Logické řízení AUTOMATIZACE 6AA. Logické řízení. Logické funkce jedné proměnné. Logické funkce dvou proměnných. Schematické značky logických funkcí

20.4.2012

Logické řízení AUTOMATIZACE 6AA Ing. Ondřej Andrš [email protected]

Logické řízení

Logické řízení  Logické řízení je cílevědomá činnost, při níž se logickým obvodem zpracovávají informace o řízeném procesu a podle nich se ovládají příslušná zařízení tak, aby se dosáhlo předepsaného cíle. Logický obvod  Logický obvod je fyzikální systém, který se skládá z logických prvků propojených mezi sebou logickými veličinami.

Logické funkce jedné proměnné

Logický obvod  

Kombinační Sekvenční

Logické veličiny  

Dvouhodnotové proměnné Booleova algebra

Logická funkce

y  f  x1 , x 2 ,....., x n 

Definice: jednoznačné přiřazení hodnot 0 a 1 logické proměnné y ke kombinacím hodnot nezávislých logických proměnných x 1, x2,…,xn

Logické funkce dvou proměnných

Schematické značky logických funkcí

1

20.4.2012

Booleova algebra    

Simulace v Siemens LOGO!Soft

používá negaci, disjunkci, konjunkci minimalizace logických funkcí pravidla Booleovy algebry (přednáška, opory) vyjádření: slovní zadání pravdivostní tabulka  blokové schéma  algebraický výraz  

Siemens LOGO!

Booleova algebra    

používá negaci, disjunkci, konjunkci minimalizace logických funkcí pravidla Booleovy algebry (přednáška, opory) vyjádření: slovní zadání pravdivostní tabulka  blokové schéma  algebraický výraz  Karnaughova mapa  

Algebraická minimalizace - příklady xyz  xyz  yz ( x  x )  yz

Příklady k procvičení xyz  yz  xyz  yz ( x  x )  yz  yz  yz  y ( z  z )  y

2

20.4.2012

Příklady k procvičení vxy  yz  vyz  vxy  yz (1  v )  vxy  yz  y ( vx  z )

Příklady k procvičení v yz  vyz  xyz  v ( y  z )  (v  y  z )  ( x  y  z )  v( y  z )  v  x  y  z 

vy  vz  v  x  y  z  y ( v  1)  z ( v  1)  v  x 

v  x  y  z  vxyz

Příklady k procvičení

Příklady k procvičení vxy  vx  y  vxy  xy ( v  v )  vx  y  xy  vx  y


Přepis pravdivostní tabulky na log. funkci a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1 y  (a

c 0 1 0 1 0 1 0 1 b

y 0 1 0 1 y  abc  abc  abc  abc 1 1 0 0 c ).( a  b  c ).( a  b  c ).( a  b  c )

3

20.4.2012

Přepis pravdivostní tabulky na log. funkci a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

y 0 0 0 1 1 0 0 1

Příklady k procvičení Zjednodušte výraz a ověřte jej pomocí pravdivostní tabulky. I

I

x 0 1 0 1 0 1 0 1

II

Karnaughova mapa

III

IV



I

II

III



IV

x y

x y

x  y .z

xyz

xzy

yx

yx

y  x .z

I+II+III+IV

1 1 0 1 1 1 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

1 1 1 0 1 1 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1 1 1

Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy  

    

 

IV

z( y  y)  z

v  ( x  y z )  xyz  xzy  y  x z y 0 0 1 1 0 0 1 1

III

xyz  xyz  xzy  xyz  yz ( x  x )  yz ( x  x ) 

y  abc  abc  abc


z 0 0 0 0 1 1 1 1

II

v  ( x  y z )  xyz  xzy  y  x z 

Karnaughova mapa (K-mapa, K-tabulka) je přepis pravdivostní tabulky, který umožňuje přímý zápis funkce v minimalizovaném tvaru. Karnaughova mapa obsahuje tolik buněk, kolik má pravdivostní tabulka řádků, při přepisu většinou používáme jen řádky s 1 na výstupu

Příklad: a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

y 0 0 0 1 1 0 0 1

tabulka má 8 řádků, K-mapa bude mít 8 buněk, tj. 2 x 4 nebo 4 x 2

b c

a

Kombinace jsou zapsány v tzv. Grayově kódu, tzn. mezi jednotlivými řádky/sloupci se mění vždy jen jedna proměnná.

Typické tvary map

v Karnaughově mapě najdeme jedničky, které přímo sousedí označíme si je smyčkami, které mohou obsahovat 1, 2, 4, 8, atd. jedniček (počet = mocnina dvou), začínáme od největších smyčka musí mít tvar čtverce nebo obdélníku (nikoli L, T, kříž…) smyčky se mohou překrývat, co nejméně smyček každá jednička musí být v nějaké smyčce smyčka může jít i „přes hranu“ tabulky (viz další příklady) pro každou smyčku napíšeme součin pouze těch proměnných, které jsou pro všechny jedničky v ní společné (stejná logická hodnota) pokud je některá ze společných proměnných nulová, dostane negaci součiny nakonec klasicky sečteme b c

a

abc

y  abc  bc

bc

4

20.4.2012

Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy Příklad:

