3. Analytick´a geometrie
3A. Vektorov´ y poˇcet
3. Analytick´ a geometrie Objekty v rovinˇe i prostoru (body, u ´seˇcky, pˇr´ımky, kˇrivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomoc´ı ˇc´ısel. Popisem a studiem tˇechto objekt˚ u se zab´ yv´ a analytick´ a geometrie. Tento popis m´a v souˇcasnosti velk´ y v´ yznam v technick´e praxi, vyuˇz´ıv´a se nejen pˇri konstrukci stroj˚ u, ale i pro ˇr´ızen´ı obr´abˇec´ıch stroj˚ u apod. Nejprve si pˇriprav´ıme apar´at vektor˚ u, potom se budeme zab´ yvat rovn´ ymi“ u ´tvary a nakonec kvadratick´ ymi kˇrivkami a plochami. ”
´ poc ˇet 3A. Vektorovy Body a u ´tvary v prostoru budeme popisovat pomoc´ı trojic (v pˇr´ıpadˇe roviny pomoc´ı dvojic) re´aln´ ych ˇc´ısel, budeme se pohybovat v prostoru R3 nebo R2 , coˇz je kart´ezsk´ y souˇcin mnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel R: R3 = R × R × R ,
R2 = R × R .
Zvol´ıme-li v (trojrozmˇern´em) prostoru bod O zvan´ y poˇ c´ atek a z nˇej vych´azej´ıc´ı tˇri navz´ajem kolm´e polopˇr´ımky zvan´e poloosy s jednotkov´ ymi d´elkami na nich, dost´av´ame soustavu pravo´ uhl´ ych souˇ radnic Oxyz. Kaˇzd´ y bod prostoru lze potom jednoznaˇcnˇe popsat pomoc´ı jeho souˇ radnic – trojic re´aln´ ych ˇc´ısel, tj. prvkem R3 .
Obr. 3.1: Souˇradnice [x, y, z] charakterizuj´ıc´ı polohu bodu P [x, y, z] v trojrozmˇern´e pravotoˇciv´e soustavˇe pravo´ uhl´ ych souˇradnic Oxyz. Podle poˇrad´ı jednotliv´ ych poloos rozezn´av´ame pravotoˇcivou a levotoˇcivou souˇradnicovou soustavu. Pravotoˇ civ´ a soustava s osami x, y, z je na Obr. 3.1. Prohozen´ım poloos x a y bychom dostali soustavu levotoˇcivou. Obvykle se vyuˇz´ıv´ a pravotoˇciv´ a soustava. V n´ı pˇri pohledu z (kladn´e) poloosy z pootoˇcen´ım poloosy x o prav´ yu ´hel v kladn´em smˇeru (proti smˇeru pohybu hodinov´ ych ruˇciˇcek) dostaneme poloosu y. Libovoln´ y bod P prostoru tak lze popsat pomoc´ı jeho tzv. souˇradnic x, y, z, viz Obr.3.1: P = [x, y, z] nebo
P [x, y, z] .
Podobnˇe zvolen´ım poˇc´ atku O a dvou navz´ ajem kolm´ ych poloos x a y dost´av´ame souˇradnicovou soustavu v rovinˇe. Uvaˇzujeme soustavu pravotoˇcivou, pˇri kter´e pootoˇcen´ım osy x o prav´ yu ´hel v kladn´em smˇeru dost´av´ame osu y. Kaˇzd´ y bod roviny potom lze jednoznaˇcnˇe popsat pomoc´ı jeho souˇradnic P = [x, y].
Oznaˇ cen´ı, v´ azan´ y a voln´ y vektor Na rozd´ıl od teorie mnoˇzin a dalˇs´ıch obor˚ u, kde se mnoˇziny znaˇc´ı velk´ ymi p´ısmeny a jejich prvky mal´ ymi p´ısmeny, v geometrii je tradice opaˇcn´ a: body se znaˇ c´ı velk´ ymi p´ısmeny a mnoˇ ziny mal´ ymi p´ısmeny: pˇ r´ımky latinsk´ ymi, roviny ˇ reck´ ymi p´ısmeny. Ani oznaˇcen´ı souˇradnic nen´ı jednotn´e. V prostoru R3 s osami x, y, z jsou souˇradnice obecn´eho bodu P oznaˇceny [x, y, z], pokud je bod˚ u v´ıce, souˇradnice bod˚ u rozliˇs´ıme indexy: A = [xA , yA , zA ], ˇcasto se rovn´ıtko vynech´av´a a p´ıˇse jenom A[xA , yA , zA ]. V rovinˇe je znaˇcen´ı souˇradnic x, y a bod˚ u A = [xA , yA ] analogick´e. Vˇetˇsina pojm˚ u lze zav´est nejen v prostoru R3 a rovinˇe R2 ale i v prostoru dimenze n ∈ N. Potom je nejjednoduˇsˇs´ı oznaˇcovat osy a jednotliv´e souˇradnice ˇc´ısly, napˇr´ıklad osy x1 , x2 , . . . , xn , vektory u = (u1 , u2 , . . . , un ) a body A = [A1 , A2 , . . . , An ]. Tento z´apis zahrnuje nejen body v rovinˇe v pˇr´ıpadˇe n = 2 a body v prostoru v pˇr´ıpadˇe n = 3, ale i body v tzv. n-rozmˇ ern´ em prostoru, kter´e nen´ı snadn´e si pˇredstavit, nen´ı probl´em vˇsak v nˇem s body pracovat. V dalˇs´ım se budeme zab´ yvat vektory v prostoru. Osy budeme oznaˇcovat x, y, z a souˇradnice bod˚ u indexy ymi p´ısmeny, napˇr. s´ıla F. napˇr. A = [xA , yA , zA ], a vektory u = (u1 , u2 , u3 ). Ve fyzice se vektory oznaˇcuj´ı i velk´ Rovinn´ y pˇr´ıpad dostaneme odstranˇen´ım“ tˇret´ı sloˇzky. ” ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
1
3. Analytick´a geometrie
3A. Vektorov´ y poˇcet
Definice 3.1. Uspoˇr´ adanou dvojici bod˚ u A = [xA , yA , zA ], B = [xB , yB , zB ] nazveme v´ azan´ y vektor v R3 s poˇ c´ atkem v bodˇe A a s koncem v bodˇe B. Znaˇc´ıme ho −−→ AB. −−→ ych ˇc´ısel (xB − xA , yB − yA , zB − zA ). V´azan´ y vektor AB lze zadat tak´e bodem A a uspoˇr´adanou trojic´ı re´aln´ −−→ Samotnou trojici ˇc´ısel naz´ yv´ ame voln´ y vektor a znaˇc´ıme u = (u1 , u2 , u3 ) = AB a ˇc´ısla u1 = xB − xA , u2 = yB − yA a u3 = zB − zA pak souˇ radnicemi nebo sloˇ zkami voln´eho vektoru u. Je jasn´e, ˇze vektor u body A, B neurˇcuje, protoˇze i jin´e body C, D mohou v´est k t´emuˇz voln´emu vektoru u. ˇ Proto pˇresnˇejˇs´ı matematick´ y pˇr´ıstup zav´ ad´ı bin´arn´ı relaci mezi dvˇemi v´azan´ ymi vektory: Rekneme, ˇze dva −−→ −−→ v´azan´e vektory AB, CD jsou ekvivalentn´ı, jestliˇze (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ) = (d1 − c1 , d2 − c2 , d3 − c3 ). Tato relace rozkl´ad´a mnoˇziny v´azan´ ych vektor˚ u na tˇr´ıdy zvan´e voln´e vektory. Voln´ y vektor je tedy mnoˇzina vektor˚ u maj´ıc´ı stejnou velikost, smˇer i orientaci. K urˇcen´ı t´eto mnoˇziny staˇc´ı zadat jeden z nich, obvykle se vyb´ır´a vektor maj´ıc´ı poˇc´atek v bodˇe 0. Protoˇze jak body, tak vektory jsou urˇceny trojic´ı re´aln´ ych ˇc´ısel, abychom je rozliˇsili, v dalˇs´ım budeme oznaˇcovat body souˇ radnicemi v hranat´ ych z´ avork´ ach, napˇr. A = [2, 7, 3], a vektory souˇ radnicemi −−→ → v kulat´ ych z´ avork´ ach, napˇr. u = (3, 6, 2). Vedle z´apisu vektoru AB a u se uˇz´ıv´a tak´e symbol s ˇsipkou“ − u ” nebo s podtrˇzen´ım“ u, kter´e se vˇsak nebudeme pouˇz´ıvat. D´ale budeme slovem vektor myslet voln´ y vektor. ” Definice 3.2. Bud’ a = (ax , ay , az ) (pˇr´ıpadnˇe a = (a1 , a2 , a3 )) nenulov´ y voln´ y vektor v R3 , viz Obr. 3.2. Kolm´ e pr˚ umˇ ety vektoru a do souˇradnicov´ ych os x, y, z jsou jeho souˇradnice ax , ay , az (pˇr´ıpadnˇe a1 , a2 , a3 ). ˇ ısla cos(α), cos(β), cos(γ) ´ Uhly, kter´e sv´ır´a vektor a se souˇradn´ ymi poloosami x, y, z, oznaˇc´ıme po ˇradˇe α, β, γ. C´ se naz´ yvaj´ı smˇ erov´ e kos´ıny vektoru a. Velikost vektoru a oznaˇc´ıme symbolem a := |a|. Jednotkov´e vektory ve smˇeru os x, y, z budeme oznaˇcovat i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Obr. 3.2: Vyj´adˇren´ı vektoru a pomoc´ı jeho sloˇzek ax , ay , az . V obr´azku jsou rovnˇeˇz vyznaˇceny u ´hly α, β, γ, kter´e sv´ır´ a vektor a se souˇradnicov´ ymi osami, a jednotkov´e vektory i, j, k. Vˇ eta 3.3. Bud’ a = (ax , ay , az ) nenulov´ y voln´ y vektor v R3 . Pro pojmy z pˇredch´azej´ıc´ı definice plat´ı: √ a := |a| = a2x + a2y + a2z , ax = a cos(α) , ay = a cos(β) , az = a cos(γ) . (3.1) Pomoc´ı jednotkov´ ych vektor˚ u i, j, k lze vektor a jednoznaˇcnˇe vyj´adˇrit jako a = ax i + ay j + az k. Pozn´ amky: Ze vztahu (3.1) plyne ax > 0 pro 0 ≤ α < π2 , ax = 0 pro α = π2 a ax < 0 pro π2 < α ≤ π. Pomoc´ı souˇradnic a Vˇety 3.3 lze urˇcit velikost vektoru a u ´hly, kter´e sv´ır´a se souˇradnicov´ ymi osami.
