7. Silně zakřivený prut 2011/2012
Zadání Zjistěte rozložení napětí v průřezu silně zakřiveného prutu namáhaného ohybem analyticky a experimentálně. Výsledky ověřte numerickým výpočtem.
Rozbor Pruty, které mají kruhovou střednici, dělíme na silně a slabě zakřivené podle poměru / , kde R je poloměr střednice prutu a h je příčný rozměr střednice. Je-li tento poměr výrazně vyšší než 1, pak se jedná o prut slabě zakřivený a napjatost v oblasti zakřivení je možné počítat pomocí vztahů platných pro přímé pruty. Je-li však poměr řádově roven 1, pak prut považujeme za silně zakřivený a napjatost a deformaci musíme počítat pomocí vztahů pro zakřivené pruty. Experimentální soustavou, na které budeme měřit, je prut tvaru podkovy z novoduru, který má v oblasti zakřivení nalepené tenzometry uvnitř a vně průměru (nákres je na obrázku 1).
Obrázek 1: Nákres prutu včetně rozměrů a míst s tenzometry Z rozměrů je jasné, že jde o silně zakřivený prut, neboť platí: 36 1,2 30 Prut je namáhán na ohyb silou F2. Síla F2 je vyvolána přes rameno silou F1 měřenou siloměrem (viz obrázek 2). 2
Obrázek 2: Nákres zatěžování prutu, a = 260 mm, b = 770 mm
1
Každý tenzometr je zapojen do polovičního mostu s kompenzačním tenzometrem a připojen k měřící ústředně. Cílem je změřit přetvoření na krajích prutu a tím popsat rozložení napětí po šířce průřezu prutu. Tato naměřená přetvoření pak porovnat s analytickým a numerickým řešením. Nakonec ještě určit závislost poměru přetvoření na zatěžující síle, kterou očekáváme přibližně konstantní.
Vypracování a) experimentálně Zapojíme tenzometry a začneme měřit. Postupně zvyšujeme sílu F1. Když se zatížení zdá dostatečné, necháme aparaturu ustálit a pak vypneme. Průběh zatěžující síly ukazuje obrázek 3.
Obrázek 3: Průběh zatěžující síly F1 v čase Hodnoty z ustáleného stavu zprůměrujeme a dostaneme 67,7 . Tuto hodnotu použijeme pro další výpočty. Průběh přetvoření vypadá jako na obrázku 4.
Obrázek 4: Průběh přetvoření a v čase 1391 / a 663,1 / . Stejně jako sílu F1 stanovíme maximální přetvoření ε Z intervalu přibližně od času 25 s do 40 s vybereme hodnoty síly a přetvoření a vykreslíme závislost poměru / na zatěžující síle. Tuto závislost proložíme vhodnou křivkou, neboť hodnoty síly a přetvoření hodně kolísají (viz obrázek 5).
Obrázek 5: Závislost poměru přetvoření na zatěžující síle 2
Naměřená přetvoření přepočítáme na napětí: · 3000 · 1391 · 10 ·
4,173
3000 · 663,1 · 10
1,989
kde 3000 je modul pružnosti novoduru. Víme, že na neutrální ploše v průřezu je napětí nulové. Tím pádem máme tři body, které můžeme proložit křivkou a odhadnout tak průběh napětí v průřezu. Jak se odvodí poloměr neutrální plochy viz dále. Aproximace průběhu napětí je na obrázku 6.
Obrázek 6: Aproximace průběhu napětí po průřezu prutu
b) analyticky Při namáhání silně zakřiveného prutu ohybem není neutrální plocha (tj. plocha, kde je napětí a přetvoření nulové) totožná se střednicí prutu (viz obrázek 6).
Obrázek 7: Průběh přetvoření po příčném průřezu Proto musíme nejdříve určit poloměr této plochy " a její vzdálenost od střednice #. Symbolem $ označíme šířku příčného průřezu, který má plochu %. ' 14 · &51 21' 420 % $·& % % 420 " 33,8 -. *·+, -. $ · ln &- ' 14 · ln &2 ' )- , / /
#
51
21
21
33,8 2,2 2 Ohybový moment vyvozený silou v místě vzdáleném od působiště 3 87 $ 770 · · 3 67,7 · · 87 17443,2 . 4 260 2
"
3
je:
Napětí v libovolném místě průřezu 6 získáme, dosadíme-li tyto hodnoty do vzorce: 6 4 · %·# " 6 Průběh napětí pro 678 17,2 ; 12,8:, tedy v místě neutrální plochy je 0, je na obrázku 7.
Obrázek 7: Průběh napětí po průřezu prutu Krajní hodnoty, které by měly odpovídat měřeným, jsou 11,6 a 6,4 . c) numericky Modelujeme úlohu v systému ANSYS jako rovinnou pomocí prvků SHELL181, kterým přiřadíme tloušťku. Vykreslíme-li rozložení napětí v příslušném směru, dostaneme obrázek 8.
Obrázek 8: Řešení napětí pomocí MKP
4
Vytvoříme-li cestu po průřezu, můžeme podél ní vykreslit průběh napětí, obrázek 9.
Obrázek 9: Průběh napětí v MPa v závislosti na poloze v průřezu v mm V krajních místech můžeme z tohoto grafu odečíst hodnoty napětí, které mají hodnoty 6,846 . 10,214 a
Závěr Porovnáme-li napětí v krajních bodech průřezu získaná analyticky a numericky a přetvoření získaná měřením, dostaneme tabulku: analyticky numericky experimentálně ; < 11,6 10,214 4,173 ; < -6,4 -6,846 -1,989 Zde je vždy napětí tahové na vnitřním průměru zakřivení prutu. Je jasné, že musí být větší než . To je splněno pro všechny případy. Platí tedy předpokládaný průběh napětí po průřezu prutu. Bohužel výsledky měření se značně liší od výsledků vypočítaných analyticky a numericky. To může být způsobeno různými faktory, především pak hrubou chybou v nastavení měření, případně chybným určením materiálu a jeho charakteristik použitých k výpočtu. Poměr přetvoření na vnitřním průměru k přetvoření na vnějším průměru se s měnící se zatěžující silou nemění, což vyplývá z obrázku 5. Kolísání hodnot proložených křivkou je však výrazné. To je způsobeno výkyvy hodnot při snímání přetvoření a síly pomocí citlivých tenzometrů.
Použitá literatura [1] Janíček, P., Ondráček, E., Vrbka, J., Burša, J.: Mechanika těles Pružnost a pevnost I
5