Příklad:

x1 0 0 0 0 1 1 1 1

x2 0 0 1 1 0 0 1 1

x3 0 1 0 1 0 1 0 1

x2

y 1 0 1 1 0 0 0 1

v

x3

x1

y  x1 x 3  x 2 x 3

Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy Příklad:

x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

y 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0

x x4 2 x1 x3

y  x1 x 4  x1 x 2 x 4  x 2 x 3 x 4

Příklady kombinačních obvodů Pravdivostní tabulka: x1 - hladina 0 0 1 1

Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy

x2 - tlak 0 1 0 1

y - čerpadlo 0 0 1 0

y  x1 x 2

x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

y 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0

x x4 2 x1 x3

y  x 2 x 4  x1 x 4  x1 x 2 nebo: x x2 x 4 1 x3

y  x1 x 4  x1 x 2  x 2 x 4

Příklady kombinačních obvodů Popis úlohy Nádrž vodárny (darling) se plní pomocí čerpadla s elektromotorem ze studny. Čerpadlo se ovládá logickým vstupem - "0" vypnuto / "1" zapnuto. Nádrž vodárny je vybavena snímačem tlaku s logickým (dvouhodnotovým) výstupem - "1" požadovaný tlak, "0" nízký tlak. Ve studni je namontován snímač výšky vodní hladiny, také s logickým výstupem - "1" dostatečná hladina, "0" nízká hladina (ve studni není dostatek vody). Zadání Realizujte řízení čerpadla malé domácí vodárny tak, aby se v nádrži udržoval požadovaný tlak. Čerpadlo nesmí být zapnuto, když je ve studni nízká hladina vody, protože by mohlo dojit k jeho poškození (přehřátí, nasátí nečistot, …).

Příklady kombinačních obvodů Popis úlohy Skleník je vybaven otevíracími okny, která jsou ovládána najednou jedním signálem – „0“ zavřít, „1“ otevřít. Dále je vybaven žaluziemi s ovládáním lamel – „0“ zatemnit (sklopit), „1“ odtemnit (postavit). Uvnitř skleníku je měřena teplota, výstup snímače je „0“ správná nebo nízká teplota, „1“ vysoká teplota. U skleníku je připevněn venkovní snímač intenzity slunečního svitu, jeho výstup je – „1“ vysoká intenzita, „0“ nízká intenzita. Zadání Realizujte řízení teploty ve skleníku na základě těchto podmínek. Je-li teplota ve skleníku vysoká, jsou otevřená okna, je-li teplota nízká, jsou okna zavřená. Je-li intenzita slunečního svitu vysoká, musí být žaluzie zatemněny a naopak.

5

20.4.2012

Příklady kombinačních obvodů Pravdivostní tabulka: x1 - teplota 0 0 1 1

x2 - intenzita 0 1 0 1

y1 - okno 0 0 1 1

y2 - žaluzie 1 0 1 0

Příklady sekvenčních obvodů Popis úlohy Chodba je osvětlena zářivkami, rozsvícení nebo zhasnutí se provádí několika vypínači tak, že při přepnutí kteréhokoliv vypínače dojde ke změně (rozsvícení/zhasnutí).

Zadání Realizujte ovládání světla libovolný počet vypínačů.

Příklady kombinačních obvodů Popis úlohy Ovládání světla na chodbě je realizováno pomocí tří tlačítek. Po stisku libovolného tlačítka se rozsvítí světlo na zadanou dobu a po jejím uplynutí zhasne. Zadání Realizujte rozsvícení a zhasnutí světel na chodbě, je-li požadována minimální doba svícení světel 10 sekund.

Příklady sekvenčních obvodů Řešení: nebo

pro

Příklady sekvenčních obvodů Popis úlohy Chodba je osvětlena zářivkami, rozsvícení se provádí několika vypínači tak, že při přepnutí kteréhokoliv vypínače dojde k rozsvícení.

Příklady sekvenčních obvodů Řešení:

Aby bylo zabráněno zbytečnému svícení, světlo samo zhasne, když: a) po uplynutí maximální doby b) není-li na chodbě detekován pohyb c) je-li dostatečná intenzita venkovního světla

6

20.4.2012

Vodárna s hysterezí tlaku


Popis úlohy Nádrž vodárny (darling) se plní pomocí čerpadla s elektromotorem ze studny. Čerpadlo je ovládáno logickým vstupem - "0" vypnuto / "1" zapnuto. Nádrž vodárny je vybavena dvěma snímači tlaku s logickým (dvouhodnotovým) výstupem. První snímač signalizuje tlak na horní mezi - "1" tlak nad horní mezí, "0" tlak pod horní mezí. Druhý snímač signalizuje spodní mez tlaku - "1" tlak vyšší něž je spodní mez, "0" - tlak je pod spodní mezí. Ve studni je namontován snímač výšky vodní hladiny, také s logickým výstupem - "1" dostatečná hladina, "0" nízká hladina - ve studni není dostatek vody. Zadání Realizujte řízení čerpadla malé domácí vodárny tak, aby se v nádrži udržoval tlak v požadovaných mezích a zároveň nedocházelo k častému spínání čerpadla. Čerpadlo nesmí být zapnuto, když je ve studni nízká hladina vody, protože by mohlo dojit k jeho poškození (běh na prázdno, přehřátí, nasátí nečistot, ..). Dále doplňte úlohu signalizaci poruchy snímačů tlaku.