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
2
3. Analytick´a geometrie
3A. Vektorov´ y poˇcet
Operace s vektory v prostoru V dalˇ s´ım budeme oznaˇ covat souˇ radnice vektor˚ uˇ c´ıseln´ ymi indexy 1, 2, 3. Skal´arn´ı n´asobek vektoru v geometrii pro c > 0 je vektor stejn´eho smˇeru a orientace, velikost je c-kr´at vˇetˇs´ı, v pˇr´ıpadˇe c < 0 se smˇer nemˇen´ı, orientace je opaˇcn´a a velikost |c|-kr´at vˇetˇs´ı. Pˇredstav´ıme-li si vektor jako posunut´ı (translaci), kter´a libovoln´ y bod P posune o vektor u do bodu P + u, souˇctu dvou vektor˚ uuav odpov´ıd´a sloˇzen´ı tˇechto dvou posunut´ı: bod P je posunut do bodu P + u + v. Kaˇzd´ y vektor v geometrii lze jednoznaˇcnˇe popsat trojic´ı ˇc´ısel, coˇz je speci´aln´ı pˇr´ıpad matic typu (3, 1) pˇr´ıpadnˇe (1, 3) – nerozliˇsujeme ˇr´ adkov´e a sloupcov´e vektory. Sˇc´ıt´an´ı a skal´arn´ı n´asoben´ı vektoru lze proto definovat po sloˇzk´ ach stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe matic: Definice 3.4. (Souˇ cet a skal´ arn´ı n´ asobek) Pro vektory je operace souˇ cet u + v definovan´a vztahem u + v ≡ (u1 , u2 , u3 ) + (v1 , v2 , v3 ) := (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ) a operace n´ asoben´ı skal´ arem cu, kde c ∈ R, ke d´an c u ≡ c (u1 , u2 , u3 ) := (c u1 , c u2 , c u3 ) . Operace odˇc´ıt´ an´ı je d´ana vztahem u − v = u + (−1) v . Pozn´ amky: (a) Geometrick´ a i analytick´ a definice skal´arn´ıho n´asobku a souˇctu vektor˚ u d´av´a stejn´ y v´ ysledek. (b) Uveden´e operace pro vektory jsou definov´any i pro vektory maj´ıc´ı n sloˇzek stejnˇe jako u matic. (c) Povˇsimnˇete si, ˇze voln´e vektory spolu s bin´arn´ı operac´ı sˇc´ıt´an´ı jsou pˇr´ıkladem grupy, kter´a byla definov´ana v Kapitole 1 ˇc´ asti Algebraick´e struktury. Neutr´aln´ım prvkem je zde tzv. nulov´ y vektor 0 = (0, . . . , 0), prvkem opaˇcn´ ym k vektoru u je vektor −u := (−1) · u. (d) Mnoˇzinu voln´ ych vektor˚ u v R3 (i vektor˚ u, tj. n-tic, pro libovoln´e n ∈ N s operacemi souˇcet a skal´arn´ı n´asobek) se naz´ yv´ a vektorov´ y prostor nebo tak´e line´ arn´ı prostor. (e) Stejnˇe jako u ˇr´ adk˚ u v Kapitole 2 ˇc´ asti Hodnost matice lze u vektor˚ u zav´est pojem z´avislosti a nez´avislosti vektor˚ u: v je z´ avisl´ y na vektorech u1 , . . . , uk , pokud ho lze napsat jako line´ arn´ı kombinaci vektor˚ u u1 , . . . , uk , tj. pro nˇejak´ a c1 , . . . , ck ∈ R plat´ı v = c1 u1 + · · · + ck uk . ˇ Rekneme tak´e, ˇze vektory u1 , . . . , uk jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, pokud jedin´a jejich line´arn´ı kombinace, kter´a d´av´a nulov´ y vektor, je kombinace nulov´a, tj. ci = 0. (f) V trojrozmˇern´em prostoru R3 nejv´ yˇse tˇri vektory jsou nez´avisl´e a kaˇzd´e ˇctyˇri vektory v R3 uˇz mus´ı b´ yt z´avisl´e. Dva vektory jsou z´avisl´e, pokud maj´ı stejn´ y smˇer, tj. leˇz´ı na stejn´e pˇr´ımce. (g) Nez´avisl´e vektory nazveme b´ az´ı, pokud kaˇzd´ y vektor prostoru lze vyj´adˇrit jako jejich line´arn´ı kombinace. Trojice jednotkov´ ych vektor˚ u i, j, k proto tvoˇr´ı tzv. kanonickou b´ azi. B´az´ı v prostoru je nekoneˇcnˇe mnoho, kaˇzd´ a trojice nez´avisl´ ych vektor˚ u v R3 tvoˇr´ı b´azi. Trojice nenulov´ ych vektor˚ u je line´arnˇe nez´avisl´a, pokud vektory neleˇz´ı na jedn´e pˇr´ımce“ ani v jedn´e rovinˇe“. ” ” Skal´ arn´ı souˇ cin V geometrii m˚ uˇzeme vektory n´asobit skal´arnˇe i vektorovˇe. Vedle geometrick´e m´ame i analytickou definici: Definice 3.5. Bud’te u, v vektory v R3 . Jejich skal´ arn´ı souˇ cin u · v je skal´ar (tj. ˇc´ıslo) (a)
u · v := u v cos(α), kde u, v jsou velikosti vektor˚ uuavaαu ´hel, kter´ y tyto vektory sv´ıraj´ı,
(b)
u · v := u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 , kde ui , vi jsou sloˇzky vektor˚ u u, v.
Bez d˚ ukazu uvedeme dalˇs´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.6. Obˇe definice skal´ arn´ıho souˇcinu (a) i (b) jsou ekvivalentn´ı. Skal´arn´ı souˇcin je komutativn´ı, tj. pro kaˇzd´e dva vektory plat´ı u · v = v · u Skal´arn´ı souˇcin je line´ arn´ı v obou promˇenn´ ych, tj. pro kaˇzd´e ˇc´ısla c1 , c2 ∈ R a kaˇzd´e vektory plat´ı (c1 u1 + c2 u2 ) · v = c1 (u1 · v) + c2 (u2 · v) ,
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
u · (c1 v1 + c2 v2 ) = c1 (u · v1 ) + c2 (u · v2 ) .
3
3. Analytick´a geometrie
3A. Vektorov´ y poˇcet
Pozn´ amky: (a) V´ ysledkem skal´ arn´ıho souˇcin u · v dvou libovoln´ ych vektor˚ u u, v je skal´ar. (b) Oznaˇcme uv kolm´ y pr˚ umˇet vektoru u na pˇr´ımku urˇcenou smˇerem vektoru v a vu kolm´ y pr˚ umˇet vektoru v na pˇr´ımku urˇcenou smˇerem vektoru u. Potom pro ostr´ yu ´hel α skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u je souˇcin velikosti prvn´ıho vektoru a velikosti pr˚ umˇetu druh´eho vektoru: u · v = u vu = v uv , viz Obr. 3.3.
Obr. 3.3: Geometrick´ y v´ yznam skal´arn´ıho souˇcinu: u · v = u vu = v uv . (c) Porovn´an´ı s geometrick´ ym vyj´adˇren´ı skal´arn´ıho souˇcinu d´av´a u·v = u v cos(α), odkud lze vyj´adˇrit kosinus u ´hlu, kter´ y vektory sv´ıraj´ı: u·v u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 √ . cos(α) = =√ 2 |u| · |v| u1 + u22 + u23 · v12 + v22 + v32 (d) Speci´aln´ı pˇr´ıpad u ´hlu α = 0 a u = v, kdy cos(0) = 1 d´av´a u · u = u2 , odkud u = |u| = (e) Speci´aln´ı pˇr´ıpad vektor˚ u sv´ıraj´ıc´ıch prav´ yu ´hel, tj. u ´hel α = o vektorech kolm´ ych nebo ortogon´ aln´ıch.
π 2
√ u · u.
d´av´a u · v = 0. V tomto pˇr´ıpadˇe mluv´ıme
(f) Vektorov´ y prostor R3 s t´ımto skal´ arn´ım souˇcinem naz´ yv´ame euklidovsk´ y prostor a znaˇc´ıme E3 . Fyzik´aln´ı v´ yznam skal´ arn´ıho souˇcinu je vidˇet z n´asleduj´ıc´ıho pˇr´ıkladu: Pˇ r´ıklad 3.7. Vag´ on je taˇzen na pˇr´ım´em u ´seku d´elky s = 20 m lanem, kter´e sv´ır´a se smˇerem s pohybu vagonu u ´hel α = 20◦ , a kter´e je nap´ın´ ano silou o velikosti F = 800 N. Vyj´adˇrete pr´aci W vykonanou silou F pomoc´ı skal´arn´ıho souˇcinu a vypoˇctˇete ji. ˇ sen´ı: Situaci naˇcrtneme. Bud’ Fs pr˚ Reˇ umˇet vektoru F do smˇeru s. Pak W = Fs s = |F| |s| cos(α) = F · s, odkud . W = F · s = |F| |s| cos(α) = 800 N · 20 m · cos 20◦ = 1.50 · 104 J.
Obr. 3.4: K pˇr´ıkladu 3.7. Vektorov´ y souˇ cin Na rozd´ıl od skal´ arn´ıho souˇcinu v´ ysledkem vektorov´eho souˇcinu v R3 je vektor. Opˇet vedle geometrick´e definice m´ame definici analytickou: Definice 3.8. Bud’te u, v vektory v R3 . Jejich vektorov´ y souˇ cin u × v je (a)
(b)
vektor w kolm´ y na vektory u a v velikosti w = u v sin(α) a takov´e orientace, ˇze trojice vektor˚ u u, v, w tvoˇr´ı pravotoˇciv´ y syst´em, kde α je u ´hel, kter´ y vektory u, v sv´ıraj´ı. i j k u × v := det u1 u2 u3 , v1 v2 v3 kde i, j, k jsou jednotkov´e vektory souˇradnicov´ ych os, viz Definice 3.4, a ui , vj sloˇzky vektor˚ u u, v.
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
4
3. Analytick´a geometrie
3A. Vektorov´ y poˇcet
Bez d˚ ukazu uvedeme n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.9. Obˇe definice vektorov´eho souˇcinu (a) i (b) jsou ekvivalentn´ı. Analytick´ y vzorec (b) lze rozepsat do sloˇzek vektoru w ) ( u2 u3 u3 u1 u1 u2 = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) . u×v = , , v2 v3 v3 v1 v1 v2 Vektorov´ y souˇcin nen´ı komutativn´ı, je tzv. antikomutativn´ı: v × u = −u × v , Vektorov´ y souˇcin je line´ arn´ı v obou promˇenn´ ych, tj. pro kaˇzd´a ˇc´ısla c1 , c2 ∈ R a kaˇzd´e vektory plat´ı (c1 u1 + c2 u2 ) × v = c1 (u1 × v) + c2 (u2 × v) ,
u × (c1 v1 + c2 v2 ) = c1 (u × v1 ) + c2 (u × v2 ) .
Geometrick´ y v´ yznam vektorov´ eho souˇ cinu Vektorov´ y souˇcin u × v dvou vektor˚ u u, v je vektor w, kter´ y je kolm´ y na oba vektory u, v. Jeho velikost je rovna ploˇsn´emu obsahu S = u v sin(α) rovnobˇeˇzn´ıku urˇcen´eho vektory u, v v Obr´azku 3.5).
Obr. 3.5: Geometrick´ y v´ yznam vektorov´eho souˇcinu w = u × v. Pozn´ amky: Vektorov´ y souˇcin line´arnˇe z´avisl´ ych vektor˚ u d´av´a nulu, rovnobˇeˇzn´ık jimi urˇcen´ y degeneruje na u ´seˇcku s nulov´ ym ploˇsn´ ym obsahem, speci´alnˇe u × u = 0. Ze skal´arn´ı souˇcinu vektor˚ u u a v lze urˇcit kosinus u ´hlu α, kter´ y sv´ıraj´ı, z vektorov´eho souˇcinu pak lze urˇcit sinus u ´hlu, kter´ y sv´ıraj´ı: u·v |u × v| cos(α) = , sin(α) = (3.2) |u| · |u| |u| · |u| Uved’me dva pˇr´ıklady vyuˇzit´ı vektorov´eho souˇcinu ve fyzice: Pˇ r´ıklad 3.10. S´ıla F p˚ usob´ıc´ı na tˇeleso v bodˇe P vyvozuje vzhledem k poˇc´atku souˇradnic ot´aˇciv´ y moment M = r × F, kde r je polohov´ y vektor bodu P , viz Obr´azek 3.6.
Obr. 3.6: Ot´aˇciv´ y moment M s´ıly F p˚ usob´ıc´ı na tˇeleso v bodˇe P s polohov´ ym vektorem r, je M = r × F.
