3. Analytická geometrie

3. Analytická geometrie

3A. Vektorov´ y poˇcet

3. Analytick´ a geometrie Objekty v rovinˇe i prostoru (body, u ´seˇcky, pˇr´ımky, kˇrivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomoc´ı ˇc´ısel. Popisem a studiem tˇechto objekt˚ u se zab´ yv´ a analytick´ a geometrie. Tento popis má v souˇcasnosti velk´ y v´ yznam v technické praxi, vyuˇz´ıvá se nejen pˇri konstrukci stroj˚ u, ale i pro ˇr´ızen´ı obrábˇec´ıch stroj˚ u apod. Nejprve si pˇriprav´ıme aparát vektor˚ u, potom se budeme zab´ yvat rovn´ ymi“ u ´tvary a nakonec kvadratick´ ymi kˇrivkami a plochami. ”

´ poc ˇet 3A. Vektorovy Body a u ´tvary v prostoru budeme popisovat pomoc´ı trojic (v pˇr´ıpadˇe roviny pomoc´ı dvojic) reáln´ ych ˇc´ısel, budeme se pohybovat v prostoru R3 nebo R2 , coˇz je kartézsk´ y souˇcin mnoˇziny reáln´ ych ˇc´ısel R: R3 = R × R × R ,

R2 = R × R .

Zvol´ıme-li v (trojrozmˇerném) prostoru bod O zvan´ y poˇ c´ atek a z nˇej vycházej´ıc´ı tˇri navzájem kolmé polopˇr´ımky zvané poloosy s jednotkov´ ymi délkami na nich, dostáváme soustavu pravo´ uhl´ ych souˇ radnic Oxyz. Kaˇzd´ y bod prostoru lze potom jednoznaˇcnˇe popsat pomoc´ı jeho souˇ radnic – trojic reáln´ ych ˇc´ısel, tj. prvkem R3 .

Obr. 3.1: Souˇradnice [x, y, z] charakterizuj´ıc´ı polohu bodu P [x, y, z] v trojrozmˇerné pravotoˇcivé soustavˇe pravo´ uhl´ ych souˇradnic Oxyz. Podle poˇrad´ı jednotliv´ ych poloos rozeznáváme pravotoˇcivou a levotoˇcivou souˇradnicovou soustavu. Pravotoˇ civ´ a soustava s osami x, y, z je na Obr. 3.1. Prohozen´ım poloos x a y bychom dostali soustavu levotoˇcivou. Obvykle se vyuˇz´ıv´ a pravotoˇciv´ a soustava. V n´ı pˇri pohledu z (kladné) poloosy z pootoˇcen´ım poloosy x o prav´ yu ´hel v kladném smˇeru (proti smˇeru pohybu hodinov´ ych ruˇciˇcek) dostaneme poloosu y. Libovoln´ y bod P prostoru tak lze popsat pomoc´ı jeho tzv. souˇradnic x, y, z, viz Obr.3.1: P = [x, y, z] nebo

P [x, y, z] .

Podobnˇe zvolen´ım poˇc´ atku O a dvou navz´ ajem kolm´ ych poloos x a y dostáváme souˇradnicovou soustavu v rovinˇe. Uvaˇzujeme soustavu pravotoˇcivou, pˇri které pootoˇcen´ım osy x o prav´ yu ´hel v kladném smˇeru dostáváme osu y. Kaˇzd´ y bod roviny potom lze jednoznaˇcnˇe popsat pomoc´ı jeho souˇradnic P = [x, y].

Oznaˇ cen´ı, v´ azan´ y a voln´ y vektor Na rozd´ıl od teorie mnoˇzin a dalˇs´ıch obor˚ u, kde se mnoˇziny znaˇc´ı velk´ ymi p´ısmeny a jejich prvky mal´ ymi p´ısmeny, v geometrii je tradice opaˇcn´ a: body se znaˇ c´ı velk´ ymi p´ısmeny a mnoˇ ziny mal´ ymi p´ısmeny: pˇ r´ımky latinsk´ ymi, roviny ˇ reck´ ymi p´ısmeny. Ani oznaˇcen´ı souˇradnic nen´ı jednotné. V prostoru R3 s osami x, y, z jsou souˇradnice obecného bodu P oznaˇceny [x, y, z], pokud je bod˚ u v´ıce, souˇradnice bod˚ u rozliˇs´ıme indexy: A = [xA , yA , zA ], ˇcasto se rovn´ıtko vynechává a p´ıˇse jenom A[xA , yA , zA ]. V rovinˇe je znaˇcen´ı souˇradnic x, y a bod˚ u A = [xA , yA ] analogické. Vˇetˇsina pojm˚ u lze zavést nejen v prostoru R3 a rovinˇe R2 ale i v prostoru dimenze n ∈ N. Potom je nejjednoduˇsˇs´ı oznaˇcovat osy a jednotlivé souˇradnice ˇc´ısly, napˇr´ıklad osy x1 , x2 , . . . , xn , vektory u = (u1 , u2 , . . . , un ) a body A = [A1 , A2 , . . . , An ]. Tento zápis zahrnuje nejen body v rovinˇe v pˇr´ıpadˇe n = 2 a body v prostoru v pˇr´ıpadˇe n = 3, ale i body v tzv. n-rozmˇ ern´ em prostoru, které nen´ı snadné si pˇredstavit, nen´ı problém vˇsak v nˇem s body pracovat. V dalˇs´ım se budeme zab´ yvat vektory v prostoru. Osy budeme oznaˇcovat x, y, z a souˇradnice bod˚ u indexy ymi p´ısmeny, napˇr. s´ıla F. napˇr. A = [xA , yA , zA ], a vektory u = (u1 , u2 , u3 ). Ve fyzice se vektory oznaˇcuj´ı i velk´ Rovinn´ y pˇr´ıpad dostaneme odstranˇen´ım“ tˇret´ı sloˇzky. ” ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

1



Definice 3.1. Uspoˇr´ adanou dvojici bod˚ u A = [xA , yA , zA ], B = [xB , yB , zB ] nazveme v´ azan´ y vektor v R3 s poˇ c´ atkem v bodˇe A a s koncem v bodˇe B. Znaˇc´ıme ho −−→ AB. −−→ ych ˇc´ısel (xB − xA , yB − yA , zB − zA ). Vázan´ y vektor AB lze zadat také bodem A a uspoˇrádanou trojic´ı reáln´ −−→ Samotnou trojici ˇc´ısel naz´ yv´ ame voln´ y vektor a znaˇc´ıme u = (u1 , u2 , u3 ) = AB a ˇc´ısla u1 = xB − xA , u2 = yB − yA a u3 = zB − zA pak souˇ radnicemi nebo sloˇ zkami volného vektoru u. Je jasné, ˇze vektor u body A, B neurˇcuje, protoˇze i jiné body C, D mohou vést k témuˇz volnému vektoru u. ˇ Proto pˇresnˇejˇs´ı matematick´ y pˇr´ıstup zav´ ad´ı binárn´ı relaci mezi dvˇemi vázan´ ymi vektory: Rekneme, ˇze dva −−→ −−→ vázané vektory AB, CD jsou ekvivalentn´ı, jestliˇze (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ) = (d1 − c1 , d2 − c2 , d3 − c3 ). Tato relace rozkládá mnoˇziny vázan´ ych vektor˚ u na tˇr´ıdy zvané volné vektory. Voln´ y vektor je tedy mnoˇzina vektor˚ u maj´ıc´ı stejnou velikost, smˇer i orientaci. K urˇcen´ı této mnoˇziny staˇc´ı zadat jeden z nich, obvykle se vyb´ırá vektor maj´ıc´ı poˇcátek v bodˇe 0. Protoˇze jak body, tak vektory jsou urˇceny trojic´ı reáln´ ych ˇc´ısel, abychom je rozliˇsili, v dalˇs´ım budeme oznaˇcovat body souˇ radnicemi v hranat´ ych z´ avork´ ach, napˇr. A = [2, 7, 3], a vektory souˇ radnicemi −−→ → v kulat´ ych z´ avork´ ach, napˇr. u = (3, 6, 2). Vedle zápisu vektoru AB a u se uˇz´ıvá také symbol s ˇsipkou“ − u ” nebo s podtrˇzen´ım“ u, které se vˇsak nebudeme pouˇz´ıvat. Dále budeme slovem vektor myslet voln´ y vektor. ” Definice 3.2. Bud’ a = (ax , ay , az ) (pˇr´ıpadnˇe a = (a1 , a2 , a3 )) nenulov´ y voln´ y vektor v R3 , viz Obr. 3.2. Kolm´ e pr˚ umˇ ety vektoru a do souˇradnicov´ ych os x, y, z jsou jeho souˇradnice ax , ay , az (pˇr´ıpadnˇe a1 , a2 , a3 ). ˇ ısla cos(α), cos(β), cos(γ) ´ Uhly, které sv´ırá vektor a se souˇradn´ ymi poloosami x, y, z, oznaˇc´ıme po ˇradˇe α, β, γ. C´ se naz´ yvaj´ı smˇ erov´ e kos´ıny vektoru a. Velikost vektoru a oznaˇc´ıme symbolem a := |a|. Jednotkové vektory ve smˇeru os x, y, z budeme oznaˇcovat i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

Obr. 3.2: Vyjádˇren´ı vektoru a pomoc´ı jeho sloˇzek ax , ay , az . V obrázku jsou rovnˇeˇz vyznaˇceny u ´hly α, β, γ, které sv´ır´ a vektor a se souˇradnicov´ ymi osami, a jednotkové vektory i, j, k. Vˇ eta 3.3. Bud’ a = (ax , ay , az ) nenulov´ y voln´ y vektor v R3 . Pro pojmy z pˇredcházej´ıc´ı definice plat´ı: √ a := |a| = a2x + a2y + a2z , ax = a cos(α) , ay = a cos(β) , az = a cos(γ) . (3.1) Pomoc´ı jednotkov´ ych vektor˚ u i, j, k lze vektor a jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit jako a = ax i + ay j + az k. Pozn´ amky: Ze vztahu (3.1) plyne ax > 0 pro 0 ≤ α < π2 , ax = 0 pro α = π2 a ax < 0 pro π2 < α ≤ π. Pomoc´ı souˇradnic a Vˇety 3.3 lze urˇcit velikost vektoru a u ´hly, které sv´ırá se souˇradnicov´ ymi osami.

´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

2



Operace s vektory v prostoru V dalˇ s´ım budeme oznaˇ covat souˇ radnice vektor˚ uˇ c´ıseln´ ymi indexy 1, 2, 3. Skalárn´ı násobek vektoru v geometrii pro c > 0 je vektor stejného smˇeru a orientace, velikost je c-krát vˇetˇs´ı, v pˇr´ıpadˇe c < 0 se smˇer nemˇen´ı, orientace je opaˇcná a velikost |c|-krát vˇetˇs´ı. Pˇredstav´ıme-li si vektor jako posunut´ı (translaci), která libovoln´ y bod P posune o vektor u do bodu P + u, souˇctu dvou vektor˚ uuav odpov´ıdá sloˇzen´ı tˇechto dvou posunut´ı: bod P je posunut do bodu P + u + v. Kaˇzd´ y vektor v geometrii lze jednoznaˇcnˇe popsat trojic´ı ˇc´ısel, coˇz je speciáln´ı pˇr´ıpad matic typu (3, 1) pˇr´ıpadnˇe (1, 3) – nerozliˇsujeme ˇr´ adkové a sloupcové vektory. Sˇc´ıtán´ı a skalárn´ı násoben´ı vektoru lze proto definovat po sloˇzk´ ach stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe matic: Definice 3.4. (Souˇ cet a skal´ arn´ı n´ asobek) Pro vektory je operace souˇ cet u + v definovaná vztahem u + v ≡ (u1 , u2 , u3 ) + (v1 , v2 , v3 ) := (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ) a operace n´ asoben´ı skal´ arem cu, kde c ∈ R, ke dán c u ≡ c (u1 , u2 , u3 ) := (c u1 , c u2 , c u3 ) . Operace odˇc´ıt´ an´ı je dána vztahem u − v = u + (−1) v . Pozn´ amky: (a) Geometrick´ a i analytick´ a definice skalárn´ıho násobku a souˇctu vektor˚ u dává stejn´ y v´ ysledek. (b) Uvedené operace pro vektory jsou definovány i pro vektory maj´ıc´ı n sloˇzek stejnˇe jako u matic. (c) Povˇsimnˇete si, ˇze volné vektory spolu s binárn´ı operac´ı sˇc´ıtán´ı jsou pˇr´ıkladem grupy, která byla definována v Kapitole 1 ˇc´ asti Algebraické struktury. Neutráln´ım prvkem je zde tzv. nulov´ y vektor 0 = (0, . . . , 0), prvkem opaˇcn´ ym k vektoru u je vektor −u := (−1) · u. (d) Mnoˇzinu voln´ ych vektor˚ u v R3 (i vektor˚ u, tj. n-tic, pro libovolné n ∈ N s operacemi souˇcet a skalárn´ı násobek) se naz´ yv´ a vektorov´ y prostor nebo také line´ arn´ı prostor. (e) Stejnˇe jako u ˇr´ adk˚ u v Kapitole 2 ˇc´ asti Hodnost matice lze u vektor˚ u zavést pojem závislosti a nezávislosti vektor˚ u: v je z´ avisl´ y na vektorech u1 , . . . , uk , pokud ho lze napsat jako line´ arn´ı kombinaci vektor˚ u u1 , . . . , uk , tj. pro nˇejak´ a c1 , . . . , ck ∈ R plat´ı v = c1 u1 + · · · + ck uk . ˇ Rekneme také, ˇze vektory u1 , . . . , uk jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, pokud jediná jejich lineárn´ı kombinace, která dává nulov´ y vektor, je kombinace nulová, tj. ci = 0. (f) V trojrozmˇerném prostoru R3 nejv´ yˇse tˇri vektory jsou nezávislé a kaˇzdé ˇctyˇri vektory v R3 uˇz mus´ı b´ yt závislé. Dva vektory jsou závislé, pokud maj´ı stejn´ y smˇer, tj. leˇz´ı na stejné pˇr´ımce. (g) Nezávislé vektory nazveme b´ az´ı, pokud kaˇzd´ y vektor prostoru lze vyjádˇrit jako jejich lineárn´ı kombinace. Trojice jednotkov´ ych vektor˚ u i, j, k proto tvoˇr´ı tzv. kanonickou b´ azi. Báz´ı v prostoru je nekoneˇcnˇe mnoho, kaˇzd´ a trojice nezávisl´ ych vektor˚ u v R3 tvoˇr´ı bázi. Trojice nenulov´ ych vektor˚ u je lineárnˇe nezávislá, pokud vektory neleˇz´ı na jedné pˇr´ımce“ ani v jedné rovinˇe“. ” ” Skal´ arn´ı souˇ cin V geometrii m˚ uˇzeme vektory násobit skalárnˇe i vektorovˇe. Vedle geometrické máme i analytickou definici: Definice 3.5. Bud’te u, v vektory v R3 . Jejich skal´ arn´ı souˇ cin u · v je skalár (tj. ˇc´ıslo) (a)

u · v := u v cos(α), kde u, v jsou velikosti vektor˚ uuavaαu ´hel, kter´ y tyto vektory sv´ıraj´ı,

(b)

u · v := u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 , kde ui , vi jsou sloˇzky vektor˚ u u, v.

Bez d˚ ukazu uvedeme dalˇs´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.6. Obˇe definice skal´ arn´ıho souˇcinu (a) i (b) jsou ekvivalentn´ı. Skalárn´ı souˇcin je komutativn´ı, tj. pro kaˇzdé dva vektory plat´ı u · v = v · u Skalárn´ı souˇcin je line´ arn´ı v obou promˇenn´ ych, tj. pro kaˇzdé ˇc´ısla c1 , c2 ∈ R a kaˇzdé vektory plat´ı (c1 u1 + c2 u2 ) · v = c1 (u1 · v) + c2 (u2 · v) ,


u · (c1 v1 + c2 v2 ) = c1 (u · v1 ) + c2 (u · v2 ) .

