Bab 16
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
LIMIT dan TURUNAN
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
1/35
Motivasi
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil;
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
2/35
Motivasi
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; nilai sangat besar;
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
2/35
Motivasi
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; nilai sangat besar; besaran yang tidak dapat diketahui nilainya secara tepat.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
2/35
Limit Fungsi
Motivasi
Perhatikan fungsi
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
f (x) =
x2 − 9 . x−3
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
3/35
Limit Fungsi
Motivasi
Perhatikan fungsi
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
f (x) =
x2 − 9 . x−3
f (x) tidak ada nilainya di x = 3, karena terjadi pembagian dengan nol.
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
3/35
Limit Fungsi
Motivasi
Perhatikan fungsi
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
f (x) =
x2 − 9 . x−3
f (x) tidak ada nilainya di x = 3, karena terjadi pembagian dengan nol. Untuk x 6= 3 fungsi tersebut dapat diubah menjadi
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
f (x) =
(x − 3)(x + 3) = x + 3. x−3
3/35
Limit Fungsi Untuk x 6= 3, Motivasi
f (x) =
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
(x − 3)(x + 3) = x + 3, x−3
dan perhatikan nilai f (x) untuk x di dekat 3 x f (x)
2 5
2,5 5,5
2,9 5,9
2,99 5,99
2,999 5,999
2,9999 5,9999
2,999999 5,999999
... ...
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
4/35
Limit Fungsi Untuk x 6= 3, Motivasi
f (x) =
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
(x − 3)(x + 3) = x + 3, x−3
dan perhatikan nilai f (x) untuk x di dekat 3 x f (x)
2 5
2,5 5,5
2,9 5,9
2,99 5,99
2,999 5,999
2,9999 5,9999
2,999999 5,999999
... ...
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, maka nilai f (x) makin dekat ke 6, dapat ditulis
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
lim f (x) = 6
x→3−
4/35
Limit Fungsi Untuk x 6= 3, Motivasi
f (x) =
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
(x − 3)(x + 3) = x + 3, x−3
dan perhatikan nilai f (x) untuk x di dekat 3 x f (x)
2 5
2,5 5,5
2,9 5,9
2,99 5,99
2,999 5,999
2,9999 5,9999
2,999999 5,999999
... ...
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, maka nilai f (x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f (x) = 6
x→3−
dibaca: “limit fungsi f (x) untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri sama dengan 6”. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
4/35
Limit Fungsi
Motivasi
Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f (x) dengan pendekatan dari sebelah kanan:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
x 4 f (x) 7
3, 5 6, 5
3, 2 6, 2
3, 1 6, 1
3, 01 6, 01
3, 001 6, 001
3, 0001 6, 0001
3, 00001 6, 00001
... ...
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
5/35
Limit Fungsi
Motivasi
Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f (x) dengan pendekatan dari sebelah kanan:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
x 4 f (x) 7
3, 5 6, 5
3, 2 6, 2
3, 1 6, 1
3, 01 6, 01
3, 001 6, 001
3, 0001 6, 0001
3, 00001 6, 00001
... ...
Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, maka nilai f (x) makin dekat ke 6, dapat ditulis
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
lim f (x) = 6
x→3+
5/35
Limit Fungsi
Motivasi
Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f (x) dengan pendekatan dari sebelah kanan:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
x 4 f (x) 7
3, 5 6, 5
3, 2 6, 2
3, 1 6, 1
3, 01 6, 01
3, 001 6, 001
3, 0001 6, 0001
3, 00001 6, 00001
... ...
Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, maka nilai f (x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f (x) = 6
x→3+
dibaca: “limit fungsi f (x) untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan sama dengan 6”.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
5/35
Limit Fungsi
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Limit Fungsi Jika lim f (x) = lim f (x) = L
x→a−
maka ditulis lim f (x) = L
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
x→a+
x→a
dan disebut limit dua sisi (sisi kiri dan kanan). Dalam hal ini L disebut limit fungsi f .
