodnoty: pokud x + a ≥ 0 p°ímo odstraníme absolutní hodnotu, pokud x + a < 0 odstraníme absolutní hodnotu a její vnit°ek vynásobíme −1. Tuto metodu si uleh£íme sestavením tabulky.
5
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v
C.
Numerické
°e²ení rovnic
Nerovnice s absolutními hodnotami
e²íme st¥jn¥ jako rovnice s absolutními hodnotami s tím rozdílem, ºe v záv¥ru °e²íme nerovnici, jejíº obor °e²itelnosti je omezen ur£itým intervalem. Iracionální rovnice
Iracionální rovnice jsou rovnice s neznámou pod odmocninou. e²íme umocn¥ním obou stran na druhou, coº je d·sledková úprava, proto musíme provézt zkou²ku. Pokud jsou ob¥ strany nezáporné nebo nekladné, je umocn¥ní ekvivalentní úprava. Iracionální nerovnice
e²íme stejn¥ jako iracionální rovnice, s tím rozdílem, ºe pokud umoc¬ujeme, musíme si dát pozor, zda jsou ob¥ strany nerovnice nezáporné, pokud jsou záporné, musíme zm¥nit znak nerovnosti. Platí: 2 2 ∀ a, b ∈ R+ 0 : a < b ⇔ a < b − ∀ c, d ∈ R0 : c < d ⇔ c2 > d2 Numerické °e²ení rovnic
M¥jme funkci f spojitou na intervalu ha; bi, pro kterou platí f (a) · f (b) < 0, coº nám zaru£uje, ºe na intervalu ha; bi má alespo¬ jeden nulový bod.
Metoda p·lení interval· Interval ha; bi rozp·líme bodem c =
a+b . Mohou nastat tyto moºnosti: 2
f (c) = 0 ⇒ výpo£et ukon£íme, bod c je °e²ením rovnice f (a) · f (c) < 0 ⇒ pokra£ujeme dále na intervalu ha; ci f (c) · f (b) < 0 ⇒ pokra£ujeme dále na intervalu hc; bi Pokra£ujeme tak dlouho dokud |b − a| < ε p°esnost výpo£tu. e²ením rovnice je c.
Metoda te£en (Newtonova metoda) Newtonova metoda vyuºívá k p°esn¥j²ímu nalezení ko°ene rovnici te£ny k funkci v bod¥ c. Pr·se£ík te£ny s osou x je nový bod c. Pro výpo£et bodu c m·ºeme pouºít jednoduchý vzorec: f (ck ) ck+1 = ck − 0 f (ck ) Algoritmus opakujeme tak dlouho, dokud f (ck ) = 0 nebo dokud nedosáhneme poºadované p°esnosti: |ck+1 − ck | < ε. 6
7. Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v
C.
Numerické
°e²ení rovnic
Metoda t¥tiv (se£en) Tuto metodu vyuºíváme p°edev²ím v p°ípad¥, kdy derivace f 0 (x) je dána p°íli² sloºitým vztahem. Z krajních bod· intervalu vedeme se£nu, která protne osu x v bod¥ c, který m·ºeme ur£it následujícím vztahem:
c=
b · f (a) − a · f (b) f (a) − f (b)
Dále mohou nastat tyto moºnosti: f (c) = 0 ⇒ výpo£et ukon£íme, °e²ením je bod c f (a) · f (c) < 0 ⇒ pokra£ujeme dále na intervalu ha; ci f (c) · f (b) < 0 ⇒ pokra£ujeme dále na intervalu hc; bi Výpo£et opakujeme stále dokola do té doby, dokud nedosáhneme poºadované p°esnosti: |cn − cn−1 | < ε.
Itera£ní metoda V této metod¥ rovnici f (x) = 0 nahradíme rovnocenou rovnicí x = F (x). Funkci F (x) nazýváme itera£ní funkcí. Na po£átku zvolíme aproximaci ko°ene x0 a dále provádíme aproximace podle následujícího vzorce:
xn+1 = F (xn ) Algoritmus op¥t provádíme dokud nedosáhneme poºadované p°esnosti |xn+1 − xn | < ε. P°i pouºití této metody je vhodné správn¥ zvolit itera£ní funkci F (x). Funkce F (x) musí být na daném intervalu spojitá a musí pro ni platit: |F 0 (x)| < 1.
7
