5 - Waar komen de getallen vandaan

5 - Waar komen de getallen vandaan

De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: •

E1 - Maak de 5 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen.

•

E2 - Maak een lesopzet van een les voor een VO-klas VO klas met als onderwerp ‘Waar komen de getallen vandaan’. Denk aan de volgende zaken: o

Lesdoelen

o

Checken of lesdoelen zijn behaald

o

Werkvormen

o

welke klas / welk niveau

o

Inpasbaarheid in het leerplan

o

Theoretische les of praktische les

o

…

5.1 – Opgaven

5.1.1 - Opdracht 1 a) Zoek op het internet bij wikipedia informatie over het getalsysteem dat door de mayamaya cultuur gebruikt werd. b) Schrijf het getal 76 en 2010 in maya-notatie. maya notatie. Geef een voordeel en een nadeel van de wijze waarop de Maya’s getallen noteerden.

Deelopdracht a. De Maya's gebruikte ruikte een teleenheid van twintig. alle getallen werden van 0 tot en met 20 geschreven en daarna 1 maal 20 plus daaronder het resterende getal. In de derde lijn komen de aantal keren dat 400 voorkomt in een getal en eventueel daar weer boven 8000-tallen. 8000 Linkss is een voorbeeld van 471. Naast het getal twintig waren er nog andere getallen belangrijk voor de Maya's. Zo werd het getal 9 vereerd en is in vele berekeningen het sleutelgetal. Ook 260 (13 x 20) Geschiedenis van de Wiskunde

55

is een heel belangrijk getal. Het is het getal van de 'Tjolkin' de 'heilige' korte kalender. Dit getal komt tot stand door de vermenigvuldiging van de rotatietijden van de zon op de evenaar en de polen (26 dagen om 37 dagen). Dit is pas door recentelijk ruimteonderzoek duidelijk geworden voor ons. Het getal werd door de Maya's gebruikt om voorspellingen te doen en astronomische gebeurtenissen te volgen. Daarnaast hadden de Maya's ook nog een lange kalender van 18 'maanden' van 20 dagen en vijf naamloze dagen (365 dagen). De moderne astronomie heeft aangetoond dan de Maya´s heel nauwkeurig waren met hun berekeningen. Zo hadden ze berekent dat een jaar 365,2420 dagen duurde. De moderne computers van de astronomen geven een nog nauwkeurige berekening weer van 365,24,22 dagen wat omgerekend neer komt op een afwijking van 17 seconden per jaar.

Deelopdracht b. Uit de Dresden codes, dit is een boek uit de 11e of 12e eeuw en aangenomen wordt dat dit een kopie is van een 300 tot 400 jaar oud Maya boek, blijkt dat het getallensysteem een positiestelsel is. Alleen niet achter elkaar, zoals bij ons, maar boven elkaar. Dat betekent dat we nu ook moeten zoeken naar veelvouden van grondtallen (20) en van daaruit verder opbouwen.

Voor het getal 76 geeft dit: 3 x 20 + 16 dus 3x

en 1x

. Dit samengevoegd volgens de

Maya notatie levert dan: Voor het getal 2010 is het niet handig om 10x een symbool voor 20 te plaatsen. Maar aangezien het getallen systeem een positiestelsel is kunnen we wel een nieuwe laag toevoegen. Deze laag is dan 20x 20 = 400. Het aantal malen 400 werd dan aangegeven met een ‘-‘. Dus het getal 2010 kunnen we dus uit een rafelen in 5x 400 + 0x 20 + 10 oftewel

----- +

+

en dat geeft dan de volgende afbeelding:

Het voordeel van dit systeem is dat men maar weinig tekens nodig heeft om grote getallen weer te geven. Het nadeel, omdat je de machten boven elkaar schrijft, je altijd moet rekenen.