Pravdivostní tabulka s pomocnou veličinou „chod čerpadla“: hladina x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

tlak spodní x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

tlak horní x3 chod čerpadla x4 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

čerpadlo y 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

porucha sn. tlaku 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

Závora

y  x x x x  x x x x  x x x x  x x (x  x x ) 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

3

2

2

4

Závora

Popis úlohy Vjezd motorových vozidel do areálu je řešen elektricky ovládanou závorou. Závora se smí otevřít v případě, že řidič vozidla přiloží ke čtečce karet platnou kartu a je detekována přítomnost vozidla. Přítomnost vozidla je detekována snímačem přítomnosti. Zavření závory je možné pouze v případě, že vozidlo nestojí pod závorou. Tato skutečnost je detekována optickou závorou umístněnou pod mechanickou závorou. Z bezpečnostních důvodů musí být možné závoru otevřít ovládacím tlačítkem z vrátnice. Zadání Realizujte ovládání závory dle popisu úlohy při dodržení těchto parametrů: Ovládání si pamatuje detekovanou kartu po dobu 30s nebo do otevření závory. Doba otevírání/zavírání závory je 10s. Závora se v žádném případě nesmí zavřít, je-li detekována přítomnost předmětu pod závorou.

7

20.4.2012

Závora

Úvod do spojitého řízení

Řešení: 

Spojité řízení  





Regulace: Regulace je udržování zvolené fyzikální veličiny na konstantní hodnotě nebo podle nějakého pravidla se měnící hodnotě. Regulační obvod  

Regulační obvod

Spojitě proměnné veličiny Řízení se zpětnou vazbou (regulace)

Regulátor (řídicí systém) Regulovaná soustava (řízený systém)

Vlastnosti a popis dynamických systémů u(t) poruchové v (t) 1 veličiny

žádaná regulační hodnota odchylka

w(t)

e(t)

Regulátor

y(t)

u(t) akční veličina

v2(t)

Regulovaná soustava

regulovaná veličina

y(t)

vstupní veličina

Regulační systém

y(t) výstupní veličina

Statické vlastnosti systému  Ustálený stav   

ustálená hodnota vstupní veličiny ustálená hodnota výstupní veličiny

y

nelineární

Statická charakteristika

lineární

lineární  nelineární 

Vlastnosti a popis dynamických systémů Dynamické vlastnosti systému  Přechodný stav  Vnější popis   

Vstup → výstup Diferenciální rovnice / přenos

Diferenciální rovnice an y

Vstup → stav systému → výstup  Stavový popis

n 

t   a n 1 y  n 1  t   ...  a1 y t   a 0 y t  

 bm u

m 

t   b m 1u  m 1  t   ...  b1u t   b0 u t 

a i , i  1,..., n b j , j  1,..., m -konstantní koeficienty 

Podmínka fyzikální realizovatelnosti



Počáteční podmínky

mn

Vnitřní popis 

u

y  0 , y  0 ,..., y

 n 1 

0 

8

20.4.2012

Přenos

Přenos 

Přenos je roven poměru Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách. G s   

L  y  t  L u  t 



Y s 



U s 

G s  

b m s  ...  b1 s  b0 m

Přenos

a n  s  p1  s  p 2 ...  s  p n  b0  1 s  1  2 s  1 ...  m s  1  a 0 T1 s  1 T 2 s  1 ... T n s  1  1



b0 a0

k

y



Systém je zadán diferenciální rovnicí, určete přenos

(4)

( t )  7 y '''( t )  2 y ''( t )  4 y '( t )  0, 5 y ( t )  5 u ''( t )

G (s)  7s  6s  2 2

G (s) 

s  5s  2s  8 3

2

Přenos

5s

2

s  7 s  2 s  4 s  0, 5 4

3

2

4 y '''( t )  8 y ''( t )  10 y '( t )  6 y ( t )  2 u '( t )  u ( t )

G (s) 

2s  1 4 s  8 s  10 s  6 3

2

MathScript / LabVIEW

Příklad 

1 pi

Příklad

Systém je zadán diferenciální rovnicí, určete přenos

y '''( t )  5 y ''( t )  2 y '( t )  8 y ( t )  7 u ''( t )  6 u '( t )  2 u ( t )



Ti  

nj

Přenos

Příklad 

j 

a n s  ...  a1 s  a 0 n

b m  s  n1  s  n 2 ...  s  n m 

pomocí časových konstant

pomocí koeficientů diferenciální rovnice G s  



G s  

Vyjádření přenosu 

pomocí pólů a nul



Systém je zadán přenosem, převeďte na zápis pomocí pólů a nul 3 s  15 s  18



Seznámení s prostředím…jazyk MATLAB…1INF Základní funkce 

2

G (s) 

G (s) 

4 s  20 s  16 2

3( s  2)( s  3) 4( s  1)( s  4)



Nápověda: help příkaz Přenos: tf (transfer function)

system = tf([7 6 2],[1 5 2 8]); 

Přenos: zpk (zero-pole)

system = zpk([-2 -3],[-1 -4],3/4);

9

20.4.2012

Impulsní funkce a charakteristika  

Příklad system = tf([1 2],[5 2 8]); [y1,T1] = step(system,40); [y2,T2] = impulse(system,40); subplot(1,2,1); plot(T1,y1); title('Prechodova ch.'); xlabel('T [s]'); ylabel('vychylka'); subplot(1,2,2); plot(T2,y2); title('Impulzni ch.'); xlabel('T [s]'); ylabel('vychylka')

Teorie …přednáška Základní funkce 

impulse impulse(SysIn, attributes, t) [Y, T] = impulse(SysIn, t)



step step(SysIn, attributes, t) [Y, T] = step(SysIn, t)



help

Příklad – translační pohyb 

Translační pohyb:

Příklad – translační pohyb 

Řešení: G s 

Chování mechanické soustavy je popsáno rovnicí:

Elektrický obvod je popsán diferenciální rovnicí Lq t   Rq t  

1 C

q t   u t 

Vyšetřete přenos soustavy a sestrojte charakteristiky pro hodnoty: L = 0.06, R = 470, C = 3.3e-5.