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
6/35
Limit Fungsi Beberapa limit dasar
Motivasi
lim k = k
x→a
lim k = k
x→+∞
lim k = k
x→−∞
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
lim x = a
x→a
lim x = +∞
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
7/35
Limit Fungsi Beberapa limit dasar
Motivasi
lim k = k
x→a
lim k = k
x→+∞
lim k = k
x→−∞
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
lim x = a
x→a
lim x = +∞
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
Contoh: lim 3 = 3
x→2
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
7/35
Limit Fungsi Beberapa limit dasar
Motivasi
lim k = k
x→a
lim k = k
x→+∞
lim k = k
x→−∞
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
lim x = a
x→a
lim x = +∞
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
Contoh: lim 3 = 3
x→2
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
lim 3 = 3
x→+∞
7/35
Limit Fungsi Beberapa limit dasar
Motivasi
lim k = k
x→a
lim k = k
x→+∞
lim k = k
x→−∞
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
lim x = a
x→a
lim x = +∞
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
Contoh: lim 3 = 3
x→2
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
lim 3 = 3
x→+∞
lim 3 = 3
x→−∞
7/35
Limit Fungsi Beberapa limit dasar
Motivasi
lim k = k
x→a
lim k = k
x→+∞
lim k = k
x→−∞
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
lim x = a
x→a
lim x = +∞
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
Contoh: lim 3 = 3
x→2
lim 3 = 3
x→+∞
lim 3 = 3
x→−∞
lim x = 5
x→5
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
7/35
Limit Fungsi Beberapa limit dasar
Motivasi
lim k = k
x→a
lim k = k
x→+∞
lim k = k
x→−∞
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
lim x = a
x→a
lim x = +∞
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
Contoh: lim 3 = 3
x→2
lim x = 5
x→5
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
lim 3 = 3
x→+∞
lim 3 = 3
x→−∞
lim x = +∞
x→+∞
7/35
Limit Fungsi Beberapa limit dasar
Motivasi
lim k = k
x→a
lim k = k
x→+∞
lim k = k
x→−∞
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
lim x = a
x→a
lim x = +∞
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
Contoh: lim 3 = 3
x→2
lim x = 5
x→5
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
lim 3 = 3
x→+∞
lim x = +∞
x→+∞
lim 3 = 3
x→−∞
lim x = −∞
x→−∞
7/35
Limit Fungsi Sifat-sifat limit
Motivasi
Misal lim f (x) = L dan lim g(x) = M , dan c bilangan real, x→a x→a maka
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
8/35
Limit Fungsi Sifat-sifat limit
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Misal lim f (x) = L dan lim g(x) = M , dan c bilangan real, x→a x→a maka h i (a) lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x) = L + M x→a
x→a
x→a
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
8/35
Limit Fungsi Sifat-sifat limit
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Misal lim f (x) = L dan lim g(x) = M , dan c bilangan real, x→a x→a maka h i (a) lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x) = L + M x→a
x→a
x→a
(b) lim cf (x) = c lim f (x) = cL x→a
x→a
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
8/35
Limit Fungsi Sifat-sifat limit
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
Misal lim f (x) = L dan lim g(x) = M , dan c bilangan real, x→a x→a maka h i (a) lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x) = L + M x→a
x→a
x→a
(b) lim cf (x) = c lim f (x) = cL x→a
x→a
h
i (c) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g(x) = LM x→a
x→a
x→a
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
8/35
Limit Fungsi Sifat-sifat limit
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Misal lim f (x) = L dan lim g(x) = M , dan c bilangan real, x→a x→a maka h i (a) lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x) = L + M x→a
x→a
x→a
(b) lim cf (x) = c lim f (x) = cL x→a
x→a
h
i (c) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g(x) = LM x→a