3



Pozn´ amky: (a) V´ ysledkem skal´ arn´ıho souˇcin u · v dvou libovoln´ ych vektor˚ u u, v je skalár. (b) Oznaˇcme uv kolm´ y pr˚ umˇet vektoru u na pˇr´ımku urˇcenou smˇerem vektoru v a vu kolm´ y pr˚ umˇet vektoru v na pˇr´ımku urˇcenou smˇerem vektoru u. Potom pro ostr´ yu ´hel α skalárn´ı souˇcin vektor˚ u je souˇcin velikosti prvn´ıho vektoru a velikosti pr˚ umˇetu druhého vektoru: u · v = u vu = v uv , viz Obr. 3.3.

Obr. 3.3: Geometrick´ y v´ yznam skalárn´ıho souˇcinu: u · v = u vu = v uv . (c) Porovnán´ı s geometrick´ ym vyjádˇren´ı skalárn´ıho souˇcinu dává u·v = u v cos(α), odkud lze vyjádˇrit kosinus u ´hlu, kter´ y vektory sv´ıraj´ı: u·v u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 √ . cos(α) = =√ 2 |u| · |v| u1 + u22 + u23 · v12 + v22 + v32 (d) Speciáln´ı pˇr´ıpad u ´hlu α = 0 a u = v, kdy cos(0) = 1 dává u · u = u2 , odkud u = |u| = (e) Speciáln´ı pˇr´ıpad vektor˚ u sv´ıraj´ıc´ıch prav´ yu ´hel, tj. u ´hel α = o vektorech kolm´ ych nebo ortogon´ aln´ıch.

π 2

√ u · u.

dává u · v = 0. V tomto pˇr´ıpadˇe mluv´ıme

(f) Vektorov´ y prostor R3 s t´ımto skal´ arn´ım souˇcinem naz´ yváme euklidovsk´ y prostor a znaˇc´ıme E3 . Fyzikáln´ı v´ yznam skal´ arn´ıho souˇcinu je vidˇet z následuj´ıc´ıho pˇr´ıkladu: Pˇ r´ıklad 3.7. Vag´ on je taˇzen na pˇr´ımém u ´seku délky s = 20 m lanem, které sv´ırá se smˇerem s pohybu vagonu u ´hel α = 20◦ , a které je nap´ın´ ano silou o velikosti F = 800 N. Vyjádˇrete práci W vykonanou silou F pomoc´ı skalárn´ıho souˇcinu a vypoˇctˇete ji. ˇ sen´ı: Situaci naˇcrtneme. Bud’ Fs pr˚ Reˇ umˇet vektoru F do smˇeru s. Pak W = Fs s = |F| |s| cos(α) = F · s, odkud . W = F · s = |F| |s| cos(α) = 800 N · 20 m · cos 20◦ = 1.50 · 104 J.

Obr. 3.4: K pˇr´ıkladu 3.7. Vektorov´ y souˇ cin Na rozd´ıl od skal´ arn´ıho souˇcinu v´ ysledkem vektorového souˇcinu v R3 je vektor. Opˇet vedle geometrické definice máme definici analytickou: Definice 3.8. Bud’te u, v vektory v R3 . Jejich vektorov´ y souˇ cin u × v je (a)

(b)

vektor w kolm´ y na vektory u a v velikosti w = u v sin(α) a takové orientace, ˇze trojice vektor˚ u u, v, w tvoˇr´ı pravotoˇciv´ y systém, kde α je u ´hel, kter´ y vektory u, v sv´ıraj´ı.   i j k u × v := det  u1 u2 u3  , v1 v2 v3 kde i, j, k jsou jednotkové vektory souˇradnicov´ ych os, viz Definice 3.4, a ui , vj sloˇzky vektor˚ u u, v.


4



Bez d˚ ukazu uvedeme následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.9. Obˇe definice vektorového souˇcinu (a) i (b) jsou ekvivalentn´ı. Analytick´ y vzorec (b) lze rozepsat do sloˇzek vektoru w ) ( u2 u3 u3 u1 u1 u2 = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) . u×v = , , v2 v3 v3 v1 v1 v2 Vektorov´ y souˇcin nen´ı komutativn´ı, je tzv. antikomutativn´ı: v × u = −u × v , Vektorov´ y souˇcin je line´ arn´ı v obou promˇenn´ ych, tj. pro kaˇzdá ˇc´ısla c1 , c2 ∈ R a kaˇzdé vektory plat´ı (c1 u1 + c2 u2 ) × v = c1 (u1 × v) + c2 (u2 × v) ,

u × (c1 v1 + c2 v2 ) = c1 (u × v1 ) + c2 (u × v2 ) .

Geometrick´ y v´ yznam vektorov´ eho souˇ cinu Vektorov´ y souˇcin u × v dvou vektor˚ u u, v je vektor w, kter´ y je kolm´ y na oba vektory u, v. Jeho velikost je rovna ploˇsnému obsahu S = u v sin(α) rovnobˇeˇzn´ıku urˇceného vektory u, v v Obrázku 3.5).

Obr. 3.5: Geometrick´ y v´ yznam vektorového souˇcinu w = u × v. Pozn´ amky: Vektorov´ y souˇcin lineárnˇe závisl´ ych vektor˚ u dává nulu, rovnobˇeˇzn´ık jimi urˇcen´ y degeneruje na u ´seˇcku s nulov´ ym ploˇsn´ ym obsahem, speciálnˇe u × u = 0. Ze skalárn´ı souˇcinu vektor˚ u u a v lze urˇcit kosinus u ´hlu α, kter´ y sv´ıraj´ı, z vektorového souˇcinu pak lze urˇcit sinus u ´hlu, kter´ y sv´ıraj´ı: u·v |u × v| cos(α) = , sin(α) = (3.2) |u| · |u| |u| · |u| Uved’me dva pˇr´ıklady vyuˇzit´ı vektorového souˇcinu ve fyzice: Pˇ r´ıklad 3.10. S´ıla F p˚ usob´ıc´ı na tˇeleso v bodˇe P vyvozuje vzhledem k poˇcátku souˇradnic otáˇciv´ y moment M = r × F, kde r je polohov´ y vektor bodu P , viz Obrázek 3.6.

Obr. 3.6: Otáˇciv´ y moment M s´ıly F p˚ usob´ıc´ı na tˇeleso v bodˇe P s polohov´ ym vektorem r, je M = r × F.

Pˇ r´ıklad 3.11. Na konci tyˇce délky l p˚ y usob´ı s´ıla F rovnobˇeˇznˇe s osou x podle Obrázku 3.7. Urˇcete otáˇciv´ moment s´ıly F vzhledem k poˇc´ atku O. ˇ sen´ı: Plat´ı M = r × F. Vektor M zakresl´ıme podle Obrázku 3.7. Reˇ


5



Obr. 3.7: K pˇr´ıkladu 3.11, velikost vektoru M je M = |r| · |F| sin 90◦ = 12 lF . Sm´ıˇ sen´ y souˇ cin vektor˚ u V prostoru R3 m´ ame jeˇstˇe tzv. sm´ıˇsen´ y souˇcin tˇr´ı vektor˚ u, tj. ternárn´ı operaci: prvn´ı vektor skalárnˇe násob´ıme vektorov´ ym souˇcinem druhého a tˇret´ıho vektoru: Definice 3.12. Bud’te u, v, w vektory v R3 . Jejich sm´ıˇ sen´ y souˇ cin oznaˇcen´ y [u v w] je skalár, tj. ˇc´ıslo, které dostaneme, kdyˇz prvn´ı vektor skal´ arnˇe vynásob´ıme vektorov´ ym souˇcinem druhého a tˇret´ıho vektoru, tj. [u v w] = u · (v × w) Pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem se lze pˇresvˇedˇcit, ˇze skalárn´ı souˇcin vektoru u = (u1 , u2 , u3 ) s vektorem pomoc´ı Vˇety 3.9 a rozvoje determinantu podle prvn´ıho ˇrádku zapsat jako determinant v2 w 3 v3 w 1 v1 w2 u1 u2 + u2 (u1 , u2 , u3 ) · (t1 , t2 , t3 ) = u1 w3 v1 + u3 w1 v2 = v1 v2 w2 v3 w1 w2

t = v × w lze u3 v3 w3

.

Zmˇena poˇrad´ı vektor˚ u tak vede na zmˇenu poˇrad´ı ˇrádk˚ u pˇr´ısluˇsného determinantu. Vlastnosti sm´ıˇseného souˇcinu shrneme v tvrzen´ı: Vˇ eta 3.13. Bud’te u, v, w vektory v R3 . Potom jejich sm´ıˇsen´ y souˇcin lze zapsat ve tvaru determinantu: u1 u2 u3 [u v w] = v1 v2 v3 . w1 w2 w3 Souˇcin nen´ı komutativn´ı, pˇri zmˇenˇe poˇrad´ı vektor˚ u se mˇen´ı znaménko podle znaménka permutace, pˇri sudé permutaci se znaménko nemˇen´ı, pˇri liché permutaci se znaménko zmˇen´ı: [u v w] = [v w u] = [w u v] = −[u w v] − [v u w] − [w v u] . Absolutn´ı hodnota sm´ıˇseného souˇcinu [u v w] je rovna objemu rovnobˇeˇznostˇenu urˇceného vektory u, v, w.

Operace s vektory v rovinˇ e Vektory v rovinˇe lze sˇc´ıtat i násobit skal´ arem. Skalárn´ı souˇcin je také u · v = (u1 , u2 ) · (v1 , v2 ) = u1 v1 + u2 v2 . V´ ysledkem vektorového souˇcinu dvou vektor˚ u v rovinˇe x1 , x2 vˇsak nen´ı vektor, ale skalár; je to tˇret´ı sloˇzka vektorového souˇcinu v prostoru, protoˇze prvn´ı dvˇe sloˇzky jsou nulové: u × v = (u1 , u2 ) × (v1 , v2 ) = u1 v2 − u2 v1 . Vektorov´ y souˇcin je i v rovinˇe antikomutativn´ı: v × u = −u × v. Také u ´hel α dvou vektor˚ u u, v lze urˇcit stejnˇe jako v trojrozmˇerném prostoru: cos(α) =

u1 v1 + u2 v2 u·v √ =√ 2 , |u| · |u| u1 + u22 v12 + v22


sin(α) =

|u1 v2 − u2 v1 | |u × v| √ =√ 2 . |u| · |u| u1 + u22 v12 + v22

6



Pozn´ amky: Skal´ arn´ı i vektorov´ y souˇcin vektor˚ u jsme si definovali geometricky i analyticky. V pˇr´ıpadˇe roviny lze ekvivalenci snadno ukázat. Uvaˇzujme vektor u = (u1 , u2 ) sv´ıraj´ıc´ı s kladnou poloosou x (orientovan´ y) u ´hel α a vektor v = (v1 , v2 ) sv´ıraj´ıc´ı s kladnou poloosou x u ´hel β. Oba vektory sv´ıraj´ı u ´hel φ = β − α, viz Obr. 3.8. y v2

v

u2 φ β

u α

x v1 u1 0 Obr. 3.8: K d˚ ukazu ekvivalence geometrické a analytické definice skalárn´ıho a vektorového souˇcinu Pro u ´hel α plat´ı sin(α) = u2 /|u|, cos(α) = u1 /|u| a podobné rovnosti pro u ´hel β. Vyuˇzit´ım vzorce pro rozd´ıl u ´hl˚ u cos(β − α) = cos(β) cos(α) + sin(β) sin(α) dostáváme cos(φ) = cos(β − α) = cos(β) cos(α) + sin(β) sin(α) =

v1 u1 v2 u2 · + · , |v| |u| |v| |u|

odkud vynásoben´ım rovnosti |u|·|v| plyne ekvivalence obou definic skalárn´ıho souˇcinu. Podobnˇe vyuˇzit´ım vzorce sin(β − α) = sin(β) cos(α) − cos(β) sin(α) dostáváme sin(φ) = sin(β − α) = sin(β) cos(α) − cos(β) sin(α) =

v2 u1 v1 u 1 · − · , |v| |u| |v| |u|

odkud plyne ekvivalence obou definic vektorového souˇcinu v rovinˇe.

Vektory v n-rozmˇ ern´ em prostoru Na závˇer se pro zaj´ımavost pod´ıvejme na vektory v n-rozmˇerném prostoru: Uspoˇrádané n-tice u = (u1 , u2 , . . . , un ) reáln´ ych ˇc´ısel lze ztotoˇznit s vektory v prostoru Rn . Tyto vektory lze sˇc´ıtat a skal´ arnˇe násobit po sloˇzk´ ach stejnˇe jako matice. (a) Skalárn´ı souˇcin nedˇel´ a problém: u · v = (u1 , u2 , . . . , un ) · (v1 , v2 , . . . , vn ) = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn , je komutativn´ı a plat´ı pro nˇej distributivn´ı zákony jako v prostoru R3 . (b) Délku vektoru snadno vyjádˇr´ıme pomoc´ı skalárn´ıho souˇcinu: √ √ |u| = u · u = u21 + u22 + · · · + u2n . (c) Dva vektory u a v v n-rozmˇerném prostoru Rn urˇcuj´ı rovinu, ve které m˚ uˇzeme pomoc´ı skalárn´ıho souˇctu urˇcit u ´hel α, kter´ y sv´ıraj´ı: cos(α) =

u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn u·v √ =√ 2 . |u| · |u| u1 + u22 + · · · + u2n v12 + v22 + · · · + vn2

(d) Vektorov´ y souˇcin dvou vektor˚ u v Rn nen´ı definován: v prostoru Rn , n ≥ 4, je nekoneˇcnˇe mnoho smˇer˚ u kolm´ ych na rovinu urˇcenou dvˇema nezávisl´ ymi vektory. M´ısto toho lze definovat vektorov´ y souˇcin n–1 vektor˚ u jako (n–1)-árn´ı operaci, tj. operaci, která n−1 vektor˚ um u1 = (u11 , . . . , u1n ), u2 = (u21 , . . . , u2n ), . . . , un−1 = (un−1 , . . . , un−1 ) vektor w = u1 × · · · × un−1 n 1 jako determinant u11 u12 ... u1n u2 u22 ... u2n 1 .. , w = ... . un−1 un−1 . . . un−1 1 n 2 e e ... e 1


2

n

7



kde vektory e1 , e2 , . . . en tvoˇr´ı tzv. kanonickou bázi, jsou to jednotkové vektory ve smˇerech souˇradnicov´ ych os, tj. vektor ei má jedniˇcku na i-tém m´ıstˇe, ostatn´ı jsou nuly: e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) a en = (0, 0, . . . , 0, 1). (e) Také ve sm´ıˇseném souˇcinu binárn´ı operaci vektorového souˇcinu mus´ıme nahradit (n − 1)-árn´ı operac´ı vektorového souˇcinu. Dostáv´ ame tak n-nárn´ı operaci tzv. vnˇejˇs´ı souˇcin n vektor˚ u u1 , u2 , . . . , un , jej´ımˇz v´ ysledkem je determinant, tj. ˇc´ıslo 1 u1 u12 . . . u1n u2 u2 . . . u2 n 2 1 [u1 u2 · · · un ] = det . .. . .. . un un . . . un 1

2

n

Poznamenejme, ˇze absolutn´ı hodnota vnˇejˇs´ıho souˇcinu vyjadˇruje objem“ n-rozmˇerného rovnobˇeˇznostˇenu ” urˇceného vektory u1 , u2 , . . . , un . (f) V n-rozmˇerném prostoru lze definovat r˚ uzná n-rozmˇerná tˇelesa, napˇr´ıklad n-rozmˇern´ y kvádr je kartézsk´ y souˇcin interval˚ u (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × · · · × (an , bn ), umˇet do libovolné roviny. Zaj´ımavé jsou roviny, které nejsou rovnobˇeˇzné se ˇzádnou lze nakreslit“ i jeho pr˚ ” souˇradnicovou osou. Problém je vˇsak vyznaˇcit viditelnost“, tj. urˇcit, které body jsou vidˇet a které jsou ” zakryté. To je neˇreˇsiteln´ y problém analogick´ y problému vyznaˇcen´ı viditelnosti trojrozmˇerného tˇelesa prom´ıtnutého na pˇr´ımku.