Pˇ r´ıklad 3.11. Na konci tyˇce d´elky l p˚ y usob´ı s´ıla F rovnobˇeˇznˇe s osou x podle Obr´azku 3.7. Urˇcete ot´aˇciv´ moment s´ıly F vzhledem k poˇc´ atku O. ˇ sen´ı: Plat´ı M = r × F. Vektor M zakresl´ıme podle Obr´azku 3.7. Reˇ
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
5
3. Analytick´a geometrie
3A. Vektorov´ y poˇcet
Obr. 3.7: K pˇr´ıkladu 3.11, velikost vektoru M je M = |r| · |F| sin 90◦ = 12 lF . Sm´ıˇ sen´ y souˇ cin vektor˚ u V prostoru R3 m´ ame jeˇstˇe tzv. sm´ıˇsen´ y souˇcin tˇr´ı vektor˚ u, tj. tern´arn´ı operaci: prvn´ı vektor skal´arnˇe n´asob´ıme vektorov´ ym souˇcinem druh´eho a tˇret´ıho vektoru: Definice 3.12. Bud’te u, v, w vektory v R3 . Jejich sm´ıˇ sen´ y souˇ cin oznaˇcen´ y [u v w] je skal´ar, tj. ˇc´ıslo, kter´e dostaneme, kdyˇz prvn´ı vektor skal´ arnˇe vyn´asob´ıme vektorov´ ym souˇcinem druh´eho a tˇret´ıho vektoru, tj. [u v w] = u · (v × w) Pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem se lze pˇresvˇedˇcit, ˇze skal´arn´ı souˇcin vektoru u = (u1 , u2 , u3 ) s vektorem pomoc´ı Vˇety 3.9 a rozvoje determinantu podle prvn´ıho ˇr´adku zapsat jako determinant v2 w 3 v3 w 1 v1 w2 u1 u2 + u2 (u1 , u2 , u3 ) · (t1 , t2 , t3 ) = u1 w3 v1 + u3 w1 v2 = v1 v2 w2 v3 w1 w2
t = v × w lze u3 v3 w3
.
Zmˇena poˇrad´ı vektor˚ u tak vede na zmˇenu poˇrad´ı ˇr´adk˚ u pˇr´ısluˇsn´eho determinantu. Vlastnosti sm´ıˇsen´eho souˇcinu shrneme v tvrzen´ı: Vˇ eta 3.13. Bud’te u, v, w vektory v R3 . Potom jejich sm´ıˇsen´ y souˇcin lze zapsat ve tvaru determinantu: u1 u2 u3 [u v w] = v1 v2 v3 . w1 w2 w3 Souˇcin nen´ı komutativn´ı, pˇri zmˇenˇe poˇrad´ı vektor˚ u se mˇen´ı znam´enko podle znam´enka permutace, pˇri sud´e permutaci se znam´enko nemˇen´ı, pˇri lich´e permutaci se znam´enko zmˇen´ı: [u v w] = [v w u] = [w u v] = −[u w v] − [v u w] − [w v u] . Absolutn´ı hodnota sm´ıˇsen´eho souˇcinu [u v w] je rovna objemu rovnobˇeˇznostˇenu urˇcen´eho vektory u, v, w.
Operace s vektory v rovinˇ e Vektory v rovinˇe lze sˇc´ıtat i n´asobit skal´ arem. Skal´arn´ı souˇcin je tak´e u · v = (u1 , u2 ) · (v1 , v2 ) = u1 v1 + u2 v2 . V´ ysledkem vektorov´eho souˇcinu dvou vektor˚ u v rovinˇe x1 , x2 vˇsak nen´ı vektor, ale skal´ar; je to tˇret´ı sloˇzka vektorov´eho souˇcinu v prostoru, protoˇze prvn´ı dvˇe sloˇzky jsou nulov´e: u × v = (u1 , u2 ) × (v1 , v2 ) = u1 v2 − u2 v1 . Vektorov´ y souˇcin je i v rovinˇe antikomutativn´ı: v × u = −u × v. Tak´e u ´hel α dvou vektor˚ u u, v lze urˇcit stejnˇe jako v trojrozmˇern´em prostoru: cos(α) =
u1 v1 + u2 v2 u·v √ =√ 2 , |u| · |u| u1 + u22 v12 + v22
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
sin(α) =
|u1 v2 − u2 v1 | |u × v| √ =√ 2 . |u| · |u| u1 + u22 v12 + v22
6
3. Analytick´a geometrie
3A. Vektorov´ y poˇcet
Pozn´ amky: Skal´ arn´ı i vektorov´ y souˇcin vektor˚ u jsme si definovali geometricky i analyticky. V pˇr´ıpadˇe roviny lze ekvivalenci snadno uk´azat. Uvaˇzujme vektor u = (u1 , u2 ) sv´ıraj´ıc´ı s kladnou poloosou x (orientovan´ y) u ´hel α a vektor v = (v1 , v2 ) sv´ıraj´ıc´ı s kladnou poloosou x u ´hel β. Oba vektory sv´ıraj´ı u ´hel φ = β − α, viz Obr. 3.8. y v2
v
u2 φ β
u α
x v1 u1 0 Obr. 3.8: K d˚ ukazu ekvivalence geometrick´e a analytick´e definice skal´arn´ıho a vektorov´eho souˇcinu Pro u ´hel α plat´ı sin(α) = u2 /|u|, cos(α) = u1 /|u| a podobn´e rovnosti pro u ´hel β. Vyuˇzit´ım vzorce pro rozd´ıl u ´hl˚ u cos(β − α) = cos(β) cos(α) + sin(β) sin(α) dost´av´ame cos(φ) = cos(β − α) = cos(β) cos(α) + sin(β) sin(α) =
v1 u1 v2 u2 · + · , |v| |u| |v| |u|
odkud vyn´asoben´ım rovnosti |u|·|v| plyne ekvivalence obou definic skal´arn´ıho souˇcinu. Podobnˇe vyuˇzit´ım vzorce sin(β − α) = sin(β) cos(α) − cos(β) sin(α) dost´av´ame sin(φ) = sin(β − α) = sin(β) cos(α) − cos(β) sin(α) =
v2 u1 v1 u 1 · − · , |v| |u| |v| |u|
odkud plyne ekvivalence obou definic vektorov´eho souˇcinu v rovinˇe.
Vektory v n-rozmˇ ern´ em prostoru Na z´avˇer se pro zaj´ımavost pod´ıvejme na vektory v n-rozmˇern´em prostoru: Uspoˇr´adan´e n-tice u = (u1 , u2 , . . . , un ) re´aln´ ych ˇc´ısel lze ztotoˇznit s vektory v prostoru Rn . Tyto vektory lze sˇc´ıtat a skal´ arnˇe n´asobit po sloˇzk´ ach stejnˇe jako matice. (a) Skal´arn´ı souˇcin nedˇel´ a probl´em: u · v = (u1 , u2 , . . . , un ) · (v1 , v2 , . . . , vn ) = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn , je komutativn´ı a plat´ı pro nˇej distributivn´ı z´akony jako v prostoru R3 . (b) D´elku vektoru snadno vyj´adˇr´ıme pomoc´ı skal´arn´ıho souˇcinu: √ √ |u| = u · u = u21 + u22 + · · · + u2n . (c) Dva vektory u a v v n-rozmˇern´em prostoru Rn urˇcuj´ı rovinu, ve kter´e m˚ uˇzeme pomoc´ı skal´arn´ıho souˇctu urˇcit u ´hel α, kter´ y sv´ıraj´ı: cos(α) =
u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn u·v √ =√ 2 . |u| · |u| u1 + u22 + · · · + u2n v12 + v22 + · · · + vn2
(d) Vektorov´ y souˇcin dvou vektor˚ u v Rn nen´ı definov´an: v prostoru Rn , n ≥ 4, je nekoneˇcnˇe mnoho smˇer˚ u kolm´ ych na rovinu urˇcenou dvˇema nez´avisl´ ymi vektory. M´ısto toho lze definovat vektorov´ y souˇcin n–1 vektor˚ u jako (n–1)-´arn´ı operaci, tj. operaci, kter´a n−1 vektor˚ um u1 = (u11 , . . . , u1n ), u2 = (u21 , . . . , u2n ), . . . , un−1 = (un−1 , . . . , un−1 ) vektor w = u1 × · · · × un−1 n 1 jako determinant u11 u12 ... u1n u2 u22 ... u2n 1 .. , w = ... . un−1 un−1 . . . un−1 1 n 2 e e ... e 1
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
2
n
7
3. Analytick´a geometrie
3A. Vektorov´ y poˇcet
kde vektory e1 , e2 , . . . en tvoˇr´ı tzv. kanonickou b´azi, jsou to jednotkov´e vektory ve smˇerech souˇradnicov´ ych os, tj. vektor ei m´a jedniˇcku na i-t´em m´ıstˇe, ostatn´ı jsou nuly: e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) a en = (0, 0, . . . , 0, 1). (e) Tak´e ve sm´ıˇsen´em souˇcinu bin´arn´ı operaci vektorov´eho souˇcinu mus´ıme nahradit (n − 1)-´arn´ı operac´ı vektorov´eho souˇcinu. Dost´av´ ame tak n-n´arn´ı operaci tzv. vnˇejˇs´ı souˇcin n vektor˚ u u1 , u2 , . . . , un , jej´ımˇz v´ ysledkem je determinant, tj. ˇc´ıslo 1 u1 u12 . . . u1n u2 u2 . . . u2 n 2 1 [u1 u2 · · · un ] = det . .. . .. . un un . . . un 1
2
n
Poznamenejme, ˇze absolutn´ı hodnota vnˇejˇs´ıho souˇcinu vyjadˇruje objem“ n-rozmˇern´eho rovnobˇeˇznostˇenu ” urˇcen´eho vektory u1 , u2 , . . . , un . (f) V n-rozmˇern´em prostoru lze definovat r˚ uzn´a n-rozmˇern´a tˇelesa, napˇr´ıklad n-rozmˇern´ y kv´adr je kart´ezsk´ y souˇcin interval˚ u (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × · · · × (an , bn ), umˇet do libovoln´e roviny. Zaj´ımav´e jsou roviny, kter´e nejsou rovnobˇeˇzn´e se ˇz´adnou lze nakreslit“ i jeho pr˚ ” souˇradnicovou osou. Probl´em je vˇsak vyznaˇcit viditelnost“, tj. urˇcit, kter´e body jsou vidˇet a kter´e jsou ” zakryt´e. To je neˇreˇsiteln´ y probl´em analogick´ y probl´emu vyznaˇcen´ı viditelnosti trojrozmˇern´eho tˇelesa prom´ıtnut´eho na pˇr´ımku.
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
8
3. Analytick´a geometrie
3B. Line´arn´ı mnoˇziny v rovinˇe
´ rn´ı mnoˇ ˇ 3B. Linea ziny v rovine Nejprve se budeme zab´ yvat rovn´ ymi“ u ´tvary zvan´ ymi line´arn´ı mnoˇziny, protoˇze je lze popsat line´arn´ımi ” ´ rovnicemi. Utvary lze popsat r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Implicitn´ı popis obsahuje rovnici pro souˇradnice x, y jednotliv´ ych bod˚ u mnoˇziny, bod patˇr´ı do u ´tvaru, pokud jeho souˇradnice rovnici splˇ nuj´ı. Proti tomu parametrick´ y popis se skl´ad´a ze vzorc˚ u pro souˇradnice bod˚ u mnoˇziny. Vzorce obsahuj´ı parametry, dosazen´ım konkr´etn´ıch ˇc´ısel z mnoˇziny parametr˚ u za parametry dostaneme jednotliv´e body mnoˇziny. Opˇet je zde probl´em s r˚ uzn´ ymi oznaˇcen´ımi bod˚ u a vektor˚ u. V dvojrozmˇern´em prostoru osy znaˇc´ıme x, y. Body budeme oznaˇcovat velk´ ymi p´ısmeny a jejich souˇradnice x, y v hranat´ ych z´avork´ach rozliˇs´ıme indexem bodu. Obecn´ y bod se souˇradnicemi budeme znaˇcit P = [x, y], souˇradnice konkr´etn´ıho bodu rozliˇs´ıme indexy, napˇr. A = [xA , yA ], nˇekdy se znak rovn´ a se“ vynech´av´a. Vektory budeme znaˇcit tuˇcn´ ymi mal´ ymi p´ısmeny ” a jejich souˇradnice p´ısmeny s ˇc´ıseln´ ymi indexy v kulat´ ych z´avork´ach, napˇr´ıklad u = (u1 , u2 ). Toto znaˇcen´ı je nejˇcastˇejˇs´ı, i kdyˇz logiˇctˇejˇs´ı by bylo ps´at u = (ux , uy ), nebo u = (xu , yu ).
