1/27
FUNKCE Základní pojmy: • Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce • Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: • Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
Funkce f je zobrazení, které každému prvku x přiřazuje nejvýše jedno reálné číslo y f: y = f(x)
Rozhodni, zda jde o funkci: A = {[3,0],[-3,0],[-2,-1],[0,3],[-2,0]} B = {[π,0],[-π,π],[-2,-1],[-1,-2]} C = {[0,0],[-1,-1],[-2,-2],[1,1]} D = {[-1,1],[-2,2],[2,-2],[-1,-2]} Kartézská soustava souřadnic:
Zakresli body: A [3,2], B[0,-4], C[1,1], D[-5,-5], E[3,-1], F[-4,0], G[1/4,-1], H[3,1] Graf funkce: je v kartézské soustavě souřadnic množina všech bodů roviny [x,f(x)] na vodorovnou osu x se nanáší proměnná x na svislou osu y se nanáší funkční hodnoty f(x)=y Rozhodni, které z grafů jsou funkce:
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Funkce - úvod Určení funkce: 1. Rovnicí: 2.
2/27
f: y = x-2
Grafem
3. Tabulkou 2 x 0 y
4.
Funkční hodnota: f(x) Je dána funkce f: y = 2x+3 Vypočti funkční hodnoty: f(3)= f ( -1) = f(0)= f(2)= f (-4) =
3 1
4 2
5 3
Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
Vypočti hodnoty x: f( )=3 f( )=1 f( )=5 f ( ) = -3 f( )=0
Definiční obor funkce: D(f) množina všech reálných čísel, pro které je fce definována (které můžeme za x dosadit) Obor hodnot funkce: H(f) množina všech reálných čísel y, která jsou danou funkcí přiřazena prvkům jejího def. oboru Urči, zda se jedná o funkci a napiš definiční obor a obor hodnot:
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Funkce - úvod
3/27
Načrtni grafy funkcí, které mají D(f): a) D(f) = R - {1}
b) D(f) = <-3;8>
c) D(f) = (0; 5)
b) H(f) = <-3;8>
c) H(f) = (0; 5)
Načrtni grafy funkcí, které mají H(f): a) H(f) = R - {1}
Monotónnost funkce: Funkce f je rostoucí, jestliže platí ∀x1 , x 2 ∈ R : x1 < x 2 ⇒ y1 < y 2 Funkce f je klesající, jestliže platí ∀x1 , x 2 ∈ R : x1 < x 2 ⇒ y1 > y 2 Funkce f je konstantní, jestliže platí ∀x1 , x 2 ∈ R : y1 = y 2
rostoucí PRACOVNÍ LISTY
klesající
konstantní 1. ROČNÍK
4/27
LINEÁRNÍ FUNKCE Základní pojmy: • Lineární funkce, konstantní funkce, monotónnost funkce, přímá úměrnost Opakování: • Funkce, graf Lineární funkce: • Každá funkce daná rovnicí y = ax + b, kde a, b ∈ R. • Grafem každé lineární funkce je přímka. • K sestrojení grafu funkce stačí znát 2 body. 1. a = 0, b ≠ 0.......................... y = b konstantní funkce
2. a ≠ 0, b = 0 ......................... y = ax přímá úměrnost
3. a > 0 rostoucí funkce
4. a < 0 klesající funkce
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Lineární funkce
5/27
Příklady: 1. Sestrojte graf funkce, urči D, H a) y = 2 x, x ∈ (−3, 2
d) y = 5 x − 2, x ∈ 2, ∞
1 b) y = − x, x ∈ − 2,7) 2 c) y = 2 x + 1, x ∈ (−∞, 0
e) y = 5, x ∈ − 1,6) f)
y = −2, x ∈ − 2, ∞)
2. Určete, zda body A[− 1,3], B[0,5], C [1,4] leží na grafu funkce f : y = − x + 2 3. Urči průsečíky s osou x a y: c) f 3 : y = 3x
a) f1 : y = 4 x + 1 f : y = −x −1 b) 2
d) f 4 : y = 2
4. Napište rovnici přímé úměrnosti, jejíž graf prochází bodem: a) A[3,-2] b) B[1,1/ 2 ] 5. Určete rovnice funkce, jejíž graf prochází body: a) A[− 1,3], B[2,−1] b) A[2,−4], B[− 5,7]
c) C[-5,-2]
c) A[3,5], B[1,0]
d) A[4,−4], B[5,−5]
6. Pro lineární funkci f platí f (-2) = 2 a f (3) = -1. Hodnota f (1) je rovna: 4 1 3 4 A/ B/ C/ D/ 5 5 5 3
E/ -
5 3
7. Lineární funkce f nabývá pro x = -2 hodnoty -14, pro x = 5 hodnoty 14. Hodnoty 28 nabývá pro: 11 17 A/ x = 12 B/ x = C/ x = 14 D/ x = E/ x = 10 2 2 8. Určete rovnice funkcí znázorněných grafy na obrázku. f3
