60, 97, 157,... (steeds de voorgaande 2 getallen optellen)

G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg

9 Rijen en Goniometrie 1/13

1a

110, 116, 122, ... (steeds 6 erbij).

1b

607,5, 911,25, 1366,875 ... (steeds keer 1,5).

1c

51, 66, 83, ... (steeds 2 meer erbij).

1d

60, 97, 157, ... (steeds de voorgaande 2 getallen optellen).

2a

Tik in 6e, en vervolgens 3 * µ - 10e e e... Je krijgt: u 6 = 734 en u 8 = 6 566.

2b

De twaalfde term is u 11 = 177 152.

3a

Tik in 1000e, en vervolgens 1.1 * µ - 50e e... De zesde term is u 5 = 1 305, 255.

3b

u 7 ≈ 1 474, 4 < 1 500 en u 8 ≈ 1 571, 8 > 1 500 ⇒ vanaf de negende term.

4a

un = un −1 + 5.

5a

1, 7, 19, 43, 91, ...

5b

u 7 = 763 < 1 500 en u 8 = 1 531 > 1 500 ⇒ vanaf de negende term.

6a

un = 3 + 4un −1 met u 0 = 8 geeft u 5 = 9 215. un = un −1 + 2,1 met u 0 = 4 geeft u 5 = 14, 5.

6b 6c

6d

4b

un = 3 ⋅ un −1 .

4c

un = un −1 − 3.

4d

un = −2 ⋅ un −1 .

un = 5 + 2 un −1 met u 0 = 100 geeft u 5 ≈ 11, 97. un = 1,3un −1 met u 0 = 2 geeft u 5 ≈ 7, 43.

6e

un = u10 + 2 met u 0 = 3 geeft u 5 ≈ 4,39. n −1

7a

un = un −1 + 3 met u 0 = 48.

8a 8b

De juiste formule is un = 1, 04 ⋅ un −1 − 100 met u 0 = 1 000. u 13 ≈ 2,39 en u 14 ≈ −97,51 ⇒ op 1-1-2020 is er te weinig.

9a

un = 1, 06 ⋅ un −1 − 50 met u 0 = 1 750.

7b

un = 21 un −1 met u 0 = 20.

9b

Bij 1-1-2019, direct na het opnemen, hoort u 12 ≈ 2 677,85 (€).

9c

u 14 ≈ 2 905,83 (€) en u 15 ≈ 3 030,18 (€) ⇒ op 1-1-2022.

9d

De rente van 2007 dus 0, 06 ⋅ 1 750 = 105 (€).

10a

un = 0,70 ⋅ un −1 + 3 000 met u 0 = 20 000.

10b

Bij 6 maart, na het bijvullen, hoort u 5 ≈ 11 681 (liter).

10c

un = un −1 ⇒ un = 0, 70 ⋅ un + 3 000 ⇒ 0,30 ⋅ un = 3 000 ⇒ un = 10 000.

7c

De grenswaarde is 10 000 (liter).

11a

Elke term is de som van de twee voorafgaande termen.

11b

Omdat je de twee voorafgaande termen nodig hebt.

11c

De volgende acht: 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 en 377.

12a

un = un −1 + 6 met u 0 = 2 is de rij 2, 8, 14, 20, 26, ...

12b

2, 8, 14, 20, 26, ... ⇒ un = 2 + 6 ⋅ n . Dus a = 6.

13a

De 8e term is u 7 = 72 + 2 ⋅ 7 = 49 + 14 = 63.

13b

De 20e term is v 19 = 193 − 3 ⋅ 19 + 1 = 6803.

13c

wn = (n + 3)(n − 2) = 500 (n = 0, 1, 2, 3, ... ⇒ TABLE) ⇒ n = 22 ⇒ w 22 = 500. Dus de 23e term.

12c

u 1000 = 2 + 6 ⋅ 1 000 = 6 002.

un = un −1 − 5 met u 0 = 20.



14a

u 3 = u 2 + 3 = 13 + 3 = 16; u 4 = u 3 + 4 = 16 + 4 = 20 en u 5 = u 4 + 5 = 20 + 5 = 25.

14b

u 1 = 0,5 ⋅ 12 + b ⋅ 1 + 10 = 11 (gegeven in opgave 14) ⇒ b + 10,5 = 11 ⇒ b = 0,5.

15a 15b

u 0 = 1; u 1 = 1 + 1 + 1 = 3; u 2 = 3 + 2 + 1 = 6; u 3 = 6 + 3 + 1 = 10; u 4 = 10 + 4 + 1 = 15 en u 5 = 15 + 5 + 1 = 21. In een stapel van 5 lagen totaal = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35.

15c

In de 10e laag u 9 = 0,5 ⋅ 92 + 1,5 ⋅ 9 + 1 = 55 en in de 15e laag u 14 = 0,5 ⋅ 142 + 1,5 ⋅ 14 + 1 = 120.

15d

In een stapel van 10 lagen v 9 = 1 ⋅ (9 + 1) ⋅ (9 + 2) ⋅ (9 + 3) = 1 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ 12 = 10 ⋅ 11 ⋅ 2 = 220.

15e

vn = 61 ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3) = 680 (TABLE) ⇒ n = 14 ⇒ de stapel bestaat uit 15 lagen.

16

u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 = (2 + 3 ⋅ 0 ) + (2 + 3 ⋅ 1) + (2 + 3 ⋅ 2 ) + (2 + 3 ⋅ 3) + (2 + 3 ⋅ 4 ) = 40.

6

5

17

∑ uk

k =0 4

∑ vi

i =0 4

k =0 3

∑ uk

k =0 2

∑ vj

j =0

19

20a

= u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 72.

= v 0 + v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 3 + 4 + 7 + 12 + 19 = 45.

∑ wk

18

6

= w 0 + w 1 + w 2 + w 3 + w 4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

= u 0 + u 1 + u 2 + u 3 = 3 + 11 + 27 + 59 = 100. = v 0 + v 1 + v 2 = 100 + 103 + 106, 09 = 309, 09.

rij I: verschil steeds 3; rij IV: verschil steeds − 5;

rij II: verschil steeds 20; rij V: verschil steeds − 1.

rij III: verschil steeds 2 meer; Dus rij III hoort er niet bij.

20b

Er is een constant verschil van 5 ⇒ v = 5. Recursieve formule van deze rr: un = un −1 + 5 met u 0 = 13; directe formule van deze rr: un = 13 + 5 ⋅ n .

20c

De 38e term is u 37 = 13 + 5 ⋅ 37 = 198.