x→a
x→a
lim f (x) f (x) L (d) lim = untuk M 6= 0 = x→a x→a g(x) lim g(x) M
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
x→a
8/35
Limit Fungsi Sifat-sifat limit
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Misal lim f (x) = L dan lim g(x) = M , dan c bilangan real, x→a x→a maka h i (a) lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x) = L + M x→a
x→a
x→a
(b) lim cf (x) = c lim f (x) = cL x→a
x→a
h
i (c) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g(x) = LM x→a
x→a
x→a
lim f (x) f (x) L (d) lim = untuk M 6= 0 = x→a x→a g(x) lim g(x) M
x→a
(e) lim
x→a
p
f (x) =
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
q
lim f (x) =
x→a
√
L, untuk L ≥ 0
8/35
Limit Fungsi Limit dari polinomial
Contoh: Motivasi
Dapatkan lim (x2 − 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. x→5
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
9/35
Limit Fungsi Limit dari polinomial
Contoh: Motivasi
Dapatkan lim (x2 − 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. x→5
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Jawab: lim (x2 − 4x + 3)
x→5
=
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
9/35
Limit Fungsi Limit dari polinomial
Contoh: Motivasi
Dapatkan lim (x2 − 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. x→5
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
Jawab: lim (x2 − 4x + 3)
x→5
= lim x2 − lim 4x + lim 3 x→5
x→5
x→5
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
9/35
Limit Fungsi Limit dari polinomial
Contoh: Motivasi
Dapatkan lim (x2 − 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. x→5
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Jawab: lim (x2 − 4x + 3)
x→5
= lim x2 − lim 4x + lim 3 x→5
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
x→5
x→5
Sifat (a)
=
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
9/35
Limit Fungsi Limit dari polinomial
Contoh: Motivasi
Dapatkan lim (x2 − 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. x→5
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Jawab: lim (x2 − 4x + 3)
x→5
= lim x2 − lim 4x + lim 3 x→5
x→5
x→5
Sifat (a)
= lim x lim x − 4 lim x + lim 3 x→5
x→5
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
x→5
x→5
9/35
Limit Fungsi Limit dari polinomial
Contoh: Motivasi
Dapatkan lim (x2 − 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. x→5
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Jawab: lim (x2 − 4x + 3)
x→5
= lim x2 − lim 4x + lim 3 x→5
x→5
x→5
= lim x lim x − 4 lim x + lim 3 x→5
x→5
x→5
x→5
Sifat (a)
Sifat, (b) dan (c)
= 52 − 4(5) + 3
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
9/35
Limit Fungsi Limit dari polinomial
Contoh: Motivasi
Dapatkan lim (x2 − 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. x→5
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Jawab: lim (x2 − 4x + 3)
x→5
= lim x2 − lim 4x + lim 3 x→5
x→5
x→5
= lim x lim x − 4 lim x + lim 3 x→5
x→5
x→5
x→5
Sifat (a)
Sifat, (b) dan (c)
= 52 − 4(5) + 3 =8
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
9/35
Limit Fungsi Limit polinomial
Untuk sebarang polinomial Motivasi
p(x) = c0 + c1 x + · · · + cn xn
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
dan sebarang bilangan real a, berlaku lim p(x) = c0 + c1 a + · · · + cn an = p(a)
x→a
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
10/35
Limit Fungsi Limit polinomial
Untuk sebarang polinomial Motivasi
p(x) = c0 + c1 x + · · · + cn xn
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
dan sebarang bilangan real a, berlaku lim p(x) = c0 + c1 a + · · · + cn an = p(a)
x→a
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Contoh: lim x2 − 4x + 3 = 52 − 4(5) + 3 = 8
x→5
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
10/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional
Motivasi Limit Fungsi
Fungsi rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional.
Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
11/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. 5x3 + 4 x→2 x − 3
Contoh: Dapatkan lim
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
11/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Fungsi rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. 5x3 + 4 x→2 x − 3
Contoh: Dapatkan lim Jawaban:
lim (5x3 + 4) 5x3 + 4 5 · 23 + 4 x→2 lim = = = −44 x→2 x − 3 lim (x − 3) 2−3
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
x→2
11/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Fungsi rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. 5x3 + 4 x→2 x − 3
Contoh: Dapatkan lim Jawaban:
lim (5x3 + 4) 5x3 + 4 5 · 23 + 4 x→2 lim = = = −44 x→2 x − 3 lim (x − 3) 2−3 x→2
Perhatikan bahwa cara tersebut hanya berlaku untuk penyebut yang tidak nol.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
11/35
Limit Fungsi Limit di tak-hingga
Perhatikan fungsi berikut f (x) =
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
x+2 x
untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x f (x)
1 3
10 1,2
100 1,02
103 1,002
107 1,0000002
109 1,000000002
... ...
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
12/35
Limit Fungsi Limit di tak-hingga
Perhatikan fungsi berikut f (x) =
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
x+2 x
untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x f (x)
1 3
10 1,2
100 1,02
103 1,002
107 1,0000002
109 1,000000002
... ...
jika x terus makin besar, maka dugaan nilai f (x) akan mendekati 1, yang ditulis x+2 =1 x→∞ x lim
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
12/35
Limit Fungsi Limit di tak-hingga
Perhatikan fungsi berikut f (x) =
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
x+2 x
untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x f (x)
1 3
10 1,2
100 1,02
103 1,002
jika x terus makin besar, maka dugaan nilai f (x) akan mendekati 1, yang ditulis x+2 =1 x→∞ x lim
107 1,0000002
109 1,000000002
... ...
y 3 f (x) =
x+2 x
1 x
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
12/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi Limit Fungsi
Limit fungsi rasional untuk x → +∞ atau x → − ∞ hanya dipengaruhi oleh suku dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, yaitu jika cn 6= 0 dan dm 6= 0,
Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
c0 + c1 x + · · · + cn xn cn xn = lim x→+∞ d0 + d1 x + · · · + dm xm x→+∞ dm xm lim
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
dan c0 + c1 x + · · · + cn xn cn xn = lim x→−∞ dm xm x→−∞ d0 + d1 x + · · · + dm xm lim
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
13/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
1
3x + 5 = x→+∞ 6x − 8 lim
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
1
3x + 5 3x = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x lim
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
1
3x + 5 3x 1 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 2 2 lim
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
1
3x + 5 3x 1 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 2 2
2
4x2 − x = x→−∞ 2x3 − 5
lim
lim
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
1
3x + 5 3x 1 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 2 2
2
4x2 − x 4x2 = lim = x→−∞ 2x3 − 5 x→−∞ 2x3
lim
lim
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
1
3x + 5 3x 1 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 2 2
2
4x2 − x 4x2 2 = lim = lim = 3 3 x→−∞ 2x − 5 x→−∞ 2x x→−∞ x
lim
lim
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
1
3x + 5 3x 1 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 2 2
2
4x2 − x 4x2 2 = lim = lim =0 3 3 x→−∞ 2x − 5 x→−∞ 2x x→−∞ x
lim
lim
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
1
3x + 5 3x 1 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 2 2
2
4x2 − x 4x2 2 = lim = lim =0 3 3 x→−∞ 2x − 5 x→−∞ 2x x→−∞ x
3
3 − 2x4 = x→+∞ x + 1
lim
lim
lim
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
1
3x + 5 3x 1 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 2 2
2
4x2 − x 4x2 2 = lim = lim =0 3 3 x→−∞ 2x − 5 x→−∞ 2x x→−∞ x
3
