3.12.1. Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 26 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3.12.2. Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára jutni. A cél iránya a folyó partjával 380-os szöget alkot víz mentén. Hogy a víz sodra ellenére is egyenesen a célhoz jussunk, a cél irányától egy bizonyos szöggel eltérő irányban kell eveznünk. Mekkora az a szög, ha a csónak sebessége állóvízben 3
m m ; a víz sodráé 1,8 ? sec sec
3.12.3. Egy általános háromszög oldalai:
x2+x+1; 2x+1; x2-1
.
Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 1200-os! sin 75 0 − sin 15 0 =
3.12.4. Bizonyítsuk be:
2 . 2
α cos x 3.12.5. Bizonyítsuk be: tg 45 0 − = .
1 + sin x
2
3.12.6. Egy háromszög két oldala 10 cm és 5 cm, az általuk közbezárt szög kétszerese a rövidebbik oldallal szemben fekvő szögnek. Mekkorák a háromszög szögei? 3.12.7. Egy háromszög oldalai számtani sorozatot alkotnak, amelynek különbsége 1. A legkisebb szöge fele a legnagyobbnak. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? 3.12.8. Irjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelyet cos2x elégít ki, ha x a 4 cos 2 + 2 cos x − 1 = 0
egyenlet gyöke!
IV. NAP Geometria - Koordinátageometria Koordinátarendszer - pontok, alakzatok jellemzése (sík, tér)
1
Javasolt feladatok: 3126. A koordináta-rendszer origójából egy négyszög csúcsaihoz vezető vektorok rendre a(1; 3), b(3, 8), c(8; 6), d(6; 1). Mutassa meg, hogy a négyszög négyzet, és számítsa ki az oldalhosszát! 3154. Egy rombusz hosszabbik átlója kétszerese a rövidebbik átlónak. A rövidebbik átló végpontjainak koordinátái (-3; 7) és (5; 11). Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! 3156. Döntse el, paralelogramma csúcsai-e a következő pontok! A(-1; 0), B(3; -4), C(5, 2), D(11;-7). 3157. Döntse el, egy egyenesen van-e a következő három pont! A(-1; 3), B(-4; 7), C(2, 9),
Szakaszt adott arányban osztó pont koordinátái. Háromszög súlypontjának koordinátái. Javasolt feladatok: 3153. Egy háromszög oldalfelező pontjainak a koordinátái: (-2; 3), (4; 6), (5, 2). Határozza meg a háromszög csúcsainak a koordinátáit! 3211. Irja fel az AB szakasz harmadoló pontjainak koordinátáit, ha a végpontok:
A(-7; 8), és B(-1; 2)!
3246. Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái: A(-5; -2), és B(3; 1). Súlypontja,
4 S − . 3;2
Irja fel a C csúcs koordinátáit!
2
Két pont távolsága. Javasolt feladat: 3190. Mekkorák a háromszög szögei, ha a csúcsok koordinátái: (2; 1), I.
(4; -3);
(5; 0)?
Síkbeli problémák tárgyalása:
a. Egyenes Egyenes helyzetét jellemző adatok: Javasolt feladatok:
irányvektor, normálvektor irányszög iránytangens
3220. Adja meg az egyenes egy irányvektorát, ha meredeksége a. –0,6
b. 0
1.3.1. a. Adjuk meg a P1(3; 5) és a P2(3; -4) ponton áthaladó egyenes irányvektorát, normál vektorát, iránytangensét, irányszögét! b. Az e egyenes a P0(-2; 1) pontjával és a v(3;−4) irányvektorával adott. Illeszkedik-e az A (4;−8) pont az e egyenesre? (A feladatot az egyenes egyenletének felírása nélkül oldjuk meg!)
