VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN Fakulta strojního inženýrství
Ivan Švarc
ZÁKLADY AUTOMATIZACE U ební texty pro kombinovanou formu bakalá ského studia
Ur eno pro bakalá ské studium: Obor studia: 23-70-7 – Aplikovaná informatika a ízení p edm t: Automatizace a regulace Obor studia: 23-24-7 – Stavba stroj a za ízení p edm t: Základy automatizace a regulace
Tato publikace je ur ena poslucha m kombinovaného bakalá ského studia pro p edm t Automatizace a regulace, který je v osnovách bakalá ského oboru Inženýrská informatika a ízení a pro p edm t Základy automatizace a regulace, který je v osnovách bakalá ského oboru Stavební stroje. Sou asn je doporu en všem poslucha m bakalá ského studia na Fakult strojního inženýrství, kte í si zapisují tyto p edm ty v normální form bakalá ského studia a kone n všem zájemc m o automatizaci. Rád bych ješt podotkl, že ve v tším rozsahu jsou základy automatizace a jmenovit základy automatického ízení v publikaci Švarc, I.: Automatizace – Automatické ízení, Akademické nakladatelství CERM,s.r.o. Brno, b ezen 2002, která je ur ena pro p edm t Automatizace. Ten je ve studijních programech všech magisterských obor na Fakult strojního inženýrství VUT v Brn . V Brn , íjen 2002. Autor
Ivan Švarc, 2002 ISBN
2
OBSAH 1. 2.
ÚVOD ………………………………………………………………………. Kontrolní otázky LOGICKÉ ÍZENÍ …………………………………………………………. 2.1 Logické funkce 2.2 Booleova algebra 2.3 Vyjád ení booleovských funkcí 2.4 Minimalizace logických funkcí 2.5 Realizace logických funkcí prvky NAND a NOR 2.6 Logické ídicí obvody 2.7 Programovatelné automaty Kontrolní otázky
3.
4.
4 9 9 9 12 15 17 19 21 26 29
SPOJITÉ LINEÁRNÍ ÍZENÍ ……………………………………………… 3.1 Úvod 3.2 Laplaceova transformace 3.2.1 P ímá a zp tná transformace 3.2.2 Hlavní v ty transformace 3.3 Statické a dynamické vlastnosti regula ních len 3.4 Diferenciální rovnice systému a p enos 3.5 Impulsní funkce a charakteristika 3.6 P echodová funkce a charakteristika 3.7 Frekven ní p enos 3.8 Frekven ní charakteristika v komplexní rovin 3.9 Dopravní zpožd ní 3.10 Bloková algebra 3.11 Regulátory – základy, dynamické vlastnosti 3.12 Regulátory – konstruk ní principy, použití 3.13 Stabilita regula ních obvod 3.14 Kritéria stability 3.14.1 Hurwitzovo kritérium 3.14.2 Routh-Schurovo kritérium 3.14.3 Michajlov-Leonhardovo kritérium 3.14.4 Nyquistovo kritérium 3.15 Nastavení regulátor metodou Ziegler-Nichols Kontrolní otázky DISKRÉTNÍ ÍZENÍ …………………………………………………………
30 30 32 32 34 35 36 39 40 44 46 49 52 58 63 67 70 71 72 74 75 76 79 81
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
81 83 87 90 94 96 101 102
Diskrétní regula ní obvod Z – transformace Diferen ní rovnice Matematický popis diskrétních len íslicové regulátory Stabilita diskrétních obvod Kontrolní otázky LITERATURA . …………………………………………………………………….
3
1.
ÚVOD
Všude kolem nás vidíme snahu o neustálé zvyšování produktivity práce. Úkolem inženýra v tomto procesu je hledat nové pracovní postupy s minimální spot ebou asu a náklad . Jednotlivé pracovní úkony musí být co nejkratší a nejjednodušší, aby vyžadovaly minimum lidských sil. K tomu všemu musí p ispívat p edevším automatizace výrobních proces . K automatizaci vede snaha lov ka osvobodit se nejen od fyzické innosti, ale i od jednotvárné a unavující innosti duševní. innost lov ka p ebírají automaty, po íta e a prvky um lé inteligence. Tento pom rn složitý proces, p i n mž lidská ídicí innost p i výrob i mimo výrobní proces je nahrazována inností r zných p ístroj a za ízení je nazývána automatizací. V pr b hu vývoje spole nosti se lov k nejprve podle svých schopností, možností a zájm za al osvobozovat od namáhavé a opakující se fyzické práce (mechanizace – nap . p echod z ru ního na strojní obráb ní). Pozd ji pak, s dalším rozvojem techniky a nár stem nárok na ídicí innost, p istoupil i k osvobozování od asto již i velmi náro né a rovn ž namáhavé ídicí duševní práce (automatizace – nap . p echod ze strojního obráb ní s lidskou obsluhou na íslicov ízené obráb cí stroje). Postupn jsou tak vytvá eny ídicí systémy bu pln automatické (bez jakékoliv ú asti lov ka na ízení), nebo více i mén automatizované, kde lov k do jinak automaticky ízeného procesu zasahuje zp sobem, který je spíše závislý na charakteru ízeného procesu (nap . volí nebo potvrzuje další uplat ovaný zp sob ízení, modifikuje zp sob ízení podle okamžitého pr b hu ízeného procesu apod.). ízení je tedy neodd litelným základem automatizace. A teoretickou disciplínou, která se zabývá ízením je v dní obor zvaný kybernetika. Za jejího zakladatele je považován americký matematik Norbert Wiener, který jako první zpracoval teorii zp tnovazebních systém ízení pro ú ely protiletecké obrany. Tuto teorii zobecnil pro všechny druhy technických a biologických systém . Shrnul ji ve své proslulé knize Kybernetika neboli ízení a sd lování v živých organismech a strojích (Cybernetics or Control and Communication in the Animal and the Machines). Tato kniha vyšla v roce 1948 a autora proslavila jako zakladatele kybernetiky. V tšina definic kybernetiky vychází z Wienerovy definice, který ji definoval jako „v du o ízení a sd lování v živých organismech a strojích“. Nedostatkem této definice je, že nedoce uje systémový p ístup p i ízení a jako objekty zkoumání zahrnuje pouze živé organismy a stroje. Nezahrnuje tedy další pom rn velmi d ležité objekty, z dnešního hlediska nabývající ješt na kybernetika
Obr. 1.1
4
pedagogická kybernetika
biolog. a léka ská kybernetika
organiza ní kybernetika
ekonomická kybernetika
technická kybernetika
aplikovaná kybernetika
teorie u ení
teorie automat
teorie her
teorie algoritm
teorie informace
teorie ízení
teorie systém
teoretická kybernetika
d ležitosti, zkoumané dnešní kybernetikou, jako jsou objekty spole enské, ekonomické a z technických systém , dnes tak r znorodých, se omezuje jen na stroje. Ani informa ní hledisko této definice není úplné, protože s omezuje jen na sd lování ili na p enos informací a neuvažuje dnes tak d ležité procesy uchování a zpracování informace. Kybernetika je v da, která zkoumá obecné vlastnosti a zákonitosti ízení v biologických, technických a spole enských systémech. Jako každá v da musí také kybernetika disponovat teoretickým základem a tento aplikovat na jednotlivé v dní oblasti. Tímto rozlišením d líme kybernetiku na teoretickou a aplikovanou kybernetiku – obr. 1.1. Z díl ích ástí teoretické kybernetiky nás bude v dalším zajímat p edevším teorie ízení, která se zabývá zkoumáním obecných vlastností a zákonitostí ízení. P i ídicích procesech hraje významnou úlohu také informa ní aspekt a ten je p edm tem kybernetické teorie informace. Zde se jedná o získávání, p enos, zpracování, ukládání a využívání informací z hlediska ízení. Týmiž informa ními procesy, bez z etele k t mto speciálním souvislostem s ídicími systémy se zabývá vlastní teorie informace. Protože všechny kybernetické d je probíhají uvnit systém , využívá kybernetika také poznatk obecné teorie systém , která zkoumá obecné vlastnosti a zákonitosti informa ních systém . Kybernetická teorie systém se zabývá systémy, v nichž se uskute ují ídicí procesy. Uvedené díl í teorie jsou teoretickými nástroji teoretické kybernetiky, které mají vztah k automatizaci. Tyto teorie jsou samostatné v dní discipliny a nás bude z hlediska automatizace zajímat p edevším teorie ízení. V tšinou ji uvádíme jako teorii automatického ízení, ímž zd raz ujeme, že se jedná o ízení technických za ízení (angl. Automatic Control), protože ízení spole enské (angl. Management) se spíš ozna uje bez p ívlastku pouze jako teorie ízení. P edm t kybernetiky lze zkoumat nap . v biologických, technických a spole enských systémech. Z tohoto hlediska praktického využití je možno v rámci aplikované kybernetiky rozlišovat technickou kybernetiku, biologickou kybernetiku, pedagogickou kybernetiku, vojenskou kybernetiku atd. V každém z t chto odv tví aplikované kybernetiky se vždy p ednostn využívá ur itých aspekt teoretické kybernetiky. Tak nap . v sou asné dob hrají v technické kybernetice významnou úlohu teorie ízení (regulace), teorie systém a teorie informace. Základem automatizace je ízení. ízení je cílené p sobení na ízený objekt tak, aby se dosáhlo ur itého p edepsaného cíle. Podle toho, jak ízení provádíme, rozlišujeme ízení ru ní a automatické. Typickým p íkladem je ízení letadla lov kem a autopilotem. U automatického ízení rozlišujeme p ímé ízení, u kterého ídicí proces probíhá bez p ívodu energie (regulace výšky hladiny odvozená od síly plováku) a nep ímé ízení s p ívodem energie, což je dnes b žné a bude v dalším rozvád no. D ležitým hlediskem pro d lení ízení je zda výsledek ízení je anebo není zp tn kontrolován – zda je i není zp tná vazba p i ízení. Podle toho rozlišujeme ovládání, regulaci a vyšší formy ízení (obr. 1.2): ovládání je ízení bez zp tné kontroly – bez zp tné vazby;
ÍZENÍ
ovládání regulace optimální ízení adaptivní ízení um lá inteligence
Obr. 1.2 regulace je ízení se zp tnou vazbou. Regulace je udržování ur ité fyzikální veli iny na konstantní hodnot nebo jinak podle n jakého pravidla se m nící hodnot . B hem regulace se zjišují hodnoty této veli iny a srovnávají se s hodnotou, kterou má mít. Podle zjišt ných
5
odchylek se zasahuje do regula ního procesu v tom smyslu, aby se odchylky odstranily. vn jší p sobení
OVLÁDÁNÍ vstup
ídicí systém
ízení
ízený systém
výstup
Obr. 1.3
vn jší p sobení
REGULACE vstup
ídicí systém
ízení
ízený systém
výstup
informace o stavu ízeného systému - zp tná vazba
Rozdíl mezi ob ma druhy ízení – ovládáním a regulací – je na obr. 1.3; vyšší formy ízení. Sem pat í optimální ízení, adaptivní ízení, u ení a um lá inteligence. optimální ízení je takové, kdy systém dosáhne požadovaných vlastností nap . p i minimu vynaložené energie, tedy s maximální ú inností, nebo naopak v nejkratším ase. Systém je p itom schopen vyhledat nejvýhodn jší p sobení a dosáhnout tak co nejlepšího chování celého systému v daných omezujících podmínkách; adaptivní ízení je takové, kdy systém je schopen m nit svou strukturu tedy i své parametry tak, aby proces ízení probíhal stále optimáln , a to i p i zm nách parametr ízeného objektu; jestliže je adaptivní systém schopen ukládat p ijaté informace do pam ti a pozd ji v téže nebo podobné situaci znovu využívat získaných zkušeností, lze jej nazvat u ícím systémem a proces ízení tohoto systému je u ení; nejvyšším stupn m ízení je ízení systémy s um lou inteligencí. Um lá inteligence je vlastnost um le vytvo eného systému, který má schopnost rozpoznávat p edm ty, jevy, analyzovat vztahy mezi nimi a tak si vytvá et modely okolí, d lat ú elná rozhodnutí a p edvídat jejich d sledky, ešit problémy v etn objevování nových zákonitostí a zdokonalování své innosti. Automatické ízení lze technicky uskute nit n kolika zp soby, které se podstatn liší principem p sobení ídicího systému na ízený systém. Z tohoto hlediska rozd lujeme automatické ízení na logické spojité diskrétní fuzzy Logické ízení využívá k ízení dvouhodnotových veli in. Jejich p sobení je takové, že jsou vždy jen dv možnosti – ventil je otev en / zav en, vypína je sepnut / vypnut, atd. Podobn i informace o stavu objektu jsou dvouhodnotové veli iny – hladina je nad / pod minimální hodnotou, teplota je nad / pod 18°C, atd. Dvouhodnotové veli iny jsou formáln vyjad ovány hodnotami 0 a 1. Jsou analogické s prom nnými výrokové logiky, a proto jsou vztahy mezi prom nnými nazývány logické funkce a ídicí obvody pracující na tomto principu jsou logické ídicí obvody. Spojité ízení je tam, kde jak ak ní zásah je spojit nastavován, tak i údaje o ízeném systému jsou m eny jako veli iny spojit prom nné v ase. Spojitý ídicí systém vytvá í (na
6
rozdíl od diskrétního systému) nep etržitou vazbu mezi vstupy a výstupy. Všechny veli iny spojitého systému jsou spojit prom nné v ase, žádná z nich není ani dvouhodnotová ani diskrétní. Diskrétní ízení je dnes d sledkem nasazení po íta jako regulátor i když jeho po átky byly p i ízení spojitých systém , diskrétn m ených ( ízení polohy letadla, m ené radiolokátorem). U ídicích po íta , které ani nedovedou zpracovávat spojitý signál, je nutný spojitý signál p evád t na diskrétní. Diskrétní ídicí systém vytvá í vztah mezi vstupy a výstupy jako vztah mezi posloupnostmi impuls , snímaných v asovém sledu daném tzv. vzorkovací periodou. Mezi okamžiky vzorkování není regulovaná veli ina m ena a ani ak ní veli ina není upravována. Tato vzorkovací perioda je tím kratší, ím rychlejší je ízený proces. Zatímco spojité ízení je v dnešní dob spíše na ústupu, m žeme realizovat logické a diskrétní ízení na jednom a tomtéž programovatelném automatu. Na druhé stran diskrétní ízení realizované s velmi krátkou periodou vzorkování m že být p ibližn shodné se spojitým. U fuzzy ízení není základem ízený systém a jeho model, ale pozornost je zam ena na lov ka (tzv.experta), který umí systém ídit, ale p itom nemá pojem o klasickém matematickém modelu ízeného systému. Takový lov k pak soustavu ídí na základ pravidel typu „jestliže hladina klesá, otev i trochu p ívod vody“. Fuzzy regulátor musí nejprve p i adit zvoleným vstupním veli inám jazykovou hodnotu. To se provede nejlépe pomocí tzv. funkce p íslušnosti – bývají voleny obvykle ve tvaru lichob žníka i trojúhelníka. Tato etapa je ozna ována jako fuzzifikace. V dalším kroku ur í fuzzy regulátor na základ znalostí experta slovní hodnoty ak ních veli in (nap . regula ní odchylka je záporná malá). Nakonec p evede slovní vyjád ení na konkrétní íselné hodnoty veli in – tzv. defuzzifikaci. Toto ízení je vhodné pro ízení systém , které nedovedeme popsat, ale které dovedeme ídit. Je možné ur it hodnotu výstupu, aniž známe vzorce mezi vstupem a výstupem. Záv rem tohoto úvodu zd razn me ješt systémový p ístup k automatizaci. ešení problém automatizace zasahuje do r zných obor a je nutno je ešit sou asn , komplexn . Vyjmenujme aspo n které problémy, které se eší p i zavád ní automatizace: problém rozhodování o ú elnosti automatizace v dané oblasti ešení technické záležitosti automatizace ešení použitých technických prost edk automatizace nasazení po íta
a otázky programového vybavení t chto po íta
sociální a ekonomické aspekty automatizace p sobení automatizace na životní prost edí ….atd. lov k, zabývající se automatizací musí mít alespo základní znalosti z automatického ízení, z prost edk automatického ízení, musí v d t n co o simulaci systém , musí znát základy práce s po íta i, znát základy m icí techniky, základy elektroniky a elektrotechniky a ješt spoustu dalších v cí. Jen s t mito znalostmi je možné p istupovat k zavád ní automatizace na r zných pracovištích a dosáhnout toho, aby prost edky vynaložené na zavád ní automatizace byly vynaloženy efektivn a aby p ínosy z automatizace byly efektivní.
7
Kontrolní otázky 1. Podejte charakteristiku mechanizace a automatizace. 2.
ím se zabývá v da kybernetika?
3. Rozd lení kybernetiky. 4. Definujte pojem ízení. 5. Jak d líme ízení podle toho, zda je i není p ítomna zp tná vazba? 6. Jak d líme ízení z technického hlediska p enosu informace? 7.
ím je charakterizováno logické ízení?
8. Podejte charakteristiku spojitého ízení. 9. Podejte charakteristiku diskrétního ízení (kdy mluvíme o diskrétním ízení?). 10. Co je to fuzzy ízení?
8
2. LOGICKÉ ÍZENÍ Logické ízení je cílená innost, p i níž se logickým obvodem zpracovávají informace o ízeném procesu a podle nich ovládají p íslušná za ízení tak, aby se dosáhlo p edepsaného cíle. Logický obvod je fyzikální systém, který lze charakterizovat logickými prvky propojenými mezi sebou logickými (dvouhodnotovými) veli inami.
2.1 Logické funkce Spojité veli iny, které jsou popsány spojitými prom nnými, mohou nabývat nekone ného po tu hodnot. V této kapitole se budeme zabývat logickými veli inami nebo logickými prom nnými, které mohou nabývat kone ného po tu hodnot. Na nich je založena logická algebra, tj. soustava pravidel, ur ených k popisu vztah mezi logickými prom nnými. Tato pravidla popisují nej ast ji logické operace – vlastní úkony logické algebry. Zvláštním druhem logických prom nných jsou dvouhodnotové prom nné – dvouhodnotové veli iny, nabývající pouze dvou možných hodnot, nej ast ji ozna ované jako 0 a 1. To jsou také nej ast ji se vyskytující logické veli iny v technice: nap tí není – nap tí je, sou ástka není zmagnetována – sou ástka je zmagnetována, vrták není zlomen – vrták je zlomen, motor neb ží – motor b ží atd. Logická algebra, založená na dvouhodnotových veli inách se také nazývá Booleova algebra (G.Boole, 1815 – 1864, irský matematik). Vedle této algebry ale je na dvouhodnotových logických veli inách založena i jiná algebra, s kterou se rovn ž v p íštích kapitolách seznámíme. V dalším budeme zam ovat pojmy dvouhodnotový a logický ve smyslu dvouhodnotový (logická funkce = dvouhodnotová funkce, logický obvod = dvouhodnotový obvod ...). Logickou funkci y f x 1 , x 2 , ..... x n (2.1) definujeme jako p i azení hodnot 0 a 1 logické (dvouhodnotové) prom nné y ke kombinacím hodnot nezávislých logických prom nných x1, x2, ... xn. Logické funkce mohou být funkce jedné prom nné y
f x
(2.2)
f x1 , x 2
(2.3)
funkce dvou prom nných y
a funkce t í a obecn více prom nných – rovnice (2.1). Nejjednodušší p ípad jsou logické funkce jedné prom nné. Jsou v podstat ty i a jejich pravdivostní tabulky (tento pojem bude blíže vysv tlen pozd ji) jsou v tab. 2.1. První funkce je pro libovolné x rovna 0 a nazývá se faly x y x y x y x sum. Druhá má vždy opa nou hodnotu y než x 0 0 1 0 0 0 1 0 a nazývá se negace. Je pom rn d ležitá a má 0 1 0 1 1 1 1 1 speciální ozna ení falsum negace aserce verum y x (2.4) Tab. 2.1
Logické funkce jedné prom nné
9
( ti non x). T etí funkce má pro y vždy stejnou hodnotu jako je x a nazývá se aserce (opakování). tvrtá funkce má y stále rovno 1 pro všechna x a nazývá se verum. Avšak praktický význam má pouze jedna funkce ze ty funkcí jedné prom nné a tou je negace a ta pat í k ned ležit jším logickým funkcím. Nyní se budeme zabývat logickými funkcemi dvou prom nných. Je jich celkem 16, jak je 1.falsum nulová fce
2.konjunkce log.sou in
3.inhibice
4.aserce opakování
5.inhibice
6.aserce opakování
7.dilema
8.disjunkce log.sou et
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
9.negace log.sou tu
10.ekvivalence
11.negace
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
12.implikace
15.negace log.sou inu
16.verum jedn.funkce
y x1 x2
y x1 x2
y x1 x2
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
13.negace
14.implikace
Tab. 2.2
Logické funkce dvou prom nných
vid t z tab. 2.2. Všech 16 funkcí se op t nepoužívá, používají se b žn pouze ty i a to: konjunkce (logický sou in) – .2 disjunkce (logický sou et) – .8 negace logického sou tu (NOR) – .9 negace logického sou inu (NAND) – .15 P itom se na funkci negace budeme dále dívat jako na funkci jedné prom nné, nebo jsme si všimli, že u funkcí dvou prom nných se jednalo vždy o negaci pouze jedné z nich. Pokud nás zajímají funkce t í a více prom nných, opakují se funkce dvou prom nných, rozší ené na t i a více prom nných a to nám p i znalosti funkcí dvou prom nných nebude d lat potíže. V tab. 2.3 máme shrnuty funkce, které budeme v dalším používat. Je to negace, jako funkce jedné prom nné a konjunkce, disjunkce, NOR a NAND jako funkce dvou prom nných (s tím, že všechny tyto funkce lze bez potíží – jak uvidíme – rozší it na t i a více prom nných). Ješt si ekn me základní charakteristiky ty základních funkcí dvou prom nných. Konjunkce (logický sou in – AND z angl.) je charakterizována tím, že funk ní hodnota y nabývá jedni ky pouze tehdy, když ob prom nné x1, x2 (obecn všechny prom nné) jsou jedni ky. Disjunkce (logický sou et – OR z angl.) je charakterizována tím, že funk ní hodnota y nabývá jedni ky tehdy, když alespo jedna z prom nných x1, x2 (obecn ze všech prom nných) je jedni ka. Negace logického sou tu (NOR, negace disjunkce – n kdy též Pierceova funkce) je charakterizována tím, že funk ní hodnota y je jedni ka, když žádná z prom nných x1 , x2 (obecn když žádná z prom nných) není jedni ka.
10
Negace logického sou inu (NAND, negace konjunkce – n kdy též Shefferova funkce) je charakterizována tím, že funk ní hodnota y nabývá jedni ky tehdy, když prom nné x1, x2 (obecn všechny prom nné) nejsou sou asn jedni ky. název funkce negace
synonymní název algebraický zápis y
NON
y
konjunkce AND
logický sou et
x
x1 . x 2
y
x1
x2
y
x1
x2
NAND
Tab. 2.3.
y
x1 . x 2
y x1 x2
1
y x1 x2
x2
x1
negace konjunkce
1
x2
x1 NOR
y=x1.x2
x2
x1
OR
negace disjunkce
y x
x
x1
logický sou in
disjunkce
schémat.zna ka
y=x1.x2
x2
pravdiv. tabulka
y x 1 0 0 1 y x1 0 0 0 0 0 1 1 1
x2 0 1 0 1
y x1 0 0 1 0 1 1 1 1
x2 0 1 0 1
y x1 1 0 0 0 0 1 0 1
x2 0 1 0 1
y x1 1 0 1 0 1 1 0 1
x2 0 1 0 1
Základní logické funkce a jejich vyjád ení
Logické funkce m žeme vyjád it Booleovými funkcemi – to je negací, konjunkcí a disjunkcí funkcemi NAND – sta í jediná funkce funkcemi NOR – op t sta í jediná funkce
Podle toho, které vyjád ení zvolíme, mluvíme o Booleov algeb e, NAND algeb e nebo NOR algeb e. Základní je vyjád ení Booleovými funkcemi – pro vyjád ení logické funkce pot ebujeme t i základní funkce a p i realizaci této funkce pot ebujeme t i druhy logických prvk . Pokud se rozhodneme pro vyjád ení logické funkce základní funkcí NAND nebo funkcí NOR, vysta íme s jedním druhem základní funkce a p i realizaci pot ebujeme pouze jeden druh logických prvk .
11
2.2 Booleova algebra Používá t i základní funkce a to negaci, konjunkci a disjunkci. Základním požadavkem je každou logickou funkci minimalizovat, to je vyjád it ji co nejmenším po tem základních logických funkcí. Tím se p i realizaci spot ebuje nejmenší po et logických prvk a technická realizace vyjde nejjednodušší a nejekonomi t jší (a tím také se zvýší její spolehlivost). Logické funkce m žeme znázor ovat pomocí Vennových diagram , známých z množinového po tu. Jsou názorné, a proto je použijeme pro znázorn ní logických funkcí a pro operace s nimi a ujasníme si na nich platnost základních pravidel Booleovy algebry. Obdélník na obr. 2.1 p edstavuje universální množinu, universum a p i adíme mu hodnotu logické jedni ky. Množina x (proti b žnému zvyku zde budeme ozna ovat množiny malým písmenem) je dána vnit ními body uzav ené k ivky. Prvky nepat ící do množiny x vyjad ují funkci negace x a p edstavují body vn k ivky.
1
x x Obr. 2.1
x1.x2
x1
vylou ený t etí logický rozpor dvojitá negace opakování
x
x
x
x
Log.sou in
1 x1v x2 x1
Obr. 2.3
x x 1 x.x 0 x
1
x2
Obr. 2.2
Na obr. 2.2 je znázorn na množina p edstavující funkci logického sou inu x1.x2 , která obsahuje prvky jak množiny x1 tak i množiny x2 sou asn a je to pr nik obou t chto množin. Naopak na obr. 2.3 je znázorn na množina, sjednocující ob množiny x1 , x2 , obsahující prvky bu z množiny x1 nebo z množiny x2 a tato množina je sjednocení obou množin a p edstavuje funkci logického sou tu x1 x 2 . K zjednodušování ili k minimalizaci logických funkcí používáme základní pravidla Booleovy algebry, se kterými se te seznámíme.
Negace
x.x
x
x2
Log.sou et
(2.5) (2.6) (2.7) (2.8)
Tyto ty i zákony jsou logické a snadno si je p edstavíme podíváme-li se na diagram na obr. 2.1. Leží-li n co uvnit kruhu, má p íslušná prom nná hodnotu x. Mimo kruh má hodnotu x . Pokud n co leží bu uvnit kruhu anebo vn kruhu, leží to v universu a logická prom nná této funkce má hodnotu 1 (zákon vylou eného t etího): x x 1 . Aby n co leželo sou asn v kruhu a vn kruhu není možné a logická prom nná, která vyjad uje hodnotu této funkce nabývá hodnoty 0 (zákon logického rozporu): x.x 0 . Jestliže je hodnota logické prom nné uvnit kruhu rovna x, je mimo kruh rovna x . Ale mimo tuto oblast má hodnotu ( x ) a to je op t hodnota prom nné v kruhu, a tedy je rovna x (zákon dvojité negace): x x .
12
Jestliže n co leží v kruhu nebo v kruhu, pak to leží samoz ejm v kruhu. Podobn leží-li n co v kruhu a sou asn v kruhu, zase to nem že ležet jinde než v kruhu (zákony opakování). Nyní si uvedeme zbývající zákony Booleovy algebry. Jejich pochopení je pro další práci velmi d ležité. Umož ují nám pracovat s algebraickými výrazy, upravovat je a minimalizovat. Grafické objasn ní n kterých typických z t chto zákon je na obr. 2.4. Tam jsou uvedeny Vennovy diagramy, které umož ují pochopení zákon Booleovy algebry. x1
komutativní zákony x1 asociativní zákony distributivní x1 x 2 x 3 zákony
x2
x2
x3
x 1 .x 2 x1
absorp ní zákony
x2
x1
x1
x1
x 1 .x 2
x2
x 1 .x 3
x 1 .x 2
x3
x1
x 2 .x 1
x1 x 2 x 3
x 2 .x 3
x1
x1
x2
x1
(2.12)
neutrálnost 0 a 1
0
x
x
x.1
x
(2.13)
agresivnost 0 a 1
1
x 1
x.0
0
(2.14)
x2
x1 . x 2
x2
(2.11)
x1
x1
x1 . x1
x3
(2.10)
x 1 .x 2
De Morganovy zákony
x2
x1 x 2 x 3
x 2 x1
x1 . x1
(2.9)
x 1 .x 2
x 1 .x 2
x1
(2.15)
x2
De Morganovy zákony jsou velmi d ležité, uplatní se zejména v budoucím p evád ní Booleovy algebry na NAND nebo NOR algebru. Budeme je používat ve tvaru, který z rovnic (2.15) dostaneme negací (ob rovnice (2.15) – negace levé strany rovná se negace pravé strany) : (2.16) x1 x 2 x1 . x 2 x1 . x 2 x1 x 2 Napišme si tyto rovnice ješt jednou, (nap . pro t i prom nné, které ozna íme a, b, c), pon vadž je budeme v budoucnu velmi asto používat: a b c
a .b .c
a .b .c
a
b
(2.17)
c
V dalším se budeme zabývat minimalizací logických funkcí. Nejjednodušší je použití t chto pravidel Booleovy algebry a úprava výraz tak dlouho, dokud nedostaneme nejkratší výraz. V tšinou je to však p íliš pracná metoda, zvláš když se jedná o složit jší výrazy, ani vždycky nedostaneme minimální tvar, protože nevíme, kdy je nejkratší, kdy je minimální. Hodn zde záleží na praxi a technické dovednosti. Proto se oby ejn minimalizace neprovádí tímto zp sobem, ale v tšinou použitím Karnaughovy mapy (bude vysv tleno v dalším). P íklad 2.1: Minimalizujte logickou funkci
y
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
ešení: Z 2. a 3. lenu vytkneme x1 x 2 a z 4. a 5. lenu vytkneme x1x2
y
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x3
x1 x2 x3
x3
Výrazy v závorkách jsou podle zákona vylou eného t etího (2.5) rovny jedné. Potom z 2. a 3. lenu vytkneme x1 a výraz v závorce je ze stejného d vodu op t roven jedné. x1 x 2 x 3
x1 x 2
x1 x 2
x1 x 2 x 3
x1 x 2
Použili jsme absorp ní zákon (2.12), podle kterého je x1 ne ný výsledek.
x2 x1 x2
x1 x 2 x 3 x1
x 1 x1
x 2 x3
x2 a tím jsme dostali ko-
13
1 x2
x1
1
1 x2
x1
x3
x3
x3
distributivní zákon x1 x2 še x1 x2x3 = (x1 x2)( x1 x3) x2 x3 - svislé šrafy x1 x3 - svislé šrafy
x2 x3 - svislé šrafy 1
1 x1
x2
x2
x1
x3
x1 (x2 x3) = x1 x2 x3
x1
x2
x1
asociativní zákon
x1
1
x1 x2 x1
x2
1 x1
x2
x1 x2
1
x1 x2
x2 De Morgan v zákon x1x2 = x1 x2 x1 – še , x2 - svislé šrafy x1 x2 - še
absorp ní zákon x1 x1x2 = x1 x2 x1 x2 svislé šrafy Obr. 2.4
Grafické zd vodn ní zákon logické algebry
P íklad 2.2: Minimalizujte logickou funkci
y
x1 x3 x4
x1 x3 x4
x2 x3 x4
Podle De Morganova zákona (2.15) p evedeme negaci logických sou in na sou et
ešení: negací
y x1 x3
x4
x1
x3
x4
x2
x3
x4 ;
Výraz v první závorce roznásobíme, zbylé dv závorky není pot eba uvád t. x1 x3
x1 x4
x1
x3
x4
x2
x3
x4
x1 1 x3
Podle zákona agresivnosti 0 a 1 (2.14) 1 x ce. Podle zákona opakování (2.8) je x x x a tedy x3
x4
x1
x2
x3
x4
x1
x2
x3
x1 1 x4
x1
x2
x3
x4
1 jsou výrazy v závorkách rovny jednot-
x4
x1 x2 x3 x4
Výsledný vztah jsme op t dostali aplikací již vzpomínaného De Morganova zákona (2.15). P íklad 2.3: Minimalizujte logickou funkci
y
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
ešení: Tento a následující p íklad je už bez bližšího komentá e. Hlavn zde používáme absorp ní zákon (2.12) x1 x1 x2 x1 x2
y
x1 x 2 x 3 x1 x 2 x3
14
x1 x 2 x 3 x1 x3
x2
x1 x 2 x 3 x1 x 2 x 3
x3 x1 x 3
x1 x 2 x3 x1 x 2
x1 x 2 x 3 x 2 x1 x 3
x1 x 2 x1
x1 x 2 x 3 x1 x 3
x1 x 2 x3 x 2 x3
x1
x2 x1 x 3
P íklad 2.4: Minimalizujte logickou funkci
y
x1 x2
x1 x2
ešení: Použití De Morganových zákon , v záv ru použit zákon logického rozporu (2.6) x.x
y
x1 x 2
x1 x 2
x1 x 2 . x1 x 2
x1
x 2 x1
x2
x1 x1
x1 x 2
x 2 x1
x2 x2
x1 x 2
0
x 2 x1
2.3 Vyjád ení Booleových funkcí Pomineme-li slovní zadání, pak nej ast ji používané prost edky pro vyjád ení Booleových funkcí jsou -Karnaughova mapa (eventuáln jiné mapy) -blokové schéma
-pravdivostní tabulka -algebraický výraz
Základní formou popisu logické funkce je popis pravdivostní tabulkou, se kterou jsme se již setkali. Do tabulky se zapíší všechny možné kombinace hodnot nezávisle prom nných, pro které je funkce definovaná a jim odpovídající funk ní hodnota (hodnota závisle prom nné). Je zvykem psát po adí kombinací nezávisle prom nných po sob v dvojkové soustav . y x1 x2 x3 P íkladem je pravdivostní tabulka v tab. 2.4. M žeme si jako p íklad 0 0 0 0 p edstavit žárovku, která má dva stavy, svítí a nesvítí. Nech je zapínána a zhasínána t emi dvoupolohovými p epína i x1, x2, x3, každý z nich o dvou 0 0 0 1 stavech 0 a 1. Z daného zapojení m žeme vysledovat, p i jaké kombinaci 1 0 1 0 stav p epína žárovka svítí anebo nesvítí. P i adíme-li stavu y=1 stav, kdy žárovka svítí a y=0, kdy nesvítí, m žeme funkci zapojení žárovky a p epína1 0 1 1 popsat pravdivostní tabulkou tab. 2.4.