20d un = 633 ⇒ 13 + 5 ⋅ n = 633 ⇒ 5 ⋅ n = 620 ⇒ n = 124. Dus u 124 = 633. Dit is de 125e term. 21a

Een rr met u 0 = 1 023 en v = −7 ⇒ directe formule: un = 1 023 − 7 ⋅ n .

un = 246 ⇒ 1 023 − 7 ⋅ n = 246 ⇒ −7 ⋅ n = −777 ⇒ n = 111. Dus u 111 = 246. Dit is de 112e term. 21b

un > 0 ⇒ 1 023 − 7 ⋅ n > 0 ⇒ −7 ⋅ n > −1 023 ⇒ n < 146,14... ⇒ n ≤ 146. Dus 147 positieve termen.

22a

Een rr met u 0 = 251 en v = −4 ⇒ directe formule: un = 251 − 4 ⋅ n .

22b

u 18 = 251 − 4 ⋅ 18 = 251 − 72 = 179.

22d

un < 0 ⇒ 251 − 4 ⋅ n < 0 ⇒ −4 ⋅ n < −251 ⇒ n > 62,75 ⇒ n ≥ 63. Vanaf de 64e term is un < 0.

23a

2 ⋅ (1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100) = 100 ⋅ 101 ⇒ 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 1 ⋅ 100 ⋅ 101.

23b

1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 50 + 49 + 48 + ... + 3 + 2 + 1 +

22c

De 21e term is u 20 = 251 − 4 ⋅ 20 = 251 − 80 = 171.

2

51 + 51 + 51 + ... + 51 + 51 + 51

(50 keer het getal 51)

Dus 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 = 1 ⋅ 50 ⋅ 51 = 1275.

15

24a

∑ uk

k =0 34

24b

∑ uk

k =0

= 1 ⋅ aantal termen ⋅ (u 0 + u 15 ) = 1 ⋅ 16 ⋅ (12 + 4 ⋅ 15 + 12) = 8 ⋅ 84 = 672. 2

2

= 1 ⋅ 35 ⋅ (u 0 + u 34 ) = 1 ⋅ 35 ⋅ (12 + 4 ⋅ 34 + 12) = 2 800. 2 2

2

G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg n

24c 24d

∑ uk

= 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (u 0 + un ) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (12 + 4n + 12) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (24 + 4n ). 2 2 2

∑ uk

> 500 ⇒ 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (24 + 4n ) > 500 (TABLE of intersect) ⇒ n ≥ 13. Dus vanaf n = 13.

k =0 n

2

k =0

25a


24

∑ uk

un = 3n + 4 is een rr met v = 3 ⇒

k =0

25b un = 6n + 11 is een rr met v = 6 ⇒ 25c

∑ uk

k =0

21

k =0

∑ (6k + 11) = 21 ⋅ 21 ⋅ (u 0 + u 20 ) = 21 ⋅ 21 ⋅ (11 + 6 ⋅ 20 + 11) = 1 491.

k =0

2

2

n

∑ uk

k =0

= 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (u 0 + un ) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (8 + 2n + 8) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 16). 2

2

2

= 1 ⋅ 22 ⋅ (u 0 + u 21 ) = 1 ⋅ 22 ⋅ (18 + 3 ⋅ 21 + 18) = 1 089. 2

2

rr met u 0 = 100 en v = −3 ⇒ directe formule: un = −3n + 100. un > 0 ⇒ −3n + 100 > 0 ⇒ −3n > −100 ⇒ n < 33,3... 33

∑ uk

k =0

28

20

rr met u 0 = 18 en v = 3 ⇒ directe formule: un = 3n + 18. un = 81 ⇒ 3n + 18 = 81 ⇒ 3n = 63 ⇒ n = 21.

∑ uk

27

2

= 1 ⋅ 25 ⋅ (u 0 + u 24 ) = 1 ⋅ 25 ⋅ (10 + 6 ⋅ 24 + 10) = 2 050.

25d un = 2n + 8 is een rr met v = 2 ⇒

26

2

un = un −1 + 6 met u 0 = 10 is een rr met v = 6 ⇒ directe formule: un = 6n + 10. 24

25e

= 1 ⋅ 25 ⋅ (u 0 + u 24 ) = 1 ⋅ 25 ⋅ (4 + 3 ⋅ 24 + 4) = 1 000.

= 1 ⋅ 34 ⋅ (u 0 + u 33 ) = 1 ⋅ 34 ⋅ (100 − 3 ⋅ 33 + 100) = 1 717. 2

2

rr met u 0 = 12 en v = 4 ⇒ directe formule: un = 4n + 12 ⇒

21

∑ uk

k =0

= 1 ⋅ 22 ⋅ (u 0 + u 21 ) = 1 ⋅ 22 ⋅ (12 + 4 ⋅ 21 + 12) = 1188. 2

2

rr met u 0 = 78 en v = 2 ⇒ directe formule: un = 2n + 78 (voor n ≤ 44). 44

Aantal plaatsen:

∑ uk

k =0

+ 3320 = 1 ⋅ 45 ⋅ (u 0 + u 44 ) + 3320 = 1 ⋅ 45 ⋅ (78 + 2 ⋅ 44 + 78) + 3320 = 8 810. 2 2

De prijs van een kaartje wordt 100000 ≈ 11,35 dollar. 8810

29a

rr met u 0 = 30, 62 en v = 0,15 ⇒ directe formule: un = 0,15n + 30, 62. 24

∑ uk

k =0

29b

rr met u 0 = 35, 76 en v = −0,22 ⇒ directe formule: un = −0,22n + 35, 76. 24

∑ uk

k =0

30a

= 1 ⋅ 25 ⋅ (u 0 + u 24 ) = 1 ⋅ 25 ⋅ (35, 76 − 0,22 ⋅ 24 + 35, 76) = 828 ⇒ Eindtijd: 13 min. en 48 sec. 2 2

rr met u 0 = 4, 9 en v = 9, 8 ⇒ directe formule: un = 9,8n + 4, 9. 5

∑ uk

= 1 ⋅ 6 ⋅ (u 0 + u 5 ) = 1 ⋅ 6 ⋅ (4, 9 + 9, 8 ⋅ 5 + 4, 9) = 176, 4 (m). 2 2

∑ uk

= 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (u 0 + un ) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (4, 9 + 9,8n + 4, 9) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (9,8 + 9,8n ) 2 2 2

k =0 n

30b

= 1 ⋅ 25 ⋅ (u 0 + u 24 ) = 1 ⋅ 25 ⋅ (30, 62 + 0,15 ⋅ 24 + 30, 62) = 810,5 ⇒ Eindtijd: 13 min. en 30,5 sec. 2 2

k =0

= 1 ⋅ (9, 8n + 9, 8n 2 + 9,8 + 9,8n ) = 1 ⋅ (9,8n 2 + 19, 6n + 9, 8) = 4, 9n 2 + 9,8n + 4, 9. 2

30c

n

∑ uk

k =0

31

2

= 1 960 ⇒ 4, 9n 2 + 9,8n + 4, 9 = 1 960 (TABLE) ⇒ u 19 = 1 960. Dus na 20 seconden.

rij I: het quotiënt van twee opeenvolgende termen is steeds 2; bij rij II is dat 1 en bij IV is dat 1 . rij III: verschil steeds 1 meer.

