40 6AA AUTOMATIZACE 6AA - cvičení

Studijní opory k předmětu 6AA

6AA – Automatizace Studijní opory k předmětu

Ing. Petr Pokorný AUTOMATIZACE

1/40 6AA - cvičení

6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Obsah: Logické řízení - Boolova algebra .............................................................................................................. 4 1.

Základní logické funkce: .................................................................................................................. 4

2.

Vyjádření Booleových funkcí ........................................................................................................... 4

3.

Zákony a pravidla Booleovy algebry ................................................................................................ 5

4.

Algebraický zápis fce z tabulky ........................................................................................................ 8

5.

Karnaughovy mapy .......................................................................................................................... 9

a.

Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy....................................................................................... 9

6.

Slovní úlohy ................................................................................................................................... 13

Spojité lineární řízení ............................................................................................................................. 17 a.

*.m file (skript) .............................................................................................................................. 17

b.

MathScript (Matlab) ...................................................................................................................... 17

7.

regulace ......................................................................................................................................... 18

8.

Laplaceova transformace (přímá a zpětná transformace ) ........................................................... 19

9.

Vytvoření přenosové funkce (Matlab): ......................................................................................... 21

10. Zadání systému pomocí přenosové fce ......................................................................................... 22 11. Zadání systému póly a nulami ....................................................................................................... 22 12. Impulsní funkce a charakteristika.................................................................................................. 22 13. Přechodová funkce a charakteristika ............................................................................................ 22 14. Frekvenční funkce a charakteristika.............................................................................................. 23 a.

Některé funkce pro vykreslování grafů v Matlabu: ....................................................................... 27

Bloková algebra ..................................................................................................................................... 28 15. Sériové zapojení ............................................................................................................................ 28 16. Paralelní zapojení .......................................................................................................................... 28 17. Antiparalelní zapojení (Zpětnovazební) ........................................................................................ 29 18. Překřížené vazby............................................................................................................................ 29 Regulace ................................................................................................................................................ 32 19. Stabilita regulačního obvodu......................................................................................................... 33 20. Nastavení regulátorů metodou Ziegler-Nichols ............................................................................ 35 21. Poloha pólů a nul přenosu............................................................................................................. 38 Ing. Petr Pokorný AUTOMATIZACE


6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA 22. Kritéria stability ............................................................................................................................. 40 a.

Nyquistovo kritérium..................................................................................................................... 40



6AA –


Logické řízení - Boolova algebra 1. Základní logické funkce:

2. Vyjádření Booleových funkcí • •

pravdivostní tabulka Karnaughova mapa (eventuálně jiné mapy)

• algebraický výraz •

blokové schéma



6AA –


3. Zákony a pravidla Booleovy algebry

;



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Příklad 1.1: Zadání: Minimalizujte funkci y = !x1 * x2 * x3 + x1 * !x2 * !x3 + x1 * !x2 * x3 + x1 * x2 * x3 + x1*x2*!x3 Řešení:

Z 2. a 3. členu vytkneme x1, !x2 a ze 4. a 5. členu vytkneme x1, x2 y = !x1*x2*x3 + x1*!x2*(!x3 + x3) + x1*x2*(!x3 + x3) y = !x1*x2*x3 + x1*!x2 + x1*x2 y = !x1*x2*x3 + x1(!x2 + x2) = !x1*x2*x3 + x1 Absorpční zákon y = x1 + x2*x3 Příklad 1.2: Zadání: a) Vytvořte pravdivostní tabulku z výsledku minulého příkladu y = x1 + x2*x3 b) Vytvořte blokové schéma ze zadání minulého příkladu y = !x1 * x2 * x3 + x1 * !x2 * !x3 + x1 * !x2 * x3 + x1 * x2 * x3 + x1*x2*!x3 c) Vytvořte blokové schéma z výsledku minulého příkladu Řešení: a) X1 0 0 0 1 0 1 1 1


X2 0 0 1 0 1 0 1 1

X3 0 1 0 0 1 1 0 1


Y 0 0 0 1 1 1 1 1

6AA –


b)

c)