3 − 2x4 −2x4 = lim = x→+∞ x + 1 x→+∞ x
lim
lim
lim
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
Limit Fungsi Limit fungsi rasional, untuk x → −∞ dan x → +∞
Motivasi
Contoh:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
1
3x + 5 3x 1 1 = lim = lim = x→+∞ 6x − 8 x→+∞ 6x x→+∞ 2 2
2
4x2 − x 4x2 2 = lim = lim =0 3 3 x→−∞ 2x − 5 x→−∞ 2x x→−∞ x
3
3 − 2x4 −2x4 = lim = lim −2x3 = −∞ x→+∞ x + 1 x→+∞ x→+∞ x
lim
lim
lim
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
14/35
subsetionLimit untuk 1/x Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
15/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
lim
x→0+
1 x
1 = +∞ x
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
1 y= x 1 x x
15/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
lim
x→0−
1 x
1 = −∞ x
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
x
1 y= x
1 x
16/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
1 x
1 =0 x→+∞ x lim
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
1 y= x 1 x x
17/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
1 x
1 =0 x→−∞ x lim
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
x
1 y= x
1 x
18/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
1 x−a
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
y=
a
1 x-a
x
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
19/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
1 x−a
lim
Motivasi
x→a+
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
y=
a
1 = +∞ x−a
1 x-a
x
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
19/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
1 x−a
Motivasi
1 = +∞ x−a
lim
1 = −∞ x−a
x→a+
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
lim
y=
1 x-a
x→a− a
x
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
19/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
1 x−a
Motivasi
1 = +∞ x−a
lim
1 = −∞ x−a
lim
1 =0 x−a
x→a+
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
lim
y=
1 x-a
x→a− a
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
x
x→+∞
19/35
Limit Fungsi Limit yang memuat
1 x−a
Motivasi
1 = +∞ x−a
lim
1 = −∞ x−a
lim
1 =0 x−a
x→a+
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
lim
y=
1 x-a
x→a− a
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
x
x→+∞
1 =0 x→−∞ x − a lim
19/35
Limit Fungsi Bilangan e
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Pada bagian logaritma telah diketahui bahwa logaritma dengan bilangan pokok e = 2,7182818459045235360287471 . . . Bilangan e tersebut adalah bilangan yang merupakan nilai limit, yaitu 1 x lim 1 + =e x→∞ x
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
20/35
Limit Fungsi Limit fungsi trigonometri
Motivasi
Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
sin x =1 x→0 x lim
dan
1 − cos x =0 x→0 x lim
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
21/35
Limit Fungsi Limit fungsi trigonometri
Motivasi
Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
sin x =1 x→0 x lim
dan
1 − cos x =0 x→0 x lim
Contoh:
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
21/35
Limit Fungsi Limit fungsi trigonometri
Motivasi
Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
sin x =1 x→0 x lim
dan
1 − cos x =0 x→0 x lim
Contoh: tan x = x→0 x lim
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
21/35
Limit Fungsi Limit fungsi trigonometri
Motivasi
Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
sin x =1 x→0 x lim
dan
1 − cos x =0 x→0 x lim
Contoh: tan x lim = lim x→0 x→0 x
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
sin x 1 · x cos x
=
21/35
Limit Fungsi Limit fungsi trigonometri
Motivasi
Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
sin x =1 x→0 x lim
dan
1 − cos x =0 x→0 x lim
Contoh: tan x lim = lim x→0 x→0 x
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
sin x 1 · x cos x
= (1) (1) = 1.
21/35
Fungsi Turunan Definisi
Motivasi
Jika diketahui fungsi y = f (x), dan telah dipelajari bahwa turunan fungsi tersebut di x = a adalah
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
lim
h→0
f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim h→0 h x−a
asalkan limit tersebut ada.