Dus rij III hoort er niet bij.

2

4



32a

Het quotiënt van twee opeenvolgende termen is steeds 1,2.

32b

mr met u 0 = 1250 en r = 1,2 ⇒ directe formule: un = 1250 ⋅ 1,2n .

32c

u 10 = 1250 ⋅ 1,210 ≈ 7 740.

32d

De 13e term is u 12 = 1250 ⋅ 1,212 ≈ 11145.

32e

un > 15 000 ⇒ 1250 ⋅ 1,2n > 15 000 (TABLE) ⇒ n ≥ 14. Dus vanaf n = 14.

33a

Omdat un = 1, 5 ⋅ un −1 (het quotient van twee opvolgende termen is 1,5).

33b


33c

un > 100 000 ⇒ 500 ⋅ 1,5n > 100 000 (TABLE) ⇒ n ≥ 14. Dus vanaf n = 14.

34

Een mr heeft te maken met een exponentiële groei; een rr heeft te maken met een lineaire groei.

35a

mr met u 0 = 200 en u n = r = 0,5 ⇒ directe formule: un = 200 ⋅ 0,5n . n −1

35b

n u mr met u 0 = 36 en u n = r = 1 ⇒ directe formule: un = 36 ⋅ 1 . 2 2 n −1

35c

rr met u 0 = 50 en un − un −1 = v = 3,5 ⇒ directe formule: un = 50 + 3,5n .

35d

mr met u 0 = 14 en u n = r = 1 = 10 = 2,5 ⇒ directe formule: un = 14 ⋅ 2,5n . 0,4 4 n −1

36a

mr met u 0 = 2200 en r = 1, 05 ⇒ recurs. formule: un = 1, 05 ⋅ un −1 met u 0 = 2200 en dir. formule: un = 2200 ⋅ 1, 05n .

36b

un = 2200 ⋅ 1, 05n = 4 400 (TABLE) ⇒ u 14 (1-1-2021) < 4 400 en u 15 (1-1-2022) > 4 400. Dus in 2021.

36c

recursieve formule: un = un −1 ⋅ 1, 05 + 150 met u 0 = 2200. Tik in 2200 en dan Ans ⋅ 1, 05 + 150 (op basisscherm) ⇒ u 7 (1-1-2014) < 4 400 en u 8 (1-1-2015) > 4 400. Dus in 2014.

37

−2 ⋅ som = 15 − 2 657 205 = −2 657 190 ⇒ som = −2 657 190 = 1328 595.

u

( )

u

−2

15

38a

∑ (100 ⋅ 1,1k ) =

k =0

eerste term ⋅ (1 − factor aantal termen ) 100 ⋅ (1 − 1,116 ) = ≈ 3594, 97. 1 − 1,1 1 − factor

38b vn is een mr met v 0 = 200 en r = 0, 98 ⇒ 38c

wn is een mr met w 0 = 50 en r = 1, 45 ⇒ 10

39a 39c 39d

∑ ui

i =0 n

=

10 000 ⋅ (1 − 0,611 ) ≈ 24 909,30. 1 − 0,6 n +1

10 000 ⋅ (1 − 0,6 1 − 0,6

)

14

∑ vk

=

200 ⋅ (1 − 0,9815 ) ≈ 2 614,31. 1 − 0,98

=

50 ⋅ (1 − 1,4513 ) ≈ 13806, 76. 1 − 1,45

k =0 12

∑ wk

k =0

14

39b

∑ uk

k =0

=

10 000 ⋅ (1 − 0,615 ) ≈ 24 988,25. 1 − 0,6

= 10 000 ⋅ (1 − 0, 6n +1 ) = 25 000 ⋅ (1 − 0, 6 ⋅ 0, 6n ) = 25 000 − 15 000 ⋅ 0, 6n .

∑ uk

=

∑ uk

> 24 999 ⇒ 25 000 − 15 000 ⋅ 0, 6n > 24 999 (TABLE) ⇒ n ≥ 19. Dus vanaf n = 19.

k =0 n

0,4

k =0

40a 40b

n

50 ⋅ (1 − 1,25n +1 ) = 50 ⋅ (1 − 1,25n +1 ) = −200 ⋅ (1 − 1,25 ⋅ 1,25n ) = −200 + 250 ⋅ 1,25n = 250 ⋅ 1,25n − 200. 1 − 1,25 −0,25

∑ uk

=

∑ uk

> 100 000 ⇒ 250 ⋅ 1,25n − 200 > 100 000 (TABLE) ⇒ n ≥ 27. Dus vanaf n = 27.

k =0 n k =0



41a


41b

un > 42 ⇒ 20 ⋅ 1,1n > 42 (TABLE) ⇒ n ≥ 8. Dus bij de 9e duurloop voor het eerst. 8

∑ uk

8

=

k =0

42

k =0

20 ⋅ (1 − 1,19 ) ≈ 271, 6 (km dan totaal in zijn 9 duurlopen afgelegd). 1 − 1,1

mr met u 0 = 11,3 en r = 1, 074 ⇒ directe formule: un = 11,3 ⋅ 1, 074n . 12

∑ uk

k =0

43a

∑ (20 ⋅ 1,1k ) =

12

=

∑ (11,3 ⋅ 1, 074k ) =

k =0

11,3 ⋅ (1 − 1,07413 ) ≈ 233, 6 (miljard dollar). 1 − 1,074

De groei per week is een mr met u 0 = 5,2 (week 1) en r = 0,8 ⇒ directe formule: un = 5,2 ⋅ 0,8n . De groei in de 8e week is u 7 = 5,2 ⋅ 0,87 ≈ 1,1 (cm). Dus (ongeveer) 11 mm. 7

43b

De groei in de eerste 8 weken is

∑ uk

7

=

k =0

∑ (5,2 ⋅ 0, 8k ) =

k =0

9

43c

De hoogte na 10 weken is 18 +

∑ uk

= 18 +

k =0

mr met u 0 = 28 000 (1e jaar) en r = 1, 04

5,2 ⋅ (1 − 0,88 ) ≈ 21, 6 (cm). Dus 216 mm. 1 − 0,8

5,2 ⋅ (1 − 0,810 ) ≈ 41,2 cm. 1 − 0,8



29

28 000 ⋅ (1 − 1,0430 ) ≈ 1 570 378 (€). 1 − 1,04

44

u = ⇒ heeft als directe formule: un = 28 000 ⋅ 1, 04n  k =0 k

45a

De periode is 5 seconden. (4 periodes in 20 seconden)

45b

De persoon ademt 60 = 12 keer per minuut in. (elke 5 seconden één keer).

