DINAMIKA ROTASI
19:41:04
Fisika I
360o 1 rad = ≈ 57,3o 2π
19:41:04
Satu keliling lingkaran panjang busurnya adalah 2πr, dengan sudut θ =360°
s = rθ
Partikel di titik P bergerak melingkar sejauh θ. Besarnya lintasan partikel P ((panjang panjang busur)) sebanding dengan: busur dengan:
Posisi,, Kecepatan dan Percepatan Angular Posisi
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
19:41:05
Percepatan angular rata rata--rata:
Kecepatan angular ratarata-rata:
Perpindahan angular: ∆θ = θ f − θ i
berlawanan arah jarum jam, dan negatip jika searah jarum jam
ω Positip jika
Posisi angular adalah besarnya perubahan sudut θ terhadap acuan tertentu
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
Kecepatan total partikel : a =
ar + at
2
2
Hubungan kinematika linier dan kinematika rotasi dari partikel yang bergerak melingkar s=θr v = ds/dt = dθ/dt . r = ωr a at = dv/dt = dω/dt . r = αr ; percepatan tangensial ar = v2/r = ω2 r ; percepatan radial (sentripetal)
ω = ωo + α t θ = θo + ωo t + ½ α t2 ω2 = ωo2 + 2 α (θ - θo )
ar
at
19:41:05
Persamaan gerak rotasi memiliki analogi dengan gerak translasi
Persamaan gerak rotasi
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
Sebuah CD digunakan untuk menyimpan data, track pertama berada pada r=23 mm dan track terakhir pada r=58 mm. Pada pembacaan data CD berputar dengan kecepatan konstan terhadap lensalensa-laser sebesar 1,3 m/s a. Tentukan kecepatan angular saat pembacaan data pada track pertama dan terakhir (putaran/ putaran/menit) menit) b. Jika CD dapat dipakai untuk menyimpan data lagu selama 74 menit 33 detik, detik, berapa putaran dari CD dalam durasi tersebut c. Berapa lintasan total dari putaran CD terhadap lensa--laser dalam durasi tersebut lensa d. Jika diasumsikan konstan, konstan, berapa percepatan angular dari CD dalam interval 74 menit 33 detik
Contoh
DINAMIKA ROTASI
19:41:05
Fisika I
Diubah ke jumlah putaran
B. Jumlah putaran CD dalam interval waktu 74 min 33 s
Track Terakhir
Track Pertama
A. Kecepatan angular
DINAMIKA ROTASI
19:41:05
Fisika I
D. Percepatan angular, jika diasumsikan konstan
C. Lintasan total dari putaran CD
DINAMIKA ROTASI Jika kecepatan putaran tetap 1,3 m/s
19:41:05
Fisika I
19:41:05
maka L = r x p
dan karena mv = p
dp F= dt
Dari hukum Newton II dalam bentuk perubahan momentum :
= r x mv
L = m r x v , r ≡ vektor posisi partikel terhadap sumbu putar
Momentum sudut (L) dirumuskan sebagai :
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
τ =r xF
)
dL τ= dt
dan karena r x p ≡ L , sehingga
Momen gaya / torka :
drxp rxF= dt
(
dp r xF =r x dt
Jika kedua ruas kita kalikan dengan vektor r sebagai berikut :
DINAMIKA ROTASI
19:41:05
Fisika I
)
)
p = mv
)
drxp dp =r x dt dt
(
tetapi v x v = 0 maka
drxp dp =r x + v x mv dt dt
(
dr karena = v dan dt
drxp d p dr =r x + xp dt dt dt
(
DINAMIKA ROTASI
19:41:05
Fisika I
19:41:05
gerak rotasi :
gerak translasi :
∑
dL τ= dt
∑
dp F= dt
(Resultan semua momen gaya yang bekerja pada partikel sama dengan kecepatan perubahan momentum sudut partikel tersebut).