Příklad 1.3: Zadání: Minimalizujte funkci a vytvořte pravdivostní tabulku. Vytvořte blokové schéma v LOGO!Soft. y = x1 + x2 * !x3 + !(!x2 * x3) Řešení: y = x1 + x2 * !x3 + x2 + !x3 y = x1 + x2*(!x3+1) + !x3 y = x1 + x2 + !x3

X1 0 0 0 1 0 1 1 1


X2 0 0 1 0 1 0 1 1

X3 0 1 0 0 1 1 0 1


Y 1 0 1 1 1 1 1 1

6AA –


max)

min)

4. Algebraický zápis fce z tabulky Příklad 1.4: Zadání: Z pravdivostní tabulky vytvořte neminimalizovanou funkci X1 0 0 0 1 0 1 1 1

X2 0 0 1 0 1 0 1 1

X3 0 1 0 0 1 1 0 1

Y 0 0 0 1 1 1 1 1

Řešení: y = x1 * !x2 * !x3 + !x1 * x2 * x3 + x1 * !x2 * x3 + x1 * x2 * !x3 + x1 * x2 * x3 Po minimalizaci:



y = x1 + x2*x3

6AA –


5. Karnaughovy mapy a. Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy dvojice, čtveřice, osmice, … Příklad 1.5: Zadání: Z pravdivostní tabulky vytvořte minimalizovanou funkci X1 0 1 0 1

X2 0 1 1 0

Y 0 1 1 1

Algebraické řešení: y = x1 * x2 + !x1 * x2 + x1 * !x2 y = x2 * (x1 + !x1) + x1 * !x2 y = x2 + x1 * !x2 Absorbční zákon:

y = x2 + x1

Řešení pomocí Karnaughovy mapy:

y = x2 + x1

Příklad 1.6: Zadání: Z pravdivostní tabulky vytvořte minimalizovanou funkci X1 0 0 0 1 0 1 1 1 Ing. Petr Pokorný AUTOMATIZACE

X2 0 0 1 0 1 0 1 1

X3 0 1 0 0 1 1 0 1 9/40

6AA - cvičení

Y 1 0 1 1 1 1 1 1 6AA –



y = !x3 + x1 + x2



6AA –


Příklad 1.7: Zadání: Z pravdivostní tabulky vytvořte minimalizovanou funkci X1 0 0 0 0 1 1 1 1

X2 0 0 0 1 0 0 1 0

x3 0 0 1 1 1 0 0 0

x4 0 1 1 1 1 0 1 1

Y 1 1 1 1 1 1 1 1


y = !x2 * x4 + !x2 * !x3 + !x1 * x3 * x4 + x1 * !x3 * x4 Příklad 1.8: Zadání: Z pravdivostní tabulky vytvořte minimalizovanou funkci. X1 1 0 0 1 1 1 0


X2 1 0 0 1 0 1 0

x3 1 0 1 1 0 0 0


x4 1 1 1 0 0 1 0

Y 1 1 1 1 1 1 1

6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Řešení pomocí Karnaughovy mapy:

y = !x2 * !x3 * !x4 + x4 * !x1 * !x2+ x3 * x1 * x2 + x4 * x1 * x2 Příklad 1.9: Zadání: Z rovnice vytvořte pravdivostní tabulku a minimalizujte. y = !(x1 + x2 + x3) + !x1 * x4 + !x1 * x4 y = !x1 * !x2 * !x3 + !x1 * x4 y = !x1 * (!x2 * !x3 + x4) X1 0 0 0 0 0


X2 0 0 1 0 1

x3 0 0 0 1 1


x4 0 1 1 1 1

Y 1 1 1 1 1

6AA –


6. Slovní úlohy Příklad 1.10: Zadání: Ze slovního zadání vytvořte pravdivostní tabulku, Karnaughovu mapu a funkci problému. Vytvořte řízení pro dopravník karosérií v automobilovém závodě. Linka obsahuje tlačítko pro spouštění (t), polohové čidlo (p), které linku zastaví při sepnutí, kontrolu chodu dopravníku (r) a alarmové hlášení (a). Řídí se spínání a rozpínání motoru, který pohání dopravník (y). Pokud je dopravník v klidové poloze a je na pozici čidla, pak je možno tlačítkem dopravník spustit. Při nájezdu dopravníku na polohové čidlo se dopravník zastaví. Při jakémkoli alarmovém hlášení se dopravník zastaví a nelze jej při trvání alarmu spustit.