0 1
0
0
0 1
0
1
Nyní si ukažme, jak p echázíme od pravdivostní tabulky k algebraickému zápisu logické funkce. Každou logickou funkci m žeme algebraicky vyjád it jako logický sou et logických sou in . V pravdivostní 0 1 1 0 tabulce postupujeme po ádcích a uvažujeme pouze ty, ve kterých funk ní 1 1 1 1 hodnota y nabývá hodnoty 1. Každému takovému ádku odpovídá jeden sou tový len, který má tolik initel v sou inu, kolik je vstupních logických prom nných. Vstupní prom nná, která má v p íslušném ádku hodnotu 1 je Tab. 2.4 zastoupena p ímo, která má hodnotu 0, je zastoupena svou negací. Celá logická funkce je potom vyjád ena logickým sou tem takových výraz , pro které má závisle prom nná jednotkovou hodnotu. Tak funkce daná tabulkou tab. 2.4 bude vyjád ena algebraickým výrazem y
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
Tento výraz jist dovedeme upravit a zjednodušit. Ale tomuto tvaru logické funkce, který sestává z logického sou tu logických sou in základních nezávisle prom nných, se íká úplná normální disjunktivní forma (ÚNDF). Je to jedno z d ležitých vyjád ení Booleových funkcí a je základem pro popis logické funkce Karnaughovou mapou. Ke Karnaughovým mapám se dostaneme brzy, ale zatím ješt tento výraz upravíme – použijeme pravidlo opakování (2.8) x1 x 2 x 3 x1 x 2 x 3 x1 x 2 x3 : y
x1 x2 x3
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x2
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 x3
x3
x1
x1 x2 x3
15
x1
1
x1
K tomuto výrazu nakresleme blokové schéma. V tab. 2.3 jsme m li uvedeny schematické zna ky pro jednotlivé logické funkce. P edpokládáme Booleovu algebru a uvažujeme t i funkce: konjunkci, disjunkci a negaci. Schéma odpovídající tomuto výrazu je na obr. 2.5.
y
x1 x3
x3 x2
Te už zbývá se seznámit s posledním druhem vyjád ení Booleových funkcí a to Obr. 2.5 Blokové schéma Karnaughovými mapami ( M. Karnaugh, *1924, americký matematik). Tyto slouží nejenom k jejich vyjád ení, ale p edevším k jejich minimalizaci. Ale tu zatím neuvažujme a mluvme pouze o vyjád ení logických funkcí Karnaughovými mapami. Mapa je tabulka, která má tolik polí ek, kolik je kombinací prom nných vyšet ované funkce. Funkci s n prom nnými tedy vyjad ujeme mapou s 2n x2 polí ky. Každé polí ko odpovídá jedné z možných kombinací x1 a zapisujeme do n j odpovídající funk ní hodnotu. Podle kóx3 1 du, kterým p i azujeme polí ka jednotlivým kombinacím prom nných, rozlišujeme r zné mapy. Nejznám jší je Karn1 1 aughova mapa. U ní se sousední polí ka od sebe liší hodnotou jediné prom nné. Na obr. 2.6 je jako p íklad uvedena Karnaughova mapa pro logickou funkci t í prom nných podle Obr. 2.6 Karnaughova mapa tab. 2.4. Budeme se držet nej ast jšího zp sobu zna ení map, podle kterého ádky nebo sloupce, ve
x4
x2
x2
x1
x3
x2 x3
x1
x3
x5
x2 x4
x3 x1
x1
Obr. 2.7
16
x5
x1
x6
x4
x2
Karnaughovy mapy pro logické funkce dvou až šesti prom nných
kterých je p íslušná prom nná rovna jednotce, ozna ujeme vedle mapy svislou nebo vodorovnou arou, ke které p ipíšeme jméno p íslušné logické prom nné. V ádcích nebo sloupcích, které nejsou takto ozna eny, je p íslušná logická prom nná rovna nule. Je možno si všimnout, že mapa dodržuje pravidlo Karnaughových map, podle kterého se sousední polí ka liší zm nou hodnoty jediné prom nné. Zapsání funkce do mapy je jednoduché a spo ívá v p epsání funk ních hodnot do p íslušných polí ek. Nulu jako funk ní hodnotu nepíšeme. Vycházet m žeme jak z pravdivostní tabulky, tak z algebraického výrazu, který je ve tvaru úplné normální disjunktní formy. Karnaughovy mapy logických funkcí dvou až šesti prom nných jsou uvedeny na obr. 2.7.
2.4 Minimalizace logických funkcí K dané logické funkci existuje n kolik r zných tvar . Všechny jsou matematicky rovnocenné, protože p edstavují stejnou funk ní závislost i když mohou být tvarov zna n odlišné. Nejsou však rovnocenné z hlediska technického a ekonomického. Pro technickou realizaci je nutno vždy funkci upravit do nejjednoduššího tvaru – minimalizovat ji. Minimalizací funkce dosáhneme toho, že p i její realizaci budeme pot ebovat nejmenší po et logických prvk (negací, konjunkcí, disjunkcí). Tím se logický obvod stane jednoduchým, samoz ejm také levn jším z hlediska ekonomického a spolehliv jším. Pro minimalizaci existuje ada metod. S jednou z nich jsme se již seznámili. Je to algebraická minimalizace. Logickou funkci zjednodušujeme aplikací r zných pravidel Booleovy algebry až na minimální výraz. Metoda je zna n pracná, nikdy si nejsme stoprocentn jisti, že daný výraz je už ten minimální. Naprosto se nehodí pro složit jší funkce více prom nných. Druhá metoda minimalizace je použití Karnaughovy mapy. Zatím jsme se seznámili s Karnaughovými mapami jako nástrojem pro vyjád ení neboli pro popis funkce. Ale jejich hlavní význam je práv aplikace pro minimalizaci logických funkcí. To je umožn no základní vlastností Karnaughovy mapy a to, že se dv sousední polí ka mapy liší v hodnot pouze jedné prom nné. Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy bude spo ívat v opa ném postupu než p i sestavování mapy, a to nalezením algebraického tvaru funkce, zadané mapou. Budeme postupovat tak, že sousední polí ka mapy, která obsahují jednotku jako funk ní hodnotu, budeme sdružovat do dvojic, tve ic, osmic, šestnáctic atd. Podle Karnaughovy mapy na obr. 2.8 zjistíme, že p i zakroužkování dvou sousedních jedni ek je odpovídající algebraická funkce
x4
x2
x3
x1
y
1 1
1
1
1
1
Obr. 2.8 Minimalizace
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x4 x3
x3
x1 x2 x4
Uvažujeme-li zakroužkované ty i sousední jedni ky, odpovídá jim funkce
y
x1 x2 x3 x4 x1
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
x1
x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4
x4
x2 x3
V odpovídající logické funkci chybí ta hodnota, která v p íslušné dvojici, tve ici, osmici, … m ní svoji hodnotu. V prvním p ípad to byla prom nná x1, v druhém p ípad u
17
ty ech sousedních polí ek jsou to prom nné x1, x4. Byly to samoz ejm ty prom nné, které byly v závorce ve smyslu prom nná nebo její negace a tato závorka se rovnala jedni ce podle zákona vylou eného t etího. A to bylo zap í in no vlastností Karnaughovy mapy, že se dv sousední polí ka liší pouze v hodnot jedné prom nné.
x4 x2 x1 x3
Slou ením dvou sousedních jednotkových polí ek vylou íme jednu prom nnou, slou ením ty polí ek vylouíme dv prom nné, slou ením osmi polí ek t i prom nné atd. Te zbývá ješt íci, co rozumíme pojmem sousední
1
1
1
1
1
1
polí ka v Karnaughov map , což je pon kud složit jší, než se jeví na první pohled. Sousednost polí ek v Karnaughov map . Sousedními jsou nap . i polí ka na protilehlých okrajích mapy. Snad pom že p edstava, že mapu „srolujeme“ , že bude levý okraj sousedit s pravým a sou asn dolní s horním. Dvojice mohou být svislé i vodorovné. tve ice mohou být dv a dv jedni ky pod sebou, ale také vodorovn ty i jedni ky vedle sebe anebo svisle pod sebou. Osmice mohou být 1 krát 8 vodorovn i svisle, 2 krát ty i vodorovn i svisle, ... Dále nesmíme zapomenout na rohové tve ice, osmice apod.
x4
x2
1
1
1
1
1
1
x1
x3 1
1
1
1
1
1
1
1
Obr. 2.9 Sousednost
P íklady všech t chto tve ic jsou na obr. 2.9.
Základní pravidla pro minimalizaci logických funkcí Karnaughovými mapami – jak provést seskupení jedni ek v map do izolovaných jedni ek, dvojic, tve ic, .... Všechny jedni ky v map musí být zakroužkovány, žádnou nesmíme vynechat Každá jedni ka se m že p i kroužkování vzít n kolikrát, m že být sou asn sou ástí dvojice, tve ice, ... (to umož uje zákon opakování x x x ..... = x) P ednost mají ... osmice p ed tve icemi, tve ice p ed dvojicemi a dvojice p ed izolovanými jedni kami V rámci pravidla podle kterého žádnou jedni ku nesmíme vynechat, se snažíme o co nejmenší po et smy ek P íklad 2.5: Karnaughovou mapou minimalizujte logickou funkci z p íkladu 2.1 y
x1 x2 x3
x1 x 2 x 3
x1 x 2 x3
x1 x2 x 3
x1 x2 x3
ešení: Nakreslíme Karnaughovu mapu pro t i prom nné – obr. 2.10 a napíšeme jedni ky do p íslušných polí ek. Zakroužkujeme jednozna n jednu tve ici a jednu dvojici. Výsledek y = x2 x 3 x1 je ve shod s ešením p íkladu 2.1.
x2 x3
x1
1
1
1
1
1
Obr. 2.10
P íklad 2.6: Minimalizujte logickou funkci ty prom nných danou pravdivostní tabulkou uvedenou v tab. 2.5.
18
ešení: Na obr. 2.11 je nakreslena p íslušná Karnaughova mapa. Podle jednoho z pravidel minimalizace mají p ednost tve ice p ed dvojicemi a dvojice p ed izolovanými jedni kami. Proto se jako nejlepší ešení jeví zakreslit t i tve ice jak je vid t z obrázku. Odpovídající logická funkce pak je y x2 x4 x1 x3 x1 x4 x2 x4 x1 Poznámka: P i ešení praktických úloh se x3 1 1 1 1 asto stává, že logická funkce je definována
y 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0
pouze v n kterých kombinacích vstupních prom nných, zatím co na funk ních hodnotách zbývajících kombinací nezáleží. Jsou to tzv. neur ené stavy. Mimo stavy, kdy na funk ní hodnot nezáleží, jsou to také kombinace 1 1 vstupních prom nných, které se z n jakých d vod nemohou vyskytnout (jsou fyzikáln nedostupné, nebo „zakázané“). Hodnota Obr. 2.11 v neur eném stavu m že být dodefinována libovoln . Odpovídající tvere ek v Karnaughov map p i minimalizaci ozna íme x a m žeme pak ho nahradit 1 nebo 0 , co je v daném okamžiku výhodn jší, abychom získali minimální tvar.
1
1
1
x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Tab. 2.5
2.5 Realizace logických funkcí prvky NAND a NOR P i navrhování logických obvod se asto používají prvky NAND (negace logického sou inu) a NOR (negace logického sou x1 tu), protože tyto prvky jsou snadno dox1 1 y = x1 x2 y = x1.x2 stupné v širokém sortimentu a snadno se realizují. Výhodou oproti Booleovým x2 x2 prvk m je, že k realizaci používáme pouNAND NOR ze jeden druh prvk , a to bu NAND anebo NOR. Obr. 2.12 Prvky NAND a NOR Nejd íve si podle obr. 2.12 ujasn me funkci t chto prvk a které logické funkce realizují. To je z p edcházejícího kontextu a z obrázku jasné. Nyní si ješt ekn me, jak se realizuje logická funkce negace pomocí prvku NAND nebo NOR.V tšinou mají prvky NAND a NOR t i nebo ty i vstupy. P i realizaci m žeme volné vstupy 1. ponechat volné (což je totožné jako p ipojit logickou 0) 2. všechny spojit (proletovat) s jedním vstupem na který p ivádíme x 3. p ipojit na n logickou hodnotu 1
x
x y=x.0.0.0=1
x
x y=x.x.x.x=x
x 1 1 1
x y=x.1.1.1=x 1
1 y=x 0 0 0=x
1 y=x x x x=x
1 y=x 1 1 1=0
1 1
Podle obr. 2.13 vidíme, že p i vytvá ení Obr. 2.13 Realizace negace prvky NAND a NOR negace z prvk NAND je možné použít varianty 2 a 3, tedy propojit všechny vstupy anebo p ipojit na n hodnotu 1, ale nesmíme je ponechat
19
volné. P i vytvá ení negace z prvk NOR m žeme použít varianty 1 a 2, tedy ponechat nepoužité vstupy volné anebo je propojit, ale nesmíme na n p ipojit hodnotu 1. A nyní už na konkrétním p íkladu ukážeme realizaci logického obvodu bu NAND nebo prvky NOR. y 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0
x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Tab. 2.6
P íklad 2.7: Navrhn te realizaci logické funkce, dané pravdivostní tabulkou tab. 2.6 a) Booleovými prvky x2 b) prvky NAND x4 x1 x3 c) prvky NOR 1 1 1 ešení: Nejd íve danou logickou funkci pomocí Karnaughovy mapy minimalizujeme. Karnaughova mapa je na obr. 2.14. Podle pravidel minimalizace zakroužkujeme jednu tve ici a dv dvojice. Tím dostáváme minimalizovanou logickou funkci vyjád enou Booleovými prvky a) y x1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x1 x 4
1 1
1
1
1
Obr. 2.14
Z této funkce p ímo nakreslíme blokové logické schéma pro realizaci Booleovými prvky – je na obr. 2.15a. Pak tuto funkci p evedeme pomocí De Morganových zákon (2.17) na funkci vhodnou pro realizaci prvky NAND nebo prvky NOR. b)
c)
prvky
y
y x1 x4 x2 x3 x4 x1 x2 x4
x1 x 4 .x 2 x 3 x 4 .x1 x 2 x 4 y x1 x4 x2 x3 x4 x1 x2 x4
Prvním z t chto zákon provedeme p evod na realizaci prvky NAND a druhým z nich na realizaci prvky NOR. Ovšem prvky NOR není možné realizovat logickou funkcí y a b c , ale musíme celou rovnici (pravou i levou stranu) negovat y a b c a pokud pak chceme y na výstupu, musíme za adit negaci. Bloková schémata na obr. 2.15 ukazují již zmín nou realizaci Booleovými prvky na obr. 2.15a, prvky NAND na obr. 2.15b a prvky NOR na obr. 2.15c. Z obr. 2.15 si m žeme ud lat také p edstavu o tom, kolik prvk je na jednotlivé realizace zapoc) NOR
b) NAND
a) BOOL x1
x1
x4
x4 1 y
y
x2
x2
x3
x3
x1
1
1
x4
1
1
x2
1
1
1 y 1
x3 Obr. 2.15
t ebí.V p ípad Booleových prvk by bylo pot ebí 4 negátor , 3 sou tových len a 1
20
y
sou inu, tj. celkem 8 prvk . V p ípad realizace prvky NAND by bylo zapot ebí 8 prvk NAND, v p ípad realizace prvky NOR bude pot ebí 8 prvk NOR. Tedy v úhrnu pot ebujeme pro jednotlivé realizace stejný po et prvk , výhodou u prvk NAND a NOR je, že využíváme prvky stejného typu.
2.6 Logické ídicí obvody Na praktických p íkladech si ukážeme využití logických obvod v automatizaci. Logické obvody rozd lujeme podle chování na kombina ní sekven ní (a tyto ješt na synchronní a asynchronní) U kombina ních obvod jsou funk ní hodnoty jednozna n ur eny kombinacemi hodnot vstupních prom nných. To byly obvody, o kterých jsme dosud mluvili. U sekven ních obvod jsou funk ní hodnoty ur eny nejen kombinacemi hodnot vstupních prom nných, ale také jejich asov p edcházejícími kombinacemi hodnot. Tyto p edcházející hodnoty jsou v sekven ních obvodech uchovávány do následujícího okamžiku v pam ové ásti obvodu. U synchronních sekven ních obvod je každá zm na vstupních a výstupních prom nných ízena synchroniza ními impulsy, které zajiš ují stejné okamžiky zm n všech prom nných. V asynchronních sekven ních obvodech tomu tak není a zm ny jsou odvozeny od zm n vstupních prom nných. V dalším z staneme u kombina ních logických obvod a teprve v posledním p íkladu bude demonstrován jednoduchý sekven ní obvod, ale pouze v tom smyslu, abychom si ud lali p edstavu o tom, co sekven ní obvod je. Jinak problematika sekven ních obvod z stane mimo oblast této publikace. vrták 2
sníma 2
vrták 1
sníma 1
P íklad 2.8: Zlomení vrták . Navrhn te logický obvod, který vysílá signál v p ípad poruchy, kdy dojde ke zlomení jednoho nebo obou vrták – obr. 2.16. U každého vrtáku jsou umíst ny sníma e, které vysílají trvale signál, dojde-li ke zlomení vrtáku.
y
logický obvod x2 x1
Obr. 2.16
ešení: Zavedeme hodnoty jednotlivých logických prom nných 1 vrták 1 je zlomen x1 =
0 není zlomen
0 vrták 2 je zlomen x2 =
1 vznikla porucha y=
0 není zlomen
Pravdivostní tabulka tab. 2.7 odpovídá logické funkci y x1 x2 x1 x2 x1 x2 Tuto funkci minimalizujeme y x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x2
0 bez závad
y 0 1 1 1
x1 0 0 1 1
x2 0 1 0 1
Tab. 2.7
x2
x1
x2
21
sníma 1
sníma 2
P íklad 2.9: V díln jsou t i nádrže provozního oleje – obr. 2.18. Jestliže dv z nich jsou prázdné, musí se rozsvítit nápis DOPLNIT OLEJ!, aby obsluha provedla dopln ní. Navrhn te p íslušný logický obvod, sestavený Nádrž 2 Nádrž 1 a) z Booleových prvk b) z prvk NAND c) z prvk NOR.
x1 x2
0
1
1
1
Obr. 2.17
sníma 3
Také jsme mohli provést minimalizaci použitím Karnaughovy mapy znázorn né na obr. 2.17. V každém p ípad se dostaneme k funkci logického sou tu (disjunkce), která se realizuje jedním logickým prvkem, a tím je disjunkce.
Nádrž 3
x3 x2 x1 ešení: Nejd íve si zave me prom nné, y logický obvod které budeme dále používat Obr. 2.18 y x1 x2 x3 x1,2,3 = 1 p íslušná nádrž je prázdná 0 není prázdná 0 0 0 0 x2 y = 1 svítí DOPLNIT OLEJ! 0 0 0 1 x1 0 nesvítí 0 0 1 0 x3 1 1 0 1 1 0 1 0 0 Sestavíme pravdivostní tabulku tab. 1 1 1 1 1 0 1 2.8 a podle ní sestavíme Karnaughovu 1 1 1 0 mapu – je na obr. 2.19. Na Karnaughov Obr. 2.19 1 1 1 1 map zakroužkujeme t i dvojice. Tím je dána logická funkce pro realizaci BooleoTab. 2.8 vými prvky. Tuto pak známým zp sobem p evedeme na realizaci prvky NAND a NOR.
a) Booleovy prvky :
y
x1 x 2
x1 x 3
c) prvky NOR :
x2 x3 y
x1
b) prvky NAND : x2
x1
x3
y
x2
x1 x 2 . x1 x 3 . x 2 x 3
x3
Bloková schémata pro všechny t i realizace jsou na následujícím obr. 2.20. Poznamenejme ješt , x1
x2
BOOL
x1
1 y x 2
x1
NAND
y
x2
1
1
1 x3
x3
x3
NOR
1 y
1 y
Obr. 2.20
že u realizace prvky NOR nebyla provedena negace vstupních prom nných – nutno ji provést anebo to za ídit opa nou funkcí sníma .
22
x1
a) z Booleových prvk b) z prvk NAND c) z prvk NOR.
zapal. ho á ek
hladina vody
ru ní spina
teplota
P íklad 2.10: Automatika kotle pro vytáp ní rodinného domku má otevírat p ívod plynu do kotle, když venkovní teplota klesne pod 15° anebo je sepnut ru ní spína a samoz ejm když je voda v kotli nad minimální hodnotou a ho í zapalovací ho á ek – obr. 2.21. Navrhn te logický obvod, sestavený
x2
x3
x4 p ívod plynu
y
logický obvod
Obr. 2.21
ešení: Zave me si jednotlivé vstupní logické prom nné x1, x2, x3, x4 a výstupní logickou prom nnou y následovn 1 teplota 15° 1 zapnuto 1 voda nad min x2 x3 0 teplota 15° 0 vypnuto 0 voda pod min
x1
y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
a) Logická funkce pro realizaci Booleovskými prvky:
y
x1 x2 x3 x4
x4 x3
x1 x2 x3 x4
1 y
x1 x2 x3 x4
x1 x3 x4
x2 x3 x4
b) Logická funkce pro realizaci prvky NAND:
y x1 x3 x4 . x2 x3 x4 c) Logická funkce pro realizaci prvky NOR: y
BOOL
1 ho í 1 plyn otev en y 0 neho í 0 plyn zav en
Nejd íve sestavíme pravdivostní tabulku tab. 2.9. Logickou funkci, kterou z ní získáme, m žeme malou úpravou eventuáln Karnaughovou mapou minimalizovat. Mapa se zde jeví skoro zbyte ná. Dokonce by bylo možné si troufnout na sestavení logické funkce p ímou úvahou, bez sestavování pravdivostní tabulky. Pokud si ale nejsme stoprocentn jisti, je lépe pravdivostní tabulku sestavit. Tuto funkci pak snadno známým zp sobem je možno p evést také na funkce pro realizace prvky NAND a prvky NOR. Tato realizace je nakreslena na obr. 2.22.
Tab. 2.9
x1
x4
x1
NAND
x1 x1
x4
x4
x3
yx 3
x3
x4
x2 1
x3
x4
NOR 1 y
1 y
1 x2
x2
x2 Obr. 2.22
23
P i realizaci prvky NOR (obr. 2.22 vpravo) se vychází z negací vstupních veli in. Tato negace by se musela nejd íve skute n provést anebo zapojit opa n sníma e.
P íklad 2.11: V závod mohou ze ty energeticky náro ných stroj b žet pouze dva sou asn – obr. 2.23. Operátor má na panelu jednak oranžovou kontrolku, která se rozsvítí, když b ží dva tyto stroje a jednak ervenou kontrolku dopln nou akustickým alarmem, která svítí a houká když b ží t i nebo ty i z t chto stroj . Navrhn te logický obvod, který zajistí tyto funkce. P íklad ukazuje možnost spojení n kolika logických obvod do jednoho celku. y2
x1
yy334,4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1
x3
.2
stroj .1 y2 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0
x2
x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
y34 Obr. 2.23
.4
.3
x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
logický obvod
x4
x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
oranžová kontrolka ervená kontrolka + akustický alarm
x4
x2
x1
x4
x3
1 1
x2
x1
x3 1
1 1
1 1
1
1
1
1 Obr. 2.24
Obr. 2.25
ešení: Nejd íve si definujme jednotlivé vstupní i výstupní logické prom nné: x1,2,3,4
1 0
b ží y neb ží 2
1 0
svítí 1 houká+alarm y nesvítí 34 0 nehouká
Tab. 2.10
Prom nné x1, x2. x3, x4 udávají, zda-li p íslušný stroj b ží nebo je mimo provoz. Prom nná y2 p edstavuje sou asný b h dvou stroj a udává, svítí-li oranžová kontrolka i ne. Prom nná y34 p edstavuje sou asný b h t í anebo ty stroj a udává, zda-li svítí ervená kontrolka a houká alarm i ne. Pravdivostní tabulka tab. 2.10 je pro ob logické funkce a z této tabulky ešení vychází. Následná minimalizace obou logických funkcí je provedena Karnaughovými mapami – mapa pro y2 je na obr. 2.24 a pro y34 je na obr. 2.25. Minimalizace Karnaughovými mapami (funkci y2 nelze jak je vid t minimalizovat) vede na logické funkce y2 a y34 a p íslušné blokové schéma je na obr. 2.26.
24
y2
x1 x2 x3 x4
y34
x1 x3 x4
x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x4
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3 x4
1
b
1
y2
y34
Obr. 2.26
P íklad 2.12: Podle obr. 2.27 se musí hladina vody v nádrži udržovat v rozmezí hmax a hmin . Sníma e signalizují dosažení t chto úrovní. Když hladina klesne pod hmin , servomotor (sm) otev e ventil p ítoku vody. Když hladina stoupne nad hmax, servomotor zav e ventil p ívodu vody. V rozmezí hladin hmin a hmax je ventil otev ený, když hladina p edtím byla pod hmin a uzav ený, když hladina p edtím byla nad hmax. Navrhn te logický obvod, který tuto funkci zabezpe í.
y
sm
x1
hmax
sníma 1
x2
hmin
sníma 2
ešení: Definujme si vstupní i výstupní logické prom nné následujícím zp sobem
x1
1 hladina pod max 0 hladina nad max
x2
1 hladina pod min 0 hladina nad min
logický obvod
Obr.2.27
y
1 ventil otev en 0
ventil zav en
P i sestavování pravdivostní tabulky tab. 2.11 už nem žeme postupovat jako v p edcházejících p íkladech a psát jednotlivé kombinace vstupních hodnot
y(k) 0 0 1 1
x1 x2 0 0 1 0 1 1 1 0
Tab. 2.11
25
v po adí dvojkové soustavy. Naopak musíme vycházet z asového sledu innosti za ízení. Jako výchozí stav volíme takový, kdy hladina je nad maximální hodnotou (x1=0, x2=0). Ventil je pochopiteln zav en (y=0) a hladina klesá. Jakmile se dostane do úrovn mezi hmin a hmax (x1=1, x2=0), z stane ventil zav en (y=0), nebo hladina p edtím byla (viz zadání) nad hmax. Když potom hladina klesne pod hmin (x1=1,x2=1), ventil se otev e (y=1) a hladina stoupá a op t se dostane mezi úrovn hmin a hmax (x1=1, x2=0). Tentokrát ale z stane (viz zadání) ventil otev en (y=1). Podotkn me, že stav x1=0, x2=1 není evidentn možný. Dále si ujasn me, že pokud vyjdeme z jiného výchozího stavu, dojdeme ke stejným výsledk m. x1 Z pravdivostní tabulky tab. 2.11 vidíme, že dv ma ádk m se stejnou x2 1 y(k) kombinací vstupních veli in odpovídá r zná hodnota výstupní veli iny y. A to je práv typické pro sekven ní obvody. Stejné kombinaci vstupních hodnot y(k-1) odpovídá r zná hodnota výstupní veliiny. Jedná se zde tedy o sekven ní pam ový len logický obvod. Výstupní veli ina závisí (o 1 krok) nejen na kombinaci vstupních hodnot, Obr. 2.28 ale též na jejich asovém sledu. V našem p ípad je y=0 nebo 1 podle toho, jestli p edtím byla hladina nad max (tam bylo x1=0,x2=0 a v d sledku toho tam bylo y=0) anebo pod min (tam bylo x1=1,x2=1 a v d sledku toho tam bylo y=1). Sekven ní logickou funkci sestavíme podle tab. 2.11 tak, že v ní figuruje výstupní logická hodnota y(k) v kroku k a stejná logická prom nná y(k-1) v kroku k-1 yk
x1 x 2
x1 x 2 y k 1
x1 x 2
x2 y k 1
x1 x 2
yk 1
K realizaci sekven ní logické funkce y(k) nevysta íme se základními logickými Booleovými prvky, ani s prvky NAND a NOR, ale musíme mít pam pro zapamatování hodnoty y(k-1) pro jeden krok. V podstat se jako pam používá bistabilní klopný obvod. Blokové logické schéma s použitím pam ti, která si stále pamatuje p edcházející hodnotu je na obr. 2.28. O sekven ních logických obvodech by se samoz ejm dalo mluvit hodn a hodn a v podstat je to dosti d ležitá kapitola, v praxi se hodn tyto obvody vyskytují. Bohužel to p esahuje rámec této u ebnice.
2.7 Programovatelné automaty Programovatelné automaty jsou programovatelné ídicí systémy umož ující ízení pr myslových a technologických systém a proces , u starších typ a u menších systém specializované na úlohy p evážn logického typu. Jsou známé pod ozna ením PLC (Programmable Logic Controller). Menší typy bývají ešeny jako kompaktní celky, v tší se zásadn konstruují jako modulární. V automatiza ní technice se programovatelné automaty používají zhruba od r.1970. P vodn byly ur eny pro ízení stroj , jako náhrada za pevnou reléovou logiku. Postupn se jejich možnosti rozši ovaly a dnes se s nimi m žeme setkat v nejr zn jších oborech, kde mnohdy vytla ují d íve používané p ístroje. Jsou to nejenom tradi ní strojírenské výrobní technologie v etn manipula ní a dopravní techniky, ale i energetika (regulace v elektrárnách, v kotelnách
26
v klimatiza ních jednotkách i chladících za ízeních). Uplatn ní mají programovatelné automaty rovn ž i v chemických výrobách, farmacii, v zem d lských výrobnách atd. programátor
Centrální procesorová jednotka
PC
Systémová pam
Uživatelská pam
Interface modul systémová sb rnice
Velkou p edností programovatelných automat je jejich univerzálnost. Již pat í minulosti, že PLC ešily jen logické úlohy, zatímco k ízení spojitých veli in se používají spojité PID regulátory.
Programem PLC lze ešit i jinak velmi obtížné úlohy, kde jsou vazby Logické Logické Analogové Analogové mezi regulací r zných ve(binární) (binární) vstupy výstupy li in (nap . teploty a vlhvstupy výstupy kosti), lze jím optimalizovat technologický proces a Obr. 2.29 p izp sobovat jej m nícím se podmínkám. N které PLC mají zabudovanou i fuzzy logiku, a tím se rozší í možnosti jejich použití i do dalších odv tví, nap . do diagnostiky a zabezpe ovací techniky. Vnit ní struktura PLC je znázorn na na obr. 2.29. Pokud se jedná o modulární provedení, má pochopiteln variabilní po et vstupních i výstupních jednotek i dalších za ízení. Funk ní bloky jsou propojeny prost ednictvím jedné nebo dvou sb rnic. Modulové jednotky b žn osazované v PLC jsou centrální procesorová jednotka, systémová pam , uživatelská pam , interface umož ující spojení s PC a množství modul pro analogové, digitální a binární (logické) vstupy. Skute nou sestavu volí uživatel tak, aby programovatelný automat co nejlépe vyhovoval ešeným úlohám. V krajních p ípadech m že mít PLC dvouhodnotové vstupy a výstupy a být vystav n jako ist binární (logický) systém anebo naopak m že být koncipován jako analogový. Na binární (dvouhodnotové) vstupy se p ipojují tla ítka, p epína e, koncové spína e a jiné sníma e s dvouhodnotovým charakterem signálu (nap . dvouhodnotové sníma e tlaku, teploty nebo hladiny). Binární výstupy jsou ur eny k buzení cívek relé, styka , elektromagnetických spojek, pneumatických a hydraulických p evodník , k ovládání signálek, ale i ke stup ovitému ízení pohon a frekven ních m ni . Analogové vstupní a výstupní moduly zprost edkují kontakt programovatelného automatu se spojitým prost edím. K analogovým vstup m lze p ipojit nap íklad sníma e teploty (obvykle odporové, polovodi ové nebo termo lánky), sníma e tlaku, vlhkosti, hladiny ale i v tšinu inteligentních p ístroj s analogovými výstupy. Prost ednictvím analogových výstup lze ovládat spojité servopohony a frekven ní m ni e, ale t eba i ru kové m icí p ístroje a jiné spojit ovládané ak ní leny.
