4. DIFRAKSI
•
Difraksi adalah deviasi dari perambatan cahaya atau pembelokan arah rambat cahaya.
•
Efek difraksi adalah karakteristik dari fenomena gelombang, apakah bunyi, atau cahaya dimana mukamuka gelombangnya dibelokkan. E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
DIFRAKSI CAHAYA MELALUI CELAH PRINSIP HUYGENS-FRESNEL
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
• Prinsip Huygens-Fresnel : setiap titik dari muka-muka gelombang yang tidak terganggu, pada saat tertentu bertindak sebagai sumber muka-muka gelombang speris kedua (frekuensinya sama dengan sumber primer). Amplitudo medan optik (listrik/magnet) di suatu titik merupakan superposisi dari muka-muka gelombang speris tadi.
• Jika panjang gelombang (λ) lebih besar dibandingkan dengan lebar celah (d), maka gelombang akan disebar keluar dengan sudut yang cukup besar. • Dalam beberapa kasus klasik, fenomena interferensi dan difraksi sulit dibedakan.
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
DIFRAKSI CELAH TUNGGAL (SINGLE SLIT)
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
SUSUNAN LINIER DARI SUMBER OSILATOR YANG KOHEREN
• Setiap sumber titik memancarkan medan listrik (radiasi) yang memiliki jarak r terhadap titik amat/observasi ; titik P. • Masing-masing sumber memancarkan medan listrik yang sama :
E0 (r1 ) = E0 (r2 ) = E0 (r3 ) = E0 (rN ) = E0 (r ) • Maka medan listrik di titik P merupakan penjumlahan medan-medan yang dipancarkan setiap sumber osilator
E0 = E0 ( r ) e
i ( kr1 −ωt )
+ E0 ( r ) e
+ ... + E0 (r )e i ( krN −ωt )
i ( kr2 −ωt )
+ E0 ( r ) e
i ( kr3 −ωt )
E0 = E0 ( r ) e
− i ωt
e [1 + e ikr1
ik ( r2 − r1 )
+e
ik ( r3 − r1 )
+ ... + e
ik ( rN − r1 )
]
(r2 − r1 ) = d sin θ (r3 − r1 ) = 2d sin θ .....
(rN − r1 ) = ( N − 1)d sin θ
• Maka beda fasa antara sumber-sumber yang berurutan adalah :
δ = k0 Λ = knd sin θ δ = kd sin θ Di udara (n = 1)
k (r2 − r1 ) = δ
k (r3 − r1 ) = 2δ
... k (rN − r1 ) = (N − 1)δ
Di dalam medium dengan indeks bias n
• Maka medan listrik di titik P :
E 0 = E0 ( r ) e
− iωt
iδ
i ( N −1)δ
2 iδ
e [1 + e + e + ... + e ] 14444244443 ikr1
(e δ −1) (e δ −1) i N
iNδ
iNδ / 2
( (
iNδ / 2
− iNδ / 2
−e e −1 e e = iδ / 2 iδ / 2 − iδ / 2 iδ e −1 e e −e
)
)
i
e iNδ / 2 sin ( Nδ / 2 ) eiNδ / 2 e −iδ / 2 sin ( Nδ / 2) = iδ / 2 = e sin (δ / 2) sin (δ / 2) =e
i ( N −1)δ / 2
E0 = E0 ( r ) e
sin Nδ / 2 sin δ / 2
− i ωt
e
i[ kr1 + ( N −1)δ / 2 ]
sin Nδ / 2 sin δ / 2
Jika didefinisikan R adalah jarak dari titik pusat sumbu ke titik P adalah : 1 R = (N − 1)d sin θ + r1 2 maka : sin Nδ / 2 E = E0 (r )e i (kR −ωt ) sin δ / 2 Intensitas /rapat fluks di titik P :
1 I P ~ E = EE * 2 2 2 sin ( Nδ / 2 ) 2 sin ( Nδ / 2 ) I P = E0 = I0 2 sin (δ / 2 ) sin 2 (δ / 2 ) 2
I0 adalah rapat fluks/intensitas dari berbagai sumber di titik P
sin 2 ( Nδ / 2) I P = I0 2 sin (δ / 2) Untuk N = 0 (tak ada sumber) → IP = 0 N = 1 (satu sumber) → IP = I0 N=2
sin δ 4 sin (δ / 2 ) cos (δ / 2 ) I P = I0 = I0 2 sin (δ / 2 ) sin 2 (δ / 2 ) 2
2
2
= 4 I 0 cos 2 (δ / 2 )
Intensitas di titik P sebagai fungsi dari sudut θ (δ = kd sin θ)
sin 2 [ N (kd / 2 )sin θ ] I P = I0 sin 2 [(kd / 2 )sin θ ]
• Bagian yang mengalami fluktuasi akibat difraksi adalah sin2[N(kd/2)sinθ] yang dimodulasi oleh sin2[(kd/2)sinθ]-1, karena bagian terakhir ini berubah sangat lambat/kecil.