Megoldás: a. Az egyenes egy irányvektora v = P1 P2 . Most v(0;−9) , de irányvektora a (0; -1); (0; 1) vektor is! 3
Mivel az egyenes normálvektora az irányvektorának 900-os elforgatottja, így n(9;0) , de n lehet (1;0 ) és a (− 1;0) vektor is . Az egyenes iránytangense m =
v2 , ha v1 ≠ 0 v1
Most v1=0, így ezen egyenesnek nincsen iránytangense! A v(0;1) koordinátáiból látszik, hogy az egyenes párhuzamos az y tengellyel, így irányszöge 900. b. Az A pont akkor és csak akkor illeszkedik az e egyenesre, ha P0 A párhuzamos v irányvektorral. P0 A akkor párhuzamos v –ral, ha létezik olyan c valós szám, hogy P0 A = cv . Most P0 A = a − p 0 − 6i − 9 j v=3i-4 Létezik-e olyan c valós szám, melyre fennáll 6i − 9 j = c(3i − 4 j ) ? Ha létezne, akkor 3c=6 és 4c=9 lenne, ilyen c valós szám nem létezik, ezért az A pont nem illeszkedik az egyenesre. 1.3.2. Adjuk meg az A(-1; 3) és a B(5; 7) pontokon átmenő egyenesre merőleges e egyenes irányvektorát, normálvektorát, iránytangensét! Megoldás: Az AB(6;4) vektor merőleges az e egyenesre, így az e egyenes egy normálvektora n(6; 4), de normálvektor a (3; 2) vektor is. e egyenes egy v irányvektora n 900-os elforgatottja, azaz v (4; 6), de irányvektor a (2;-3) vektor is. e egyenes iránytangense: m =
v2 6 3 = =− . v1 − 4 2
Egyenes egyenletei: -
vektoregyenlet egyenletrendszer irányvektor ismeretében felírt egyenlet normálvektor ismeretében felírt egyenlet iránytényezős egyenlet
4
Javasolt feladatok: 3201. Irja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek normálvektora n(-4; 6) és átmegy a P(9; 7) ponton! 3213. Irja fel az
3 2 A − ; 5 5
1 1 és B ;− pontokon átmenő egyenes
2
2
egyenletét! 3216. Irja fel a (4; -2) ponton átmenő, x tengellyel párhuzamos egyenes egyenletét! 3217. Irja fel a (2; 3) ponton átmenő, y tengellyel párhuzamos egyenes egyenletét! 3218. Irja fel a (6; -3) ponton átmenő, és a P(-1; 4), Q(2; 5) pontokat összekötő egyenesre merőleges egyenes egyenletét! 3219. Irja fel a (6; -3) ponton átmenő, és a P(-1; 4), Q(2; 5) pontokat összekötő egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 3221. Irja fel azoknak az egyeneseknek az egyenletét, amelyek átmennek a (2; -3) ponton, és irányszögük: a. 300
b. 450
c. 900
d. 1200!
Az egyenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet kapcsolata. Két egyenes (két görbe) közös pontja. Javasolt feladatok: 3224. Számítsa ki az y = −2 x + 3 és 4 x − y + 9 = 0 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit! 3226. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-2; -1), B(4; -3) C(4; 5). Számítsa ki a B csúcsból induló magasságvonal és az AC oldal metszéspontjának koordinátáit!
5
3227. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(3; -1), B(2; 0) C(-4; -3). Lehet-e a 2x-7y=4 oldalegyenese?
egyenletű
egyenes
a
háromszög
egyik
3251. Egy szabályos háromszög két csúcsa A(5;3 3 ) , B(2; 0). Határozza meg a háromszög harmadik csúcspontjának koordinátáit! 3253. Egy derékszögű háromszög két csúcspontjának koordinátái: (-1; 1) és (7; -1). Az egyik befogó egyenlete x-2y=-3. Számítsa ki a harmadik csúcspont koordinátáit! 1.9.1. A k mely értékére lesz egymással párhuzamos a következő két egyenes? 2x+ky=15 és kx+4y=7 1.9.2. Két egymással párhuzamos egyenes egyenlete: 3x+4y=-4 és 3x+4y=21. Számítsa ki a két egyenes távolságát! 1.9.3. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(5; 2), B(8; 6), C(-3; 8) Számítsa ki annak a pontnak a koordinátáit, amelyben az A csúcsból induló szögfelező metszi a szemközti oldalt! 1.9.4. Adott két pont: A(4; 6), B(6; -2). Keresse meg az ordinátatengelyen a P pontot úgy, hogy az törtvonal hossza a lehető legrövidebb legyen!