Centrální procesorová jednotka dává programovatelnému automatu inteligenci. Realizuje soubor instrukcí a systémových služeb, zajiš uje i základní komunika ní funkce s vlastními i vzdálenými moduly, s nad ízeným systémem a s programovacím p ístrojem. Obsahuje mikroprocesor a adi , zam ený na rychlé provád ní instrukcí. Pam ový prostor, který centrální procesorová jednotka poskytuje uživateli, je rozd l n na dv ásti. První ást je systémová pam , kde jsou uživatelské registry, íta e a asova e,
27
komunika ní, asové a jiné systémové prom nné. Druhá ást slouží pro uložení uživatelského programu (PLC programu) a b hem vykonávání programu se nem ní. Nazývá se uživatelská pam . Protože programovatelné automaty byly p vodn ur eny k realizaci logických úloh a k náhrad pevné logiky, nechyb jí v žádném PLC instrukce pro základní logické operace (operace logického sou tu a sou inu, negace, instrukce pro realizaci pam ových funkcí a klopných obvod , pro zápis výsledku nebo mezivýsledku na adresované místo). V souboru instrukcí PLC nechybí ani instrukce pro aritmetiku a operace s ísly. N které PLC poskytují i velmi výkonné instrukce pro komplexní operace, nap . pro realizaci regulátor a jejich automatického se izování, pro fuzzy logiku a fuzzy regulaci, pro operace s daty a datovými strukturami, pro realizaci ucelených funk ních blok apod. Tyto specializované instrukce usnad ují programování (nabízejí již hotové ucelené funkce) a sou asn zvyšují výkon PLC.
Výkonnost programovatelného automatu se nej ast ji posuzuje podle doby vykonání instrukcí. Obvykle jsou v ádu s/instrukci, u malých systému 10 s/instrukci. K programování PLC existují specializované jazyky, p vodn navržené pro realizaci logických funkcí. Jazyky u r zných výrobc jsou sice podobné, ale ne stejné. Není možná p enositelnost program mezi PLC r zných výrobc . Tato existuje jen u systém stejného výrobce.
jazyk mnemokód je obdobou assembleru u po íta a je také strojov orientován. To znamená, že každé instrukci PLC systému odpovídá stejn pojmenovaný p íkaz jazyka. Tyto jazyky jsou asto používané, zejména profesionálními programátory. jazyk kontaktních (reléových) schémat je grafický. Program se zobrazuje ve form schémat používaných p i práci s reléovými a kontaktními prvky. Jazyk je výhodný p i programování nejjednodušších logických operací a v p ípadech, kdy s ním pracují lidé, kte í neznají tradi ní po íta ové programování. jazyk logických schémat je op t grafický. Základní logické operace popisuje obdélníkovými zna kami. Své zna ky mají i ucelené funk ní bloky. Vychází vst íc uživatel m, zvyklým na kreslení logických schémat. jazyk strukturovaného textu je obdobou vyšších programovacích jazyk pro PC (nap . Pascalu nebo C). Umož uje úsporný a názorný zápis algoritm . Programovací a vývojové prost edky. K zadání a lad ní uživatelského programu slouží programovací p ístroje. Tradi n byly ešeny jako specializované p ístroje v kuf íkovém nebo p íru ním provedení. V sou asné dob se pro komfortní programování používají výhradn po íta e standardu PC. Programovací p ístroje (vývojové systémy, vývojová prost edí) umož ují zápis programu, jeho opravy, p eklad ze zdrojové formy do kódu PLC a lad ní programu s reálným PLC. N které vývojové systémy dovolují i p enos programu z PLC do programovacího p ístroje a jeho zp tné p eložení. Pro úplnost uve me, že na našem trhu je možno se nej ast ji setkat s programovatelnými automaty t chto nejvýznamn jších sv tových výrobc ( azeno abecedn ): ABB, Allen-Bradley, B+R, Eberle, Festo, GE, H+B, Idec, Klockner Moeller, Matsushita, Mitshubishi, Omron, Saia, Siemens, Schneider Group a eského výrobce Teco. V detailech se jednotlivé t ídy systém a jejich p edstavitelé liší, zp soby použití a aplika ní možnosti jsou však srovnatelné.
28
Kontrolní otázky 1. Jaké znáte logické funkce jedné a dvou prom nných? Které z t chto funkcí se prakticky využívají? 2. Jaké jsou algebraické zápisy základních logických funkcí a jejich schématické zna ky pro bloková schémata? 3. S jakými funkcemi realizuje logické obvody Booleova algebra, NAND algebra a NON algebra? 4. Zopakujte si základní pravidla pro výpo ty v Booleov algeb e. 5. Uve te oba De Morganovy zákony. 6. Zadejte si logické funkce podobné jako v p íkladech 2.1-4 a prove te minimalizaci t chto vámi zadaných funkcí na základ pravidel Booleovy algebry. 7. Pojednejte o základních ty ech možných zp sobech vyjád ení Booleovských funkcí. 8. Zadejte si pravdivostní tabulkou jednu funkci t í a jednu funkci ty prom nných a vyjád ete ji t emi zbylými zp soby. 9. Zadané funkce z p edchozího p íkladu minimalizujte použitím Karnaughovy mapy. 10. Jaká je základní vlastnost Karnaughovy mapy a jak se tato vlastnost využívá pro minimalizaci logických funkcí? 11. Jaká jsou základní pravidla pro minimalizaci logických funkcí Karnaughovými mapami? 12. Zadané funkce z p íkladu 8 a minimalizované v p íkladu 9 p eve te na takový tvar, který je možno realizovat prvky NAND nebo prvky NOR. 13. Nakreslete bloková schémata k t mto funkcím z možností realizace použitím Booleovských prvk , prvk NAND nebo prvk NOR. 14. Jak lze pomocí prvk NAND i NOR realizovat negaci? 15. Jaký je rozdíl mezi kombina ními a sekven ními logickými obvody? 16. ešte p íklady 2.8-12, p ípadn si vymyslete podobné p íklady, na kterých lze demonstrovat použití logických funkcí a logických obvod pro automatizaci. 17. Jaké je použití programovatelných automat ? Co znamená zkratka PLC? 18. Jaké vstupy a výstupy mohou mít programovatelné automaty? 19. Jaké jsou možné zp soby programování programovatelných automat ?
29
3. SPOJITÉ LINEÁRNÍ ÍZENÍ 3.1 Úvod ízení se zp tnou vazbou se nazývá regulace. Úkolem regulace je nastavení technických veli in (teplota, tlak, otá ky, …) na požadovanou hodnotu a udržovat je na této hodnot i p i p sobení poruch. Regulace se uskute uje v regula ním systému zvaném regula ní obvod. Nejjednodušším p íkladem regula ního obvodu je nap . regulace ídicí výšky hladiny v nádrži s p ítokem a veli ina odtokem podle obr. 3.1. V regula ním obvodu se výrazn rýsují dv ásti: u ak ní y veli ina regulátor neboli ídicí systém a regulovaná soustava, neboli ízený regulovaná systém. Regulátor je za ízení, které veli ina uskute uje regulaci a které je za tímto ú elem úmysln sestrojeno. V našem p ípad je to plovák, který zjiš uje stav hladiny a p es pákový Obr. 3.1 p evod pohybuje ventilem, regulujícím odtok (plovák, pákový p evod a ventil tvo í regulátor). Regulovaná soustava je objektem regulace – je regulátorem regulována (respektive n která její veli ina). V našem p ípad je regulovanou soustavou nádrž s hladinou v etn p ítoku a odtoku. v
poruchová veli ina
w
Veli ina, jejíž hodnota je výstupem z regulované soustavy a jež se regulací udržuje na požadované hodnot , se nazývá regulovaná veli ina a ozna uje se symbolem y. V našem p ípad je to výška hladiny, ale jako regulované veli iny mohou být nejr zn jší fyzikální veli iny jako teplota, tlak, poloha, rychlost, pH, elektrické nap tí, chemické složení, pr tok atd. ídicí veli ina w (v našem p ípad poloha šroubu s ru ním kolem) je veli ina, pomocí které nastavujeme hodnotu, kterou má dosahovat regulovaná veli ina. Ur uje tedy vždy žádanou hodnotu regulované veli iny (p edepsanou hodnotu, na které se má regulovaná veli ina udržovat). Pokud je ídicí veli ina zadávána lov kem, je to obvykle poloha nastavovacího prvku (potenciometru, ovládací pá ky i kole ka). V automatických provozech, ve kterých je regula ní obvod napojen na vyšší systém ízení, to m že být elektrické nap tí nebo jiná veli ina, p enášející informaci. V regula ním obvodu se hodnota regulované veli iny trvale m í a porovnává se žádanou hodnotou, kterou je ídicí veli ina a vytvá í se rozdíl e=w–y
(3.1)
který se nazývá regula ní odchylka e. Jakmile je rozdíl mezi regulovanou veli inou a její požadovanou hodnotou, má regula ní odchylka nenulovou hodnotu a regulátor provádí ak ní zásah. Vytvá ení odchylky e se v našem p ípad d je v diferen ním lenu, kterým je páka plováku. Do regula ního procesu je t eba zasahovat tak, aby se regula ní odchylka e udržovala minimální nebo nulová. To se uskute uje výstupní veli inou regulátoru, která je vstupní veli inou regulované soustavy – je to tzv. ak ní veli ina u. P itom regulátor musí být tak
30
zapojen, aby ak ní veli ina zmenšovala regula ní odchylku. V našem p ípad je ak ní veli inou otev ení i uzav ení regula ního ventilu v odtokovém potrubí. Všimn te si správného zapojení regulátoru: když se zvyšuje hladina – zv tšuje se regulovaná veli ina a vzniká regula ní odchylka v jednom sm ru – p sobí regulátor otev ení odtoku a tudíž snižování hladiny – zmenšování regulované veli iny a zmenšování odchylky. A naopak. P í inou, pro musíme regulovat, jsou poruchy – poruchové veli iny v1, v2, … Poruchové veli iny nežádoucím a nep edvídatelným zp sobem p sobí na regulovanou soustavu a ovliv ují regulovanou veli inu. V našem p ípad je poruchovou veli inou každá zm na p ítoku do nádrže, nap . zvýšení tlaku v p ívodním potrubí.. Nebo je poruchou ucpání odtokového potrubí apod. Pr b hy všech veli in svázané s regulací se odehrávají v ase; nás tyto asové pr b hy y(t), w(t), u(t), v1(t), v2(t), … zajímají, protože charakterizují regula ní proces. P i tomto ozna ování veli in poruchové v1(t) m žeme regula ní obvod – regula ní v2(t) systém – znázornit blokovým veli iny regulovaná schématem podle obr. 3.2. y(t) V blokových schématech se regulovaná soustava veli ina jednotlivé leny obvodu nebo i jejich ( ízený systém) u(t) skupiny (nap . celý regulátor) znázorní obdélníky a vzájemné ak ní ídicí p sobení mezi t mito leny – tedy veli ina veli ina e(t) jednotlivé veli iny obvodu – regulátor spojovacími arami. P sobení je ( ídicí systém) w(t) vždy v jednom sm ru a proto regula ní v blokových schématech ozna ujeme odchylka i smysl tohoto p sobení – sm r Obr. 3.2 ší ení signálu – šipkou. Kroužky nám ozna ují místa, v nichž se signály s ítají, jsou to tzv. sou tové (eventuáln rozdílové) leny. Vy ern ná ást znamená ode ítání signálu. Nap . v schématu na obr. 3.2 je regula ní odchylka dána vztahem (3.1). Odbo ení signálu nebo jeho rozdvojení ozna ujeme arou spojenou s druhou arou te kou (signál se rozdvojením nem ní, nezmenšuje – v obou v tvích je stále stejná hodnota informace). ídicí regula ní veli ina odchylka w(t)
e(t)
y(t)
poruchové v1(t) veli iny regulátor ( ídicí systém)
u(t) ak ní veli ina
v2(t)
regulovaná soustava ( ízený systém)
regulovaná veli ina y(t)
Obr. 3.3
Jiný možný zp sob blokového znázorn ní téhož základního typu regula ního obvodu je na obr. 3.3. N kdy se používá schéma podle obr. 3.2, n kdy podle obr. 3.3. Je to p esn týž obvod, blokové schéma má jenom jinou formu – jde o jiný zp sob kreslení téhož obvodu. Je to
31
spíš otázka zvyku, n kdy i názornosti, jestli se m ní veli ina w (rad ji se použije schéma podle obr. 3.3) nebo v (rad ji obr. 3.2). Podle závislosti regulované veli iny rozeznáváme n kolik druh regulace. V praxi je nej ast jší p ípad regulace na konstantní hodnotu. P i ní se regulovaná veli ina udržuje na konstantní hodnot – zde je w = konst i y = konst. Je to nap . regulace teploty v místnostech, otá ek stroj anebo již vzpomenutá a uvád ná regulace výšky hladiny. U tohoto typu regulace je zvlášt d ležitá kompenzace vlivu poruchových veli in. Kdyby nebylo poruchových veli in, nic by se v podstat ned lo a nemuselo by se regulovat (krom ob asné zm ny požadované hodnoty regulované veli iny). Programová regulace. Je to taková regulace, kde požadujeme, aby se regulovaná veli ina m nila v p edepsaných velikostech v p edepsané asové závislosti – regulovaná veli ina je funkcí asu w = f(t) i y = f(t). P íkladem je regulace teploty v pecích, kde se teplota musí podle asového programu m nit. Vle ná regulace. Je to regulace, p i níž se regulovaná veli ina m ní v závislosti na jiné vn jší fyzikální veli in . Hodnota regulované veli iny má zm ny této vn jší veli iny rychle a p esn sledovat. Matematicky vyjád eno w = f(A), y = f(A), kde A je práv onou vn jší veli inou. P íkladem je dávkování chemikálie do vody, kdy požadujeme zm nu množství dávkované chemikálie v závislosti od okamžitého pr to ného množství vody.
Zvláštním p ípadem vle né regulace jsou servomechanismy. U nich se ídicí veli ina nem ní v závislosti na jiné fyzikální veli in , ale je m n na bu to ru n anebo n jakým za ízením. Regulovaná veli ina ji pak v rn a p esn sleduje. P íkladem takového servomechanismu je posilova ízení v automobilech, ovládání kormidel v lodích i letadlech apod. U servomechanism ovšem není rozd lení regula ního obvodu na regulátor a regulovanou soustavu.
3.2 Laplaceova transformace 3.2.1 P ímá a zp tná transformace Laplaceova transformace je matematický aparát, který umož uje pom rn snadno ešit úlohy spojité lineární regulace. Zavedl ji v roce 1820 francouzský matematik Laplace a umožnila mu výhodn ešit diferenciální rovnice. Jak se brzy dozvíme, transformací diferenciální rovnice dostaneme algebraickou rovnici. Jestliže tuto vy ešíme a provedeme zp tnou transformaci ešení, získáme hledané ešení p vodní rovnice.
Význam použití Laplaceovy transformace v teorii regulace je však hlubší. S její pomocí m žeme totiž velmi jednoduše popsat lineární spojité regula ní systémy místo diferenciálních rovnic tzv.p enosy. U nich je zvlášt výhodné, že z p enos jednotlivých ástí m žeme velmi jednoduše vypo ítat p enos celého systému nebo obvodu. Pojem transformace funkce znamená, že každé funkci f(t) z jedné množiny prom nné t p i adíme funkci F(s) z množiny funkcí komplexní prom nné s – obr. 3.4. (Všimn me si
32
p ímá transformace
L Množina obraz F(s)
Množina originál f(t)
L-1 asová oblast
zp tná transformace oblast s Obr. 3.4
podobnosti této definice s definicí funkce y=f(x), která íká, že funkce je p i azení, které k nezávisle prom nné x z jedné množiny, p i azuje závisle prom nnou y z jiné množiny). U pojmu transformace p i adíme tzv. originálu (zde funkci asu t) ur itým p edpisem tzv. obraz (je funkcí komplexní prom nné s). Transformace originál obraz je p ímá transformace. Existuje samoz ejm k ní zp tná transformace, tedy transformace obraz originál, která k obrazu F(s) p i azuje op t originál f(t). Z možných transformací je v regula ní technice pro spojitou regulaci používána práv transformace Laplaceova, která je definována vztahem F s
st
f te
(3.2)
dt
0
Laplaceova transformace L p i azuje funkci f(t) pro as t 0 funkci F(s), což symbolicky zapisujeme vztahem (3.3)
Lf t F s Naopak se zp tná transformace dá symbolicky zapsat vztahem
(3.4) f t L1 F s Tato zp tná transformace se m že provést vztahem pro výpo et originálu k danému obrazu 1 F s e st ds 2 jc
f t
(3.5)
což znamená vy íslování k ivkového integrálu po uzav ené k ivce c, která v sob uzavírá všechny singulární body funkce F(s).Toto vy íslování je možné residuovou v tou, ale v tšinou se nepoužívá a v praxi se zp tná transformace provádí použitím slovníku Laplaceovy transformace, o kterém bude e dále. P íklad 3.1: Ur ete Laplaceovy obrazy následujících funkcí
a) b) ešení: a) F s
e
at
e st dt
0
at.e st dt
b) F s 0
e at at
f t f t e
a s t
kde v obou p ípadech je a daná konstanta 1
dt
a
0
integrace per partes
integrace : per partes
a
t e s
uv dt
st
s
a 0
uv
e
1
a s t 0
s
1 st e dt s 0
u vdt
a
a te s
st
0
u t u
1
v v
a e s2
e st 1 e s
st
0
0
a s2
st
P i hledání obrazu k dané funkci neprovádíme integraci podle definice (3.2), a tím mén p i zp tném hledání originálu k danému obrazu podle vztahu (3.4). To by bylo p íliš pracné a n kdy i velmi obtížné. B žn používáme tzv. slovník Laplaceovy transformace, kde máme se azeny funkce f(t) na levé stran a obrazy t chto funkcí F(s) na pravé stran . Takový
33
slovník pouze t ch nejd ležit jších a nejpoužívan jších funkcí je v tab. 3.1. V n m vidíme nap . námi v p íkladu 3.1 spo ítané obrazy funkcí f(t)=e-at a f(t)=at. f(t)
F(s)
1
(t)
1
2
(t)
1 s
3
a
a s
4
t
1 2 s
5
2
t
e-at
7
1 1 e a
at
s( s
9
cos bt at
e
a)
c) F s
b2
d) F s
b s
2
s
2
s
bt
b) F s
1
b2
b a s a s b
Tab. 3.1 Slovník Laplaceovy transformace
zp tnou
Laplaceovu
2 ss 1 5 s 3 s 8 3s 1 s 2 s 3 s 7 10 s 2 s 25
a) F s
s a
sin bt
e
P íklad 3.2: Prove te transformaci funkcí
1
8
10
Rozklad v parciální zlomky lze provád t obvyklou z matematiky známou metodou neur itých sou initel , která je dosti pracná. Nebo je možno použít v publikacích z regula ní techniky asto uvád nou metodu Heavisidova rozvoje.
2 s3
6
P i provád ní zp tné transformace (hledání f(t) k danému F(s)) se b žn vyskytuje funkce F(s) jako zlomek – racionální lomená funkce. Takovou funkci samoz ejm nenajdeme ve slovníku a proto ji musíme rozložit nejprve v parciální zlomky a teprve pak k nim najít ve slovníku originál.
ešení: S použitím slovníku v tab. 3.1 je
a) f t
21 e
b) f t
L1
c) f t
L1
d) f t
t
1
1
s 3
s 8
1
2
1
s 3
s 7
s 2 10 cos 5t
e
3t
e
8t
e
2t
2e
3t
3.2.2 Hlavní v ty transformace V ty, které budou v dalším textu uvád ny, jsou podávány bez d kaz , které je možno najít v literatu e. Všechny vychází z toho, že F(s)=L f(t) eventuáln G(s)=L g(t) L af t
V ta o linearit
Lf t
V ta o obrazu derivace n-té derivace
34
bg t
L f (n) t
s nF s
s n 1f 0
aF s sF s
bG s
(3.6)
f 0
sn 2f 0
(3.7) ... f
n 1
0
(3.8)
e
7t
3.3 Statické a dynamické vlastnosti regula ních len Zatím se stále zabýváme regula ními leny s jednou vstupní a jednou výstupní veli inou – obr. 3.5. K obecn jším len m a systém m se dostaneme v n kterých dalších kapitolách. Vstupní veli inu budeme ozna ovat u(t) a výstupní veli inu y(t).
u(t) vstupní veli ina
Vlastnosti regula ních len m žeme posuzovat bu v ustáleném stavu a pak mlu-
regula ní len (regula ní systém)
y(t) výstupní veli ina
Obr. 3.5
víme o statických vlastnostech nebo p i zm nách vstupních i výstupních veli in a to pak mluvíme o dynamických vlastnostech regula ních len nebo systém . Statické vlastnosti regula ních len se nej ast ji vyjad ují statickou charakteristikou, což je závislost mezi výstupní veli inou v ustáleném stavu a vstupní veli inou v ustáleném stavu
u
y
lim u t t
y
lim y t t
(3.9)
Znamená to, že p i snímání statické charakteristiky musím vždy po kat na ustálení jak vstupní tak výstupní veli iny a tyto ustálené hodnoty vynášet do grafu, kde je na vodorovné ose vstupní veli ina u a na svislé ose výstupní veli ina y – obr. 3.6. To ustálení znamená, že musí prob hnout p echodový d j a pak teprve ode teme p íslušnou hodnotu vstupní nebo výstupní veli iny, tedy do charakteristiky bereme hodnoty u=u( ), y=y( ).
y = y( )
u = u( )
U lineárního lenu je statická charakteristika p ímková, lineární. Jakmile statická charakteristika Obr. 3.6 Statická charakteristika není p ímka, jedná se o nelineární len. Zatím se v dalším budeme zabývat pouze lineárními leny, lineárními systémy. Obecn platí, že lineární systém má všechny leny lineární, jeden nelineární len by zp sobil, že celý systém je a chová se jako nelineární. u
Vzhledem k tomu, že v regulaci nám nejde o ustálený stav, ale o pr b h p echodného d je, budeme se v dalším zajímat o dynamické vlastnosti regula ních len a regula ních systém . Dynamické vlastnosti systému lze popsat v podstat dv ma r znými, navzájem zcela odlišnými zp soby vn jší popis systému dynamické vlastnosti systému charakterizuje vnit ní popis systému Vn jší popis systému vyjad uje dynamické vlastnosti systému pouze pomocí vztahu mezi výstupní a vstupní veli inou. P i vn jším popisu považujeme systém za ernou sk í ku („black box“) se vstupem a výstupem. Nezajímá nás obsah této sk í ky, nezajímá nás fyzikální realizace a konstrukce pro tento popis nemusí být ani známa. Systém zkoumáme pouze pomocí reakce výstupu na vstupní podn ty. P itom neznáme a nezajímají nás fyzikální d je, které uvnit sk í ky probíhají.
35
Vnit ní popis systému pracuje s pojmem stav systému. Je to vyjád ení dynamických vlastností systému vztahy mezi vstupem, výstupem a stavem systému. Ze zkušenosti je p ece známo, že výstupní veli ina obecného systému nezávisí pouze na vstupní veli in , ale také na po áte ních podmínkách systému na za átku d je. Tyto po áte ní podmínky tvo í p ibližn po áte ní stav systému. Pro zavedení vnit ního popisu systému musíme znát jeho strukturu a veškeré fyzikální nebo chemické pochody, které v n m probíhají. Z toho je z ejmé, že je dokonalejší než popis vn jší. Je vyjád en stavovými rovnicemi ve stavovém prostoru a bude o n m mluveno až v dalších kapitolách. V této kapitole se dále budeme zabývat popisem dynamických vlastností lineárních spojitých regula ních len nebo systém , a to použitím metod vn jšího popisu. Jsou to klasické metody regula ní techniky. Jsou omezen jší než vnit ní popis, ale jejich výhodou je jednoduchost a okolnost, že vn jší popis m žeme získat rozborem experimentáln získaných pr b h vstupních a výstupních veli in.
Zp soby vn jšího popisu – závislosti mezi vstupem a výstupem systému – jsou: diferenciální rovnice systému p enos impulsní funkce a charakteristika p echodová funkce a charakteristika frekven ní p enos frekven ní charakteristiky
3.4 Diferenciální rovnice systému a p enos Lineární spojitý systém nebo regula ní len se vstupem u(t) a výstupem y(t) podle obr. 3.7 je obecn popsán diferenciální rovnicí
an y (n) an 1 y (n
1)
... a1 y
a0 y
bmu (m) ... b1u
b0 u
(3.10)
kde ai, bi jsou konstantní koeficienty. Jak poznáme v dalším, nelze prakticky realizovat systém, jehož výstupní signál by byl prvou derivací (nebo dokonce vyšší derivací) vstupního signálu (nap . kdyby m l rovnici y=ku : abychom mohli Obr. 3.7 vstupní signál derivovat, museli bychom dop edu znát jeho pr b h a ten neznáme). Proto v rovnici (3.10) musí být vždy spln na podmínka fyzikální realizovatelnosti u(t)
S
y(t)
m
n
(3.11)
po áte ní podmínky
Stupe nejvyšší derivace výstupní veli iny je vždy vyšší nebo roven stupni nejvyšší derivace vstupní veli iny. ád diferenciální rovnice n (nejvyšší derivace výstupní veli iny y(t) ) udává ád systému. Tato rovnice nám umož uje ur it pr b h odezvy systému i regula ního lenu. Jestliže známe pr b h vstupního y u signálu u(t), m žeme dosazením ho do t t této rovnice a jejím vy ešením spo ítat vstupní diferenciální výstupní pr b h výstupu y(t) – obr. 3.8. Mimo funkce funkce rovnice systému pr b h vstupního signálu musíme znát také po áte ní podmínky y(0), y (0), … Obr. 3.8
36
y(n-1)(0) – obecn celkem n-po áte ních podmínek. Zde mluvíme n kdy o obecném systému, n kdy o regula ním lenu. M že to být jak díl í regula ní len, tak regulovaná soustava i regulátor, které jsou v tšinou složeny z n kolika díl ích regula ních len . Diferenciální rovnici systému (regula ního lenu) získáváme obvykle tak, že uvedeme fyzikální vztahy a zákony v systému a vyeliminujeme všechny veli iny mimo vstupní a výstupní. V mechanických soustavách asto vysta íme s dynamickou rovnováhou sil. P ejdeme k p enosu, který je nej ast ji užívaným zp sobem popisu lineárních regula ních systém a zejména regula ních len . Je definován jako pom r Laplaceova obrazu výstupní veli iny ku Laplaceovu obrazu vstupní veli iny p i nulových po áte ních podmínkách
Gs
Lyt Lut
Y s U s
(3.12)
Máme-li regula ní len daný diferenciální rovnicí obecn ve tvaru (3.10), je možno pom rn snadno odvodit d ležitý vzorec pro výpo et p enosu z diferenciální rovnice
bm s m ... b1 s b0 an s n ... a1 s a0
Gs
(3.13)
Z podmínky fyzikální realizovatelnosti (3.11) plyne, že stupe polynomu v itateli musí být menší nebo roven stupni polynomu ve jmenovateli p enosu G(s). Ješt je dobré si všimnout, že vzorec má na rozdíl od definice p enosu v itateli polynom, utvo ený z koeficient vstupní funkce v diferenciální rovnici a ve jmenovateli polynom utvo ený z koeficient výstupní funkce. Vždy p íslušná derivace v diferenciální rovnici odpovídá p íslušné mocnin komplexní prom nné s. P íklad 3.3: Utvo te p enos systému, je-li dána jeho diferenciální rovnice a) y
4y
b) 10 y c) y
5y
0,5y
2y
6u
3u
ešení:
a) G s b) G s
u
4u
c) G s
6s 3 s 4 s 2 0,5s 2 1 0,2 2 10 s 5s s 2 s 1 4 3
P íklad 3.4: K danému p enosu napište diferenciální rovnici systému a) G s b) G s
7s 2 6s 2 s 3 5s 2 2 s 8 3s 2 s s 0,5
ešení:
a) y
5y
2y
8y
b) y
y
0,5y
3u
7u
6u
2u
Vedle základního tvaru (3.13) m žeme p enos upravit ješt do dvou b žn používaných tvar
37
póly p enosu
nuly p enosu p enos s vyjád enými nulami a póly
Gs
p enos s asovými konstantami
Gs
s n1 s n2 ... s nm s p1 s p2 ... s pn
(3.14)
s 1 2 s 1 ... m s 1 T1 s 1 T2 s 1 ... Tn s 1
(3.15)
k K
1
asové konstanty p enosu
V prvním p ípad (3.14) rozložíme polynom v itateli i ve jmenovateli p enosu G(s) v sou in ko enových initel . Ko eny itatele se nazývají nuly p enosu a ko eny jmenovatele póly p enosu. Jejich rozložení v komplexní rovin ur uje vlastnosti systému. Ve druhém p ípad (3.15) je itatel i jmenovatel p enosu upraven do zvláštního tvaru, kde koeficienty u s jsou asové konstanty p enosu a mají rozm r asu. Platí pro n i
1 ni
Ti
(3.16)
1 pi
(3.17)
P íklad 3.5: Systém je dán diferenciální rovnicí
a) 4 y 20 y 16 y 3u 15u b) y 3 y 2 y 2u 6u
18u
Spo ítejte p enos a vyjád ete ho ve všech t í tvarech (základní tvar, s vyjád enými nulami a póly a s asovými konstantami). ešení: Základní tvar
a) G s
3s 2 15s 18 4s 2 20 s 16
b) G s
2s 6 s 3s 2 2s 3
Tvar s vyjád enými nulami a póly a) G s
3s 2 s 3 4s 1 s 4
b) G s
2
s 3 ss 1 s 2
Tvar s asovými konstantami a) G s
3 2 0,5s 1 3 0,33s 1 4 s 1 4 0,25s 1
b) G s
2.3 0,33s 1 s s 1 2 0,5s 1
3
9 0,5s 1 0,33s 1 8 s 1 0,25s 1
0,33s 1 s s 1 0,5s 1
Z definice p enosu (3.12) je z ejmé, že známe-li vstupní signál systému u(t), respektive jeho obraz U(s) m žeme z p enosu G(s) ur it odezvu y(t) systému na libovolnou zm nu vstupní veli iny u(t). A to je jedna ze základních úloh regulace. Protože p enos G(s) je definován za p edpokladu nulových po áte ních podmínek, je i obraz odezvy možno spo ítat pouze za p edpokladu nulových po áte ních podmínek. (Samoz ejm , že je možno odvodit obdobný, o n co složit jší vzorec za p edpokladu nenulových po áte ních podmínek.)
38
Y s
(3.18)
G s .U s
Ze vztahu (3.18) pak plyne, že originál odezvy je dán zp tnou Laplaceovou transformací
P íklad 3.6:
(3.19)
L 1 G s .U s
yt
s na vstupní 2s 1 veli inu u(t), kterou je lineárn rostoucí funkce u(t)=t pro t 0.
Stanovte odezvu regula ního lenu o p enosu
u(t)
Gs
u(t)=t
s 2s 1
y(t)
y(t)=1-e-0,5t
Obr. 3.9
a obraz odezvy pak je
Y s
a odezva
yt
L1
1 s
G sU s 1 s 0,5
Gs
ešení: Existuje jedna po áte ní podmínka u(0)=0 a ta je nulová. Obraz vstupní veli iny je podle slovníku Laplaceovy transformace 1 U s s2 s 1 1 1 1 2 2s 1 s s 2 s 1 s s 0,5
1 e
0,5t
jak ukazuje obr. 3.9.
3.5 Impulsní funkce a charakteristika Impulsní funkce je odezva systému na jednotkový (Dirac v) impuls (t) na vstupu systému a zna íme ji g(t) – obr.3.10. Její graf je impulsní charakteristika.
Jednotkový (Dirac v) impuls (t) je „funkce“, která se jeví jako nekone n krátký impuls o nekone n velké amplitud , jehož plocha je rovna jedné a Laplace v obraz se rovn ž rovná jedné pro t 0 (t) (3.20) 0 pro t 0 y(t) g(t) u(t) (t) t dt
1
t
(3.21) u
L
t
1
(3.22)
S
t
1
0
t t t
Obr. 3.10
P ibližn si ho m žeme p edstavit podle obr. 3.10 jako velmi úzký pravoúhlý impuls ší ky t a výšky 1/ t v za átku sou adnic. Prakticky p ivedeme na vstup nap . velmi krátký impuls velkého nap tí. V praxi je tedy možné ho realizovat impulsy kone n malé ší ky a kone n velké amplitudy. Pak je ho možno snímat experimentáln . Experimentální zjiš ování impulsní charakteristiky se více používá u elektrických prvk než u mechanických. Jak ale spo ítáme impulsní funkci když známe diferenciální rovnici systému anebo jeho p enos? Za neme tím d ležit jším a to je, jak získáme impulsní funkci, známe-li p enos systému. Dosadíme-li do definice p enosu (3.12) za vstupní veli inu u(t) jednotkový impuls (t), jehož obraz je podle (3.22) roven jedné, je výstupní veli ina y(t) podle definice impulsní funkce
39
rovna práv této funkci Jak je vid t z obr. 3.11, je impulsní funkce dána zp tnou transformací p enosu G(s) . Mezi impulsní funkcí a p enosem je tedy vztah jako mezi originálem a obrazem v Laplaceov transformaci (proto na výstupu g(t) také zna ení impulsní y(t)=g(t) G(s)=L g(t) funkce písmenem g definice stejn jako p enos) p enosu Lyt Gs Lut gt L1 Gs (3.23) g(t)=L-1 G(s) obraz (t): L (t) =1 vztah pro g(t) z p enosu Odpov na u(t)= (t) otázku – jak spo ítáme na vstupu (t) impulsní funkci, když je Obr. 3.11 dána diferenciální rovnice systému – je následující: p edevším odpovíme tak, že rad ji p evedeme diferenciální rovnici na p enos a známým zp sobem z n ho impulsní funkci ur íme. Pokud ale chceme p ímý p evod diferenciální rovnice na p enos, je to také možné. Do diferenciální rovnice dosadíme za vstupní funkci u(t) jednotkový impuls (t), rovnici vy ešíme a její ešení y(t) je impulsní funkce g(t). Ovšem ešení této rovnice není snadné, protože se tam vyskytují derivace vstupní funkce – v tomto p ípad (t). Je vhodné pro ešení rovnice použít Laplaceovu transformaci, protože obraz (t) je známý a obrazy jeho derivací se ur í pomocí v ty o obrazu derivace. Každopádn se tímto problémem nebudeme zabývat a rad ji se mu vyhneme p evedením diferenciální rovnice na p enos. P íklad 3.7: Ur ete impulsní funkci a nakreslete impulsní charakteristiku pro regula ní leny o p enosu
a) G s
1,5 s
b) G s
0,5 s2
c) G s
1 s 2s 1
d) G s
1 s
2
ešení:
a) g t
L1 1
b) g t
L
c) g t
L1
d) g t
L1
1,5 s 0,5 s2
1,5
1,5
s 2
a) b)
1 0,5t
0,5
1 s 2s 1 1
g(t)
L1 e
1 s
1 s 0,5
1 e
d)
0, 5t
0
c)
1
2t
t[s] 2
3
4
5
Obr. 3.12
Impulsní charakteristiky jako grafy impulsních funkcí jsou na obr. 3.12.