Schéma dopravníku:

Řešení: Vstupy: Tlačítko Čidlo Chod dop. Alarm

t p r a

Výstup:

y



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA t = x1 1 0 1 0 0 1

p = x2 1 1 0 0 0 0

r = x3 0 1 0 0 1 1

a = x4 0 0 0 0 0 0

y 1 0 1 0 1 1

Příklad 1.11: Zadání: Ze slovního zadání vytvořte pravdivostní tabulku, Karnaughovu mapu a funkci problému. Aplikujte v LogoSoft. Vytvořte řízení pece. Pec obsahuje 2 termostatická čidla. 1. hlídá teplotu pod 750°C, druhé nad 750°C. Je zde ještě čidlo úniku plynu a čidlo vypnutí/zapnutí přívodu plynu. Pokud je teplota v peci pod 750°C zapne se výstup pro zapálení hořáků, v opačném případě se výstup vypne. Je-li aktivní únik plynu a přívod je otevřen, není možno zapálit hořák. Pokud je přívod plynu uzavřen, pak není možno zapálit hořák. Řešení: X1 teplota 0 0 1 1 1 1 1

X2 unik 0 1 0 1 1 1 0

x3 privod 1 1 1 0 0 1 0

Yhořák 0 0 1 0 0 0 0

y = x1 * !x2 * x3



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Příklad 1.12: Zadání: Ze slovního zadání vytvořte pravdivostní tabulku a funkce problému. Aplikujte v LogoSoft. Řízení teploty ve skleníku pomocí otevírání a zavírání oken a natáčení žaluzií. Systém obsahuje světelné čidlo, které hlídá překročení určité intenzity světla. Teplotní čidlo, které hlídá překročení určité teploty. Motor, který ovládá otevření/zavření oken a motor, který ovládá otevření/zavření žaluzií. Pokud je teplota pod určitou mez, budou okna zavřená a žaluzie otevřené. Pokud bude teplota vysoká a světelné čidlo nesepnuté, pak budou otevřeny žaluzie a okna. Při vysoké teplotě a vysokém slunečním svitu se zavřou žaluzie a otevřou okna. Řešení: X1 teplota 1 0 1 0

X2 – svetl. 1 0 0 1

Y1 okna 1 0 1 0

Y2 zaluz 0 1 1 1

y2 = !x2 + !x1 = !(x2 * x1) y1 = x1 Příklad 1.13: Zadání: Automatizace koupelny - aplikujte v LogoSoft. Vytvořte řízení světla a ventilátoru par. Po zapnutí vypínače se rozsvítí koupelnové světlo. Pokud bude světlo svítit déle než 10s, pak se zapne ventilátor par. Po vypnutí světla poběží ventilátor dalších 15s. Pokud bude svítit světlo méně než 10s, pak se ventilátor neaktivuje. Řešení:



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Vyp. 0 1 1 1 0 0 0 1


Svetlo Vent. světlo Vent. 10s 15s 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 (pouze ilustrativní pravdivostní tabulka)


6AA –


Spojité lineární řízení a. *.m file (skript) b. MathScript (Matlab)



6AA –


7. regulace



6AA –


8. Laplaceova transformace (přímá a zpětná transformace ) Transformací diferenciální rovnice dostaneme algebraickou rovnici



6AA –


Přenos G(s):

Příklad 2.1:

Utvořte přenos systému, je-li dána jeho diferenciální rovnice a) y´´´ + 4y´´ + 0,5y´ + 2y = 6u´ + 3u G(s) = (6s1 + 3s0) / (s3 + 4s2 + 0,5s + 2) b) 10y´´ + 5y´ = u G(s) = (1) / (10s2 + 5s) c) y = 4u G(s) = 4 Příklad 2.2:

K danému přenosu napište diferenciální rovnici systému a) G(s) = (7s2 + 6s + 2) / (s3 + 5s2 + 2s + 8) y´´´ + 5y´´ + 2y´ + 8y = 7u´´ + 6u´ + 2u b) G(s) = 3s / (s2 + s + 0,5) y´´ + y´ + 0,5y = 3u´



6AA –


9. Vytvoření přenosové funkce (Matlab): TransferFunction = tf(a,b[,vf]) kde TransferFunction - je název soustavy a,b - jsou řádkové vektory obsahující koeficienty čitatele resp. jmenovatele přenosové funkce volitelně pak lze zadat i vf - je vzorkovací frekvence, pro spojitý systém vf=0

přenos soustavy máme vyjádřen ve tvaru

[nuly, poly, k] = tf2zp(a,b) kde nuly - řádkový vektor reprezentující nuly přenosu soustavy poly - řádkový vektor reprezentující póly přenosu soustavy koef - koeficient, číslo kterým je násoben zlomek ve vyjádření přenosu bm/an a,b - jsou řádkové vektory obsahující koeficienty čitatele resp. jmenovatele přenosové funkce

Příklad 2.3: Vytvořte přenosové funkce v Matlabu z předchozích příkladů (5.1, 5.2).



6AA –


10.

Zadání systému pomocí přenosové fce

tf(a,b[,vf])

11.

Zadání systému póly a nulami

[nuly, poly, k] = tf2zp(a,b)

12.

Impulsní funkce a charakteristika

impulse(s) impulse (s,t) impulse (s1,s2,...,sN) impulse (s1,s2,...,sN,t) kde s systém t konečný čas charakteristiky, nebo vektor vykreslovaných bodů

Příklad 2.4: Zadání: Vytvořte impulsní funkci a nakreslete impulsní charakteristiku pro regulační členy o přenosu:

13.

Přechodová funkce a charakteristika

step(s) step (s,t) step (s1,s2,...,sN) step (s1,s2,...,sN,t) kde s systém t konečný čas charakteristiky, nebo vektor vykreslovaných bodů



6AA –


Příklad 2.5: Zadání: Vytvořte impulsní funkci a nakreslete impulsní charakteristiku pro regulační členy o přenosu:

14.

Frekvenční funkce a charakteristika

nyquist(s) nyquist(s,w) nyquist(s1,s2,...,sN) nyquist(s1,s2,...,sN,w) kde s systém w konečný úhel charakteristiky, nebo vektor vykreslovaných úhlů

Příklad 2.6: Zadání: Systém (regulační člen) je popsán diferenciální rovnicí:



6AA –


Příklad 2.7: Spočtšte frekvenční char. přenosu

Řešení:

Úhlovou rychlost volíme od 0 do nekonečno.



6AA –


Příklad 2.8: Sestrojte frekvenční, impulsní a přechodovou charakteristiku systému o přenosu

% a) aa=1.5; ba=[2 3 1]; sysa=tf(aa,ba); subplot(1,3,1) impulse(sysa,'b-') subplot(1,3,2) step(sysa,'b-') subplot(1,3,3) nyquist(sysa,'b-') hold on pause(2)

% b) aa=1; ba=[1.12 2.9 1];



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA sysa=tf(aa,ba); subplot(1,3,1) impulse(sysa,'r-') subplot(1,3,2) step(sysa,'r-') subplot(1,3,3) nyquist(sysa,'r-') pause

% c) aa=8; ba=[0.16 0.1 1 0]; sysa=tf(aa,ba); subplot(1,3,1) impulse(sysa,'g-') subplot(1,3,2) step(sysa,'g-') subplot(1,3,3) nyquist(sysa,'g-') pause

% d) aa=[8 0]; ba=[0.16 0.1 1]; sysa=tf(aa,ba); subplot(1,3,1) impulse(sysa,'c-')



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA subplot(1,3,2)

step(sysa,'c-') subplot(1,3,3) nyquist(sysa,'c-') pause

a. Některé funkce pro vykreslování grafů v Matlabu: plot(x,y,´r*´) subplot(m,n,i) title(´název´) xlabel(´popis osy X´) ylabel(´popis osy Y´)



6AA –


Bloková algebra 15.