Pˇ r´ımka v rovinˇ e Body P = [x, y] pˇr´ımky v rovinˇe lze popsat nˇekolika zp˚ usoby, nˇekter´e nejsou jednoznaˇcn´e, tj. r˚ uzn´e z´apisy urˇcuj´ı stejnou pˇr´ımku, jin´e zase nedok´aˇz´ı popsat vˇsechny pˇr´ımky: Definice 3.14. Pˇr´ımka v rovinˇe je mnoˇzina bod˚ u P = [x, y] dan´a jedn´ım z n´asleduj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u: (a) (obecn´ a rovnice pˇ r´ımky) {[x, y] ∈ R2 | ax + by + c = 0} , kde a, b, c ∈ R a alespoˇ n jedno z ˇc´ısel a, b je r˚ uzn´e od nuly, (b) (smˇ ernicov´ a rovnice pˇ r´ımky) {[x, y] ∈ R2 | y = kx + q} , ˇ ıslo q je souˇradnice pr˚ kde k, q ∈ R. C´ useˇc´ıku pˇr´ımky s osou y, k je tzv. smˇ ernice, (c) (´ usekov´ a rovnice pˇ r´ımky)
{[x, y] ∈ R2 |
x p
+
y q
= 1},
kde p, q ̸= 0 jsou u ´seky, kter´e pˇr´ımka vyt´ın´a“ na os´ach x, y, tj. pr˚ useˇc´ıky s osami jsou [p, 0] a [0, q], ” (d) (parametrick´ e rovnice pˇ r´ımky) {[x, y] ∈ R2 | x = xA + s1 t, y = yA + s2 t t ∈ R}, kde A = [xA , yA ] je bod, kter´ ym pˇr´ımka proch´az´ı, a s = (s1 , s2 ) je jej´ı (nenulov´ y) smˇerov´ y vektor. Tyto rovnice lze zapsat tak´e vektorovˇ e: {P ∈ R2 : P = A + t s, t ∈ R}. Pˇr´ımky oznaˇcujeme obvykle mal´ ymi latinsk´ ymi p´ısmeny, napˇr. p, q, r, s, t.
s = (s1 , s2 ) n = (n1 , n2 ) φ k = tg φ = ss12
– – – –
smˇerov´ y vektor pˇr´ımky p norm´alov´ y vektor pˇr´ımky p smˇerov´ yu ´hel pˇr´ımky p smˇernice pˇr´ımky p
Obr. 3.9: K definici pˇr´ımky.
Vˇ eta 3.15. (Vlastnosti jednotliv´ ych z´ apis˚ u pˇ r´ımky) (a) Obecn´ a rovnice pˇr´ımky (a) dovede popsat vˇsechny pˇr´ımky v rovinˇe. Rovnice nen´ı jednoznaˇcn´a, kaˇzd´ y nenulov´ y n´asobek rovnice popisuje stejnou pˇr´ımku. Popis pˇr´ımky bude jednoznaˇcn´ y, pˇrid´ame-li napˇr´ıklad podm´ınku a2 + b2 = 1 a a > 0, nebo b > 0 v pˇr´ıpadˇe, kdy a = 0. y vektor n = (a, b) a t´ım i smˇerov´ y vektor s = (−b, a). Koeficienty a, b urˇcuj´ı norm´alov´ V pˇr´ıpadˇe a = 0 je pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s osou x, pokud b = 0, je pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s osou y, pokud c = 0, pˇr´ımka proch´ az´ı poˇc´ atkem O = [0, 0]. Pokud a ̸= 0 pˇr´ımka prot´ın´ a osu x v bodˇe [− ac , 0], v pˇr´ıpadˇe b ̸= 0 pˇr´ımka prot´ın´a osu y v bodˇe [0, − cb ]. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
9
3. Analytick´a geometrie
3B. Line´arn´ı mnoˇziny v rovinˇe
(b) Smˇernicov´ a rovnice dovede popsat vˇsechny pˇr´ımky kromˇe pˇr´ımek rovnobˇeˇzn´ ych s osou y, z´apis je jednoznaˇcn´ y, tj. r˚ uzn´e k, q urˇcuj´ı r˚ uzn´e pˇr´ımky. Vektor s = (1, k) je smˇerov´ y a n = (−k, 1) norm´alov´ y vektor pˇr´ımky. ˇ C´ıslo q urˇcuje pr˚ useˇc´ık [0, q] pˇr´ımky s osou y. Pˇr´ıpad k = 0 urˇcuje pˇr´ımku rovnobˇeˇznou s osou x. Pro k ̸= 0 pˇr´ımka prot´ın´a osu x v bodˇe [− kq , 0]. ´ a rovnice dovede popsat vˇsechny pˇr´ımky kromˇe pˇr´ımek proch´azej´ıc´ıch poˇc´atkem. Protoˇze (c) Usekov´ y. Pˇrevedeme-li jedniˇcku z prav´e strany pr˚ useˇc´ıky s osami d´avaj´ı parametry p, q, z´apis je jednoznaˇcn´ na levou, m´ame tvar obecn´e rovnice. (d) Parametrick´e rovnice dovedou popsat vˇsechny pˇr´ımky, pˇr´ımka vˇsak m´a mnoho z´apis˚ u: m˚ uˇze zaˇc´ınat z libovoln´eho bodu pˇr´ımky a tak´e nenulov´ y n´asobek smˇerov´eho vektoru pˇr´ımku nemˇen´ı. Rovnice obsahuj´ı smˇerov´ y vektor s = (s1 , s2 ), norm´alov´ y vektor je potom n = (−s2 , s1 ). Pozn´ amky: Nauˇcte se pˇrev´ adˇet jeden druh rovnice pˇr´ımky na ostatn´ı! Dva r˚ uzn´e body A = [xA , yA ], B = [xB , yB ] urˇcuj´ı pˇr´ımku. Jak´e jsou jej´ı rovnice? Body A, B urˇcuj´ı jej´ı smˇerov´ y vektor: s = (xB − xA , yB − yA ) odkud m˚ uˇzeme pˇr´ımo napsat jej´ı parametrick´e rovnice: x = xA + t(xB − xA ), V pˇr´ıpadˇe xA ̸= xB je smˇernice pˇr´ımky ˇc´ıslo k =
y = yA + t(yB − yA ) yB −yA xB −xA
y = yA +
t ∈ R.
a rovnice pˇr´ımky je
yB − yA (x − xA ) . xB − xA
(3.3)
Rozn´asoben´ım lze rovnici snadno upravit na smˇernicovou i obecnou rovnici pˇr´ımky. Norm´alov´ y vektor je (−yB +yA , xB −xA ). Vydˇelen´ım obecn´e rovnice absolutn´ım ˇclenem (pokud je nenulov´ y) po pˇreveden´ı jedniˇcky na pravou stranu dostaneme u ´sekovou rovnici pˇr´ımky. Pˇ r´ıklad 3.16. Pˇr´ımka p je urˇcena obecnou rovnic´ı 3 x − y − 6 = 0. Urˇcete smˇerov´ y a norm´alov´ y vektor a ostatn´ı druhy rovnice t´eto pˇr´ımky. ˇ sen´ı: Koeficienty obecn´e rovnice d´avaj´ı norm´alov´ Reˇ y vektor n = (a, b) = (3, −1). Z rovnice lze hned urˇcit smˇernicov´ y tvar y = 3 x − 6, odkud m´ame smˇerov´ y vektor s = (1, k) = (1, 3). Dˇelen´ı obecn´e rovnice ˇc´ıslem 6 d´av´a x2 − y6 − 1 = 0, odkud m´ame u ´sekov´ y tvar x2 − y6 = 1 s pr˚ useˇc´ıky [2, 0] a [0, −6] na os´ach x a y. Volbou napˇr´ıklad x = 1 dost´av´ ame bod [1, −3] a t´ım i parametrick´e rovnice x = 1 + t, y = −3 + 3 t. Pokud za bod vezmeme pr˚ useˇc´ık [2, 0], parametrick´e rovnice jsou x = 2 + t, y = 3 t. Vz´ ajemn´ e polohy bod˚ u a pˇ r´ımek v rovinˇ e
−−→ Vzd´ alenost dvou (r˚ uzn´ ych) bod˚ u A = [xA , yA ] a B = [xB , yB ] je rovna velikosti vektoru AB, tj. −−→ √ |B − A| = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
Jak´a je vz´ajemn´ a poloha bodu a pˇr´ımky? Pokud souˇradnice bodu splˇ nuj´ı rovnice pˇr´ımky (kter´ekoliv, kromˇe parametrick´ ych), bod leˇz´ı na pˇr´ımce. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe na pˇr´ımce neleˇz´ı. Vzd´ alenost bodu A od pˇ r´ımky u pˇr´ımky. Minimum je dosaˇzeno v kolm´em pr˚ umˇetu P bodu na p je minimum jeho vzd´alenosti od vˇsech bod˚ pˇr´ımku p, tj. pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky p s pˇr´ımkou q, kter´a proch´az´ı bodem A a je kolm´a na pˇr´ımku p. Tuto vzd´alenost lze spoˇc´ıtat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho vzorce, zkuste ho odvodit! Vˇ eta 3.17. Vzd´ alenost bodu od pˇ r´ımky v rovinˇ e. Mˇejme pˇr´ımku p : ax + by + c = 0 a bod A = [xA , yA ]. Potom jejich vzd´alenost d je |a xA + b yA + c| √ . d= a2 + b2 Jak´a je vz´ajemn´ a poloha dvou pˇr´ımek v rovinˇe? Dvˇe pˇr´ımky mohou b´ yt (a) r˚ uznobˇeˇzn´e, tj. maj´ı jedin´ y spoleˇcn´ y bod, tzv. pr˚ useˇc´ık, (b) rovnobˇeˇzn´e, tj. nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod a (c) totoˇzn´e.