1 m s  bs  k 2

sys=tf(1,[m,b,k]) impulse(sys) step(sys)

Vyšetřete přenos soustavy a sestrojte charakteristiky pro hodnoty: m = 1, b = 10, k = 10000.



F s

m = 1; b = 10; k = 10000;

m x  t   b x  t   kx  t   F  t 

Příklad – RLC obvod

X s

Příklad – RLC obvod 

Řešení: G s 

Q s U s



1 Ls  Rs  1 / C 2

L = 0.06; R = 470; C = 3.3e-5; sys=tf(1,[L,R,1/C]) impulse(sys) step(sys)

10

20.4.2012

Příklad – stejnosměrný motor 

Příklad – stejnosměrný motor

Vnější popis závislosti rychlosti otáčení rotoru stejnosměrného motoru na napájecím napětí je: L

J

R

Ce

J Ce

Bloková algebra

G1  s 

G2 s 

...

Gn s 

1



J

L



Paralelní zapojení U(s) n

G s    Gi s 

n

2

Ce

s  Ce

i 1

Bloková algebra

...

Y(s)

... Gn s 

Výsledný přenos je roven součtu přenosů jednotlivých členů

Bloková algebra

Antiparalelní zapojení G1  s 

G1  s  G2 s 

i 1

Výsledný přenos je roven součinu přenosů jednotlivých členů

U(s)

J

s R

sys = tf([1],[L*J/Ce, R*J/Ce, Ce]); impulse(sys) step(sys)

Y(s)

G s    Gi s 



 s U s

Bloková algebra

Určení výsledného přenosu na základě dílčích přenosů  Sériové zapojení



G s 

Ce = 2.8; % [V.s] J = 0.1; % [kg.m^2] R = 0.5; % [Ohm] L = 5e-3; % [H]

  C e  u

Vyšetřete přenos soustavy a sestrojte charakteristiky

U(s)

Řešení:

Ce

Ce = 2.8 V.s J = 0.1 kg.m2 R = 0.5 Ohm L = 5e-3 H 





Y(s)

Implementace 

Funkce: series(sys1, sys2) parallel(sys1, sys2)  feedback(sys1, sys2)  

G s  

G(s) =

G1  s 

G2 s 

1  G1  s   G 2  s 

přenos přímé větve



Alternativně  

sys1 * sys2 sys1 + sys2

1±(přenos přímé větve)·(přenos zpětné vazby)

11

20.4.2012

Příklad 

Řešení

Vypočítejte výsledný přenos U(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

s1=tf([5,6,2],[3,2,1]); s2=tf([3,0,6],[2,2,0,0]); s3=tf([2,6],[1,3,2,0]); s4=tf([3,2],[1,3,0,0]); s5=tf([2,6],[3,2,0]); s6=tf([6,0,0,2],[2,3,0,2]);

Y(s)

G6(s) G4(s) 5s  6s  2

G5(s)

G1 ( s ) 

G4 (s) 

3s  2 s  1 2

3s  2 s  3s 3

G2 (s) 

G5 ( s ) 

2

3s  6

2s  6

2

2

2s  2s 3

G3 ( s ) 

2

2s  6

s  3s  2 s 3

2

6s  2 3

G6 (s) 

3s  2 s 2

2 s  3s  2 3

2

Regulátor  

ser1 = series(s2,s1); par = parallel(s3,s5); zv1 = feedback(s4,s6); zv2 = feedback(ser1,zv1); ser2 = series(par,zv2) step(ser2);

Dynamické vlastnosti regulátoru

Je zařízení, kterým se uskutečňuje regulace Regulátor změří regulovanou veličinu y(t), porovná ji s žádanou hodnotou w(t) a vytvoří regulační odchylku e(t). Odchylku zpracuje a prostřednictvím akční veličiny u(t) působí na regulovanou soustavu tak, aby se odchylka zmenšovala.

typ diferenciální rovnice reg.

e(t)

GR(s)

přechodová charakteristika

u(t)

P

u t   r0 e  t 

r0

r0

t u(t)

I

E(s)

přenos GR(s)

u  t   r1  e  t 

u(t)

r1 s

,

r0 Ti s

t u(t)

U(s) D

u  t   r1 e  t 

r1 s , r0T d s t

Dynamické vlastnosti regulátoru typ reg.

PI

PD

diferenciální rovnice

u  t   r0 e  t    r1  e  t  u  t   r0 e  t    r1 e  t 

přenos GR(s)

 1  r0  1   Ti s  

přechodová charakteristika

u(t)

r0 t u(t)

r0 1  T d s 

r0

1  u(t)  u  t   r0 e  t   1   r 0 T s r PID i   r1  e  t   r1 e  t  0      Td s 

t

Implementace r0 = 1; gr_p = tf (r0, 1); subplot(2,2,1); step (gr_p,16); Ti = 1; gr_i = tf([r0],[Ti 0]); subplot(2,2,2); step (gr_i,16);

gr_pid = gr_p + gr_i + gr_d; subplot(2,2,4); step (gr_pid,16); axis([0, 16, 0, 17.5]);