8


3B. Lineárn´ı mnoˇziny v rovinˇe

´ rn´ı mnoˇ ˇ 3B. Linea ziny v rovine Nejprve se budeme zab´ yvat rovn´ ymi“ u ´tvary zvan´ ymi lineárn´ı mnoˇziny, protoˇze je lze popsat lineárn´ımi ” ´ rovnicemi. Utvary lze popsat r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Implicitn´ı popis obsahuje rovnici pro souˇradnice x, y jednotliv´ ych bod˚ u mnoˇziny, bod patˇr´ı do u ´tvaru, pokud jeho souˇradnice rovnici splˇ nuj´ı. Proti tomu parametrick´ y popis se skládá ze vzorc˚ u pro souˇradnice bod˚ u mnoˇziny. Vzorce obsahuj´ı parametry, dosazen´ım konkrétn´ıch ˇc´ısel z mnoˇziny parametr˚ u za parametry dostaneme jednotlivé body mnoˇziny. Opˇet je zde problém s r˚ uzn´ ymi oznaˇcen´ımi bod˚ u a vektor˚ u. V dvojrozmˇerném prostoru osy znaˇc´ıme x, y. Body budeme oznaˇcovat velk´ ymi p´ısmeny a jejich souˇradnice x, y v hranat´ ych závorkách rozliˇs´ıme indexem bodu. Obecn´ y bod se souˇradnicemi budeme znaˇcit P = [x, y], souˇradnice konkrétn´ıho bodu rozliˇs´ıme indexy, napˇr. A = [xA , yA ], nˇekdy se znak rovn´ a se“ vynechává. Vektory budeme znaˇcit tuˇcn´ ymi mal´ ymi p´ısmeny ” a jejich souˇradnice p´ısmeny s ˇc´ıseln´ ymi indexy v kulat´ ych závorkách, napˇr´ıklad u = (u1 , u2 ). Toto znaˇcen´ı je nejˇcastˇejˇs´ı, i kdyˇz logiˇctˇejˇs´ı by bylo psát u = (ux , uy ), nebo u = (xu , yu ).

Pˇ r´ımka v rovinˇ e Body P = [x, y] pˇr´ımky v rovinˇe lze popsat nˇekolika zp˚ usoby, nˇekteré nejsou jednoznaˇcné, tj. r˚ uzné zápisy urˇcuj´ı stejnou pˇr´ımku, jiné zase nedokáˇz´ı popsat vˇsechny pˇr´ımky: Definice 3.14. Pˇr´ımka v rovinˇe je mnoˇzina bod˚ u P = [x, y] daná jedn´ım z následuj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u: (a) (obecn´ a rovnice pˇ r´ımky) {[x, y] ∈ R2 | ax + by + c = 0} , kde a, b, c ∈ R a alespoˇ n jedno z ˇc´ısel a, b je r˚ uzné od nuly, (b) (smˇ ernicov´ a rovnice pˇ r´ımky) {[x, y] ∈ R2 | y = kx + q} , ˇ ıslo q je souˇradnice pr˚ kde k, q ∈ R. C´ useˇc´ıku pˇr´ımky s osou y, k je tzv. smˇ ernice, (c) (´ usekov´ a rovnice pˇ r´ımky)

{[x, y] ∈ R2 |

x p

+

y q

= 1},

kde p, q ̸= 0 jsou u ´seky, které pˇr´ımka vyt´ıná“ na osách x, y, tj. pr˚ useˇc´ıky s osami jsou [p, 0] a [0, q], ” (d) (parametrick´ e rovnice pˇ r´ımky) {[x, y] ∈ R2 | x = xA + s1 t, y = yA + s2 t t ∈ R}, kde A = [xA , yA ] je bod, kter´ ym pˇr´ımka procház´ı, a s = (s1 , s2 ) je jej´ı (nenulov´ y) smˇerov´ y vektor. Tyto rovnice lze zapsat také vektorovˇ e: {P ∈ R2 : P = A + t s, t ∈ R}. Pˇr´ımky oznaˇcujeme obvykle mal´ ymi latinsk´ ymi p´ısmeny, napˇr. p, q, r, s, t.

s = (s1 , s2 ) n = (n1 , n2 ) φ k = tg φ = ss12

– – – –

smˇerov´ y vektor pˇr´ımky p normálov´ y vektor pˇr´ımky p smˇerov´ yu ´hel pˇr´ımky p smˇernice pˇr´ımky p

Obr. 3.9: K definici pˇr´ımky.

Vˇ eta 3.15. (Vlastnosti jednotliv´ ych z´ apis˚ u pˇ r´ımky) (a) Obecn´ a rovnice pˇr´ımky (a) dovede popsat vˇsechny pˇr´ımky v rovinˇe. Rovnice nen´ı jednoznaˇcná, kaˇzd´ y nenulov´ y násobek rovnice popisuje stejnou pˇr´ımku. Popis pˇr´ımky bude jednoznaˇcn´ y, pˇridáme-li napˇr´ıklad podm´ınku a2 + b2 = 1 a a > 0, nebo b > 0 v pˇr´ıpadˇe, kdy a = 0. y vektor n = (a, b) a t´ım i smˇerov´ y vektor s = (−b, a). Koeficienty a, b urˇcuj´ı normálov´ V pˇr´ıpadˇe a = 0 je pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou x, pokud b = 0, je pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou y, pokud c = 0, pˇr´ımka proch´ az´ı poˇc´ atkem O = [0, 0]. Pokud a ̸= 0 pˇr´ımka prot´ın´ a osu x v bodˇe [− ac , 0], v pˇr´ıpadˇe b ̸= 0 pˇr´ımka prot´ıná osu y v bodˇe [0, − cb ]. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

9



(b) Smˇernicov´ a rovnice dovede popsat vˇsechny pˇr´ımky kromˇe pˇr´ımek rovnobˇeˇzn´ ych s osou y, zápis je jednoznaˇcn´ y, tj. r˚ uzné k, q urˇcuj´ı r˚ uzné pˇr´ımky. Vektor s = (1, k) je smˇerov´ y a n = (−k, 1) normálov´ y vektor pˇr´ımky. ˇ C´ıslo q urˇcuje pr˚ useˇc´ık [0, q] pˇr´ımky s osou y. Pˇr´ıpad k = 0 urˇcuje pˇr´ımku rovnobˇeˇznou s osou x. Pro k ̸= 0 pˇr´ımka prot´ıná osu x v bodˇe [− kq , 0]. ´ a rovnice dovede popsat vˇsechny pˇr´ımky kromˇe pˇr´ımek procházej´ıc´ıch poˇcátkem. Protoˇze (c) Usekov´ y. Pˇrevedeme-li jedniˇcku z pravé strany pr˚ useˇc´ıky s osami dávaj´ı parametry p, q, zápis je jednoznaˇcn´ na levou, máme tvar obecné rovnice. (d) Parametrické rovnice dovedou popsat vˇsechny pˇr´ımky, pˇr´ımka vˇsak má mnoho zápis˚ u: m˚ uˇze zaˇc´ınat z libovolného bodu pˇr´ımky a také nenulov´ y násobek smˇerového vektoru pˇr´ımku nemˇen´ı. Rovnice obsahuj´ı smˇerov´ y vektor s = (s1 , s2 ), normálov´ y vektor je potom n = (−s2 , s1 ). Pozn´ amky: Nauˇcte se pˇrev´ adˇet jeden druh rovnice pˇr´ımky na ostatn´ı! Dva r˚ uzné body A = [xA , yA ], B = [xB , yB ] urˇcuj´ı pˇr´ımku. Jaké jsou jej´ı rovnice? Body A, B urˇcuj´ı jej´ı smˇerov´ y vektor: s = (xB − xA , yB − yA ) odkud m˚ uˇzeme pˇr´ımo napsat jej´ı parametrické rovnice: x = xA + t(xB − xA ), V pˇr´ıpadˇe xA ̸= xB je smˇernice pˇr´ımky ˇc´ıslo k =

y = yA + t(yB − yA ) yB −yA xB −xA

y = yA +

t ∈ R.

a rovnice pˇr´ımky je

yB − yA (x − xA ) . xB − xA

(3.3)

Roznásoben´ım lze rovnici snadno upravit na smˇernicovou i obecnou rovnici pˇr´ımky. Normálov´ y vektor je (−yB +yA , xB −xA ). Vydˇelen´ım obecné rovnice absolutn´ım ˇclenem (pokud je nenulov´ y) po pˇreveden´ı jedniˇcky na pravou stranu dostaneme u ´sekovou rovnici pˇr´ımky. Pˇ r´ıklad 3.16. Pˇr´ımka p je urˇcena obecnou rovnic´ı 3 x − y − 6 = 0. Urˇcete smˇerov´ y a normálov´ y vektor a ostatn´ı druhy rovnice této pˇr´ımky. ˇ sen´ı: Koeficienty obecné rovnice dávaj´ı normálov´ Reˇ y vektor n = (a, b) = (3, −1). Z rovnice lze hned urˇcit smˇernicov´ y tvar y = 3 x − 6, odkud máme smˇerov´ y vektor s = (1, k) = (1, 3). Dˇelen´ı obecné rovnice ˇc´ıslem 6 dává x2 − y6 − 1 = 0, odkud máme u ´sekov´ y tvar x2 − y6 = 1 s pr˚ useˇc´ıky [2, 0] a [0, −6] na osách x a y. Volbou napˇr´ıklad x = 1 dostáv´ ame bod [1, −3] a t´ım i parametrické rovnice x = 1 + t, y = −3 + 3 t. Pokud za bod vezmeme pr˚ useˇc´ık [2, 0], parametrické rovnice jsou x = 2 + t, y = 3 t. Vz´ ajemn´ e polohy bod˚ u a pˇ r´ımek v rovinˇ e

−−→ Vzd´ alenost dvou (r˚ uzn´ ych) bod˚ u A = [xA , yA ] a B = [xB , yB ] je rovna velikosti vektoru AB, tj. −−→ √ |B − A| = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .

Jaká je vzájemn´ a poloha bodu a pˇr´ımky? Pokud souˇradnice bodu splˇ nuj´ı rovnice pˇr´ımky (kterékoliv, kromˇe parametrick´ ych), bod leˇz´ı na pˇr´ımce. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe na pˇr´ımce neleˇz´ı. Vzd´ alenost bodu A od pˇ r´ımky u pˇr´ımky. Minimum je dosaˇzeno v kolmém pr˚ umˇetu P bodu na p je minimum jeho vzdálenosti od vˇsech bod˚ pˇr´ımku p, tj. pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky p s pˇr´ımkou q, která procház´ı bodem A a je kolmá na pˇr´ımku p. Tuto vzdálenost lze spoˇc´ıtat pomoc´ı následuj´ıc´ıho vzorce, zkuste ho odvodit! Vˇ eta 3.17. Vzd´ alenost bodu od pˇ r´ımky v rovinˇ e. Mˇejme pˇr´ımku p : ax + by + c = 0 a bod A = [xA , yA ]. Potom jejich vzdálenost d je |a xA + b yA + c| √ . d= a2 + b2 Jaká je vzájemn´ a poloha dvou pˇr´ımek v rovinˇe? Dvˇe pˇr´ımky mohou b´ yt (a) r˚ uznobˇeˇzné, tj. maj´ı jedin´ y spoleˇcn´ y bod, tzv. pr˚ useˇc´ık, (b) rovnobˇeˇzné, tj. nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod a (c) totoˇzné.


10



Jak zjistit vzájemnou polohu dvou pˇr´ımek p, q v rovinˇe? Pokud jejich smˇerové (nebo normálové) vektory jsou nezávislé, pˇr´ımky jsou r˚ uznobˇeˇzné. Pokud jsou závislé, pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzné nebo totoˇzné. Závislost lze nejsnadnˇeji zjistit pomoc´ı vektorového souˇcinu: vektory sp = (sp1 , sp2 ) a sq = (sq1 , sq2 ) jsou závislé, právˇe kdyˇz sp × sp = sp1 sq2 − sp2 sq1 = 0. Vzdálenost dvou (r˚ uzn´ ych) rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek lze poˇc´ıtat podobnˇe jako vzdálenost bodu od pˇr´ımky: staˇc´ı zvolit na jedné pˇr´ımce jeden bod a mˇeˇrit jeho vzdálenost od druhé pˇr´ımky. Zkuste odvodit následuj´ıc´ı vzorec: Vˇ eta 3.18. Vzd´ alenost dvou rovnobˇ eˇ zn´ ych pˇ r´ımek. Mˇejme dvˇe rovnobˇeˇzné pˇr´ımky p a q, které zap´ıˇseme se stejn´ ymi koeficienty a, b: pˇr´ımka p m´ a rovnici a x + b y + cp = 0 a pˇr´ımka q rovnici a x + b y + cq = 0. Potom jejich vzdálenost d je |cp − cq | d= √ . a2 + b2 Pokud jsou dvˇe pˇr´ımky r˚ uznobˇeˇzné, jejich pr˚ useˇ c´ık má souˇradnice x, y, kter´ y je ˇreˇsen´ım soustavy rovnic sloˇzené napˇr´ıklad z obecn´ ych rovnic obou pˇr´ımek. Odchylkou dvou r˚ uznobˇ eˇ zn´ ych pˇ r´ımek p a q rozum´ıme u ´hel, kter´ y je dán jako u ´hel α, kter´ y sv´ıraj´ı smˇerové vektory sp a sq tˇechto pˇr´ımek, pokud je tento u ´hel vˇetˇs´ı neˇz prav´ y, vezmeme ostr´ yu ´hel mezi vektory sp a −sq . Tento u ´ hel lze urˇcit pomoc´ı skal´ arn´ıho nebo vektorového souˇcinu z rovnic cos(α) =

|sp · sq | , |sp | |sq |

sin(α) =

|sp × sq | . |sp | |sq |

ˇ r´ımky jsou navz´ ajem kolm´ e, pokud jejich smˇerové vektory sv´ıraj´ı prav´ yu ´hel, tj. sp · sq = 0. Rekneme, ˇze pˇ