3.6 P echodová funkce a charakteristika P echodová funkce je odezva systému na jednotkový skok (t) na vstupu a zna íme ji h(t) – obr. 3.13. Její graf je p echodová charakteristika.
40
1
u(t)
(t)
y(t) h(t)
t
t
S
Jednotkový skok je funkce, která do asu t=0 má nulovou hodnotu a v tomto ase sko í její hodnota na jednotku, kterou pak stále udržuje – obr. 3.13. Zna íme ji symbolem (t) a její matematické vyjád ení je
1 t 0 (3.24) 0 t 0 Nejv tší význam p echodových funkcí i charakteristik je v tom, že je lze velmi snadno získat experimentáln . Na p íklad ponecháme-li teplom r se ustálit v chladné vod o dané teplot a potom jej rychle p endáme do teplé vody a zapisujeme asový pr b h teploty kterou ukazuje; získáme p echodovou charakteristiku (protože ale h(t) skok nebyl jednotkový, ale 70 krát v tší, musíme její [°] pr b h tj.m ítko pod lit 70 (laboratorní úloha – viz 90° obr. 3.14). Nebo jiný p íklad p echodové t[s] charakteristiky je rychlé zatížení motoru (nap . 20° 20° 90° spalovacího, elektromotoru, … ) zát ží p es spojku. Otá ky motoru za nou klesat a jejich pr b h je Obr. 3.14 p echodová charakteristika daného motoru. t
Obr. 3.13
P echodové charakteristiky se mimo jiné využívají k identifikaci systém , u nichž neznáme dob e jejich dynamické vlastnosti a kde selhává jiný zp sob jejich identifikace. Vztah mezi p echodovou funkcí a ostatními druhy popisu (diferenciální rovnicí, p enosem, impulsní funkcí):
Známe-li diferenciální rovnici systému, získáme p echodovou funkci (myslí se p ímo, bez p evodu na p enos) tak, že za vstupní funkci u(t) dosadíme do rovnice jednotkový skok (t) (respektive jednotku). Rovnici vy ešíme (po áte ní podmínky vychází z toho, že za átek d je je L na výstupu h(t) definice p enosu
Gs
y(t)=h(t)
Lyt Lut u(t)= (t)
t
1 obraz (t) s 1 G(s)= s.H(s) G(s)= H(s) s podle v ty o podle v ty o obrazu integrálu obrazu derivace
1 G(s)= L h(t) s
h(t)=L-1 G s s
ht
vztah pro h(t) z G(s)
t 0
g t dt
vztah pro h(t) z g(t)
gt
dh t dt
vztah pro g(t) z h(t)
na vstup (t) Obr. 3.15
v ase t=0) a ešení y(t) rovnice je p echodová funkce h(t). Je-li znám p enos systému G(s) dosadíme podle obr. 3.15 do jeho definice (3.12) za 1 vstupní veli inu u(t) jednotkový skok (t), jehož Laplace v obraz je L (t) = a na výstupu s systému pak dostáváme p echodovou funkci h(t). Podle obr. 3.15 platí
41
Gs s
L1
ht
(3.25)
Tímto stejným postupem (obr. 3.15) m žeme odvodit i vztahy pro získání p echodové funkce z impulsní funkce (3.26) a pro získání impulsní funkce p i znalosti p echodové funkce (3.27) t
ht
g t dt
(3.26)
dh t dt
(3.27)
0 gt
P íklad 3.8: Regula ní len je popsán diferenciální rovnicí
3y
y
2u
Ur ete jeho p echodovou funkci jednak p ímo ešením diferenciální rovnice a jednak p es p enos a k p echodové funkci nakreslete p echodovou charakteristiku. ešení: Za vstupní funkci u(t) dosadíme jednotkový skok, tedy u = 1 pro t rovnici 3y y 2
0. To vede na
kterou budeme ešit. K homogenní rovnici 3 y y 0 je charakteristická rovnice 3 1 0 s ko enem =-0,33 a proto je ešení této homogenní rovnice y Ce 0,33t , kde C je integra ní konstanta. Partikulární integrál má tvar konstanty yP=A a tuto ur íme dosazením do nehomogenní rovnice a vyjde nám yP=2. Takže ešení nehomogenní rovnice je y Ce 0,33t 2 . Nyní už jenom ur íme integra ní konstantu z po áte ní podmínky y(0)=0. D j za íná v ase t=0 a s nulovou po áte ní hodnotou: 0 Ce 0,33.0 2 . Je tedy C=-2 a ešení diferenciální rovnice a tedy h(t) p echodová funkce 2 y (t ) h(t ) 2 1 e 0,33t Druhý zp sob ur ení p echodové funkce je p es p enos. P enos p íslušný dané diferenciální rovnici je 2 Gs 3s 1
1 t[s] 0
Z p enosu ur íme p echodovou funkci vztahem (3.25) s rozložením funkce v parciální zlomky, abychom mohli pomocí operátorového slovníku ur it originál Gs 2 L1 s s 3s 1 P echodová charakteristika je na obr. 3.16. ht
L1
L1
2
42
6
Obr. 3.16
2 s
6 3s 1
21 e
P íklad 3.9: Ur ete p echodovou funkci regula ního lenu s p enosem
Gs
4
1 s 1 s 2 s 3
0 , 33t
ešení: Podle vztahu (3.25) je p echodová funkce
ht
L1
Gs s
L1
1
ss 1 s
L1
2 s 3
1 6s
1 2s 1
1
1
2s
2
6s 3
1 6
1 e 2
t
1 e 2
2t
1 e 6
3t
P íklad 3.10: Ur ete p echodovou funkci a nakreslete p echodovou charakteristiku pro regula ní leny z p íkladu 3.7, jejichž p enosy jsou
a) G s
1,5 s
0,5 s2
b) G s
c) G s
1 s 2s 1
Z vypo tené p echodové funkce ur ete impulsní funkci a porovnejte s výsledky v p íkladu 3.7. ešení: a) h t
L1
1,5 s2
b) h t
L1
0,5 s3
L1
c) h t
s
2
b)
c)
d)
0,5
2 s3
0,25 L 1
0
1 s2
L1
t[s]
0,25t 2
t
1
a)
h(t)
1
1
1,5t
1 2 s 2s 1
1,5
d) G s
2 s
4 2s 1
2 2e
2
1
3
Obr. 3.17
0 , 5t
P echodové charakteristiky jako grafy p echodových funkcí jsou na obr. 3.17.
1 1 0,5 1 e 2t ss 2 2s 2 s 2 Impulsní funkci získáme z p echodové funkce její derivací podle asu – vztah (3.27) L1
d) h t
L1
d 1,5t 1,5 dt d 0,25t 2 0,5t dt
d t 2 2e 0,5t 1 e 0,5t dt d b) g t d) g t 0,5 0,5e 2t e 2t dt Je vid t, že se výsledky takto ur ené impulsní funkce shodují s výsledky, kdy byla impulsní funkce ur ována p ímo z p enosu v p íkladu 3.7. a) g t
c) g t
Rozd lení regula ních len podle p echodové charakteristiky a p enosu P echodové charakteristiky regula ních len se pro as t hodnot , kterou jsme na obr. 3.18 ozna ili h( ) a kterou m žeme ur it podle v ty o kone né hodnot funkce h
lim h t t
lim sH s s
0
lim s s
0
Gs s
lim G s s
0
(3.28)
ustálí na ur ité konkrétní
h (t) h( t
a kde jsme použili vztah pro obraz p echodové funkce z obr.3.15. Dosadíme-li za G(s) základní tvar p enosu (3.13) dostaneme
)
Obr. 3.18
43
h
bm s m ... b1s b0 0 a sn ... a1s a0 n
lim s
b0 a0
(3.29)
Na základ této ustálené hodnoty p echodové charakteristiky m žeme rozd lit regula ní leny na t i základní skupiny – viz obr. 3.19 regula ní leny
h(t)
proporcionální
a0 0; b0 0
h(t) se ustálí na kone né hodnot
deriva ní
a0 0; b0=0
h(t) se ustálí na nule
integra ní (astatické)
a0=0; b0 0
se neustálí
integra ní (astatický)
V tab. 3.2 jsou uvedeny jednotlivé regula ní leny s odpovídajícími p enosy. Tím jsme se seznámili s používanou terminologií (místo „se zpožd ním 1. ádu“, „se zpožd ním 2. ádu“… je možno také používat „se setrva ností 1. ádu“, „se setrva ností 2. ádu“…).
proporcionální
deriva ní
t
Obr. 3.19
len
ideální
proporcio- G s nální deriva ní integra ní
k
se zpožd ním 1. ádu k Gs Ts 1
Gs
ks
Gs
k s Gs
Gs
se zpožd ním 2. ádu k Gs T1 s 1 T2 s 1
obecný bm s m ... b1s b0 an s n ... a1s a0
Gs
ks Ts 1
Gs
ks T1 s 1 T2 s 1
Gs
s bm s m ... b1 s b0 a n s n ... a1 s a 0
k s Ts 1
Gs
k s T1 s 1 T2 s 1
Gs
bm s m ... b1s b0 s an s n ... a1s a0
Tab. 3.2
P enosy regula ních len
P íklad 3.11: Ur ete správný název regula ních len s p enosy
a) G s
2s s 5
b) G s
3 ss 2
2s 1 3s 1 5s 1
c) G s
ešení: a) deriva ní se zpožd ním 1. ádu c) proporcionální se zpožd ním 2. ádu
d) G s
3s
3
2s 5s 2 s 1
b) integra ní se zpožd ním 1. ádu d) deriva ní se zpožd ním 3. ádu
3.7 Frekven ní p enos Frekven ní p enos získáme tak, že na vstup systému p ivedeme harmonický signál. Typickým harmonickým signálem je sinusový pr b h ut amplituda vstupního signálu
44
u0 sin t úhlová frekvence
u(t) u0
y0
t
T u(t)
Na výstupu systému dostaneme podle obr. 3.20 (po odezn ní p echodového jevu) op t sinusový signál ovšem s jinou amplitudou, stejnou úhlovou frekvencí a fázov proti vstupnímu signálu posunutý
y(t) t
T
yt
y(t)
S
y0 sin
t
Výhodn ji se ale jeví vyjád it vstupní i výstupní funkci v komplexním tvaru Obr. 3.20 j t (3.30) u t u0 e ; y t y0 e j t To jsou v komplexní rovin vektory, které se otá í úhlovou rychlostí . Pom r t chto vektor nám definuje frekven ní p enos
y0 e j t u0 e j t
yt ut
G j
y0 j e u0
(3.31)
y0 je pom r amplitud a je fázové posunutí. u0 Nyní si ukážeme souvislost diferenciální rovnice systému a frekven ního p enosu. Vyjdeme-li z obecného tvaru diferenciální rovnice systému (3.10)
kde
an y (n) an 1 y (n 1) ... a1 y a0 y bm u (m) ... b1u b0 u m žeme si podobn jako pro p enos G(s) odvodit výpo tový vztah pro výpo et frekven ního p enosu z koeficient diferenciální rovnice G j
bm j
m
... b1 j
b0
an j
n
... a 1 j
a0
(3.32)
Vztah je formáln stejný jako vztah (3.13) pro p enos G(s), pouze místo komplexní prom nné s v n m figuruje výraz j . Tím je zárove dána relace mezi p enosem a frekven ním p enosem, která spo ívá ve formální zám n s za j eventuáln naopak G j G s pro s j ; G s G j pro j s (3.33) Zavedení frekven ního p enosu má velký praktický význam pro ešení regula ních problém . Frekven ní p enos je základem pro používání frekven ních metod. Znázorn ní frekven ního p enosu ve tvaru frekven ních charakteristik nám umožní ešit otázky stability regula ních obvod , kvalitu regulace i syntézu regula ních obvod . Také je možno používat experimentáln zjišt né a nam ené frekven ní charakteristiky. O frekven ních charakteristikách bude následující kapitola. P íklad 3.12: Systém (regula ní len) je popsán diferenciální rovnicí
a) 5 y 2 y Ur ete jeho frekven ní p enos. ešení:
a) G j
3u
b) 4 y
3 5j
2
3y
b) G j
2y
y
0,5u
2u
0,5 j 4 j
3
3 j
2 2
2j
1
P íklad 3.13: Systém (regula ní len) je popsán p enosem
45
3 s 1 s
a) G s
b) G s
2
5s
3
2s 0,5 4s 2 2s 1
Ur ete jeho frekven ní p enos. ešení:
a) G j
3 j
1 j
2
b) G j
2j 5 j
3
4 j
0,5 2
2j
1
3.8 Frekven ní charakteristika v komplexní rovin Frekven ní charakteristika je grafické vyjád ení frekven ního p enosu G(j ) v komplexní rovin , když za úhlovou frekvenci dosazujeme hodnoty 0 až .
Na základ této Im definice m žeme frekven ní charakteristiku sestrojit jak je nazna eRe no na obr. 3.21. Ovšem p i praktickém sestrojování G(j ) pro frekven ní charakteristiky si frekven ní p enos G(j ) ješt G(j ) pro 0,5 G(j ) v obecném tvaru (p ed dosazením hodnot ) upravíme na složkový Obr. 3.21 tvar komplexního ísla (rozší ením zlomku íslem komplexn sdruženým ke jmenovateli – bude ukázáno na p íkladu 3.14) G(j )=Re G(j ) + j Im G(j ) (3.34) Sestavíme si tabulku, kde k voleným hodnotám na kalkula ce po ítáme hodnotu Re a Im a podle této tabulky pak frekven ní charakteristiku zkonstruujeme. Op t bude demonstrováno na uvedeném p íkladu 3.14. Ješt je možný a asto používaný zp sob konstrukce frekven ní charakteristiky z exponenciálního tvaru komplexního ísla. Z matematiky víme, že komplexní íslo a+jb m žeme vyjád it ve složkovém nebo goniometrickém nebo exponenciálním tvaru (obr. 3.22) b a jb A cos j. sin A.e j kde A a2 b2 a arctg a exponenciální tvar goniometrický tvar složkový tvar a+jb
Im A
b=A sin Re
a=A cos Obr. 3.22
P evod goniometrického na exponenciální tvar je podle Eulerova vztahu e j cos j sin . Upravíme si tedy frekven ní p enos G(j ) na exponenciální tvar G j A .e j (3.35) a podle postupu uvedeného v p íkladu 3.13 spo ítáme do tabulky hodnoty A a pro volené hodnoty a z této tabulky zkonstruujeme frekven ní charakteristiku.
P íklad 3.14: Sestrojte frekven ní charakteristiku systému o p enosu
46
1,5 2 s 3s 1 ešení: Tento p íklad budeme ešit ob ma zp soby konstrukce frekven ní charakteristiky, tzn. jak ze složkového tvaru p enosu tak z exponenciálního tvaru. Nejd íve provádíme konstrukci ze složkového tvaru G(j ). P evedeme ho na tento tvar.Je-li komplexní íslo ve tvaru zlomku, p evádíme ho na složkový tvar rozší ením zlomku íslem komplexn sdruženým ke jmenovateli: Gs
G j
1,5 2 j
2
1,5 1 1 2
3j
2
.
3j
2
1 2 1 2
2
3j 3j
2
1,5 3 1 2
2
2 2
9
j
2
4,5 2 2
1 2
9
2
Hodnoty Re( ) a Im( ) jsou v první ásti tabulky 3.3. Na základ této tabulky je sestrojena frekven ní charakteristika na obr. 3.23. V dalším sestrojíme tutéž frekven ní charakteristiku z exponenciálního tvaru frekven ního p enosu 1,5
G j 1 2
2 2
9
2
j arctg
.e
4,5 1, 5 3
2
Zde jsme první ást výrazu dostali jako A
G j
1 2
1,5
1,5
2
2
3j
1 2
1,5 3j
2
2
1 2 2 3 b a druhou ást výrazu ze složkového tvaru G(j ) užitím vztahu arctg . a Vypo ítané hodnoty A( ) a ( ) jsou uvedeny v druhé ásti tabulky 3.3. Z nich je konstrukce frekven ní charakteristiky op t na obr. 3.23, frekven ní charakteristika se pochopiteln shoduje s p edcházející.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 0,8 1 1,5 2 10
Re( ) 1,5 1,39 1,14 0,83 0,54 0,3 0,01 -0,07 -0,15 -0,16 -0,12 -0,01 0
Im( ) 0 -0,43 -0,74 -0,91 -0,95 -0,90 -0,71 -0,62 -0,45 -0,21 -0,11 -0,01 0
A( ) 1,5 1,46 1,37 1,23 1,09 0,95 0,71 0,62 0,47 0,26 0,16 0,01 0
( ) 0° -17°01 -33°07 -47°40 -60°28 -71°34 -89°27 -96°49 -108°26 -127°52 -139°24 -171°33 -180°
2 1,5 1
Im = 0
Re 0,4
0,8
1
1,4
-0,4
=0
0,1
0,8 0,2
G(j )
-0,8 0,5
Tab. 3.3
0,4
0,3
Obr. 3.23
P íklad 3.15: Sestrojte frekven ní charakteristiky pro systémy s p enosy k k a) G s b) G s ks c) G s d) G s ks a e) G s s s2
k s
a
ešení: Frekven ní p enosy jsou (eventuáln po úprav )
47
a) G j
j
k
b) G j
kj
c) G j
k 2
d) G j
kj
a e)
G j
j
k
a
Odpovídající frekven ní charakteristiky jsou na obr. 3.24. b)
a)
Im Re
c)
Im
Im Re
d) Im a
Re
Obr. 3.24
e)
Im Re
Re
a
Nyní n co o tvaru frekven ních charakteristik. Dá se snadno ukázat, že frekven ní charakteristika proporcionálního lenu se zpožd ním 1. ádu o p enosu
Gs
k T1 s 1 ...
je p lkružnice v kvadrantu Re= + , Im= - . Další proporcionání regula ní leny o p enosech k Gs T1 s 1 T2 s 1 ... mají frekven ní charakteristiky, za ínající ve stejném bod k,0 na reálné ose, kon ící v po átku sou adnicového systému a procházející tolika kvadranty, jaký je ád (jaké je zpožd ní) regula ního lenu – znázorn no na obr. 3.26. Im Gs k Podle p íkladu k 3.17a je frekven ní charakRe teristika ideálního integra ního (astatického) regula ního lenu k Gs záporná Ts 1 imaginární k poloosa. Gs k s Ts 1 Další inteGs gra ní T1s 1 T2 s 1 leny o k Gs p enos k sech Gs T1 s 1 T2 s 1 T3 s 1 k Gs Obr. 3.25 s T1s 1 T2 s 1 ... mají frekven ní charakteristiku za ínající limitn na záporné imaginární poloose, kon ící v po átku sou adnicového systému a procházející podle ádu (zpožd ní) regula ního lenu vždy o jeden kvadrant více než len nižšího ádu – obr. 3.25.
48
Frekven ní charakteristiku lze p irozen zkonstruovat z frekven ního p enosu pro jakýkoliv systém. Ale v tom není hlavní význam frekven ních charakteristik. Frekven ní metody mají p edevším velký praktický význam proto, že je m žeme získat experimentáln – m ením na reálném za ízení. Postup p i experimentálním zjiš ování frekven ní charakteristiky je zhruba tento: na vstup systému p ivedeme sinusový signál (generátor sinusových kmit ) o ur ité frekvenci u u 0 sin t - obr. 3.26
G
U1
m ený objekt G(j )
U2
m ení
zapisujeme pr b h výstupního signálu (osciloskop, zapisova ), až se na výstupu ustálí sinusové kmity y y0 sin t
Obr. 3.26
ze záznamu vstupního a výstupního signálu ur íme pom r amplitud
y0 a fázový posun u0
y0 e j t y0 j e z definice frekven ního p enosu (3.31) G j j t u0 e u0 dostaneme jeden bod frekven ní charakteristiky podle obr. 3.27 zm níme frekvenci vstupního signálu a postup opakujeme pro získání dalšího bodu charakteristiky.
U elektrických a elektronických za ízení se tato úloha jeví jako celkem snadná. Horší je to už u mechanických systém . Ješt bez v tších problém m žeme u Im Re pneumatických systém p ivád t na vstup sinusový signál lad ného tlaku vzduchu. Použijeme totiž elektro-pneumatický p evodník a sinusové kmity (zde a všude u pneumaticko-mechanických systém o poy0 m rn nízkém kmito tu) získáme z elektrického generátoru. Obtížnou u0 ovšem bude úloha pro mechanické systémy, kde musíme vn jšími budícími kmity rozkmitat mechanické za ízení a pak vhodným sníma em Obr. 3.27 m it výstupní kmity.
3.9 Dopravní zpožd ní Zatím jsme mluvili o systémech, u kterých výstup reaguje na vstup bezprost edn – bez zpožd ní. U n kterých systém však práv k takovémuto zpožd ní dochází. Provedeme zm nu na vstupu a na výstupu není žádná odezva. regulátor Teprve po uplynutí ur ité doby – tzv. dopravního zpožd ní TD - se za ne m nit výu-ak ní stupní veli ina. Tento jev se nej ast ji vyveli ina skytuje u n kterých regulovaných soustav, pec y –regulovaná kde se vyskytuje doprava ur itou rychlostí a veli ina po ur ité dráze. Obr. 3.28
P íkladem je pec na obr. 3.28, jejíž sou ástí je palivový pásový dopravník, což m že být p ímo i posuvný rošt cementá ské
49
pece. Ak ní veli inou u je otev ení násypky, odkud palivo padá na pásový dopravník, který je dopravuje do pece. Jestliže regulátor zm ní (p edstavme si nap .skokovou zm nu) hodnotu ak ní veli iny u (to je vstupní veli ina regulované soustavy, u níž se dopravní zpožd ní projevuje), bude se výstupní veli ina regulované soustavy, což je regulovaná veli ina y (teplota v peci), m nit až po ur ité dob . Tato doba je práv doba pr chodu paliva pásovým dopravníkem a nazýváme ji dopravním zpožd ním a ozna ujeme TD. Další typický p íklad regulované soustavy s dopravním zpožd ním máme na obr. 3.29. Jedná se o dávkování chemikálie do užitkové vody. Ak ní veli inou u (vstupní veli ina y-regulovaná u-ak ní soustavy) je otev ení dávkovacího ventilu. veli ina veli ina Když dojde ke zm n ak ní veli iny u, nebude se regulovaná veli ina y (koncentrace regulátor chemikálie v míst m ení) m nit hned, ale sníma až za dobu, kdy voda prote e vzdálenost L ke koncentrace sníma i a to je op t doba dopravního zpožd ní TD. L Obr. 3.29
Z uvedených p íklad je patrno, že dopravní zpožd ní TD u regulovaných soustav je zpožd ná reakce výstupní veli iny (regulované veli iny y) na zm nu vstupní veli iny (ak ní veli ina u).
Další zm ny výstupní veli iny jsou už dány jejím charakterem. P echodová charakteristika soustavy se zpožd ním prvního ádu typická pro soustavy t s dopravním zpožd ním je na obr. 3.30. Z podstaty dopravního zpožd ní plyne, že má negativní vliv na ustálení regula ního pochodu (v dalším budeme íkat na stabiy(t) litu). Nap . p i regulaci pece podle obr. 3.28 dojde ke snížení teploty. Regulátor p estaví klapku násypky, aby t se sypalo více paliva. Ovšem vlivem dopravního zpožTD d ní na pásovém dopravníku p ichází do pece ješt ur itou dobu stejné množství paliva a teplota se proto nezvyObr. 3.30 šuje. Regulátor na to reaguje dalším otevíráním klapky násypky a zv tšením sypaného množství. Tím se ovšem po n jaké dob teplota zvýší neúm rn více než bylo zapot ebí. Pak dochází k obrácenému pochodu a je zpožd no zase zmenšení dodávky paliva pásovým dopravníkem a dojde k neúm rnému snížení teploty v peci. Regulovaná veli ina se t žko ustálí na nastavené teplot (v dalším budeme íkat, že regulace je málo stabilní anebo je nestabilní).
u(t)
Hodnoty dopravního zpožd ní TD mohou být ádov jak sekundy, tak i desítky minut nap . u posuvných rošt cementá ských pecí. Samoz ejm o jejich zanedbatelnosti i nezanedbatelnosti rozhoduje relace mezi TD a ostatními asovými konstantami regulované soustavy. Kdybychom p i výpo tu regula ních pochod zanedbali dopravní zpožd ní tam, kde je ádov srovnatelné s asovými konstantami soustavy nebo je dokonce v tší než jsou asové konstanty, dopustili bychom se velmi podstatné chyby. Diferenciální rovnice systému (3.10) bude platit pro systémy s dopravním zpožd ním ve tvaru
50
an y (n) t
... a1 y t
bmu (m) t TD
a0 y t
... b1u t TD
b0u t TD
(3.36)
a jeho p enos bude bm s m an s n
Gs
... ...
b1 s b0 e a1 s a0
TD s
(3.37)
íkáme, že p enos soustavy s dopravním zpožd ním je roven p enosu téže soustavy bez dopravního zpožd ní, vynásobeného výrazem e TD s . Frekven ní p enos se získá zám nou j za s, tedy G j Gs s=j Platí tedy op t m bm j ... b1 j G j n ... a1 j an j
(3.38) b0 a0
e
j TD
(3.39)
Jak se zm ní frekven ní charakteristika u systému s dopravním zpožd ním oproti systému bez dopravního zpožd ní (TD=0) nám ukazuje obr. 3.31. Frekven ní charakteristiky systém s dopravním zpožd ním se spirálovit otá í kolem po átIm ku, když za átek charakteristiky je stejný jako charakteristiky bez dopravního zpožd ní.
Re
P íklad 3.16: Diferenciální rovnice regul.soustavy je
y
TD=0 TD
5y
4y
y 1,5u
3u
Jak se zm ní rovnice soustavy, jaký bude p enos a frekven ní p enos, když soustava bude mít dopravní zpožd ní TD = 6,5 s ?
Obr. 3.31
ešení:
y t
Gs
s
3
5y t
1,5s 3 e 5s 2 4 s 1
4y t 6,5 s
yt
1,5u t 6,5
G j
j
3
3u t 6,5
1,5 j 5 j
3 2
4j
1
6,5 j
e
P íklad 3.17: Nakreslete p echodovou charakteristiku regulované soustavy o p enosu
Gs
3 e 1 3s
4s
h(t)
ešení: Ur íme p echodovou funkci této soustavy bez dopravního zpožd ní
ht
L1 L
1
1 3 . s 1 3s 3 s
3 s 0,33
3 2 1 0
31 e
0 , 33t
t [s] 2 TD = 4 s
4
6
8
10
Obr. 3.32
P i kreslení p echodové charakteristiky musíme tuto posunout o hodnotu dopravního zpožd ní TD=4 s, jak je provedeno na obr. 3.32.
51
3.10
Bloková algebra
P enos systému nám umož uje vyjád it vztah mezi obrazem vstupní a výstupní veli iny. V praxi se v tšinou setkáváme se složit jšími systémy, které se ale dají rozložit na spojení elementárních len . Pro vyjád ení vazeb mezi t mito leny používáme bloková schémata. Každý len je znázorn n obdélníkovým blokem, v n mž si p edstavujeme soust ed ny jeho dynamické vlastnosti. Vstup systému je ozna en arou se šipkou, sm ující do bloku, výstup je ozna en arou se šipkou, sm ující z bloku. V praxi používáme schémata s jednou vstupní a jednou výstupní veli inou pro každý blok. Spojovací áry mezi bloky ozna ují ší ení signálu a jeho sm r je vyzna en šipkou. Jestliže se signál rozdvojuje do více blok , ozna í se rozdvojovací místo te kou. Jestliže se naopak n kolik signál algebraicky s ítá v jeden signál, ozna í se sou tové místo kroužkem s k ížkem (p i ode ítání se p íslušná ást vy erní). Vycházíme z toho, že bloky jsou popsány svými p enosy G(s). V p ípad , že jsou popsány jiným zp sobem (diferenciální rovnicí, p echodovou funkcí nebo charakteristikou, …) musíme tento popis p evést na p enos. P enos se na blokových schématech ozna uje vepsáním p enosu do p íslušného bloku. Protože ale chceme p enosem popsat celý systém nebo podsystém, musíme znát metodiku, jak ur it p enos celku, známe-li p enosy jednotlivých len , z nichž se skládá. Pravidla, podle nichž vytvá íme p enos celku z díl ích p enos jednotlivých len , nazýváme blokovou algebrou. N kdy se nazývá algebra p enos nebo též algebra blokových schémat. P i zkoumání blokových schémat zjistíme, že existují t i základní zapojení: sériové, paralelní a antiparalelní (neboli zp tnovazební). Sériové zapojení. Je to takové zapojení, p i kterém výstupní veli ina p edcházejícího lenu je vstupní veli inou následujícího – obr. 3.33. Hledáme výsledný p enos zapojení.
u
G1(s)
m
y
G2(s)
G1 s
M s U s
M s
G1 s .U s
G2 s
Y s M s
Y s
G 2 s .M s
Y s
G1 s .G2 s .U s
G(s) u
G(s)=G1(s).G2(s)
y
Obr. 3.33
Gs
Y s U s
G1 s .G2 s
(3.40)
Zde jsme si ozna ili pomocnou veli inu m, kterou jsme vzáp tí vyeliminovali. Slovn vyjád eno: P i sériovém zapojení je výsledný p enos dán sou inem díl ích p enos . Paralelní zapojení. Je to takové zapojení, p i kterém máme jednu vstupní veli inu pro všechny leny a výstupní veli iny jednotlivých blok se s ítají – obr. 3.34. Op t hledáme výsledný p enos zapojení.
G1 s mt
52
nt
yt
M s U s
G2 s
N s U s M s
N s
Y s
m
G1(s)
u
U s G1 s
y
U s G1 s
n
G2(s)
Gs
u
U s G2 s
G(s)=G1(s)+G2(s)
y
Y s U s
Y s
G2 s
Y s
G1 s
G2 s
(3.41)
Pomocné veli iny m a n byly vyeliminovány a te záv r: P i paralelním zapojení je výsledný p enos sou tem díl ích p enos . Kdyby byl místo se ítání signál vytvá en jejich rozdíl, bylo by ve výsledném vztahu znaménko mínus.
Obr. 3.34
Antiparalelní (zp tnovazební) zapojení. Je to takové zapojení dvou len , kdy se výstupní veli ina zapojení vede zp t na vstup, kde se ode ítá (nebo též p i ítá) od vstupního signálu – obr. 3.35.
G1 s
Y s M s
u
N s Y s
G2 s
m n
mt
ut
nt
M s
U s
Y s G1 s
G2 s .Y s
Y s U s
G(s)
u
1 G1 s
G 2 s .Y s U s
G2 s
U s
G2 s
G1 s 1 G1 s .G2 s
1 1
G2(s)
N s
Y s G1 s
Y s
Gs
U s
y
G1(s)
Gs
G1 s 1 G1 s G 2 s
y
Obr. 3.35
(3.42)
G1 s Pomocné veli iny m a n byly op t vyeliminovány a výsledek: P i antiparalelním (zp tnovazebním) zapojení je výsledný p enos dán zlomkem, kde v itateli je tzv. p enos p ímé v tve a ve jmenovateli jedna plus sou in p enosu p ímé v tve a p enosu zp tné vazby. Uvažované antiparalelní zapojení se nazývá záporná zp tná vazba, protože se na vstupu zapojení ode ítá výstupní signál. Toto zapojení je základem všech regula ních obvod . Tím, že na vstupu ode ítáme výstupní signál se vytvá í tzv. regula ní odchylka, kterou práv regulátor p sobí na regulovanou soustavu a tuto odchylku odstra uje a dosahuje tím shody vstupní a výstupní veli iny. O tom bude mluveno v dalším.
