4.3.8
Vzorce pro součet goniometrických funkcí
Předpoklady: 4306 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: x+ y x− y • sin x + sin y = 2sin ⋅ cos 2 2 x+ y x− y • sin x − sin y = 2 cos ⋅ sin 2 2 x+ y x− y • cos x + cos y = 2 cos ⋅ cos 2 2 x+ y x− y • cos x − cos y = −2 sin ⋅ sin 2 2 Na první pohled jsou vzorce k ničemu, protože na pravá strana vzorců je složitější než levá. Při řešení rovnic však mohou být velmi užitečné, protože převádějí součet na součin.
Př. 1:
Uprav na součin výrazy. a) sin 2 x + sin 4 y
b) cos 5a + cos 3a
c) sin 3x − sin ( x + π )
π π d) cos x + − cos 3 x − 2 2
2x + 4x 2x − 4x ⋅ cos = 2sin 3 x ⋅ cos ( − x ) = 2sin 3 x ⋅ cos x 2 2 5a + 3a 5a − 3a 8a 2a b) cos 5a + cos 3a = 2 cos ⋅ cos = 2 cos ⋅ cos = 2 cos 4a ⋅ cos a 2 2 2 2 3x + x + π 3x − x − π 4x + π 2x − π sin 3 x − sin ( x + π ) = 2 cos ⋅ sin = 2 cos ⋅ sin = 2 2 2 2 c) π π = 2 cos 2 x + ⋅ sin x − 2 2 π π π π x + + 3x − x + − 3x + π π 2 2 ⋅ sin 2 2 = cos x + − cos 3 x − = −2 sin 2 2 2 2 d) a) sin 2 x + sin 4 y = 2 sin
π π 4x π − 2x −2sin ⋅ sin = −2sin 2 x ⋅ − sin x − = 2 sin 2 x ⋅ sin x − 2 2 2 2 Př. 2:
Urči definiční obor výrazu
1 − cos x a pak jej zjednoduš využitím vzorců pro součet 1 + cos x
goniometrických funkcí. Nesmíme dělit nulou ⇒ 1 + cos x ≠ 0 ⇒ cos x ≠ −1 ⇒ x ≠ π + k ⋅ 2π
1
⇒ x ∈ R − ∪ {π + k ⋅ 2π } . k ∈Z
Problém: Vzorce pro součet goniometrických funkcí můžeme použít pouze v případě, že čitatel (jmenovatel) zlomku bude obsahovat součet (rozdíl) dvou stejných goniometrických funkcí ⇒ místo 1 musí zlomky obsahovat hodnoty funkce cos x ⇒ použijeme 1 = cos 0 . 0+ x 0 − x −2 ⋅ sin x ⋅ sin − x −2 ⋅ sin ⋅ sin 1 − cos x cos 0 − cos x 2 2 2 2 = = = x 1 + cos x cos 0 + cos x 2 ⋅ cos 0 + x ⋅ cos 0 − x x 2 ⋅ cos ⋅ cos − 2 2 2 2 x x x x Použijeme: sin − = − sin a cos − = cos . 2 2 2 2 x x x 2 ⋅ sin ⋅ sin sin 2 2 2 = 2 = tg 2 x = x x x 2 2 ⋅ cos ⋅ cos cos 2 2 2 2 Př. 3:
Vypočti. a) sin105° − sin15°
b)
cos 70° − cos10° sin 70° + sin10°
a) sin105° − sin15° Nejde o tabulkové hodnoty ⇒ použijeme vzorce na součet goniometrických funkcí a budeme doufat, že vyjdou úhly, ke kterým známe hodnoty. 105° + 15° 105° − 15° 3 2 6 sin105° − sin15° = 2 ⋅ sin ⋅ cos = 2sin 60° ⋅ cos 45° = 2 ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 2 b)
cos 70° − cos10° sin 70° − sin10°
70° + 10° 70° − 10° −2sin ⋅ sin cos 70° − cos10° −2sin 40° ⋅ sin 30° 3 2 2 = = = − tg 30° = − sin 70° + sin10° 2sin 70° + 10° ⋅ cos 70° − 10° 2sin 40° ⋅ cos 30° 3 2 2
Př. 4:
π Vyřeš rovnici sin 5 x = sin 3 x − . 2
Problém: Uvnitř sinů jsou různé výrazy, rozložení pomocí součtových vzorců nepomůže ⇒ převedeme vše na jednu stranu a rozložíme na součin pomocí vzorců pro součet funkcí ⇒ rovnice v součinovém tvaru. π sin 5 x = sin 3 x − 2 π sin 5 x − sin 3 x − = 0 2
2
π π 5 x + 3x − 2 5 x − 3x + 2 2 cos sin 2 2 π π cos 4 x − sin x + = 0 4 4 Součinový tvar: π cos 4 x − = 0 4 Substituce: 4 x − cos y = 0
π 4
=0
/:2
π sin x + = 0 4
=y
Substituce: x +
π
π
y = 4x − 4x −
π
4
=
π
=
π
2
a = x+
+ k ⋅π
+ k ⋅π
/+
x+
π
π 4
x=−
4 2 4 3 4x = π + k ⋅π / : 4 4 3 π x= π +k⋅ 16 4 π 3 3 K = ∪ π + k ⋅ ; π + k ⋅π 4 4 k∈Z 16
Př. 5:
4
=a
sin a = 0 a = k ⋅π Návrat k původní proměnné:
+ k ⋅π 2 Návrat k původní proměnné:
y=
π
π
4
= k ⋅π
= k ⋅π
π
/−
π 4
3 + k ⋅π = π + k ⋅π 4 4
π Vyřeš rovnici sin 5 x = cos x + . 2