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
10
3. Analytick´a geometrie
3B. Line´arn´ı mnoˇziny v rovinˇe
Jak zjistit vz´ajemnou polohu dvou pˇr´ımek p, q v rovinˇe? Pokud jejich smˇerov´e (nebo norm´alov´e) vektory jsou nez´avisl´e, pˇr´ımky jsou r˚ uznobˇeˇzn´e. Pokud jsou z´avisl´e, pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzn´e nebo totoˇzn´e. Z´avislost lze nejsnadnˇeji zjistit pomoc´ı vektorov´eho souˇcinu: vektory sp = (sp1 , sp2 ) a sq = (sq1 , sq2 ) jsou z´avisl´e, pr´avˇe kdyˇz sp × sp = sp1 sq2 − sp2 sq1 = 0. Vzd´alenost dvou (r˚ uzn´ ych) rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek lze poˇc´ıtat podobnˇe jako vzd´alenost bodu od pˇr´ımky: staˇc´ı zvolit na jedn´e pˇr´ımce jeden bod a mˇeˇrit jeho vzd´alenost od druh´e pˇr´ımky. Zkuste odvodit n´asleduj´ıc´ı vzorec: Vˇ eta 3.18. Vzd´ alenost dvou rovnobˇ eˇ zn´ ych pˇ r´ımek. Mˇejme dvˇe rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky p a q, kter´e zap´ıˇseme se stejn´ ymi koeficienty a, b: pˇr´ımka p m´ a rovnici a x + b y + cp = 0 a pˇr´ımka q rovnici a x + b y + cq = 0. Potom jejich vzd´alenost d je |cp − cq | d= √ . a2 + b2 Pokud jsou dvˇe pˇr´ımky r˚ uznobˇeˇzn´e, jejich pr˚ useˇ c´ık m´a souˇradnice x, y, kter´ y je ˇreˇsen´ım soustavy rovnic sloˇzen´e napˇr´ıklad z obecn´ ych rovnic obou pˇr´ımek. Odchylkou dvou r˚ uznobˇ eˇ zn´ ych pˇ r´ımek p a q rozum´ıme u ´hel, kter´ y je d´an jako u ´hel α, kter´ y sv´ıraj´ı smˇerov´e vektory sp a sq tˇechto pˇr´ımek, pokud je tento u ´hel vˇetˇs´ı neˇz prav´ y, vezmeme ostr´ yu ´hel mezi vektory sp a −sq . Tento u ´ hel lze urˇcit pomoc´ı skal´ arn´ıho nebo vektorov´eho souˇcinu z rovnic cos(α) =
|sp · sq | , |sp | |sq |
sin(α) =
|sp × sq | . |sp | |sq |
ˇ r´ımky jsou navz´ ajem kolm´ e, pokud jejich smˇerov´e vektory sv´ıraj´ı prav´ yu ´hel, tj. sp · sq = 0. Rekneme, ˇze pˇ
Podmnoˇ ziny pˇ r´ımky a mnoˇ ziny s rovn´ ymi“ okraji v rovinˇ e ” Pˇr´ımku uˇz popsat um´ıme. Jak popsat polopˇr´ımku, u ´seˇcku, poloroviny, u ´hel a troj´ uheln´ık? Na to se nejl´epe hod´ı parametrick´ y popis pˇr´ımky dan´e dvˇema body: Vˇ eta 3.19. Mˇejme dva r˚ uzn´e body A = [xA , yA ] a B = [xB , yB ]. Potom parametrick´e rovnice x = xA + t(xB − xA ) ≡ (1 − t)xA + t xB
y = yA + t(yB − yA ) ≡ (1 − t)yA + t yB
urˇcuj´ı n´asleduj´ıc´ı body a podmnoˇziny pˇr´ımky pro r˚ uzn´e hodnoty parametru t: (a) bod A pro t = 0, bod B pro t = 1, stˇred u ´seˇcky AB pro t = 12 , (b) otevˇrenou u ´seˇcku AB pro t ∈ (0, 1), u ´seˇcku AB s koncov´ ymi body pro t ∈ ⟨0, 1⟩, −−→ −−→ (c) polopˇr´ımku AB pro t ∈ ⟨0, ∞), polopˇr´ımku BA pro t ∈ (−∞, 1⟩ a celou pˇr´ımku p pro t ∈ R. V pˇr´ıpadˇe ostatn´ıch popis˚ u pˇr´ımky lze jej´ı podmnoˇzinu vyj´adˇrit omezen´ım promˇenn´e x nebo y, napˇr´ıklad z´apis a x + b y + c = 0 s nerovnost´ı xA < x < xB urˇcuje otevˇrenou u ´seˇcku. Pˇr´ımka v rovinˇe rozdˇeluje tuto rovinu na dvˇe poloroviny, kter´e dostaneme tak, ˇze v rovnici pˇr´ımky (obecn´e, smˇernicov´e i u ´sekov´e) zmˇen´ıme rovnost na nerovnost. Kterou z dvou polorovin oddˇelen´ ych pˇr´ımkou p dostaneme? Je-li hraniˇcn´ı pˇr´ımka ve tvaru y = k x + q, potom zˇrejmˇe nerovnice popisuje: polorovinu nad“ pˇr´ımkou, v pˇr´ıpadˇe y ≥ k x + q vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky, ” y < k x + q polorovinu pod“ pˇr´ımkou, v pˇr´ıpadˇe y ≤ k x + q vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky. ” Je-li hraniˇcn´ı pˇr´ımka zapsan´a ve tvaru x = q, pˇr´ıpadnˇe x = p y + q, potom zˇrejmˇe: y > kx+q
je polorovina vpravo“ od pˇr´ımky, v pˇr´ıpadˇe x ≥ p y + q vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky, ” x < p y + q je polorovina vlevo“ od pˇr´ımky, v pˇr´ıpadˇe x ≤ p y + q vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky. ” V pˇr´ıpadˇe parametrick´eho popisu pˇr´ımky x = xA + u1 t, y = yA + u2 t, t ∈ R, se smˇerov´ ym vektorem u = (u1 , u2 ), vezmeme vektor v = (v1 , v2 ) smˇeˇruj´ıc´ı do dan´e poloroviny (napˇr´ıklad jeden ze dvou norm´alov´ ych vektor˚ u) a polorovinu (bez hraniˇcn´ı pˇr´ımky) popisuj´ı rovnice x > py + q
x = xA + u1 t + v1 s,
y = y A + u 2 t + v2 s ,
t ∈ R , s > 0,
v pˇr´ıpadˇe s ≥ 0 vˇcetnˇe hraniˇcn´ı pˇr´ımky. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
11
3. Analytick´a geometrie
3B. Line´arn´ı mnoˇziny v rovinˇe
Pˇ r´ıklad 3.20. Troj´ uheln´ık ∆ABC je urˇcen vrcholy A = [1, −1], B = [5, 0] a C = [3, 4]. Urˇcete jeho obsah, tˇeˇziˇstˇe, stˇredy a d´elky stran a popiˇste troj´ uheln´ık parametricky a nerovnostmi. ˇ sen´ı: Tˇeˇziˇstˇe T = [xT , yT ] troj´ Reˇ uheln´ıka ∆ABC m´a souˇradnice, kter´e jsou pr˚ umˇerem souˇradnic jeho vrchol˚ u: xT = 31 (1 + 5 + 3) = 3 , yT = 13 (−1 + 0 + 4) = 1 , tˇeˇziˇstˇe je tedy T = [3, 1]. Stˇredy stran jsou opˇet pr˚ umˇery souˇradnic koncov´ ych bod˚ u jednotliv´ ych stran, proto stˇred strany c = AB je Sc = [ 12 (1 + 5), 12 (−1 + 0)] = [3, − 12 ], stˇred strany b = AC je Sb = [2, 32 ] a stˇred strany a = BC je Sa = [4, 2]. √ √ √ D´elka strany c je |AB| = |(4, 1)| = 17, podobnˇe |AC| = |(2, 5)| = 29 a |BC| = |(−2, 4)| = 20. −−→ −→ Obsah troj´ uheln´ıka spoˇc´ıt´ ame pomoc´ı vektorov´eho souˇcinu vektor˚ u AB a AC 1 −−→ −→ 1 1 |∆ABC| = AB × AC = |(4, 1) × (2, 5)| = |20 − 2| = 9 . 2 2 2 −−→ Troj´ uheln´ık parametricky pop´ıˇseme pomoc´ı bodu A a vektor˚ u jeho stran u = AB = (4, 1) a v = (2, 5): x = xA + u1 s + v1 t = 1 + 4 s + 2 t ,
y = yA + u2 s + v2 t = −1 + 1 s + 5 t
s ≥ 0, t ≥ 0, s + t ≤ 1.
←→ ←→ ←→ Troj´ uheln´ık lze popsat tak´e jako pr˚ unik tˇr´ı polorovin urˇcen´ ych pˇr´ımkami AB, AC a BC. Pomoc´ı (3.3) a pˇredchoz´ıch u ´vah po u ´pravˇe dost´av´ ame 4y ≥ x − 5,
2y ≤ 5x − 7,
y ≤ 10 − 2 x .
Jako kontrolu staˇc´ı dosadit souˇradnice vrchol˚ u A, B, C do dan´ ych nerovnic. Pokud ve dvou pˇr´ıpadech vyjdou rovnosti a ve tˇret´ı plat´ı ostr´a nerovnost, jsou nerovnice spr´avnˇe.
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
12
3. Analytick´a geometrie
3C. Line´arn´ı mnoˇziny v prostoru
´ rn´ı mnoˇ 3C. Linea ziny v prostoru ´ Po rovn´ ych“ u ´tvarech v rovinˇe pˇrejdeme na rovn´e“ tzv. line´arn´ı u ´tvary v prostoru R3 . Utvary lze popsat ” ” r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. I zde je probl´em s oznaˇcen´ım bod˚ u a vektor˚ u. Podobnˇe jako v rovinˇe v naˇsem trojrozmˇern´em prostoru osy budeme znaˇcit x, y, z. Body budeme oznaˇcovat velk´ ymi p´ısmeny a jejich souˇradnice x, y, z v hranat´ ych z´avork´ach rozliˇs´ıme indexem bodu. Obecn´ y bod se souˇradnicemi budeme znaˇcit P = [x, y, z], souˇradnice konkr´etn´ıho bodu rozliˇs´ıme indexy napˇr. A = [xA , yA , zA ], nˇekteˇr´ı autoˇri znak rovn´a se“ vynech´avaj´ı. Vektory ” budeme znaˇcit tuˇcn´ ymi mal´ ymi p´ısmeny a jejich souˇradnice p´ısmeny s ˇc´ıseln´ ymi indexy v kulat´ ych z´avork´ach, napˇr´ıklad u = (u1 , u2 , u3 ). Toto znaˇcen´ı je nejˇcastˇejˇs´ı, i kdyˇz logiˇctˇejˇs´ı by bylo ps´at u = (ux , uy , uz ), nebo u = (xu , yu , zu ).
Rovina v prostoru Body P v prostoru budeme urˇcovat souˇradnicemi P = [x, y, z]. Podobnˇe jako pˇr´ımku v rovinˇe i rovinu v prostoru m˚ uˇzeme urˇcit r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby: Definice 3.21. Rovina v prostoru je mnoˇzina bod˚ u P = [x, y, z] dan´a jedn´ım z n´asleduj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u: (a) (obecn´ a rovnice roviny) {[x, y, z] ∈ R3 | a x + b y + c z + d = 0} , kde a, b, c, d ∈ R a alespoˇ n jedno z ˇc´ısel a, b, c je r˚ uzn´e od nuly, (b) (smˇ ernicov´ a rovnice roviny) {[x, y, z] ∈ R3 | z = k x + l y + q} , ˇ ıslo q je souˇradnice pr˚ kde k, l, q ∈ R. C´ useˇc´ıku pˇr´ımky s osou z a k, l jsou tzv. smˇ ernice, (c) (´ usekov´ a rovnice roviny) {[x, y] ∈ R2 |
x y z + + = 1}, p q r
kde p, q, r ̸= 0 jsou u ´seky, kter´e rovina vyt´ın´a“ na os´ach x, y, z, tj. pr˚ useˇc´ıky s osami x, y, z jsou po ” ˇradˇe body [p, 0, 0], [0, q, 0] a [0, 0, r], (d) (parametrick´ e rovnice roviny) {[x, y] ∈ R2 | x = xA + u1 s + v1 t, y = yA + u2 s + v2 t, z = zA + u3 s + v3 t s, t ∈ R} kde A = [xA , yA , zA ] je bod, kter´ ym rovina proch´az´ı, a u = (u1 , u2 , u3 ) a v = (v1 , v2 , v3 ) jsou dva nez´avisl´e vektory leˇz´ıc´ı v dan´e rovinˇe. Tyto rovnice lze jednoduˇse zapsat vektorovˇ e: {P ∈ R3 : P = A + s u + y v
s, t ∈ R}.