Možnost použití alternativních funkcí pro spojování systémů: series parallel

Td = 3; % gr_d = tf([r0*Td 0],[1]); gr_d = tf([r0*Td 0],[0.000001 1]); subplot(2,2,3); step (gr_d,16); axis([0, 16, 0, 17.5]);

t

12

20.4.2012

Regulační obvod Žádaná hodnota

Regulační odchylka

w(t)

Regulační obvod

Poruchové veličiny

v1(t)

u(t)

e(t)

Regulovaná veličina

Akční veličina



y(t)


Regulátor y(t)

v2(t)

Působení poruchové veličiny V(s)

Y(s) GS(s)

Zpětná vazba

U(s)

W(s)

E(s) GR(s)

Zjednodušení zpětné vazby: G(s) = 1 Přenos řízení: GW  s  

Y s W s



GR  s GS  s  1  GR  s  GS  s 



Přenos poruchy: Gv s  

GO  s  1  GO  s 

Implementace 

Y s  V s 



G S s  1  G R s   G S s 

Řízení natočení rotoru stejnosměrného motoru

Proporcionální

typ členu J Ce

 R

J Ce

  C e  u

G s 

 s

bez setrvačnosti

1



U s 3 2 Ce = 2.8; % [V.s] L s R s  Ces Ce Ce J = 0.1; % [kg.m^2] R = 0.5; % [Ohm] L = 5e-3; % [H] s_motor = tf([1],[L*J/Ce, R*J/Ce, Ce, 0]); GO = gr_pid * s_motor; Gzv = feedback(GO,tf(1,1)); step(Gzv);

typ členu se setrvačností 2. řádu

aperiodický

mezní aperiodický kmitavý

konzervativní

J

přenos

G s  

G s  

se setrvačností 1. řádu obecný se setrvačností n-tého řádu

přechodová char.

k 2

k

h(t)

k

G s  

t

b m s  ...  b1 s  b0 m

a n s  ...  a1 s  a 0 n

přenos

přechodová char.

h(t)

t

se setrvačností 1. řádu

t

se setrvačností 2. řádu

t

obecný r-tého řádu se setrv. n-tého řádu

k

T s  2  Ts  1 2

k T s 1

h(t)

G s   k s

t

k

2

k

2

Ts  1 

k

Derivační

bez setrvačnosti

t

k t

h(t)

k

G s  

typ členu

T1 s  1 T 2 s  1 

G s  

k

a0

h(t)

k

2

b0

G s  

přechodová char. h(t)

Typové dynamické členy 

2

Ts  1 

přenos

J

T s  2  Ts  1

G s   G s  

G S s  1  GO s 


L



h(t)

k

2

G s  

G s  

h(t)

ks

Ts  1 

t h(t)

ks

T1 s  1 T 2 s  1 

G s  

s b m s r

mr

 ...  b r 

t

a n s  ...  a1 s  a 0 n

13

20.4.2012


Stabilita regulačního obvodu

Integrační

typ členu

přenos

G s  

bez setrvačnosti

se setrvačností 1. řádu se setrvačností 2. řádu obecný q-tého řádu se setrv. (n-q)-tého řádu

G s  

G s  

přechodová char. h(t)

k s

t h(t)

k s Ts  1 

t

s T1 s  1 T 2 s  1 

t 

m

s a n s

nq

Obecná podmínka stability 





Poloha pólů a nul přenosu 

Regulační obvod je stabilní, jestliže všechny kořeny charakteristické rovnice mají zápornou reálnou část, tj. leží-li v levé komplexní polorovině. Všechny koeficienty charakteristické rovnice musí být kladné.

Přenos vyjádřený pomocí pólů a nul G s  

Nutná podmínka stability 

Odvození – přednáška …

 ...  a q 

Stabilita regulačního obvodu 

lim y hom t   0

t

b m s  ...  b 1 s  b0 q

Regulační obvod je stabilní, jestliže po jeho vychýlení z rovnovážného stavu vlivem změny žádané hodnoty w(t) nebo vlivem poruchové veličiny v(t) a po skončení příčiny vychýlení, je schopen se ustálit v rovnovážném stavu.

h(t)

k

G s  





b m  s  n1  s  n 2 ...  s  n m  a n  s  p1  s  p 2 ...  s  p n  Im

Znázornění v komplexní rovině x

a i  0 , i  0 , 1 ,  , n

x

Re

x 

Kritéria stability

Dynamické vlastnosti systému 

 

  

čím jsou póly dále od imaginární osy, tím je přechodový děj více tlumen a tím je kratší komplexní póly--přechodný děj má kmitavou složku nuly blíže k imaginární ose než póly--převládá derivační složka póly v počátku--integrační charakter systému nuly v počátku--derivační charakter systému póly v pravé komplexní polorovině--nestabilní pochod

Implementace 

Dostupné funkce: zpk(sys) systému, poles(sys)

vytvoření LTI modelu nebo konverze výpočet pólů systému

is_stable(sys) zjištění stability

14

20.4.2012

Příklad 

Řešení příkladu clear all; clc;

Vyšetřete stabilitu daných systémů a zjistěte polohu jejich pólů 5s  6s  2

3s  6

G1 ( s ) 

G4 (s) 

3s  2 s  1 2

3s  2 s  3s 3

2

G2 (s) 

G5 ( s ) 

2s  2s 3

2

2s  6 3s  2 s 2

G3 ( s ) 

s  3s  2 s 3

2

6s  2 3

G6 (s) 