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
22/35
Fungsi Turunan Definisi
Motivasi
Jika diketahui fungsi y = f (x), dan telah dipelajari bahwa turunan fungsi tersebut di x = a adalah
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
lim
h→0
f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim h→0 h x−a
asalkan limit tersebut ada. Untuk fungsi y = f (x), turunan fungsinya adalah f (x + h) − f (x) h→0 h
f 0 (x) = lim
asalkan limitnya ada. Fungsi baru ini dinamakan fungsi turunan.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
22/35
Fungsi Turunan Contoh
Dapatkan fungsi turunan dari f (x) = x2 − 3x. Motivasi
Jawaban:
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
23/35
Fungsi Turunan Contoh
Dapatkan fungsi turunan dari f (x) = x2 − 3x. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Jawaban: f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
=
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
23/35
Fungsi Turunan Contoh
Dapatkan fungsi turunan dari f (x) = x2 − 3x. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
Jawaban: f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
(x + h)2 − 3(x + h) − (x2 − 3x) h→0 h
= lim =
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
23/35
Fungsi Turunan Contoh
Dapatkan fungsi turunan dari f (x) = x2 − 3x. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Jawaban: f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
(x + h)2 − 3(x + h) − (x2 − 3x) h→0 h
= lim
x2 + 2xh + h2 − 3x − 3h − x2 + 3x h→0 h
= lim =
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
23/35
Fungsi Turunan Contoh
Dapatkan fungsi turunan dari f (x) = x2 − 3x. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Jawaban: f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
(x + h)2 − 3(x + h) − (x2 − 3x) h→0 h
= lim
x2 + 2xh + h2 − 3x − 3h − x2 + 3x h→0 h
= lim
2xh + h2 − 3h h→0 h
= lim =
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
23/35
Fungsi Turunan Contoh
Dapatkan fungsi turunan dari f (x) = x2 − 3x. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Jawaban: f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
(x + h)2 − 3(x + h) − (x2 − 3x) h→0 h
= lim
x2 + 2xh + h2 − 3x − 3h − x2 + 3x h→0 h
= lim
2xh + h2 − 3h h→0 h
= lim
= lim (2x + h − 3) h→0
= Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
23/35
Fungsi Turunan Contoh
Dapatkan fungsi turunan dari f (x) = x2 − 3x. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Jawaban: f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
(x + h)2 − 3(x + h) − (x2 − 3x) h→0 h
= lim
x2 + 2xh + h2 − 3x − 3h − x2 + 3x h→0 h
= lim
2xh + h2 − 3h h→0 h
= lim
= lim (2x + h − 3) h→0
= 2x − 3 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
23/35
Fungsi Turunan Beberapa aturan mendapatkan fungsi turunan
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Fungsi asal
Fungsi turunan
f (x) = c, c konstan
f 0 (x) = 0
f (x) = xn
f 0 (x) = nxn−1
p(x) = cf (x), c konstan
f 0 (x) = cf 0 (x)
p(x) = f (x) + g(x)
p0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
p(x) = f (x)g(x)
p0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
p(x) =
f (x) g(x)
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
p0 (x) =
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) 2 g(x)
24/35
Fungsi Turunan Turunan fungsi trigonometri
Fungsi asal
Fungsi turunan
f (x) = sin x
f 0 (x) = cos x
f (x) = cos x
f 0 (x) = − sin x
f (x) = tan x
f 0 (x) =
f (x) = cot x
f 0 (x) = − csc2 x
f (x) = sec x
f 0 (x) = sec x tan x
f (x) = csc x
f 0 (x) = csc x cot x
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
1 = sec2 x cos2 x
25/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Contoh: Motivasi
Telah diketahui bahwa
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
f (x) = xn
=⇒
f 0 (x) = nxn−1
dan g(x) = sin x
=⇒
g 0 (x) = cos x
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
26/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Contoh: Motivasi
Telah diketahui bahwa
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
f (x) = xn
=⇒
f 0 (x) = nxn−1
dan g(x) = sin x
=⇒
g 0 (x) = cos x
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Bagaimana cara mendapatkan fungsi turunan dari fungsi-fungsi f (x) = (ax2 + b)n
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
atau
g(x) = sin(axn + b)
???
26/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Motivasi
Fungsi f (x) = (ax2 + b)n dapat dipandang sebagai bentuk f (u) = un dengan u = ax2 + b.
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
27/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Motivasi Limit Fungsi
Fungsi f (x) = (ax2 + b)n dapat dipandang sebagai bentuk f (u) = un dengan u = ax2 + b. Selanjutnya dapat dicari f 0 (x), yaitu dengan aturan
Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
f 0 (x) = f 0 (u) · u0 (x).