Podmnoˇ ziny pˇ r´ımky a mnoˇ ziny s rovn´ ymi“ okraji v rovinˇ e ” Pˇr´ımku uˇz popsat um´ıme. Jak popsat polopˇr´ımku, u ´seˇcku, poloroviny, u ´hel a troj´ uheln´ık? Na to se nejlépe hod´ı parametrick´ y popis pˇr´ımky dané dvˇema body: Vˇ eta 3.19. Mˇejme dva r˚ uzné body A = [xA , yA ] a B = [xB , yB ]. Potom parametrické rovnice x = xA + t(xB − xA ) ≡ (1 − t)xA + t xB

y = yA + t(yB − yA ) ≡ (1 − t)yA + t yB

urˇcuj´ı následuj´ıc´ı body a podmnoˇziny pˇr´ımky pro r˚ uzné hodnoty parametru t: (a) bod A pro t = 0, bod B pro t = 1, stˇred u ´seˇcky AB pro t = 12 , (b) otevˇrenou u ´seˇcku AB pro t ∈ (0, 1), u ´seˇcku AB s koncov´ ymi body pro t ∈ ⟨0, 1⟩, −−→ −−→ (c) polopˇr´ımku AB pro t ∈ ⟨0, ∞), polopˇr´ımku BA pro t ∈ (−∞, 1⟩ a celou pˇr´ımku p pro t ∈ R. V pˇr´ıpadˇe ostatn´ıch popis˚ u pˇr´ımky lze jej´ı podmnoˇzinu vyjádˇrit omezen´ım promˇenné x nebo y, napˇr´ıklad zápis a x + b y + c = 0 s nerovnost´ı xA < x < xB urˇcuje otevˇrenou u ´seˇcku. Pˇr´ımka v rovinˇe rozdˇeluje tuto rovinu na dvˇe poloroviny, které dostaneme tak, ˇze v rovnici pˇr´ımky (obecné, smˇernicové i u ´sekové) zmˇen´ıme rovnost na nerovnost. Kterou z dvou polorovin oddˇelen´ ych pˇr´ımkou p dostaneme? Je-li hraniˇcn´ı pˇr´ımka ve tvaru y = k x + q, potom zˇrejmˇe nerovnice popisuje: polorovinu nad“ pˇr´ımkou, v pˇr´ıpadˇe y ≥ k x + q vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky, ” y < k x + q polorovinu pod“ pˇr´ımkou, v pˇr´ıpadˇe y ≤ k x + q vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky. ” Je-li hraniˇcn´ı pˇr´ımka zapsaná ve tvaru x = q, pˇr´ıpadnˇe x = p y + q, potom zˇrejmˇe: y > kx+q

je polorovina vpravo“ od pˇr´ımky, v pˇr´ıpadˇe x ≥ p y + q vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky, ” x < p y + q je polorovina vlevo“ od pˇr´ımky, v pˇr´ıpadˇe x ≤ p y + q vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky. ” V pˇr´ıpadˇe parametrického popisu pˇr´ımky x = xA + u1 t, y = yA + u2 t, t ∈ R, se smˇerov´ ym vektorem u = (u1 , u2 ), vezmeme vektor v = (v1 , v2 ) smˇeˇruj´ıc´ı do dané poloroviny (napˇr´ıklad jeden ze dvou normálov´ ych vektor˚ u) a polorovinu (bez hraniˇcn´ı pˇr´ımky) popisuj´ı rovnice x > py + q

x = xA + u1 t + v1 s,

y = y A + u 2 t + v2 s ,

t ∈ R , s > 0,

v pˇr´ıpadˇe s ≥ 0 vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

11



Pˇ r´ıklad 3.20. Troj´ uheln´ık ∆ABC je urˇcen vrcholy A = [1, −1], B = [5, 0] a C = [3, 4]. Urˇcete jeho obsah, tˇeˇziˇstˇe, stˇredy a délky stran a popiˇste troj´ uheln´ık parametricky a nerovnostmi. ˇ sen´ı: Tˇeˇziˇstˇe T = [xT , yT ] troj´ Reˇ uheln´ıka ∆ABC má souˇradnice, které jsou pr˚ umˇerem souˇradnic jeho vrchol˚ u: xT = 31 (1 + 5 + 3) = 3 , yT = 13 (−1 + 0 + 4) = 1 , tˇeˇziˇstˇe je tedy T = [3, 1]. Stˇredy stran jsou opˇet pr˚ umˇery souˇradnic koncov´ ych bod˚ u jednotliv´ ych stran, proto stˇred strany c = AB je Sc = [ 12 (1 + 5), 12 (−1 + 0)] = [3, − 12 ], stˇred strany b = AC je Sb = [2, 32 ] a stˇred strany a = BC je Sa = [4, 2]. √ √ √ Délka strany c je |AB| = |(4, 1)| = 17, podobnˇe |AC| = |(2, 5)| = 29 a |BC| = |(−2, 4)| = 20. −−→ −→ Obsah troj´ uheln´ıka spoˇc´ıt´ ame pomoc´ı vektorového souˇcinu vektor˚ u AB a AC 1 −−→ −→ 1 1 |∆ABC| = AB × AC = |(4, 1) × (2, 5)| = |20 − 2| = 9 . 2 2 2 −−→ Troj´ uheln´ık parametricky pop´ıˇseme pomoc´ı bodu A a vektor˚ u jeho stran u = AB = (4, 1) a v = (2, 5): x = xA + u1 s + v1 t = 1 + 4 s + 2 t ,

y = yA + u2 s + v2 t = −1 + 1 s + 5 t

s ≥ 0, t ≥ 0, s + t ≤ 1.

←→ ←→ ←→ Troj´ uheln´ık lze popsat také jako pr˚ unik tˇr´ı polorovin urˇcen´ ych pˇr´ımkami AB, AC a BC. Pomoc´ı (3.3) a pˇredchoz´ıch u ´vah po u ´pravˇe dostáv´ ame 4y ≥ x − 5,

2y ≤ 5x − 7,

y ≤ 10 − 2 x .

Jako kontrolu staˇc´ı dosadit souˇradnice vrchol˚ u A, B, C do dan´ ych nerovnic. Pokud ve dvou pˇr´ıpadech vyjdou rovnosti a ve tˇret´ı plat´ı ostrá nerovnost, jsou nerovnice správnˇe.


12


3C. Lineárn´ı mnoˇziny v prostoru

´ rn´ı mnoˇ 3C. Linea ziny v prostoru ´ Po rovn´ ych“ u ´tvarech v rovinˇe pˇrejdeme na rovné“ tzv. lineárn´ı u ´tvary v prostoru R3 . Utvary lze popsat ” ” r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. I zde je problém s oznaˇcen´ım bod˚ u a vektor˚ u. Podobnˇe jako v rovinˇe v naˇsem trojrozmˇerném prostoru osy budeme znaˇcit x, y, z. Body budeme oznaˇcovat velk´ ymi p´ısmeny a jejich souˇradnice x, y, z v hranat´ ych závorkách rozliˇs´ıme indexem bodu. Obecn´ y bod se souˇradnicemi budeme znaˇcit P = [x, y, z], souˇradnice konkrétn´ıho bodu rozliˇs´ıme indexy napˇr. A = [xA , yA , zA ], nˇekteˇr´ı autoˇri znak rovná se“ vynechávaj´ı. Vektory ” budeme znaˇcit tuˇcn´ ymi mal´ ymi p´ısmeny a jejich souˇradnice p´ısmeny s ˇc´ıseln´ ymi indexy v kulat´ ych závorkách, napˇr´ıklad u = (u1 , u2 , u3 ). Toto znaˇcen´ı je nejˇcastˇejˇs´ı, i kdyˇz logiˇctˇejˇs´ı by bylo psát u = (ux , uy , uz ), nebo u = (xu , yu , zu ).

Rovina v prostoru Body P v prostoru budeme urˇcovat souˇradnicemi P = [x, y, z]. Podobnˇe jako pˇr´ımku v rovinˇe i rovinu v prostoru m˚ uˇzeme urˇcit r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby: Definice 3.21. Rovina v prostoru je mnoˇzina bod˚ u P = [x, y, z] daná jedn´ım z následuj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u: (a) (obecn´ a rovnice roviny) {[x, y, z] ∈ R3 | a x + b y + c z + d = 0} , kde a, b, c, d ∈ R a alespoˇ n jedno z ˇc´ısel a, b, c je r˚ uzné od nuly, (b) (smˇ ernicov´ a rovnice roviny) {[x, y, z] ∈ R3 | z = k x + l y + q} , ˇ ıslo q je souˇradnice pr˚ kde k, l, q ∈ R. C´ useˇc´ıku pˇr´ımky s osou z a k, l jsou tzv. smˇ ernice, (c) (´ usekov´ a rovnice roviny) {[x, y] ∈ R2 |

x y z + + = 1}, p q r

kde p, q, r ̸= 0 jsou u ´seky, které rovina vyt´ıná“ na osách x, y, z, tj. pr˚ useˇc´ıky s osami x, y, z jsou po ” ˇradˇe body [p, 0, 0], [0, q, 0] a [0, 0, r], (d) (parametrick´ e rovnice roviny) {[x, y] ∈ R2 | x = xA + u1 s + v1 t, y = yA + u2 s + v2 t, z = zA + u3 s + v3 t s, t ∈ R} kde A = [xA , yA , zA ] je bod, kter´ ym rovina procház´ı, a u = (u1 , u2 , u3 ) a v = (v1 , v2 , v3 ) jsou dva nezávislé vektory leˇz´ıc´ı v dané rovinˇe. Tyto rovnice lze jednoduˇse zapsat vektorovˇ e: {P ∈ R3 : P = A + s u + y v

s, t ∈ R}.

Roviny oznaˇcujeme obvykle mal´ ymi ˇreck´ ymi p´ısmeny, napˇr. α, β, γ. Z definic je snadné odvodit následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.22. (Vlastnosti jednotliv´ ych z´ apis˚ u roviny) (a) Obecn´ a rovnice roviny (a) dovede popsat vˇsechny roviny v prostoru. Rovnice nen´ı jednoznaˇcná, kaˇzd´ y nenulov´ y násobek rovnice popisuje stejnou rovinu. Popis roviny bude jednoznaˇcn´ y, pˇridáme-li napˇr´ıklad podm´ınku a2 + b2 + c2 = 1 a a > 0, nebo b > 0 pro a = 0, nebo c > 0 pro a = b = 0. Koeficienty a, b, c urˇcuj´ı norm´ alov´ y vektor n = (a, b, c), smˇerov´ y vektor nen´ı urˇcen jednoznaˇcnˇe, v rovinˇe existuj´ı vˇzdy dva nezávislé smˇerové vektory u a v. V pˇr´ıpadˇe a = b = 0 je rovina kolmá na osu z a rovnobˇeˇzná s osami x, y. Pokud a = c = 0, rovina je kolmá na osu y a rovnobˇeˇzn´ a s osami x, z. Jestliˇze b = c = 0, rovina je kolmá na osu x a rovnobˇeˇzná s osami y, z. Pokud d = 0, pˇr´ımka procház´ı poˇcátkem O = [0, 0, 0]. Pokud a ̸= 0, rovina prot´ın´ a osu x v bodˇe [− ad , 0, 0], v pˇr´ıpadˇe b ̸= 0 rovina prot´ıná osu y v bodˇe [0, − db , 0] a jestliˇze c ̸= 0, rovina prot´ıná osu z v bodˇe [0, 0, − dc ]. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

13



(b) Smˇernicov´ a rovnice dovede popsat vˇsechny roviny kromˇe rovin rovnobˇeˇzn´ ych s osou z. Zápis roviny je jednoznaˇcn´ y, tj. r˚ uzné k, l, q urˇcuj´ı r˚ uzné roviny. Smˇerové vektory nejsou urˇceny jednoznaˇcnˇe, jsou to napˇr´ıklad vektory u = (1, 0, k) a v = (0, 1, l). Vektor n = (−k, −l, 1) je normálov´ y vektor roviny. Pˇr´ıpad k = l = 0 urˇcuje rovinu rovnobˇeˇznou s rovinou z = 0. ´ (c) Usekov´ a rovnice dovede popsat jen ty roviny, které prot´ınaj´ı vˇsechny tˇri osy. Protoˇze pr˚ useˇc´ıky s osami dávaj´ı parametry p, q, r, zápis je jednoznaˇcn´ y. Pˇrevedeme-li jedniˇcku z pravé strany na levou, máme tvar obecné rovnice. (d) Parametrické rovnice dovedou popsat vˇsechny roviny, roviny vˇsak maj´ı nekoneˇcnˇe mnoho zápis˚ u: mohou zaˇc´ınat z libovolného bodu roviny a mohou obsahovat libovolnou dvojici nezávisl´ ych vektor˚ u v rovinˇe. Jsou-li u a v nezávislé smˇerové vektory roviny, potom vektor u × v je normálov´ ym vektorem roviny. Máme-li normálov´ y vektor, jeho sloˇzky jsou koeficienty a, b, c v obecné rovnici roviny, pomoc´ı souˇradnic bodu roviny staˇc´ı dopoˇc´ıtat koeficient d. Pozn´ amky: Nauˇcte se pˇrev´ adˇet jeden druh zápisu roviny na ostatn´ı! Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe pˇr´ımky v rovinˇe jsme z parametrick´ ych rovnic urˇcovali ˇcásti pˇr´ımky omezen´ım mnoˇziny parametr˚ u, i zde v prostoru omezen´ım mnoˇziny parametr˚ u s, t m˚ uˇzeme urˇcit poloroviny, u ´hly, troj´ uheln´ıky, rovnobˇeˇzn´ıky atd. Zamˇen´ıme-li v obecné, smˇernicové i u ´sekové rovnici rovnost nerovnic´ı, dostáváme poloprostor. Napˇr´ıklad x + y + z + 1 ≥ 0 je poloprostor nad“ rovinou x + y + z + 1 = 0 obsahuj´ıc´ı poˇcátek. ” Pˇ r´ıklad 3.23. Ovˇeˇrte, ˇze body A = [1, 1, 3], B = [5, 4, 1], C = [2, 1, 6] neleˇz´ı na pˇr´ımce. Tyto body urˇcuj´ı rovinu, napiˇste vˇsechna jej´ı vyjádˇren´ı! Vyjádˇrete analyticky i troj´ uheln´ık ∆ABC a jeho tˇeˇziˇstˇe. −→ −→ ˇ sen´ı: Body A, B, C neleˇz´ı na pˇr´ımce, pokud vektory u = − Reˇ AB = (4, 3, −2) a v = AC = (1, 0, 3) jsou lineárnˇe nezávislé. Jejich vektorov´ y souˇcin u × v = (4, 3, −2) × (1, 0, 3) = (9, −14, −3) je nenulov´ y, proto vektory jsou nezávislé. Nav´ıc je to normálov´ y vektor n = (9, −14, −3) roviny urˇcené body A, B, C. Jej´ı rovnice je tedy 9 x − 14 y − 3 z + d = 0, koeficient d dopoˇc´ıtáme dosazen´ım souˇradnic napˇr. bodu A, odkud plyne d = 14. Obecná rovnice hledané roviny je tedy 9 x − 14 y − 3 z + 14 = 0. Jako kontrolu dosazen´ım souˇradnic bod˚ u do rovnice roviny lze ovˇeˇrit, ˇze i body B, C leˇz´ı v hledané rovinˇe. Z obecné rovnice plyne smˇernicov´ a rovnice i u ´seková rovnice z = 3x −

14 14 y+ , 3 3

x y z 14 + 1 + 14 = 1 . −9 3

Parametrick´ y popis m˚ uˇzeme z´ıskat pomoc´ı bodu A a vektor˚ u u a v: x = 1 + 4s + 1t,

y = 1 + 3s,

z = 3 − 2s + 3t

s, t ∈ R .

Pokud v parametrickém vyjádˇren´ı omez´ıme parametry s ≥ 0, t ≥ 0 a s + t ≤ 1, dostaneme troj´ uheln´ık ]. ∆ABC. Jeho tˇeˇziˇstˇe je opˇet pr˚ umˇer souˇradnic vrchol˚ u, tj. T = [ 38 , 2, 10 3

Pˇ r´ımka v prostoru Pˇr´ımku v prostoru nelze zapsat jednou rovnic´ı. Lze ji napsat bud’ parametricky s jedn´ım parametrem, nebo jako pr˚ useˇcnici dvou rovin. Definice 3.24. Pˇr´ımka v prostoru je mnoˇzina bod˚ u P = [x, y, z] daná jedn´ım z následuj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u: (a) (parametrick´ e rovnice pˇ r´ımky) {[x, y, z] ∈ R3 | x = xA + s1 t, y = yA + s2 t, z = zA + s3 t, t ∈ R},

(3.4)

kde A = [xA , yA , zA ] je bod, kter´ y leˇz´ı na zadané pˇr´ımce a s = (s1 , s2 , s3 ) je jej´ı smˇerov´ y vektor. Parametrické rovnice lze zapsat také vektorovˇ e: ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

{P ∈ R3 : P = A + t s ,

t ∈ R}. 14



(b) (kanonick´ y tvar rovnic pˇ r´ımky) { [x, y, z] ∈ R3

} x − xA y − yA z − zA , = = s1 s2 s3

(3.5)

kde A = [xA , yA , zA ] je bod pˇr´ımky a s = (s1 , s2 , s3 ) jej´ı smˇerov´ y vektor s nenulov´ ymi sloˇzkami. (c) (pr˚ unik dvou r˚ uznobˇ eˇ zn´ ych rovin) {[x, y, z] ∈ R3 | a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 ,

a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0} ,

(3.6)

kde ai , bi , ci , di ∈ R a vektory (a1 , b1 , c1 ) a (a2 , b2 , c2 ) jsou lineárnˇe nezávislé. Z definic lze snadno odvodit následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.25. (Vlastnosti jednotliv´ ych z´ apis˚ u pˇ r´ımek) (a) Parametrické rovnice pˇr´ımky (a) dovedou popsat kaˇzdou pˇr´ımku. Rovnice nejsou jednoznaˇcné, bodem A m˚ uˇze b´ yt libovoln´ y bod pˇr´ımky, také kaˇzd´ y nenulov´ y násobek smˇerového vektoru urˇcuje stejnou pˇr´ımku. (b) Kanonick´ y tvar (b) rovnic pˇr´ımky obsahuje vlastnˇe tˇri rovnice, jen dvˇe z nich jsou vˇsak nezávislé. Zápis dovede popsat jen ty pˇr´ımky, jej´ıchˇz smˇerov´ y vektor má vˇsechny sloˇzky nenulové, tj. nen´ı rovnobˇeˇzn´ y s ˇzádnou z rovin x = 0, y = 0 ani z = 0. Zápis nen´ı jednoznaˇcn´ y, kaˇzd´ y nenulov´ y násobek rovnic popisuje stejnou pˇr´ımku. Poloˇz´ıme-li kaˇzdou stranu“ rovnic (3.5) rovnu parametru t ” x − xA y − yA z − zA = t, = t, = t, s1 s2 s3 jednoduchou u ´pravou z´ısk´ ame parametrické rovnice pˇr´ımky (3.4). (c) Kaˇzdou pˇr´ımku lze zadat jako pr˚ useˇcnici dvou rovin, zápis ovˇsem nen´ı jednoznaˇcn´ y, kaˇzdou pˇr´ımkou procház´ı nekoneˇcnˇe mnoho rovin, lze z nich zvolit libovolnou dvojici r˚ uzn´ ych rovin. Koeficienty ai , bi , ci obecn´ ych rovnic tˇechto rovin tvoˇr´ı souˇradnice normál tˇechto rovin, jejich vektorov´ y souˇcin (a1 , b1 , c1 ) × (a2 , b2 , c2 ) dáv´ a smˇerov´ y vektor pˇr´ımky.