sin ( Nδ / 2) I P = I0 sin 2 (δ / 2) 2
• Puncak maksimum terjadi jika :
sin 2 ( Nδ / 2 ) 2 = N ⇒ δ = 2mπ 2 sin (δ / 2) kd sin θ m = 2mπ 2π
λ
d sin θ m = 2mπ
d sin θ m = mλ I maks = N 2 I 0
Sistem akan memancarkan radiasi maksimum dalam arah tegak lurus terhadap susunan antena/celah (array), yaitu pada m = 0 (θ0=0 dan π)
• Jika sudut θ bertambah, maka δ = kd sin θ bertambah dan akan mencapai minimum sampai 0 pada Nδ/2 = π. • Jika lebar celah d > λ, maka hanya ada satu nilai maksimum (m = 0 atau orde ke-nol)
Penerapan sistem radiasi antena • Jika kita memiliki sistem beberapa antena (array), dimana masingmasing memancarkan radiasi, maka perbedaan fasa :
δ = kd sin θ + ε
ε = pergeseran fasa antar sumber radiasi maksimum terjadi pada :
d sin θ m = mλ − ε / k ⇒ δ = kd sin θ m = 2mπ maka puncak radiasi maksimum dapat diatur dengan nilai ε Catatatan : antena parabola hanya memancarkan /memantulkan radiasi dalam arah lurus dan pola radiasinya tidak simetris di sekitar sumbunya.
y ∆y
D/2 ri R
z
P
x -D/2
Gambar diatas melukiskan sumber osilasi ideal (sumber kedua dari Prinsip Huygens-Fresnel untuk celah sempit yang panjang, dimana lebar celah jauh lebih kecil dari panjang gelombang, disinari oleh gelombang bidang) .
• Masing-masing titik memancarkan gelombang (wavelets) speris :
ε0 E = sin (ωt − kr ) r
ε0 = kekuatan sumber (source strength) • Gelombang yang dipancarkan oleh tiap elemen ∆y :
ε0 N ∆y i Ei = sin (ωt − kri ) D ri • Jika jumlah elemen (N) mendekati tak hingga, dan jika output total harus berhingga, maka jumlah sumber osilator harus mendekati nol.
• Sehingga didefinisikan kekuatan sumber persatuan panjang :
1 ε L = lim (ε 0 N ) D N →∞ • maka medan total di titik P akibat dari M segmen : M
Ei = ∑ i =1
εL sin (ωt − kri )(∆yi ) ri
• Untuk sumber kontinu M →∞ :
sin (ωt − kr ) E = εL ∫ dy r −D / 2 D/2
r = r ( y)
DIFRAKSI FRAUNHOFER Difraksi dimana gelombang datang dan yang keluar dari celah tetap planar atau linier.
1. CELAH TUNGGAL
• Jika jarak celah ke layar (R) >> lebar celah (D), maka r(y) linier dan (εL/R) pada titik amat P konstan sepanjang elemen dy.
dE =
εL
sin (ωt − kr )dy
R r = R − y sin θ + ...
• Suku ketiga dst dapat diabaikan, karena kontribusi terhadap fasa kecil, sehingga r linier terhadap y (DIFRAKSI FRAUNHOFER). • Untuk lebar celah D (dari –D/2 sampai D/2), maka :
E=
εL R
D/2
∫ sin[ωt − k (R − y sin θ )]dy
−D / 2
ε L D sin[(kD / 2)sin θ ] = sin (ωt − kR ) (kD / 2)sin θ R
• Jika kita definisikan :
β = (kD / 2)sin θ Maka :
ε L D sin β εLD sin (ωt − kR ) = E= sinc(β )sin (ωt − kR ) R β R Distribusi intensitas :
I (θ ) = E
1 εLD 2 2 ( ) = sinc = I 0 sinc β β 2 R 2
2 T
sin 2 (ωt − kR ) = 1 / 2 Maksimum utama terjadi pada θ = 0
sinc β = 1 I (θ ) = I (0 )
Intensitas minima terjadi jika sin β = 0, atau pada nilai :
β = ±π ,±2π ,±3π ,...