Geschiedenis van de Wiskunde

56

5.1.2 - Opdracht 2 a) Schrijf de getallen 65 en 3738 op de Griekse Attische manier op. b) Schrijf de breuk 84/65 op de oude Griekse manier en op de manier van Diophantos

Deelopdracht a. Het oudste getalsysteem in Griekenland werd gevormd door de Attische cijfers, waarop later de Romeinse cijfers zouden worden gebaseerd, met de volgende letterwaardes: • Ι = 1, • Π = 5 (P van pi voor ‘penta’), • Δ = 10 (D van delta voor ‘deca’), • Η = 100 (H van eta voor ‘hekaton’), • Χ = 1000 (C van chi voor ‘kilioi’), • Μ = 10000 (M van mu voor ‘myrioi’). Het getal 65 is dan 6 x 10 + 5 ->ΔΔΔΔΔΔΠ. Het getal 3738 kunnen we dan herschrijven tot 3 x 1000 + 7 x 100 + 3 x 10 + 1 x 5 + 3 x 1 -> ΧΧΧΗΗΗΗΗΗΗΔΔΔΠΙΙΙ Letter Waarde Letter Waarde Letter Waarde

Deelopdracht b. De breuk 84/65 kunnen we op 2 manieren schrijven. De 84 en de 65 in het grieks zijn respectievelijk πδ´ en ξε´. De oude Grieken noteerden dan voor de breuk 84/65: πδ´ξε”ξε”.

Diophantos hanteerde echter een systeem dat lijkt op het onze echter hij noteerde dit dan: . Opvallend is dat de breukstreep ontbreekt. Maar nog opvallender is het feit dat de teller en de noemer omgedraaid zijn. Dus de breuk 84/65 volgens Diophantos:


α´

1

ι´

10

ρ´

100

β´

2

κ´

20

σ´

200

γ´

3

λ´

30

τ´

300

δ´

4

µ´

40

υ´

400

ε´

5

ν´

50

φ´

500

Ϝ´ of ς´ 6 of στ´

ξ´

60

χ´

600

ζ´

7

ο´

70

ψ´

700

η´

8

π´

80

ω´

800

θ´

9

Ϝ´

90

Ϝ´

900

´ ´

57

5.1.3 - Opdracht 3 a) Schrijf de getallen 141 en 24 in Romeinse tekens. b) Geef aan hoe jij denkt dat de som en het verschil van 141en 24 eruit ziet in Romeinse tekens. Inclusief het antwoord (in Romeinse tekens). c) Welke datum staat er op de afbeelding op blz. 4.

Deel opgave a. Het getal 141 kunnen we ontleden in 100 + 40 + 1. Wanneer we hiervoor de Romeinse notering gebruiken dan krijgen we 100-> C, 40 -> XL en 1 -> I. Dus 141 -> CXLI. Evenzo gaat het op 24. Dat is 20 -> XX en 4 -> IV. Dus 24 -> XXIV

Deel opgave b. Voor het verschil van 141 en 24 hebben we dus de volgende opgave: CXLI – XXIV. Ook hier gaan we weer de onderdelen bekijken. Dus C - =C, XL – XX=XX en bij I – IV komen we 3 tekort dus kunnen we ook zeggen XX – III = XVII. Dus CXLI – XXIV= CXVII Voor de optelling krijgen we dan C+ =C, XL+XX=LX en I+IV=V. Dus CXLI + XXIV= CLXV

Deel opgave c. Op de foto staat te lezen: XVIII JUNI MDCCCXV Omzetten naar cijfers geeft dan 10 + 5 + 3 JUNI 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 10 + 5 en dat geeft uit eindelijk 18 JUNI 1815 en dit was de slag bij Waterloo.

De foto op pagina 4 is een deelopname van het originele monument hieronder.


58

5.1.4 - Opdracht 4 a) 2, 3 dasa, 9 sata, 8 sahasra, 4, ayuta, 7 laksa, 6 prayud. Welk getal stelt dit voor? b) Schrijf in het Sanskriet het getal 13 107 200 000 mét het gebruik van het woord ‘sunya’.

Deelopgave a

Het behulp van de tabel is het Sanskriet getal 2, 3 dasa, 9 sata, 8 sahasra, 4, ayuta, 7 laksa, 6 prayud om te zetten naar ons huidige systeem. 2