Pˇ r´ıklad 3.26. Zapiˇste pˇr´ımku proch´ azej´ıc´ı body A = [1, 2, 3], B = [4, −2, 5] vˇsemi uveden´ ymi zp˚ usoby. ˇ sen´ı: Body urˇcuj´ı smˇerov´ Reˇ y vektor s = (3, −4, 2), kter´ y s bodem A dává parametrické rovnice x = 1 + 3t,

y = 2 − 4t,

z = 3 + 2t,

t ∈ R.

Protoˇze smˇerov´ y vektor s m´ a vˇsechny sloˇzky nenulové, vyjádˇren´ım parametru t dostaneme kanonick´ y tvar y−2 z−3 x−1 = = . 3 −4 2 Pro urˇcen´ı dvojice rovin, jejichˇz pr˚ useˇcnice je naˇse pˇr´ımka, máme mnoho moˇznost´ı. Napˇr´ıklad u ´pravou prvn´ı“ ” a druhé“ rovnosti v pˇredchoz´ım kanonickém tvaru dostaneme: 4 x + 3 y − 10 = 0 a y + 2 z − 8 = 0. ”

Vz´ ajemn´ a poloha bodu, pˇ r´ımky a roviny v prostoru −−→ Vzdálenost dvou bod˚ u A = [xA , yA , zA ] a B = [xB , yB , zB ] je velikost vektoru AB, tj. √ v = |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .

(3.7)

Zda bod leˇz´ı na pˇr´ımce nebo v rovinˇe lze ovˇeˇrit dosazen´ım jeho souˇradnic do pˇr´ısluˇsn´ ych rovnic.


15



Pˇ r´ıklad 3.27. Urˇcete vzdálenost bodu A = [xA , yA , zA ] od roviny α dané rovnic´ı a x + b y + c z + d = 0. ˇ sen´ı: Vzdálenost bodu A od roviny α je jeho vzdálenost od pr˚ Reˇ useˇc´ıku P roviny α a pˇr´ımky p procházej´ıc´ı bodem A, která je kolm´ a k rovinˇe α. Protoˇze (a, b, c) je vektor kolm´ y k rovinˇe α, souˇradnice bodu pˇr´ımky p jsou x = xA + a t, y = yA + b t, z = zA + c t. Dosazen´ı do rovnice roviny dává rovnici pro parametr t pr˚ useˇc´ıku P : a x A + b y A + c zA + d a(xA + a t) + b(yA + b t) + c(zA + c t) + d = 0 , ˇreˇsen´ım je t=− . a2 + b2 + c 2 √ −→ Vektor AP má souˇradnice (at, bt, ct). Hledaná vzdálenost podle (3.7) je v = |AP | = (a2 + b2 + c2 )t2 . Protoˇze √ t2 = |t|, dosazen´ım za t dostáv´ ame |a xA + b yA + c zA + d| √ v= . (3.8) a2 + b2 + c2 Pˇ r´ıklad 3.28. Urˇcete vzdálenost v bodu A od pˇr´ımky p dané bodem B a smˇerov´ ym vektorem s. Vzdálenost v lze spoˇc´ıtat podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe. Nap´ıˇseme rovnici roviny α procházej´ıc´ı bodem A a kolmé k pˇr´ımce p a urˇc´ıme pr˚ useˇc´ık P roviny α a pˇr´ımky p. Hledaná vzdálenost je vzdálenost bod˚ u A a P. Ukáˇzeme si jiné ˇreˇsen´ı, které vyuˇz´ıv´ a vlastnosti vektorového souˇcinu vektor˚ u. −→ ˇ sen´ı: Plocha S rovnobˇeˇzn´ıku urˇceného vektorem u = − Reˇ AB a vektorem s je rovna souˇcinu délky jeho strany, kterou je vektor s a v´ yˇsky na tuto stranu v, která je rovna vzdálenosti bodu A od pˇr´ımky p. Plocha S je vˇsak také rovna velikosti vektorového souˇcinu vektor˚ u u a s. Dostáváme tak rovnost S = |s| · v = |u × s| odkud plyne v=

|u × s| . |s|

(3.9)

Definice 3.29. Dvˇe roviny v prostoru mohou b´ yt (a) r˚ uznobˇ eˇ zn´ e, pokud se prot´ınaj´ı v jedné pˇr´ımce. Jejich normálové vektory jsou nezávislé. (b) rovnobˇ eˇ zn´ e, pokud nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod. Jejich normálové vektory jsou závislé. (c) totoˇ zn´ e, pokud maj´ı vˇsechny body spoleˇcné. O vzájemné poloze dvou rovin vypov´ıd´ a následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.30. (Vz´ ajemn´ a poloha dvou rovin) Uvaˇzujme dvˇe roviny α1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 a α2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 s normálov´ ymi vektory n1 = (a1 , b1 , c1 ) a n2 = (a2 , b2 , c2 ). (a) Pokud vektory n1 a n2 jsou nezávislé, tj. n1 × n2 ̸= 0, roviny jsou r˚ uznobˇeˇzné. Roviny sv´ıraj´ı u ´hel φ, kter´ y je roven u ´hlu jejich normál n1 a n2 (pokud by u ´hel φ byl tup´ y, vezmeme u ´hel vektor˚ u n1 a −n2 ). Tento u ´hel lze urˇcit z rovnost´ı: cos(φ) =

|n1 · n2 | , |n1 | · |n2 |

nebo

sin(φ) =

|n1 × n2 | . |n1 | · |n2 |

Pr˚ useˇcnice p = α1 ∩ α2 má smˇerov´ y vektor s = n1 × n2 . (b) Necht’ vektory n1 a n2 jsou závislé, tj. existuje k ̸= 0, ˇze n1 = kn2 . Potom rovnice m˚ uˇzeme pˇrepsat ve tvaru se stejn´ ymi koeficienty a, b, c: α1 : a x + b y + c z + d1 = 0 a α2 : a x + b y + c z + d2 = 0. Pokud nav´ıc d1 = d2 , roviny jsou totoˇzné. (c) Necht’ vektory n1 a n2 jsou závislé a roviny jsou zapsány ve tvaru αi : a x + b y + c z + di = 0. Pokud nav´ıc d1 ̸= d2 , roviny jsou rovnobˇeˇzné a jejich vzdálenost v je |d1 − d2 | v=√ . a2 + b2 + c2


16



Vˇ eta 3.31. (Vz´ ajemn´ a poloha roviny a pˇ r´ımky) Bud’ α rovina daná rovnic´ı a x + b y + c z + d = 0 s normálou n = (a, b, c) a pˇr´ımka p dan´ a bodem A a smˇerov´ ym vektorem s. Potom nastane jedna ze situac´ı: (a) Pˇr´ımka prot´ın´ a rovinu v jednom bodˇe. Tato situace nastane, pokud s · n ̸= 0. Odchylka pˇr´ımky p a roviny α je velikost u ´hlu φ, kter´ y sv´ırá smˇerov´ y vektor pˇr´ımky s a jeho kolm´ y pr˚ umˇet do roviny α. Je to doplnˇek u ´hlu smˇerového vektoru pˇr´ımky a normálového vektoru roviny do pravého u ´hlu. Lze ho urˇcit z rovnosti sin(φ) = |n × s|/(|n| · |s|). (b) Pˇr´ımka je rovnobˇeˇzn´ a s rovinou, tj. nemaj´ı ˇzádn´ y spoleˇcn´ y bod. Tato situace nastane, pokud s · n = 0 a bod A neleˇz´ı v rovinˇe α. V tomto pˇr´ıpadˇe je vzdálenost pˇr´ımky p od roviny α rovna vzdálenosti kteréhokoliv bodu pˇr´ımky (také bodu A) od roviny α a je proto dána vztahem (3.8). (c) Pˇr´ımka leˇz´ı v rovinˇe. Situace nastane, pokud s · n = 0 a bod A leˇz´ı v rovinˇe α. Pozn´ amky: Ve fyzice, zvláˇstˇe v optice, se zavád´ı u ´hel dopadu paprsku (pˇr´ımky) na rovinu. Je to u ´hel mezi smˇerov´ ym vektorem s pˇr´ımky a normálov´ ym vektorem n roviny (bereme u ´hel mezi 0 a prav´ ym u ´hlem. Speciálnˇe pˇr´ımka kolmá na rovinu dopadá“ pod u ´hlem 0, jej´ı odchylka od roviny je ale prav´ yu ´hel. ” Definice 3.32. Dvˇe pˇr´ımky v prostoru mohou b´ yt: (a) (b) (c) (d)

r˚ uznobˇ eˇ zn´ e, pokud maj´ı spoleˇcn´ y právˇe jeden bod (jejich smˇerové vektory jsou nezávislé), mimobˇ eˇ zn´ e, pokud nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod a jejich smˇerové vektory jsou nezávislé, rovnobˇ eˇ zn´ e, pokud nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod a jejich smˇerové vektory jsou závislé. totoˇ zn´ e (spl´ yvaj´ıc´ı), pokud maj´ı vˇsechny body spoleˇcné.

Vˇ eta 3.33. (Vz´ ajemn´ a poloha dvou pˇ r´ımek) Uvaˇzujme pˇr´ımku p urˇcenou bodem A a smˇerov´ ym vektorem −−→ u a pˇr´ımku q urˇcenou bodem B a smˇerov´ ym vektorem v. Oznaˇcme nav´ıc w = AB. Potom plat´ı: (a) Pˇr´ımky jsou r˚ uznobˇeˇzné, pokud vektory u a v jsou nezávislé, tj. u × v ̸= 0, a vektory u, v, w jsou lineárnˇe závislé, tj. sm´ıˇsen´ y souˇcin (uvw) = 0 . (b) Pˇr´ımky jsou mimobˇeˇzné, pokud vektory u, v a w jsou lineárnˇe nezávislé. (c) Pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzné, pokud vektory u a v jsou závislé, tj.u × v = 0, bod A neleˇz´ı na pˇr´ımce q, −−→ nebo vektor AB × u ̸= 0. ´ Pozn´ amky: Uhel rovnobˇeˇzn´ ych nebo mimobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek je u ´hel, kter´ y sv´ıraj´ı jejich smˇerové vektory (pokud by tento u ´hel byl tup´ y, tj. vˇetˇs´ı neˇz prav´ yu ´hel, bereme jeho doplnˇek do pˇr´ımého u ´hlu, kter´ y uˇz je ostr´ y). Lze jej spoˇc´ıtat pomoc´ı vzorce (3.2). Vˇ eta 3.34. (Vzd´ alenost mimobˇ eˇ zek) Uvaˇzujme pˇr´ımky p, q urˇcené nezávisl´ ymi smˇerov´ ymi vektory u, v −−→ a body A, B. Oznaˇcme w = AB jako v pˇredchoz´ı Vˇetˇe 3.33. Potom vzdálenost d mimobˇeˇzek je rovna d=

|(uvw)| , |u × v|

(3.10)

kde (uvw) = |u × v · w je sm´ıˇsen´ y souˇcin, viz Definici 3.12. Vzorec lze odvodit pomoc´ı osy mimobˇeˇzek, tj. kolmice na obˇe pˇr´ımky p a q prot´ınaj´ıc´ı je v pr˚ useˇc´ıc´ıch P a Q. Smˇerov´ y vektor osy je u × v. Uvedeme vˇsak jednoduˇsˇs´ı odvozen´ı pomoc´ı sm´ıˇseného souˇcinu. D˚ ukaz. Vektory u, v a w urˇcuj´ı rovnobˇeˇznostˇen, jehoˇz objem V dává právˇe sm´ıˇsen´ y souˇcin: V = |(uvw)|. Objem rovnobˇeˇznostˇenu je vˇsak roven V = S · d, kde S je velikost plochy základny, kterou je rovnobˇeˇzn´ık urˇcen´ y vektory u a v, a d v´ yˇska rovnobˇeˇznostˇenu, která je rovna hledané vzdálenosti mimobˇeˇzek. Vektorov´ y souˇcin u × v má velikost plochy základny rovnobˇeˇznostˇenu, tj. S = |u × v|. Plat´ı tedy V = S · d = |u × v| · d. Porovnán´ım obou vyjádˇren´ı objemu V dostáváme rovnost |(uvw)| = |u × v| · d, odkud plyne vzorec (3.10).


17


3D. Kvadratické kˇrivky

´ kr ˇivky 3D. Kvadraticke Dosud jsme se zab´ yvali mnoˇzinami, které byly dány lineárn´ımi rovnicemi, pˇr´ıpadnˇe nerovnicemi. Nyn´ı se budeme zab´ yvat kˇrivkami v rovinˇe, které jsou dány rovnicemi pro souˇradnice x, y obsahuj´ıc´ı mimo lineárn´ı ˇcleny x a y i nˇekteré z kvadratick´ ych ˇclen˚ u x2 , xy a y 2 . Vˇetˇsina kvadratick´ ych kˇrivek se naz´ yvá kuˇzeloseˇcky, protoˇze vznikaj´ı pˇri ˇrezech“ ( sek´ an´ı“) kuˇzelové plochy rovinou. ” ” Nejprve probereme jednotlivé kuˇzeloseˇcky a odvod´ıme jejich rovnice. Potom si ukáˇzeme, jak tyto kˇrivky vznikaj´ı pˇri sekán´ı“ kuˇzelové plochy a nakonec probereme vˇsechny kvadratické kˇrivky. ”

Definice a analytick´ y popis kuˇ zeloseˇ cek Mezi základn´ı kuˇzeloseˇcky patˇr´ı kruˇznice, elipsa, parabola a hyperbola. Odvod´ıme jejich rovnice v tzv. základn´ım tvaru, kdy stˇred (pokud existuje) je v poˇcátku a osa symetrie je rovnobˇeˇzná se souˇradnou osou. Posunut´ım a otoˇcen´ım bychom dostali obecnou kuˇzeloseˇcku. Definice 3.35. (Parabola) Bud’ d pˇr´ımka a F bod v rovinˇe, kter´ y na pˇr´ımce d neleˇz´ı. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı stejnou vzdálenost od pˇr´ımky d a od bodu F se naz´ yvá parabola urˇcená ˇ r´ıdic´ı pˇ r´ımkou d a ohniskem F . Pˇr´ımka kolm´ a na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku d procházej´ıc´ı ohniskem F je osa o paraboly. Pr˚ useˇc´ık V paraboly a jej´ı osy o se naz´ yv´ a vrchol paraboly a vzdálenost p ohniska F od pˇr´ımky d je tzv. parametr paraboly, viz Obr. 3.10.