Kdybychom výstupní signál ke vstupu p i ítali, jednalo by se o kladnou zp tnou vazbu, která se v regula ní technice nepoužívá (na jejím principu jsou založeny generátory sinusových kmit v elektronice) a podobným zp sobem jako jsme odvodili vzorec pro zápornou zp tnou vazbu bychom odvodili výsledný p enos pro kladnou zp tnou vazbu
53
G1 s 1 G1 s .G 2 s
Gs
(3.43)
Poznámka: V dalším si spo ítáme p íklady na blokovou algebru, kdy hledáme výsledný p enos složit jších systém . Jedná se jednak o p íklady, kdy postupným zjednodušováním schématu se dostaneme k cíli. Vedle toho to jsou p íklady tzv. p ek ížených vazeb, kdy musíme n které vazby zm nit, abychom ur ili typ zapojení a stanovili p enos. Jedná se o p emíst ní místa rozv tvení. P emis ujeme-li podle obr. 3.36 bod rozv tvení proti sm ru signálu, potom musíme do p emis ované v tve zapojit len s p enosem, který je mezi p vodním a novým bodem rozv tvení. G(s)
G(s)
G(s)
1/G(s) Obr. 3.37
Obr. 3.36
P emis ujeme-li bod rozv tvení ve sm ru signálu, zapojíme tam len o p enosu rovný p evratné hodnot p enosu mezi p vodním a novým bodem rozv tvení – obr. 3.37. P íklad 3.18: Ur ete výsledný p enos zapojení podle obr. 3.38. ešení: Obecn platí u p íklad tohoto typu, že musíme p es známá základní zapojení stále zjednodušovat, až se propracujeme k výslednému p enosu.
G2 s 1 G2 s G4 s G3 s G2 s 1 G1 s 1 G2 s G4 s G1 s
Gs
u
G1(s)
Poznámka: Pokud ve vazb není žádný len, po ítáme s tím, že je tam len s p enosem rovným jedné. P íklad 3.19: Ur ete jaký je výsledný p enos zapojení podle obr. 3.39.
u
y
G2(s)
G3(s)
G4(s)
G2 1 G2G4
Obr. 3.38
G1(s)
G2(s)
G4(s)
G3(s)
G9(s)
ešení: Metodika ešení tohoto p íkladu není jiná, než u p edchozího p íkladu.
G8(s)
G5(s)
y
G6(s)
G7(s) Obr. 3.39
Gs
G1 s
G 2 s G3 s 1 G 2 s G3 s G5 s
54
G7 s G6 s G9 s 1 G 7 s G8 s
G4 s
P íklad 3.20: Ur ete výsledný p enos zapojení podle obr. 3.40.
G4(s)
ešení: Toto je první z u y p íklad na zapojení G3(s) G1(s) G2(s) s p ek íženými vazbami. V první fázi nem žeme Obr. 3.40 G5(s) poznat, o jaké zapojení se jedná. Proto musíme p eložit n kterou z vazeb, abychom mohli zapojení jasn identifikovat. Jsou dv varianty ešení. První varianta je p eložit vazbu s p enosem G4(s) proti sm ru signálu. Druhá varianta je p eložit vazbu s p enosem G5(s) ve sm ru signálu. 1.varianta ešení: G3(s) G4(s) Podle obr. 3.41 p eložíme vazbu s p enosem G4(s) u y proti sm ru signálu a G1(s) G2(s) G3(s) proto musíme do vazby vložit len G5(s) s p enosem G3(s) (o Obr. 3.41 který se vazba proti sm ru signálu posunula). Na tomto zapojení už není p ek ížených vazeb a snadno podle n ho ur íme výsledný p enos, který ješt také upravíme, abychom ho mohli srovnat s ešením podle druhé varianty:
G2 s 1 G2 s G3 s G4 s G3 s G2 s 1 G1 s G5 s 1 G2 s G3 s G4 s G1 s
Gs
G1 s G2 s G3 s 1 G2 s G3 s G4 s G1 s G2 s G5 s
2.varianta ešení: G 4(s) Podle obr. 3.42a a) posuneme vazbu u y s p enosem G5(s) G 3(s) G 1(s) G 2(s) ve sm ru signálu a za adíme do ní len 1/G 3(s) G 5(s) s p enosem 1/G3(s), o který se vazba ve sm ru signálu pob) sunula. Toto pravidlo bylo vysloveno u y G 3(s) G 2(s) G 1(s) v úvodu kapitoly o blokové algeb e. G 4(s) Potom si obrázek p ekreslí1/G 3(s) G 5(s) me tak, abychom Obr. 3.42 m li zcela jasno o jaké zapojení se jedná (obr.3.42b) a napíšeme výsledný p enos, který se po úprav shoduje s p enosem vypo ítaným v 1.variant :
55
G 2 s G3 s 1 G 2 s G3 s G 4 s G 2 s G3 s 1 1 G1 s G5 s 1 G 2 s G3 s G 4 s G3 s G1 s
Gs
u
P íklad 3.21: Ur ete výsledný p enos zapojení podle obr. 3.43.
G1(s)
y
G2(s) G5(s)
ešení: Stejným zp sobem jako v p edešlém p íkladu a to minimáln dv ma zp soby ur íme výsledný p enos
Gs
G1 s G 2 s G3 s 1 G 2 s G3 s G 4 s G1 s G 2 s G5 s
G3(s)
G4(s) Obr. 3.43
G1 s G2 s 1 G1 s G3 s G5 s G1 s G2 s G3 s G4 s
Pravidla blokové algebry m žeme použít pro obecná bloková schémata. Te je použijeme pro regula ní obvod. Budeme uvažovat jednoduchý regula ní obvod s jednou vstupující poruchovou veli inou, která pro jednoduchost vstupuje na za átku regulované soustavy. Takový obvod m žeme nakreslit dvojím zp sobem (podobn jako tomu bylo u obvodu na obr. 3.2 a 3.3) a oba zp soby jsou na obr. 3.44 a 3.45. Znovu zd razn me, že se jedná o jeden a tentýž obvod. Regulovaná soustava je zde dána svým p enosem GS(s) a regulátor také svým p enosem GR(s). Nejd íve si spo ítáme p enos regula ního obvodu, uvažujeme-li, že vstupním signálem je v
y
GS(s)
w
v GR(s)
GS(s)
y
w
GR(s)
Obr. 3.45
Obr. 3.44
ídicí veli ina w a do obvodu nevstupují žádné poruchové veli iny, tedy v=0. P enos se lépe po ítá z obr. 3.45 a protože se jedná o zápornou zp tnou vazbu (antiparalelní zapojení) je
Gw s
Y s W s
GS s GR s 1 GS s GR s
G0 s 1 G0 s
(3.44)
Tento p enos se nazývá p enos ízení Gw(s) a vyjad uje závislost regulované veli iny y na ídicí veli in w když nep sobí poruchová veli ina. Ozna ili jsme si zde sou in p enosu regulované veli iny a p enosu regulátoru G0(s)
G0 s
GS s G R s
(3.45)
Tento p enos nazýváme p enos rozpojeného obvodu a ozna ujeme symbolem G0(s). Název je vzat z toho, že ve smy ce regula ního obvodu je sériové zapojení soustavy a regulátoru (kdyby-
56
chom ho v n kterém míst rozpojili, je p enos tohoto zapojení dán práv G0(s), ale se znaménkem mínus). Závislost regulované veli iny y na poruchové veli in v když nep sobí ídicí veli ina (w=0) vyjad ujeme p enosem poruchy Gv(s)
Gv s
Y s V s
GS s 1 GS s GR s
GS s 1 G0 s
(3.46)
Tento p enos je op t spo ítán jako antiparalelní zapojení podle obr. 3.44 nebo 3.45 (lépe se to vidí z obr. 3.44, ale musíme si uv domit, že se nejedná o kladnou zp tnou vazbu – výstupní signál se p ipo ítává ke vstupnímu, ale se záporným znaménkem, protože v p edcházejícím rozdílovém uzlu se p i w=0 pouze zm nilo znaménko signálu). Již na tomto míst si všimn me, že p enos ízení i p enos poruchy mají ve jmenovateli stejný výraz 1+G0(s) , který bude mít klí ový význam p i vyšet ování stability, a to jako charakteristická rovnice regula ního obvodu
1 G0 s
0
(3.47)
Poznámka: Pokud se vyskytne p ípad, že poruchová veli ina vstupuje na jiném míst regulované soustavy než na vstupu ak ní veli iny nebo je více poruchových veli in (v tom p ípad mluY s Y s , Gv 2 s ,… ), stanovujevíme vždy o p enosu p íslušné poruchové veli iny Gv1 s V1 s V2 s me p enosy vždy podle pravidel blokové algebry, jak bude ukázáno v p íkladu 3.25. P íklad 3.22: Stanovte p enos ízení a p enos poruchy regula ního obvodu podle obr. 3.46, který se skládá z regulované soustavy a regulátoru se servomotorem. Poruchová veli ina zde vstupuje uprost ed regulované soustavy a d lí ji na dva bloky o p enosech GS1(s) a GS2(s).
v GS1 s
1 1 5s
GS2 s
0,5
1 s 1 2s
2 1
1 10s
3s
y
u GSM s
1 2s
GR s
w
Obr. 3.46
ešení:
Gw s
Y s W s
G R s G SM s G S1 s G S 2 s 1 G R s G SM s G S1 s G S 2 s
1 s 1 1 1 0,5 3s 1 2s 2 s 1 5s 10 s 1 1 1 1 s 1 21 3s 0,5 10 s 2 s 1 5s 1 2s 21
1,5s 3 2 s 2 0,55s 0,05 10 s 4 8,5s 3 3s 2 0,55s 0,05
57
Gv s
GS 2 s 1 GR s GSM s GS1 s GS 2 s
Y s V s
1 s 1 2s 1 s 1 1 1 0,5 3s 1 21 1 2s 2 s 1 5s 10 s 0,5
10 s 4
2,5s 2 3s 0,5 8,5s 3 3s 2 0,55s
0,05
3.11 Regulátory – základy, dynamické vlastnosti Regulátor je za ízení, které provádí regulaci, ili které prost ednictvím y ak ní veli iny p sobí na regulovanou regulovaná soustava soustavu tak, aby se regulovaná veli ina udržovala na p edepsané hodnot (ve u zvláštních p ípadech to nemusí být kone=w-y w stantní hodnota) a regula ní odchylka regulátor byla nulová nebo co nejmenší. Podle obr. 3.47 se regula ní obvod skládá z regulované soustavy a regulátoru. Obr. 3.47 Všechny leny tohoto obvodu s výjimkou regulované soustavy tedy zahrnujeme pod pojem regulátor. U v tšiny pr myslových regulací ho vyrábí specializovaný výrobce, jiný než je výrobce regulované soustavy. Proto v t chto pr myslových regulacích bývá výrazn odlišen od regulované soustavy. v
Vlivem poruchy v dojde ke zm n regulované veli iny, která se odchýlí od požadované hodnoty, která je nastavena prost ednictvím ídicí veli iny w. Není-li shoda mezi ídicí veli inou w a regulovanou veli inou y. Vznikne regula ní odchylka e=w-y. A práv tuto odstra uje regulátor svým zásahem do regulované soustavy prost ednictvím ak ní veli iny u. Vlivem toho, že v obvodu je záporná zp tná vazba, je zásah regulátoru takového charakteru, že p sobí zmenšování regula ní odchylky. A pokud je regula ní odchylka nulová, je regulátor bez funkce, na jeho vstupu je nula. Klasické rozd lení regulátor bylo na regulátory direktní (p ímé) a indirektní (nep ímé). Direktní regulátory nepot ebovaly ke své innosti pomocnou energii a veškerou energii pot ebnou ke své innosti odebíraly z regulované soustavy. P íkladem je regulátor hladiny, uvedený na obr.3.1. Síla plováku zde sta ila k p estavení regula ního ventilu. Jako direktní regulátor funguje jehlový ventil p i regulaci hladiny v karburátoru. Ale nejznám jším direktním regulátorem byl dnes už klasický Watt v regulátor otá ek s rozt žníkem, používaný d íve u parních stroj . Direktní regulátory se až na malé výjimky dnes už nepoužívají. Byly sice jednoduché a spolehlivé, ale jejich regula ní dynamické vlastnosti nebyly dobré. Dnes používané indirektní regulátory vyžadují vždy pomocný zdroj energie. A práv podle této pomocné energie je konstruk n d líme na regulátory pneumatické, hydraulické a elektrické. Pneumatické regulátory jsou vhodné v závodech, kde je proveden rozvod tlakového vzduchu. D íve se hojn používaly ve výbušných prost edích (chemické výroby, naftové rafinerie, …), kde se nemohly použít elektrické regulátory. Dnes je ale vytla ily práv elektrické regulátory vyrobené v nevýbušném provedení. Pneumatické regulátory jsou propojeny trubi kami, porucha se m že zjistit podle sy ení unikajícího vzduchu. Ke své innosti používají ventily, membrány, clony a podobné pneumatické prvky.
58
Hydraulické regulátory využívají k napájení tlakový olej. Mohou vyvinout velkou sílu. Proto se používají (t eba v kombinacemi s jinými typy regulátor ) hydraulické servoválce jako silové ovládací servomotory nap . k ovládání regula ních lopatek vodních turbin apod. Nejpoužívan jší jsou elektrické regulátory, které využívají k napájení elektrickou energii. V tšinou jsou to elektronická za ízení (opera ní zesilova e), pouze ak ní leny jsou elektromechanické (servomotory, elektromagnety). Nejv tší výhodou elektronických regulátor jsou dobré regula ní vlastnosti, malé rozm ry a malá hmotnost, vysoká energetická ú innost, istý a bezhlu ný provoz, relativn nízká cena. Nevýhodou je v tší složitost, která komplikuje opravy. Se zavedením integrovaných obvod a dalších moderních sou ástek vzrostla i spolehlivost t chto systém . Dnes nemají konkurenci v ostatních typech regulátor . Podle pr b hu výstupního signálu se regulátory d lí na spojité a nespojité. Spojité regulátory pracují se spojitými signály. Hlavními stavebními prvky jsou opera ní zesilova e. Kvalita regulace je velmi dobrá, návrh regulace je pom rn snadný. Jsou základem regula ní techniky. Nespojité regulátory pracují s nespojitými signály. Dnes do pop edí vystupují diskrétní regulátory, jejichž výstup je posloupnost numerických hodnot – jsou to íslicové po íta e ve funkci regulátor . Do nespojitých regulátor za azujeme i regulátory dvoupolohové – charakter nespojitosti je zde ovšem trochu jiný, než u diskrétních regulátor . Také se uvažuje d lení regulátor na lineární a nelineární. Rozhodujícím prvkem je zde statická charakteristika. V dalším se budeme zabývat regulátory lineárními. Regulátor není jeden prvek. Skládá se z n kolika prvk , jak bude patrno z obr. 3.48. Základem jsou t i prvky zapojené v sérii a to m ící len (též idlo, sníma ), úst ední len a ak ní len (pohon, servomotor). y
regulovaná soustava jejich p eno s zahrneme do p eno su so ustavy
p eno s sníma e zahrneme do p eno su so ustavy
u regula ní pohon orgán ak ní len
u
úst ední len
sním a a p evodník y e w
m
icí len
p evodník
w Obr. 3.48
G(s)= 1
M icím lenem zjiš ujeme skute nou hodnotu regulované veli iny, p evádíme ji na elektrické nap tí (u elektrických regulátor ) a vytvá íme regula ní odchylku. M icí len se skládá ze sníma e s p evodníkem, z p evodníku ídicí veli iny a z porovnávacího lenu. Sníma zjiš uje asový pr b h regulované veli iny. Podle toho, jakou fyzikální veli inu regulujeme, volíme druh sníma e. Abychom docílili dobré regulace, musíme volit vhodný sníma i jeho umíst ní na regulované soustav . U sníma e nás zajímá hlavn jeho p esnost, nebo regula ní obvod nem že regulovat p esn ji, než je p esnost sníma e. Výstupem sníma e je signál úm rný regulované veli in , který je jiné fyzikální povahy (proto íkáme sníma s p evodníkem – regulovaná veli ina je sníma em p evedena, a to nej ast ji na elektrické nap tí nebo proud, tlak vzduchu nebo oleje). Porovnávací len provádí ode ítání výstupního signálu ze sníma e od signálu žádané hodnoty regulované veli iny a takto vytvo ený rozdíl je regula ní odchylka. Úst ední len regulátoru zpracovává regula ní odchylku. Regula ní odchylku m že zesilovat, integrovat a derivovat. Ozna uje se asto jako regulátor v užším slova smyslu a asto tím
59
pádem pod pojmem regulátor myslíme pouze úst ední len. Úst ední len má rozhodující vliv na regula ní pochod. Jeho vlastnosti m žeme volit a práv p i návrhu regulátoru hledáme takový úst ední len s takovými parametry, které nám zajistí vyhovující vlastnosti celého obvodu. Budeme-li se v dalším zabývat dynamickými vlastnostmi regulátoru, budeme se zabývat výhradn dynamickými vlastnostmi úst edního lenu. Ak ní len regulátoru se skládá z pohonu a regula ního orgánu. Regula ní orgán je už asto považován za sou ást regulované soustavy. Pohon nebo n kdy též servomotor dodává energii regula nímu orgánu, m ní jeho polohu, nato ení, otev ení apod. Regula ní orgán p ímo ovládá ak ní veli inu. Mezi regula ní orgány zahrnujeme r zné ventily, klapky, šoupátka apod. U regula ního orgánu požadujeme lineární závislost mezi polohou pohonu a ak ní veli inou.
Z funkce regulátoru vyplývá, že úlohou idla s p evodníkem a p evodníku pro ídicí veliinu je p evést ob veli iny y, w na stejnou fyzikální veli inu (u elektrických regulátor na elektrické nap tí), aby se v porovnávacím lenu mohl realizovat jejich rozdíl. Protože žádné jiné požadavky na tyto leny neklademe, bude vhodné, když jejich p enos bude p ibližn roven jedné. To lze obvykle snadno splnit u p evodníku pro ídicí veli inu. V p ípad sníma e je to obtížné, sníma e mívají charakter proporcionálního lenu se zpožd ním n kdy i vyššího ádu. Abychom mohli blokové schéma regula ního obvodu zjednodušit (obr. 3.58), zahrnujeme p enos sníma e do p enosu regulované soustavy. Stejn je tomu s p enosem pohonu a regula ního orgánu, pokud se jejich p enos neblíží jedni ce a není tudíž zanedbatelný (vzhledem k malým asovým konstantám). N které pohony však mají integra ní charakter a pak výrazn m ní charakter regulované soustavy. e(t)
GR(s) regulátor Obr. 3.49
u(t)
Te se budeme zabývat dynamickými regulátoru, p esn ji e eno dynamickými úst edního lenu regulátoru. Podle obr. 3.49 regulátoru regula ní odchylka (její asový pr výstupem ak ní veli ina u(t).
vlastnostmi vlastnostmi je vstupem b h) e(t) a
Regulátor m že regula ní odchylku zesilovat, integrovat a derivovat. Nejjednodušší p ípad je pouhé zesilování – regulátor je prostý zesilova . V tomto p ípad je ak ní veli ina úm rná regula ní odchylce u r0 e (3.48) Takový regulátor se nazývá proporcionální neboli P regulátor. astým p ípadem regulátoru je také takový, kdy ak ní veli ina je úm rná integrálu regula ní odchylky u r 1 edt (3.49) a pak se jedná o integra ní neboli I regulátor. Technická realizace není možná u regulátoru, kde by ak ní veli ina byla úm rná derivaci regula ní odchylky (protože by došlo k rozpojení regula ního obvodu v ustáleném stavu) u r1e (3.50) a to by byl p ípad regulátoru deriva ního neboli D regulátoru. Kombinací t chto základních typ vzniknou další regulátory. Regulátor proporcionáln integra ní neboli PI regulátor má ak ní veli inu úm rnou jak regula ní odchylce, tak jejímu integrálu, p i emž vliv toho anebo onoho se dá zv tšit anebo zmenšit volbou konstant
u
60
r0 e r 1 edt
(3.51)
Podobn regulátor proporcionáln -deriva ní neboli PD regulátor má ak ní veli inu úm rnou regula ní odchylce a její derivaci u r0 e r1e (3.52) a kone n regulátor proporcionáln -integra n -deriva ní neboli PID regulátor má ak ní veliinu úm rnou regula ní odchylce, jejímu integrálu a její derivaci
u
r0 e
r
1
edt
r1 e
(3.53)
PID je vzhledem k p edcházejícím typ m obecným typem regulátoru a na ostatní se m žeme dívat tak, že n která z konstant r0 , r-1 nebo r1 je rovna nule. Regulátor o rovnici (3.53) je ovšem ideální PID regulátor. U každého skute ného regulátoru se uplat ují r zná zpožd ní zp sobená setrva ností, pasivními odpory, kapacitou apod. To znamená, že se na levé stran diferenciální rovnice ješt objeví zpož ující leny
... T2 u
T1u
u
r0 e r 1 edt
r1e
(3.54)
To je rovnice skute ného PID regulátoru. Hydraulické a pneumatické regulátory mají zpož ující konstanty T1, T2, … zna n veliké. Naproti tomu elektronické regulátory mají tyto konstanty T1, T2, …zanedbatelné a svým charakterem se blíží ideálnímu regulátoru. P enos ideálního PID regulátoru je z rovnice (3.53) GR s
U s E s
r0
r1 s
r1 s
(3.55)
a skute ného PID regulátoru z rovnice (3.54) GR s
U s Es
r1 r1s s 1 T1s T2 s 2 ... r0
(3.56)
Konstanty r0 ,r-1 a r1 v rovnicích regulátor ur ují vliv jednotlivé složky (proporcionální, integra ní nebo deriva ní) na tvorbu výsledné ak ní veli iny. V regulátorech jsou stavitelné a dají se nastavit tak, aby výsledná regulace spl ovala to, co od ní o ekáváme. ast ji se však udávají v jiném tvaru. P enos ideálního PID regulátoru (3.55) si vyjád íme vytknutím r0 v jiném tvaru deriva ní asová konstanta Td [s] GR s
r0
r1 s
r1s
r0 1
1 r0 s r1
zesílení r0 [-]
r1 s r0
r0 1
1 Td s Ti s
(3.57)
integra ní asová konstanta Ti [s]
Zde je r0 bezrozm rná proporcionální konstanta, nazývaná zesílení regulátoru, u b žných regulátor stavitelná v rozmezí cca 0,5 až 50. Ti je integra ní konstanta regulátoru mající rozm r sekundy a stavitelná v rozmezí cca 0 až 1800 s, stejn jako Td , což je deriva ní asová konstanta regulátoru. U továrních provedení regulátor se tedy dají nastavovat tyto konstanty, íká se jim stavitelné parametry regulátor a jejich hodnotu m žeme ode ítat na stupnicích nebo displejích regulátor .
61
Místo zesílení r0 se asto používá termín pásmo proporcionality, které je udáváno v procentech. Udává, o kolik procent z celého rozsahu se musí zm nit vstupní signál regulátoru, aby se výstup zm nil v celém rozsahu. Vztah mezi pásmem proporcionality pp a zesílením r0 je 1 (3.58) .100 % r0 Dynamické vlastnosti jednotlivých typ (ideálních) regulátor (což jsou rovnice, p enosy, charakteristiky) jsou uvedeny v tab. 3.4 a postup jejich sestavení a konstrukce bude ukázán na p íkladech. pp
P íklad 3.23: Vypo t te p echodovou funkci a nakreslete p echodovou charakteristiku PI regulátoru. ešení: Do rovnice tohoto regulátoru (3.51) u
jednotkový skok (e = 1 pro t
r0 e r 1 edt
dosadíme za vstupní funkci e
0) u
r0
a vy ešením získáme p echodovou funkci u r0
u
r 1 dt r1t
r0
a její graf neboli p echodová charakteristika je na obr. 3.50. typ P
u
u
I
u
D
u
PI
Tab. 3.4
u
r0 e
r0
r 1 edt
r1 s
r1e
r0 e r1e
r0 e r 1 edt
r0
r1e
r0
Re
t 0
u(t)
r0
(t) t
0
Im
Im
u(t) t
Re
r0 Re 0
r0 u(t)
r1 s r1 s
Im
u(t)
r1 s
r0
Obr. 3.50
p echodová charak- frekven ní charakteteristika ristika Im u(t) r0 Re r0 t
r1 s
r0 e r 1 edt u
PD
PID
p enos GR(s)
rovnice
t[s]
r1 s
r0
Im
t Im
u(t) t
r0
Re 0
r0
Re 0
Dynamické vlastnosti spojitých regulátor
P íklad 3.24: Jaké jsou frekven ní charakteristiky PI a PD regulátor ? Zd vodn te konstrukci.
62
ešení: Frekven ní p enosy jsou
PI: G R j PD: G R j
r0
r0
r1 j
r0
j
r1
PD Im
PI Im r0
r1 j
=0 Re
Re r0
=0 Konstruujeme-li z t chto frekven ních p enos frekven ní charakteristiky vidíObr. 3.51 me, že reálná ást je konstantní nezávisle na frekvenci a je rovna r0. Proto budou charakteristiky v obou p ípadech polop ímky ve vzdálenosti r0 od imaginární osy. U PI regulátoru bude charakteristika za ínat úpln dole v záporn – imaginární ásti komplexní roviny a konit v bod r0 na reálné ose. Naopak u PD regulátoru bude za ínat v bod r0 a kon it úpln naho e v kladn – imaginární ásti komplexní roviny – obr. 3.51.
P íklad 3.25: Ur ete r0 ,Ti a tím pádem p enos PI regulátoru, jehož p echodová charakteristika je na obr. 3.52. ešení: Rovnici p echodové funkce z p íkladu 3.22 u r0 r 1 t upravíme vytknutím r0 1 1 u r0 (1 t ) r0 (1 t) u(t) r0 Ti 2 r1 Pro t = 0 je u = r0 (zesílení je úsek na ose u) a 1 naopak pro u = 0 je t = -Ti (integra ní konstanta je úsek na ose t, který vznikne prodloužet[s] ním p ímkové ásti p echodové charakteristiky až k ose t). -2 -1 0 1 2 3
Je tedy
r0 = 1 ;
Ti = 2 s
Obr. 3.52
a p enos regulátoru: GR s
1
1 2s
3.12 Regulátory – konstruk ní principy, použití Te jsme se zabývali dynamickými vlastnostmi spojitých regulátor , ekli jsme si o jejich rovnicích, p enosech a charakteristikách. Nyní obrátíme svou pozornost ke konstruk ním princip m spojitých regulátor . Jak u dynamických vlastností tak i zde u konstruk ních princip mluvíme o úst edních lenech regulátor . A protože v dnešní dob je více než 90% regulátor elektrických, budeme se zabývat konstruk ními principy elektrických regulátor (respektive jejich úst edních len ). Spojité elektrické regulátory (znovu zd razn me, že se jedná o úst ední len regulátor ) mají jako základ opera ní zesilova . Opera ní zesilova je stejnosm rný zesilova s velkým nap ovým zesílením kolem 106 a velkým vstupním odporem. Zesilova má zp tnou vazbu, ve které je zp tnovazební impedance (ohmický odpor nebo kapacita) a vstupní impedanci (též ohmický odpor nebo kapacita). Jeho vstupní nap tí u0 i proud i0 mají tém nulové hodnoty. Jako vstup se používá mínus vstup, který je invertující a vytvá í tak zápornou zp tnou vazbu (vstup plus je neinvertující a nevyužívá se).
63
R2 i1
u1
R1
i2
i0 u0
+
Obr. 3.53
u2
Proporcionální regulátor vytvo íme podle obr. 3.53 zapojením ohmického odporu do vstupu i do zp tné vazby. Zapojení bez zbyte né nulové úrovn je na
obr.3.54a. Integra ní regulátor vytvo íme podle obr. 3.54b zapojením kondenzátoru s kapacitou C2 do zp tné vazby a ohmického odporu R1 do vstupu. Deriva ní složka regulátoru má ve zp tné vazb odpor R2 a ve vstupu kapacitu C1 – obr. 3.54c.
R2
a) u1
R1
C2
b) u1
u2
R1
u2
C2
c) u1
R1
Na rozdíl od P a I regulátoru tak o deriva ní složce nemluvíme jako o D regulátoru. tato složka nem že být samostatn použita. Ideální deriva ní složka zesiluje šumy. Šum p edstavuje nap tí o malé amplitud , ale o vysokém kmito tu . Za ur itých zjednodušení ho m žeme vyjád it vztahem u = u0 sin t
u2
Obr. 3.54
(3.59)
Pokud bychom p ivedli tento šum na vstup ideálního deriva ního regulátoru, bude na jeho výstupu derivace u = u0 cos t (3.60) P vodn malá amplituda u0 je vynásobena velkou frekvencí a výsledný signál (derivace šumového nap tí) by mohl být tak veliký, že by p evýšil C2 užite ný signál. Proto lze D složku p idat k P regulátoru R1 eventuáln k PI regulátoru. R P u1 u0 Nastavitelnost parametr se provádí za azeu2 ním potenciometr . V nazna eném provedení by nebylo + snadné m nit parametry regulátoru, to je r0 , Ti a Td . Na obr. 3.55 je nakresleno zapojení potenciometru u Obr. 3.55 integra ního regulátoru ( nastavení potenciometru). P Kombinace základních typ regulátoe(t) u(t) r , které umož ují dosáhnout vyšší kvality reguI lace než jednoduché regulátory, se realizují nejast ji paralelním azením regulátor základních D – dosahuje se nejkvalitn jšího výsledku za cenu vyššího po tu zesilova . Na obr. 3.56 je jako Obr. 3.56 p íklad uvedena realizace PID regulátoru. Suma ní len je také opera ní zesi ova . asto také pr myslové regulátory obsahují další p ídavné obvody, nap . pro filtrace šum , pro potla ení vlivu ídicí veli iny (speciáln u D složky se za vstupní veli inu zapojuje místo regula ní odchylky e = w – y regulovaná veli ina y), pro ru ní a automatické ízení s beznárazovým p epnutím, spolupráce s po íta em atd.