APB
1.9.5. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: (4; 0), (-3; -1) és (-5; 6). Irja fel az oldalfelező merőlegesek egyenletét, és határozza meg a merőlegesek közös pontját! 1.9.6. Egy derékszögű háromszög egyik befogójának egyenlete: y=-x+5 és az ezzel szemközti csúcspont ordinátája 7. Az átfogó egyenlete 3x-y=5. Határozza meg az átfogóhoz tartozó magasságvonal egyenletét!
6
b. Kör (def.) A kör egyenlete. Javasolt feladatok: 2.1.1. Irjuk fel a kör egyenletét, ha egyik átmérőjének végpontjai: A(3; -4), B(7; 9)! Megoldás: A kör egyenletét akkor tudjuk felírni, ha ismerjük a középpontját C(u; v) –t és sugarát r-et: (x-u)2+(y-v)2=r2 5 A kör középpontja az AB átmérő C felezőpontja: 5; ;
2
2
A kör sugara: r = AC = (5 − 3)2 + + 4 = 46,2 ; 5 2
A kör egyenlete: (x − 5)2 + ( y − 2,5)2 = 46,2 . 2.1.2. Irjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy az A(2; -1) és a B(4; 5) ponton, és középpontja rajta van az x-3y =-2 egyenesen! Megoldás: Az AB szakasz a kör egy húrja, ezért a keresett kör C középpontja rajta van az AB szakasz felezőmerőlegesén. C pont az AB felezőmerőlegesének az adott egyenesnek a metszéspontja. F(3; 2) pont az AB szakasz felezőpontja. AB(2;6) vektor az AB szakasz felezőmerőlegesének normálvektora. A felezőmerőleges egyenlete: 2 x + 6 y = 2 ⋅ 3 + 6 ⋅ 2 ; azaz x+3y=9. A C középpontot, az
x=
x+3y=9 x-3y=-2
7 11 7 11 ;y = egyenletrendszer megoldása adja: C = ; 2 6 2 6
7
2
2
7 11 18 r = AC = 2 − + − 1 − = 2 6 18 2
2
7 11 18 A keresett kör egyenlete: x − + y − = . 2 6 18
A kör és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet kapcsolata. Javasolt feladat: a. x2+y2-2x-8=0 b. 3x2+3y2+5xy+1=0 egyenlet?
2.1.3. Lehet-e kör egyenlete az Ha igen, adja meg a kör adatait! Megoldás:
a. Nem tartalmaz xy-os tagot, az x2 és y2-es tagok együtthatója egyenlő, ezért nem zárható ki, hogy kör egyenlete. Alakítsuk teljes négyzetté:
(x − 1)2 + y 2 = 9 ; tehát kör egyenlete. C(1; 0), r=3. b. Nem kör egyenlete, mert tartalmaz xy-os tagot. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Javasolt feladatok: 2.2.1. Számítsuk ki annak a húrnak a hosszát, amelyet az x2+y2-4x-6y-12=0 egyenletű kör metsz ki az y=x egyenesből! Megoldás: Az x2+y2-4x-6y-12=0 egyenletű kör (x-2)2+(y-3)2=25 alakra hozható, ahonnan C(2; 3); r=5. Az egyenes és a kör egyenletéből álló egyenletrendszer megoldása adja a keresett húr két végpontjának koordinátáit.
8
y=x x + y − 4 x − 6 y − 12 = 0 2
2
x 2 + x 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0 x 2 − 5x − 6 = 0 x1 = 6; x 2 = −1
Ezekkel: y1 = 6;
y 2 = −1;
A metszéspontok: P1(6, 6) és P2(-1; -1) A húr hossza:
P1 P2 = 7 2 + 7 2 = 7 ⋅ 2 .