• Jika celah memiliki dimensi panjang l dan lebar b (b<
I (θ ) = I (0 ) sinc β 2
β = (kb / 2)sin θ
• Intensitas minima terjadi pada :
b sin θ m = mλ m = ±1,±2,±3,...
2. CELAH GANDA
X
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
• Jika masing-masing celah memiliki dimensi lebar b dan panjang l (b << l), dan kedua celah dipisahkan oleh jarak a, maka medan : a +b / 2
εL εL E = ∫ F (z )dz + ∫ F (z )dz R −b / 2 R a −b / 2 F (z ) = sin[ωt − k (R − z sin θ )] b/2
ε Lb E = sincβ [sin (ωt − kR ) + sin (ωt − kR + 2α )] R α = (ka / 2)sin β 2ε L b E = sincβ cos α sin (ωt − kR + α ) R
• Distribusi intensitas menjadi :
I (θ ) = 4I 0 sinc β cos α 2
2
• Maxima utama terjadi pada θ =0, yaitu α = β = 0 : I(0)=4I0 • Minima terjadi pada :
β = ±π ,±2π ,±3π ,...
Celah tunggal
Celah ganda
3. CELAH BANYAK
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
a +b / 2
2 a +b / 2
εL εL εL E = ∫ F ( z )dz + ∫ F (z )dz + ∫ F (z )dz + R −b / 2 R a −b / 2 R 2 a −b / 2 b/2
( N −1)a + b / 2
εL + ... + ∫ F (z )dz R ( N −1)a −b / 2
F ( z ) = sin[ωt − k (R − z sin θ )] Penurunan rumus dapat dilihat di buku E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002, hal. 460
sin Nα I (θ ) = I 0 sin c β sin α θ = 0 ⇒ I (0 ) = N 2 I 0 2
2
sin Nα I (θ ) = I 0 sin c β sin α
2
2
• Maksima utama terjadi jika :
sin Nα = N , ⇒ α = 0,±π ,±2π ,... sin α atau a sin θ m = mλ ; m = 0,±1,±2,... • Minima terjadi jika :
sin Nα = 0, sin α ( π 2π N − 1)π (N + 1)π ,± α = 0,± ,± ,...,± N N N N
• Diantara maksima, terdapat (N-1) minima. • Untuk nilai N yang besar, maka α kecil sehingga :
sin 2 α ≈ α maka puncak maksima kedua (subsider pertama) :
α = 3π / 2 N 2 I ≈ I 0sinc β 3π 2
2
Pola difraksi celah banyak dengan jarak antar celah a = 4b dan N = 6
4. CELAH PERSEGI
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
• Jika εA adalah kekuatan sumber persatuan luas dan dS adalah elemen luas, maka berlaku :
ε A i (ωt − kr ) dE = e dS r r = [X
2
+ (Y − y ) + (Z − z )
[ (
2
)
2
]
r = R 1 + y + z / R − 2(Yy + Zz ) / R 2
2
2
]
2 1/ 2
• Jika R sangat besar dibandingkan dimensi apertur atau celah, maka :
[ ] = R[1 − (Yy + Zz ) / R ] deret Binomial
r = R 1 − 2(Yy + Zz ) / R 2
2 1/ 2
• Maka distribusi intensitas :
I (Y , Z ) = I (0 )sinc 2α ' sinc 2 β ' α ' = kaZ / 2 R
Penurunan rumus dapat dilihat di buku E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002, hal. 460
β ' = kbY / 2 R • I(0) adalah intensitas pada Y = Z = 0 • Maksima utama terjadi pada α’ = β’ = 0
Distribusi intensitas
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
Distribusi medan
4. CELAH LINGKARAN
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
~ E=
ε A ei (ωt − kR ) R
∫∫ e
ik (Yy + Zz ) / R
dS
apertur
z = ρ cos φ Z = q cos Φ dS = ρ dρ dφ
; y = ρ sin φ ; Y = q sin Φ
Maka fungsi integralnya menjadi :
~ εA e E=
i (ωt − kR )
R
a
2π
∫ρ φ∫ e =0 =0
i ( kρq / R )cos (φ − Φ )
ρ dρ dφ
− m 2π
Fungsi Bessel jenis pertama :
i J m (u ) = 2π