64
Nyní se budeme stru n zabývat použitím jednotlivých typ regulátor . Zpracování regula ní odchylky e = w – y je rozloženo u PID regulátoru do t í paraleln pracujících složek regulátoru, které každá svým zp sobem ovliv uje velikost tzv. ak ního zásahu, tj. zm nu ak ní veli iny u tak, jak je to podle jejich „názoru“ pro odstran ní existující regula ní odchylky nezbytné. Matematicky nejmén komplikovaným objektem ze všech t í složek PID regulátoru je jeho proporcionální složka, zpravidla ozna ovaná jako P regulátor. Ten ke své innosti využívá všeobecn dob e známého principu p ímé úm rnosti – ím v tší detekuje momentální regula ní odchylku, tím v tší („d razn jší“) generuje i ak ní zásah. Je-li nap . P regulátorem p ipojeným k ventilu ovládajícímu p ívod paliva k plynovému ho áku udržována teplota vody v nádrži, do které neustále p itéká studená voda, na hodnot 100°C a její skute ná hodnota poklesne na 98°C, tj. regula ní odchylka neboli rozdíl mezi žádanou (100°C) a skute nou (98°C) teplotou bude 2°C, pootev e, p i konstant úm rnosti r0=2 , P regulátor ventil p ívodu paliva k ho áku o ty i dílky (každý dílek p itom odpovídá ur itému pr toku plynu, a tím i výkonu ho áku). Pokud teplota vody v nádrži klesne na 96°C, pootev e se ventil o osm dílk , pokud se vrátí na 100°C, p ívod plynu do ho áku se uzav e apod. Zmín ná konstanta úm rnosti neboli p evodní konstanta mezi velikostí regula ní odchylky e a generovanou hodnotou ak ní veli iny u je jediný stavitelný parametr P regulátoru a je to tzv. zesílení regulátoru r0 . Ur uje i dobu trvání regula ního pochodu ( ím v tší je r0 , tím d razn jší je regula ní zásah a kratší doba regulace). Zesílení regulátoru m že být hodn vysoké, aniž by hrozila nestabilita nebo p ekmity regulované veli iny. V praxi jsou samostatné P regulátory oblíbeny p edevším díky své jednoduchosti (jeden prom nný parametr a pr hledná struktura), dostate n rychlému pr b hu regulace a stabilit . Jejich základní nevýhodou je však existence tzv. trvalé regula ní odchylky (klesá s rostoucím zesílením), tj. nejsou schopny z principu své innosti samy zcela odstranit rozdíl mezi skute nou a žádanou hodnotou regulované veli iny. O trvalé regula ní odchylce bude pojednáno dále. P regulátor není také vhodný pro regulované soustavy vyšších ád a pro soustavy s dopravním zpožd ním. Pon kud komplikovan jší, a to nejen z matematického hlediska, je zpracování regula ní odchylky I regulátorem. Zm na ak ní veli iny je v tomto p ípad úm rná asové hodnot integrálu z regula ní odchylky. To znamená, že momentální rychlost zm ny ak ní veli iny závisí p ímo na velikosti regula ní odchylky [ u edt u e ]. Držme se d íve uvedeného p íkladu regulace teploty v nádrži. Dejme tomu že po ur itý interval nap . t = 10 s bude rozdíl mezi žádanou a skute nou teplotou konstantní a roven 2° C. Za uvedenou dobu se v pam ti I regulátoru „naintegruje“ hodnota 20 neboli obsah plochy o rozm rech 2°C x 10 s. Jestliže p itom po átek sledovaného intervalu leží zárove na po átku asové osy (p vodní hodnota integrálu je nulová) a konstanta úm rnosti je na p íklad r-1 = 0,1 , otev e b hem sledovaného intervalu I regulátor ventil p ívodu plynu k ho áku lineárn (s konstantní rychlostí zm ny 0,2 dílku/s) z nuly na dva dílky. Zde jsme uvažovali konstantu úm rnosti r-1 , což je konstanta p ímé úm rnosti. Podle p enosu daného rovnicí (3.57) se ast ji vyskytuje ve své p evrácené hodnot Ti = r0 / r-1 . Zde ovšem platí, že ím v tší je hodnota Ti , tím menší je vliv I regulátoru na hodnotu ak ní veli iny. Bez ohledu na typ a hodnotu použité integra ní konstanty je však I regulátor schopen zcela eliminovat regula ní odchylku, tj. vrátit „odchýlenou“ hodnotu nap . teploty vody v nádrži zp t na její požadovanou úrove . Pokud je regula ní odchylka, hodnota integrálu není nulová a regulátor reguluje. Tato jedine ná vlastnost (P ani D složka regulátoru ji nedisponují) je však vykoupena zhoršením stability regula ního obvodu – regula ní pochod ovliv ovaný I regulátorem bývá zpravidla více i mén kmitavý, což m že pom rn nep ízniv ovliv ovat i opot ebení ak ních orgán (prodloužením p echodového d je, tj. doby, po kterou se regulovaná soustava ustaluje).Tyto nevýhody tak omezují samostatné p sobení I regulátoru jen na pom rn úzký okruh konkrétních za ízení, a v praxi se proto objevuje ve spojení se svým proporcionálním „ko-
65
legou“ v podob PI regulátoru, který výhodn spojuje charakteristické vlastnosti obou. Integra ní složka má na starosti úplné odstran ní regula ní odchylky (se vzr stajícím podílem I regulace však roste kmitavost ak ního zásahu), proporcionální pak zkracuje dobu trvání regula ního pochodu. Regulátor I je velmi vhodný pro proporcionální regulované soustavy bez setrva nosti, jeho zesílení m že být velmi vysoké bez nebezpe í rozkmitání. Je vhodný i pro setrva né soustavy 1. ádu, p i poruše však dochází k v tšímu p ekmitu regulované veli iny. Regulátor I je nejvhodn jší ze všech ostatních typ pro regulaci statických soustav s dopravním zpožd ním. U t chto soustav nejvíce hrozí rozkmitání regula ního obvodu. Proto musíme nastavit menší zesílení regulátoru. Regulátor I je mén vhodný pro regulaci soustav vyšších ád , v níž se lépe uplatní regulátor PI. Nelze jej použít u integra ních soustav, nebo regula ní obvod je nestabilní. P ibližn na stejné úrovni jako v p ípad integra ního regulátoru, alespo z pohledu matematické složitosti, je zpracování regula ní odchylky i deriva ní složkou klasického PID algoritmu, s níž se lze setkat také pod zjednodušeným ozna ením D regulátor. Jak název napovídá, je zm na ak ní veli iny úm rná hodnot derivace regula ní odchylky. To znamená, že hodnota ak ní veli iny generovaná D regulátorem odpovídá okamžité hodnot rychlosti zm ny rozdílu mezi žádanou a skute nou hodnotou regulované veli iny [ u e = (w – y) ]. Pokud tedy regula ní odchylka teploty vody v nádrži z našeho p íkladu vzroste nap . b hem asového intervalu o délce t = 10 s lineárn , tj. s rovnom rným nár stem, ze 2°C na 3°C, bude na výstupu D regulátoru po celý sledovaný interval hodnota úm rná pr m rné rychlosti zm ny regula ní odchylky, tj. 0,1 °C/s a ventil p ívodu plynu k ho áku tak bude, p i konstant úm rnosti r1 = 10, po celý sledovaný interval otev en na jeden dílek. V p ípad , že odchylka zv tší tempo svého r stu nap . na 0,2 °C/s, zareaguje deriva ní složka otev ením ventilu na dva dílky, pokud se odchylka naopak ustálí na konstantní hodnot , tj. rychlost r stu pop . klesání bude rovna nule, ventil se zcela uzav e apod. Konstanta úm rnosti je v p ípad D regulátoru ozna ována jako tzv. deriva ní asová konstanta Td , pop . r1 - viz p enos v rovnici (3.57). Jak už bylo e eno, není v praxi možné použít D regulátor samostatn . Je to p edevším pro už vzpomínanou vlastnost zesilovat derivací šumové nap tí a dále pro jeho neschopnost reagovat na ustálenou hodnotu regula ní odchylky a pro nestabilitu celého regula ního obvodu zp sobenou velkými odezvami D regulátoru na prudké zm ny regula ní odchylky (p i skokové zm n regula ní odchylky teoreticky až nekone n velkými), které mohou vést až k nekontrolovatelnému rozkmitání regula ních orgán . V praxi se proto D regulátory používají p edevším v kombinacemi s P, pop . PI regulátory. V klasické kombinaci s ostatními složkami PID regulátoru zlepšují stabilitu regulace, zkracují periodu kmit ak ní veli iny a snižují rychlost reakce regula ního obvodu na poruchu a tak zrychlují a zlepšují pr b h regula ního pochodu (p echodový d j), ovšem jen do ur ité míry. P íliš velká deriva ní konstanta m že totiž vlastnosti regula ního obvodu i zhoršit, což je výrazné u systém s vysokou hladinou šumu, na který D regulátor reaguje zbyte ným rozkmitáváním ak ního lenu. Na záv r m žeme konstatovat, že PD regulátor je vhodný tam, kde vyhovuje regulátor P. Jeho p edností je v tší rychlost regulace. PI regulátor úpln odstra uje regula ní odchylku a ve v tšin p ípad zlepšuje stabilitu regula ního obvodu. Regulátor PI se nejvíce používá p i regulaci kmitavých soustav druhého i vyšších ád . ím je ád soustavy vyšší, tím více musíme zmenšovat zesílení, pop . zv tšovat integra ní asovou konstantu Ti. Pro proporcionální soustavy s dopravním zpožd ním dává lepší výsledky regulátor I. Pro integra ní soustavy (a to i s dopravním zpožd ním) je regulátor PI vhodný tam, kde se požaduje úplné odstran ní regula ní odchylky. Jinde je vhodn jší regulátor P. PID regulátor je vhodný všude tam, kde vyhovuje regulátor PI. Proti regulátoru PI je rychlejší, takže lépe tlumí rychlé p ekmity regulované veli iny.
66
3.13
Stabilita regula ního obvodu
Stabilita je základní a nevyhnutelnou podmínkou správné funkce regula ního obvodu. Definice: Regula ní obvod je stabilní, jestliže po svém vychýlení z rovnovážného stavu a odstran ní vzruchu, který vychýlení zp sobil, je schopen se ustálit v rovnovážném stavu. Nový rovnovážný stav nemusí být s p vodním rovnovážným stavem totožný. Stabilita je tedy schopnost regula ního obvodu, aby se jeho regulovaná veli ina y (respektive její p echodná složka yhom(t) – to je složka, která charakterizuje vlastní kmity regula ního obvodu – ne ty, co jsou mu zven í vnucené) ustálila na p vodní hodnot po vychýlení poruchovou veli inou nebo na nové hodnot p i vychýlení ídicí veli inou. Pr b h p echodné složky regulované veli iny yhom(t) u stabilního, nestabilního a obvodu na hranici stability je na obr. 3.57. Mezní stav, p i kterém yhom(t) kmitá kmity o konstantní yhom(t)
yhom(t)
yhom(t)
t
t
stabilní obvod
t
obvod na hranici stability
nestabilní obvod
Obr. 3.57
amplitud , se nazývá hranice stability. Regula ní obvod musí být vždy a za každou cenu stabilní. Zatímco parametry regulované soustavy jsou dány její konstrukcí a nem žeme je tudíž m nit, m žeme m nit parametry regulátoru, p ípadn volit jiný vhodn jší typ regulátoru tak, aby se dosáhlo stabilního regula ního obvodu. Nyní se objevuje problém, jak poznáme, zda-li je námi navrhovaný regula ní obvod stabilní anebo nestabilní. ekn me si nejd íve, jaká je obecná podmínka stability.
v
M jme jednoduchý regula ní obvod podle obr. 3.58. Jeho p enos ízení a p enos poruchy je dán rovnicemi (3.61) a (3.62), které si navíc zavedeme jako podíl obecných polynom y GS(s) G0 s bm s m ... b1s b0 Y s Gw s (3.61) W s 1 G0 s an s n ... a1s a0 w GR(s) GS s cm s m ... c1s c0 Y s Gv s (3.62) Obr. 3.58 V s 1 G0 s an s n ... a1s a0
Jestliže položíme jmenovatel p enosu ízení nebo poruchy (jsou vždy stejné) roven nule, dostáváme charakteristickou rovnici regula ního obvodu 1 G0 s
0
an s n ... a1 s a0
(3.63)
0
(3.64)
67
Regula ní obvod je stabilní, jestliže všechny ko eny s1 , s2 , ….. sn charakteristické rovnice (3.63) respektive (3.64) jsou záporná ísla a v p ípad komplexních ko en mají tyto ko eny zápornou reálnou ást.
Im ko eny charakteristické rovnice stabilního obvodu
Zobecn no: Regula ní obvod je stabilní, mají-li všechny ko eny charakteristické rovnice záporné reálné ásti neboli leží v levé komplexní polorovin (obr. 3.59).
Re
V p ípad , že n který z ko en leží na imaginární ose a žádný neleží v pravé komplexní polorovin , je obvod na hranici stability.
Obr.3.59
Rovnice (3.63) není v podstat charakteristická rovnice, ale ta se z ní úpravou snadno získá. Praktický postup p i sestavení charakteristické rovnice je následující: P enos rozpojeného obvodu, který jak víme je sou inem p enosu soustavy a p enosu regulátoru a my si ho vyjád íme ve tvaru podílu polynom M s N s
GR s .GS s
G0 s
(3.65)
Pak m žeme psát 1 G0 s
1
M s N s
M s N s N s
0
a protože zlomek je roven nule když jeho itatel je roven nule, m žeme charakteristickou rovnici psát jako sou et polynom itatele a jmenovatele rozpojeného obvodu G0(s) M(s) + N(s) = 0
(3.66)
P íklad 3.26: Sestavte charakteristickou rovnici regula ního obvodu a na základ ní ur ete stabilitu tohoto obvodu. Je dán p enos regulované soustavy i PID regulátoru
GS s
2 3s 1
GR s
31
1 8s 4s
ešení: P enos rozpojeného obvodu je G0 s
GS s G R s
1 2 8s .3 1 4s 3s 1
96 s 2 12 s 3 6s 2 2s
Charakteristickou rovnici získáme nejjednodušeji použitím vztahu (3.66) M(s) + N(s) = 0
102 s 2 14s 3 0 Anebo jsme mohli použít vztah (3.63) 1 + G0(s) = 0 . Výsledek je tentýž. Pro zjišt ní, zda je obvod stabilní i nestabilní, musíme spo ítat ko eny charakteristické rovnice 14 2 4.102.3 0,07 j 0,16 2.102 Ko eny mají zápornou reálnou ást a regula ní obvod je proto stabilní. s1 , 2
14
To byla obecná podmínka stability. Nyní si ješt praktickému vyšet ování stability.
68
ekn me n kolik poznámek k
Poznámka 1: Rozložme charakteristickou rovnici (3.64)
an s n
... a1 s
a0
0
v sou in ko enových initel an s s1 s s2 ..... s sn
0
Pokud jsou všechny ko eny záporné (nebo jsou komplexní se zápornou reálnou ástí), má tento sou in tvar nap . pro s1 = -3, s2 = -5, s3 = -7 s
3 s
5 s
7
s 3 s 5 s 7
0
Jak je vid t, jsou v tomto sou inu pouze kladná znaménka a op tovným roznásobením tohoto sou inu ko enových initel zjistíme, že koeficienty p vodní charakteristické rovnice a0 , a1 , … an jsou kladné – p i záporných ko enech se tam nikdy nem že objevit záporné znaménko. Platí tedy pravidlo: Aby byl regula ní obvod stabilní, musí být všechny koeficienty charakteristické rovnice kladné. Tato podmínka je nutná (ale neposta ující). Poznámka 2: Pokud máme charakteristickou rovnici (3.64) druhého stupn , tedy kvadratickou, je p edcházející podmínka nutná a posta ující.
Je to proto, že jsou-li v rovnici a2 s 2 koeficienty a0 , a1 , a2
a1s a0
0
0 , dá se snadno dokázat, že ko eny s1 , 2
a1
a12
4a 0 a 2
jsou 2a 2 bu reálné záporné anebo komplexní se zápornou reálnou ástí a tedy v obou p ípadech je regula ní obvod stabilní. Poznámka 3: Je-li charakteristická rovnice (3.64) vyššího než druhého stupn a jsou–li všechny její koeficienty kladné (nutná podmínka), nelze o stabilit p ímo rozhodnout. Je nutné vypo ítat její ko eny a zjistit, jsou-li všechny záporné nebo mají zápornou reálnou ást (obecná podmínka stability). To je pom rn obtížný úkol, ešitelný pouze numerickými metodami pro ešení rovnic vyšších stup . Abychom se vyhnuli vy íslování ko en , používáme tzv. kritéria stability, umož ující rozhodnout o stabilit bez numerického vy íslování ko en . P íklad 3.27: rovnice jsou
Ur ete zda jsou nebo nejsou stabilní regula ní obvody, jejichž charakteristické
a) s4+5s3-4s2+2s+1=0
b) s5+4s4+0,5s2+s+2=0
c) s2+5s+3=0
d) s5+0,3s4+2s3+1,5s2+3s+1=0
e) (s+2)(s+0,5)(s+0,1)=0
f) s(s+1)(s+2)=0
ešení: a) nestabilní – koeficient u 2. mocniny je záporný b) nestabilní – koeficient u 3. mocniny je nulový c) stabilní – u kvadratické rovnice je kladnost koeficient nutnou a posta ující podmínkou d) nutná ale neposta ující podmínka (kladnost koeficient ) je spln na, ale o stabilit m žeme rozhodnout bu to vy ešením ko en anebo n kterým kritériem stability e) stabilní – všechny ko eny jsou reálné záporné f) na hranici stability – jeden nulový ko en – ostatní záporné.
69
P íklad 3.28: Ur ete stabilitu regula ního obvodu tvo eného k a PI regulátorem G R s r0 a) proporcionální soustavou G S s Ts 1 r1 1 a PI regulátorem G R s r0 b) integra ní soustavou G S s s sT r1 k a I regulátorem G R s . c) integra ní soustavou G S s s Ts 1 s
r1 s
ešení: P enosy rozpojeného obvodu a charakteristické rovnice jsou pro jednotlivé obvody následující kr0 s kr 1 a) G0 s charakteristická rovnice je kvadratická a Ts 2 1 kr0 s kr 1 0 s Ts 1 má všechny koeficienty kladné, což je posta ující podmínka stability (zde jsou zesílení k i konstanty T, r0 , r-1 kladná ísla). Obvod je stabilní pro všechny možné hodnoty všech svých konstant, a proto íkáme, že je strukturáln stabilní. r0 s r 1 obvod je stabilní ze zcela stejného d vodu jako Ts 2 r0 s r 1 0 2 Ts v p ípad a). Rovn ž je tedy strukturáln stabilní.
b)
G0 s
kr 1 Ts 3 s 2 kr 1 0 koeficient u první mocniny je nulový a není tedy s Ts 1 spln na nutná podmínka stability. Protože obvod je nestabilní pro jakékoliv možné hodnoty svých konstant, íkáme, že je strukturáln nestabilní.
c)
G0 s
3.14
2
Kritéria stability
Vy íslení ko en charakteristické rovnice vyššího než druhého stupn je pracná záležitost i s použitím výpo etní techniky. Proto byla sestavena matematická kritéria, která umož ují z charakteristické rovnice ur it, zdali jsou její ko eny se zápornou reálnou ástí nebo ne, a tím stabilitu obvodu, aniž bychom museli danou rovnici ešit. Hurwitzovo
kladnost determinant
Routh-Schurovo
snižování stupn charakteristické rovnice
MichajlovLeonhardovo
k ivka H(j ) (z charakteristické rovnice)
Nyquistovo
frekven ní charakteristika rozpojeného obvodu G0(j )
algebraická kritéria stability frekven ní
Zde si uvedeme dv algebraická kritéria (algebraickými úpravami koeficient charakteristické rovnice ur íme, jsou-li její všechny ko eny se zápornou reálnou ástí nebo ne, a tím stabilitu) a dv frekven ní kritéria (sestrojíme frekven ní charakteristiku a z jejího tvaru usoudíme na stabilitu). Kritérií stability je více, ale zde uvedená pat í mezi nejpoužívan jší. V dalším budou tato kritéria uvedena a to bez d kazu s d razem na jejich praktické aplikace.
70
3.14.1
Hurwitzovo kritérium M jme dánu charakteristickou rovnici (3.64) an s n
... a 1 s
a0
0
u níž je spln na nutná ale neposta ující podmínka stability, tj. existence a kladnost všech koeficient . Utvo me z t chto koeficient determinant n-tého stupn podle následujícího schématu (tzv. Hurwitz v determinant) an-1 an 0 0 0 0 … 0 0 0 0
Hn =
an-3 an-2 an-1 an 0 0 … 0 0 0 0
an-5 an-4 an-3 an-2 an-1 an … 0 0 0 0
… … … … … … … … … … …
0 0 0 0 0 0 … a3 a4 a5 a6
0 0 0 0 0 0 … a1 a2 a3 a4
0 0 0 0 0 0 … 0 a0 a1 a2
0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 a0
(3.67)
Z tohoto determinantu Hn , který je n-tého stupn (n ádk , n sloupc ) utvo íme subdeterminanty Hn-1 až H1 tak, že vždy vynecháme poslední ádek a poslední sloupec. Hurwitzovo kritérium: Obvod je stabilní (ko eny charakteristické rovnice jsou záporné nebo mají zápornou reálnou ást), když determinant Hn a všechny subdeterminanty Hn-1 až H1 jsou kladné (n je stupe charakteristické rovnice). Je-li n který z determinant nulový, je obvod na mezi stability.
Toto je nutno up esnit. Tato naprosto obecná podmínka se dá up esnit pro jednotlivé stupn obvod . Za neme obvodem jehož charakteristická rovnice je 2. stupn a2 s 2
a1 s
a0
0
Jsou-li všechny koeficienty a0 , a1 , a2 kladné, je spln na v tomto p ípad nutná a posta ující podmínka stability a není pot ebí dalšího vyšet ování. U obvod , jejichž charakteristická rovnice je 3. stupn a3 s 3
pak p i kladnosti koeficient sta í, aby byl
a2 s 2
a1 s a0
H2
0
U obvod , jejichž charakteristická rovnice je 4. stupn a4 s 4
a3 s 3 a 2 s 2
a1s a0
stupe 2. 3. 4. 5.
0
je posta ující podmínkou stability : H3
0
Pro obvody s charakteristickou rovnicí 5. stupn a5 s 5
a4 s 4
a3 s 3
a2 s 2
a1s a0
Nutná podmínka kladnost koeficient
Tab. 3.5
0
musí pro spln ní podmínek stability platit, že H2
0
0 a H4
Další nutná podmínka H2 0 H3 0 H2 0; H4 0
Hurwitzovo kritérium
0 . Shrnutí je v tab. 3.5.
71
P íklad 3.29: Ur ete stabilitu regula ního obvodu podle obrázku 3.60.
v
GS s
ešení: P enos rozpojeného obvodu je G0 s
1
1 3s 0,3s 3
1 s2
2s 1
0,9 s
0,3s GR s
3s 1 3s 3 6 s 2 3s
4
3
1
1 s2
y 2s 1
w
1 3s
Obr. 3.60
Z n ho získáme charakteristickou rovnici rozpojeného obvodu podle (3.66)
M(s)+N(s)=0
0,9 s 4 3s 3 6s 2 6s 1 0 Vidíme, že je spln na nutná podmínka kladnosti všech koeficient a sestavíme tedy determinant H3 a vy íslíme ho 3 6 0
H3
0,9 6 1 66,6 0 3 6 Determinant H3 je kladný a proto je regula ní obvod stabilní. P íklad 3.30: Pro jaké hodnoty integra ní asové konstanty Ti u PI regulátoru zapojeného v obvodu podle obr. 3.61 je regula ní obvod stabilní? ešení: P enos rozpojeného obvodu je
1 1 r0 1 s 3s 1 Ti s
G0 s
v
GR s
Ti r0 s r0 3Ti s 3 Ti s 2
GS s
a z n ho charakteristická rovnice 3Ti s
3
Ti s
2
Ti r0 s r0
0
r0 1
1 Ti s
1 s 3s 1
y w
Obr. 3.61 Za p edpokladu r0 , Ti 0 jsou všechny koeficienty kladné (nutná podmínka stability) a Hurwitz v determinant H2 má tvar Ti r0 H2 Ti r0 Ti 3 3Ti Ti r0
Aby byl obvod stabilní, musí být H2 0 a to znamená Ti 3 [s]. P i Ti = 3[s] bude obvod na hranici stability, protože determinant je nulový. Konstanta r0 (zesílení regulátoru) nemá v tomto p ípad na stabilitu vliv. P íklad ukazuje, že Hurwitzovým kritériem m žeme pom rn snadno ur it rozmezí jednotlivých parametr , pro které je obvod stabilní.
3.14.2
Routh-Schurovo kritérium Kritérium vychází op t z charakteristické rovnice obvodu (3.64) an s n
... a 1 s
a0
0
a je to v podstat algoritmus, podle kterého provádíme postupnou redukci charakteristické rovnice na rovnici nižšího stupn , až se dostaneme k rovnici druhého stupn . Regula ní obvod je stabilní, když jsou koeficienty všech rovnic p i postupné redukci charakteristické rovnice kladné.
72
Schéma redukce je následující: napíšeme koeficienty redukované rovnice do ádku od nejvyšší mocniny k nejnižší (možno i naopak) podtrhneme sudé koeficienty v po adí (každý druhý) každý podtržený koeficient násobíme podílem dvou nejvyšších koeficient an / an-1 a výsledek napíšeme do druhého ádku posunutý o jedno místo vlevo druhý ádek (který má leny vždy ob jeden prvního ádku) ode teme od prvého ádku a dostaneme t etí ádek koeficienty t etího ádku jsou koeficienty rovnice o jeden stupe nižší, než byla redukovaná rovnice, nebo na míst nejvyššího koeficientu jsme dostali nulu an an-1 an-2 an-3 an-4 an an 1 an an an an 1 an 3 an 5 an 1 an 1 an 1 0
an
an-1
2
an an an 1
an
an-3
3
4
an an 5 an 1
redukci provádíme tímto zp sobem dále až na rovnici 2. stupn (t i koeficienty). Nulu na za átku ady koeficient neuvažujeme. Koeficienty u všech redukovaných rovnic musí být kladné. To je podmínka stability. P íklad 3.31: Ur ete stabilitu regula ního obvodu zadaného na obr. 3.62.
v
G0 s
0,33s 5
s4
1 1,66s 3 4s 2
GR s
y 2s 2
w
1 1 3s
Obr. 3.62
ešení: Nejd íve jako obvykle stanovíme p enos rozpojeného obvodu
G0 s
3s 1 3s 0,33s 5
s
4
1 1,66 s 3 4s 2
2s 2
s
6
3s
5
3s 1 5s 12 s 3 6s 2 6 s 4
Charakteristická rovnice obvodu je s 6 3s 5 5s 4 12 s 3 6 s 2 9 s 1 0
1 1 0
3 3 3 0
5 4 1 1 1 0
12 12 9 3 3 3 0
6 3 3 3 2 1 1
9
1
(1/3)
9 3 6
1
(3)
1
(1/3)
1
(3)
6 3 3
Podle daného algoritmu Routh-Schurova kritéria provádíme nyní postupnou redukci stupn charakteristické rovnice Koeficienty u všech stup rovnic jsou kladné a proto je obvod stabilní.
1
73
3.14.3
Michajlov-Leonhardovo kritérium
Je to frekven ní kritérium, které vychází z charakteristické rovnice obvodu (3.64) a n s n ... a 1 s a 0 0 Z levé strany této rovnice utvo íme funkci an s n
H s
... a 1 s
(3.68)
a0
kde s je stejn jako v charakteristické rovnici (3.64) komplexní prom nná. Kritérium hodnotí stabilitu podle k ivky, kterou opíše koncový bod charakteristického vektoru H(j ) v komplexní rovin p i zm n frekvence od 0 do . Vektor H(j ) vznikne z charakteristické funkce (3.68) dosazením s = j
H j
n
an j
.... a1 j
a0
(3.69)
Tuto k ivku nazýváme k ivkou H(j ) nebo také Michajlovov-Leonhardovou k ivkou. (A.V. Michajlov, ruský matematik, jeho práce uve ejn na v roce 1938; A. Leonhard, n mecký technik, práce uve ejn na v roce 1943). Michajlov-Leonhardovo kritérium stability: Aby byl regula ní obvod stabilní, musí Michajlov-Leonhardova k ivka H(j ) za ínat na kladné reálné poloose komplexní roviny a se vzr stajícím od 0 do musí projít postupn (tj. v po adí) v kladném smyslu (proti pohybu hodinových ru i ek) tolika kvadranty, kolikátého stupn je charakteristická rovnice. Nap . pro rovnici 3.stupn je obvod stabilní nebo nestabilní, má-li k ivka H(j ) pr b h podle obr. 3.63. H(j )
n=3
Im
Im
=0 Re H(j )
=
stabilní
H(j )
=
Im
=0
=
H(j )
=
Im
Re
=0 Re
Re
na hranici stability
=
=0 Re
=0
H(j ) nestabilní
nestabilní
Im
nestabilní
Obr. 3.63
K ivku H(j ) není nutné vždy kreslit celou, posta í jen vypo ítat polohu jejich pr se ík se sou adnými osami. V tom p ípad se reálná a imaginární ást v y výrazu H(j ) položí rovna nule a 1 G s S z toho se vypo ítají frekvence s 0,1s 1 0,5s 1 zmín ných pr se ík . Z frekvencí w se pak ur í jejich poloha a 1 GR s 50 1 0,1s z polohy snadno ur íme pr b h 0,5s celé charakteristiky. P íklad 3.31: Ur ete stabilitu regula ního obvodu podle obr. 3.64.
Obr. 3.64
ešení: P enos rozpojeného obvodu je 1 1 G0 s 50 1 0,1s s 0,1s 1 0,5s 1 0,5s
74
5s 2 50s 100 0,05s 4 0,6s 3 s 2
Charakteristická rovnice je 0,05s 4 Michajlov-Leonhard v vektor H j
0,05 j
4
0,6 j
3
6 j
0,6 s 3 2
6s 2
50s 100 0
50 j
100
0,05
4
6
2
100
j
50 0,6
2
Im Re K tomuto výrazu sestrojíme na základ tab. 3.6 Michajlov-Leonhardovu k ivku H(j ) – obr. 3.65. Protože stupe charakteristické rovnice je n=4 a k ivka prochází v kladném smyslu ty mi za sebou jdoucími kvadranty, je regula ní obvod stabilní.
0 0,5 1 2 3 5 7 8 9 9,5 10 10,2
3.14.4
Re 100 98,5 94 76,8 50 -18,8 -74 -79,2 -58 -34,2 0 17
Im 0 24,9 49,4 95,2 133,8 175 144,2 92,8 12,6 -39,4 -100 -126,7
7
5 150 Im
3 2
100
8
50 9 -100
-50
9,5 0 -50 -100
Tab. 3.6
-150
50
1 0,5 =0 100 Re
10 10,2 H(j )
Obr. 3.65
Nyquistovo kritérium
Je to frekven ní kritérium, které je založeno na znalosti pr b hu frekven ní charakteristiky rozpojeného obvodu. M že být použito i pro regula ní obvody s dopravním zpožd ním, kde nelze použít algebraických kritérií. Další jeho výhodou je to, že nemusíme znát ani analytický tvar p enosu rozpojeného obvodu, sta í experimentáln získaná frekven ní charakteristika. A proti algebraickým kritériím má p ednost také v tom, že stabilitu zkoumáme nejen z kvantitativního hlediska (stabilní i nestabilní), ale i z hlediska kvalitativního, jak dalece je obvod stabilní. Kritérium vychází z p enosu rozpojeného obvodu (3.45), který si podle (3.65) m žeme vyjád it ve tvaru podílu polynom M s G0 s GS s GR s N s K p enosu rozpojeného obvodu G0(s) sestavíme frekven ní p enos rozpojeného obvodu G0(j ) a známým zp sobem sestrojíme frekven ní charakteristiku rozpojeného obvodu. Prochází-li frekven ní Im charakteristika rozpojeného obvodu Re -1 0 kritickým bodem –1, je obvod na hranici stability. G0(j ) Regula ní obvod je stabilní, G0(j ) stabilní jestliže kritický bod [-1, 0] leží vlevo od frekven ní charakteristiky na hranici stability rozpojeného obvodu G0(j ) pro G0(j ) frekvence od 0 do . nestabilní Obr. 3.66
75
Pr b h charakteristik pro stabilní obvod, pro obvod na hranici stability a pro nestabilní obvod je na obr. 3.66. P íklad 3.33: Vyšet ete stabilitu regula ního obvodu podle obr. 3.67.
v
y
1 s 1 10s 1
GS s
GR s
0,5 0,6 0,316 w
1 s
-2
-1,5
Obr. 3.67
0,25
ešení: P enos rozpojeného obvodu je
G0 s
0,2 0,23 0,25 0,316 0,5 0,6 1
1 s s 1 10 s 1
Re -2,12 -1,66 -1,43 -0,91 -0,34 -0,22 -0,05
Im -0,58 -0,32 -0,20 0 0,09 0,08 0,04
-1
G0(j )
0,23
Im 0,1
1 -0,5
0
Re -0,1 -0,2 -0,3 -0,4
-0,5 Frekven ní 0,2 Obr. 3.68 -0,6 p enos G0(j ) rozd líme na reálnou a imaginární ást a sestrojíme frekven ní charakteristiku rozpojeného obvodu v komplexní rovin (tab. 3.7, obr. 3.68). Kritický bod [-1, 0] leží vlevo od frekven ní charakteristiky G0(j ) a proto je obvod stabilní.
Tab. 3.7
3.15 Nastavení regulátor metodou Ziegler-Nichols Umíme už vyšet it stabilitu regula ního obvodu, když známe parametry regulované soustavy a parametry regulátoru. Parametry soustavy jsou dány její konstrukcí a jsou tedy známé. Jak ale zjistit parametry regulátoru? Parametry regulátoru se snažíme volit tak, aby pr b h regula ního pochodu byl co nejlepší. Aby regula ní pochod netrval dlouho a brzy se ustálil a aby maximální p ekmit regulované veli iny nebyl p íliš veliký. Jsou dosti složité a teoreticky náro né metody, jak se k takovému optimálnímu se ízení regulátoru dostat. Nejznám jší z nich je metoda minima kvadratické regula ní plochy a jsou i další metody. V praxi se však ujala velmi jednoduchá a nenáro ná metoda, která je obecn velmi rozší ená. P vodn to byla praktická a ryze empirická metoda pro nastavení parametr regulátoru p ímo v provozním zapojení. Bývá také nazývána metodou se ízení regulátoru podle kritického zesílení. Publikována byla v roce 1942 a výsledky byly pozd ji potvrzeny i teoreticky. Tuto metodu lze aplikovat i po etn . Nejd íve si uve me se izování parametr regulátoru ZieglerNicholsovou metodou v provozním zapojení. Základní myšlenkou metody je p ivést obvod na hranici stability, nebo optimální nastavení s tímto kritickým nastavením souvisí (je od n j „blízko“, dá se z n ho odvodit). Za kritické nastavení (na mezi stability) považujeme takové, p i n mž jsou integra ní a deriva ní složka vy azeny, tj. Ti , Td 0 (respektive r-1 0 , r1 0) a zm nou zesílení r0 je obvod p iveden na hranici stability.