2.2.2. Irjuk fel az (x + 2 )2 + ( y − 1)2 = 25 egyenletű kör x=1 abszcisszájú I. negyedbeli pontjához tartozó érintő egyenletét! Megoldás: A kör x=1 abszcisszához tartozó pontjainak ordinátái:
(1 + 2)2 + ( y − 1)2 = 25
amelyből:
y1=5
y2=-3
Az I. negyedben a P1(1; 5) pont van. A kör középpontja: C(-2; 1). A P1 ponthoz tartozó érintő egy normálvektora: n = CP1 (3;4) A P1 pontbeli érintő egyenlete: 3x + 4 y = 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 5 azaz 3x+4y=23. 3358. Számítsa ki az (x + 6)2 + ( y − 5)2 = 100 egyenletű kör x=0 abszcisszájú pontjaiba húzható érintők metszéspontjának koordinátáit! 3375. Az x+2y=c egyenletű egyenes érinti az x2+y2=4 egyenletű kört. Mekkora területű háromszöget zár be az egyenes a koordinátatengelyekkel? 3382. Húzzon az (x − 3)2 + ( y + 1)2 = 4 egyenletű körhöz érintőket a P(1;-3) pontból! Mi lesz az érintési pontokon átmenő egyenes egyenlete? Milyen távolságra van az egyenes a kör középpontjától? 3391. Egy kör áthalad a (-4; 2) koordinátájú ponton és az abszcisszatengely a (2; 0) koordinátájú pontban érinti. Határozza meg a kör 8 abszcisszájú pontjaiba húzható érintői metszéspontjának koordinátáit!
9
3346. Egy szakasz végpontjainak koordinátái A(-3; -1); B(8; 2). Keressen az ordinátatengelyen olyan pontokat, amelyekből a szakasz derékszögben látszik! Két kör kölcsönöz helyzete – közös érintők fajtái, száma. Javasolt feladatok: 3350. Irja fel annak a körnek az egyenletét, amely az (x-12)2+(y+10)2=100 egyenletű kört kívülről, az (x+4)2+(y-2)2=100 egyenletű kört belülről érinti, valamint érinti az ordinátatengelyt! 3351. Határozza meg annak a körnek az egyenletét, amely koncentrikus a 4x2+4y2-28x+44y-86=0 egyenletű körrel és sugara fele akkora! 3355. Határozza meg annak a körnek az egyenletét, amely az x2+y2=25 egyenletű kört belülről érinti a (4; 3) pontban, és érinti az abszcisszatengelyt! c. Parabola (Def.) A parabola fontosabb tulajdonságai, jellemzői (tengely, fókuszpont, paraméter, vezéregyenes, csúcspont) Koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű parabolák egyenlete. Javasolt feladat: 2.3.1. a. Irja fel annak a parabolának az egyenletét, amelynek tengelye az y tengely, tengelypontja az origó és fókusza a (0; 3) pont! Megoldás: Az adott helyzetű parabola fókusza az tengelyponti egyenlete:
y=
p F 0; 2
pont,
1 2 x . 2p
Most F(0; 3); amiből p=6, így a parabola egyenlete: y =
1 2 x . 12
b. Az a. pontban szereplő parabolát x tengelyre tükrözve az y=
1 2 x egyenletű parabolához jutunk. 2p
10
c. Az a. pontban szereplő parabolát az y=x egyenesre tükrözve a kapott parabola tengelye az x tengely lesz. A tükrözésnél a két tengely és az x; y koordináta felcserélődik. Ennek a parabolának az egyenlete tehát:
x=
1 2 y ; rendezve: y2=2px. 2p
d. Irjuk fel annak a parabolának az egyenletét, amely átmegy a P1(6; -4) ponton, tengelypontja az origó, tengelypontjában érintője az y tengely! Megoldás: A parabola meghatározása mutatja, hogy egyenlete: y2=2px alakú. A P1(6; -4) pont kielégíti a parabola egyenletét, tehát:
(− 4)2 = 2 p ⋅ 6 ;
P=
16 4 = . 32 3
8 3 P 2 Fókuszpontja: F ;0 = F ; 2 3;0
A parabola egyenlete: y 2 = x ;
Vezéregyenesének egyenlete: x = −
2 3
e. A c-ben szereplő parabolát y tengelyre tükrözve, a transzformáció miatt a kapott parabola egyenlete y2=-2px. f. Az a.; - e. pontokban tárgyalt parabolákat toljuk el a koordinátasíkon (u; v) vektorral! Megoldás: A tengelypontjuk ekkor T(u; v) lesz. Ha ezeket az új helyzetűeket a (-u; -v) vektorral toljuk el, visszajutunk az eredeti helyzetű parabolához. Ennél a „visszatolásnál” minden P(x; y) pontból P ′ (x-u; y-v) pont lesz. Ennek a P ′ -nek a koordinátáiban szereplő x, y az eltolt új helyzetű parabolák koordinátái.