45c

Na 48 seconden is het drukverschil met de luchtdruk 1 mm kwikdruk. (48 = 9 ⋅ 5 + 3 ⇒ hetzelfde als na 3 seconden) Na 4 minuten en 26 seconden is het drukverschil − 1 mm kwikdruk. (4 ⋅ 60 + 26 = 4 ⋅ 12 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 + 1 ⇒ lees af na 1 seconde)

45d

1 etmaal is 24 uur is 24 ⋅ 60 minuten is 24 ⋅ 60 ⋅ 60 seconden is 24 ⋅ 60 ⋅ 12 ⋅ 5 seconden. Dus 24 ⋅ 60 ⋅ 12 ⋅ 0,5 = 8 640 liter lucht ingeademd per etmaal.

45e

snelheid in liter/seconde

∑

5

tijd in seconden

45f

De periode is 2,5 seconden. (10 periodes in 20 seconden) Eén kwartier is 15 minuten is 15 ⋅ 60 seconden is 15 ⋅ 24 ⋅ 2,5 seconden. Dus in een kwartier wordt 15 ⋅ 24 ⋅ 3 = 1 080 liter lucht ingeademd.

46a

Na 8 seconden is haar hooogte 9 meter; na 16 seconden is haar hoogte 17 meter.

46b

Zie de grafiek hiernaast.

46c

De periode is 32 seconden; de evenwichtsstand is 9 meter en de amplitude is 8 meter.

hoogte in meters Blauw

Groen

Rood

46d


47a

Op t = 2 is de draaiingshoek α = 90° ⇒ yP = 1.

47b

Op t = 6 is de draaiingshoek α = 270° ⇒ yP = −1.

47c


47d

Periode 8 (seconden); evenwichtsstand 0 en amplitude 1.

48a 48b

Zie de eerste drie schermen hiernaast. Zie de plot van y = sin(x ) hiernaast. (4 e scherm)

yP

tijd in seconden

tijd (sec)



48c

De toppen zijn (optie maximum of minimum): ( −4, 71; 1), ( −1,57; − 1), (1,57; 1) en (4, 71; − 1).

48d

De snijpunten met de x -as (y = 0) zijn (intersect): ( −6,28; 0), ( −3,14; 0), (0, 0), (3,14; 0) en (6,28; 0).

48e

De periode 6,28 (dat is 2π ); de evenwichtsstand is 0 en de amplitude is 1.

49a

Zie de plot hiernaast van y = cos(x ).

49b

De toppen zijn (optie maximum of minimum): ( −6,28; 1), ( −3,14; − 1), (0, 1), (3,14; − 1) en (6,28; 1).

49c

De snijpunten met de x -as (y = 0) zijn (intersect): ( −4, 71; 0), ( −1,57; 0), (1,57; 0) en (4, 71; 0).

49d

De periode is 6,28 (dat is 2π ); de evenwichtsstand is 0 en de amplitude is 1.

50a

Zie de plot hiernaast van y = a + sin(x ) voor a = −2, − 1, 0, 1, en 2.

50b

y = sin(x )  →y = a + sin(x ).

50c

De periode is 2π ; de evenwichtsstand is a en de amplitude is 1.

51a

Zie de plot hiernaast van y = b sin(x ) voor b = 1, 2, 3 en 4.

51b

y = sin(x )   →y = b sin(x ).

51c

De periode is 2π ; de evenwichtsstand is 0 en de amplitude is b .

52a

Zie de plot van y = sin(x ) en y = sin(x − 1) hiernaast.

a omhoog verschuiven

vermenigvuldigen ten opzichte van de x -as met b

1 naar rechts verschuiven

y = sin(x )  →y = sin(x − 1). 52b

Zie de plot van y = sin(x ) en y = sin(x + 2) hiernaast. 2 naar links verschuiven

y = sin(x )   →y = sin(x + 2). d naar rechts verschuiven

52c

y = sin(x )   →y = sin(x − d ).

52d

De periode is 2π ; de evenwichtsstand is 0 en de amplitude is 1.

53a

Zie de plot van y = sin(x ) en y = sin(2x ) hiernaast.

53b

De periode is π ; de evenwichtsstand is 0 en de amplitude is 1.

53c

Zie de plot van y = sin(x ) en y = sin( 1 x ) hiernaast.

53d

De periode is 4π ; de evenwichtsstand is 0 en de amplitude is 1.

53e

y = sin(4x ) heeft periode 21 π ; y = sin(5x ) heeft periode 52 π en y = sin(cx ) heeft periode 2cπ .

54a

y = 5 + sin(x ) heeft periode 2π ; evenwichtsstand 5 en amplitude 1.

54b

y = 5 sin(x ) heeft periode 2π ; evenwichtsstand 0 en amplitude 5.

54c

y = sin(5x ) heeft periode 25π = 52 π ; evenwichtsstand 0 en amplitude 1.

54d

y = 8sin(3x ) heeft periode 23π = 23 π ; evenwichtsstand 0 en amplitude 8.

54e

y = 8 + sin(3x ) heeft periode 23π = 32 π ; evenwichtsstand 8 en amplitude 1.

54f

y = 3 + 8 sin(x ) heeft periode 2π ; evenwichtsstand 3 en amplitude 8.

54g

y = 3 − 6 sin( 41 x ) heeft periode 21π = 81π = 8π ; evenwichtsstand 3 en amplitude 6. 4

54h

y = 5 + 2sin(4π x ) heeft periode 24ππ = 21 ; evenwichtsstand 5 en amplitude 2. y = 7 − 2 sin( 31 x ) heeft periode 21π = 61π = 6π ; evenwichtsstand 7 en amplitude 2.

54i

2

3



55a

y = 8sin(2x ) heeft periode 22π = π ; evenwichtsstand 0 en amplitude 8.

55b

y = 8 − sin(2x ) heeft periode 22π = π ; evenwichtsstand 8 en amplitude 1.

55c

2π = 20π = 20; evenwichtsstand 0 en amplitude 5. y = −5 sin(0,1π x ) heeft periode 0,1 π 1π

55d

y = 5 + 8 sin( 41 x ) heeft periode 21π = 81π = 8π ; evenwichtsstand 5 en amplitude 8. 4

55e

y = −5 + 3sin(π x ) heeft periode 2ππ = 2; evenwichtsstand − 5 en amplitude 3.

55f

π = 5; evenwichtsstand 1 en amplitude 4. y = 1 + 4 sin( 25 π x ) heeft periode 22π = 10 2π π 5

56a

2π = 10. y = a + b sin(cx ) heeft evenwichtsstand 100 ⇒ a = 100; amplitude 8 ⇒ b = 8 en periode 0,2π = 2cπ ⇒ c = 0,2 π

56b

y = a + b sin(cx ) heeft evenwichtsstand 850 ⇒ a = 850; amplitude 48 ⇒ b = 48 en periode 8 = 2cπ ⇒ c = 28π = 41 π .