76
Zesílení r0 kterým jsme obvod dostali na hranici stability se nazývá kritické zesílení r0k. Na hranici stability kmitá obvod netlumenými kmity o konstantní amplitud a d ležité je zm it práv dobu t chto kmit a to je tzv. kritická perioda Tk . Na základ znalostí t chto dvou parametr r0k a Tk zjistíme z tab. 3.8 optimální parametry pro jakýkoliv typ regulátoru. Postup p i se izování regulátoru metodou Ziegler-Nichols je tedy následující:
typ reg.
r0
Ti
Td
P
0,5 r0k
-
-
PI
0,45 r0k 0,83 Tk
PD
0,4 r0k
-
0,05 Tk
PID
0,6 r0k
0,5 Tk
0,12 Tk
I *)
-
2 Tik
-
Tab. 3.8
-
Se ízení podle Ziegler-Nicholse
vy adíme integra ní a deriva ní složku regulátoru (Ti , Td 0 respektive r-1 0 , r1 0) pomalu zvyšujeme zesílení r0 regulátoru, až se dostaneme na netlumené kmity o konstantní amplitud a konstantní period . Ode teme zesílení (to bude kritické zesílení r0k) a zm íme dobu kmitu (kritická - ozna íme Tk). z kritického zesílení r0k na hranici stability a z kritické doby kmitu Tk ur íme podle tab. 3.8 optimální parametry regulátoru, které m žeme na skute ném regulátoru nastavit. *) U integra ního regulátoru se obvod dostane do kritického stavu (na mez stability) zm nou integra ní konstanty regulátoru Ti , p i emž tuto kritickou hodnotu ozna íme Tik . Z ní se odvozuje optimální nastavení I regulátoru. Se ízení regulátoru metodou Ziegler-Nichols je velmi jednoduché a v praxi používané. Zaru uje dobrý pr b h regula ního pochodu, nelze však stoprocentn tvrdit, že je to nastavení optimální. Je to nastavení blízké optimálnímu. Je možné, že p i další zm n parametr regulátoru bychom docílili menší ymax a kratší dobu regulace TR . Metoda se ízení Ziegler-Nichols selhává u strukturáln stabilních a strukturáln nestabilních obvod (p i vy azení integra ní a deriva ní složky), protože tyto obvody se nedají p evést do kritického stavu (na mez stability). U strukturáln nestabilních obvod je se ízení regulátoru samo o sob nesmysl. Toto byla ve stru nosti verze Ziegler-Nicholsovy metody v provozním zapojení. Všechny popsané úkony se mohou provád t po etn a tak dop edu podle této metody ur it optimální nastavení regulátoru a pak ho teprve realizovat na skute ném regulátoru. Ukážeme si to na p íkladech. P íklad 3.34: Metodou Ziegler-Nichols ur ete optimální nastavení P regulátoru v obvodu podle obr. 3.69. ešení: První krok by byl vy adit integra ní a deriva ní složku, což u P regulátoru nepadá v úvahu. Potom zm nou zesílení regulátoru p ivedeme obvod na mez stability. P enos rozpojeného obvodu a charakteristická rovnice jsou r0 G0 s s s 0,5 s 1
v
GS s
1 s s 0,5 s 1 GR s
r0
y w
Obr. 3.69
s 3 1,5s 2 0,5s r0
0
P ivést obvod na hranici stability znamená, že musí platit
77
1,5 r0 0,75 r0 0 r0 k 0,75 1 0,5 Kritické zesílení (na hranici stability) je známé a z n ho podle tab.3.8 ur íme optimální zesílení H2
r0 0,5 r0 k 0,5.0,75 0,375 Stabilita obvodu s tímto zesílením je z ejmá, nebo vidíme, že pro tuto hodnotu r0 je H2 P íklad 3.35: Metodou ZieglerNicholsovou ur ete optimální nastavení regulátor P, PI, PD a PID pro regulovanou soustavu podle obr. 3.70.
v
GS s
0. y
1 ss 1 s 2
w 1 ešení: Nejd íve uvažujeme regulátor P G R s r0 1 Td s Ti s (vy adíme integra ní a deriva ní složku) a ur íme kritické zesílení r0 tohoto regulátoru (hranice stability) a potom ur íme periodu Obr. 3.70 kmit Tk na hranici stability r0 r0 G0 s s 3 3s 2 2s r0 0 3 s s 1 s 2 s 3s 2 2 s Na hranici stability je 3 r0 H2 6 r0 0 r0 k 6 1 2 Nyní ješt ur it periodu kmit na hranici stability. Práv na hranici stability bude mít charakteristická rovnice dvojici imaginárních ko en – ko en na imaginární ose s1 , 2 0 j a jejich hodnota je práv úhlová frekvence kmit vzpome me si, že p i ko enech a jb je ešení diferenciální rovnice y ... e at C1 cos bt C2 sin bt ... . Dosadíme tedy do charakteristické rovnice na hranici stability ko eny s1,2 a dostáváme 3 2 j 3 j 2 j 6 0 Rovnat nule se musí reálná i imaginární ást 3 2 6 0 2 3 2 0 Toto je úhlová frekvence na hranici stability a z ní m žeme spo ítat kritickou periodu Tk 2 2 Tk 4,44 s 2 Podle tab.3.8 je optimální nastavení p i r0k = 6 , Tk = 4,44 s pro jednotlivé typy regulátor následující P r0 = 0,5 r0k = 3 PI r0 = 0,45 r0k = 2,7 Ti = 0,83 Tk = 3,68 s PD r0 = 0,4 r0k = 2,4 Td = 0,05 Tk = 0,22 s PID r0 = 0,6 r0k = 3,6 Ti = 0,5 Tk = 2,22 s Td = 0,12 Tk = 0,53 s v
P íklad 3.71: Metodou Ziegler-Nicholsovou ur ete optimální nastavení I regulátoru pro soustavu podle obr. 3.71. Obr. 3.71
78
GS s GR s
1 s 1 s 2 1 Ti s
y w
ešení: Zm nou Ti p ivedeme obvod na hranici stability. P enos rozpojeného obvodu G0(s) a odpovídající charakteristická rovnice jsou
G0 s
1 Ti s s 1 s
Ti s 3
2
3Ti s 2
2Ti s 1 0
Na hranici stability musí platit 3Ti Ti
H2
1 2Ti
Ti 6Ti 1
0
Tik
1 s 6
Optimální nastavení I regulátoru podle
tab. 3.8 je Ti = 2.Tik = 0,33 s . v
GS s GR s
a2 s 2 r0 1
1 a1s a0
y
1 Td s Ti s
w
P íklad 3.36: Zd vodn te, pro nelze Ziegler-Nicholsovu metodu nastavení parametr regulátor použít pro nastavení jakéhokoliv regulátoru (s výjimkou I regulátoru) p i regulaci obecné statické soustavy se zpožd ním 2. ádu – obr. 3.72.
ešení: První etapa nastavování podle Ziegler-Nicholsovy metody je vy adit Obr. 3.72 integra ní a deriva ní složku a p ivést zm nou zesílení r0 obvod na hranici stability. P enos rozpojeného obvodu a z n ho charakteristická rovnice jsou r0 G0 s a2 s 2 a1s a0 r0 0 2 a2 s a1s a0 Charakteristická rovnice jasn ukazuje na strukturáln stabilní obvod, nebo a0 ,a1 ,a2 ,r0 jsou kladné koeficienty a tento obvod nelze zm nou zesílení r0 p ivést na hranici stability.
Kontrolní otázky 1. Nakreslete blokové schéma regula ního obvodu a vyzna te jeho veli iny. 2. Vysv tlete pojem transformace funkce. Co je to p ímá a zp tná transformace? Jak se formáln ozna ují? 3. Uve te definici Laplaceovy transformace. Co víte o slovníku Laplaceovy transformace? 4. Ur ete Laplace v obraz lineární funkce f(t) = t výpo tem podle defini ního vztahu. 5. Ur ete originál k Laplaceovu obrazu F s
1 s 1 s
2
.
6. Co je to statická charakteristika systém a jak ji získáváme? 7. Co je to vn jší popis systému a jaké druhy vn jšího popisu znáte? 8. Uve te obecnou diferenciální rovnici systému a podmínku fyzikální realizace. 9.
ekn te definici p enosu a napište výpo tový vzorec pro p enos z koeficient diferenciální rovnice.
10. Jaké znáte tvary p enosu – rozve te. 11. Jak spo ítáte odezvu regula ního lenu na známou vstupní funkci?
79
12. Zvolte si diferenciální rovnici systému a ur ete jeho p enos a naopak ze zvoleného p enosu napište diferenciální rovnici systému. 13. Uve te definici impulsní funkce. Jak se získá ze známého p enosu? 14. Vypo t te impulsní funkci a sestrojte impulsní charakteristiku pro p enosy G s Gs
2 s
3
3 a s
.
15. Uve te definici p echodové funkce. Jak se získá ze známého p enosu? 16. Pro p enosy z p .14 vypo t te p echodovou funkci a sestrojte p echodovou charakteristiku. 17. Ur ete správný název regula ních len s p enosy a) G s
s s 1
b) G s
1 ss 1
c) G s
s 1 5s 1
d) G s
s
2
18. Jaká je definice frekven ního p enosu a jak se vypo ítá z koeficient rovnice?
s s 1 diferenciální
19. Jak se konstruuje frekven ní charakteristika z frekven ního p enosu? Uve te dva zp soby konstrukce. 20. Jak se experimentáln zjiš uje frekven ní charakteristika regula ního lenu? 21. Na zvoleném p íkladu vysv tlete podstatu dopravního zpožd ní u regulovaných soustav. Jaký vliv má dopravní zpožd ní na regulaci? 22. Jak se dopravní zpožd ní projeví v diferenciální rovnici, v p enosu a frekven ním p enosu? 23. ešte vámi zvolené p íklady na blokovou algebru, které odpovídají p íklad m v textu. 24. Pro jednotlivé typy regulátoru uve te jejich rovnici, p enos, frekven ní a p echodovou charakteristiku. 25. Jak se z opera ních zesilova
vytvá í jednotlivé typy regulátor ?
26. Jaké vlastnosti v regula ním pochodu mají jednotlivé typy regulátor ? 27. Kaká je obecná podmínka stability regula ního obvodu? Co je to charakteristická rovnice a jak se získá? Dopl ující podmínky stability. 28. Uve te zn ní a vysv tlete použití Hurwitzova kritéria. 29. Uve te zn ní a vysv tlete použití Routh-Schurova kritéria. 30. Uve te zn ní a vysv tlete použití Michajlov-Leonhardova kritéria. 31. Uve te zn ní a vysv tlete použití Nyquistova kritéria. 32. Zvolte si regula ní obvody podobné zde uvád ným a vy ešte jejich stabilitu r znými kritérii a porovnejte výsledky a pracnost ešení. 33. Uve te obecný postup p i nastavování parametr regulátor metodou Ziegler-Nichols. 34. ešte p íklady obdobné p íklad m v textu na výpo et optimálních parametr regulátor metodou Ziegler-Nichols. 35. Pro které obvody selhává metoda Ziegler-Nichols a pro ?
80
4. DISKRÉTNÍ
ÍZENÍ
4.1 Diskrétní regula ní obvod Spojité ízení se bez problém používalo do doby, kdy byl za druhé sv tové války vynalezen radiolokátor pro zjiš ování polohy letadel. Poloha letadla je veli ina, která se m ní naprosto spojit v prostoru i ase. Pokud ji ale m íme radiolokátorem, jeví se jako nespojitá veli ina, jejíž hodnotu známe pouze v ur itých periodicky se opakujících okamžicích. A pokud se ídí zam ení protiletadlového kanonu, je vstupní ídicí informace tato nespojitá (v dalším budeme íkat diskrétní) veli ina. A zde práv skon í použití spojitého ízení a nastupuje ízení diskrétní. Regula ní obvod musíme vyšet ovat jako diskrétní regula ní obvod. V dnešní dob je d vod vyšet ování regula ních obvod jako diskrétních hlavn n kde jinde. Je to použití po íta e ve funkci regulátoru. Zatím jsme mluvili o spojitých PID regulátorech, jejichž hardwareovým základem byl opera ní zesilova a které pracovaly naprosto spojit . Regulovaná veli ina – respektive regula ní odchylka – vstupující do regulátoru bylo spojit se m nící nap tí, to bylo v regulátoru zesilováno, derivováno, integrováno a výstupní ak ní veli ina bylo spojit se m nící nap tí, zesíleno ve výkonovém zesilova i pohán lo servomotor atd. Ve spojitém regula ním obvodu existovalo trvalé spojení mezi spojitým pr b hem regulované veliiny y(t) a na ni závislým pr b hem ak ní veli iny u(t). Tato nep etržitost a trvalost sledování není naprosto nutná. Po íta dokáže nahradit regulátor stran zesílení, derivace, integrace, ale jeho vstup nem že být spojit se m nící nap tí, odpovídající regulované veli in . Musíme p edadit analogov -digitální p evodník a tak do po íta e vstupuje už posloupnost impuls – numerických hodnot, a to už je diskrétní veli ina. Regulátor – po íta je schopen pracovat tak, že regulovanou veli inu y zjiš uje pouze v ur itých okamžicích a pouze v t chto okamžicích po ítá hodnotu ak ní veli iny u. Z po íta e vystupuje op t posloupnost impuls (op t diskrétní veli ina), které musí být n jak p etvo eny na spojitou veli inu, která m že otá et servomotorem, a tím zasahovat do regulované soustavy. A použití po íta e ve funkci regulátoru je hlavní d vod pro p echázíme od spojitého ízení k ízení diskrétnímu. Diskrétní regula ní obvody jsou takové, v nichž alespo jeden len pracuje diskrétn , tj. informaci p ijímá nebo vydává, eventuáln obojí, v diskrétních asových okamžicích (zpravidla rovnom rných – ekvidistantních). Jinými slovy, alespo jedna veli ina obvodu má tvar posloupnosti diskrétních hodnot. Tuto vlastnost má ada technických za ízení jako jsou impulsní obvody, íslicové po ítae atd. Vedle tohoto skute ného diskrétního výstupu jsou diskrétní i svou podstatou spojité veliiny, které nemohou být m eny spojit . Jsou to již vzpomenuté polohy objekt , m ené radiolokátory. Nebo veli iny, jejichž hodnoty jsou p enášeny dálkovým p enosem s diskrétním charakterem apod. Dnes ovšem nej ast jším p ípadem diskrétního systému ízení je použití íslicového po íta e jako regulátoru v systému automatického ízení.
f(4T)
f(3T)
f(2T)
f(T)
f(kT)
f(0)
Ješt než se dostaneme k diskrétnímu regula nímu obvodu, zavedeme si pojem diskrétní funkce. Diskrétní funkce f(kT) je charakterizována posloupností hodnot f(0), f(T), f(2T), … v tzv. vzorkovacích okamžicích, tj. v ase t = 0, T, 2T, … (obr. 4.1). Mimo asové okamžiky vzorkování není funkce f(kT) definována – není informace o hodnot p íslušné veli iny než v uvedené asové okamžiky. asové okamžiky, v nichž je funkce f(kT) definována jsou ekvidistantní t = kT, kde k = 0, 1, 2, … as t = kT se nazývá diskrétní as a zápisem funkce f(kT) je na první pohled jasné, že
kT 0 T 2T 3T 4T Obr. 4.1
81
se jedná o diskrétní asovou funkci. Hodnota T se nazývá vzorkovací perioda, má rozm r [s] a je vztahem v
2 T
(4.1)
vázána se vzorkovací frekvencí v . Blokové schéma diskrétního regula ního obvodu je na obr. 4.2. Jedná se o nejb žn jší typ regula ního obvodu, kdy je regulována spojitá soustava, tudíž máme spojitou regulovanou veliinu y(t). Ta je prost ednictvím analogov -digitálního p evodníku (v regula ní technice nazývaný vzorkova ) vzorkována s periodou T a p evedena do íslicového tvaru, tj. na diskrétní funkci
v(t) e(kT)
w(kT)
po íta ve funkci regulátoru
y(kT)
u(kT)
u(t) regulovaná y(t) soustava (spojitá) (tvarova )
D–A
A–D (vzorkova )
Obr. 4.2
Diskrétní regula ní obvod
y(kT). Po íta vypo ítá ze vstupní ídicí veli iny w(kT), která je už pochopiteln zadávána v íslicovém tvaru a z y(kT) regula ní odchylku e(kT) a vlastní ídicí algoritmus po íta e ur í hodnotu ak ního zásahu u(kT). Tato hodnota je digitáln -analogovým p evodníkem (v regula ní technice nazývaný tvarova ) p evedena na spojitý signál u(t), který prost ednictvím regula ního orgánu p sobí na regulovanou soustavu.
y(t)
T
Po íta m ve funkci regulátoru, jejich algoritm m a zp sob m, jak nahrazují spojité regulátory (jak provádí zesilování, integraci a derivaci vstupní regula ní odchylky) bude v nována celá jedna kapitola. Na tomto míst se budeme v novat dv ma novým len m regula ního obvodu, které neznáme ze spojitých obvod a to jsou vzorkova a tvarova .
y(kT)
y(t)
t 0 y(kT)
kT 0Obr.T4.32T 3T 4T 5T Vzorkova a vzorkování vzorkovaná regulovaná veli ina v bec ízení je „skryto, utajeno, diskrétní“ a krétní“.
Vzorkova a vzorkování. Vzorkova provádí periodické snímání hodnoty vstupní veli iny – nap . regulované veli iny y. Její hodnotu odebírá v pravidelných intervalech ve form vzork a mezi dv ma odb ry ho pr b h této veli iny nezajímá. Ve schématech se vzorkova , jinak analogov -digitální p evodník, znázor uje jako spína – je to na obr. 4.3, z kterého je také patrný princip vzorkování regulované veli iny y. Princip ízení takto popsaný nazýváme diskrétní podle vlastnosti, že po v tšinu doby není sledována a regulátor nep estavuje ak ní veli inu, takže rovn ž tak p íslušné veli iny jsou „skryty, utajeny, dis-
Základní otázkou diskrétního ízení je délka periody vzorkování T, ili po jak dlouhou dobu m že být regulovaná veli ina bez sledování a regulovaná soustava bez ak ního zásahu.
82
Intuitivn cítíme, že ím je regulovaná soustava „pomalejší“ (p esn ji: ím má delší asové konstanty), tím bude delší i perioda vzorkování. Budeme-li ídit kormidlem kurz zaoceánské lodi, je regulovaná soustava („lo “) pomalá soustava s dlouhými asovými konstantami a m žeme si dovolit p i návrhu automatického diskrétního ízení volit dlouhou vzorkovací periodu. Z této úvahy vycházejí r zné empirické vzorce, které pomáhají p i rychlé volb vzorkok volí vací periody. Podle nich se nap . k regulované soustav o p enosu GS s 1s 1 2 s 1 ... 1 1 až i u soustav s dopravním zpoži 4 2 d ním je vzorkovací perioda volena v závislosti na dopravním zpožd ní TD také ur itými empirickými vztahy. vzorkovací perioda
T
0,5
min
nebo T
Tvarova a tvarování. P sobí-li dis-
u(kT) 3T 4T 5T 6T
kT
3T 4T 5T 6T
t
0 T 2T uT(t)
0 T 2T
krétní signál (konkrétn ak ní zásah u(kT) ) jako vstupní veli ina do spojité regulované soustavy, je pot ebí ho upravit – tvarovat. Diskrétní signál totiž obsahuje adu nekone n krátkých impuls , jejichž amplituda je nositelem informace, v žádném p ípad však energie, kterou by mohl p edávat následujícímu lenu obvodu. Tvarování diskrétního signálu je v podstat jeho p em na na spojitý signál (aspo po ástech spojitý). Tento signál pak musí být schopen p edávat následujícímu lenu jednak informaci a jednak pot ebnou energii.
Obr. 4.4
V tšinou se používá tvarova e nultého ádu a v dalším se zam íme pouze na tento typ tvarova e. Výstupní Obr. veli 4.4 ina tvarova e je po celou dobu periody T konstantní a je rovna amplitud vstupního impulsu, p ivedeného na po átku této periody. Je to schodová (stup ová) funkce a princip tvarova e je patrný z obr. 4.4. P enos tohoto tvarova e je dán vztahem 1 e Ts GT s (4.2) s
4.2 Z – transformace Z – transformace je matematický aparát, který využíváme p edevším p i popisu, analýze i syntéze diskrétních regula ních systém . Má zde stejnou funkci jako Laplaceova transformace u spojitých systém . Laplace v obraz spojité funkce f(t) je dán vztahem (3.2) L f t
f t e st dt
F s 0
Vzorkujeme-li tuto funkci vzorkova em s periodou T dostaneme diskrétní funkci f(kT) a její Laplace v obraz získáme stejn , ale musíme p ejít od integrálu k sum L f kT
f kT e
skT
(4.3)
k 0
Zavedeme-li novou prom nnou z vztahem
z e sT
(4.4)
83
definuje nám tento vztah Z – obraz (na pravé stran zmizelo s, je to funkce nové prom nné z) F z
Z f kT
f kT z
k
f 0
fT z
1
f 2T z
2
...
(4.5)
k 0
Zd razn me, že Z – obraz tímto vztahem definovaný je pouze pro diskrétní funkce a nelze ho použít pro spojité funkce. P íklad 4.1: Ur ete Z – obraz
1
(kT)
jednotkový impuls kT
0
a) jednotkového diskrétního impulsu (kT) b) jednotkové diskrétní skokové funkce (kT) c) diskrétní funkce, kterou získáme vzorkováním spojité funkce f(t)=e-2t se vzorkovací periodou T
kT
1 k 0 k
0 0
T 2T 3T 4T Obr. 4.5
1 0
(kT)
jednotkový skok
ešení: Definice a znázorn ní jednotkového diskrétního impulsu (kT) je na obr. 4.5 a jednotkové diskrétní skokové funkce (kT) vidíme na obr. 4.6. Ob tyto funkce jsou velmi d ležité a budeme je stále pot ebovat, je dobré si jejich definice zapamatovat. Nyní použijeme defini ní vztah Z – obrazu (4.5) a Z – obraz t chto funkcí spo ítáme.
U t chto funkcí se jedná o nekone nou geometrickou adu, v níž každý následující kT kT len ady dostaneme z p edchozího vynásobeT 2T 3T 4T ním kvocientem q. Má-li tato ada první len a0 a kvocient q, je její sou et dán vztahem Obr. 4.6 a0 s . 1 q 1 0 0 ... 1 a) Z kT z 1 1 z 1 z 2 ... b) Z kT 1 1 z z 1 z 1 c) Z e 2 kT 1 e 2T z 1 e 4T z 2 ... 2T 1 1 e z z e 2T
1 k 0 k
0 0
Stejn jako u Laplaceovy transformace se výpo et Z – obraz neprovádí výpo tem podle defini ního vztahu (4.5), jako tomu bylo u t chto p íklad , ale používá se slovník Z - transformace. Ve slovníku Z – transformace jsou obdobn jako u slovníku Laplaceovy transformace diskrétní funkce f(kT) a p íslušný Z – obraz F(z). Ale vedle toho tam jsou v jednom ádku také odpovídající spojitá funkce f(t), z které se vzorkováním diskrétní funkce získala a její Laplace v obraz F(s). To jak uvidíme bude mnohdy velmi užite né. Takový základní slovník je v tab. 4.1. P íklad 4.2: Použitím slovníku Z – transformace ur ete Z – obraz diskrétní funkce f(kT), která vznikne vzorkováním spojité funkce f(t)=t.e-2t, je-li tato vzorkována vzorkova em se vzorkovací periodou T = 2 [s]. ešení: Obraz diskrétní funkce vzniklé vzorkováním spojité funkce f(t)=t.e-2t je podle slovníku F z
Dosadíme-li T = 2 je
84
Tze z e
2T 2T 2
2 ze
F z
z e
4 4 2
z
2
0,037 z 0,037 z 0,018
Poznámka 1: Všimn te si, že po dosazení konkrétní hodnoty T je Z - obraz vždy racionální lomená funkce prom nné z.
f(t)
F(s)
f(kT)
F(z)
(t)
1
(kT)
1
(t)
1 s
(kT)
t
1 s2
kT
t2 2
1 s3
kT 2
e
at
te
at
a
1
s
sin t cos T
a 1
s t T
e
a
2
1 lg a s T
s
2
2
s s
2
2
z z 1 zT
z z 1T2
2
2z 1
z z e
akT
kTe
2
z 1
zTe
akT
z
z
ak
z a
sin kT cos kT
Tab.4.1
z
z2 z
aT
aT aT 2
a
0
z sin T 2 z cos T
2
2
e
3
1
z cos T 2 z cos T 1
Slovník Z - transformace
P íklad 4.3: Ur ete Z – obraz diskrétní funkce, vzniklé vzorkováním spojité funkce, jejíž La1 place v obraz je F ( s ) . 2 ss 1 ešení: Rozložíme funkci F(s) na sou et parciálních zlomk 1 1 1 1 2 s s 1 s 12 ss 1 a použitím slovníku ur íme Z – obraz z z zTe 1 F z z 1 z eT z eT
2
85
Poznámka 2: Pokud budeme v budoucnu v podobných p ípadech používat zkrácené ozna ování Z F s což je v tomto p ípad z z zTe 1 1 Z 2 2 z 1 z eT ss 1 z eT
znamená to ur ení Z – obrazu F(z) diskrétní asové funkce f(kT), která vznikla vzorkováním s periodou T spojité funkce f(t), jejíž Laplace v obraz je F(s). Správn zapsáno je to takto ZF s
ZV L1 F s
(4.6)
kde operace V p edstavuje vzorkování s periodou T. Samoz ejm pro toto hledání „Z – obrazu k Laplaceovu obrazu“ je výhodný slovník Z – transformace se spojitou funkcí a jejím L – obrazem na jednom ádku. P i zp tné transformaci hledáme k danému obrazu F(z) originál, tedy diskrétní asovou funkci f(kT) a toto symbolicky vyjad ujeme zápisem
f kT
Z
1
F z
Zp tnou transformaci m žeme provád t použitím slovníku Z – transformace (obecn je nutno nejd íve provést rozklad v sou et parciálních zlomk ) anebo numericky d lením polynomu itatele polynomem jmenovatele. Tento zp sob si nyní vysv tlíme. Je-li Z – obraz F(z) dán v tvaru zlomku
M z (4.7) N z m žeme provést d lení polynomu M(z) polynomem N(z) a získat mocninnou adu ve tvaru F z
F z
f0
f1 z
1
f2 z
2
...
(4.8)
Porovnáním této ady s defini ním vztahem Z – obrazu (4.8) F z
f 0
1
f T z
f 2T z
2
...
vidíme, že koeficienty mocninné ady (4.11) jsou p ímo hodnoty diskrétní funkce f(kT) f 0
f0 ;
f T
f1 ;
f 2T
f 2 ; ...
áste nou nevýhodou této metody je, že originál dostaneme v tzv. „otev eném“ tvaru, jako posloupnost numerických hodnot. N kdy by se nám tato originální funkce hodila spíše v tzv. „uzav eném“ tvaru, jako algebraický výraz. Výhodou metody zase naopak je, že p i výpotu nap . impulsních nebo p echodových funkcí tyto získáme konkrétn numericky a to je v tšinou žádoucí. D lení polynomu itatele polynomem jmenovatele provádíme jako písemné d lení a bude ukázáno na p íkladu. Na dalším p íkladu bude demonstrováno hledání originálu použitím slovníku Z – transformace a srovnáváno s metodou d lení polynom . P íklad 4.4: Stanovte originál f(kT) k funkci F z
86
z 3 . z z 2 2
ešení:
z 3 : z2 z 1 2z
z 2 1
z
1
2z
2
4z
3
8z
5
... 1
f(T) f(2T) f(3T) f(5T)
0 2 2z 2 2z
1 1
4z
2
0 4z 4z
1
4z 4z
2
1
0
2
0
8z
3
8z
3
0 -1 -2
f(0) = 0 f(T) = 1 f(2T) = -2 f/3T) = -4 f(4T)=0 f(5T)=8 ……….
Grafické znázorn ní funkce f(kT) je na obr. 4.7 P íklad 4.5: Stanovte originál f(k) k funkci F z
f(kT) 2T 3T T
kT 4T 5T
-3 -4 Obr. 4.7
z 3z 4 . z 2 z 3 z 4
ešení: Funkci F(z) rozložíme na parciální zlomky 5z 4z z F z k f(kT) z 2 z 3 z 4 0 0 Podle slovníku Z – transformace v tab. 4.1 je 1 3 z Z 1 ak 2 -23 z a 3 129 a tedy originál k F(z) je … … k k k f kT 2 5 3 4 4 který platí obecn pro k 0. Poznámka ve slovníku a 0 platí pro spojité funkce, kde je lg a.
Prove me ješt kontrolu d lením itatele jmenovatelem. Jmenovatel je z
2 z 3 z
3z 2 4 z : z 3 9 z 2 26 z 24 3z f(T) 3z 2 27 z 78 72 z 1 0
23z 78 72 z 1 23 z 207 598 z 0
129 526 z
1
552 z
2
1
552 z
2
1
23z f(2T)
4 2
z3
9z 2
26 z
24
129 z 3 ... f(3T)
f(0) = 0 ; f(T) = 3 ; f(2T) = -23 ; f(3T) = 129 ;
4.3 Diferen ní rovnice Tak jako základním tvarem matematického popisu spojitých systém jsou diferenciální rovnice, tak základem matematického popisu diskrétních systém jsou diferen ní rovnice. V minulých kapitolách byl zaveden pojem diskrétní funkce f(kT), což je posloupnost diskrétních hodnot f(0), f(T), f(2T), … v ekvidistantních asových okamžicích t = kT, kde k = 0, 1, 2, …atd. V diferen ních rovnicích budeme bez vlivu na obecnost p edpokládat T = 1 [s] a diskrétní as bude k místo kT. Posloupnost diskrétních
f(k) f(0)
f(1) f(2)
0
1
2
f(3) k 3
Obr. 4.8
87
funk ních hodnot tedy bude f(0), f(1), f(2), …atd., viz obr. 4.8. Základem diferen ních rovnic je pojem diference funkce (zde už stále máme na mysli diskrétní funkci). První diference je dána rozdílem dvou sousedních diskrétních hodnot. P itom je možno použít dvou zp sob definování diferencí, a to jako dop ednou diferenci anebo jako zp tnou diferenci: dop edná diference
f k
f k 1
zp tná diference
f k
f k
f k
(4.9)
f k 1
V obou p ípadech je první diference analogií první derivace u spojitých funkcí (ur uje rychlost zm ny funkce a geometricky je to sm rnice te ny). Druhá diference (dop edná i zp tná) je zavedena vztahem 2 2 f k f k 1 f k f k f k f k 1 (4.10) a je možno ji vy íslit z funk ních hodnot 2 2
f k
f k 2
f k
f k
f k 1 f k 1
f k 1 f k 1
f k
f k 2
f k 2
f k
2f k 1
2f k 1
f k
(4.11)
f k 2
Postupn m žeme zavést vyšší diference a vždy je možné je vy íslit funk ními hodnotami (p itom platí, že ád diference je roven nejvyššímu posunutí u funk y(k) u(k) ních hodnot). Lineární diferen ní rovnici diskrétního systému podle obr. 4.9 n-tého ádu s konstantními koeficienty a s pravou stranou m žeme napsat v tzv. diferen ním tvaru
Obr. 4.9
s dop ednými diferencemi n n
yk
m
...
1
yk
0
yk
m
...
1
yk
0
yk
m
uk
...
1
uk
0
uk
(4.12)
uk
(4.13)
se zp tnými diferencemi n n
yk
m
uk
...
1
uk
0
kde u(k) je známá vstupní diskrétní funkce systému y(k) je hledaná výstupní diskrétní funkce systému. Jestliže v t chto diferen ních rovnicích nahradíme diference jejich funk ními hodnotami podle vztah (4.11) …atd., dostaneme rekurentní tvar diferen ní rovnice z dop edných diferencí
an y k n
... a1 y k 1
a0 y k
bmu k m
... b1u k 1
b0u k
(4.14)
... bmu k m
(4.15)
ze zp tných diferencí
a0 y k
a1 y k 1
... an y k n
b0u k
b1u k 1
Diferen ní rovnice z dop edných diferencí (4.14) je uvád na jako diferen ní rovnice s kladnými posunutími. Po áte ní podmínky jsou zde dány funk ními hodnotami y(0), y(1), … y(n-1).Tento tvar je b žný v matematické literatu e, ale v technických disciplinách se užívá a je výhodn jší druhý tvar (4.15) ze zp tných diferencí, který se nazývá tvar diferen ní rovnice se zápornými posunutími. Po áte ní podmínky jsou zde dány posloupností hodnot y(-1), y(-2), … y(-n) a tyto jsou v tšinou nulové.
88
Nyní si ukážeme , jak se diferen ní rovnice eší. B žné a v praxi používané je numerické n kdy nazývané rekurentní ešení diferen ních rovnic. P íklad 4.6:
ešte numericky diferen ní rovnici (kladná posunutí)
yk 3
4y k 2
0,5 y k 1
3y k
6u k 1
u(k)=2k 8
2u k
Protože se jedná o diferen ní rovnici t etího ádu, jsou zadané t i po áte ní podmínky y (0) 1 ; y (1) 3 ; y (2) 4 a funkce na pravé stran rovnice (vstupní funkce) u k 2 k (obr. 4.10).
4
4
2
2
1 0
k
1 2 3 Obr. 4.10
po áte ní podmínky
-148,25
ešení: Rovnici upravíme tak, aby na levé stran byla hodnota výstupní funkce y s nejv tším posunutím. ešení neboli posloupnost hodnot y(k) pak spo ítáme postupným dosazováním k = 0, 1, 2, … atd. pro libovolný po et y(k) 43 hodnot. 4 1 3 3 5 k yk 3 4 y k 2 0,5 y k 1 3 y k 6u k 1 2u k 0 1 2 4 y0 1 -7,5 y1 3 Obr. 4.11 y2 4
k = 0: y 3
4y 2
0,5 y 1
3y 0
6u 1
2u 0
4.4 0,5.3 3.1 6.2 2.1
k = 1: y 4
4y 3
0,5 y 2
3y 1
6u 2
2u 1
4.( 7,5) 0,5.4 3.3 6.4 2.2
k = 2: y 5
4y 4
0,5 y 3
3y 2
6u 3
7,5 43
2u 2
= 4.43 0,5.( 8,5) 3.4 6.8 2.4
148,25
……………. atd., graf ešení je na obr. 4.11. Poznámka: ešení nedostáváme v uzav eném tvaru. Postup je velice snadno algoritmizovatelný a p evoditelný do programu.