11
A P ′ kielégíti az eredeti helyzetű parabolák egyenletét, tehát az (u; v) vektorral eltolt parabolák egyenlete rendre: y−v =
1 ( x − u )2 ; 2p
( y − v )2 = 2 p ( x − u ) ;
y−v =
1 ( x − u )2 2p
( y − v )2 = − 2 p ( x − u ) .
A parabola és a másodfokú függvény. Javasolt feladat: 2.4.1. Határozzuk meg az x 2 + 8 x + 2 y − 20 = 0 egyenletű parabola paraméterét, fókuszpontjának koordinátáit, vezéregyenesének egyenletét! Megoldás: Alakítsuk teljes négyzetté, majd rendezzük az egyenletet, ekkor
Ezt összehasonlítva az
y=−
1 (x + 4)2 + 18 2
y=−
1 ( x − u )2 + v 2p
általános alakkal,
u=-4; v=18; p=-1. Tehát a parabola tengelypontja: T(-4; 18) pont. Mivel p<0; így a parabola lefelé nyitott, a fókuszpont a tengelypont alatt van, F − 4;
37 35 . ; a vezéregyenes a tengelypont fölött, y = 2 2
A parabola és az egyenes kölcsönös helyzete. Javasolt feladatok: 3403. Irja fel az y2=16x egyenletű parabola azon érintőjének egyenletét, amely átmegy az 5x-y=7 és a 2x+y=14 egyenletű egyenesek metszéspontján!
12
1 2
3410. Melyik az a pontja az ordinátatengelynek, ahonnan az y = x 2 egyenletű parabolához húzott érintők a csúcsérintővel egyenlő oldalú háromszöget zárnak be? y=
3419. Húzzon érintőket az
1 2 x 2
egyenletű parabolához az
ordinátatengely és a vezéregyenes metszéspontjából! Mekkora szöget zárnak be ezek egymással? 3420. Határozza meg, hogy az y=(x-3)2-2 egyenletű parabola mely pontja van legközelebb az
y=
2 x−6 3
egyenletű egyeneshez? Mekkora a
minimális távolság? 3424. Mekkora az y=x2 egyenletű parabola és az x2+(y-2)2=4 egyenletű kör közös pontjai által meghatározott háromszög kerülete? 2.7.1. Irja fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a P0(2; 9) pontos, és mindkét koordinátatengelyt érinti! 2.7.2. Adja meg az a és b paraméter értékét úgy, hogy az x2+y2+ax+by=0 egyenletű kör áthaladjon az A(4; 3) és a B(-2; 3) ponton! 2.7.3. Egy rombusz egyik átlója a másik átlójának a kétszerese. A rövidebbik átló végpontjai: A(6; -4) és a C(-2; 6). Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit? 2.7.4. Irja fel a P1(7; -4) pontból az érintők egyenletét!
(x+1)2+(y-2)2=20
körhöz húzható
2.7.5. Egy húrnégyszög három csúcspontjának koordinátái: A(6; 2); B(-1; 3); C(-2; 2). A negyedik csúcspont az ordinátatengely negatív felén van. Melyek ennek a koordinátái? 2.7.6. Határozza meg a következő egyenletű parabolák fókuszpontját és vezéregyenesét! a. x2-6y=0 b. x2+y=0 c. x2+4x-4y+8=0 13
2.7.7. Irja fel a parabola egyenletét, ha a a. fókusza a (-7; 0) pont és vezéregyenesének egyenlete: x=7; b. fókusza a (0; -4) pont és vezéregyenesének egyenlete: y=4! 2.7.8. Határozza meg a P0(9; 2) pontból az
y=
1 2 x 36
egyenletű
parabolához húzható érintő egyenletét! 2.7.9. Az ABCD négyzet C csúcsa a 2y=x2-5x+8,25 egyenletű parabola csúcsában, B és D szintén e parabolán van. Adjuk meg a négyzet csúcsainak koordinátáit! d. Ellipszis (def.) Az ellipszis fontosabb tulajdonságai, jellemzői (szimmetria, vezérsugarak, fókuszpontok, kis-nagy tengely) Ellipszis egyenlete. Javasolt feladatok: 3432. Egy ellipszis nagytengelye 9, kistengelye 4 egység. Irja fel az egyenletét, ha az ellipszis tengelyei a koordinátatengelyekre esnek! 3433. Hány közös pontja van az az
y=
3 3 x 2
x2 y2 + =1 4 9
egyenletű ellipszisnek és
egyenletű egyenesnek?