57a

y = 3 + 5sin(2x ) (zie de grafiek hieronder) heeft evenwichtsstand 3; amplitude 5 en periode 22π = π . y = 3 + 5 sin(2x )

y

57a

π

y = 200 + 300 sin( 21 x )

2π

57b

x

π

2π

4π

3π

57b

y = 200 + 300 sin( 21 x ) heeft evenwichtsstand 200; amplitude 300 en periode 21π = 41π = 4π . (zie de grafiek hierboven) 2

58

y = 8 + 5 sin( 23 π x ) (zie de grafiek hieronder) heeft evenwichtsstand 8; amplitude 5 en periode 22 π = 26ππ = 3. π 3 58

y = 60 + 30 sin( 21 πt )

59

y = 8 + 5 sin( 23 π x )

59

N = 60 + 30 sin( 21 πt ) heeft evenwichtsstand 60; amplitude 30 en periode 21 π = 4ππ = 4. (zie de grafiek hierboven) π 2

60

De formule is y = 8 + 4 sin( 2π x ).

61a

y = 2 + 4 sin( 22π x ) = 2 + 4 sin(π x ).

61b

2π x ) = 100 + 80 sin( 1 π x ). y = 100 + 80 sin( 100 50

61c

2π x ) = 8,25 + 7,5 sin(4π x ). y = 8,25 + 7, 5 sin( 0,5

62a

De amplitude is 25 − 5 = 10; de evenwichtsstand is 25 + 5 = 15 en de periode is 8.

62b

7

2

De formule is y

= 15 + 10sin( 2π 8

2 1 x ) = 15 + 10sin( 4 π x ).

G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg 63


De amplitude is 40 − 10 = 15; de evenwichtsstand is 40 + 10 = 25 en de periode is 30. 2

De formule is N = 25 + 15 sin( 2π t ) = 25 + 15 sin( 1 πt ). 30

2

15

64a

Zie de plot van y 1 = sin (3 ( x − 0, 73) ) en y 2 = sin (3x − 0, 73) hiernaast.

64b

y 1 = sin (3 ( x − 0, 73) ) = 0 (intersect) ⇒ x = 0,73 ⇒ S 1 (0, 73; 0).

64c

y 2 = sin (3x − 0, 73) = 0 (intersect) ⇒ x ≈ 0,24 ⇒ S 2 (0,24; 0).

64d

In de formule y 1 = sin (3 ( x − 0, 73) ) (is het linkersnijpunt (0, 73; 0) direct af te lezen).

65a

((

y = 3 + 2 sin 21 x − 21 π

) ) heeft evenwichtsstand 3; amplitude 2 en periode 2π = 41π = 4π . 1 2

65b

De grafiek (zie hieronder) gaat stijgend door de evenwichtsstand in het punt ( 1 π , 3). 2

65a

y = 3 + 2 sin( 21 ( x − 21 π ))

y = 5 + 2 sin(π ( x − 21 ))

π

65b

( (

y = 5 + 2 sin π x − 21

2π

3π

4π

)) heeft evenwichtsstand 5; amplitude 2 en periode 2ππ = 2.

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand in het punt ( 1 , 5). (zie hiernaast) 2

66a

N = 20 + 12 sin

( 23 π (t − 4 )) heeft evenwichtsstand 20; amplitude 12 en periode 2ππ = 26ππ = 3. 2 3

De grafiek (zie hieronder) gaat stijgend door de evenwichtsstand in het punt (4, 20). N = 20 + 12 sin( 23 π (t − 4))

66a

66b

A = 1, 5 + 6 sin( 72 π (x + 2))

66b

(

)

π = 7. A = 1, 5 + 6 sin 27π ( x + 2) heeft evenwichtsstand 1, 5; amplitude 6 en periode 22 π = 14 2π π 7

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand in het punt ( −2; 1,5), dus ook door (5; 1, 5). (zie hierboven)

(

)

67

y = 12 + 4 sin 26π ( x − 1) = 12 + 4 sin

68a

Sinusoïde y = a + b sin (c ( x − d

( 31 π (x − 1) ) .

) ) , stijgend door evenwichtsstand a

= 70 + −30 = 20 in (30,20) ⇒ d = 30, 2

( 25

)

amplitude b = 70 − −30 = 50 en periode p = 80 − 30 = 50 ⇒ c = 2π = 1 π . Dus formule: y = 20 + 50 sin 1 π ( x − 30 ) . 2

68b

50

25

Sinusoïde, stijgend door evenwichtsstand a = 100 + −220 = −60 voor x = d = 4, amplitude b = 100 − −220 = 160 2

(7

)

en periode p = 7 (zie de minima) ⇒ c = 2π = 2 π . Dus formule y = −60 + 160 sin 2 π ( x − 4 ) .

68c

2

7 7 0,2 + 0,1 0,2 − 0,1 Stijgend door evenwichtsstand a = = 0,15 voor t = d = 0, 075, amplitude b = = 0, 05 2 2 2 π en periode p = 0,10 (zie de maxima) ⇒ c = = 20π . Dus formule A = 0,15 + 0, 05 sin 20π (t − 0, 075 ) . 0,1

(

)

G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg 69a

Periode 18 − 3 = 15 ⇒ c = 2π = 2 π ; amplitude b = 4 en de grafiek gaat stijgend door evenwichtsstand a = 12 − 4 = 8 voor x = d

69b


15 15 1 15 = 18 − ⋅ 15 = 18 − = 18 − 3 3 = 14 1 . Dus formule: 4 4 4 4

y = 8 + 4 sin

( 152 π (x − 14 41 )) .

Periode 48 ⇒ c = 2π = 1 π ; de grafiek stijgend door evenwichtsstand a = 650 voor x = d = 16 − 1 ⋅ 48 = 16 − 12 = 4 48

24

( 24

4

)

en amplitude b = 812 − 650 = 162. Dus formule: y = 650 + 162 sin 1 π ( x − 4 ) . (812 is een maximum, want 812 > 650) 69c

Periode 2 ⋅ (26 − 2) = 2 ⋅ 24 = 48 ⇒ c = 2π = 1 π ; de grafiek stijgend door de evenwichtsstand a = 250 + 110 = 180 48

24

( 24

2

)

voor x = d = 2 − 1 ⋅ 48 = 2 − 12 = −10 en amplitude b = 250 − 110 = 70. Dus formule: y = 180 + 70 sin 1 π ( x + 10 ) . 2

4

70a

Periode = 2π = 10 en stijgend door evenwichtsstand voor x = 2 ⇒ ook stijgend door evenwichtsstand voor x = 12.

70b

Ook stijgend door de evenwichtsstand voor x = 2 − 10 = −8 en voor x = 12 + 10 = 22. Andere mogelijke formules zijn: y = 8 + 3sin ( 0,2π ( x + 8) ) en y = 8 + 3sin ( 0,2π ( x − 22) ) .

71a

Zie de plot hiernaast. Optie maximum geeft als hoogste punt (3,5;5).