Roviny oznaˇcujeme obvykle mal´ ymi ˇreck´ ymi p´ısmeny, napˇr. α, β, γ. Z definic je snadn´e odvodit n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.22. (Vlastnosti jednotliv´ ych z´ apis˚ u roviny) (a) Obecn´ a rovnice roviny (a) dovede popsat vˇsechny roviny v prostoru. Rovnice nen´ı jednoznaˇcn´a, kaˇzd´ y nenulov´ y n´asobek rovnice popisuje stejnou rovinu. Popis roviny bude jednoznaˇcn´ y, pˇrid´ame-li napˇr´ıklad podm´ınku a2 + b2 + c2 = 1 a a > 0, nebo b > 0 pro a = 0, nebo c > 0 pro a = b = 0. Koeficienty a, b, c urˇcuj´ı norm´ alov´ y vektor n = (a, b, c), smˇerov´ y vektor nen´ı urˇcen jednoznaˇcnˇe, v rovinˇe existuj´ı vˇzdy dva nez´avisl´e smˇerov´e vektory u a v. V pˇr´ıpadˇe a = b = 0 je rovina kolm´a na osu z a rovnobˇeˇzn´a s osami x, y. Pokud a = c = 0, rovina je kolm´a na osu y a rovnobˇeˇzn´ a s osami x, z. Jestliˇze b = c = 0, rovina je kolm´a na osu x a rovnobˇeˇzn´a s osami y, z. Pokud d = 0, pˇr´ımka proch´az´ı poˇc´atkem O = [0, 0, 0]. Pokud a ̸= 0, rovina prot´ın´ a osu x v bodˇe [− ad , 0, 0], v pˇr´ıpadˇe b ̸= 0 rovina prot´ın´a osu y v bodˇe [0, − db , 0] a jestliˇze c ̸= 0, rovina prot´ın´a osu z v bodˇe [0, 0, − dc ]. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
13
3. Analytick´a geometrie
3C. Line´arn´ı mnoˇziny v prostoru
(b) Smˇernicov´ a rovnice dovede popsat vˇsechny roviny kromˇe rovin rovnobˇeˇzn´ ych s osou z. Z´apis roviny je jednoznaˇcn´ y, tj. r˚ uzn´e k, l, q urˇcuj´ı r˚ uzn´e roviny. Smˇerov´e vektory nejsou urˇceny jednoznaˇcnˇe, jsou to napˇr´ıklad vektory u = (1, 0, k) a v = (0, 1, l). Vektor n = (−k, −l, 1) je norm´alov´ y vektor roviny. Pˇr´ıpad k = l = 0 urˇcuje rovinu rovnobˇeˇznou s rovinou z = 0. ´ (c) Usekov´ a rovnice dovede popsat jen ty roviny, kter´e prot´ınaj´ı vˇsechny tˇri osy. Protoˇze pr˚ useˇc´ıky s osami d´avaj´ı parametry p, q, r, z´apis je jednoznaˇcn´ y. Pˇrevedeme-li jedniˇcku z prav´e strany na levou, m´ame tvar obecn´e rovnice. (d) Parametrick´e rovnice dovedou popsat vˇsechny roviny, roviny vˇsak maj´ı nekoneˇcnˇe mnoho z´apis˚ u: mohou zaˇc´ınat z libovoln´eho bodu roviny a mohou obsahovat libovolnou dvojici nez´avisl´ ych vektor˚ u v rovinˇe. Jsou-li u a v nez´avisl´e smˇerov´e vektory roviny, potom vektor u × v je norm´alov´ ym vektorem roviny. M´ame-li norm´alov´ y vektor, jeho sloˇzky jsou koeficienty a, b, c v obecn´e rovnici roviny, pomoc´ı souˇradnic bodu roviny staˇc´ı dopoˇc´ıtat koeficient d. Pozn´ amky: Nauˇcte se pˇrev´ adˇet jeden druh z´apisu roviny na ostatn´ı! Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe pˇr´ımky v rovinˇe jsme z parametrick´ ych rovnic urˇcovali ˇc´asti pˇr´ımky omezen´ım mnoˇziny parametr˚ u, i zde v prostoru omezen´ım mnoˇziny parametr˚ u s, t m˚ uˇzeme urˇcit poloroviny, u ´hly, troj´ uheln´ıky, rovnobˇeˇzn´ıky atd. Zamˇen´ıme-li v obecn´e, smˇernicov´e i u ´sekov´e rovnici rovnost nerovnic´ı, dost´av´ame poloprostor. Napˇr´ıklad x + y + z + 1 ≥ 0 je poloprostor nad“ rovinou x + y + z + 1 = 0 obsahuj´ıc´ı poˇc´atek. ” Pˇ r´ıklad 3.23. Ovˇeˇrte, ˇze body A = [1, 1, 3], B = [5, 4, 1], C = [2, 1, 6] neleˇz´ı na pˇr´ımce. Tyto body urˇcuj´ı rovinu, napiˇste vˇsechna jej´ı vyj´adˇren´ı! Vyj´adˇrete analyticky i troj´ uheln´ık ∆ABC a jeho tˇeˇziˇstˇe. −→ −→ ˇ sen´ı: Body A, B, C neleˇz´ı na pˇr´ımce, pokud vektory u = − Reˇ AB = (4, 3, −2) a v = AC = (1, 0, 3) jsou line´arnˇe nez´avisl´e. Jejich vektorov´ y souˇcin u × v = (4, 3, −2) × (1, 0, 3) = (9, −14, −3) je nenulov´ y, proto vektory jsou nez´avisl´e. Nav´ıc je to norm´alov´ y vektor n = (9, −14, −3) roviny urˇcen´e body A, B, C. Jej´ı rovnice je tedy 9 x − 14 y − 3 z + d = 0, koeficient d dopoˇc´ıt´ame dosazen´ım souˇradnic napˇr. bodu A, odkud plyne d = 14. Obecn´a rovnice hledan´e roviny je tedy 9 x − 14 y − 3 z + 14 = 0. Jako kontrolu dosazen´ım souˇradnic bod˚ u do rovnice roviny lze ovˇeˇrit, ˇze i body B, C leˇz´ı v hledan´e rovinˇe. Z obecn´e rovnice plyne smˇernicov´ a rovnice i u ´sekov´a rovnice z = 3x −
14 14 y+ , 3 3
x y z 14 + 1 + 14 = 1 . −9 3
Parametrick´ y popis m˚ uˇzeme z´ıskat pomoc´ı bodu A a vektor˚ u u a v: x = 1 + 4s + 1t,
y = 1 + 3s,
z = 3 − 2s + 3t
s, t ∈ R .
Pokud v parametrick´em vyj´adˇren´ı omez´ıme parametry s ≥ 0, t ≥ 0 a s + t ≤ 1, dostaneme troj´ uheln´ık ]. ∆ABC. Jeho tˇeˇziˇstˇe je opˇet pr˚ umˇer souˇradnic vrchol˚ u, tj. T = [ 38 , 2, 10 3
Pˇ r´ımka v prostoru Pˇr´ımku v prostoru nelze zapsat jednou rovnic´ı. Lze ji napsat bud’ parametricky s jedn´ım parametrem, nebo jako pr˚ useˇcnici dvou rovin. Definice 3.24. Pˇr´ımka v prostoru je mnoˇzina bod˚ u P = [x, y, z] dan´a jedn´ım z n´asleduj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u: (a) (parametrick´ e rovnice pˇ r´ımky) {[x, y, z] ∈ R3 | x = xA + s1 t, y = yA + s2 t, z = zA + s3 t, t ∈ R},
(3.4)
kde A = [xA , yA , zA ] je bod, kter´ y leˇz´ı na zadan´e pˇr´ımce a s = (s1 , s2 , s3 ) je jej´ı smˇerov´ y vektor. Parametrick´e rovnice lze zapsat tak´e vektorovˇ e: ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
{P ∈ R3 : P = A + t s ,
t ∈ R}. 14
3. Analytick´a geometrie
3C. Line´arn´ı mnoˇziny v prostoru
(b) (kanonick´ y tvar rovnic pˇ r´ımky) { [x, y, z] ∈ R3
} x − xA y − yA z − zA , = = s1 s2 s3
(3.5)
kde A = [xA , yA , zA ] je bod pˇr´ımky a s = (s1 , s2 , s3 ) jej´ı smˇerov´ y vektor s nenulov´ ymi sloˇzkami. (c) (pr˚ unik dvou r˚ uznobˇ eˇ zn´ ych rovin) {[x, y, z] ∈ R3 | a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 ,
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0} ,
(3.6)
kde ai , bi , ci , di ∈ R a vektory (a1 , b1 , c1 ) a (a2 , b2 , c2 ) jsou line´arnˇe nez´avisl´e. Z definic lze snadno odvodit n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.25. (Vlastnosti jednotliv´ ych z´ apis˚ u pˇ r´ımek) (a) Parametrick´e rovnice pˇr´ımky (a) dovedou popsat kaˇzdou pˇr´ımku. Rovnice nejsou jednoznaˇcn´e, bodem A m˚ uˇze b´ yt libovoln´ y bod pˇr´ımky, tak´e kaˇzd´ y nenulov´ y n´asobek smˇerov´eho vektoru urˇcuje stejnou pˇr´ımku. (b) Kanonick´ y tvar (b) rovnic pˇr´ımky obsahuje vlastnˇe tˇri rovnice, jen dvˇe z nich jsou vˇsak nez´avisl´e. Z´apis dovede popsat jen ty pˇr´ımky, jej´ıchˇz smˇerov´ y vektor m´a vˇsechny sloˇzky nenulov´e, tj. nen´ı rovnobˇeˇzn´ y s ˇz´adnou z rovin x = 0, y = 0 ani z = 0. Z´apis nen´ı jednoznaˇcn´ y, kaˇzd´ y nenulov´ y n´asobek rovnic popisuje stejnou pˇr´ımku. Poloˇz´ıme-li kaˇzdou stranu“ rovnic (3.5) rovnu parametru t ” x − xA y − yA z − zA = t, = t, = t, s1 s2 s3 jednoduchou u ´pravou z´ısk´ ame parametrick´e rovnice pˇr´ımky (3.4). (c) Kaˇzdou pˇr´ımku lze zadat jako pr˚ useˇcnici dvou rovin, z´apis ovˇsem nen´ı jednoznaˇcn´ y, kaˇzdou pˇr´ımkou proch´az´ı nekoneˇcnˇe mnoho rovin, lze z nich zvolit libovolnou dvojici r˚ uzn´ ych rovin. Koeficienty ai , bi , ci obecn´ ych rovnic tˇechto rovin tvoˇr´ı souˇradnice norm´al tˇechto rovin, jejich vektorov´ y souˇcin (a1 , b1 , c1 ) × (a2 , b2 , c2 ) d´av´ a smˇerov´ y vektor pˇr´ımky.
Pˇ r´ıklad 3.26. Zapiˇste pˇr´ımku proch´ azej´ıc´ı body A = [1, 2, 3], B = [4, −2, 5] vˇsemi uveden´ ymi zp˚ usoby. ˇ sen´ı: Body urˇcuj´ı smˇerov´ Reˇ y vektor s = (3, −4, 2), kter´ y s bodem A d´av´a parametrick´e rovnice x = 1 + 3t,
y = 2 − 4t,
z = 3 + 2t,
t ∈ R.
Protoˇze smˇerov´ y vektor s m´ a vˇsechny sloˇzky nenulov´e, vyj´adˇren´ım parametru t dostaneme kanonick´ y tvar y−2 z−3 x−1 = = . 3 −4 2 Pro urˇcen´ı dvojice rovin, jejichˇz pr˚ useˇcnice je naˇse pˇr´ımka, m´ame mnoho moˇznost´ı. Napˇr´ıklad u ´pravou prvn´ı“ ” a druh´e“ rovnosti v pˇredchoz´ım kanonick´em tvaru dostaneme: 4 x + 3 y − 10 = 0 a y + 2 z − 8 = 0. ”
Vz´ ajemn´ a poloha bodu, pˇ r´ımky a roviny v prostoru −−→ Vzd´alenost dvou bod˚ u A = [xA , yA , zA ] a B = [xB , yB , zB ] je velikost vektoru AB, tj. √ v = |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .
(3.7)
Zda bod leˇz´ı na pˇr´ımce nebo v rovinˇe lze ovˇeˇrit dosazen´ım jeho souˇradnic do pˇr´ısluˇsn´ ych rovnic.