∑
dL τ= dt
Jika yang bekerja pada partikel ini lebih dari satu gaya dimana masingmasing gaya tersebut memberikan momen gaya, maka
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
19:41:05
L akhir = L awal
d L ≅ ∆ L = L akhir − L awal = 0
Hukum kekekalan momentum sudut
(momentum sudut akhir partikel sama dengan momentum sudut awal partikel)
∑τ = 0
dL =0 dt dL = 0
Jika resultan momen gaya yang bekerja pada partikel tersebut sama dengan nol.
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
19:41:05
N
w
T v
Bagaimanakah kecepatan putar bola pada saat jarijari putaran diubah-ubah.
Sebuah bola kecil bermassa m diikat dengan seutas tali. Susunan ini diputar diatas sebuah papan yang licin dengan ujung tali terbuka sebagai titik tumpunya dan berada ditengah papan yang berlubang sehingga sewaktu-waktu jari-jari tali bisa diperpanjang atau diperpendek. Perhatikan gambar.
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
r
W
T
τN =r x N
W
+τ N +τ T = 0
τT = r x T = 0
Momen gaya oleh tegangan tali T :
∑τ = τ
τW
Momen gaya oleh gaya normal N :
τ W = −r x W
L akhir = L awal
Berlaku hukum kekekalan momentum sudut :
Sehingga
τN N
Momen gaya oleh gaya berat W :
DINAMIKA ROTASI
dL =0 dt
19:41:05
Fisika I
19:41:05
r = r rˆ
v = v θˆ
ur L = mr v kˆ
2 2
r1 jadi v2 = v1 r2
1 1
m r1 x v1 = m r 2 x v 2 m r1 rˆ x v1 θˆ = m r2 rˆ x v2 θˆ m r v kˆ = m r v kˆ
L1 = L 2
Sehingga jika kita ambil dua kondisi sembarang, misal pada jari-jari putar r1 dengan kecepatan v1 dan pada jari-jari putar r2 dengan kecepatan v2, maka pada kedua kondisi tersebut momentum sudut partikel sama.
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
19:41:05
a.
Jika gaya gravitasi diabaikan, tentukan kecepatan sudut putar bola pada saat jari-jari putaran menjadi seperempat panjang semula.
b. Jika gaya gravitasi diperhitungkan dan tali diikat longgar pada telunjuk sehingga tidak melilit, tentukan kecepatan sudut putar setiap saat yang harus dimiliki bola agar tetap bergerak pada bidang lintasan yang sama (bola tidak turun).
Sebuah bola dengan massa 10 gram diikat dengan tali dan diputar dengan kecepatan sudut ωo = 50 rad/s. Ujung tali diikatkan pada telunjuk sehingga memungkinkan tali melilit pada telunjuk saat bola berputar dan jari-jari putar memendek (jari-jari putaran awal r = 1 m).
Contoh :
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
r
a.
19:41:05
r1 ω 2 = ω1 r2
2
dan v = ω r
T
r1 ω2 = r1 4
2
= mω 2 r2 ω1
2 m ω1r1
dL =0 dt
ω 2 = 800 rad / s
2
L1 = L 2 m r1 v1 = m r2 v2
Momentum sudut tetap :
τT = r x T = 0
tetapi
Karena gaya gravitasi diabaikan, maka yang bekerja pada tali hanyalah gaya tegangan tali saja.
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
r
19:41:05
W
T
(
dL r xT +r xW = dt dL d r x mv r x T = 0 dan = dt dt
v
∑
dL τ= dt dL τ T +τW = dt
)
Tali diikat longgar sehingga tali tidak melilit pada telunjuk dengan demikian panjang tali tidak berubah.
b. Gaya gravitasi diperhitungkan.