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
27/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Motivasi Limit Fungsi
Fungsi f (x) = (ax2 + b)n dapat dipandang sebagai bentuk f (u) = un dengan u = ax2 + b. Selanjutnya dapat dicari f 0 (x), yaitu dengan aturan
Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
f 0 (x) = f 0 (u) · u0 (x).
Fungsi g(x) = sin(axn + b) dapat dipandang sebagai bentuk g(u) = sin u dengan u = axn + b.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
27/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Motivasi Limit Fungsi
Fungsi f (x) = (ax2 + b)n dapat dipandang sebagai bentuk f (u) = un dengan u = ax2 + b. Selanjutnya dapat dicari f 0 (x), yaitu dengan aturan
Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
f 0 (x) = f 0 (u) · u0 (x).
Fungsi g(x) = sin(axn + b) dapat dipandang sebagai bentuk g(u) = sin u dengan u = axn + b. Selanjutnya dapat dicari g 0 (x), yaitu dengan aturan
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
g 0 (x) = g 0 (u) · u0 (x).
27/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Contoh: Motivasi
Dapatkan f 0 (x) untuk f (x) = x2 + 2x − 2.
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
28/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Contoh: Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Dapatkan f 0 (x) untuk f (x) = x2 + 2x − 2. Jawab: f (x) = sin u,
untuk u = x2 + 2x − 2
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
28/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Contoh: Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Dapatkan f 0 (x) untuk f (x) = x2 + 2x − 2. Jawab: f (x) = sin u,
untuk u = x2 + 2x − 2
Sehingga didapat f 0 (x) = f 0 (u) · u0 (x) = =
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
28/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Contoh: Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Dapatkan f 0 (x) untuk f (x) = x2 + 2x − 2. Jawab: f (x) = sin u,
untuk u = x2 + 2x − 2
Sehingga didapat f 0 (x) = f 0 (u) · u0 (x) = (cos u) · (2x + 2) =
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
28/35
Fungsi Turunan Aturan rantai
Contoh: Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Dapatkan f 0 (x) untuk f (x) = x2 + 2x − 2. Jawab: f (x) = sin u,
untuk u = x2 + 2x − 2
Sehingga didapat f 0 (x) = f 0 (u) · u0 (x)
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
= (cos u) · (2x + 2) = cos(x2 + 2x − 2) · (2x + 2)
28/35
Fungsi Turunan Turunan tingkat tinggi
Motivasi
Misal diketahui fungsi y = f (x)
Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Turunan pertama: Turunan ke-dua:
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
dy = y 0 = f 0 (x) dx
d2 y = y 00 = f 00 (x) dx2
Didefinisikan
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
d2 y d h dy i = dx2 dx dx
29/35
Fungsi Turunan Karakteristik grafik fungsi berdasarkan turunannya
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I.
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
30/35
Fungsi Turunan Karakteristik grafik fungsi berdasarkan turunannya
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I. Fungsi f naik di I jika untuk x1 < x2 berlaku f (x1 ) < f (x2 )
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
30/35
Fungsi Turunan Karakteristik grafik fungsi berdasarkan turunannya
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
Fungsi naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I. Fungsi f naik di I jika untuk x1 < x2 berlaku f (x1 ) < f (x2 ) Fungsi f turun di I jika untuk x1 < x2 berlaku
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
f (x1 ) > f (x2 )
30/35
Fungsi Turunan Karakteristik grafik fungsi berdasarkan turunannya
Motivasi Limit Fungsi
Fungsi naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I:
Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
31/35
Fungsi Turunan Karakteristik grafik fungsi berdasarkan turunannya
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f 0 (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I.
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
31/35
Fungsi Turunan Karakteristik grafik fungsi berdasarkan turunannya
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f 0 (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I. Jika f 0 (x) < 0 pada I, maka f fungs turun di I.