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
15
3. Analytick´a geometrie
3C. Line´arn´ı mnoˇziny v prostoru
Pˇ r´ıklad 3.27. Urˇcete vzd´alenost bodu A = [xA , yA , zA ] od roviny α dan´e rovnic´ı a x + b y + c z + d = 0. ˇ sen´ı: Vzd´alenost bodu A od roviny α je jeho vzd´alenost od pr˚ Reˇ useˇc´ıku P roviny α a pˇr´ımky p proch´azej´ıc´ı bodem A, kter´a je kolm´ a k rovinˇe α. Protoˇze (a, b, c) je vektor kolm´ y k rovinˇe α, souˇradnice bodu pˇr´ımky p jsou x = xA + a t, y = yA + b t, z = zA + c t. Dosazen´ı do rovnice roviny d´av´a rovnici pro parametr t pr˚ useˇc´ıku P : a x A + b y A + c zA + d a(xA + a t) + b(yA + b t) + c(zA + c t) + d = 0 , ˇreˇsen´ım je t=− . a2 + b2 + c 2 √ −→ Vektor AP m´a souˇradnice (at, bt, ct). Hledan´a vzd´alenost podle (3.7) je v = |AP | = (a2 + b2 + c2 )t2 . Protoˇze √ t2 = |t|, dosazen´ım za t dost´av´ ame |a xA + b yA + c zA + d| √ v= . (3.8) a2 + b2 + c2 Pˇ r´ıklad 3.28. Urˇcete vzd´alenost v bodu A od pˇr´ımky p dan´e bodem B a smˇerov´ ym vektorem s. Vzd´alenost v lze spoˇc´ıtat podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe. Nap´ıˇseme rovnici roviny α proch´azej´ıc´ı bodem A a kolm´e k pˇr´ımce p a urˇc´ıme pr˚ useˇc´ık P roviny α a pˇr´ımky p. Hledan´a vzd´alenost je vzd´alenost bod˚ u A a P. Uk´aˇzeme si jin´e ˇreˇsen´ı, kter´e vyuˇz´ıv´ a vlastnosti vektorov´eho souˇcinu vektor˚ u. −→ ˇ sen´ı: Plocha S rovnobˇeˇzn´ıku urˇcen´eho vektorem u = − Reˇ AB a vektorem s je rovna souˇcinu d´elky jeho strany, kterou je vektor s a v´ yˇsky na tuto stranu v, kter´a je rovna vzd´alenosti bodu A od pˇr´ımky p. Plocha S je vˇsak tak´e rovna velikosti vektorov´eho souˇcinu vektor˚ u u a s. Dost´av´ame tak rovnost S = |s| · v = |u × s| odkud plyne v=
|u × s| . |s|
(3.9)
Definice 3.29. Dvˇe roviny v prostoru mohou b´ yt (a) r˚ uznobˇ eˇ zn´ e, pokud se prot´ınaj´ı v jedn´e pˇr´ımce. Jejich norm´alov´e vektory jsou nez´avisl´e. (b) rovnobˇ eˇ zn´ e, pokud nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod. Jejich norm´alov´e vektory jsou z´avisl´e. (c) totoˇ zn´ e, pokud maj´ı vˇsechny body spoleˇcn´e. O vz´ajemn´e poloze dvou rovin vypov´ıd´ a n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 3.30. (Vz´ ajemn´ a poloha dvou rovin) Uvaˇzujme dvˇe roviny α1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 a α2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 s norm´alov´ ymi vektory n1 = (a1 , b1 , c1 ) a n2 = (a2 , b2 , c2 ). (a) Pokud vektory n1 a n2 jsou nez´avisl´e, tj. n1 × n2 ̸= 0, roviny jsou r˚ uznobˇeˇzn´e. Roviny sv´ıraj´ı u ´hel φ, kter´ y je roven u ´hlu jejich norm´al n1 a n2 (pokud by u ´hel φ byl tup´ y, vezmeme u ´hel vektor˚ u n1 a −n2 ). Tento u ´hel lze urˇcit z rovnost´ı: cos(φ) =
|n1 · n2 | , |n1 | · |n2 |
nebo
sin(φ) =
|n1 × n2 | . |n1 | · |n2 |
Pr˚ useˇcnice p = α1 ∩ α2 m´a smˇerov´ y vektor s = n1 × n2 . (b) Necht’ vektory n1 a n2 jsou z´avisl´e, tj. existuje k ̸= 0, ˇze n1 = kn2 . Potom rovnice m˚ uˇzeme pˇrepsat ve tvaru se stejn´ ymi koeficienty a, b, c: α1 : a x + b y + c z + d1 = 0 a α2 : a x + b y + c z + d2 = 0. Pokud nav´ıc d1 = d2 , roviny jsou totoˇzn´e. (c) Necht’ vektory n1 a n2 jsou z´avisl´e a roviny jsou zaps´any ve tvaru αi : a x + b y + c z + di = 0. Pokud nav´ıc d1 ̸= d2 , roviny jsou rovnobˇeˇzn´e a jejich vzd´alenost v je |d1 − d2 | v=√ . a2 + b2 + c2
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
16
3. Analytick´a geometrie
3C. Line´arn´ı mnoˇziny v prostoru
Vˇ eta 3.31. (Vz´ ajemn´ a poloha roviny a pˇ r´ımky) Bud’ α rovina dan´a rovnic´ı a x + b y + c z + d = 0 s norm´alou n = (a, b, c) a pˇr´ımka p dan´ a bodem A a smˇerov´ ym vektorem s. Potom nastane jedna ze situac´ı: (a) Pˇr´ımka prot´ın´ a rovinu v jednom bodˇe. Tato situace nastane, pokud s · n ̸= 0. Odchylka pˇr´ımky p a roviny α je velikost u ´hlu φ, kter´ y sv´ır´a smˇerov´ y vektor pˇr´ımky s a jeho kolm´ y pr˚ umˇet do roviny α. Je to doplnˇek u ´hlu smˇerov´eho vektoru pˇr´ımky a norm´alov´eho vektoru roviny do prav´eho u ´hlu. Lze ho urˇcit z rovnosti sin(φ) = |n × s|/(|n| · |s|). (b) Pˇr´ımka je rovnobˇeˇzn´ a s rovinou, tj. nemaj´ı ˇz´adn´ y spoleˇcn´ y bod. Tato situace nastane, pokud s · n = 0 a bod A neleˇz´ı v rovinˇe α. V tomto pˇr´ıpadˇe je vzd´alenost pˇr´ımky p od roviny α rovna vzd´alenosti kter´ehokoliv bodu pˇr´ımky (tak´e bodu A) od roviny α a je proto d´ana vztahem (3.8). (c) Pˇr´ımka leˇz´ı v rovinˇe. Situace nastane, pokud s · n = 0 a bod A leˇz´ı v rovinˇe α. Pozn´ amky: Ve fyzice, zvl´aˇstˇe v optice, se zav´ad´ı u ´hel dopadu paprsku (pˇr´ımky) na rovinu. Je to u ´hel mezi smˇerov´ ym vektorem s pˇr´ımky a norm´alov´ ym vektorem n roviny (bereme u ´hel mezi 0 a prav´ ym u ´hlem. Speci´alnˇe pˇr´ımka kolm´a na rovinu dopad´a“ pod u ´hlem 0, jej´ı odchylka od roviny je ale prav´ yu ´hel. ” Definice 3.32. Dvˇe pˇr´ımky v prostoru mohou b´ yt: (a) (b) (c) (d)
r˚ uznobˇ eˇ zn´ e, pokud maj´ı spoleˇcn´ y pr´avˇe jeden bod (jejich smˇerov´e vektory jsou nez´avisl´e), mimobˇ eˇ zn´ e, pokud nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod a jejich smˇerov´e vektory jsou nez´avisl´e, rovnobˇ eˇ zn´ e, pokud nemaj´ı ˇz´ adn´ y spoleˇcn´ y bod a jejich smˇerov´e vektory jsou z´avisl´e. totoˇ zn´ e (spl´ yvaj´ıc´ı), pokud maj´ı vˇsechny body spoleˇcn´e.
Vˇ eta 3.33. (Vz´ ajemn´ a poloha dvou pˇ r´ımek) Uvaˇzujme pˇr´ımku p urˇcenou bodem A a smˇerov´ ym vektorem −−→ u a pˇr´ımku q urˇcenou bodem B a smˇerov´ ym vektorem v. Oznaˇcme nav´ıc w = AB. Potom plat´ı: (a) Pˇr´ımky jsou r˚ uznobˇeˇzn´e, pokud vektory u a v jsou nez´avisl´e, tj. u × v ̸= 0, a vektory u, v, w jsou line´arnˇe z´avisl´e, tj. sm´ıˇsen´ y souˇcin (uvw) = 0 . (b) Pˇr´ımky jsou mimobˇeˇzn´e, pokud vektory u, v a w jsou line´arnˇe nez´avisl´e. (c) Pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzn´e, pokud vektory u a v jsou z´avisl´e, tj.u × v = 0, bod A neleˇz´ı na pˇr´ımce q, −−→ nebo vektor AB × u ̸= 0. ´ Pozn´ amky: Uhel rovnobˇeˇzn´ ych nebo mimobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek je u ´hel, kter´ y sv´ıraj´ı jejich smˇerov´e vektory (pokud by tento u ´hel byl tup´ y, tj. vˇetˇs´ı neˇz prav´ yu ´hel, bereme jeho doplnˇek do pˇr´ım´eho u ´hlu, kter´ y uˇz je ostr´ y). Lze jej spoˇc´ıtat pomoc´ı vzorce (3.2). Vˇ eta 3.34. (Vzd´ alenost mimobˇ eˇ zek) Uvaˇzujme pˇr´ımky p, q urˇcen´e nez´avisl´ ymi smˇerov´ ymi vektory u, v −−→ a body A, B. Oznaˇcme w = AB jako v pˇredchoz´ı Vˇetˇe 3.33. Potom vzd´alenost d mimobˇeˇzek je rovna d=
|(uvw)| , |u × v|
(3.10)
kde (uvw) = |u × v · w je sm´ıˇsen´ y souˇcin, viz Definici 3.12. Vzorec lze odvodit pomoc´ı osy mimobˇeˇzek, tj. kolmice na obˇe pˇr´ımky p a q prot´ınaj´ıc´ı je v pr˚ useˇc´ıc´ıch P a Q. Smˇerov´ y vektor osy je u × v. Uvedeme vˇsak jednoduˇsˇs´ı odvozen´ı pomoc´ı sm´ıˇsen´eho souˇcinu. D˚ ukaz. Vektory u, v a w urˇcuj´ı rovnobˇeˇznostˇen, jehoˇz objem V d´av´a pr´avˇe sm´ıˇsen´ y souˇcin: V = |(uvw)|. Objem rovnobˇeˇznostˇenu je vˇsak roven V = S · d, kde S je velikost plochy z´akladny, kterou je rovnobˇeˇzn´ık urˇcen´ y vektory u a v, a d v´ yˇska rovnobˇeˇznostˇenu, kter´a je rovna hledan´e vzd´alenosti mimobˇeˇzek. Vektorov´ y souˇcin u × v m´a velikost plochy z´akladny rovnobˇeˇznostˇenu, tj. S = |u × v|. Plat´ı tedy V = S · d = |u × v| · d. Porovn´an´ım obou vyj´adˇren´ı objemu V dost´av´ame rovnost |(uvw)| = |u × v| · d, odkud plyne vzorec (3.10).
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
17
3. Analytick´a geometrie
3D. Kvadratick´e kˇrivky
´ kr ˇivky 3D. Kvadraticke Dosud jsme se zab´ yvali mnoˇzinami, kter´e byly d´any line´arn´ımi rovnicemi, pˇr´ıpadnˇe nerovnicemi. Nyn´ı se budeme zab´ yvat kˇrivkami v rovinˇe, kter´e jsou d´any rovnicemi pro souˇradnice x, y obsahuj´ıc´ı mimo line´arn´ı ˇcleny x a y i nˇekter´e z kvadratick´ ych ˇclen˚ u x2 , xy a y 2 . Vˇetˇsina kvadratick´ ych kˇrivek se naz´ yv´a kuˇzeloseˇcky, protoˇze vznikaj´ı pˇri ˇrezech“ ( sek´ an´ı“) kuˇzelov´e plochy rovinou. ” ” Nejprve probereme jednotliv´e kuˇzeloseˇcky a odvod´ıme jejich rovnice. Potom si uk´aˇzeme, jak tyto kˇrivky vznikaj´ı pˇri sek´an´ı“ kuˇzelov´e plochy a nakonec probereme vˇsechny kvadratick´e kˇrivky. ”
Definice a analytick´ y popis kuˇ zeloseˇ cek Mezi z´akladn´ı kuˇzeloseˇcky patˇr´ı kruˇznice, elipsa, parabola a hyperbola. Odvod´ıme jejich rovnice v tzv. z´akladn´ım tvaru, kdy stˇred (pokud existuje) je v poˇc´atku a osa symetrie je rovnobˇeˇzn´a se souˇradnou osou. Posunut´ım a otoˇcen´ım bychom dostali obecnou kuˇzeloseˇcku. Definice 3.35. (Parabola) Bud’ d pˇr´ımka a F bod v rovinˇe, kter´ y na pˇr´ımce d neleˇz´ı. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, kter´e maj´ı stejnou vzd´alenost od pˇr´ımky d a od bodu F se naz´ yv´a parabola urˇcen´a ˇ r´ıdic´ı pˇ r´ımkou d a ohniskem F . Pˇr´ımka kolm´ a na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku d proch´azej´ıc´ı ohniskem F je osa o paraboly. Pr˚ useˇc´ık V paraboly a jej´ı osy o se naz´ yv´ a vrchol paraboly a vzd´alenost p ohniska F od pˇr´ımky d je tzv. parametr paraboly, viz Obr. 3.10.
F d V = [m, n] |DF | = p P = [x, y]
– ohnisko paraboly – ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka paraboly – vrchol paraboly – parametr paraboly – bod paraboly.