F d V = [m, n] |DF | = p P = [x, y]

– ohnisko paraboly – ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka paraboly – vrchol paraboly – parametr paraboly – bod paraboly.

Obr. 3.10: K definici paraboly. Odvod’me rovnici paraboly otevˇrené vpravo s vrcholem v poˇcátku, osou symetrie x a parametrem p. Potom vrchol V = [0, 0], ohnisko F = [ p2 , 0] a ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka d je dána rovnic´ı x = − p2 . Vzdálenost bodu P = [x, y] od √ ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky je x + p2 , jeho vzdálenost od ohniska je (x − p2 )2 + y 2 . Umocnˇen´ı rovnosti obou vzdálenost´ı dává rovnici x2 + px + 14 p2 = x2 − px + 14 p2 + y 2 , odkud plyne rovnice paraboly 2px = y 2 . Nahrad´ıme-li v rovnici x v´ yrazem x − m a y v´ yrazem y − n, dostáváme parabolu s vrcholem V = [m, n], tj. parabolu na Obr. 3.10 s rovnic´ı 2p(x − m) = (y − n)2 . Zmˇenou znaménka u x dostaneme parabolu otevˇrenou vlevo. Zámˇenou souˇradnic x a y pak paraboly otevˇrené nahoru nebo dol˚ u. Vˇ eta 3.36. (Rovnice paraboly) Paraboly s vodorovnou“ osou symetrie a parametrem p maj´ı rovnice ” 2px = y 2 ,

2px = −y 2 ,

2p(x − m) = (y − n)2 ,

2p(x − m) = −(y − n)2 ,

pˇriˇcemˇz prvn´ı dvˇe maj´ı vrchol v poˇc´ atku, dalˇs´ı v bodˇe [m, n], liché jsou otevˇreny vpravo, sudé vlevo. Paraboly se svislou“ osou symetrie a parametrem p maj´ı rovnice ” 2py = x2 ,

2py = −x2 ,

2p(y − n) = (x − m)2 ,

2p(y − n) = −(x − m)2 ,

pˇriˇcemˇz prvn´ı dvˇe maj´ı vrchol v poˇc´ atku, dalˇs´ı dvˇe v bodˇe [m, n], liché jsou otevˇreny nahoru, sudé dol˚ u. Mezi kuˇzeloseˇcky patˇr´ı i kruˇznice, jej´ıˇz rovnici jistˇe znáte jiˇz ze stˇredn´ı ˇskoly: Definice 3.37. (Kruˇ znice) Bud’ S = [m, n] bod v rovinˇe a r > 0. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, jejichˇz vzdálenost od stˇredu S je rovna r, se naz´ yv´ a kruˇ znice se stˇ redem S a polomˇ erem r, viz Obr. 3.11. Rovnice (x − m)2 + (y − n)2 = r2 . se naz´ yvá stˇredov´ a rovnice kruˇznice. Parametrické rovnice této kruˇznice jsou napˇr´ıklad x = m + r cos(t) , ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

y = n + r cos(t)

t ∈ ⟨0, 2 π) . 18



S = [m, n] r P = [x, y]

– stˇred kruˇznice – polomˇer kruˇznice – bod kruˇznice.

Obr. 3.11: K definici kruˇznice.

Definice 3.38. (Elipsa) Bud’te E a F body v rovinˇe vzdálené od sebe 2e a a parametr a > e. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u P , jejichˇz souˇcet vzdálenost´ı od bod˚ u E a F je roven 2a, tj. |EP | + |F P | = 2a , se naz´ yvá elipsa a body E a F ohniska. Stˇred S u ´seˇcky EF je stˇred elipsy. Pr˚ useˇc´ıky elipsy a tzv. hlavn´ı osy elipsy, tj. pˇr´ımky urˇcené ohnisky E a F , oznaˇcme A, B. Pr˚ useˇc´ıky elipsy a vedlejˇs´ı osy, tj. pˇr´ımky procházej´ıc´ı stˇredem S kolmé na hlavn´ı osu oznaˇcme C, D, viz Obr. 3.12. Délky |AS| = |BS| = a, |CS| = |DS| = b a |ES| = |F S| = e se naz´ yvaj´ı po ˇradˇe hlavn´ı poloosa, vedlejˇs´ı poloosa a excentricita elipsy.

A, B, C, D E, F S = [m, n] a, b, √ a > b e = a2 − b2 P = [x, y]

– – – – – –

vrcholy elipsy ohniska elipsy stˇred elipsy hlavn´ı a vedlejˇs´ı poloosa elipsy excentricita elipsy bod elipsy

Obr. 3.12: K definici elipsy. Pozn´ amky: (a) Zˇrejmˇe plat´ı |EC| = |F C| = |ED| = |F D| = a. (b) Podle Pythagorovy vˇety plat´ı b2 + e2 = a2 . (c) V pˇr´ıpadˇe, kdy a = b, tj. e = 0 a E = F , se z elipsy stává kruˇznice. Odvozen´ı rovnice elipsy sice dá trochu práce, je vˇsak zaj´ımavé. Pˇ r´ıklad 3.39. Odvod’te rovnici elipsy se stˇredem v poˇcátku, ohnisky na ose x a poloosami a, b. √ ˇ sen´ı: Excentricita e = a2 − b2 a ohniska E = [−e, 0] a F = [e, 0]. Elipsa je mnoˇzina bod˚ Reˇ u P = [x, y] splˇ nuj´ıc´ıch podm´ınku |EP | + |F P | = 2a. Vyjádˇr´ıme-li vzdálenosti pomoc´ı souˇradnic, dostáváme rovnici: √ √ (x + e)2 + y 2 + (x − e)2 + y 2 = 2a . Abychom odstranili odmocniny, obˇe strany rovnic, které jsou kladné, umocn´ıme: √ √ (x + e)2 + y 2 + (x − e)2 + y 2 + 2 (x + e)2 + y 2 (x − e)2 + y 2 = 4a2 . Na levé stranˇe vyuˇzijeme rovnosti (x + e)2 + (x − e)2 = 2(x2 + e2 ) a rovnici vydˇel´ıme 2. Souˇcin odmocnin necháme na levé stranˇe, ostatn´ı ˇcleny pˇrevedeme na pravou stranu, kde vyuˇzijeme rovnosti e2 = a2 − b2 , a obˇe strany opˇet umocn´ıme [(x + e)2 + y 2 ][(x − e)2 + y 2 ] = [(a2 + b2 ) − (x2 + y 2 )]2 . Souˇciny na obou stranách roznásob´ıme (x + e)2 (x − e)2 + [(x + e)2 + (x − e)2 ]y 2 + y 4 = (a2 + b2 )2 + (x2 + y 2 )2 − 2(a2 + b2 )(x2 + y 2 ) . ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

19



Uprav´ıme levou stranu. Prvn´ı ˇclen (x+e)2 (x−e)2 = (x2 −e2 )2 = x4 −2x2 e2 +e4 = x4 +(a2 −b2 )2 −2(a2 −b2 )x2 , ˇ druh´ y ˇclen [(x + e)2 + (x − e)2 ]y 2 = 2(2x2 + 2e2 )y 2 = 2x2 y 2 + 2(a2 − b2 )y 2 . Cleny x4 + 2x2 y 2 + y 4 dávaj´ı ˇctverec 2 2 2 (x + y ) , kter´ y je i na pravé stranˇe. Vˇsechny ˇcleny bez x, y dáme na pravou stranu, ostatn´ı na levou: −2(a2 − b2 )x2 + 2(a2 − b2 )y 2 + 2(a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = (a2 + b2 )2 − (a2 − b2 )2 Roznásoben´ım dostáv´ ame 4b2 x2 + 4a2 y 2 = 4a2 b2 , odkud vydˇelen´ım 4a2 b2 plyne známá rovnice x2 y2 + = 1. a2 b2 Vˇsimnˇete si, ˇze rovnice je symetrick´ a: prohozen´ım poloos a, b a promˇenn´ ych x, y se rovnice nemˇen´ı. Elipsa s poloosami a < b, která má ohniska E, F na ose y a souˇcet vzdálenost´ı |EP | + |F P | = 2b vede na stejnou rovnici. Jestliˇze x nahrad´ıme x − m a m´ısto y d´ ame y − n dostaneme elipsu se stˇredem S = [m, n]: Vˇ eta 3.40. (Rovnice elipsy) Elipsa se stˇredem S = [m, n] a poloosami a, b s osami symetrie rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicov´ ymi osami je popsána tzv. stˇredovou rovnic´ı elipsy (y − n)2 (x − m)2 + = 1. a2 b2

(3.11)

a“ ve vodorovném“ smˇeru osy x a má ohniska [m − e, n] a [m + e, n], V pˇr´ıpadˇe a > b je elipsa protáhl´ ” ” kde pro e2 = a2 − b2 . V pˇr´ıpadˇe a < b je elipsa protáhlá“ ve svislém“ smˇeru x a má ohniska [m, n − e] a ” ” 2 2 2 [m, n + e], kde pro e = b − a . V pˇr´ıpadˇe rovnosti a = b dostáváme kruˇznici. Parametrické rovnice elipsy zn´ı x = m + a cos t ,

y = n + b sin t t ∈ ⟨0, 2 π) .

Pozn´ amky: Dosazen´ım x, y z parametrick´ ych rovnic do rovnice (3.11) dostáváme rovnost cos2 (t) + sin2 (t) = 1 . Definice 3.41. (Hyperbola) Bud’te E, F dva r˚ uzné body v rovinˇe a a kladné ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz polovina vzdálenosti bod˚ u E, F . Mnoˇzina vˇsech bod˚ u jejichˇz rozd´ıl vzdálenost´ı od bod˚ u E a F je 2a, tj. | |EP | − |F P | | = 2a , ´seˇcky EF je stˇred hyperboly, pˇr´ımka urˇcená se naz´ yvá hyperbola a body E, F ohniska hyperboly. Stˇred u ohnisky je hlavn´ı osa symetrie a jej´ı pr˚ useˇc´ıky A, B s hyperbolou jsou vrcholy. Pˇr´ımka kolmá na hlavn´ı osu a procházej´ıc´ı stˇredem S je vedlejˇs´ı osa symetrie. Vzd´ yvá hlavn´ı poloosa, √ alenost |AS| = |BS| = a se naz´ vzdálenost |ES| = |F S| = e excentricita a ˇc´ıslo b = e2 − a2 vedlejˇs´ı poloosa hyperboly, viz Obr. 3.13.

E, F S = [m, n] a, b P, P ′ √ e = a2 + b2

– – – –

ohniska hyperboly stˇred hyperboly hlavn´ı a vedlejˇs´ı poloosa body hyperboly

– excentricita hyperboly

Obr. 3.13: K definici hyperboly. Pozn´ amky: (a) Naproti elipse, která je souvislá a omezená, hyperbola se skládá ze dvou ˇcást´ı a obˇe jsou neomezené, pˇri vzdalován´ı od vrchol˚ u se vˇetve bl´ıˇz´ı k pˇr´ımkám, tzv. asymptotám. (b) Obˇe poloosy a, b jsou menˇs´ı neˇz excentricita e, pro a > b je hyperbola uˇzˇs´ı“, leˇz´ı v ostrém u ´hlu asymptot, ” pro a < b je v´ıc rozevˇren´ a“, leˇz´ı v tupém u ´hlu asymptot. ” (c) Pokud hlavn´ı osa symetrie je rovnobˇeˇzná s osou x, smˇernice asymptot je ± ab . (d) Pokud a = 0, tj. |EP | − |F P | = 0, dostáváme pˇr´ımku, osu u ´seˇcky EF .


20



Odvozen´ı rovnice hyperboly dá také trochu práce, ale je podobné odvozen´ı elipsy. Pˇ r´ıklad 3.42. Odvod’te rovnici hyperboly se stˇredem v poˇcátku, ohnisky na ose x a poloosami a, b. ˇ sen´ı: Excentricita je e = Reˇ coˇz dává rovnici:

√ a2 + b2 a ohniska E = [−e, 0] a F = [e, 0]. Podle definice | |EP | − |F P | | = 2a, √ √ (x + e)2 + y 2 − (x − e)2 + y 2 = 2a .

Abychom odstranili odmocniny, obˇe strany rovnic, které jsou kladné, umocn´ıme: √ √ (x + e)2 + y 2 + (x − e)2 + y 2 − 2 (x + e)2 + y 2 (x − e)2 + y 2 = 4a2 . Vyuˇzijeme rovnost (x + e)2 + (x − e)2 = 2(x2 + e2 ) a rovnici vydˇel´ıme 2. Souˇcin odmocnin dáme na pravou stranu, ˇclen 2a2 pˇrevedeme na levou stranu vyuˇzijeme rovnosti e2 = a2 + b2 a opˇet obˇe strany umocn´ıme [(x2 + y 2 ) − (a2 − b2 )]2 = [(x + e)2 + y 2 ][(x − e)2 + y 2 ] . Souˇciny na obou stranách roznásob´ıme a pravou stranu uprav´ıme podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe elipsy. Jestliˇze ˇcleny bez x, y dáme na pravou stranu, ostatn´ı na levou, po u ´pravˇe dostaneme 4b2 x2 − 4a2 y 2 = 4a2 b2 odkud plyne rovnice x2 y2 − 2 = 1. 2 a b Prohozen´ım poloos a, b a promˇenn´ ych x, y dostaneme hyperbolu rovnici −x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Jestliˇze x nahrad´ıme x − m a m´ısto y d´ ame y − n dostaneme hyperbolu se stˇredem S = [m, n]. Vˇ eta 3.43. (Rovnice √ hyperboly) Hyperbola se stˇredem S = [m, n], poloosami a, b > 0, ohnisky [m − e, n] a [m + e, n], kde e = a2 + b2 a vodorovnou“ hlavn´ı osou y = n, tj. vˇetvemi otevˇren´ ymi“ vlevo a vpravo, ” ” je popsána tzv. stˇredovou rovnic´ı hyperboly (x − m)2 (y − n)2 − = 1. 2 a b2

(3.12)

V pˇr´ıpadˇe hlavn´ı osy x = m a ohnisky [m, n − e] a [m, n + e], tj. vˇetvemi otevˇren´ ymi“ dol˚ u a nahoru je ” hyperbola popsána rovnic´ı (x − m)2 (y − n)2 (3.13) − = −1 . 2 a b2 V obou pˇr´ıpadech asymptoty hyperboly jsou dány rovnic´ı (x − m)2 (y − n)2 − = 0. 2 a b2

(3.14)

Pozn´ amky: Parametrické rovnice hyperboly obsahuj´ı tzv. hyperbolické funkce hyperbolick´ y kosinus cosh a hyperbolick´ y sinus sinh definovan´ y pomoc´ı exponenciáln´ı funkce exp(x) = ex cosh(t) =

1 (exp(t) + exp(−t)) , 2

1 sinh(t) (exp(t) + exp(−t)) , 2

v pˇr´ıpadˇe prvn´ı hyperboly s hlavn´ı osou y = n parametrická rovnice levé vˇetve je x = m − a cosh(t) ,

y = n + b sinh(t) ,

t ∈ (−∞, ∞) ,

x = m + a cosh(t) ,

y = n + b sinh(t) ,

t ∈ (−∞, ∞) .

a pravé vˇetve Parametrick´ y popis plyne z rovnosti cosh2 (t) − sinh2 (t) = 1, kterou lze snadno ovˇeˇrit v´ ypoˇctem. Vˇ eta 3.44. Rovnice xy = c2 popisuje pootoˇcenou“ hyperbolu s asymptotami x = 0 a y = 0, která má ” vˇetve v prvn´ım a tˇret´ım kvadrantu a vrcholy [c, c] a [−c, −c]. Rovnice xy = −c2 popisuje hyperbolu s vˇetvemi ve druhém a ˇctvrtém kvadrantu, vrcholy [−c, c] a [c, −c] a stejn´ ymi asymptotami x = 0 a y = 0.