f1 f2
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Lineární funkce
6/27
9. Na kterém obrázku je graf funkce, která je pro x < 0 dána předpisem y = -x a pro x ≥ 0 předpisem y = 0?
10. Je dána funkce y= -3x. Její graf posuneme o jednu jednotku délky ve směru kladné
poloosy x. Získáme tak graf funkce. A/ y = -3x+1
B/ y = -3x+1
1 C/ y = -3x+3 D/ y = - x+3 3
1 E/ y = - x+1 3
11. Graf lineární funkce f prochází body K [3,2] , L [− 1,4] . a) Sestavte předpis pro funkci f. b) Zjistěte, zda bod M[6,1/ 2 ] leží na grafu funkce f. c) Určete průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic. d) Určete, pro které hodnoty nezávislé proměnné jsou hodnoty funkce f větší než 2. 12. Pro lineární funkci f: y = -2x + 5 určete: a) f(5), f(2), f(0), f(-3). b) hodnoty proměnné x 1 , x 2 , pro něž je f(x 1 ) = 1, f(x 2 ) = -8. c) souřadnice průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami x, y.
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
7/27
LINEÁRNÍ ROVNICE, NEROVNICE Základní pojmy: • Lineární rovnice, lineární nerovnice • Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Opakování: • Lineární funkce, řešení základních rovnic, graf funkce, úpravy výrazů Lineární rovnice: • rovnice ax + b = 0, kde a, b ∈ R, a ≠ 0, x je neznámá • lineární se nazývají i další rovnice, které lze na rovnici ve tvaru ax + b = 0 převést • množina všech řešení (obor pravdivosti) P (např. P={6}) nebo K (např. K={6}) Ekvivalentní úpravy: • výměna levé a pravé strany rovnice • přičtení (odečtení) téhož čísla k oběma stranám rovnice • vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným nenulovým číslem Řešení rovnice: • členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu Možné výsledky řešení: • rovnice má 1 řešení:
( 5x - 4) -x = 2(x+4)
P={ }
• rovnice má nekonečně mnoho řešení:
( 5x - 4) -x = -4(1- x)
P=
• rovnice nemá řešení:
-x - ( 4-5x) = 4(-2+ x)
P={}
Příklad:
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Lineární rovnice, nerovnice
8/27
Speciální rovnice: • rovnice se zlomky - obě strany vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem lomených výrazů 2( x − 4) 3 x + 13 3(2 x − 3) + = −7 3 8 5
P = {49}
• rovnice s desetinnými čísly – vynásobit a přejít na počítání s přirozenými čísly
P = {2}
0,8(3x − 5) − 0,5(2 x − 8) = 2 + 0,4 x
• neznámá ve jmenovateli – vynásobíme obě strany rovnice nejmenším společným jmenovatelem s neznámou – určíme podmínky řešitelnosti x 3 + 4x 3 −1 = − 2 x x +1 x +x
P = R − {0,−1}
• rovnice v součinovém tvaru - součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule ( x − 2).( x + 5) = 0
P=
• rovnice v podílovém tvaru - zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů se rovná nule ( x − 2).( x + 5) =0 x+4
PRACOVNÍ LISTY
P=
1. ROČNÍK
Lineární rovnice, nerovnice
9/27
Lineární nerovnice: • nerovnice ax + b < 0 (ax+b > 0, ax+b ≤ 0, ax+b ≥ 0), kde a, b∈R, a ≠ 0, x je neznámá • platí ekvivalentní úpravy pro řešení rovnic • při násobení obou stran rovnice záporným výrazem je nutno obrátit znak nerovnosti • množina všech řešení (obor pravdivosti) P, K (např. P = (6, ∞ ) nebo K = (6, ∞ )) Možné výsledky řešení: • neomezený interval:
-(5x - 4) + x < -2(x + 4)
P = (6, ∞ )
• množina všech čísel z D:
(5x - 4) - x < 4(2 + x)
P=R
• rovnice nemá řešení:
(5x - 4) - x > 4(2 + x)
P={}
Příklad: .....................................