2

3x 10

30

9x 100

900

8x 1000

8000

4x 10000

40000

7x 100000

700000

6x 1000000

6000000 -----------6748932

1

eka

2

dvi

3

tri

4

catur

5

panca

6

sat

7

sapta

8

asta

9

nava

10

dasa

100

sata

1 000

sahasra

Een kortere methode, gelijk aan de latere Indiase wiskundige, laat de rangtelwoorden weg. Bedenk dan wel dat men in het Sanskriet van rechts naar links leest. Uitwerking: 2, 3 dasa, 9 sata, 8 sahasra, 4, ayuta, 7 laksa, 6 prayud -> 2, 3, 9, 8, 4, 7, 6 -> 6748932 Deelopgave b Om het getal 13 107 200 000 om te zetten naar het Sanskriet gaan we eerst de volgorde omdraaien, dus: 13 107 200 000 -> 000 002 701 31. Nu de rangtelwoorden toevoegen geeft dan: 000 002 701 31 -> 0, 0 dasa, 0 sata, 0 sahasra, 0 ayutra, 2 laksa, 7 prayuda, 0 koti, 1 arbuda, 3 abja, 1 kharva. Om posities van de cijfers te vast te houden gebruikten de Indiërs het woord ‘sunya’. Dus we kunnen nu alle onderdelen met 0x een rangtelwoord hierdoor vervangen en krijgen zo onze oplossing: 13 107 200 000 -> 000 002 701 31 -> 0, 0 dasa, 0 sata, 0 sahasra, 0 ayutra, 2 laksa, 7 prayuda, 0 koti, 1 arbuda, 3 abja, 1 kharva ->sunya, sunya, sunya, sunya, sunya, 2 laksa, 7 prayuda, sunya, 1 arbuda, 3 abja, 1 kharva Geschiedenis van de Wiskunde

59

5.1.5 - Opdracht 5

Hoe zou jij als docent aan leerlingen uitleggen dat ‘delen door nul is flauwekul’? Van de vermenigvuldiging 2 5 10 kunnen we ook een breuk maken, namelijk

5

Uit dit simpele sommetje kunnen we dus de volgende stelling halen: 10 5 , !" #$%!&! &'$ !'%(! 1 2 1 10 1 2 5 )*+ 1

We kunnen dit ook proberen met , #$%!&! & '$ !'%(! * 0 1 8 0, ,

en dat klopt. Maar #$%!&! & '$ !'%(! * 8 1 . 0 0. Want 8 is niet gelijk aan 0. Dus ‘delen door nul is flauwekul’.

Een andere uitleg is bijvoorbeeld met een taart. De slagroomtaart is de ‘teller’ en het mes is de ‘noemer’ van de breuk. Wanneer ik de slagroomtaart met een mes doorsnijdt dan heb ik 2 delen van een slagroomtaart. Snij ik deze delen weer door dan heb ik 4 delen. Maar als ik nu geen mes heb? Dus mijn mes is nul. Kan ik dan mijn taart snijden?


60

5.2 – Lesopzet

Klas

1e jaars vo leerlingen

Lesopdracht

Waar komen de getallen vandaan?

Concrete Lesdoelen

De leerlingen kunnen na het voltooien van de serie: • • • • •

Meerdere getal systemen herkennen, Eenvoudige berekeningen hiermee uitvoeren, Verschillen tussen de systemen aangeven, Samenwerken en presenteren, Verslag maken.

Bij de beoordeling is het belangrijk dat er samengewerkt wordt door de groep. De inhoud hoeft niet volledig te zijn maar moet wel een beeld geven van een actieve werkhouding. Wiskunde is niet saai. Het maken van dit project moet vooral leuk zijn!

Materiaal

Notitieblok en computer met internet toegang en office programma’s tbv presentatie en verslag. Voor de research kan gebruik gemaakt worden van het internet of in de schoolbibliotheek. Voor de presentatie later in de les serie is een beamer of een digiboard wenselijk.

Van te voren

Maak groepjes van 4 leerlingen. Laat ze zelf overleggen en een planning en werkverdeling maken. Deze leveren ze in bij de docent. In het geval van een combinatieklas is het te overwegen om zelf een indeling te maken. Dit om ongewenste grote verschillen te vermijden.


61

Begin situatie

Voor deze les serie is geen specifieke voorkennis noodzakelijk. Het kan dan ook als een opzichzelfstaand project gegeven worden ergens in het schooljaar. Per les is er een korte periode ingepland om het normale programma niet te veel te verstoren. Les materiaal te vinden op http://nl.wikipedia.org/wiki/Geschiedenis_van_de_wiskunde of

http://wiskunde.wjsn.nl

Evaluatie Wat ging goed …

Wat anders doen …

Planning …

4 weken, 15 minuten in de les voor monitoring en 1 uur thuis per leerling.