3

2

Ziegler-Nicholsova metoda

Regulační obvod…pokračování z minulého cvičení w(t)

Regulační odchylka

Poruchové veličiny u(t)

e(t)

Regulátor Akční veličina

y(t)

zpk(s1) poles(s1) %is_stable(s1)

2 s  3s  2

Seřízení regulátoru Žádaná hodnota

s1=tf([5,6,2],[3,2,1]); s2=tf([3,0,6],[2,2,0,0]); s3=tf([2,6],[1,3,2,0]); s4=tf([3,2],[1,3,0,0]); s5=tf([2,6],[3,2,0]); s6=tf([6,0,0,2],[2,3,0,2]);

2s  6

2

2

v1(t)



Regulovaná veličina

v2(t)

y(t)






Zpětná vazba

Přenos řízení: G W  s  

Y s W s



GR  s GS  s  1  GR  s  GS  s 



GO  s  1  GO  s 

Princip metody - pokračování 





Zesílení r0 kterým jsme obvod dostali na hranici stability se nazývá kritické zesílení r0k Na hranici stability kmitá obvod netlumenými kmity o konstantní amplitudě a periodě (kritická perioda) Tk Na základě znalostí těchto dvou parametrů r0k a Tk zjistíme z tabulky optimální parametry pro jednotlivé typy regulátorů



K existující soustavě je potřeba navrhnout a seřídit regulátor tak, aby byl regulační pochod co nejlepší Základní myšlenkou metody je přivést obvod na hranici stability Za kritické nastavení (na mezi stability) považujeme takové, při němž jsou integrační a derivační složka vyřazeny Ti→∞ , Td→0 (respektive r-1→0 , r1→0) a obvod kmitá s konstantní amplitudou a periodou kmitů Změnou zesílení r0 lze obvod přivést na hranici stability

Tabulka typ regulátoru

r0

Ti

Td

--

P

0 , 5 r0 k

--

PI

0 , 45 r0 k

0 ,83 T k

PD

0 , 4 r0 k

--

0 , 05 T k

PID

0 , 6 r0 k

0 ,5 Tk

0 ,12 T k

I

--

2 Tik

--

--

U integračního regulátoru se obvod dostane do kritického stavu (na mez stability) změnou integrační konstanty regulátoru Ti , přičemž tuto kritickou hodnotu označíme Tik. Z ní se odvozuje optimální nastavení I regulátoru.

15

20.4.2012

Příklad 

Implementace

Navrhněte regulátor pro řízení natočení hřídele stejnosměrného motoru…pokračování minulého cvičení

L

Ce = 2.8; J = 0.1; R = 0.5; L = 5e-3;

% % % %

J

 R

Ce

[V.s] [kg.m^2] [Ohm] [H]

J

  C e  u

Ce

G s 

 s U s

1

 L

J

s R 3

Ce

J Ce

s  Ces 2

Frekvenční přenos 



Frekvenční přenos

Frekvenční přenos získáme tak, že na vstup systému přivedeme harmonický signál (sinus) Na výstupu systému dostaneme (po odeznění přechodového jevu) opět sinusový signál se stejnou úhlovou frekvencí, ale jinou amplitudou a fázově proti vstupnímu signálu posunutý u0

u t   u 0 sin  t



y0

t

T u (t)



S

T



y  t   y0 e

j t

j  ω t  

Frekvenční přenos je roven poměru vektorů rotujících v komplexní rovině

t

y t   y 0 sin  t   

y t 

G  jω  

u t 



y0 e

j  ωt  

u0e

j t





y0

e

j

u0

y(t)

Kvalita regulace

Kvalita regulace 



Vyjádření funkcí v komplexním tvaru u  t   u0 e

y(t)

u (t)

Ce = 2.8; % [V.s] J = 0.1; % [kg.m^2] R = 0.5; % [Ohm] L = 5e-3; % [H] s_motor = tf([1],[L*J/Ce,... R*J/Ce, Ce, 0]); GO = gr_pid * s_motor; Gzv = feedback(GO,tf(1,1)); subplot(1,1,1); step(Gzv,1);

clear all; clc; r0 = XXXX; Ti = XXXX; Td = XXXX; gr_p = tf (r0, 1); gr_i = tf([r0],[Ti 0]); gr_d = tf([r0*Td 0],[1]); gr_pid = gr_p + gr_i + gr_d; %gr_pid = gr_p + gr_i; %gr_pid = gr_p;

Posouzení kvality regulace z průběhu regulované veličiny

y(t)

Posouzení kvality regulace

+ 5% y(∞)

v časové oblasti  v kmitočtové oblasti  v komplexní rovině  ve stavovém prostoru 

y(∞) - 5% y(∞)

ym

tr

tm 

Posouzení kvality regulace v časové oblasti 

z průběhu regulované veličiny y(t)



t

Rozhodující parametry  

doba regulace tr relativní překmit κ

 

y m  y   y  

16

20.4.2012

Kritéria stability

Hurwitzovo kritérium

Aby byl regulační obvod stabilní, musí být všechny koeficienty charakteristické rovnice kladné. Tato podmínka je nutná (ale nepostačující).



a n s  ...  a1 s  a 0  0 n



Hurwitzovo kritérium 



a n 1 a n  3 a n  5 a n  7    0 an

an2 an4 an6    0

0

a n 1 a n  3 a n  5    0

0

an

 0

 0

Pomocí Hurwitzova kritéria vyšetřete stabilitu následujícího regulačního obvodu: 1   G R  s   3.1   0, 5 s  4s   GS  s  

an2 an4    0 



 0

0

0

   a0

Routh-Schurovo kritérium 

Definice: Obvod je stabilní, je-li determinant Hn-1 a všechny subdeterminanty Hn-2 až H2 kladné. Pokud je některý determinant nulový je obvod na hranici stability.