PRACOVNÍ LISTY
P = {1,2,3,4}
1. ROČNÍK
10/27
LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE, NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Základní pojmy: • Lineární funkce, rovnice a nerovnice s abs. hodnotou Opakování: • Lineární funkce, rovnice a nerovnice • Definice absolutní hodnoty Lineární funkce s absolutní hodnotou: • určíme nulový bod - intervaly a řešíme samostatně v jednotlivých intervalech • výsledek je sjednocení obou řešení Je-li v úloze více absolutních hodnot, zvýší se počet nulových bodů a tím i počet intervalů v tabulce. Pro x ≥ 0 je |x| = x Pro x ≤ 0 je |x| = -x
f: y = |x|
g: y = |x| -2
h: y = |x-3|
f: y = |x| + s získáme posunutím grafu funkce y = |x| o s jednotek nahoru po ose y. f: y = |x - t| získáme posunutím grafu funkce y = |x| o t jednotek doprava po ose x.
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
11/27
Příklad: y = 2 x − 3 + 1
Příklad: y = x + 2 − x − 2 + 1
Příklad: y = x − 3 − x + 3 + x
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
12/27
Lineární rovnice s absolutní hodnotou: • jednoduché rovnice řešíme pomocí definice abs. hodnoty Příklad: x−2 =3
P=
P= P= P= P= P= P= • rovnice s více abs. hodnotami vyřešíme v jednotlivých intervalech a ověříme, zda výsledek padne do daného intervalu • obor pravdivosti je sjednocení daných výsledků Příklad: x − 4 = 3x − 2 •
nulový bod ................... x=4
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou: • řešíme jako rovnice • obor pravdivosti je sjednocení daných intervalů Příklad: x−2 ≤3
x − 4 < 3x − 2
PRACOVNÍ LISTY
P= P=
1. ROČNÍK
13/27
SOUSTAVY ROVNIC
Základní pojmy: • Soustavy rovnic o 2 a více neznámých Opakování: • Řešení rovnic, úpravy výrazů, grafy lin. fcí Soustavy 2 rovnic o 2 neznámých: •
, kde a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 ,c 1 , c 2 jsou R, x, y je neznámá
• množina všech řešení – uspořádaná dvojice P (např. P={[6,4]}) Metody řešení: • dosazovací metoda
• sčítací metoda
PRACOVNÍ LISTY
P={[1,2]}
P = {[1,-2]}
1. ROČNÍK
Soustavy rovnic • srovnávací metoda x + 3y = 7 ⇒ x = − x + y =1⇒ x =
14/27
P = {[1,2]}
• grafické řešení vyjádřit rovnice ve tvaru y = kx + q
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Soustavy rovnic
15/27
Možné výsledky řešení: • uspořádaná dvojice:
2x + y = 3 2x − y = 3
P = {[ , ]}
• nekonečně mnoho řešení:
2 x − y = −3 − 4x + 2 y = 6
(0.x = 0)
P = {[x, y] ∈ RxR; y = 2x + 3}
•
soustava nemá řešení:
− 4 x + 2 y = −6 8 x − 4 y = −4
(0.x = c)
P={ }
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Soustavy rovnic
16/27
Soustavy lineárních rovnic o 3 neznámých: • Dosazovací metoda (z jedné rovnice vyjádříme neznámou, dosadíme do zbylých dvou) a potom řešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých x + y + 2z = - 1 2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2
⇒ x = −1 − y − 2 z P = {[1,2,-2]}
• Sčítací metoda (Vybereme libovolné dvě rovnice a eliminujeme z nich jednu neznámou, poté vybereme jiné dvě rovnice a eliminujeme stejnou neznámou. Pak řešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých.) x + y + 2z = - 1 2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2 x + y + 2z = - 1 2x - y + 2z = - 4
PRACOVNÍ LISTY
2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2
1. ROČNÍK
17/27
SOUSTAVY NEROVNIC
Základní pojmy: • Soustavy nerovnic o 1 neznámé •
Součinový a podílový tvar
Opakování: • Řešení rovnic, nerovnice, množinové operace, úpravy výrazů 2 základní typy úloh: • řešíme 2 nerovnice o 1 neznámé – výsledek průnik 2 intervalů
Znázorníme graficky:
• součin 2 výrazů – stanovíme podmínky, kdy je součin + či – (nulové body)
• podílový tvar – řešíme stejně, nesmíme zapomenout na podmínky řešitelnosti!!!
