3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat
Tetraéder • Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap
Tetraéder • Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt gömbje. • Hány olyan gömb van, amely minden lapját érinti? • Minden tetraédernek létezik súlypontja, a csúcsokat a szemközti lapok súlypontjaival összekötő szakaszok egy ponton mennek át. • Magasságpont? Gyakorlat!
Egyéb egyszerű alakzatok •
Henger: Ha egy síkban lévő önmagát nem metsző zárt görbe minden pontján át párhuzamosokat húzunk egy adott egyenessel, akkor végtelen hengert kapunk. Ennek alkotói a görbét metsző, az adott egyenessel párhuzamos egyenesek. Ha a végtelen hengert két egymással párhuzamos olyan síkkal metsszük, melyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor (véges) hengert kapunk. A két párhuzamos sík távolsága a henger magassága.
Egyéb egyszerű alakzatok • Speciális hengerek: • Egyenes körhenger (néha ezt nevezik hengernek).
• Hasáb (az alapgörbe sokszög)
Egyéb egyszerű alakzatok • Paralelepipedon, téglatest,
kocka
Paralelepipedon • Tétel: Minden tetraédernek egyértelműen létezik bennfoglaló paralelepipedonja.
Egyéb egyszerű alakzatok •
Kúp: Ha egy síkban lévő önmagát nem metsző zárt görbe minden pontját összekötjük egy, nem a síkban lévő ponttal, akkor végtelen kúpot kapunk. A síkon kívüli pont a kúp csúcsa. A kúp alkotói a görbét metsző, a csúcson átmenő egyenesek. Ha a végtelen kúpot olyan síkkal metsszük, mely nem megy át a csúcsán, akkor (véges) kúpot kapunk.
Egyéb egyszerű alakzatok
Gúla
Egyenes körkúp
Elemi síkgeometria • Kör érintői: A kör tetszőleges pontjában egyértelműen létezik érintő. Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra.
Elemi síkgeometria • Kör érintői:
Bármely külső pontból két érintő húzható a körhöz. Külső pontból húzott két érintő hossza megegyezik.
Elemi síkgeometria • Kör részei:
• Egyenlő ívekhez egyenlő húrok, egyenlő középponti szögek, egybevágó körcikkek és körszeletek tartoznak a forgásszimmetria miatt.
Kerületi szögek • Közönséges
• Érintőszárú
Kerületi szögek • Tétel: Bármely kerületi szög feleakkora, mint az ugyanahhoz az ívhez tartozó középponti szög.
V
V
• Legyen OF a középponti szög belső szögfelezője. Ekkor ABT =FOB , mert merőleges szárú szögek.
Kerületi szögek
V
V
V
• CT érintő, az ACT kerületi szög a B-t tartalmazó AC ívhez tartozik. Ekkor ACB =ACT -BCT
Kerületi szögek • Következmények: • Egy körben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak. • Látókör • Húrnégyszögek
Elemi síkgeometria •
Tétel: Ha egy ponton át szelőt húzunk a körhöz, akkor a ponttól a metszéspontokig terjedő szakaszok szorzata nem függ a szelő választásától.
•
A kerületi szögek tételéből következik, hogy a PA1B2 és a PB1A2 háromszögek hasonlóak. Ezért megfelelő oldalaik aránya megegyezik, PA1:PB2=PA2:PB1, amiből keresztbe szorzással kapjuk az állítást.
Elemi síkgeometria • Pont körre vonatkozó hatványa: • Az előjeles távolságokkal számított PA ·PB szorzatot a P pont hatványának nevezzük.
• k(P)=d2-r2=(d+r)(d-r) • Ha P külső pont, akkor k(P)=PT2 (T érintési pont).
Elemi síkgeometria • Tétel: Derékszögű háromszöget az átfogóhoz tartozó magassága két olyan háromszögre vág, melyek hasonlóak az eredeti háromszöghöz (s így egymáshoz is).
• Az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlők, mert merőleges szárú hegyesszögek.
Elemi síkgeometria • Következmények: • A derékszögű háromszög magassága mértani közepe a befogók átfogóra eső merőleges vetületének (magasságtétel).
m/p=q/m → m2 =pq
Elemi síkgeometria • Következmények: • A derékszögű háromszög befogója mértani közepe a befogó átfogóra eső merőleges vetületének és az átfogónak (befogótétel).
a/p=c/a → a2 =pc
Elemi síkgeometria • Pithagorasz tétele: Derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő. a2=pc b2=qc a2+b2=pc+qc=(p+q)c=c2
Elemi síkgeometria
SZÜNET
Elemi síkgeometria • Szögfelezőtétel: • Ha a háromszög egyik oldalának egyenesét a szemközti csúcsból induló belső vagy külső szögfelezővel metsszük, akkor a metszéspontok az oldal végpontjaitól mért távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemközti csúcsból ezekhez a végpontokhoz vezető oldalak .
Elemi síkgeometria • C-ből induló szögfelezők AB-t D1-ben, illetve D2-ben metszik. CE=CB=CF.
• CBE, illetve CBF egyenlőszárú háromszögek, ezért CD1║EB, illetve CD2║FB. • Párhuzamos szelők tétele szerint: AC:CB=AC:CE=AD1:D1B és AC:CB=AC:CF=AD2:D2B
Elemi síkgeometria • Szinusztétel: Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik az oldallal szemközti szögek szinuszainak arányával.
a=2Rsinα a:b:c=sinα :sinβ :sinγ
Elemi síkgeometria • Koszinusztétel:
c2=a2+b2-2abcosγ (később bizonyítjuk)
Sokszögek területe •
Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot, amit a sokszög területének nevezünk. Ez a hozzárendelés kielégíti a következő tulajdonságokat: 2. Egybevágó sokszögek területe egyenlő. 3. Ha egy sokszöget két sokszögre bontunk, e kettő területének összege megegyezik az eredeti sokszög területével. 4. Az egységnégyzet területe 1.
Sokszögek területe •
Néhány speciális sokszög területe:
•
Paralelogramma: t=am=absinφ
•
Háromszög: t=ama/2=absinγ/2
•
Trapéz: t=(a+c)m/2
Síkidomok területe • Korlátos síkidomok területe:
• Ha a külső-, illetve belső sokszögek területének van alsó-, illetve felső határa és ez a két érték megegyezik, akkor ezt nevezzük a síkidom területének.
Síkidomok területe • Vannak olyan síkidomok, melyeknek nincs területük. • Pl. „fésű”:
Kör területe • T=r2π
• Beírt- illetve körülírt sokszögek a szabályos n-szögek.
Térfogat • Minden poliéderhez hozzárendelünk egy pozitív valós számot, amit a poliéder térfogatának nevezünk. Ez a hozzárendelés kielégíti a következő tulajdonságokat: 2. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő. 3. Ha egy poliédert két poliéderre bontunk, e kettő térfogatának összege megegyezik az eredeti poliéder térfogatával. 4. Az egységkocka térfogata 1.
Térfogat • Henger térfogata: V=t·m
• Kúp térfogata: V=t·m/3
Térfogat • Egyenes körhenger: V=r2πm • Egyenes körkúp: V=r2πm/3 • Gömb: V=4r3π/3
Kerület, felszín • Sokszög kerülete: oldalélek hosszának összege. • Poliéder felszíne: határoló lapok területének összege. • Görbe ívhossza, egyéb testek felszíne: bonyolult! (később, ill. analízis).