Příklad

Hurwitzův determinant

H n 1 

Charakteristická rovnice

Charakteristická rovnice a n s  ...  a1 s  a 0  0

1 s  s  1  s  5 

ch.r. …H3…H2

Routh-Schurovo kritérium 

Routh-Schurův algoritmus an

n



Definice: Obvod je stabilní, jsou-li kladné koeficienty výchozí charakteristické rovnice a jsouli kladné také koeficienty všech rovnic při postupné redukci charakteristické rovnice.

an an a n 1 0

a n 1 a n 1

a n 1

an2 an a n 1 an2 

a n3

an

a n3

an a n 1

a n3

an4

a n 1 a n3

a n 1

a n5

an4 

an a n 1

a n5

17

20.4.2012

Příklad 

Michajlov-Leonhardovo kritérium

Pomocí Routh-Schurova kritéria vyšetřete stabilitu následujících regulačních obvodů, které jsou popsány charakteristickou rovnicí: a, 2 s  s  20 s  9 s  19 s  2, 5 s  1  0 6

5

4

3

2



a n s  ...  a1 s  a 0  0 n



5

4

3

Charakteristický polynom H  s   a n s  ...  a1 s  a 0 n

b, s  2 s  20 s  32 s  9 s  2 s  5  0 6


2

H  j    a n  j    ...  a1 j   a 0 n

Michajlov-Leonhardovo kritérium 

Definice: Obvod je stabilní, jestliže křivka H(jω) začíná na kladné reálné poloose komplexní roviny a s rostoucí hodnotou ω od 0 do ∞ projde postupně (v pořadí) v kladném smyslu (proti pohybu hodin. ručiček) tolika kvadranty, kolikátého stupně je charakteristická rovnice.

s  j

Michajlov-Leonhardovo kritérium Im

Im

Im H(jω)

ω=0 Re H(jω)

H(jω)

H(jω)

ω=∞ ω=0 Re

ω=0

Im

Im

ω=∞ ω=0

ω=0 H(jω)

Re

ω= ∞

ω= ∞

ω=∞ Im

ω=0Re

Re

Re H(jω)

ω=∞

Příklad 

Nyquistovo kritérium

Pomocí Michajlov-Leonhardova kritéria vyšetřete stabilitu následujících regulačních obvodů, které jsou popsány charakteristickou rovnicí: a, 5 s  2 s  5 s  0, 5 s  1  0 4

3

2

b, s  2 s  5 s  0, 5 s  1  0 4

3

2

Stabilita uzavřeného regulačního obvodu na základě frekvenční charakteristiky otevřeného regulačního obvodu  Přenos rozpojeného obvodu M O s  GO s   G R s   G S s   N O s   Frekvenční přenos rozpojeného obvodu 

G O  j  

Re G O  j   Im G O  j  

18

20.4.2012

Nyquistovo kritérium 

Příklad

Definice: Uzavřený obvod je stabilní, jestliže kritický bod [-1, 0j] leží vlevo od frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu GO(jω) pro frekvence ω od 0 do ∞. Im

Im

-1

Im

-1

Re



Re

Vyšetřete stabilitu regulačního obvodu, který je tvořen proporcionálním regulátorem se zesílením 10 a soustavou o přenosu: GS  s  

Re

2 1  3s

-1 GO(jω)

GO(jω)

GO(jω)

Ziegler-Nichols početně 

Ziegler-Nichols početně

Metodou Ziegler Nichols určete optimální nastavení regulátoru P, PI, PD a PID. Pro regulovanou soustavu podle obrázku v

G S s  

1 s  s  1  s  2 



G0  s  

w

Ziegler-Nichols početně Právě na hranici stability bude mít charakteristická rovnice dvojici imaginárních kořenů – kořenů na imaginární ose Jejich hodnota je právě úhlová frekvence kmitů, dosadíme tedy do charakteristické rovnice na hranici stability kořeny s1,2 a dostáváme

 j 3

 3 j   2  j   6  0 2

Nejdříve uvažujeme regulátor P (vyřadíme integrační a derivační složku) a určíme kritické zesílení r0 tohoto regulátoru (hranice stability), potom určíme periodu kmitů Tk na hranici stability. r0

s  s  1  s  2 

H2 

r0



3

r0

1

2

s  3s  2 s 3

2

 6  r0  0



s  3 s  2 s  r0  0 3



2

r0 k  6

Ziegler-Nichols početně 

Rovnat nule se musí reálná i imaginární část  3 

s1 , 2  0  j 



Postup

y

  1 G R  s   r0  1   T d s  Ti s  







3

2

60

 

 2  0

2

Toto je úhlová frekvence na hranici stability a z ní můžeme spočítat kritickou periodu Tk Tk 

2





2

 4 , 44 s 

2

19

20.4.2012



Podle tab. je optimální nastavení při r0k = 6 , Tk = 4,44 s pro jednotlivé typy regulátorů následující





Metodou Ziegler Nichols určete optimální nastavení regulátoru P, PI, PD a PID. Pro regulovanou soustavu podle obrázku L

J

 R

Ce

Ce = 2.8; J = 0.1; R = 0.5; L = 5e-3;

