MATEMATIKA TEKNIK Oleh
: Prayudi
Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006 Hak Cipta © 2006 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-882262; 0274-4462135 Fax. : 0274-4462136 E-mail :
[email protected]
Prayudi MATEMATIKA TEKNIK/Prayudi - Edisi Pertama – Yogyakarta; Penerbit Graha Ilmu, 2006 viii + 464 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN-13: 978-979-756- 140-6 ISBN-10: 979-756-140-2 1. Matematika
I. Judul
Kata Pengantar
S
egala puji syukur penulis panjatkan hanya untuk Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayahnya, sehingga atas izin Allah, alhamdullilah buku yang cukup sederhana ini dapat diterbitkan. Pada awalnya buku ini merupakan gabungan dua buah diktat kuliah untuk Mata Kuliah Matematika Teknik II dan Mateamtika Teknik III yang penulis susun dan digunakan secara terbatas oleh mahasiswa Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jakarta, dan Sekolah Tinggi Teknik PLN, dimana pertama kali dipublikasikan sebagai bahan ajaran sekitar awal tahun 1995. Setelah mengalami berbagai revisi setelah mendapatkan masukan dari mahasiswa, dan beberapa rekan sejawat, akhirnya terbentuk suatu buku yang sederhana dan cukup lengkap. Buku ini lebih dituju-kan untuk membantu mahasiswa semester tahun kedua yang mengambil mata kuliah Matematika Teknik khususnya yang mempelajari masalah Persamaan Diferensial Biasa. Transformasi Laplace dan Deret Fourier, baik mahasiswa di fakultas teknik dan atau sains dan teknologi lainnya, yang tidak begitu mempermasalahkan bukti dari teorema, tetapi menekankan pada penggunaan teorema. Letak keunggulan dari buku ini adalah bahwa buku ini lebih menekankan pada bagaimana menyelesaikan masalah dan menggunakan teori dan teorema untuk menyelesaikan masalah, namun demikian tidak meninggalkan kaidah-kaidah secara teori. Oleh karenanya pendekatan yang digunakan pada pembahasan buku ini adalah pada setiap awal subbab diupayakan adanya pengantar teori dan selanjutnya diteruskan dengan teori yang terdiri atas definisi dan teorema, selanjutnya diteruskan dengan contoh-contoh soal. Sehinga teorema-teorema dalam buku ini sengaja tidak dibuktikan, dan bagi pembaca yang menginginkan buktinya disarankan untuk membaca lebih lanjut pada buku referensi yang
ditunjuk. Pendekatan ini coba ditempuh, agar supaya mahasiswa dan atau pembaca pada umumnya tidak terjebak pada masalah pembuktian teorema, tetapi lebih menekankan pada penggunaan teorema. Pada setiap pembahasan contoh soal, diupayakan tahapan dan langkah-langkah yang digunakan dapat diikuti dengan mudah oleh mahasiswa. Sehingga mahasiswa dan atau pembaca pada umumnya lebih mudah memahami Persamaan Diferensial Biasa. Transformasi Laplace, atau Deret Fourier. Selanjutnya pada akhir subbab diberikan soal-soal latihan, dengan harapan soal-soal tersebut dapat menambah materi. Olah karenanya soal-soal yang disajikan dapat dikerjakan oleh mahasiswa, dengan tingkat kesulitan yang sepadan dengan mahasiswa baru tahun kedua. Materi buku ini dapat diajarkan dalam satu semester dengan bobot 4 (empat) sks, atau dapat diajarkan dalam dua semester. Pada semester pertama Persamaan Differensial Biasa dan pada semester kedua Transformasi Laplace, dan Deret Fourier. Oleh karena itu buku ini disusun terdiri atas tiga bagian. Bagian pertama terdiri atas tiga bab, pada Bab I membahas masalah pengertian dan klasifikasi persamaan differensial, yang dilanjutkan dengan persamaan differensial variabel terpisah, persamaan diferensial homogen dan reduksi persamaan homogen, persamaan diferensial eksak dan faktor integrasi,dan terakhir adalah persamaan differensial linear orde satu. Pada bab ini disajikan pula beberapa contoh soal penerapan persamaan deferensial orde satu pada masalah-maslah nyata. Pada Bab II, pembahasan lebih ditekankan pada persamaan diferensial linear orde dua, orde tinggi koefisien konstan homogen dan non homogen, dan persamaan diferensial linear Euler Cauchy orde dua, orde tinggi homogen dan non homogen. Pada bab ini juga dibahas metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter. Pada Bab III, khusus dibahas metode reduksi dan invers operator diferensial linear koefisien konstan. Bagian kedua Buku ini terdiri atas satu bab, yang membahas masalah persamaan Transformasi Laplace dan penerapan, khususnya untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Sedangkan pada bagian akhir buku ini membahas masalah Deret Fourier. Pada akhirnya penulis berterimakasih kepada istri Lidya SW, anak tercinta Abimanyu Putera Yudha atas dorongan dan kasih sayangnya dan waktu yang diluangkan. Tak lupa penulis ucapkan terimakasih kepada asisten saya Sdr. Hendry Odoe ST, mahasiswa, dan rekan-rekan sejawat yang telah memberi masukan dan bantuan sehingga buku ini dapat diselesaikan. Penulis juga berterimakasih pada pihak penerbit dengan segala risiko yang akan ditanggung telah bersedia menerbitkan buku ini.
Penulis
vi
Matematika Teknik
Kata Pengantar
vii
Daftar Isi KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAGIAN PERTAMA: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU 1.1 Pengertian Persamaan Diferensial 1.2 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah 1.4 Persamaan Eksak dan Faktor Integrasi 1.5 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
v vii 1 3 3 13 46 60
BAB 2 2.1 2.2
75 75
2.3 2.3 2.4 2.7 BAB 3 3.1 3.2 3.3 3.4
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE TINGGI Pengertian dan Klasifikasi Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Homogen Koefisien Konstan Persamaan Euler Cauchy Homogen Orde Dua Persamaan Euler Cauchy Homogen Orde Dua Persamaan Diferensial Homogen Orde Tinggi, Koefisien Konstan Metode Variasi Parameter
101 139
METODE REDUKSI DAN INVERS OPERATOR DIFERENSIAL Pengertian Invers Operator Penyelesaian Homogen, Reduksi Orde Operator Penyelesaian Non Homogen, Metode Invers Operator Metode Invers Operator, Metode Singkat
163 163 168 180 191
78 85 93
BAGIAN KEDUA: TRANFORMASI LAPLACE BAB 4 TRANSFORMASI LAPLACE 4.1 Pengertian Transformasi Laplace dan Inversnya 4.2 Transformasi Laplace dari Turunan dan Integral Fungsi 4.3 Penerapan Pada Persamaan Diferensial 4.5 Fungsi Tangga Satuan 4.6 Metode Jumlahan Pecahan Parsial 4.7 Konvolusi dan Persamaan Integral
237 239 239 258 274 301 319 355
BAGIAN KETIGA: DERET FOURIER BAB 5 DERET FOURIER 5.1 Fungsi Periodik 5.2 Deret Fourier, Periode T = 2p 5.3. Deret Fourier, Fungsi Periodik T = 2L 5.4 Konvergensi Deret Fourier 5.5 Fungsi Ganjil, Fungsi Genap dan Ekspansi Setengah Periode 5.6 Metode Loncatan
373 375 375 382 399 413 425 448
DAFTAR PUSTAKA TENTANG PENULIS
469 471 -oo0oo-
viii
Matematika Teknik