3435. Egy ellipszis egyenlete:
x2 y2 + = 1. 25 16
Milyen hosszúságú
vezérsugarak tartoznak azokhoz az ellipszispontokhoz, amelyeknek akkora az abszcisszájuk, mint a gyújtópontoknak? 3440. Az
x2 y2 + =1 25 10
egyenletű ellipszis melyik pontjához tartozó
vezérsugarak merőlegesek egymásra?
14
x2 y2 + =1 9 4
3447. Irja fel az
egyenletű ellipszishez a P(2; 4) pontból
húzható érintők egyenletét? 3452. Határozza meg az
x2 y2 + =1 12 6
egyenletű ellipszis azon
érintőjének egyenletét, amelynek meredeksége:
m=−
3 ! 4
e. Hiperbola (def.) A hiperbola fontosabb tulajdonságai, jellemzői (szimmetria, vezérsugarak, valós-képzetes tengely, fókuszpontok, aszimptoták) Hiperbola egyenlete. Javasolt feladatok: 3454. Egy hiperbola valós tengelye 8, képzetes tengelye 5 egység. Irja fel a hiperbola tengelyponti egyenletét? 3459. Mi az egyenlete: a. Annak a hiperbolának, amelynek csúcsai az
x2 y2 + =1 25 9
egyenletű ellipszis fókuszpontjaira, fókuszpontjai pedig az ellipszis nagytengelyének végpontjaiba esnek; b. Annak az ellipszisnek, amelynek csúcspontjai
x2 y2 − =1 25 9
egyenletű hiperbola fókuszpontjaira, fókuszpontjai pedig a hiperbola valós tengelyének végpontjaiba esnek? 3460. Egy hiperbola egyenlete
x2 y2 − = 1 . Határozza meg az 4 2
y=x
egyenletű egyenessel párhuzamos, illetve arra merőleges érintőinek az egyenletét! 3462. Bizonyítsa be, hogy az
y=
1 x
egyenletű hiperbolát két pontban
metsző egyeneseknek a koordinátatengelyek és a hiperbolaágak közé eső szakaszai egyenlő hosszúságúak!
15
3468. Az
x2 y2 − =1 144 25
egyenletű hiperbola mely pontjaihoz tartozó
vezérsugarak merőlegesek egymásra?
II.
Térbeli problémák tárgyalása Pontok jellemzése. Javasolt feladatok:
2.12. A két egységnyi élhosszúságú kockát úgy helyezzük el a koordináta – rendszerben, hogy az origó a kocka egyik csúcsára illeszkedik, a tengelyek pozitív fele pedig egy-egy élt tartalmaz. Adja meg a kocka csúcsainak a koordinátáit! 2.15. Az ABCD paralelogramma csúcsai A(3; -2; 5); B(0; 1; 0); C(-5; 2; 7). Számítsa ki a D csúcs koordinátáit! 2.16. Egy paralelepipedon egyik csúcsa az origó, az ebből kiinduló élek végpontjai az A(3; 6; -4); B(-4; 7; 0); C(9; 1; -3) pontok. Számítsa ki a többi négy csúcs koordinátáit! 2.13. Az ABC háromszög két csúcspontja A(2; -2; 1); B(6; -3; 1), súlypontja: S(3; -2; 1). Határozza meg a C csúcspont koordinátáit! a. Egyenes Az egyenes vektoregyenlete, egyenletrendszer.
paraméteres
egyenletrendszer,
Javasolt feladatok: 2.85.a. Irja fel a P ponton áthaladó, v irányvektorú egyenes egyenletrendszerét, ha: P(-1; 3; 7);
v(-4; 2; 6)
2.87.a. Egy egyenesre illeszkednek-e a következő pontok? A(-2; 5; 3);
B(1; 2; 4) 16
C(3; -7; 7).