Sériové zapojení

sys = series(sys1,sys2) sys = sys1 * sys2

16.

Paralelní zapojení

sys = parallel(sys1,sys2) sys = sys1 + sys2



6AA –


17.

Antiparalelní zapojení (Zpětnovazební)

sys = feedback(s1,sZ) přenos přímé větve / 1 + přenos přímé větve * přenos zpětné větve

Pokud ve zpětné vazbě není žádný člen, počítáme s tím, že je tam člen s přenosem rovným jedné.

18.

Překřížené vazby



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Příklad 3.1: Určete výsledný přenos zapojení dle obrázku. a)

Ga = G2/(1+G2*G4) Gb = (G1*Ga)/(1+G1*Ga*1) G(s) = Gb * G3 b)

Gz= (G5 + G6) * (G7/1+G7*G8) * G9 Ga = (G2 * G3) / (1 + G2 * G3 * Gz) G(s) = G1 * Ga * G4 c)



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Přechodová char. G(s) = 1,5/s U(s) = L{etha} = 1/s Y(s) = G(s) * U(s) = 1,5/s2



6AA –


Regulace

a) proporcionální neboli P regulátor b) integrační neboli I regulátor c) proporcionálně-integrační neboli PI regulátor d) proporcionálně-derivační neboli PD regulátor e) proporcionálně-integračně-derivační neboli PID regulátor Přenos regulátoru:



6AA –


19.

Stabilita regulačního obvodu

Stabilita je základní a nevyhnutelnou podmínkou správné funkce regulačního obvodu. Regulační obvod je stabilní, jestliže po svém vychýlení z rovnovážného stavu a odstranění vzruchu, který vychýlení způsobil, je schopen se ustálit v rovnovážném stavu.



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Přenos rozpojeného obvodu (bez zpět. vazby):

Charakteristická rovnice obvodu:

1 + G0(s) = 0 => Kořeny rovnice

Regulační obvod je stabilní, mají-li všechny kořeny charakteristické rovnice záporné reálné části neboli leží v levé komplexní polorovině. Aby byl regulační obvod stabilní, musí být všechny koeficienty charakteristické rovnice kladné. Tato podmínka je nutná (ale nepostačující). Příklad 4.1: Sestavte charakteristickou rovnici regulačního obvodu a na základě ní určete stabilitu tohoto obvodu. Je dán přenos regulované soustavy i PID regulátoru

Řešení: G0(s) = (96s2 + 12s + 3) / (6s2 + 2s) 96s2 + 12s + 3 + 6s2 + 2s = 0 102s2 + 14s + 3 = 0 K = -0,0686 +- 0.157j



6AA –


20.

Nastavení regulátorů metodou Ziegler-Nichols

Základní myšlenkou metody je přivést obvod na hranici stability a) Vyřadíme int. a der. složky regulátoru Ti→∞ , Td→0 (respektive r-1→0 , r1→0) b) Měníme zesílení r0 do doby hranice stability (=> kritické zesílení r0k) c) Kritická perioda Tk

d)

Příklad 4.2: Nastavte regulátor systému na obrázku

r0=0.5 * 0.75;

Gs = tf([1],[1 1.5 0.5 0]) Gr = tf([r0],[1]) Gz = tf(1,1)

G00 = Gs * Gr; G0 = feedback(G00, Gz)

step(G0) Ing. Petr Pokorný AUTOMATIZACE


6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Příklad 4.3:

Metodou Ziegler-Nicholsovou určete optimální nastavení regulátorů P, PI, PD a PID pro regulovanou soustavu podle obrázku

