4. Kroucení prutů Otevřené a uzavřené průřezy, prosté a vázané kroucení, interakce, přístup podle Eurokódu.
Obvyklé je pružné řešení (plastické nelineární řešení - např. Strelbická) Podle Eurokódu lze kombinovat s plastickým rozdělením napjatosti od ohybu. Rozlišuje se: - kroucení prosté (vznikají jen smyková napětí), - kroucení vázané (vznikají smyková i normálová napětí).
1. Otevřené průřezy (např. I, U, L) a) Kroucení prosté (Saint Venantovo)
τi
Tt b
τt t
i=1 i=2 i=3
(vyskytuje se výjimečně, viz dále)
Vzniká jen smyk:
τ t(i) =
f y / γ M0 Tt t (i) ≤ It 3
It = α
1 3 ∑ bi ti 3 i
(největší v tmax)
(vliv zaoblení u válc. průřezů, jinak 1) OK3
©4
Prof. Ing. Josef Macháček, DrSc.
1
b) Kroucení vázané (Vlasovova teorie) Předpoklady: 1. tuhý příčný řez, 2. nulové smykové přetvoření (neuvažuje smykové ochabnutí).
• část kroutícího momentu T se přenáší prostým kroucením Tt , • část ohybovým kroucením Tw : T = Tt + Tw pro vázané napětí se vše uvažuje po střednici
T
τt
τw
σw
+
S střed smyku (ohybu)
=
+
+ +
vnitřní síly:
Tt
moment prostého kroucení
Tw moment ohybového kroucení
B bimoment
ohybové kroucení OK3
©4
Prof. Ing. Josef Macháček, DrSc.
2
Vzniklá napětí: Smyková: • prosté kroucení
τt
• ohybové kroucení
τw =
např.:
výsečový statický moment plochy
Tw S w t Iw
výsečový moment setrvačnosti
t t
τw,max
τt
napětí po tloušťce t
Normálová:
σw =
Platí tzv. analogie s ohybem:
Bw B = Iw Ww B
→
M
resp. σw →
σ
Tw
→
V
resp.
τw →
τ
OK3
©4
Prof. Ing. Josef Macháček, DrSc.
výsečový modul průřezu
3
Výsečové charakteristiky
Poloha S:
• pro válcované průřezy v tabulkách.
∫ y w dA = ∫ z w dA = 0
A
• obecně se odvodí z výsečové plochy: např. průřez I: t
z
w
Sw
r G≡S
h
Sw = ∫ w dA = A
h b 2t 16
Výsečový moment setrvačnosti:
∫
I w = w 2 dA =
průřez U:
A
v této poloze nekroutí !!
w
w, Sw, Iw ... viz tabulky =a OK3
Prof. Ing. Josef Macháček, DrSc.
h2 Iz 4
Sw
G a
©4
Hlavní výsečová plocha: hb w = ∫ r ds = 4 s Statický výsečový moment:
b
S
A
(výsečové deviační momenty)
4
Stanovení vnitřních sil při kroucení: • řešení z diferenciálních Vlasovových rovnic, popř. vzorce, • na základě analogie s ohybem. Průběh kroutícího momentu: e
F
prosté uložení v kroucení
A
ohyb V M
Průběh kroutícího momentu od excentrické síly odpovídá průběhu posouvající síly na excentricitě. Část přenesená prostým kroucením se vyčlení:
kroucení T = Ve
Tt ≅ V e κ
κ
... v tab. NA Eurokódu
Tw ≅ V e (1 − κ ) B Me
B ≅ M e (1 − κ )
U složitějších zatížení použít superpozici: OK3
©4
Prof. Ing. Josef Macháček, DrSc.
e1 e2
- e3 5
Přibližné (konzervativní) řešení - zanedbání prostého kroucení: T/h
T
T
0
řeší se pouze ohyb pásnic (často vyhovuje, z hlediska σw je konzervativní)
h T/h
Důležité poznámky: 1. Normálová napětí jsou velká, nelze je zanedbat! 2. Normálová napětí (vázané kroucení) nevznikají: a) při zatížení napětím τt, přibližně též pro zatížení koncovým T (vzniká jen prosté kroucení): b) u "svazkových" průřezů (neboť w = Iw = 0): (střed smyku S leží v průsečíku svazku)
3. V praxi se obvykle vyskytuje tzv. kroucení k vynucené ose (V): S≡V
e S
řešení s původním středem smyku S je nehospodárné !!!
kroucení navíc omezeno tuhostí pláště ⇒ často se zanedbává OK3
©4
Prof. Ing. Josef Macháček, DrSc.
6
2. Uzavřené průřezy a) Kroucení prosté
(jen smyková napětí, obvyklé posudky)
Bredtův smykový tok (τt t ) = konst.
Tt
τt
ti
di
τ t(i) =
Tt Ω t (i)
As
= 2 As Oproti otevřeným průřezům má τt největší hodnotu v nejslabší stěně a po tloušťce je konstantní !!
b) Kroucení vázané:
- teorie Umanského (tuhý příčný řez), - řešení podle Vlasova s netuhým příčným řezem, - řešení MKP (včetně vlivu zkosení příčného řezu, vede k ohybovým momentům ve stěnách)
Vznikají napětí jako u otevřených průřezů: τt, τw, σw. τw, σw jsou velmi malá, běžně se zanedbávají i u mostů. OK3
©4
Prof. Ing. Josef Macháček, DrSc.
7
3. Kombinace ohyb + kroucení ( My + T )
e Obecně lze napětí od ohybu a kroucení sečíst a posoudit podle podmínky plasticity: 2
2
2
⎛ σ x,Ed ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎛ σ ⎞⎛ σ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ z,Ed ⎟ − ⎜ x,Ed ⎟ ⎜ z,Ed ⎟ + 3⎜ τ Ed ⎟ ≤ 1 ⎜ fy / γ M0 ⎟ ⎜ fy / γ M0 ⎟ ⎜ fy / γ M0 ⎟ ⎜ fy / γ M0 ⎟ ⎜ fy / γ M0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Normálová napětí (jen otevřené průřezy):
σ = σ My + σ w ≤ f y / γ M1 M y,Ed
tj.
χ LTW y
+
BEd ≤ f y / γ M1 Ww
Smyková napětí: VEd ≤1 Vpl,T,Rd
Vpl,T,Rd je plastická návrhová únosnost průřezu ve smyku
Pro otevřené průřezy I a U Pro uzavřené průřezy
⎡ ⎤ τ t,Ed τ w,Ed ⎥ Vpl,Rd Vpl,T,Rd = ⎢ 1 − − 1,25 f y / 3 /γ M0 ⎢⎣ fy / 3 /γ M0 ⎥⎦ ⎡ ⎤ τ t,Ed Vpl,T,Rd = ⎢1 − ⎥ Vpl,Rd jen průřezy U f y / 3 /γ M0 ⎥⎦ ⎢⎣
(
(
OK3
©4
Prof. Ing. Josef Macháček, DrSc.
)
(
)
)
8