Ziegler-Nichols početně Přenos soustavy (motor) GS  s  

 s U s



J

L

J

s R 3

Ce

Ce

s  Ces

R

J

r0

Ce

H2  L

 RJ  L

J


GO  s  

J

L

J

s R 3

Ce

Ce

J

L

s  Ces 2

Ce

J

s R 3

Ce

s  C e s  r0  0 2

J

2

s1, 2   j

 2

typ reg.

r0

Ti

Td

P

0,5 r 0k

-

-

PI

0,45 r 0k

0,83 T k

-

PD

0,4 r 0k

-

0,05 T k

PID

0,6 r 0k

0,5 T k

0,12 T k

I *)

-

2 T ik

-

125, 2198

Tk 

2





2 125, 22

 0, 05  s 





PID r0 = 168 Ti = 0,025 Td = 0,006

 280

L

J

 j 

3

R

J Ce

 j 

2

 C e j  r0 K R  0

Frekvenční přenos



  r0 K R  0 

Ce  2    J LJ 3 L   C e  0   Ce Ce

RCe

Dosadíme za ně do rovnice na hranici stability Ce

R

r0  0  r0 K R 

Na hranici stability má charakteristická rovnice dvojici imaginárních kořenů

L


J Ce

Ce

Ce

r0

[V.s] [kg.m^2] [Ohm] [H]

Sestavení H2

  1 G R  s   r0  1   Td s  Ti s  

2

Přenos otevřeného obvodu

  C e  u


Přenos regulátoru

1

% % % %

J Ce

PI r0 = 126 Ti = 0,0415

Vyjádření pomocí koeficientů dif. rovnice m j  t    y e b  jω   ...  b1 jω  b0 G  jω   0 j  t  m n u0e a n  jω   ...  a 1 jω  a 0 Převod G  j   G  s  pro s  j G  s   G  j  pro j  s Frekvenční přenos systému je roven podílu F obrazu výstupního signálu a F obrazu vstupního signálu při nulových počátečních podmínkách Y  j  G  j   U  j 

20

20.4.2012

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině 

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině

Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosu G(j) v komplexní rovině, když za úhlovou frekvenci  dosazujeme hodnoty 0 až 



[re, im, wout] = nyquist(SysIn, wlist)

Im a+jb

Im

Re





      

G (j ) 

G (j  ) pr o   0 ,5 

A

b=A sin 



Re

Př.: z = -1

a=A cos 

G (j  ) pr o   

a  jb  A  cos   j . sin    A .e a b 2

2

a   arctg

b a

G  j   R e  G  j    j Im  G  j  

Amplitudo-fázová frekvenční charakteristika 





p = [-2, -3]

Pozn.: číslo v komplexní rovině

kde A 

j

k = 2 ,

SysIn = zpk(z, p, k) nyquist(SysIn,[0 1000]) …kreslit jen pro kladné frekvence

Amplitudo-fázová frekvenční charakteristika

Frekvenční charakteristiku v komplexní rovině můžeme převést na amplitudo-fázovou frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích Pro konkrétní bod charakteristiky (jistá úhlová frekvence) v komplexní rovině můžeme odečíst příslušnou amplitudu A i fázi  Tím pádem je možno tuto charakteristiku rozdělit na dvě charakteristiky amplitudovou A=A() a fázovou =()

Amplitudo-fázová frekvenční charakteristika

A ω   G  jω  

Funkce:

[mag, phase, wout] = bode(SysIn, wlist) [mag, phase, wout] = bode(SysIn, [wmin wmax])

Př.: z = -1 p = [-2, -3] k = 0.5 SysIn = zpk(z, p, k) bode(SysIn, 'r')

y0 u0

e

j



y0 u0

A dB   20 log A    20 log

y0 u0

Experimentální zjištění frekvenční charakteristiky 



Funkce:

[re, im, wout] = nyquist(SysIn, [wmin wmax])

na vstup systému přivedeme sinusový signál (generátor sinusových kmitů) o určité frekvenci

u  u 0 sin  t 

zapisujeme průběh výstupního signálu (osciloskop, zapisovač), až se na výstupu ustálí sinusové kmity

y  y 0 sin  t    

G

U1

m ěřen ý objekt G (j )

Im

U2

Re  y0 u0



m ěření 

21

20.4.2012

Příklad – mechanická soustava

Chování mechanické soustavy je popsáno rovnicí m x  t   bx  t   kx  t   F  t 

m  10, b  10, k  1000

G s 

X s F s



clear all;

%Skokove buzeni

close all;

figure(1)

clc;

step(sys)

m = 10;

%Frekvencni charak

b = 10;

figure(2)

k = 1000;

nyquist(sys,[0 1000]) figure(3)

1 m s  bs  k 2

Vlastní frekvence soustavy je 0 

Příklad – mechanická soustava

k

sys = tf (1, [m, b, k])

bode(sys)

poles(sys) frek_vl = sqrt(k/m)

m

Příklad – mechanická soustava %Harmonicke buzeni T_sim = 40; amp = 1; omega = 10; t = 0:0.01:T_sim; buzeni = amp*sin(omega*t); % Simulace [Y,T]=lsim(sys,buzeni,t); figure(4); plot(t,buzeni,t,Y)

22

Logické řízení AUTOMATIZACE 6AA. Logické řízení. Logické funkce jedné proměnné. Logické funkce dvou proměnných. Schematické značky logických funkcí

Recommend Documents