Algebra
. Basiskennis In hoofdstuk zijn aan de orde geweest:
.. ....
..
De getallenlijn -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
....
Symbolen, tekens en getallen
Het = teken + + =
= geeft aan dat wat links van = staat, rekenkundig gelijk is aan wat rechts van = staat. De ongelijkheidstekens De ongelijkheidstekens zijn:
< is waar > − is waar − ≤ is waar − ≥ − is waar
< betekent: kleiner dan. > betekent: groter dan. ≤ betekent: kleiner of gelijk aan. ≥ betekent: groter of gelijk aan. < betekent dus is kleiner dan , of: staat op de getallenlijn links van . Positieve getallen
; ;
>
Positieve getallen zijn getallen die groter zijn dan nul. Ze staan op de getallenlijn rechts van het getal . Negatieve getallen
− <
Negatieve getallen zijn getallen die kleiner zijn dan nul. Ze worden aangeduid met een min-teken ervoor. Nul Nul is niet positief en niet negatief.
Basiskennis
Gebroken getallen of breuken tel l er Breuken zijn getallen van de vorm noemer , waarbij de teller en de noemer gehele getallen zijn. De noemer kan niet gelijk aan zijn. Zoals je weet maken we vaak geen verschil tussen een breuk en een deling. Als in de teller óf in de noemer een negatief getal staat, dan is het gebruikelijk om het minteken vóór de breukstreep te zetten.
Opgave
−
−
= − en
−
= −
Neem over en vul in (gebruik > voor “is groter dan”, of < voor “is kleiner dan”, of = voor “is gelijk aan”): a) − ⋅ ⋅ ⋅ − , want . . .
..
∶ − =
b)
c)
d) − ⋅ ⋅ ⋅ −
, want
...
. . . , want . . .
e)
. . . , want . . .
f) . . . , want . . .
. . . , want . . .
Bewerkingen met getallen
Vermenigvuldigen De onderdelen waarop de bewerking ‘vermenigvuldigen’ wordt uitgevoerd heten factoren. Het geheel van twee factoren en de bewerking vermenigvuldigen heet product. Het resultaat van de bewerking ‘vermenigvuldigen’ heet uitkomst.
× = , zijn factoren, × het product, is de uitkomst.
Het vermenigvuldigen van positieve en negatieve getallen
− × = −
Het vermenigvuldigen van breuken Breuken worden vermenigvuldigd door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen en ook de noemers met elkaar te vermenigvuldigen.
×
=
Delen Delen is de omgekeerde bewerking van vermenigvuldigen.
∶ = , want × = In ∶ = is:
Wat wordt gedeeld heet het deeltal. Waardoor wordt gedeeld heet de deler.
het deeltal , de deler , het quotiënt ∶ , uitkomst .
Algebra Deler en deeltal samen heten quotiënt. Het resultaat van de bewerking ‘delen’ heet de uitkomst.
− ∶ = −,
Het delen van positieve en negatieve getallen
want − × = −.
Het delen van breuken
×
=
=
∶
=
=
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk.
=
Breuken anders schrijven
enz.
Optellen en aftrekken • De onderdelen waarop de bewerking ´optellen´ wordt uitgevoerd heten termen. • Het geheel van twee termen en de bewerking ’optellen’ heet som (en van de bewerking ’aftrekken’ verschil. • Het resultaat van de bewerking ’optellen’ of ’aftrekken’ heet uitkomst. + − = −
Het optellen van positieve en negatieve getallen
+= − − = −
+
+ =
= +
Het optellen van breuken
=
Breuken kunnen alleen worden opgeteld als ze gelijke noemers hebben. Als ze ongelijke noemer hebben moeten ze eerst gelijknamig worden gemaakt. Het vereenvoudigen van breuken
=
teller en
noemer door gedeeld;want:
×
=
= ×
x x
= =
× ( + ) = × =
=××
=×
Breuken kunnen worden vereenvoudigd door teller en noemer door een zelfde getal te delen. Dat levert een getal op dat op de getallenlijn op dezelfde plaats staat en dus dezelfde waarde heeft. Haakjes wegwerken Bereken eerst wat tussen haakjes staat en ga dan pas verder. Machtsverheffen Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen van dezelfde factor. = × × × × × × , hierin heet het grondtal en de exponent.
Basiskennis Opgave
Opgave
Vereenvoudig: a)
−
c)
−
e)
−
g)
− −
b)
−
d)
−
f)
h)
−
g)
− −
+
h)
−
+
Bereken: a) +
c) −
d) − +
f) − −
c) − × −
e) − ×
b) Opgave
−
b) − ×
∶
b) − ∶
..
d) ×
f) ×
g) × − h) × −
Bereken: a)
Opgave
e) − −
Bereken: a) ×
Opgave
c) ∶
e)
∶
g) ∶
d) − ∶ −
f) ∶ −
h) − ∶
a)
c) ( )
e) ( )
g) −( )
b)
d)
f) (−)
h) (− )
Bereken:
Afspraken
Volgorde van bewerking Om misverstanden te voorkomen en haakjes te kunnen weglaten is afgesproken de rekenkundige bewerkingen • haakjes wegwerken, • machtsverheffen, • vermenigvuldigen en delen,
+×−= + − = − = × − ( + ) = ×−= =−=
Algebra • optellen en aftrekken
in deze volgorde uit te voeren, waarbij vermenigvuldigen en delen als gelijkwaardige bewerkingen worden beschouwd en van links naar rechts worden uitgevoerd, evenals optellen en aftrekken. Breuken worden altijd zo veel mogelijk vereenvoudigd. Let op dat steeds aan weerszijden van het = teken dingen staan die ook echt aan elkaar gelijk zijn!!
..
Eigenschappen
De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen ×=×
Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde worden uitgevoerd, zonder dat de uitkomst verandert. De wissel-eigenschap voor optellen
+=+
− ≠ −, maar − = + − = = − + ∶ ≠ ∶ , maar ∶=× =
=
×
( × ) × =
Ook optellen kan in omgekeerde volgorde worden uitgevoerd, zonder dat de uitkomst verandert. De wissel-eigenschap geldt niet voor aftrekken en delen. Wel kunnen we een aftrekking in een optelling veranderen en een deling in een vermenigvuldiging, waarna de wissel-eigenschap wél geldt. De volgorde-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in een willekeurige volgorde worden gedaan.
× = × ( × ) = × = ( + ) + = =+= + ( + ) = += ( + ) + = =+=
De volgorde-eigenschap voor optellen Optellen kan in een willekeurige volgorde worden gedaan. Ook de volgorde-eigenschap geldt niet voor delen en aftrekken. Wel kunnen we ook hier een aftrekking in een optelling veranderen en een deling in een vermenigvuldiging, waarna de volgorde-eigenschap wél geldt.
Basiskennis
Opgave
Opgave
Opgave
Bereken: a) × − × −
e) − + ∶ ×
b) − × + ×
f) ∶ + ×
c) − − ×
g) − × ∶
d) − × +
h) ∶ × −
Bereken: a) − ( + ) ∶
e) ∶ ( + ) × ( + )
b) ( − ) ∶ +
f) ( − ) × ( + ) × ( + )
c) ∶ ( − ) ×
g) ( − ) ∶ −
d) − × ( + )
h) ( − ) ∶ ( + ) +
Bereken: a) ( − )
e) ( −
)
b) ∶ − (− + )
f) × ( + ( − ))
c) ( × ) − ( × )
g) (−) ∶ ( × )
d) × − ×
h) (− × ) + ×
∶