Řešení: a) Vyřazení složky I,D b) Vytvoření charakteristické rovnice rozpojeného systému G0 = Gs * Gr G0 = r0 / (s3 + 3s2 + 2s) Char.rov = s3 + 3s2 + 2s + r0 = 0 c) Výpočet r0k z char. rovnice

d) Kritická perioda kmitů

Rovnat nule se musí reálná i imaginární část

Tk = 2*pi/ω Tk = 4,44s Gr = e)



6AA –


Příklad 4.4: Metodou kritického zesílení (Z-N metodou) vypočtěte optimální seřízení regulátor PID pro soustavu s přenosem. Po výpočtu konstant regulátoru ověřte, zda je regulace stabilní. Výpočty ověřte v Matlabu:

Řešení: a) Výpočet rozpojeného obvodu G0(s) = Gr(s)*Gs(s) = M(s)/N(s); G0(s) = r0 * s + r0 / s(2s+1)(3s+1) b) G(r) = (r0*Ti*Td*s2 + r0*Ti*s + r0) / Ti*s c) Carakteristická rovnice reg. obvodu: M(s) + N(s) = 0 r0 * s + r0 + s(2s+1)(3s+1) = 0 6s3 + 5s2 + s(r0 + 1) + r0 = 0 d) Zjištění zesílení na mezi stability r0k, dle Hurwitzova kritéria (Hurwitzův determinant je roven nule: H2 = 0)



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA H2 = [ 5 , r0 ; 6 , r0+1 ] = 0

=> r0k = 5

e) na mezi stability má charakteristická rovnice dvojici ryze imaginárních komplexně sdružených kořenů s1,2 = ± jωkrit , určíme ωkrit dosazením r0krit a s1,2 do charakteristické rovnice. Reálná část a imaginární část charakteristické rovnice se musí rovnat nule. ;

RE = 0 => ω1krit ; IM = 0 => ω2krit ;

RE: o2 = 1 ; o1 = -1 IM: o2 = 1 ; o1 = -1 f) Tkrit = 2π / ω1krit

g)

21.

Poloha pólů a nul přenosu

V levé komplexní polorovině jsou stabilní póly a nuly V pravé polorovině jsou nestabilní póly a nuly Stabilní nula způsobuje překmit a nestabilní nula způsobuje podkmit.



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Stabilita systému: Dynamický systém je stabilní, když všechny jeho póly mají zápornou reálnu část. Systém je na hranici stability, když má alespoň jeden pól s nulovou reálnou částí. Systém je nestabilní, když má alespoň jeden pól s kladnou reálnou částí. Periodicita: Systém je periodický (kmitavý), když má komplexní póly Pokud má systém jen reálné póly, potom je aperiodický (nekmitavý). Jiné vlastnosti: •

čím jsou póly dále od imaginární osy, tím je přechodový děj více tlumen a tím je kratší

•

nuly blíže k imaginární ose než póly => převládá derivační složka

•

póly v počátku => integrační charakter systému

•

nuly v počátku => derivační charakter systému



6AA –

Studijní opory k předmětu 6AA Vykreslení pólů a nul v Matlabu:

pzmap(a,b) kde a,b - jsou řádkové vektory obsahující koeficienty čitatele resp. jmenovatele přenosové funkce

Zjištění pólů a nul ze systému v Matlabu:

[nuly, poly, k] = tf2zp(a,b) kde nuly - řádkový vektor reprezentující nuly přenosu soustavy poly - řádkový vektor reprezentující póly přenosu soustavy koef - koeficient, číslo kterým je násoben zlomek ve vyjádření přenosu bm/an a,b - jsou řádkové vektory obsahující koeficienty čitatele resp. jmenovatele přenosové funkce

22.

Kritéria stability

a. Nyquistovo kritérium Regulační obvod je stabilní, jestliže kritický bod [-1, 0] leží vlevo od frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu G0(jω) pro frekvence ω od 0 do +inf



6AA –

40 6AA AUTOMATIZACE 6AA - cvičení

Recommend Documents