ii
Aljabar Linear
Kata Pengantar
iii
iv
Aljabar Linear
ALJABAR LINEAR Oleh
: Setiadji
Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta © 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-4462135; 0274-882262 Fax. : 0274-4462136 E-mail :
[email protected]
Setiadji ALJABAR LINEAR/Setiadji - Edisi Pertama – Yogyakarta; Graha Ilmu, 2008 viii + 228 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN:
978-979-756-294-6
1. Matematika
I. Judul
KATA PENGANTAR
Mengucapkan syukur kehadirat Allah S.W.T. bahwa akhirnya buku naskah Aljabar Linier ini dapat dianggap selesai, siap cetak dan siap dipakai. Tujuan penulisan buku ini antara lain untuk mengisi kekurangan adanya buku yang membicarakan dan membahas masalah yang sesuai dengan judul buku ini di Indonesia, dan membantu mahasiswa jurusan matematika atau mahasiswa bidang studi lain yang sedang mempelajari aljabar linier dan pengembangannya. Bagi para dosen, buku ini diharapkan dapat menjadi salah satu buku acuan. Menurut isinya, buku ini disediakan untuk kepentingan pengajaran aljabar (khususnya teori matriks dan pengembangannya) pada program sarjana matematika. Dalam mempelajari atau memahami buku ini dimulai dari bab I. Buku ini memuat 9 bab yang berisi teori dan penggunaannya pada penyelesaian segala macam sistem persamaan linier.
vi
Aljabar Linear
Penulis menyadari bahwa buku aljabar linier ini masih memuat banyak kelemahan. Oleh karena itu saran-saran dari semua pihak tentang perbaikan baik dari segi materi maupun tata-bahasa sangat diharapkan. Semoga buku ini bermanfaat. Jogjakarta, Agustus 2006 Penulis.
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 BAB 2 2.1 2.2 2.3 2.4 BAB 3 3.1 3.2 3.3 3.4
PENDAHULUAN
v vii 1
Pendahuluan Ruang Vektor atas suatu Lapangan Ruang Bagian Bebas Linear dan Tak Bebas Linear Basis Hasil Tambah dan Hasil Tambah Langsung
1 3 6 14 17 29
TRANSFORMASI LINEAR
35
Transformasi Linear Rank dan Nullitas Transformasi Linear Transformasi Non – Singular Isomorfisma Ruang Vektor
35 40 48 53
MATRIKS
59
Ruang Matriks Pergandaan Matriks Blok – Multiplikasi Matriks Non-Singular, Matriks Invers
59 66 80 83
viii
Aljabar Linear
3.5 Rank Matriks 3.6 Sistem Persamaan linear BAB 4
PEMETAAN LINEAR DENGAN MATRIKS
91 102 117
4.1 Pemetaan Linear yang Dihubungkan dengan suatu Matriks 117 4.2 Matriks yang Dihubungkan oleh Pemetaan Linear 120 4.3 Basis, Matrix, dan Pemetaan Linear 125 BAB 5
RUANG EUCLID DAN RUANG HERMIT
5.1 Ruang Euclid 5.2 Ruang Hermit BAB 6
143 143 154
RUANG DUAL
159
BAB 7 PEMETAAN SDJOINT, PEMETAAN SIMETRI DAN PEMETAAN HERMIT 7.1 Pemetaan Adjoint dan Pemetaan Simetri 7.2 Pemetaan Hermit 7.3 Beberapa Sifat Pemetaan Simetri dan Pemetaan Hermit
175 175 179 184
BAB 8 PROYEKSI ORTOGONAL
195
BAB 9 TEOREMA SPEKTRAL
211
DAFTAR PUSTAKA
225
TENTANG PENULIS
227 -oo0oo-
Bab 1 PENDAHULUAN
1.1 PENDAHULUAN Maksud bab ini adalah untuk mengembangkan sistim geometri, yang disebut vektor, atas dasar itu kebanyakan studi matriks akan didasarkan. Sebelum memulai definisi umum, akan dipertimbangkan dua contoh ruang vektor yang sudah dikenal yang merupakan model akurat dari sistim umum. Pertama dipertimbangkan bidang kartesian, dalamnya tiap titik diwakili secara tunggal oleh suatu pasangan berurutan bilangan riil (relatip terhadap sistim koordinat tegak lurus yang dipilih). Untuk mewakili besaran yang mempunyai panjang dan arah, sebagai suatu vektor dalam analisa vektor, ditunjukkan dengan anak panah yang berangkat dari titik pangkal koordinat dan berakhir pada titik ujung panah, katakan (a1, a2). Arah anak panah dipilih sebagai arah besaran dan panjang anak panah sebagai panjang besaran tersebut. Vektor ini dapat diberikan dengan notasi (a1, a2).
2
Aljabar Linear
Koordinat-koordinat ini disebut komponen-komponen dari vektor itu. Addisi dua vektor (a1, a2) dan (b1, b2) dan pergandaan dengan skalar k didefinisikan sebagai berikut: (a1, a2) + (b1, b2) k (a1, a2)
= (a1 + b1, a2 + b2) dan = (ka1, ka2).
Terhadap operasi ini, maka himpunan semua vektor dalam bidang datar seperti tersebut diatas memenuhi: I. Semua aksioma dari grup komutatip terhadap addisi, dan II. k (a1, a2) merupakan vektor lagi. III. 1) (k1 + k2) (a1, a2) = k1(a1, a2) + k2(a1, a2), 2) k [(a1, a2) + (b1, b2)] = k (a1, a2) + k (b1, b2), 3). (k1k2) (a1, a2) = k1 [k2 (a1, a2)], 4). 1 (a1, a2) = (a1, a2). Secara serupa, hal ini berlaku pula untuk vektor-vektor dalam ruang berdimensi tiga.