71b

y (1,8) ≈ 3, 45.

71c

y = 3,6 (intersect) ⇒ x ≈ 1,90 en x ≈ 5,10.

72a

π = 5 ⇒ y maximaal 7 voor x = 0,8 + y max = 5 + 2 = 7 en de periode is 22 π = 10 2π π 5

72b

y min = 5 − 2 = 3 en de periode is 5 ⇒ y minimaal 3 voor x = 2, 05 + 21 ⋅ 5 = 2, 05 + 2, 50 = 4,55.

72c

y (4, 62) ≈ 3, 01.

72d

y = 6 (intersect) ⇒ x ≈ 1,22 en x ≈ 2,88.

72e

y (0) ≈ 3,31.

73a

N max = 30,8 + 6,3 = 37,1 en de periode is

73b

N min = 30,8 − 6,3 = 24, 5 en de periode is 15 ⇒ N minimaal 24,5 voor t = 5,1 −

73c

N (7,2) ≈ 35, 65. N = 35 (intersect) ⇒ t ≈ 6,8421 en t ≈ 10,8579. N > 35 (zie een plot) van t ≈ 6,8421 tot t ≈ 10,8579.

73d

0,2π

1 ⋅ 5 = 0,8 + 1,25 = 2, 05. 4

2π = 30π = 15 ⇒ N maximaal 37,1 voor 2π

2 π 15

t = 5,1 +

1 ⋅ 15 = 5,1 + 3, 75 = 8,85. 4

1 ⋅ 15 = 5,1 − 3, 75 = 1,35. 4

Dus (ongeveer) 4,0158 uur ⇒ (ongeveer) 241 minuten. 74a

L max = 11, 9 + 6,1 = 18 uur.

74b

Het verschil is 2 ⋅ 6,1 = 12,2 uur ⇒ 12 uur en 12 minuten.

74c

Op 1 maart is n = 31 + 28 + 1 = 60 ⇒ L(60) ≈ 9, 84. De daglengte is 9 uur en 54 minuten.

74d

De periode is 22 π = 365 ⋅ 2π = 365 dagen ⇒ L maximaal voor n = 80 + 1 ⋅ 365 = 171,25. 365

π

2π

4

Bij n = 171 ( = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 20) hoort 20 juni (of gebruik de tabel naast de opgave). 75a

De periode is 22 π = 365 ⋅ 2π = 365 dagen. 365

π

2π

75b

Tmax = 17 + 8 = 25 ⇒T maximaal 25 °C voor n = 110 + 41 ⋅ 365 = 110 + 91,25 ≈ 201. Bij n = 201 ( = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 20) hoort 20 juli (of gebruik de tabel naast de opgave). Tmin = 17 − 8 = 11 ⇒T maximaal 25 °C voor n = 110 − 41 ⋅ 365 = 110 − 91,25 ≈ 19. Bij n = 19 hoort 19 januari.

75c

Op 1 maart is n = 60 ⇒T (60) ≈ 10,9 °C en op 18 mei is n = 120 + 18 = 138 ⇒T (138) ≈ 20, 7 °C.

75d

T = 12 (intersect) ⇒ n ≈ 71 = 59 + 12 en n ≈ 332 = 304 + 28. T < 12 (zie plot) van 12 maart tot 28 november.



Diagnostische toets D1a

un = 5 + 20 un −1 met u 0 = 100 geeft u 6 ≈ 402 en u 9 ≈ 409.

D1b

u 13 < 409, 9 en u 14 > 409,9 ⇒ vanaf de 15e term.

D1c

Blader door de tabel ⇒ grenswaarde ≈ 409, 939.

D2a De 10e term is u 9 = 2 ⋅ 92 − 4 ⋅ 9 = 126. D2b De 30 e term is v 29 = 29 − 9 = 20 = 4 . 29 + 6

35

7

D2c wn = 4 630 ⇒ n 3 − n 2 + 6 = 4 630 (TABLE) ⇒ w 17 = 4 630. Dit is de 18e term. 4

D3

∑ uk

k =0 3

∑ vi

i =0

= u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 = 1 + 1 + 3 + 7 + 13 = 25.

= v 0 + v 1 + v 2 + v 3 = 6 + 20 + 90 + 440 = 556.

D4a un = un −1 − 5 met u 0 = 152 is een rr met v = −5 ⇒ directe formule un = 152 − 5 ⋅ n en u 20 = 152 − 5 ⋅ 20 = 52. D4b De 25e term is u 24 = 152 − 5 ⋅ 24 = 32. D4c un < 0 ⇒ 152 − 5n < 0 (TABLE) ⇒ n ≥ 31. Dus vanaf de 32e term is un negatief. D5a un = 2n + 3 is een rr ⇒

29

∑ uk

k =0

= 1 ⋅ 30 ⋅ (u 0 + u 29 ) = 1 ⋅ 30 ⋅ (3 + 2 ⋅ 29 + 3) = 960. 2 2

D5b rr met u 0 = 18 en v = 12 ⇒ directe formule: un = 12n + 18; 11

∑ uk

k =0

un = 150 ⇒ 12n + 18 = 150 ⇒ 12n = 132 ⇒ n = 11.

= 1 ⋅ 12 ⋅ (u 0 + u 11 ) = 1 ⋅ 12 ⋅ (18 + 12 ⋅ 11 + 18) = 1 008. 2 2

D5c un = 4n + 5 is een rr ⇒ D5d un = 5n + 6 is een rr ⇒ D5e un = 6n + 7 is een rr ⇒ n

15

∑ ( 4k + 5 ) = 21 ⋅ 16 ⋅ (u 0 + un ) = 21 ⋅ 16 ⋅ (5 + 4 ⋅ 15 + 5) = 560.

k =0 n

∑ uk

k =0 n

= 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (u 0 + un ) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (6 + 5n + 6) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (5n + 12). 2

2

2

∑ ( 6k + 7 ) = 21 ⋅ (n + 1) ⋅ (u 0 + un ) = 21 ⋅ (n + 1) ⋅ (7 + 6n + 7) = 21 ⋅ (n + 1) ⋅ (6n + 14).

k =0

∑ ( 6k + 7 ) > 1 500 ⇒ 21 ⋅ (n + 1) ⋅ (6n + 14) > 1 500 (TABLE) ⇒ n ≥ 21 ⇒ vanaf n = 21.

k =0

D6a

mr met u 0 = 800 en r = 1,25 ⇒ recursieve formule: un = 1,25 ⋅ un −1 met u 0 = 800 en dir. formule: un = 800 ⋅ 1,25n .