π Zkusíme převést oba členy na jednu stranu: sin 5 x − cos x + = 0 . 2 Problém: Máme pouze vzorce pro součet dvou stejných goniometrických funkcí ⇒ potřebujeme, aby v rovnici byly pouze siny nebo cosiny. π Nápad: Platí: sin x = cos x − ⇒ upravíme vnitřek cosinu tak, abychom ho mohli přepsat 2 π π π π π na sinus cos x + = cos x + − + = cos x + π − = sin ( x − π ) . 2 2 2 2 2 x+ y x− y sin 5 x − sin ( x − π ) = 0 (použijeme vzorec sin x − sin y = 2 cos ⋅ sin ) 2 2 5x − ( x − π ) 5x + x − π π π 2 cos sin = 2 cos 3x − sin 2 x + = 0 2 2 2 2 Součinový tvar: π π cos 3 x − = 0 sin 2 x + = 0 2 2 3
Substituce: y = 3 x − cos y = 0
π
Substituce: a = 2 x +
2
π
y = 3x − 3x −
π
2
π
=
π
+k⋅
3
π
2
a = 2x +
+ k ⋅π
+ k ⋅π
2 3x = π + k ⋅ π
x=
2
=
π
/+
2
sin a = 0 a = k ⋅π Návrat k původní proměnné:
+ k ⋅π 2 Návrat k původní proměnné:
y=
π
2x +
π
π 2
2x = −
2
/ :3
π
x=−
3
π
2
= k ⋅π
= k ⋅π
π
π 4
2
+ k ⋅π
+k⋅
/−
π 2
/:2
π 2
π π π π K = ∪ + k ⋅ ;− + k ⋅ 3 4 2 k∈Z 3 Vyřeš rovnici cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 .
Př. 6:
Problém: Vzorce pro součet dvou stejných goniometrických funkcí umožňují spojit pouze dva členy (v rovnici jsou tři) ⇒ potřebujeme správně vybrat, které dva spojíme. x+ y x− y Vzorec: cos x + cos y = 2 cos ⋅ cos ⇒ potřebujeme, aby se člen, který vznikne 2 2 x+ y x− y z výrazu nebo , rovnal členu uvnitř nepoužitého cosinu (kvůli vytýkání v dalším 2 2 kroku) ⇒ spojíme členy cos 3 x a cos x . cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 x+ y x− y (použijeme cos x + cos y = 2 cos ⋅ cos ) ( cos 3x + cos x ) + cos 2 x = 0 2 2 3x + x 3x − x 2 cos cos + cos 2 x = 0 2 2 2 cos 2 x ⋅ cos x + cos 2 x = 0 cos 2 x ( 2 ⋅ cos x + 1) = 0 Součinový tvar: cos 2 x = 0 2 cos x + 1 = 0 Substituce: y = 2 x 1 cos x = − ⇒ třetinové úhly v záporné cos y = 0 2 polorovině podle osy x. π y = + k ⋅π 2 2 x1 = π + k ⋅ 2π 3 Návrat k původní proměnné: 4 π x2 = π + k ⋅ 2π y = 2x = + k ⋅π 3 2 2x =
x=
π
π 4
2
+ k ⋅π
+k⋅
/:2
π 2
4
π 2 4 π K = ∪ + k ⋅ ; π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 2 3 3 k∈Z 4 Pedagogická poznámka: Diskuse o tom, které dva členy vybrat do součtového vzorce, je nejzajímavější částí řešení příkladu. Je třeba, aby studenti pochopili, že volba není náhodná, naopak jde o poměrně jednoznačný důsledek dalšího potřebného kroku. Vzorce pro součet goniometrických funkcí se odvozují ze součtových vzorců, na základě x+ y x− y x+ y x− y následujících rovností: x = + , y= − . 2 2 2 2 x+ y x− y x+ y x− y sin x + sin y = sin + − + sin 2 2 2 2 Nyní použijeme pro vnitřek prvního sinu vzorec sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y :
x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y . sin + cos + cos sin = sin 2 2 2 2 2 2 Nyní použijeme pro vnitřek druhého sinu vzorec sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y : x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y . sin − cos − cos sin = sin 2 2 2 2 2 2 x+ y x− y Po sečtení získáme: sin x + sin y = 2 sin cos . 2 2 Př. 7:
(BONUS) Odvoď vzorec pro cos x + cos y .
x+ y x− y x+ y x− y cos x + cos y = cos + − + cos 2 2 2 2 Nyní použijeme pro vnitřek prvního cosinu vzorec cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y : x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y . cos + cos − sin sin = cos 2 2 2 2 2 2 Nyní použijeme pro vnitřky druhého sinu vzorec cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y : x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y . cos − cos + sin sin = cos 2 2 2 2 2 2 x+ y x− y Po sečtení získáme: cos x + cos y = 2 cos cos . 2 2 Př. 8:
Petáková: strana 47, cvičení 60 a), e) strana 54, cvičení 21 c), e) strana 54, cvičení 22 a)
Shrnutí: Vzorce pro součet goniometrických funkcí jsou výhodné tím, že převádění součet na součin.
5