Conclusies …

Overig …


62

Les

Minuten

Onderwerpen en Lesdoelen

Waarom

1

15

Uitleg en uitreiken document ‘De Geschiedenis van getallen en cijfers’. Geef een korte uitleg over het document en het verdere verloop van dit project.

Zelfstandigheid van de leerling bevorderen. Door hier elke week een monitor moment in te bouwen hebben ze toch het gevoel dat er meegekeken wordt.

Doel: Getal systemen herkennen en eenvoudige berekeningen maken. Daarnaast samenwerken, uitwerken en presenteren. Opzet: Groepjes van 4 lln die samen een werkstuk maken en deze in de klas presenteren. Duur: komende 4 weken 15 minuten ruimte om vragen te stellen in de klas en thuis ongeveer 1 uur per week. In de 5e week alle presentaties. Product: Verslag en presentatie (max 7,5 minuten). Beide worden beoordeeld en tellen mee voor je eindcijfer. Je krijgt een groepscijfer. Resultaat les 1: Groepen bekend.

2

15

Korte herhaling van document en enkele voorbeelden noemen en bespreken. Daarna de groepen bij lang en klassikaal de status opvragen en laten rapporteren.

Gelijk aan bovenstaande.

Resultaat les 2: Plan van Aanpak en werkverdeling.

3

15

Status van groepen opvragen en eventuele vragen behandelen. Voorbeelden aandragen van sites en boeken over dit onderwerp. Geef ook wat voorbeelden van goeie en slechte presentaties.

Houden aan een planning en laten nadenken over het eindproduct.

4

15

Status van groepen opvragen en



63

eventuele vragen behandelen.

5

15

6

7

Status van groepen opvragen en eventuele vragen behandelen. De planning van de presentaties vastleggen.


Presentaties. Korte evaluatie van groep zelf en klas.

15

Evaluatie van afgelopen weken. Wat ging er goed en wat ging er mis.


Kritisch zijn naar jezelf en leren van je fouten.

64

5.2.1 – De geschiedenis van getallen en cijfers Tellen, het Begin; Natuurlijke getallen en Wat kun je er mee en wat niet; Hoe schreef men vroeger cijfers en getallen; Negatieve Getallen in China; Gehele getallen; Breuken in het Oude Egypte, Decimale Breuken in China en Rationale Getallen; Het Getal "e", het Getal ∏ en andere Irrationale Getallen; Het getal "Nul"; Reële getallen; Het Indiase Gwalior Systeem en Hoe Europeanen ongeveer 1000 jaar geleden cijfers en getallen noteerden.

Tellen, het Begin: Cijfers en Getallen. Mensen zijn ooit begonnen met de zgn. Natuurlijke Getallen. Dat zijn getallen als 1, 2, 3, 4, etc.. De laagste was 1 en de hoogste was 1000, 10000 of iets anders. Hieronder volgt eerst een voorbeeld van een dorp uit het verleden. Daar staat ook een onderzoeksverslag bij van een vissersdorp, dan nu nog steeds bestaat, waar de mensen niet kunnen tellen. Het dorp: Natuurlijke Getallen [ Symbool =

ℕ]