21



Jsou seˇ cny kuˇ zelov´ e plochy kuˇ zeloseˇ cky? Tento problém jako cviˇcen´ı vyˇreˇs´ıme pomoc´ı analytické geometrie. Uvaˇzujme kuˇzelovou plochu danou rovnic´ı c2 (x2 + y 2 ) = z 2 , (c > 0). Je to rotaˇcn´ı plocha, která vznikne rotac´ı pˇr´ımky z = cy, x = 0 kolem osy z. Proto bez u ´jmy na obecnosti m˚ uˇzeme uvaˇzovat jenom roviny rovnobˇeˇzné s osou x, tj. z = ky + q pˇr´ıpadnˇe y = q. Dosazen´ım rovnice roviny do rovnice kuˇzelové plochy dostaneme rovnice kuˇzeloseˇcky, pˇr´ıpadnˇe jej´ıho pr˚ umˇetu do roviny x, y nebo x, z. (a) Rovina z = q kolm´ a na osu z. Dostáváme c2 (x2 + y 2 ) = q 2 , coˇz je rovnice kruˇ znice, v pˇr´ıpadˇe q = 0 kruˇznice degenerovan´ a v bod [0, 0]. (b) Rovina z = ky + q, kde k √ splˇ nuje 0 < |k| < c. Dostáváme rovnici c2 x2 + (c2 − k 2 )y 2 − 2kqy = q 2 , coˇz je elipsa s poloosami c a c2 − k 2 a v pˇr´ıpadˇe q = 0 bod. (c) Rovina z = ky + q, kde k splˇ nuje |k| = c. Dostáváme rovnici c2 x2 − 2kqy = q 2 , coˇz je parabola, v pˇr´ıpadˇe q = 0 pˇ r´ımka. (d) Rovina z = ky + q, kde k splˇ nuje |k| > c, pˇr´ıpadnˇe y = q. Dostáváme rovnici c2 x2 − (k 2 − c2 )y 2 − 2kqy = q 2 ,

pˇr´ıpadnˇe

c2 x2 − z 2 = −c2 q 2

coˇz je v obou pˇr´ıpadech hyperbola, v pˇr´ıpadˇe q = 0 dvojice r˚ uznobˇ eˇ zek.

Kvadratick´ e kˇ rivky V pˇredchoz´ı ˇc´ asti jsme hledali analytické vyjádˇren´ı kuˇzeloseˇcek v základn´ım tvaru, tj. s osou rovnobˇeˇznou se souˇradnou osou. V této ˇc´ asti pˇristoup´ıme k problému opaˇcnˇe. Budeme zkoumat jakou kˇrivku urˇcuje rovnice s obecn´ ym kvadratick´ ym polynomem R(x, y) ≡ A x2 + B xy + C y 2 + a x + b y = q ,

(3.15)

kde koeficienty jsou reáln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz alespoˇ n jeden z koeficient˚ u A, B, C je nenulov´ y, jinak by polynom nebyl kvadratick´ y. Protoˇze rovnice m˚ uˇze urˇcovat kuˇzeloseˇcku pootoˇcenou“, pod´ıváme se, jak se mˇen´ı rovnice u ´tvaru pˇri jeho ” rotaci nebo posunut´ı. Tyto transformace zachovávaj´ı shodnost mnoˇziny, tj. tvar ani velikost mnoˇziny bod˚ u se nemˇen´ı. Pokud chceme mnoˇzinu danou rovnic´ı R(x, y) = 0 posunout o vektor (m, n), do rovnice dosad´ıme souˇradnice o tento vektor odeˇctené“, tj. poloˇz´ıme R(x − m, y − n) = 0. ” Napˇr´ıklad, je-li R(x, y) := x = 0, potom R(x − m, y − n) = x − m = 0, odkud plyne x = 0. Podobnˇe, chceme-li u ´tvar otoˇcit o u ´hel α, do rovnice R(x, y) = 0 mus´ıme dosadit souˇradnice bodu otoˇceného o u ´hel −α. Vˇ eta 3.45. (Posunut´ı a otoˇ cen´ı mnoˇ ziny) Bud’ M mnoˇzina v rovinˇe popsána jednou (nebo nˇekolika rovnicemi, pˇr´ıpadnˇe nerovnicemi) typu R(x, y) = 0 s promˇenn´ ymi x, y. (a) Nahrad´ıme-li v rovnic´ıch R(x, y) = 0 kaˇzdé x v´ yrazem x − m a kaˇzdé y v´ yrazem y − n, rovnice R′ (x, y) := R(x − m, y − n) = 0

(3.16)

popisuje mnoˇzinu M ′ , která vznikne posunut´ım mnoˇziny M o vektor (m, n). (b) Nahrad´ıme-li v rovnic´ıch R(x, y) = 0 kaˇzdé x v´ yrazem x cos(φ) + y sin(φ) a kaˇzdé y v´ yrazem −x sin(φ) + y cos(φ), potom rovnice R′ (x, y) := R(x cos(φ) + y sin(φ), −x sin(φ) + y cos(φ)) = 0

(3.17)

popisuje mnoˇzinu M ′ , která vznikne otoˇcen´ım mnoˇziny M kolem poˇcátku O = [0, 0] o u ´hel φ v kladném smˇeru, tj. proti smˇeru pohybu hodinov´ ych ruˇciˇcek. (c) Kaˇzd´ y pohyb“ geometrické mnoˇziny v rovinˇe lze z´ıskat vhodn´ ym otoˇcen´ı a posunut´ım. ” Uvaˇzujeme-li dvˇe shodné mnoˇziny M a M ′ , potom jednu lze pˇrevést na druhou otoˇcen´ım, posunut´ım a pˇr´ıpadnˇe pˇrevr´ acen´ım“, tj. osovou symetri´ı, napˇr´ıklad zobrazen´ım [x, y] 7→ [−x, y]. ”


22


3D. Kvadratické kˇrivky √

Pˇ r´ıklad: Otoˇcen´ı mnoˇziny o u ´hel φ = π6 = 30◦ provedeme transformac´ı x 7→ 23 x − 12 y a y 7→ 2 2 Elipsa 4 x + y = 8 po otoˇcen´ı bude m´ıt rovnici (√ )2 ( √ )2 √ 3 1 1 3 13 2 3 3 7 4 x− y + x+ y ≡ x − xy + y 2 = 8 . 2 2 2 2 4 2 4

1 2

√

x+

3 2

y.

Uvaˇzujme opˇet rovnici (3.15). Vhodn´ ym otoˇcen´ım o u ´hel φ se lze zbavit ˇclenu B xy. Skuteˇcnˇe, necht’ B ̸= 0. Nahrad´ıme-li ve v´ yrazu Ax2 + Bxy + Cy 2 promˇenné x, y podle (b) Vˇety 3.45, po roznásoben´ı dostáváme v´ yraz A′ x2 + B ′ xy + C ′ y 2 , kde nás zaj´ım´ a jedinˇe koeficient ( ) B ′ = 2(A − C) sin(φ) cos(φ) + cos2 (φ) − sin2 (φ) . Pomoc´ı vzorc˚ u pro dvojnásobné u ´hly sin(2φ) = 2 sin(φ) cos(φ) a cos(2φ) = cos2 (φ) − sin2 (φ) koeficient B ′ ′ pˇrep´ıˇseme B = (A − C) sin(2φ) + B cos(2φ). Protoˇze B ̸= 0, podm´ınka B ′ = 0 dává rovnici cos(2φ) A−C = cotg (2φ) = − , sin(2φ) B která má vˇzdy ˇreˇsen´ı φ. Otoˇcen´ım o tento u ´hel vypadne B ′ xy a z´ıskáme rovnici A′ x2 + C ′ y 2 + a′ x + b′ y = q ′ . 2 Dále, pokud v rovnici je ˇclen s x a x, lze se vhodn´ ym posunut´ım zbavit ˇclenu s x. Skuteˇcnˇe, posunut´ım x 7→ x − m v´ yraz A′ x2 + a′ x pˇrejde na A′ (x − m)2 + a′ (x − m) = A′ x2 + (a′ − 2A′ m)x + (A′ − a′ )m2 a pro m = a′ /(2A′ ) ˇclen s x vypadne. Podobnˇe, pokud v rovnici je ˇclen s y 2 i ˇclen s y, vhodn´ ym posunut´ım se lze zbavit ˇclen˚ u y. Dostáváme tak následuj´ıc´ı pˇr´ıpady: (a) Rovnice obsahuje oba kladné kvadratické ˇcleny, tj. A x2 + C y 2 = q, (A > 0 a C > 0). Potom (i) mnoˇzina M je elipsa, pokud q > 0, nebo kruˇ znice jestliˇze nav´ıc A = C, (ii) mnoˇzina M je jednobodov´ a, pokud q = 0, (iii) mnoˇzina M je prázdn´ a, pokud q < 0. (b) Rovnice obsahuje oba kvadratické ˇcleny s r˚ uzn´ ymi znaménkem A x2 − C y 2 = q, (A > 0 a C > 0). Potom (i) mnoˇzina M je hyperbola s vˇetvemi otevˇren´ ymi vlevo a vpravo, pokud q > 0, (ii) mnoˇzinu M tvoˇr´ı dvojice r˚ uznobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek, pokud q = 0, (iii) mnoˇzina M je hyperbola s vˇetvemi otevˇren´ ymi nahoru a dol˚ u, pokud q < 0. (c) Rovnice obsahuje jenom kvadratick´ y ˇclen x2 . Potom lze poloˇzit A = 1 a máme pˇr´ıpady (i) mnoˇzina M je parabola otevˇrená nahoru v pˇr´ıpadˇe x2 = by, pokud b > 0, (ii) mnoˇzina M je parabola otevˇrená dol˚ u v pˇr´ıpadˇe x2 = by, pokud b < 0, √ 2 (iii) v pˇr´ıpadˇe x = q mnoˇzina M je dvojice pˇr´ımek x = ± q, pokud q > 0, pˇr´ımka x = 0 pokud q = 0 a prázdn´ a mnoˇzina pokud q < 0. (d) Rovnice obsahuje jenom kvadratick´ y ˇclen y 2 . Lze poloˇzit C = 1 a máme pˇr´ıpady analogické pˇr´ıpadu (c): (i) mnoˇzina M je parabola otevˇrená vpravo v pˇr´ıpadˇe y 2 = ax pokud a > 0, (ii) mnoˇzina M je parabola otevˇrená vlevo v pˇr´ıpadˇe y 2 = ax pokud a < 0, √ (iii) v pˇr´ıpadˇe y 2 = q mnoˇzina M je dvojice pˇr´ımek y = ± q pokud q > 0, pˇr´ımka y = 0 pokud q = 0 a prázdn´ a mnoˇzina pokud q < 0. V obecném pˇr´ıpadˇe z kvadratick´ ych ˇclen˚ u lze snadno (tj. bez transformac´ı) urˇcit typ kˇrivky, m˚ uˇze vˇsak b´ yt degenerovaná nebo i prázdn´ a, k tomu je nutná dalˇs´ı anal´ yza ˇclen˚ u ax, by, q: Tvrzen´ı Uvaˇzujme rovnici (3.15). Pokud pro koeficienty A, B, C plat´ı (a) B 2 − 4AC > 0, potom rovnice popisuje hyperbolu (pˇr´ıpadnˇe r˚ uznobˇeˇzky), (b) B 2 − 4AC < 0, potom rovnice popisuje elipsu (pˇr´ıpadnˇe kruˇznici, bod nebo prázdnou mnoˇzinu), (c) B 2 − 4AC = 0, potom rovnice popisuje parabolu (pˇr´ıpadnˇe rovnobˇeˇzky, pˇr´ımku, prázdnou mnoˇzinu).


23


3E. Kvadratické plochy

´ plochy 3E. Kvadraticke Kvadratické plochy zvané kvadriky jsou mnoˇziny bod˚ u splˇ nuj´ıc´ıch rovnici s kvadratick´ ym polynomem ve tˇrech promˇenn´ ych x, y, z.

Regul´ arn´ı kvadriky Nedegenerované, tj. regulárn´ı, kvadratické plochy uvedeme v základn´ım tvaru, kdy hlavn´ı osy symetrie spl´ yvaj´ı se souˇradn´ ymi osami. Zaˇcneme plochami, které maj´ı vˇsechny tˇri kvadratické ˇcleny. Prvn´ı je sféra: Definice 3.46. Sf´ era, kulov´ a plocha s polomˇerem r > 0 a stˇredem v poˇcátku má rovnici x2 + y 2 + z 2 = r2 . Pozn´ amky: (a) Pozor, sféra je plocha, na rozd´ıl od koule, která je tˇelesem, koule (vˇcetnˇe povrchu) je urˇcena nerovnic´ı x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 . Sféra je jenom povrch koule, podobnˇe jako kruˇznice je jenom hranice kruhu. (b) Sféra je mnoˇzina vˇsech bod˚ u, jejichˇz vzdálenost od stˇredu je rovna konstantˇe r > 0. (c) Sféra má nekoneˇcnˇe mnoho os symetrie, jsou to vˇsechny pˇr´ımky procházej´ıc´ı jej´ım stˇredem. Sféra má také nekoneˇcnˇe mnoho rovin symetrie, jsou to vˇsechny roviny procházej´ıc´ı stˇredem. (d) Kaˇzd´ y ˇrez sférou je kruˇznice, pˇr´ıpadnˇe bod nebo prázdná mnoˇzina. (e) Sféra se stˇredem S = [xS , yS , zS ] má rovnici (x − xS )2 + (y − yS )2 + (z − zS )2 = r2 .

Definice 3.47. Elipsoid se stˇredem v poˇcátku, s osami x, y, z a poloosami a, b, c > 0 po ˇradˇe v osách x, y, z je dán rovnic´ı x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1, 2 a b c kde kladná ˇc´ısla a, b, c se naz´ yvaj´ı poloosy.

Obr. 3.14: Elipsoid x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1. 2 3 2 1 s poloosami a = 3, b = 2, c = 1.