D6b u 20 − u 19 = 800 ⋅ 1,2520 − 800 ⋅ 1,2519 ≈ 13878. D6c u 25 − u 24 = 800 ⋅ 1,2525 − 800 ⋅ 1,2524 ≈ 42352. D6d un > 500 000 ⇒ 800 ⋅ 1,25n > 500 000 (TABLE) ⇒ n ≥ 29. Dus vanaf de 30e term. D7a

mr un = 100 ⋅ 1, 08n ⇒

9

∑ uk

k =0

=

100 ⋅ (1 − 1,0810 ) ≈ 1 448, 66. 1 − 1,08

D7b mr un = 5 ⋅ 4n ⇒ u 9 = 1310 720 ⇒ 15

D7c D7d D7e

∑ (50 ⋅ 1, 045k ) =

k =0 n

∑ uk

i =0 n

∑ ( 80 ⋅ 1,5i ) =

i =0

∑ (10 ⋅ 1,2k ) > 1 000 ⇒

k =0

k =0

=

5 ⋅ (1 − 410 ) = 1 747 625. 1−4

16

50 ⋅ (1 − 1,045 ) ≈ 1135, 97. 1 − 1,045

n

=

9

∑ uk

80 ⋅ (1 − 1,5n +1 ) = 80 ⋅ (1 − 1,5 ⋅ 1,5n ) = −160 + 240 ⋅ 1, 5n = 240 ⋅ 1,5n − 160. 1 − 1,5 −0,5 10 ⋅ (1 − 1,2n +1 ) > 1 000 (TABLE) ⇒ n ≥ 16. Dus vanaf 1 − 1,2

n = 16.

G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg D8a


y = 6 + 2 sin(x ) heeft periode 2π ; evenwichtsstand 6 en amplitude 2.

D8b y = 3 − sin(2x ) heeft periode 22π = π ; evenwichtsstand 3 en amplitude 1. D8c

y = −2 + 3sin( 31 x ) heeft periode 21π = 61π = 6π ; evenwichtsstand − 2 en amplitude 3. 3

D8d y

= 5 − 4 sin( 2 π x ) heeft periode 22 π = 6π = 3; evenwichtsstand 5 en amplitude 4. 3 2π π 3

D9a

y = 2 + 3sin( 32 x ) (zie de grafiek hierbonder) heeft evenwichtsstand 2; amplitude 3 en periode 23π = 43π = 2

D9a

4 π. 3

D9b

y = 2 + 3 sin(1 21 x ) N = 30 + 10 sin( 41 πt )

π

2π

D9b N = 30 + 10 sin( 1 πt ) heeft evenwichtsstand 30; amplitude 10 en periode 21 π = 8ππ = 8. (zie de grafiek hierboven) 4 π 4

((

x − 31 π D10a y = 1 + 3sin 2 3

)) heeft evenwichtsstand 1; amplitude 3 en periode 2π = 62π = 3π . 2 3

De grafiek gaat stijgend door ( 1 π , 1). (zie de grafiek hierbonder) 3 D10a

2π

π

(

D10b

3π

4π

)

π = 5. π (t + 1 ) heeft evenwichtsstand 12; amplitude 8 en periode 22π = 10 D10b N = 12 + 8 sin 2 5 2π π 5

De grafiek gaat stijgend door ( −1, 12), dus ook stijgend door ( −1 + 5, 12) = (4, 12). (zie de grafiek hierboven) D11

Sinusoïde N = a + b sin (c (t − d

) ) ; gaat stijgend door de evenwichtsstand a

= 30 + −10 = 10 voor t = d = 5, 2

( 25

)

amplitude b = 30 − −10 = 20 en periode p = 30 − 5 = 25 ⇒ c = 2π = 2 π . Dus formule: N = 10 + 20 sin 2 π (t − 5 ) . 2

25

25

D12a y max = 12,5 + 6, 5 = 19 en de periode is 9 ⇒ y maximaal 19 voor x = 2 + 1 ⋅ 9 = 2 + 2 1 = 4 1 . 4 4 4 D12b y min = 12, 5 − 6,5 = 6 en de periode is 9 ⇒ y minimaal 6 voor x = 2 + 3 ⋅ 9 = 2 + 6 3 = 8 3 . 4

D12c y (0) ≈ 6,10. D12d y = 15 (intersect) ⇒ x ≈ 2,57 en x ≈ 5,93.

4

4


G1a


Gemengde opgaven 9. Rijen en goniometrie De rij un is een rr met beginterm u 0 = 1 000 en verschil v = −23 ⇒ directe formule: un = 1 000 − 23n .

un = 0 ⇒ 1 000 − 23n = 0 ⇒ 23n = 1 000 ⇒ n = 1000 ≈ 43,5. Dus u 43 > 0 en u 44 < 0. 23 43

∑ uk

= 1 ⋅ 44 ⋅ (u 0 + u 43 ) = 1 ⋅ 25 ⋅ (1 000 + 1 000 − 23 ⋅ 43) = 22242. 2

k =0

G1b

De rij vn is een mr met beginterm v 0 = 1 000 en factor r = 0, 96 ⇒ directe formule: vn = 1 000 ⋅ 0, 96n . vn > 500 (TABLE) ⇒ n ≤ 16. 16

∑ vk

1000 ⋅ (1 − 0,9617 ) ≈ 12 510,33. 1 − 0,96

=

k =0

G2a

2

De rij un is een rr met beginterm u 0 = 300 en verschil v = 6. Directe formule: un = 300 + 6n en recursieve formule: un = un −1 + 6 met u 0 = 300. De rij vn is een mr met beginterm v 0 = 0,1 en factor r = 2. Directe formule: vn = 0,1 ⋅ 2n en recursieve formule: vn = 2 ⋅vn −1 met v 0 = 0,1.

G2b vn > un (TABLE) ⇒ n ≥ 12. Dus vanaf n = 12. G2c

Sn = Tn =

n

∑ uk

k =0 n

∑ vk

k =0

= 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (u 0 + un ) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (300 + 300 + 6n ) = 1 ⋅ (n + 1) ⋅ (600 + 6n ). 2 2 2 =

v 0 ⋅ (1 − r n +1 ) 0,1 ⋅ (1 − 2n +1 ) = = −0,1 ⋅ (1 − 2n +1 ). 1 −r 1 −2

Tn > Sn ⇒ −0,1 ⋅ (1 − 2n +1 ) > 21 ⋅ (n + 1) ⋅ (600 + 6n ) (TABLE) ⇒ n ≥ 15. Dus vanaf n = 15. G3a

Recursieve formule: un = 0, 9 ⋅ un −1 + 500 met u 0 = 10 000 (90% verdampt niet).

G3b u 0 = 10 000 en dan 0, 9 ⋅ Ans + 500 geeft u 8 = 7 152 en u 9 = 6 937. Dus na 9 dagen. G3c

Blijf op ENTER drukken. Je krijgt de grenswaarde 5 000. Of 0,1 ⋅ grenswaarde = 500 (verdampte hoeveelheid = bijgevulde hoeveelheid) ⇒ grenswaarde = 5 000.