Er was eens een dorp met 20 inwoners, 6 huizen en 9 bomen. Twee inwoners hadden een paar schapen. Er was weinig te doen in het dorp en dus vertrok er soms iemand uit het dorp om de rest van de wereld te bekijken. Ook werd er zo af en toe een kind geboren in het dorp. Al eeuwen lang waren er zo in dit dorp een paar schapen, 9 bomen, 6 huizen en ongeveer 20 inwoners. Soms was het nodig om te tellen bijvoorbeeld als een van de schapen weg was. Getallen met drie cijfers kenden de inwoners niet. Eigenlijk konden ze alleen maar rekenen met getallen onder de 100. Daar hadden ze ook symbolen voor - dat noemen we cijfers maar meestal maar 2. De Maya's uit Zuid Amerika bijvoorbeeld gebruikten een klein rondje als symbool voor "1" en twee rondjes als symbool voor de 2. Dus: o, oo, ooo, oooo etc.. Een ander voorbeeld: |, ||, |||, |||| etc. (uit het Oude Egypte, China en Babylon). Getallen, die groter waren dan 100, kwamen in het dorp niet voor. De slimste inwoners van het dorp konden optellen maar ook herhaald optellen, dat ze pas veel later vermenigvuldigen zou gaan heten. De inwoners hadden nog geen schrijftaal en dat wil zeggen dat ze geen karakters of symbolen hadden, waarmee ze iets op konden schrijven. Ze hadden wel schapen maar konden het woord voor "schaap" niet opschrijven. Wij zouden zeggen "ze hadden geen schrijfletters". Het eerste wat ze nu gingen doen was cijfers gebruiken voor het "tellen". Eerst ontstonden de symbolen voor cijfers - pas daarna de schrijftaal Ruim 8000 jaar geleden bestond er nog geen geschreven taal: er bestonden geen geschreven letters, woorden of zinnen, maar wel iets vergelijkbaars. Er bestonden al notaties voor cijfers; het bekendste voorbeeld is het Ishango Bot , dat werd gevonden in Afrika. Sommige volken hebben ook nu nog geen symbolen voor cijfers Inwoners van andere dorpen, die erg geisoleerd waren, deden dit niet. Ze wisten niets van de "uitvinding" uit in "ons dorp". Ze konden helemaal niet tellen en hadden er dus ook geen symbolen voor (ze hadden geen cijfers). Kort geleden nog werd zo'n dorp bezocht door de onderzoeker Everett. Een mooi verslag van zo'n dorp waar mensen wonen, die niet tot EEN kunnen tellen staat op de site onder ‘Tellen bij primitieve volkeren’. Ook in Europa werden 1000 jaar geleden vaak geen symbolen voor cijfers gebruikt . De bewijzen hiervoor vind je onderaan deze pagina!


65

Wat is mogelijk met natuurlijke getallen en wat niet? Het verhaal van het dorp is een voorbeeld van het gebruik van Natuurlijke Getallen met een bovengrens van 99. Als je alleen maar Natuurlijke getallen hebt met symbolen, die daar bij horen, dan kun je niet alles uitrekenen. Dat geldt bijvoorbeeld voor verschillen. We geven drie voorbeelden: 1. 10 - 3 = 7 met een uitkomst (7) dat een gewoon natuurlijke getal is 2. 12 - 12 = ??? met een onbekende uitkomst, waar geen symbool voor is 3. 33 - 44 = ??? met een onbekende uitkomst, waar eveneens geen symbool voor bestaat Andere getallen: de Gehele Getallen [ Symbool =

ℤ]

Men ging daarom al gauw geen Natuurlijke Getallen meer gebruiken, maar Gehele Getallen. De groep van natuurlijke getallen werd verdubbeld door eraan toe te voegen de "negatieve getallen": -1, -2, -3, -4, etc.. (In China ging men in 100 voor Christus voor het eerst negatieve getallen gebruiken). De Chinezen gingen kleuren gebruiken om aan te geven dat getallen positief of negatief waren. Later zou men in andere landen hiervoor symbolen gaan gebruiken. De mensen in het dorp hadden dus genoeg aan hun symbolen, waarmee ze hun cijfers en getallen konden opschrijven en nog een extra symbool om aan te geven of de getallen negatief waren. Het blijkt dus dat je niet genoeg hebt aan symbolen voor getallen. Als je een maal met tellen en rekenen begint, dan heb je steeds meer symbolen nodig. In de wiskunde zijn er heel wat symbolen: voor plus, min, even groot als, groter dan, enzovoort. Er waren nu dus wel twee keer zoveel getallen, waarmee mensen konden vermenigvuldigen, verschillen berekenen en getallen optellen. Later bleek dat er toch nog problemen waren als je bepaalde getallen op elkaar deelde. Ook het ontbreken van "het cijfer 0" bleef een probleem. Hieronder worden vier voorbeelden gegeven: 1. 35 : 7 = 5, geen probleem (de uitkomst "5" is ook een gewoon geheel getal) 2. 24 : 3 = 8 levert ook geen enkel probleem op 3. 15 : 2 = ??? levert een onbekende uitkomst op, waarvoor geen symbool of getal bestaat 4. 12 - 12 = ??? met een logische maar wel "gekke" uitkomst; er was geen symbool voor Nog meer getallen: de Rationale Getallen [ Symbool =

ℚ]