P íklad 4.7:
ešte numericky diferen ní rovnici (záporná posunutí) yk
2y k 1
sin k pro k
pro vstupní funkci u k
yk 2
0,5u k
uk 1
0 a pro nulové po áte ní podmínky y(-1) = y(-2) = 0.
ešení: Vyjád íme na levé stran rovnice len s „nejmenším“ posunutím yk
2y k 1
yk 2
0,5u k
uk 1
a postupn dosazujeme k = 0, 1, 2, …a dostáváme ešení diferen ní rovnice
k = 0:
y0
2y 1
k = 1:
y1
2y 0
y 1
k = 2:
y2
2y 1
y0
y
2
0,5u 0 0,5u 1
0,5u 2
u 1 u0
u1
2.0 0 0,5.0 0
2.0 0 0,5.0,84 0,42 2.0,42 0 0,5.0,91 1,295
……………atd
89
4.4 Matematický popis diskrétních len Prakticky stejné matematické popisy jako známe u spojitých systém jsou i u diskrétních systém , pouze místo diferenciálních rovnic používáme diferen ní rovnice a místo Laplaceovy transformace používáme Z – transformaci. Seznámíme se s b žn užívanými popisy diskrétních len (frekven ním p enosem a charakteristikou, jejichž používání není u diskrétních len tak asté jako u spojitých se zabývat nebudeme): diferen ní rovnice
p echodová funkce a charakteristika
Z – p enos
frekven ní p enos
impulsní funkce a charakteristika
frekven ní charakteristika
Diferen ní rovnice a Z – p enos u(k)
y(k) Obr. 4.12
y k
a1 y k 1
M jme diskrétní systém s jednou vstupní veli inou u(k) a jednou výstupní veli inou y(k) podle obr. 4.12. Jak vstupní tak výstupní veli ina jsou diskrétní asové funkce. Tento systém m žeme popsat diferen ní rovnicí se zápornými posunutími ... a n y k
n
b0 u k
b1u k 1
... bm u k
m
(4.16)
anebo diferen ní rovnicí s kladnými posunutími
an y k
n
a n -1 y k
n 1
... a0 y k
bm u k
m
... b0 u k
(4.17)
V regula ní technice a v technické praxi v bec se více používají diferen ní rovnice se záporným posunutím. Koeficient a0 u hodnoty y(k) (u rovnic se zápornými posunutími (4.16)) bývá standardn normalizován na hodnotu 1, což umož uje výhodn ur it ešení y(k) numerickým zp sobem. Jedná se o pod lení celé rovnice tímto koeficientem, pokud tento není jednotkou – p i numerickém ešení pak není t eba neustálého d lení koeficientem a0 . Tak jako u lineárních spojitých systém vyjad ujeme jejich popis pomocí p enosu v Laplaceov transformaci, m žeme vlastnosti diskrétních systém vyjád it pomocí Z – p enosu, který je definovaný jako pom r Z – obrazu výstupu a vstupu p i nulových po áte ních podmínkách Y z Z y kT Gz (4.18) U z Z u kT Z – p enos získáme z diferen ní rovnice (4.16), což je samoz ejm rovnice se zápornými posunutími podle vzorce, který je analogický se vzorcem pro p enos spojitého systému z jeho diferenciální rovnice Gz
Y z U z
b0 b1 z 1 a1 z
1 1
... bm z m ... an z n
(4.19)
Z – p enos G(z) diskrétního systému sehrává stejnou úlohu jako p enos (Laplace v) spojitého systému. Poznámka 1: Z – p enos m žeme kdykoliv vynásobením itatele i jmenovatele nejvyšší mocninou z p evést na Z - p enos s kladnými exponenty.
90
P íklad 4.8: Diskrétní regula ní len je popsán diferen ní rovnicí y k 5 y k 1 1,2 y k 2 3,5u k 2u k 1
4u k
2
Ur ete Z – p enos a p eve te ho na p enos s kladnými exponenty. ešení:
Gz
3,5 2z 1 4z 2 1 5z 1 1,2z 2
Gz
3,5z 2 2z 4 z 2 5z 1,2
Použití Z – p enosu pro ur ení odezvy systému: Analogicky k p enosu u spojitých systém lze pomocí Z – p enosu ur it Z – obraz výstupu Y(z) pro daný vstupní signál u(k) a jemu p íslušný Z – obraz U(z) (za p edpokladu nulových po áte ních podmínek) Y z G zU z (4.20) a zp tnou Z – transformací ur it odezvu y(k)
y
Z
1
G zU z
(4.21)
Poznámka 2: P i používání diferen ní rovnice systému s kladnými posunutími (4.17) lze stejným zp sobem jako u rovnice se zápornými posunutími odvodit vzorec pro Z – p enos z této rovnice bm z m ... b1 z b0 Y z (4.22) Gz U z an z n ... a1 z a0
Impulsní funkce a charakteristika Diskrétní impulsní funkce je odezva systému na jednotkový impuls (k) na vstupu (obr. 4.13). Jednotkový impuls (k) byl již definován a znázorn n (trochu odlišn od definice pro spojité systémy) v p íkladu 4.1 1 k 0 y(k) g(k) 1 u(k) (k) k (4.23) k 0 0 k k V operátorovém slovníku Z – transformace m žeme nalézt, že jeho Z – obraz je roven jedné neboli Obr. 4.13 Z k 1. Graf impulsní funkce je impulsní charakteristika. Pro impulsní funkci je zavedeno ozna ení g(k).
Jelikož je Z – obraz jednotkového impulsu roven jedné Z p enosu Z gk Y z Gz Z gk U z Z k
k
1 plyne z definice Z –
(4.24)
kam jsme za vstupní funkci dosadili jednotkový impuls a za výstupní funkci impulsní funkci, že Z – obraz impulsní funkce je roven práv Z – obrazu p enosu. Tím pádem m žeme napsat, že Z gk Gz a tedy mezi impulsní funkcí a Z - p enosem je vztah mezi originálem a Z – obrazem. Impulsní funkci získáme ze Z – p enosu zp tnou Z – transformací gk
Z
1
Gz
(4.25)
Druhý zp sob jak získat výpo tem impulsní funkci je z diferen ní rovnice systému, kde se za vstupní funkci dosadí jednotkový impuls (k) a to bude ukázáno v následujícím p íkladu. P íklad 4.9: Systém je popsán diferen ní rovnicí
91
yk
5y k 1
6y k 2
2u k
7u k 1
Ur ete impulsní funkci r znými zp soby a potom k ní na rtn te impulsní charakteristiku. ešení: Stanovíme Z – p enos a p evedeme ho na tvar s kladnými exponenty
2 7z 1 1 5z 1 6 z
Gz
2z 2 7z z 2 5z 6
2
Z G(z) získáme g(k) zp tnou transformací podle (4.31) Zp tnou Z – transformaci m žeme provedeme d lením polynom 2z 2 7z : 2 z 2 10 z 0 3z 3z 0
z 2 5 z 6 2 3z 1 3z g(0) g(1) g(2) 12 12 15 18 z 1 3 3 0
18 z 15 z 3z
2
3z g(3)
3
33 z g(4)
4
...
k g(k) 0 2 1 3 2 3 3 -3 4 -33
1 1 1
18 z
2
18 z
2
3z 1 0
15 z 33 z
2 2
18 z 18 z
itatele a jmenovatele.
3 3
4 g(k)
2 0 -2 -4
1 2
3 4 k
Obr. 4.14
atd., impulsní funkce je na obr. 4.14. A te více mén pro kontrolu ešení diferen ní rovncí, do které za u(k) dosazujeme (k) :
gk
k=0: k=1: k=2: k=3: k=4:
5g k 1
6g k 2
gk
5g k 1
g0 g1 g2 g3 g4
5g 1 5g 0 5g 1 5g 2 5g 3
2 k
6g k 2
6g 6g 1 6g 0 6g 1 6g 2
2 2 2 2 2
2 1 2 3 4
7 k 1 2 k 0 7 7 7 7
7 k 1
7 1 2 0 3 1 3 2 3 3 33
P echodová funkce a charakteristika Diskrétní p echodová funkce je odezva systému na jednotkový skok (k) na vstupu (obr. 4.15). Jednotkový skok (k) byl již definován a znázorn n v p íkladu 4.1 1 k 0 (4.26) k y(k) h(k) u(k) (k) 0 k 0 1 k Ve slovníku Z – transformace m žeme nalézt, k z . Graf p echodové že jeho Z – obraz je Z k z 1 Obr. 4.15 funkce je p echodová charakteristika. Pro p echodovou funkci je zavedeno ozna ení h(k).
Dosazením (k) do definice Z – p enosu dostaneme
92
Y z U z
Z hk (4.27) z z 1 když jsme za vstupní funkci dosadili jednotkový skok a výstupní funkce tím pádem vyšla p echodová funkce. Ze vztahu z z Z hk Gz neboli Hz Gz (4.28) z 1 z 1 Gz
Z hk Z k
dostaneme vztah pro získání p echodové funkce ze Z - p enosu
hk
Z
1
z -1 Gz z
(4.29)
Druhý zp sob jak získat výpo tem p echodovou funkci je z diferen ní rovnice systému, podobn jako tomu bylo u impulsní funkce. Zde se za vstupní funkci dosadí jednotkový impuls (k) a to bude op t ukázáno v následujícím p íkladu. P íklad 4.10: Systém je popsán diferen ní rovnicí yk
0,5 y k 1
uk
2u k 1
Ur ete p echodovou funkci a na rtn te p echodovou charakteristiku. ešení : Ur íme Z – p enos v etn jeho tvaru s kladnými exponenty z 2 1 2z 1 G z 1 z 0,5 1 0,5 z Ze Z – p enosu získáme p echodovou funkci podle vztahu (4.29) a to rozkladem v parciální zlomky a použitím slovníku Z - transformace
h kT
Z
1
z
z 2 z 1 z 0,5 .
Z
1
2z z 1
z z 0,5
2
0,5
k
pro k
0
Druhá možnost zp tné Z – transformace je d lení polynomu itatele polynomem jmenovatele z 2 2 z : z 2 0,5 z 0,5 1 2,5 z 1 1,75 z h(0) h(1) h(2) z 2 0,5 z 0,5 0 2,5 z 0,5 2,5 z 1,25 1,25 z 1 0 1,75 1,25 z 1 1,75 0,875 z 1 0,875 z 2 0 2,125 z 1 0,875 z 2
2
2,125 z h(3)
3
...
h(k) 2 1 0
1 2 3 4 5
k
Obr. 4.16
k 0 1 2 3 4 5 6 .
g(k) 1 1,5 -0,75 0,375 -0,187 0,156 -0,047 …
h(k) 1 2,5 1,75 2,125 1,938 2,031 1,984 …
T etí metoda pro získání p echodové funkce je ešení diferen ní rovnice, kde za vstupní funkci dosadíme (k) hk k 2 k 1 0, 5 h k 1 k = 0: k = 1: k = 2: k = 3:
h0 h1 h2 h3
0 2 1 0,5 h 1 1 1 2 0 0,5 h 0 2,5 2 2 1 0,5 h 1 1,75 3 2 2 0,5 h 2 2,125
……atd.
93
4.5
íslicové regulátory
Od íslicového regulátoru budeme o ekávat stejnou funkci jako od spojitého regulátoru a to je vstupující regula ní odchylku zesilovat, integrovat a derivovat. Proto p i sestavování algoritmu pro íslicový regulátor vyjdeme z funkce a tím i rovnice spojitého PID regulátoru. PID regulátor je popsán rovnicí (3.77), kterou upravíme vytknutím r0 stejn , jako tomu bylo u p enosu PID regulátoru, abychom získali tvar s asovými konstantami. Takže výchozí rovnice PID regulátoru je t
ut
e(t) e(kT)
t kT 0
T
2T 3T … kT
r0 e t
1 de t e t dt Td Ti 0 dt
(4.30)
íslicovou verzi regulátoru získáme z této rovnice diskretizací integrace a derivace. Integraci provedeme náhradou spojitého signálu tzv. stup ovitou náhradou zleva (obdélníky zleva – mohli jsme také použít obdélníky zprava i se novou náhradou lichob žníky). Ur ení hodnoty integrálu se provádí jako sou et ploch pod náhradním pr b hem a je uvedeno na obr. 4.17 kT
k
e t dt T
Obr. 4.17 0
(4.31)
ei i 1
0
e(k)
e(t) e(kT) e(k-1)
de e k e k 1 (4.32) dt T Po dosazení t chto vztah do rovnice spojitého PID regulátoru (3.53), kam sou asn dosadíme diskrétní as kT respektive k, dostaneme Td T k (4.33) u k r0 e k ei ek ek 1 Ti i 1 T
e(k)-e(k-1)
Derivaci získáme nahrazením diferencemi podle obr. 4.18
t kT
(k-1)T kT
Tomuto algoritmu íslicového regulátoru se íká polohový algoritObr. 4.18 mus a moc se nepoužívá. Hodnota integrálu se zde získává sumací a hodnota derivace se získává pomocí diference. Proto se tyto regulátory nazývají proporcionáln -suma n -diferen ní, a ozna ují zkratkou PSD. Ale také se nazývají íslicové PID regulátory. Polohový algoritmus se nepoužívá hlavn pro sumaci, která znamená komplikaci p i výpo tu ak ního zásahu u(k). Proto se p echází k tzv. p ír stkovému algoritmu PSD regulátoru. Podle tohoto algoritmu se ur uje nikoliv hodnota u(k) ak ní veli iny v daném okamžiku, ale pouze její zm na, ili p ír stek uk uk uk 1 (4.34) oproti hodnot u(k-1) ak ní veli iny v p edchozím kroku. Využijeme-li platnosti rovnice polohového algoritmu (4.33) tak, že podle ní vyjád íme také hodnotu u(k-1) v p edchozím kroku Td T k1 (4.35) u k 1 r0 e k 1 ei ek 1 ek 2 Ti i 1 T m žeme vypo ítat p ír stek u(k), a tím i definovat rovnici p ír stkového algoritmu ode tením rovnice (4.35) od rovnice (4.33) . Po malé úprav dostaneme p ír stkový tvar algoritmu PSD regulátoru
94
uk
uk 1
r0 1
Td T
T ek Ti
r0 1 2
q0
uk
Td ek 1 T
r0
q0 e k
2
(4.36)
q2
q1
uk 1
Td ek T
q1e k 1
q2 e k 2
(4.37)
To je p ír stkový tvar algoritmu PSD regulátoru. Koeficienty rovnice jsou dány vztahy q0
r0 1
Td T
T Ti
q1
r0 1 2
Td T
q2
r0
Td T
(4.38)
Ak ní zásah u(k) je funkcí sou asné regula ní odchylky, p edcházející regula ní odchylky, p edp edcházející regula ní odchylky a p edcházejícího ak ního zásahu uk
f e k , e k 1 , e k 2 , u (k 1)
Algoritmus je jednoduchý a neklade v tší požadavky na pam
po íta e.
Z této rovnice ur íme podle rovnice (4.19) Z – p enos PSD regulátoru GR z
q0
q1 z 1 q 2 z 1 z 1
2
(4.39)
P íklad 4.11: P eve te spojitý regulátor PID, jehož parametry byly k dané soustav navrženy n kterou z optimaliza ních metod na íslicový PSD regulátor p i vzorkovací period T = 0,1 s. Ur ete jeho diferen ní rovnici a Z – p enos. Regulátor je dán p enosem 1 G R s 0,4 1 0,1s 0,5s ešení: Parametry q0, q1 a q2 ur íme ze vztah (4.38). Z daného p enosu regulátoru je patrno že r0 = 0,4, Ti = 0,5 s a Td = 0,1 s. q0
r0 1
Td T
T Ti
0,4 1
0,1 0,1 0,1 0,5
q2
Diferen ní rovnice je Z – p enos je
uk
GR z
uk 1
q0
q1
0,88
r0
Td T
0,4
0,88 e k
q1 z 1 q2 z 1 z 1
2
r0 1 2
Td T
0,4 1 2
0,1 0,1
1,2
0,1 0,4 0,1
1,2 e k 1
0,4 e k 2
0,88 1,2z 1 0,4z 1 z 1
2
Rovnice spojitého PID regulátoru je idealizací chování skute ného PID regulátoru. Na rozdíl od toho probíhá výpo et ak ního zásahu u íslicového PSD regulátoru p esn podle p íslušné diferen ní rovnice. To iní praktické problémy v praktickém nasazení íslicových regulátor , nebo nedochází k p irozenému útlumu velkých a prudkých zm n hodnot regula ní odchylky a tím i ak ní veli iny jak je tomu u spojitých regulátor . A ješt s dalšími technickými problémy se potýká nasazení íslicových regulátor , avšak dnes p evažují p edevším jejich výhody. A tou je snadná spolupráce s vyššími ídicími po íta i, cenová dostupnost a další. A proto se používají stále více a stále více vytla ují klasické spojité regulátory.
95
4.6 Stabilita diskrétních obvod Obecná podmínka stability Pro diskrétní systémy platí stejná definice stability jako pro každý lineární systém: Systém je stabilní, jestliže se po odezn ní budicího signálu yhom(k) vrátí do rovnovážného stavu. Názorn zobrazeno je to na obr. 4.19 a matematicky zapsáno (už pro diskrétní systémy) lim y hom k
k
0
k
(4.40)
Uvažujme diskrétní regula ní obvod podle obr 4.20. Charakteristická rovnice je obdobn jako u spojitých systém dána
Obr. 4.19
vztahem
w(t)
e(t)
T
GR(z)
y(k)
T
T
1 G R z GS z
y(t)
GS(s)
0
(4.41) kde p enosy regulované soustavy a regulátoru jsou jako Z – p enosy pochopiteln v Z – transformaci. Tato rovnice má
Obr. 4.20
obecn tvar an z n
x z2
z3 x 1 z4 x
0
(4.42)
Ur íme-li její ko eny z1 , z2 , … zn., m žeme vyslovit obecnou podmínku stability diskrétních regula ních obvod , která se trochu liší od obecné podmínky stability spojitých obvod :
Im x z1
... a1 z a0
Re
Diskrétní obvod je stabilní, leží-li ko eny charakteristické rovnice (4.41) uvnit jednotkové kružnice – obr. 4.21. zi
1
pro i = 1,2, … n
(4.43)
Obr. 4.21
Poznámka: u diskrétních obvod neplatí žádná podmínka kladnosti koeficient charakteristické rovnice – není d vodu, pro by m la platit. P íklad 4.12: stabilní.
Ur ete pro jaké hodnoty r0 regulátor P
w
GR z
T=1s
r0
íslicového P regulátoru bude obvod na obr. 4.22 tvarova
GT s
spojitá soustava
1 e s
Ts
T=1s Obr. 4.22
ešení: P enos zapojení vzorkova – tvarova – soustava je
96
GS s
1 s 1
y
GC z
Z
1 e Ts 1 s ss 1
Z
1 ss 1
1 z1Z
1 ss 1
Z
1 e Ts ss 1
1 z1Z
Z
1 1 s s 1
1 ss 1
z 1Z
1 ss 1
z 1 z z z z 1 z e1
0,632 z 0,368
P i výpo tu jsme použili pravidlo, že posunutí originální funkce o jednu vzorkovací periodu se projevilo v Laplaceov obrazu násobením výrazem e-Ts a to v Z – obrazu násobením z-1 . Do charakteristické rovnice (4.41) dosadíme GR(z) = r0 , ale za GS(z) musíme dosadit GC(z), takže 1 GR z GS z
1 r0
0,632 z 0,368
0
Charakteristická rovnice z – 0,368 + 0,632r0 = 0 má jeden ko en z1 = 0,368 - 0,632r0 tento ko en musí spl ovat podmínku (je reálný) -1 z1 1 . Nerovnost -1 0,368 - 0,632r0 má ešení -1 r0 2,16 . ešením problému je tedy kladná hodnota konstanty P regulátoru r0 2,16 .
a 1
Kritéria stability Abychom nemuseli ešit charakteristickou rovnici, která bývá v tšinou vyšších stup než druhého, používáme stejn jako u spojitých systém kritéria stability. N která jsou diskrétní verze kritérií, známých ze spojitých obvod . Seznámíme se s jedním algebraickým kritériem a jedním frekven ním, která se používají nej ast ji. Nejd íve si op t uv domme, co musí platit o koeficientech charakteristické rovnice (4.42) an z n ... a1 z a0 0 když její ko eny jsou z1 , z2, … zn. Rovnici pod líme koeficientem an , ímž dostaneme tvar a a0 z n ... 1 z 0 an an a m žeme provést rozklad v sou in ko enových initel z
z1 z
z 2 ... z
zn
0
Podmínka stability diskrétních systém je, že ko eny této rovnice musí ležet uvnit jednotkové kružnice, tedy zi 1. Pochopiteln mohou být koeficienty charakteristické rovnice kladné nebo záporné, zde není žádné omezení jako u spojitých systém . Jediné co musí být spln no je, že absolutní len uvedené rovnice a0 z1 . z 2 ... z n 1 an musí být v absolutní hodnot menší než jedna, protože sou in ísel menších v absolutní hodnot než jedna musí být také menší než jedna. Z tohoto poznatku vychází následující kritérium.
Diskrétní verze Routh-Schurovo kritéria. Uvedeme si algoritmus, kterým snižujeme postupn stupe charakteristické rovnice až zbude jediný koeficient. M jme charakteristickou rovnici (4.42) an z n ... a1 z a0 0 Z koeficient rovnice utvo íme následující schéma
97
an
an-1
……………
a2
a1
a0
a0
a1
……………
an-2
an-1
an
ka0
ka1
……………
kan-2
kan-1
kan
an+ ka0
an-1+ ka1
……………
a2+ kan-2
a1+ kan-1
k
a0 an a0
0
V tomto schématu je tvrtý ádek výsledkem sou tu prvního a t etího ádku. T etí ádekdostaneme z prvého vynásobením koeficientem a0 k an Pokud je tento koeficient
k
1
p i všech dalších snižováních stupn charakteristické rovnice (až zbude jeden koeficient), je daný systém stabilní. Pokud b hem redukce stupn bude k v tší než jedna, je systém nestabilní a výpo et je možno ukon it.
P íklad 4.13: Ur ete stabilitu diskrétního obvodu, jehož charakteristická rovnice je z 4 1,655 z 3 1,012 z 2 0,323 z 0,047 0
ešení: Routh-Schur v algoritmus pro snižování stupn charakteristické rovnice je následující: 1 0,047 -0,002 0,998 -0,245 -0,06 0,938 0,561 -0,335 0,603 -0,564 -0,527 0,076
-1,655 -0,323 0,016 -1,639 0,964 0,237 -1,402 -1,402 0,838 -0,564 0,603 0,564 0
1,012 1,012 -0,048 0,964 -1,639 -0,403 0,561 0,938 -0,561 0
-0,323 -1,655 0,078 -0,245 0,998 0.245 0
0,047 1 -0,047 0
k = -0,047
k = 0,245
k = -0,598
k = 0,935 Protože pro všechna k platí
k
1 je obvod stabilní.
Bilineární transformace Odvodili jsme si, že leží-li ko eny charakteristické rovnice (4.42) an z n
... a1 z a0
0
uvnit jednotkové kružnice, je diskrétní obvod stabilní. Leží-li jeden z ko en vn jednotkové kružnice je obvod nestabilní a poloha na jednotkové kružnici znamená hranici stability. Výpo et ko en charakteristické rovnice vyššího než druhého stupn je numericky náro né a proto se stabilita zjiš uje podobn jako u spojitých systém kritérii stability. My jsme si n které z nich uvedli. Jsou to bu diskrétní verze kritérií používaných u spojitých systém anebo speciální kri-
98
téria pro diskrétní systémy. Je však ješt jedna možnost vyšet ování stability diskrétních systém a ta je p evést vnit ek jednotkové kružnice na levou komplexní polorovinu a pak používat kritéria známá pro spojité systémy, to je kritéria, která zjiš ují, zda ko eny rovnice leží v levé komplexní polorovin . Mezi rovinou „s“ v níž leží ko eny charakteristické rovnice spojitých obvod a rovinou „z“ s ko eny charakteristické rovnice diskrétních obvod platí vztah (4.4) z
e sT
a mezi ko eny v t chto rovinách platí vztah zi e siT . Imaginární osa v rovin „s“ (hranice stability) se tímto p i azením transformuje na jednotkovou kružnici v rovin „z“. Levá komplexní polorovina v rovin „s“ (stabilní oblast) odpovídá vnit ku jednotkové kružnice v rovin „z“. Toto tvrzení není matematicky zcela p esné – protože ale tuto transformaci nebudeme používat, není pot eba to up es ovat. Zobrazení roviny „z“ do roviny „s“ umož uje kontrolovat stabilitu diskrétních systém stejn jako u spojitých a využít tak kritéria, hlavn algebraická, která už jsou známá ze spojitých systém . 1 ln z není Transformace vztahem (4.4) z e sT a odpovídající inverzní transformace s T pro praktické využití p íliš vhodná. Proto se používá transformace, která má prakticky stejné vlastnosti, ale je daleko jednodušší. Je to tzv. bilineární transformace, definovaná vztahem
z
w 1 w 1
(4.44)
Touto transformací je jednotková kružnice v rovin „z“ zobrazená jako imaginární osa roviny „w“ a vnit ek jednotkové kružnice jako levá komplexní polorovina roviny „w“. M žete si snadno ov it, že nap . bodu Im Im w z-rovina 1 = -1 v levé polorovin z 1 roviny w“ odpovídá bod z1 = w-rovina w z 1 0 uvnit jednotkové kružnice Re Re v rovin „z“, bodu w2 = 3 w 1 v pravé komplexní poloroviz w 1 n odpovídá bod z2 = 2 vn jednotkové kružnice a t eba Obr. 4.23 bodu w3 = j na hrani ní imaginární ose odpovídá bod z3 = -j na hrani ní jednotkové kružnici. Na obr. 4.23 je symbolicky ukázána tato transformace v etn transformace inverzní, která je z 1 (4.45) w z 1 což je náhodou formáln velmi podobný vztah. P etransformujeme-li charakteristickou rovnici (4.41) bilineární transformací, potom protože ko eny p vodní rovnice m ly v p ípad stability ležet uvnit jednotkové kružnice, musí koeny p etransformované rovnice (4.46) ležet v levé komplexní polorovin . A toto už m žeme zjistit použitím n kterého ze známých kritérií stability pro spojité systémy, nebo pro tento ú el byla uvedená kritéria sestavena – obr. 4.24.
99
... a1 z a0
podmínka stability:
0
w 1 w 1
z
Im
an
w 1 w 1
n
... a1
podmínka stability:
ko eny Re 1
ko eny
an z
n
w 1 w 1
a0
0
(4.46)
Im Re
bilineární transformace Obr. 4.24
Poznámka: mická v ta:
Pro úpravu zde musíme asto použít matematických vztah známých jako binoa b
2
a2
a b
3
a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
a b
4
a4
a b
5
a 5 5a 4b 10a 3b 2 10a 2b 3 5ab 4 b 5
2ab b 2 4a 3b 6a 2b 2
(4.47)
4ab 3 b 4
P íklad 4.13: Ur ete bilineární transformací stabilitu diskrétního obvodu z p íkladu 4.12. ešení: Ze jmenovatele p enosu ízení máme charakteristickou rovnici obvodu z 4 1,655 z 3 1,012 z 2 0,323 z 0,047 0 Použijeme bilineární transformaci w 1 w 1 Po úprav dostaneme
4
w 1 1,655 w 1
3
w 1 1,012 w 1
0,081w4 6,476 w3 0,948w2
2
0,323
w 1 w 1
0,047 0
4,458w 0,081 0
Lépe vypadá tato rovnice po vyd lení koeficientem u nejvyšší mocniny w4 80w3 11,7 w2 55w 1 0
Hurwitzovým kritériem zjistíme, zda ko eny této rovnice leží v levé komplexní polorovin 80 H3
1 0
55
0
11,7 1 80 55
42 055 0
Hurwitz v determinant je kladný a proto ko eny této rovnice leží v levé komplexní polorovin . Proto leží ko eny p vodní rovnice, z které se tato rovnice transformovala, v jednotkové kružnici. A proto je obvod stabilní. Výsledek potvrzuje záv r z p íkladu 4.12, kde byla stabilita ešena Routh-Schurovým kritériem.
100
Kontrolní otázky
1. Vysv tlete pojem diskrétní funkce. Kdy jsou v regula ních obvodech diskrétní veli iny – uve te p íklady. 2. Nakreslete schéma diskrétního regula ního obvodu. Jaká je funkce vzorkova e a tvarovae? 3. Podejte definici Z – transformace. Pomocí defini ního vztahu spo ítejte Z – obraz jednotkového impulsu a jednotkového skoku. 4. Jak se provádí zp tná Z – transformace? 5. Spo ítejte p íklady na ur ení originálu k Z – obrazu jednotkového impulsu a jednotkového skoku. 6. Jaká je souvislost diference funkcí a diferen ních rovnic? 7. Numericky ešte p íklady diferen ních rovnic s kladnými i zápornými posunutími typu yk
2y k
1
3y k
2
uk
uk
2u k
e 2k
;
1
y
1
1 ;
y
2
3
8. Jaká je obecná diferen ní rovnice systému? 9. Podejte definici Z – p enosu a ekn te, jak se po ítá z koeficient diferen ní rovnice. 10. Pro diferen ní rovnice podobného typu jako v p íkladu 7 ur ete Z – p enos se zápornými i kladnými koeficienty. 11. Definice diskrétní impulsní funkce. Jaký je vztah mezi impulsní funkcí a Z – p enosem? 12. Definice diskrétní p echodové funkce. Jaký je vztah mezi p echodovou funkcí a Z – p enosem? 13. Pro diferen ní rovnice systému typu yk
2y k 1
2y k 2
uk
3u k 1
vypo t te všemi možnými zp soby a) Z – p enos b) impulsní funkci c) p echodovou funkci 14. Popište funkci íslicového regulátoru ve srovnání se spojitým regulátorem. Co je to polohový a p ír stkový algoritmus. 15. Diferen ní rovnice a Z – p enos PSD regulátoru. 16. Stabilita diskrétních regula ních obvod . Obecná podmínka stability. 17. Diskrétní verze Routh-Schurova kritéria. 18. Vyšet ete stabilitu diskrétního regula ního obovdu, jehož charakteristická rovnice je 3.stupn , nap . z3
4z 2
6z 2
0
19. Bilineární transformace. Vy ešte stabilitu obvodu z p íkladu 18 bilineární transfornací a porovnejte výsledek.
101
LITERATURA 1
Balát , J.: Vybrané stat z automatického ízení. Skriptum VUT, Brno, 1996
[2] Bartsch, H.J.: Matematické vzorce. SNTL, Praha, 1983 3
Dorf, R.C.- Bishop, H.R.: Modern Control Systems. Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1995
4
Hoffmann, Z.- Mykiska, A.- Kára, J.: Základy automatického ízení. P íklady, úlohy. skriptum VUT, Praha, 1993
5
Hofreiter, M. a kolektiv: P íklady a úlohy z automatického ízení. Skriptum VUT, Praha, 1999
6
Isermann, R.: Digital Control Systems. Volume 1. Springer-Verlag, Berlin, 1989
7
Kubík, S.- Kotek,Z.- Strejc,V.- Štecha, J.: Teorie automatického ízení I. SNTL, Praha, 1982
8
Levine, W.S.: The Control Handbook. CRC Press, Inc. Boca Raton, Florida, 1996
9
Pech, J.: Teorie automatického ízení. Skriptum VUT, Praha, 1988
10 Pivo ka, P.: Co je to, když se ekne PID regulátor. Automatizace, ro .43, .1, Praha, 2000 11 Rektorys, K. a spolupracovníci: P ehled užité matematiky. SNTL, Praha, 1981 12 Škrášek, J.- Tichý,Z.: Základy aplikované matematiky I-III. SNTL, Praha, 1983 13 Šmejkal, L.- Martinásková, M.: PLC a automatizace. 1.díl. BEN – technická literatura, Praha 1999 14 Štecha, J.- Havlena, V.: Teorie dynamických systém . Skriptum VUT, Praha, 1999 15 Šulc, B.: Teorie automatického ízení II. íslicová regulace. Skriptum VUT, Praha, 1988 16 Švarc, I.: Teorie automatického ízení I. Skriptum VUT, Brno, 1989 17 Švarc, I.: Teorie automatického ízení II. Skriptum VUT, Brno, 1993 18 Švarc, I.: Teorie automatického ízení . Sbírka p íklad . Skriptum VUT, Brno, 1993 19 Švarc, I.: Základy automatizace a regulace. Sbírka p íklad . Skriptum VUT, Brno, 1989 20 Švarc, I.- Lacko, B.- N mec, Z.: Automatizace. Skriptum VUT, Brno, 1995 21 Vav ín, P.: Teorie automatického ízení I. Skriptum VUT, Brno, 1988 22 Vav ín, P.- Zelina, F.: Automatické ízení po íta em, SNTL Praha, 1977 23 Víte ek, A.: Matematické metody automatického ízení. Transformace L a Z. Skriptum VŠB, Ostrava, 1988 24 Vorá ek, R. a kolektiv: Automatizace a automatiza ní technika II. Automatické ízení. Computer Press, Praha, 2000 25 Zítek, P.- Hofreiter, M.- Hlava, J.: Automatické ízení. Skriptum VUT, Praha, 2000 26 Zítek, P.- Víte ek, A.: Doporu ované zna ky, zkratky a názvy z oblasti automatického ízení. Interní publikace. VŠB, Ostrava, 1995 27 Zítek, P.- Petrová, R.: Matematické a simula ní modely. Skriptum VUT, Praha, 1999
102