G4a

Recursieve formule: un = 1, 05 ⋅ un −1 + 1 000 met u 0 = 10 000.

G4b Op 1 januari 2015 (n = 10) is het saldo € 28866,84. u 0 = 10 000 en dan 1, 05 ⋅ Ans + 500 geeft u 10 ≈ 28866, 84. G4c

u 17 ≈ 48 760,55 en u 18 ≈ 52198,58.

Dus op 1 januari 2005 + 18 = 2023 is het saldo voor het eerst meer dan € 50 000.

G4d Recursieve formule: un = 1, 05 ⋅ un −1 − 5 000 met op 1-1-2023 u 0 = 52199 − 1 000 − 5 000 = 51199 − 5 000 = 46199. G4e u 12 ≈ 3381,13 en u 13 ≈ −1 449, 81. u 12 hoort bij 1-1-2023 ⇒ hij kan 13 keer € 5 000 opnemen. G4f

Hij heeft 10 000 + 17 ⋅ 1 000 = 27 000 euro gestort. Hij kan 13 ⋅ 5 000 + 3381 = 68381 euro opnemen. Dus 68381 − 27 000 = 41381 euro meer opgenomen dan gestort.

G5a

De frequenties zijn 1, 0, 11, 39, 75, 59, 23, 14, 8, 7, 5, 4, 3 en 2. Voer de lijsten in op de GR met STAT en dan Edit. (in L1 het aantal ronden en in L2 de frequenties). 1-Var Stats L1, L2 geeft dan x ≈ 5, 99. Dus gemiddeld 6 ronden.

G5b Tn =

n

∑ tk

k =1

= 1 ⋅ n ⋅ (t 1 + tn ) = 1 n (150 + 152 − 2n ) = 1 n (302 − 2n ) = 151n − n 2 . 2 2 2

G5c Tn ≤ 30 ⋅ 60 = 1800 ⇒ 151n − n 2 ≤ 1800 (TABLE) ⇒ n ≤ 13. Dus Joris kan in 30 minuten 13 volledige ronden afleggen. 13

G5d

∑ bk

k =1

=

0,01 ⋅ (1 − 213 ) ≈ 81, 91 ⇒ de ouders betalen Joris dan € 81,91. 1 −2

G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg G6a


Recursieve formule: un = 1, 048 ⋅ un −1 + 500 met u 0 = 500.

G6b Op 1 januari 2015 (n = 10) is het saldo € 7 029, 61. u 0 = 500 en dan 1, 048 ⋅ Ans + 500 geeft u 10 ≈ 7 029, 61. G6c

Stug doorgaan geeft: u 27 ≈ 28295 en u 28 ≈ 30153. Dus op 1 januari 2005 + 28 = 2033 is voor het eerst meer dan € 30 000.

G7a

h = 2, 4 + 0, 6sin ( 0,51 (t − 3) )

(in de eerste oplage staat 1,6; dat moet 0,6 zijn) heeft evenwichtsstand 2,4; amplitude 0,6; periode 2π ≈ 12,32 en gaat stijgend door de evenwichtstand voor 0,51

Zie de grafiek van h hiernaast. G7b Maximum voor t

3

= 3 + 1 ⋅ 2π ≈ 6, 080 4 0,51

2,8

en t = 3 + 1 1 ⋅ 2π ≈ 18, 400. 4 0,51 (of met de optie maximum)

2,6 2,4

Dus om 6:05 en om 18:24. G7c

2,2

2e keer voor t = 3 + 7 1 ⋅ 2π ≈ 20,320. 4 0,51

2

Dat is om 20:19. G7d h = 2, 4 + 0, 6sin ( 0, 51 (t − 3) ) = 2, 6 + 0,3. Intersect geeft t ≈ 4, 932 en t ≈ 7,228. Dat is tussen (zie plot) 4:56 en 7:14.

G8a

t = 3.

1,8

Z

Evenwichtsstand 21,5; amplitude 6,5; periode 21 π = 12 en 6

π

de grafiek gaat stijgend door de evenwichtstand voor t = 4. Zie de grafiek van T hiernaast.

(

)

G8b T = 21, 5 + 6,5 sin 61 π (t − 4 ) = 25.

Intersect geeft t ≈ 5, 086 en t ≈ 8, 914. Dus gedurende 3,828 maanden ≈ 115 dagen.

G8c

De stijgging is het sterkst als de grafiek de evenwichtstand passeert, dus voor t = 4.  dT  ≈ 3, 40 °C/maand ≈ 0,8 °C/week.  dt  x = 4

π = 1π G8d Evenwichtsstand a = 17,5; amplitude b = 17, 5 − 15 = 2, 5; periode p = 12 ⇒ c = 212 6 en de grafiek gaat stijgend door de evenwichtstand voor t = d = 2 + 1 ⋅ 12 = 5. Dus W = 17,5 + 2,5 sin 1 π (t − 5 ) .

(6

4

G9a

)

maximum − minimum = 6500 − 1 500 = 5 000. Dus 5 000 cm3 lucht per ademhaling (dit is per 15 seconden).

× 60 = 500 × 10 = 5 000 cm3 en G9b Bij figuur G.1 is het minuutvolume 500 6

bij figuur G.2 is het minuutvolume 500 × 60 = 5 000 × 4 = 20 000 cm3 ⇒ de verhouding is 5000 = 1 = 1 : 4. 15

G9c

Evenwichtsstand a

= 4000 + 3500 = 3 750; amplitude 2

20000

b

= 4000 − 3500 = 250; periode 2

en de grafiek gaat stijgend door de evenwichtstand voor t = d = 0. Dus V G9d

G9e

= 6500 + 1500 = 4 000; amplitude 2

4

p = 6 ⇒ c = 26π = 31 π = 3 750 + 250 sin 1 πt . 3

= 6500 − 1500 = 2500; periode 2

(

)

2 π Evenwichtsstand a b p = 15 ⇒ c = 215π = 15 en de grafiek gaat stijgend door de evenwichtstand voor t = d = 0. Dus V = 4 000 + 2500 sin 2 πt . 15 Evenwichtsstand a = 4 200; amplitude b = 2 500; periode p = 60 = 1,5 ⇒ c = 2π = 4 π en de 1,5 3 40 1 grafiek gaat stijgend door de evenwichtstand voor t = d = 0 + ⋅ 1,5. Dus V = 4 200 + 2 500 sin 4 π (t − 0,375 ) . 3 4

(

)

(

(3

)

G9f V = 4 200 + 2 500 sin 4 π (t − 0,375 ) = 6 000 (intersect) ⇒ t ≈ 0, 5669 en t ≈ 0, 9331. Per ademhaling: (0, 9331 − 0, 56669) seconden. Per minuut: (0, 9331 − 0,56669) ⋅ 40 ≈ 14, 6 seconden.

)

60, 97, 157,... (steeds de voorgaande 2 getallen optellen)

Recommend Documents