In ieder geval voor het delen moest er dus toch nog een extra uitbreiding komen. De groep van "gehele getallen" bleek te beperkt te zijn. De uitkomst uit voorbeeld 3 [ dat is 7,5 ] maar ook de rest van de breuken werden toegevoegd. Men vond ook een manier om het op te schrijven - en er kwamen dus symbolen voor. De Oude Egyptenaren zetten bijvoorbeeld boven de cijfers een plat streepje: hun symbool voor breuken. Een 2 met zo'n streep er boven betekende dus ½ en een 4 met een streep betekende ¼. Maar iets als drie-kwart kenden ze niet. Van alle breuken die ze opschreven was altijd de "teller" gelijk aan 1. Er kwam dus weer een symbool bij. Ze hadden genoeg aan dat ene extra symbool - het platte streepje - om alle breuken die ze kenden, te kunnen opschrijven. De groep van getallen die nu was ontstaan noemt men tegenwoordig Rationale Getallen. Vergeleken met de groep van Gehele Getallen is de groep van Rationale Getallen een vreselijk grote groep. Als je Rationale Getallen gebruikt dan kun je: optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Alle uitkomsten die je dan vindt, zijn ook weer Rationale Getallen. Toen dat eenmaal duidelijk was, ging iedereen in het dorp deze "rationale getallen" gebruiken. Later bleek toch, dat sommige "reken sommen" niet konden worden opgelost met Rationale Getallen. De inwoners van het dorp hadden al een heleboel getallen op elkaar gedeeld en elke keer, konden ze de uitkomst opschrijven als een "decimale breuk". Ze


66

schreven dus niet op: ½, maar 0,5 en niet: ¼, maar 0,25. De "komma" was dus weer zo'n extra symbool, die er bij was gekomen. Ongeveer 2000 jaar geleden begon men in China deze zgn. decimale breuken te gebruiken. De "gekke" breuk: irrationale getallen Op een dag kwam een inwoner van ons dorp met een "gekke" breuk" aanzetten. Hij had een vierkante tegel gemaakt. De zijden waren alle vier precies 1 meter lang. Daarna had hij de tegel door midden gebroken en hij stond met 2 even grote driehoeken in zijn hand. Hij had de "schuine zijde" van een van de driehoek opgemeten. Die was ongeveer 1,41 meter lang. Hij had die dag toch niets te doen en ging op zoek naar de teller en de noemer, die bij deze "gekke breuk" hoorde. Hij begon met 7 gedeeld door 5, daarna 78 : 55 en 784 : 55, vervolgens probeerde hij 785 : 55, enz., enz.. Wat hij ook probeerde hij kon geen teller en noemer vinden bij deze "gekke breuk". Later werden de uitkomsten, die de man uit het dorp zocht, irrationale getallen genoemd en dat betekent "niet rationaal". Een van de bekendste voorbeelden is het getal pi, dat men later is op gaan ging schrijven als: ∏. Ook het beroemde getal "e" is een voorbeeld van een irrationaal getal. De man uit het dorp was bezig met een irrationaal getal, dat we later "wortel 2" gingen noemen. Dat wordt opgeschreven als: √2. Opnieuw kun je hieraan zien, dat er steeds meer symbolen nodig waren. Voor die mensen die al een eigen alfabet hadden, waren er meestal geen letters genoeg. Er werden daarom steeds vaker letters van een ander alfabet gebruikt. Tegenwoordig gebruiken we behalve de ∏ ook vaak andere letters uit het Griekse alfabet . In het verre India - ver van ons dorp vandaan - werden niet alleen negatieve getallen maar ook irrationele getallen gebruikt. Dat gebeurde vanaf ongeveer 500 na Christus. De bewoners van India hadden toen ook al een schrijftaal: ze hadden net als de Grieken in die tijd allerlei karakters om hun alfabet te kunnen opschrijven. Bovendien hadden ze aparte karakters om huncijfers mee te kunnen opschrijven. MAAR wat het bijzonder maakte was het feit, dat ze maar 10 karakters gebruikten en dat ze daarmee elk getal konden opschrijven. Ze hadden symbolen voor de cijfers 1 t/m 10. De bewoners van het Oude Egypte en Babylon hadden er maar twee. Grote aantallen noteren was bijna niet te doen. Ook de Romeinen zaten met dit probleem. Een groot getal opschrijven was heel wat werk - ook al gebruikten de Romeinen wel meer dan twee symbolen voor hun cijfers en getallen (I, V, X, L, C en M). De bewoners van India kozen voor het zgn. "positiestelsel". Een 2 betekent alleen 2 als er niets achter staat. Een 2 betekent 20 als er nog een cijfer achter staat. Net zo betekent een "3" 300, als er achter de 3 nog twee cijfers staan. Het is dus zo, dat de "positie" van een cijfer aangeeft hoeveel dat cijfer "waard" is. Inmiddels gebruiken wij ook dit "positiestelsel" afkomstig uit het Oude India. Het "getal" nul en Reële Getallen [ Symbool =