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
18/27
KVADRATICKÁ ROVNICE Základní pojmy: • Kvadratická rovnice, diskriminant •
Rozklad kvadratického trojčlenu na součin
Opakování: • Kvadratická funkce, řešení základních rovnic, graf funkce, úpravy výrazů, vzorce pro 2. mocninu Kvadratická rovnice: , kde a, b, c ∈ R, a ≠ 0, x je neznámá
• rovnice Řešení rovnice:
• členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu Řešení po úpravě kvadratické rovnice: • tvar
,b=0
ryze kvadratická rovnice (kořeny opačná čísla)
př.
•
tvar
P = {3,-3}
,c=0
kvadratická rovnice bez absolutního členu (jeden z kořenů je roven 0)
př.
P = {0,9}
dvojnásobný kořen
• tvar př.
P = {-3 } úplná kvadratická rovnice, řešení pomocí vzorce
• tvar
diskriminant: (vzorec použitelný pro každou kvadratickou rovnici)
D = b2 - 4ac D=0
jeden dvojnásobný kořen
D>0
dva kořeny
D<0
v R rovnice nemá řešení
P = {x 1 ,x 2 } př.
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
19/27
KVADRATICKÁ FUNKCE Základní pojmy: • Kvadratická funkce, parabola, vrchol paraboly Opakování: • Funkce, graf Kvadratická funkce: 2 • Každá funkce daná rovnicí y = ax + bx + c, kde a ≠ 0, a,b,c ∈ R. • Grafem každé kvadratické funkce je parabola. • K sestrojení grafu funkce určíme vrchol, průsečíky s osami.
ax2 ........ kvadratický člen bx ......... lineární člen c ........... absolutní člen a>0
konvexní funkce
a<0
konkávní funkce
y = x2
Graf funkce y = x2 + n V [0, n] posun po ose y
y = - x2
Graf funkce y = (x-m)2 posun po ose x
V [m, 0]
y = x2-2 y = (x+1)2
V [-1, 0] V [0, -2] Každá kvadratická funkce lze upravit na tvar: y = ax2 + bx + c = a(x-m)2 + n Vrchol paraboly: V [m , n] PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Kvadratická funkce
20/27
Určete vrchol paraboly
Přiřaďte funkce ke grafům:
Graf funkce y = (x - m)2 + n V [m , n] posun po ose x i y Y = ( x - 4 )2 - 2 V [4 , -2]
Zjištění vrcholu paraboly: doplnění na čtverec y = a( x – m )2 + n y = x2 + 4x + 3 = (x2 + 4x + 22) - 22 +3 = =( x + 2)2 – 1 V[-2, -1]
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Kvadratická funkce
21/27
1) Určete vrchol paraboly a)
f(x) = x2 + 2x + 1=
b)
f(x) = x2 + 4x + 5=
c)
f(x) = -x2 - 4x =
d)
f(x) = -2x2 + 4x + 1=
e)
f(x) =2 x2 + 2x + 4=
f)
f(x) = 3x2 +6x + 3=
g)
f(x) = x2 +6x + 10=
h)
f(x) = -x2 +x – 2,25=
i)
f(x) = 5x2 -10x + 9=
j)
f(x) = 3+2x-x2 =
k)
f(x) = 2x2 -8x + 14=
2)
Oborem hodnot funkce f: y = (1 – x) (1 + x) + 2x je interval: A/ (- ∞ , 0)
3)
B/ (- ∞ ,2 >
C/ <0, ∞ )
D/< -1, ∞ )
E/ <-2, ∞ )
D/16
E/ 17
Největší hodnota funkce f: y = (5 + x) (3 - x) -1 je: A/ 13
PRACOVNÍ LISTY
B/ 14
C/ 15
1. ROČNÍK
Kvadratická funkce
22/27
4)
Funkce f: y = -x2 + 4x + 1 je: A/ rostoucí v intervalu (−∞,5 > a klesající v intervalu (5, ∞) B/ klesající v intervalu ( − ∞ ,5> a rostoucí v intervalu < 5, ∞) C/ rostoucí v intervalu ( − ∞ ,2> a klesající v intervalu < 2, ∞) D/ klesající v intervalu ( − ∞ ,2> a rostoucí v intervalu < 2, ∞)
5)
Průsečíky grafu funkce f: y = x2 - 2x - 2 s osami souřadnic jsou body: A/ [− 1,0], [0,2]
[ E/ [1 −
] 3,0], [1 +