Pozn´ amky: (a) Pod pojmem elipsoid budeme brát plochu, pro tˇeleso omezené elipsoidem se ˇcasto uˇz´ıvá stejn´ y název. Elipsoid je mnoˇzina omezená. (b) Speciáln´ım pˇr´ıpadem a = b = c elipsoidu je sféra. V pˇr´ıpadˇe a = b dostáváme rotaˇcn´ı elipsoid s osou rotace z, vznikne rotac´ı elipsy x2 /a2 + z 2 /c2 = 1, y = 0 okolo osy z. Podobnˇe pro a = c dostáváme rotaˇcn´ı elipsoid s osou rotace y, kter´ y vznikne rotac´ı elipsy s osou rotace y a b = c dává rotaˇcn´ı elipsoid s osou rotace x, kter´ y vznikne rotac´ı elipsy s osou rotace x. (c) Jestliˇze a = b < c jde o elipsoid protáhl´ y, v pˇr´ıpadˇe a = b > c je elipsoid zploˇstˇel´ y. (d) V pˇr´ıpadˇe a = b < c m´ ame rotaˇcn´ı elipsoid, kter´ y vznikne rotac´ı elipsy x2 /a2 + z 2 /c2 = 1 v rovinˇe y = 0 podle hlavn´ı osy z, a proto ho lze definovat u, jejichˇz souˇcet vzdálenost´ı od √ jako mnoˇzinu vˇsech bod˚ ohnisek [0, 0, e] a [0, 0, −e] je roven 2c, kde e = c2 − a2 je excentricita (v´ ystˇrednost) elipsy. Analogická situace nastane v pˇr´ıpadech a = c < b a b = c < a. (e) Elipsoid s r˚ uzn´ ymi poloosami a, b, c má tˇri osy symetrie x, y, z a tˇri roviny symetrie x = 0, y = 0 a z = 0. Rotaˇcn´ı elipsoid má nekoneˇcnˇe mnoho os symetrie i nekoneˇcnˇe mnoho rovin symetrie. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

24



ˇ elipsoidem je elipsa, pˇr´ıpadnˇe kruˇznice, bod nebo prázdná mnoˇzina. (f) Rez (g) Posunut´ y elipsoid s poloosami a, b, c a stˇredem S = [xS , yS , zS ] má rovnici (y − yS )2 (z − zS )2 (x − xS )2 + + = 1. a2 b2 c2 Dalˇs´ı kvadratické plochy maj´ı tˇri kvadratické ˇcleny, ale nestejn´ ych znamének: Definice 3.48. Jednod´ıln´ y hyperboloid se stˇredem v poˇcátku s hlavn´ı osou symetrie z a poloosami a, b, c je dán rovnic´ı y2 z2 x2 + − = 1. a2 b2 c2 Dvojd´ıln´ y hyperboloid se stˇredem v poˇc´ atku s hlavn´ı osou symetrie z a poloosami a, b, c je dán rovnic´ı y2 z2 x2 + 2 − 2 = −1 . 2 a b c Oba hyperboloidy se pro z → ±∞ bl´ıˇz´ı“ ke kuˇzelové ploˇse, která je oddˇeluje. Jej´ı rovnice je ” x2 y2 z2 + 2 − 2 = −1 . 2 a b c

Obr. 3.15: Vlevo je hyperboloid jednod´ıln´ y x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 3 3 2 a vpravo hyperboloid dvoud´ıln´ y x2 y2 z2 + 2 − 2 = −1. 2 3 3 2

Pozn´ amky: (a) Oba hyperboloidy jsou plochy neomezené. Jednod´ıln´ y hyperboloid je mnoˇzina souvislá, dvoud´ıln´ y se skládá ze dvou oddˇelen´ ych ˇc´ ast´ı: horn´ı“ a doln´ı“ plochy. ” ” (b) Jak poznáme, zde je hyperboloid jednod´ıln´ y nebo dvoud´ıln´ y? Upravme rovnici hyperboloidu tak, aby dva kladné kvadratické ˇcleny byly na jedné stranˇe a tˇret´ı na druhé stranˇe rovnice, napˇr. x2 + z 2 = y 2 + q. V pˇr´ıpadˇe, kdy y 2 + q > 0, v´ yraz na x2 + z 2 na levé stranˇe dává kruˇznici (v pˇr´ıpadnˇe r˚ uzn´ ych koeficient˚ u 2 2 u x a z elipsu), v opaˇcném pˇr´ıpadˇe bod nebo prázdnou mnoˇzinu. Pokud na pravé stranˇe je q > 0, pro kaˇzdé y je pravá strana kladná a kaˇ y ˇrez hyperboloidu rovinou √zd´ ´ y = k je neprázdn´ y. Utvar je tedy jednod´ıln´ y. Pokud q < 0, pro |y| < |q| je pravá strana záporná a ˇrezem je prázdn´ a mnoˇzina: u ´tvar je tedy dvoud´ıln´ y. V pˇr´ıpadˇe q = 0 jde o kuˇzelovou plochu. (c) Pokud a = b dost´ av´ ame plochu rotaˇcnˇe symetrickou, kterou dostaneme rotac´ı hyperboly v rovinˇe y = 0 podél osy z. V pˇr´ıpadˇe hyperboly s hlavn´ı osou x, tj. x2 /a2 − z 2 /c2 = 1, je to hyperboloid jednod´ıln´ y, v pˇr´ıpadˇe hyperboly s hlavn´ı osou z, tj. x2 /a2 − z 2 /c2 = −1, je to hyperboloid dvoud´ıln´ y. (d) Dvoud´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid s osou z je mnoˇzina u, jejichˇz rozd´ıl vzdálenost´ı od ohnisek √ vˇsech bod˚ [0, 0, −e] a [0, 0, e] je roven konstantˇe 2a, kde e = a2 + b2 .


25



(e) Jednod´ıln´ y hyperboloid vznikne nejen rotac´ı hyperboly kolem jej´ı vedlejˇs´ı osy z, ale také rotac´ı okolo osy z pˇr´ımky, která je mimobˇeˇzn´ a s osou z. Je to tedy plocha pˇr´ımková, která obsahuje dva systémy mimobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek. Toho se vyuˇz´ıvá ve stavebnictv´ı, typick´ ym tvarem chladic´ıch vˇeˇz´ı elektráren a tepláren je jednod´ıln´ y hyperboloid. ˇ hyperboloidy jsou kruˇznice, elipsy, paraboly, hyperboly. V pˇr´ıpadˇe jednod´ılného hyperboloidu jsou (f) Rezy to nav´ıc rovnobˇeˇzné a r˚ uznobˇeˇzné pˇr´ımky, v pˇr´ıpadˇe dvoud´ılného hyperboloidu prázdná mnoˇzina. (g) Jestliˇze a = b < c, oba hyperboloidy jsou protáhlé“, u ´zké“. V pˇr´ıpadˇe a = b > c, oba hyperboloidy ” ” jsou zploˇstˇelé“, rozevˇrené“. ” ” (h) Hyperboloid s r˚ uzn´ ymi poloosami a, b, c má tˇri osy symetrie x, y, z a tˇri roviny symetrie x = 0, y = 0 a z = 0. V pˇr´ıpadˇe dvou stejn´ ych vedlejˇs´ıch poloos je hyperboloid rotaˇcn´ı s osou rotace z a má nekoneˇcnˇe mnoho os i rovin symetrie. (i) Vedle zm´ınˇen´ ych hyperboloid˚ u s hlavn´ı osou z existuje i jednod´ıln´ y a dvoud´ıln´ y hyperboloid s hlavn´ı osou y, jejich rovnice jsou x2 y2 z2 − 2 + 2 = 1, 2 a b c

x2 y2 z2 − 2 + 2 = −1 . 2 a b c

Jednod´ıln´ y a dvoud´ıln´ y hyperboloid s hlavn´ı osou x, je urˇcen rovnicemi −

x2 y2 z2 + + = 1, a2 b2 c2

−

x2 y2 z2 + + = −1 . a2 b2 c2

(j) Posunut´ y hyperboloid s hlavn´ı osou z, poloosami a, b, c a stˇredem S = [xS , yS , zS ] má rovnici (x − xS )2 (y − yS )2 (z − zS )2 + − = 1. a2 b2 c2 Analogicky lze napsat posunuté hyperboloidy s hlavn´ı osou rovnobˇeˇznou s osou x a y. Dalˇs´ı plochy maj´ı uˇz jenom dva kvadratické ˇcleny. Naz´ yvaj´ı se paraboloidy a jsou dvou druh˚ u: Definice 3.49. Eliptick´ y paraboloid se stˇredem v poˇcátku s hlavn´ı osou symetrie z a parametry p, q, kde jsou oba kladné nebo oba záporné, je dán rovnic´ı z=

x2 y2 + . 2p 2q

v pˇr´ıpadˇe p = q se plocha naz´ yv´ a rotaˇcn´ı paraboloid. Pro p > 0, q > 0 je paraboloid otevˇren nahoru“, pro ” p < 0, q < 0 je otevˇren“ dol˚ u. ” Hyperbolick´ y paraboloid se stˇredem v poˇcátku s hlavn´ı osou symetrie z a parametry p, q, kde p a q jsou oba kladné nebo oba záporné, je dán rovnic´ı z=

Obr. 3.16: Paraboloid rotaˇcn´ı z =

y2 x2 − . 2p 2q

x2 y2 x2 y2 + a paraboloid hyperbolick´ y z= − . 2·2 2·2 2·2 2·2

Pozn´ amky: ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

26



(a) Oba paraboloidy jsou plochy neomezené, rotaˇcn´ı je omezen zdola nebo shora. (b) Pokud p = q, dostáv´ ame plochu rotaˇcn´ı, kterou dostaneme rotac´ı paraboly 2pz = x2 podél osy z. (c) Rotaˇcn´ı paraboloid s osou z je mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı stejnou vzdálenost od ohniska F = [0, 0, p2 ] p a ˇr´ıdic´ı roviny z = − 2 . Astronomická zrcadla maj´ı odrazovou plochu ve tvaru rotaˇcn´ıho paraboloidu, protoˇze paprsky rovnobˇeˇzné s osou z se odráˇzej´ı do ohniska F . Podobnˇe reflektory maj´ı za zdrojem svˇetla zrcadlo tvaru rotaˇcn´ıho paraboloidu, aby paprsky z ohniska po odrazu byly rovnobˇeˇzné a dosv´ıtily co nejdál. (d) Hyperbolick´ y paraboloid má tvar sedla (horského i koˇ nského): v jednom smˇeru na obˇe strany plocha stoupá a ve smˇeru kolmém na prvn´ı smˇer plocha na obˇe strany klesá. ˇ ˇ (e) Rezy rotaˇcn´ıho paraboloidu jsou kruˇznice, elipsy, paraboly a prázdná mnoˇzina. Rezy hyperbolického paraboloidu jsou paraboly, hyperboly a r˚ uznobˇeˇzky. (f) Parametry p, q urˇcuj´ı pouze velikost“ paraboloid˚ u, pˇri stejném pomˇeru parametr˚ u p, q jsou oba para” boloidy podobné. (g) Eliptick´ y paraboloid s r˚ uzn´ ymi parametry p, q má jenom jednu osu symetrie z a dvˇe roviny symetrie x = 0, y = 0. V pˇr´ıpadˇe rotaˇcn´ıho paraboloidu je z také osou rotace a roviny procházej´ıc´ı osou z jsou také rovinami symetrie. (h) Vedle zm´ınˇen´ ych hyperboloid˚ u s hlavn´ı osou z existuj´ı eliptické a hyperbolické paraboloidy s hlavn´ı osou y a parametry p, q stejného znaménka. Jejich rovnice jsou y=

x2 z2 + , 2p 2q

y=

x2 z2 . − 2p 2q

Eliptické a hyperbolické paraboloidy s hlavn´ı osou x a parametry p, q jsou urˇceny rovnicemi x=

z2 y2 + , 2p 2q

x=

y2 z2 − . 2p 2q

(i) Posunut´ y eliptick´ y a hyperbolick´ y paraboloid s hlavn´ı osou z parametry p, q a stˇredem S = [xS , yS , zS ] má rovnici (x − xS )2 (y − yS )2 (x − xS )2 (y − yS )2 z = zS + + a z = zS + − 2p 2q 2p 2q Analogicky lze napsat posunuté paraboloidy s hlavn´ı osou rovnobˇeˇznou s osou x a y. (j) Rovnice z = cxy pro c ̸= 0 urˇcuje hyperbolick´ y paraboloid s hlavn´ı osou z pootoˇcen´ you ´hel

π 4

(45◦ ).

Obecn´ a kvadratick´ a plocha Dosud jsme uvedli regulárn´ı (nedegenerované) kvadratické plochy a odvodili jejich rovnice. V tomto odstavci vezmeme obecnou rovnici s kvadratick´ ym polynomem ve tˇrech promˇenn´ ych A x2 + B y 2 + C z 2 + D xy + E xz + F yz + a x + b y + c z + q = 0

(3.18)

a budeme zkoumat, jakou mnoˇzinu popisuje. Jak se posunut´ı a otoˇcen´ı mnoˇziny projev´ı v rovnic´ıch pro jejich souˇradnice? Posunut´ı a otoˇcen´ı jsou transformace, které zachovávaj´ı shodnost mnoˇziny. Proti rovinnému pˇr´ıpadu, kdy staˇcil jeden druh rotace, zde potˇrebujeme tˇri druhy rotace. Vˇ eta 3.50. Necht’ rovnice R(x, y, z) = 0 urˇcuje mnoˇzinu M . Potom plat´ı: (a) Mnoˇzina M posunut´ a o vektor [m, n, o] je dána rovnic´ı R′ (x, y, z) := R(x − m, y − n, z − o) = 0. (b) Mnoˇzina M otoˇcen´ a kolem osy z o u ´hel α v kladném smˇeru je dána rovnic´ı R′ (x, y, z) := R(x cos(α) + y sin(α), −x sin(α) + y cos(α), z) = 0, (c) Mnoˇzina M otoˇcen´ a kolem osy y o u ´hel β je dána rovnic´ı R′ (x, y, z) := R(x cos(β) + z sin(β), y, −x sin(β) + z cos(β)) = 0 . ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

27



(d) Mnoˇzina M otoˇcen´ a kolem osy x o u ´hel γ je dána rovnic´ı R′ (x, y, z) := R(x, y cos(γ) + z sin(γ), −y sin(γ) + z cos(γ)) = 0 . Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe kvadratické kˇrivky, pootoˇcen´ım o vhodn´ yu ´hel, tj. transformacemi typu (d), (c) a (b), se postupnˇe zbav´ıme ˇclen˚ u s yz, xz a xy. Dostáváme tak rovnici (koeficienty budeme dále znaˇcit bez ′ ): A x2 + B y 2 + C z 2 = a x + b y + c z + q . Dále transformac´ı (a) se postupnˇe zbav´ıme ˇclen˚ u s x, y a z (pokud v rovnici je odpov´ıdaj´ıc´ı kvadratick´ y ˇclen x2 , y 2 a z 2 ). Nyn´ı m˚ uˇzeme pˇristoupit k anal´ yze jednotliv´ ych pˇr´ıpad˚ u, (konstanty A, B, C budou kladná ˇc´ısla): (a) Rovnice obsahuje tˇri kvadratické ˇcleny se stejn´ ymi znaménky, tj. rovnici lze napsat ve tvaru A x2 +B y 2 + 2 C z = q, coˇz dáv´ a v pˇr´ıpadˇe (i) q > 0 – elipsoid (pˇr´ıpadnˇe sféru), (ii) q = 0 – jeden bod (poˇc´ atek) a (iii) q < 0 – prázdnou mnoˇzinu. (b) Rovnice obsahuje tˇri kvadratické ˇcleny s nestejn´ ymi znaménky, tj. rovnici lze pˇrepsat ve tvaru A x2 + 2 2 B y − C z = q, coˇz dáv´ a v pˇr´ıpadˇe (i) q > 0 – hyperboloid jednod´ıln´ y, (ii) q = 0 – kuˇzel a (iii) q < 0 – dvoud´ıln´ y hyperboloid. (c) Rovnice obsahuje jenom dva kvadratické ˇcleny se stejn´ ym znaménkem, napˇr. A x2 + B y 2 = cz + q, odkud plyne v pˇr´ıpadˇe (i) (ii) (iii) (iv)

c ̸= 0 c=0 c=0 c=0

– a a a

paraboloid eliptick´ y, pˇr´ıpadnˇe rotaˇcn´ı, q > 0 – válec eliptick´ y, pˇr´ıpadnˇe rotaˇcn´ı, q = 0 – pˇr´ımku (osu z) a q < 0 – prázdnou mnoˇzinu.

(d) Rovnice obsahuje jenom dva kvadratické ˇcleny ale s r˚ uzn´ ymi znaménky, napˇr. A x2 − B y 2 = cz + q, odkud plyne v pˇr´ıpadˇe (i) c ̸= 0 – paraboloid hyperbolick´ y, pˇr´ıpadnˇe rotaˇcn´ı, (ii) c = 0 a q ̸= 0 – válec hyperbolick´ ya (iii) c = 0 a q = 0 – r˚ uznobˇeˇzné roviny prot´ınaj´ıc´ı se v ose z. (e) Rovnice obsahuje jenom jeden kvadratick´ y ˇcleny, napˇr. A x2 = by + cz + q, odkud plyne v pˇr´ıpadˇe (i) (ii) (iii) (iv)

b ̸= 0 nebo c ̸= 0 – parabolick´ y válec, b = c = 0 a q > 0 – dvˇe rovnobˇeˇzné roviny, b = c = q = 0 – rovina x = 0 a b = c = 0 a q < 0 – prázdnou mnoˇzinu.

T´ım jsme probrali vˇsechny moˇznosti. Pozn´ amky: Poˇcet a znaménka kvadratick´ ych ˇclen˚ u lze zjistit pˇr´ımo bez transformac´ı t´ım, ˇze polynom A x2 + B y 2 + C z 2 + D xy + E xz + F yz dopln´ıme na tvar s nezávisl´ ymi ˇctverci“, napˇr´ıklad ” x2 + 3y 2 + z 2 + 4xy − 2xz = (x + 2y − z)2 − y 2 + 4yz = (x + 2y = z)2 + (y − 2z)2 − (2z)2 , odkud plyne pˇr´ıpad tˇr´ı ˇctverc˚ u“ s r˚ uzn´ ymi znaménky, tj. pˇr´ıpad (b). ”


28

3. Analytická geometrie

Recommend Documents