ℝ]

Ongeveer 1300 jaar geleden maakten andere wetenschappers uit India het getalsysteem compleet. Zij gingen voor het eerst de "nul" gebruiken en verzonnen daar een symbool voor, dat nu vrijwel iedereen op de wereld ook gebruikt als nul, namelijk 0. Vanaf dat moment waren er dus karakters voor de cijfers 0, 1, 2 t/m 9 (= basis bouwstenen). Het getal 10 werd nu gemaakt door het cijfer 1 en het cijfer 0 te gebruiken. Dit getalsysteem ken je, omdat we het nu allemaal gebruiken. Daarna werd het aan de Chinezen voorgelegd, maar het werd niet overgenomen. De Arabieren en Perzen namen het wel over en zo zou het veel later uiteindelijk ook in Europa terechtkomen. De mensen uit ons dorp - of tenminste de kinderen en kleinkinderen van de oude bewoners - konden nu alles berekenen, wat ze wilden. EN ze konden dat ook opschrijven. Ze hadden nu wel veel meer cijfers, getallen en symbolen dan aan het begin. Kijk maar eens wat een lijst dat nu geworden is: • • •

Symbolen voor de cijfers De Nul en een Symbool voor de 0 Een duidelijke afspraak over hoe je van de cijfers getallen maakt


67

• • • •

Een Alle Alle EN:

handige manier om breuken op te schrijven Rationale Getallen Irrationale Getallen ook nog eens allerlei Symbolen voor plus, min, wortel, kwadraat, etc., etc...

Later ging men alle Rationale Getallen, De Nul plus de Irrationale getallen samen Reële Getallen noemen. Cijfers gebruiken om getallen te noteren Enkele eeuwen nadat men in India het nu overal bekende getalsysteem (Het Gwalior Systeem) had ontwikkeld, gingen ook Europeanen in hun eigen taal teksten schrijven. Je kunt denken aan de bekende Legende "Beatrijs" uit de 13e Eeuw en b.v. aan Karel en de Elegast uit de 12e eeuw. Vergelijkbare oude teksten + samenvattingen staan op de site Nederlands . In Engeland werd "Beowulf" geschreven, die je kunt vinden op de site over (Oud) Engels . Zie b.v. ook "Serments de Strasbourg" op de site (Oud) Frans en de nog oudere Duitse werken "Merseburger Zaubersprüche" en het "Hildebrandslied" op de site (Oud) Duits . Wat opvalt is, dat je daar geen gewone cijfers zult tegen komen: geen enkele in de genoemde Oud Duitse en ook niet in de Oud Franse teksten. In het Engelse "Beowulf" kom je tegen: "four sons", "twelve winters", "champions ...fifteen together", "thirty men's strength", "seven nights", etc., maar nergens cijfers. In "Karel ende Elegast" kun je vinden: "vijfhonderd pont", "honderd scellen groot", maar ook "ter poorten LX man". In "Beatrijs" staat onder meer: "een wort oft twee", maar ook "heb binnen XIIIJ iaeren" en b.v. "daer si in was XIIIJ iaer". Hier zien we dus vooral tekst in plaats van cijfers (aantallen en getallen schreef men als woorden). Daarnaast werden soms Romeinse Cijfers gebruikt en dus niet de ons bekende cijfers als 1, 2, 3, etc. Hieruit zou je kunnen afleiden, dat veel (of alle) schrijvers destijds niet of nauwelijks op de hoogte waren van de "uitvinding" in India. Dat is niet helemaal zeker wat betreft de 12e eeuw. Bekend is wel dat in de 10e eeuw niemand in Nederland en Vlaanderen op de hoogte was van het Gwalior Systeem [ plaatje staat hieronder ]. Als er al getallen en cijfers werden gebruikt in teksten, dan gebruikte men dus gewoon "woorden" of Romeinse cijfers.

De site vind je op http://wiskunde.wjsn.nl


68


69

5 - Waar komen de getallen vandaan

Recommend Documents