C/ − 1 − 3,0 , [0,1] 6)
7)
8)
9)
[
]
B/ [− 1,0], 1 + 3, 0 , [0,2]
]
3, 0 , [0,−2]
[
][
]
D/ − 1 − 3,0 , − 1 + 3, 0 , [0,−2]
Graf funkce f: y = x(4-x) je na obrázku:
Kvadratické funkce f, jejímž grafem je parabola s vrcholem V [0,5] a pro niž platí f(-2) = -3, je dána předpisem: A/ f: y = x2 + 5 B/ f: y = -x2 + 5 C/ f: y = -2x2 + 5 2 2 E/ f: y = -2x + 5 D/ f: y = 2x + 5 Je dána funkce g : y = 4 x + 3 + x 2 , x ∈ − 4,1 ) a) Sestroj její graf. b) Určete obor hodnot H, funkce g. c) Vypočtěte souřadnice průsečíků grafu funkce g s osami souřadnic. d) Určete, pro která reálná čísla x platí g(x) ≥ 3. a) Napište předpis pro kvadratickou funkci f, jejíž graf protíná osy souřadnic v bodech [0,-5], [-1,0], [5,0]. b) Napište předpis pro kvadratickou funkci g, jejíž graf je souměrný s grafem funkce f z bodu a) podle: α) osy x β) osy y γ)počátku soustavy souřadnic
10) Do funkčního předpisu y = x 2 * 4 x * 5 dosaďte na místa hvězdiček všemi možnými způsoby znaménka + a -. Pro každý získaný předpis určete vrchol a průsečíky s osami souřadnic paraboly, která je grafem příslušné funkce; parabolu načrtněte.
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
23/27
KVADRATICKÁ NEROVNICE Př. x2 - 5x + 6 ≤ 0 Početní způsob:
∗
x2 - 5x + 6 > 0
Grafický způsob:
K=
Př. -x2 +4x - 4 < 0 Početní způsob:
∗
-x2 +4x - 4 > 0
Grafický způsob:
K=
∗
-x2 +4x - 4 ≥ 0
K=
Př. x2 + 6x +10 < 0 Početní způsob:
∗
x2 + 6x +10 > 0
PRACOVNÍ LISTY
Grafický způsob:
K=
1. ROČNÍK
24/27
IRACIONÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy: • Iracionální rovnice, podmínky řešitelnosti, zkouška Opakování: • Kvadratická rovnice, úprava rovnic, vzorce pro 2. mocninu Iracionální rovnice: • rovnice, ve které se vyskytuje odmocnina z výrazů obsahujících neznámou - nutné podmínky
•
řeší se odstraňováním odmocnin (umocňováním) ve výrazech s neznámou (neekvivalentní úprava) -nutná zkouška
•
Využijeme vzorce pro druhou mocninu:
Řešení rovnice s 1 odmocninou: Podmínky: výraz s odmocninou převedeme na 1 stranu rovnice umocníme obě strany výrazu rovnici dořešíme a provedeme zkoušku Zk: P(14) = Příklady:
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Iracionální rovnice
25/27
Řešení rovnice s 2 odmocninami: x −1 + x + 4 = 5 Podmínky: x −1 = 5 − x + 4 /2 ( x − 1) 2 = (5 − x + 4 ) 2
kvůli jednoduchosti necháme na každé straně rovnice 1 odmocninu a umocníme podle vzorce ( a − b) 2 =
x − 1 = 25 − 2.5. x + 4 + x + 4 výraz s odmocninou převedeme na 1 stranu rovnice − 30 = −10. x + 4 / : (−10) 3 = x + 4 /2
opět umocníme, rovnici dořešíme, zjistíme, zda řešení padne do def. oboru, a provedeme zkoušku
Příklady: x + 2 − 2. x + 7 = −4
PRACOVNÍ LISTY
10 − x + x − 10 = 2
1. ROČNÍK
26/27
ROVNICE S PARAMETREM
Základní pojmy: • Parametr, řešení rovnice s parametrem, diskuse Opakování: • Rovnice, úprava rovnic
Příklady: 6a - ax + 3x = 11
x -2 - ax + 1 = a - 1
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
Rovnice s parametrem
27/27
x2 + ax + 9 = 0
x2 + 4ax - a = 0
ax + 3 - a = x
(x - 5)(a - 3) = 2x
x2 + ax + 1 = 0
PRACOVNÍ LISTY
1. ROČNÍK