Fungsi Bessel orde ke-nol (m=0) :
∫e
i ( mv + u cos v )
dv
0
1 J 0 (u ) = 2π
2π
∫e 0
iu cos v
dv
~ εA e E=
i (ωt − kR )
R
a
2π ∫ J 0 (kρq / R )ρ dρ 0
Sifat umum fungsi Bessel
[
]
d m u J m (u ) = u m J m −1 (u ) du u
m = 1 ⇒ uJ1 (u ) = ∫ u ' J 0 (u ') du ' 0
Maka : ρ =a
R ( ) = J k ρ q / R ρ d ρ 0 ∫ρ =0 kq
2
∫
w = kaq / R
w=0
J 0 (w)w dw
~ εA e E=
i (ωt − kR )
R J1 (kaq / R ) 2πa kaq 2
R
Distribusi intensitas I = ½ EE*
2ε 2 J 1 (kaq / R ) I= A R kaq / R 2 A 2
Intensitas di titik pusat (q = 0) :
2ε 2 I (0) = A R 2 A 2
2
A = luas lingkaran (celah)
Distribusi intensitas
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
Distribusi medan
• Jika R konstan sepanjang polar difraksi, maka berlaku :
2 J1 (kaq / R ) I = I (0) kaq / R
2
• Karena sin θ = q/R, maka :
2 J1 (ka sin θ ) I (θ ) = I (0 ) ka sin θ
2
• Karena memiliki sumbu simetri, maka pusat maksimum membentuk “AIRY DISK/RING) terhadap maksimum selanjutnya (ditemukan oleh George Biddel Airy 18011892)
Cincin gelap pertama yang mengelilingi pusat maksimum berkaitan dengan J1(u). J1(u) = 0, jika u = kaq/R = 3,83 Dimana q1 adalah jarak dari pusat ke cincin gelap pertama : Airy ring dari lingkaran d = 0,5 mm
Rλ q1 = 1.22 2a Jika sebuah lensa difokuskan ke layar dengan panjang fokus f ≈ R, maka :
fλ q1 ≈ 1.22 D
d = 1,0 mm
D = diameter celah (2a)
PENERAPAN PADA RESOLUSI SISTEM PENCITRAAN • Jarak antara titik pusat dengan cincin minimum pertama adalah :
fλ q1 ≈ 1.22 D
• Jika ∆θ adalah sudut yang terukur, maka :
∆θ ≈ 1.22
λ
D q1 / f = sin ∆θ ≈ ∆θ
• Airy ring/disk akan menyebar sepanjang sudut ∆θ.
Jika ∆φ >> ∆θ, maka citra akan dapat dibedakan (resolusi) E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
• Batas resolusi terjadi jika :
(∆ϕ )min = ∆θ = 1.22λ / D • Jika ∆l adalah jarak pusat-ke pusat bayangan/citra, maka limit resolusi :
(∆l )min = 1.22 fλ / D • Resolving power untuk sistem pembentukan citra secara umum didefinisikan :
1
(∆ϕ )min
1 atau (∆l )min
• Jika ∆φ lebih kecil dari ∆θ, maka citra akan overlap.
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
Akibatnya citra atau image akan buram (blur)
E. Hechts,”Optics:, Adison wesley, 2002
DIFRAKSI GRATING Suatu piranti atau alat optik yang terdiri dari serangkaian apertur, digunakan untuk mengubah atau menghasilkan panjang gelombang yang didifraksikan dengan cara mengatur perioda atau jarak antar celah atau sudut cahaya datang Contoh : Laser Bragg.
Grating Transmisi
Orde ke-m
θm
D C a
θi
B
A
AB − CD = a(sin θ m − sin θ i )
Grating Refleksi
A
θi B
a D
C
θm Orde ke-m
AB − CD = a(sin θ m − sin θ i )
Persamaan grating :
a sin θ m = mλ m = 0 (orde nol tidak dibelokkan (θ0 = 0). Semakin besar m (orde), sudut defleksi semakin besar. Secara umum, untuk grating transmisi dan refleksi, berlaku :
a(sin θ m − sin θ i ) = mλ Maka untuk mengubah panjang gelombang (λ), dapat dilakukan dengan mengubah jarak grating/perioda (a) atau sudut cahaya datang (θi).