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
)
∫ r
∫
19:41:05
Sehingga: dan r ⊥ v d (r m v ) r W = r mg = , v =ω r dt g dω dω = dt g=r r dt g g Integralkan ! ω 2 − ω1 = t dω = dt r r g ω 2 = t + ω1 ω 2 (t ) = (10t + 50) rad / s
r ⊥W
Bidang lintasan tidak berubah berarti harus selalu
d r x mv r xW = dt
(
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
y
ω
r3
ω m3
(
m2
x
sehingga
19:41:05
( ) ( ) ( )
Ingat : a x b x c = b a. c − c a . b
) ( ( ) ( ))
L1 = m1ω r12
(
L = r x p = mr x v = mr x ω x r
v =ω x r
, L 2 = m2 ω r22
, L 3 = m3ω r32
)
Jika sistem partikel ini berotasi dengan kecepatan sudut ω (masing-masing partikel berotasi dengan kecepatan sudut yang sama) maka
maka L = m r x ω x r = m ω r. r − r r .ω = m ω r 2
r1 r 2
m1
ω
Tinjau pada benda diskrit :
Benda Tegar
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
(
)
i =1
∑ mi ri2
∆m→0
I = lim
∑ i =1
N
ri2 ∆mi
Untuk benda kontinue (tegar) :
I=
N
∫
I = r dm
2
jadi I = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32
L = I .ω
I ≡ Momen Inersia
L = L1 + L 2 + L 3 = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 ω
Momentum sudut total :
DINAMIKA ROTASI
19:41:05
Fisika I
-L/2
L
dx
jadi
L/2
2
19:41:05
1 I = ML2 12
1 3 1 = L ρ = ( ρ L ) L2 , ρ L = M ≡ massa 12 12
2
1 3L2 I = ∫ x dm = ∫ x ρ dx = ρ x 3 −L 2 −L 2
L2
Momen inersia :
dm = ρ dx
Massa sepanjang dx :
(momen inersia batang dengan sumbu putar melewati titik pusat massa batang)
Sumbu putar
1. Batang (1-D)
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
R
Sumbu putar
dθ θ
r
jadi
dA=rdθ θ dr
dr
2. Piringan (tipis)
0 0
∫∫
∫
R
∫
2π
r 2 .ρ rdθ dr
∫
R
3
0
0
r 3 .ρ dθ dr = ρ r 3dr dθ
0 0
∫∫
R 2π
19:41:05
1 1 4 R = 2πρ r dr = πρ r = πρR 4 0 2 2 0 1 2 , M = ρπR2 I = MR 2
=
R 2π
I = r 2 dm =
∫
Momen inersia :
dm = ρ dA = ρ rdθ θ dr
Massa seluas dA:
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
19:41:05
Sumbu Putar melalui Titik pusat massa
R
sejajar
l
S
2
1 MR 2 2
1 3 2 Is = M R + M R = M R2 2 2
sehingga
untuk piringan : I pm =
I s = M l 2 + I pm
Maka momen inersia terhaadap sumbu S tersebut :
l ≡ jarak sumbu ke titik pusat massa
Jika sumbu rotasi tidak terletak pada titik pusat massa maka digunakan dalil sumbu sejajar :
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
l
sejajar
Sumbu putar titik pusat massa€
L
Untuk batang :
S
19:41:05
1 jadi I s = M L2 3
1 1 = M L + M L2 2 12
2
I s = M l 2 + I pm
Momen inersia batang terhadap sumbu putar S adalah :
1 1 l = L dan I pm = M L2 2 12
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
DINAMIKA ROTASI
19:41:06
Fisika I
19:41:06
3. Tentukanlah momentum sudut bumi terhadap sumbu rotasinya. Anggap bumi sebagai sebuah bola dengan massa 6 x 1024 kg dan jari-jarinya 6,4 x 106 m.
2. Suatu cakram berputar dengan laju 32 putaran/menit. Cakram tersebut dipercepat oleh sebuah mesin sehingga 10s kemudian lajunya menjadi 82 putaran/menit. Tentukan percepatan sudut rata-rata cakram tersebut. Jika terdapat sebuah titik yang terletak 30 cm dari pusat putaran, tentukanlah jarak yang ditempuh titik tersebut dalam selang waktu 10s.