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
31/35
Fungsi Turunan Karakteristik grafik fungsi berdasarkan turunannya
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Fungsi naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f 0 (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I. Jika f 0 (x) < 0 pada I, maka f fungs turun di I. Contoh:
f (x) = sin x
=⇒ π 2
f 0 (x) = cos x. π 2
3π 2
3π 2
Interval
0<x<
Tanda y 0
Positif
Negatif
Positif
Sifat fungsi
Naik
Turun
Naik
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
<x<
< x < 2π
31/35
Fungsi Turunan Titik stasioner
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Titik stasioner Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan di x = a. Titik x = a disebut titik stasioner jika f 0 (a) = 0.
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Perlu dicatat bahwa jika f 0 (a) = 0 maka a belum tentu titik stasioner.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
32/35
Fungsi Turunan Test turunan pertama untuk titik stasioner
Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f 0 (a) = 0. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
33/35
Fungsi Turunan Test turunan pertama untuk titik stasioner
Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f 0 (a) = 0. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
1
Jika nilai f 0 positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a).
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
33/35
Fungsi Turunan Test turunan pertama untuk titik stasioner
Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f 0 (a) = 0. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
1
Jika nilai f 0 positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a).
2
Jika nilai f 0 negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a).
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
33/35
Fungsi Turunan Test turunan pertama untuk titik stasioner
Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f 0 (a) = 0. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
1
Jika nilai f 0 positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a).
2
Jika nilai f 0 negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a).
3
Jika di sekitar x = a tidak ada perubahan tanda nilai f 0 , maka a disebut titik belok horisontal.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
33/35
Fungsi Turunan Test turunan pertama untuk titik stasioner
Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f 0 (a) = 0. Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
1
Jika nilai f 0 positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a).
2
Jika nilai f 0 negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a).
3
Jika di sekitar x = a tidak ada perubahan tanda nilai f 0 , maka a disebut titik belok horisontal.
Misal diketahui fungsi f . Jika titik a adalah titik stasioner, maka nilai f (a) adalah nilai stasioner.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
33/35
Fungsi Turunan Test turunan pertama untuk titik stasioner
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Contoh: Diberikan fungsi f (x) = 13 x3 − 2x2 + 3x + 2. (a) Tentukan titik stasioner, tentukan pula nilai stasionernya. (b) Tentukan jenis titik stasioner yang ditemukan. (c) Buatlah sketsa grafiknya. Jawab: (a) Titik stasioner: x = 1 dan x = 3 Nilai stasioner: f (1) = 10 3 dan f (3) = 2. (b) Karena di kiri x = 1 fungsi naik dan di kanan x = 1 fungsi turun, berarti x = 1 adalah titik maksimum; sedangkan di kiri x = 3 fungsi turun dan di kanan x = 3 fungsi naik, berarti x = 3 adalah titi minimum.
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
34/35
Fungsi Turunan Test turunan ke-dua untuk titik stasioner
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Misalkan y = f (x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f (a) = 0).
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
35/35
Fungsi Turunan Test turunan ke-dua untuk titik stasioner
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Misalkan y = f (x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f (a) = 0). 1
Jika nilai f 00 (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a.
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
35/35
Fungsi Turunan Test turunan ke-dua untuk titik stasioner
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Fungsi Turunan
Misalkan y = f (x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f (a) = 0). 1
Jika nilai f 00 (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a.
2
Jika nilai f 00 (a) < 0, maka f maksimum di sekitar titik a.
Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
35/35
Fungsi Turunan Test turunan ke-dua untuk titik stasioner
Motivasi Limit Fungsi Definisi Limit Dasar Limit Polinomial Limit Fungsi Rasional Limit di tak-hingga Bilangan e
Misalkan y = f (x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f (a) = 0). 1
Jika nilai f 00 (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a.
2
Jika nilai f 00 (a) < 0, maka f maksimum di sekitar titik a.
3
Jika f 00 (a) = 0, gunakan test turunan pertama untuk menentukan jenis titik stasioner.
Fungsi Turunan Definisi Beberapa Aturan Fungsi Trigonometri Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Karakteristik Grafik Fungsi
Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan
35/35