2.88. Irja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik a P(-3; 2; -1) pontra és párhuzamos az x=3+2t; y=8+t; z=1-7t egyenessel! 2.89. Adja meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(-1; 2; 0) pontra és merőleges az x=-2+3t; y=5+t; és az x=8-+t ; y=-t; y=3t egyenesekre! 2.91. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(0; 5; 2) pontra és az x=1-3t; y=-2+t; z=2t egyenest merőlegesen metszi! 2.94. Adja meg a p paraméter értékét úgy, hogy az alábbi két egyenes messe egymást:
x+2 y z −1 = = ; 2 −3 4
x − 3 y −1 z − 7 = = . p 4 2
b. Sík A sík egyenlete. Javasolt feladatok: 2.106.a. Adott a sík n normálvektora és P pontja. Irja fel a sík egyenletét! n(-3; 2; 11) 2.107. Irja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(1; -2; 3) pontra és párhuzamos a 3x-4y+5z-3=0 síkkal! 2.108. Irja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az alábbi ponthármasokra: A(2; 3; 1); B(-1;2;5); C(2; -1; 0). 2.109. Egy síkra illeszkedik-e a következő négy pont? A(2; 3; 4); B(0;2;-1); C(-2; 1; -6)
D(1; 5; 4).
Egyenes és sík kölcsönös helyzete. Javasolt feladatok: 2.145. Mely pontokban metszi az x=4-2t; y=3+3t; koordinátasíkokat?
17
z=1-t egyenes a
2.146. Adja meg a P(-6; 6; -5); és Q(12; -6; 1); pontokat összekötő egyeneseknek a koordinátasíkokkal való metszéspontját! 2.147. Mely pontokban döfi az x=1+2t; y=3t; 2x+3y+z=0 síkot?
z=-1+t egyenes a
2.148. Határozza meg a P1 (2;3;−3) ; illeszkedő sík és a
P2 (3;2;−2) ; P3 (4;5;−6 ) pontokra 4 − x y + 3 4z + 6 = = egyenes D 3 4 3
döféspontjának a koordinátáit! P1 (8;−2;−6) ponttal összekötő 2.150. Határozza meg az origót egyenesnek és a 3x-2y+6z+4=0 síknak az M metszéspontját!
2.153. Mekkora térfogatú derékszögű tetraédert metsz ki a 3x-4y+6z-12=0 sík a koordinátasíkokból? 2.155. Tükrözze a P(− 2;3;3) pontot az x=3+4t; y=12+5t; z=-2+3t egyenesre! Határozza meg a tükörkép koordinátáit! 2.168. Számítsa ki az alábbi egyenesek hajlásszögét: a. 2 x − 6 = −2( y + 2 ) = 2 z b. x=-2+3t; y=0; z=3-t c. x=4+t; y=5t; z=3-t d. x=1+3t; y=2,5;z=-1-3t
és és és és
2 x + 4 = 2 y − 6 = 2 ( z + 5)
x=-1+2t; y=0; z=-3+t x=17+2t; y=3t; z=9+17t x=t; y=-3+2t; z=-5.
2.169. Határozza meg a következő sík és egyenes hajlásszögét: a. x-y-z=1; b. x-9y+4z=-7; c. x+2y+2z=3; d. 2x+y-z=3;
és és és és
2x=-1-4t; y=3; x=-3+4t; y=6; x=5-3t; y=4+6t; x=5-t; -y=2t;
2.170. Határozza meg a következő két-két sík hajlásszögét: a. 7x-3y+z-19=0; b. x-y-z-1=0; c. x+2y+2z-3=0; d. x-2y+2z-8=0;
x+2y-z+4=0; 2x+y-z-5=0; 16x+12y-15z-1=0 x+z-6=0;
18
z=-2t; z=9t; z=-2; z=3-t;