1. Sebuah cakram berputar dengan percepatan angular konstan α = 2 rad/s2. Jika cakram tersebut mulai dari keadaan diam, tentukan frekuansi putaran cakram tersebut dan tentukan kecepatan sudut cakram tersebut setelah 10s.
Latihan
Fisika I
(bola tergelincir), terjadi jika lantai licin.
Gerak rotasi
Gerak translasi Pada gerak translasi, titik sentuh bola selalu bergerak terhadap lantai.
(Gerak Menggelinding)
Perpaduan Gerak Translasi dan Gerak Rotasi
DINAMIKA ROTASI
19:41:06
Fisika I
19:41:06
Proses menggelinding akan terjadi jika titik sentuh bola tidak bergerak / menempel terhadap lantai (bola tidak selip / tergelincir). Dan ini akan terjadi jika lantai kasar.
Perpaduan gerak translasi dan rotasi ini yang menghasilkan gerakan bola menggelinding.
Jika gerak translasi dan gerak rotasi tersebut dimiliki secara bersamaan oleh bola maka menghasilkan gerak berikut :
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
P
pm
vT=ω ωR vpm
= V pm − ω R
VP = V pm − VT
= V pm + ω R
VQ = V pm + VT
Kecepatan resultan di kedua titik :
sehingga VQ = V pm + ω R → VQ = 2ω R
VP = V pm − ω R = 0 → V pm = ω R
Jika tidak selip, titik P relatif diam terhadap lantai VP=0
vT
R
Q
Perhatikan analisa berikut :
DINAMIKA ROTASI
19:41:06
Fisika I
19:41:06
R P
Gerak menggelinding (tanpa selip) bisa diperlakukan sebagai gerak rotasi saja tetapi dengan sumbu rotasi di titik P.
1 1 2 K = M v pm + I pmω 2 2 2
K = Ktranslasi + Krotasi
Energi kinetik gerak menggelinding :
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
19:41:06
jadi
(
)
1 K = K p = I pω 2 2 1 = M R 2 + I pm ω 2 2 1 1 2 2 = M R ω + I pmω 2 , ω R = V pm 2 2 1 1 2 K = M V pm + I pmω 2 2 2
Dengan demikian energi kinetik gerak menggelinding sama dengan energi kinetik gerak rotasi saja.
I p = M l 2 + I pm = M R 2 + I pm
Sehingga momen inersia bola jika bola berotasi dengan sumbu putar di titik P (salah satu titik pada permukaan bola) adalah :
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
19:41:06
h
A B
VB = 2 gh
U A + K A = UB + KB
EM ( A) = EM ( B)
a. Jika permukaan licin maka bola akan tergelincir sehingga ia hanya bergerak translasi saja.
Jawab :
b. Permukaan bidang miring kasar
a. Permukaan bidang miring licin
Sebuah bola pejal bermassa m dan berjari-jari R diletakkan di atas permukaan bidang miring pada ketinggian h. Jika keadaan awalnya diam, tentukan kecepatan saat tiba di tanah jika
Contoh :
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
EM ( A) = EM ( B)
h
A
19:41:06
B
1 2 mgh + 0 = 0 + I sω 2
U A + K A = UB + KB
Masih berlaku hukum kekekalan energi mekanik.
Permukaan yang kasar memungkinkan titik sentuh bola selalu menempel ke permukaan. Tidak ada gesekan antar bola dan bidang.
Menyebabkan titik sentuh tidak tergelincir dan terjadi gerak menggelinding.
b. Permukaan bidang miring kasar.
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
19:41:07
sehingga
2 I pm = m R 2 5
2
2 7 2 I s = m R + mR = mR 2 5 5 1 7 mgh = . mR 2ω 2 2 5 7 7 10gh gh = R 2ω 2 = V 2 V= 10 10 7
Dan untuk bola pejal :
Ipm ≡ momen inersia terhadap sumbu diameter bola.
Is ≡ momen inersia terhadap sumbu yang menyinggung permukaan bola.
I s = m R 2 + I pm
dimana
DINAMIKA ROTASI
Fisika I