Obr. 3.10: K definici paraboly. Odvod’me rovnici paraboly otevˇren´e vpravo s vrcholem v poˇc´atku, osou symetrie x a parametrem p. Potom vrchol V = [0, 0], ohnisko F = [ p2 , 0] a ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka d je d´ana rovnic´ı x = − p2 . Vzd´alenost bodu P = [x, y] od √ ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky je x + p2 , jeho vzd´alenost od ohniska je (x − p2 )2 + y 2 . Umocnˇen´ı rovnosti obou vzd´alenost´ı d´av´a rovnici x2 + px + 14 p2 = x2 − px + 14 p2 + y 2 , odkud plyne rovnice paraboly 2px = y 2 . Nahrad´ıme-li v rovnici x v´ yrazem x − m a y v´ yrazem y − n, dost´av´ame parabolu s vrcholem V = [m, n], tj. parabolu na Obr. 3.10 s rovnic´ı 2p(x − m) = (y − n)2 . Zmˇenou znam´enka u x dostaneme parabolu otevˇrenou vlevo. Z´amˇenou souˇradnic x a y pak paraboly otevˇren´e nahoru nebo dol˚ u. Vˇ eta 3.36. (Rovnice paraboly) Paraboly s vodorovnou“ osou symetrie a parametrem p maj´ı rovnice ” 2px = y 2 ,
2px = −y 2 ,
2p(x − m) = (y − n)2 ,
2p(x − m) = −(y − n)2 ,
pˇriˇcemˇz prvn´ı dvˇe maj´ı vrchol v poˇc´ atku, dalˇs´ı v bodˇe [m, n], lich´e jsou otevˇreny vpravo, sud´e vlevo. Paraboly se svislou“ osou symetrie a parametrem p maj´ı rovnice ” 2py = x2 ,
2py = −x2 ,
2p(y − n) = (x − m)2 ,
2p(y − n) = −(x − m)2 ,
pˇriˇcemˇz prvn´ı dvˇe maj´ı vrchol v poˇc´ atku, dalˇs´ı dvˇe v bodˇe [m, n], lich´e jsou otevˇreny nahoru, sud´e dol˚ u. Mezi kuˇzeloseˇcky patˇr´ı i kruˇznice, jej´ıˇz rovnici jistˇe zn´ate jiˇz ze stˇredn´ı ˇskoly: Definice 3.37. (Kruˇ znice) Bud’ S = [m, n] bod v rovinˇe a r > 0. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, jejichˇz vzd´alenost od stˇredu S je rovna r, se naz´ yv´ a kruˇ znice se stˇ redem S a polomˇ erem r, viz Obr. 3.11. Rovnice (x − m)2 + (y − n)2 = r2 . se naz´ yv´a stˇredov´ a rovnice kruˇznice. Parametrick´e rovnice t´eto kruˇznice jsou napˇr´ıklad x = m + r cos(t) , ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
y = n + r cos(t)
t ∈ ⟨0, 2 π) . 18
3. Analytick´a geometrie
3D. Kvadratick´e kˇrivky
S = [m, n] r P = [x, y]
– stˇred kruˇznice – polomˇer kruˇznice – bod kruˇznice.
Obr. 3.11: K definici kruˇznice.
Definice 3.38. (Elipsa) Bud’te E a F body v rovinˇe vzd´alen´e od sebe 2e a a parametr a > e. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u P , jejichˇz souˇcet vzd´alenost´ı od bod˚ u E a F je roven 2a, tj. |EP | + |F P | = 2a , se naz´ yv´a elipsa a body E a F ohniska. Stˇred S u ´seˇcky EF je stˇred elipsy. Pr˚ useˇc´ıky elipsy a tzv. hlavn´ı osy elipsy, tj. pˇr´ımky urˇcen´e ohnisky E a F , oznaˇcme A, B. Pr˚ useˇc´ıky elipsy a vedlejˇs´ı osy, tj. pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı stˇredem S kolm´e na hlavn´ı osu oznaˇcme C, D, viz Obr. 3.12. D´elky |AS| = |BS| = a, |CS| = |DS| = b a |ES| = |F S| = e se naz´ yvaj´ı po ˇradˇe hlavn´ı poloosa, vedlejˇs´ı poloosa a excentricita elipsy.
A, B, C, D E, F S = [m, n] a, b, √ a > b e = a2 − b2 P = [x, y]
– – – – – –
vrcholy elipsy ohniska elipsy stˇred elipsy hlavn´ı a vedlejˇs´ı poloosa elipsy excentricita elipsy bod elipsy
Obr. 3.12: K definici elipsy. Pozn´ amky: (a) Zˇrejmˇe plat´ı |EC| = |F C| = |ED| = |F D| = a. (b) Podle Pythagorovy vˇety plat´ı b2 + e2 = a2 . (c) V pˇr´ıpadˇe, kdy a = b, tj. e = 0 a E = F , se z elipsy st´av´a kruˇznice. Odvozen´ı rovnice elipsy sice d´a trochu pr´ace, je vˇsak zaj´ımav´e. Pˇ r´ıklad 3.39. Odvod’te rovnici elipsy se stˇredem v poˇc´atku, ohnisky na ose x a poloosami a, b. √ ˇ sen´ı: Excentricita e = a2 − b2 a ohniska E = [−e, 0] a F = [e, 0]. Elipsa je mnoˇzina bod˚ Reˇ u P = [x, y] splˇ nuj´ıc´ıch podm´ınku |EP | + |F P | = 2a. Vyj´adˇr´ıme-li vzd´alenosti pomoc´ı souˇradnic, dost´av´ame rovnici: √ √ (x + e)2 + y 2 + (x − e)2 + y 2 = 2a . Abychom odstranili odmocniny, obˇe strany rovnic, kter´e jsou kladn´e, umocn´ıme: √ √ (x + e)2 + y 2 + (x − e)2 + y 2 + 2 (x + e)2 + y 2 (x − e)2 + y 2 = 4a2 . Na lev´e stranˇe vyuˇzijeme rovnosti (x + e)2 + (x − e)2 = 2(x2 + e2 ) a rovnici vydˇel´ıme 2. Souˇcin odmocnin nech´ame na lev´e stranˇe, ostatn´ı ˇcleny pˇrevedeme na pravou stranu, kde vyuˇzijeme rovnosti e2 = a2 − b2 , a obˇe strany opˇet umocn´ıme [(x + e)2 + y 2 ][(x − e)2 + y 2 ] = [(a2 + b2 ) − (x2 + y 2 )]2 . Souˇciny na obou stran´ach rozn´asob´ıme (x + e)2 (x − e)2 + [(x + e)2 + (x − e)2 ]y 2 + y 4 = (a2 + b2 )2 + (x2 + y 2 )2 − 2(a2 + b2 )(x2 + y 2 ) . ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
19
3. Analytick´a geometrie
3D. Kvadratick´e kˇrivky
Uprav´ıme levou stranu. Prvn´ı ˇclen (x+e)2 (x−e)2 = (x2 −e2 )2 = x4 −2x2 e2 +e4 = x4 +(a2 −b2 )2 −2(a2 −b2 )x2 , ˇ druh´ y ˇclen [(x + e)2 + (x − e)2 ]y 2 = 2(2x2 + 2e2 )y 2 = 2x2 y 2 + 2(a2 − b2 )y 2 . Cleny x4 + 2x2 y 2 + y 4 d´avaj´ı ˇctverec 2 2 2 (x + y ) , kter´ y je i na prav´e stranˇe. Vˇsechny ˇcleny bez x, y d´ame na pravou stranu, ostatn´ı na levou: −2(a2 − b2 )x2 + 2(a2 − b2 )y 2 + 2(a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = (a2 + b2 )2 − (a2 − b2 )2 Rozn´asoben´ım dost´av´ ame 4b2 x2 + 4a2 y 2 = 4a2 b2 , odkud vydˇelen´ım 4a2 b2 plyne zn´am´a rovnice x2 y2 + = 1. a2 b2 Vˇsimnˇete si, ˇze rovnice je symetrick´ a: prohozen´ım poloos a, b a promˇenn´ ych x, y se rovnice nemˇen´ı. Elipsa s poloosami a < b, kter´a m´a ohniska E, F na ose y a souˇcet vzd´alenost´ı |EP | + |F P | = 2b vede na stejnou rovnici. Jestliˇze x nahrad´ıme x − m a m´ısto y d´ ame y − n dostaneme elipsu se stˇredem S = [m, n]: Vˇ eta 3.40. (Rovnice elipsy) Elipsa se stˇredem S = [m, n] a poloosami a, b s osami symetrie rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicov´ ymi osami je pops´ana tzv. stˇredovou rovnic´ı elipsy (y − n)2 (x − m)2 + = 1. a2 b2
(3.11)
a“ ve vodorovn´em“ smˇeru osy x a m´a ohniska [m − e, n] a [m + e, n], V pˇr´ıpadˇe a > b je elipsa prot´ahl´ ” ” kde pro e2 = a2 − b2 . V pˇr´ıpadˇe a < b je elipsa prot´ahl´a“ ve svisl´em“ smˇeru x a m´a ohniska [m, n − e] a ” ” 2 2 2 [m, n + e], kde pro e = b − a . V pˇr´ıpadˇe rovnosti a = b dost´av´ame kruˇznici. Parametrick´e rovnice elipsy zn´ı x = m + a cos t ,
y = n + b sin t t ∈ ⟨0, 2 π) .
Pozn´ amky: Dosazen´ım x, y z parametrick´ ych rovnic do rovnice (3.11) dost´av´ame rovnost cos2 (t) + sin2 (t) = 1 . Definice 3.41. (Hyperbola) Bud’te E, F dva r˚ uzn´e body v rovinˇe a a kladn´e ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz polovina vzd´alenosti bod˚ u E, F . Mnoˇzina vˇsech bod˚ u jejichˇz rozd´ıl vzd´alenost´ı od bod˚ u E a F je 2a, tj. | |EP | − |F P | | = 2a , ´seˇcky EF je stˇred hyperboly, pˇr´ımka urˇcen´a se naz´ yv´a hyperbola a body E, F ohniska hyperboly. Stˇred u ohnisky je hlavn´ı osa symetrie a jej´ı pr˚ useˇc´ıky A, B s hyperbolou jsou vrcholy. Pˇr´ımka kolm´a na hlavn´ı osu a proch´azej´ıc´ı stˇredem S je vedlejˇs´ı osa symetrie. Vzd´ yv´a hlavn´ı poloosa, √ alenost |AS| = |BS| = a se naz´ vzd´alenost |ES| = |F S| = e excentricita a ˇc´ıslo b = e2 − a2 vedlejˇs´ı poloosa hyperboly, viz Obr. 3.13.
E, F S = [m, n] a, b P, P ′ √ e = a2 + b2
– – – –
ohniska hyperboly stˇred hyperboly hlavn´ı a vedlejˇs´ı poloosa body hyperboly
– excentricita hyperboly
Obr. 3.13: K definici hyperboly. Pozn´ amky: (a) Naproti elipse, kter´a je souvisl´a a omezen´a, hyperbola se skl´ad´a ze dvou ˇc´ast´ı a obˇe jsou neomezen´e, pˇri vzdalov´an´ı od vrchol˚ u se vˇetve bl´ıˇz´ı k pˇr´ımk´am, tzv. asymptot´am. (b) Obˇe poloosy a, b jsou menˇs´ı neˇz excentricita e, pro a > b je hyperbola uˇzˇs´ı“, leˇz´ı v ostr´em u ´hlu asymptot, ” pro a < b je v´ıc rozevˇren´ a“, leˇz´ı v tup´em u ´hlu asymptot. ” (c) Pokud hlavn´ı osa symetrie je rovnobˇeˇzn´a s osou x, smˇernice asymptot je ± ab . (d) Pokud a = 0, tj. |EP | − |F P | = 0, dost´av´ame pˇr´ımku, osu u ´seˇcky EF .
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
20
3. Analytick´a geometrie
3D. Kvadratick´e kˇrivky
Odvozen´ı rovnice hyperboly d´a tak´e trochu pr´ace, ale je podobn´e odvozen´ı elipsy. Pˇ r´ıklad 3.42. Odvod’te rovnici hyperboly se stˇredem v poˇc´atku, ohnisky na ose x a poloosami a, b. ˇ sen´ı: Excentricita je e = Reˇ coˇz d´av´a rovnici:
√ a2 + b2 a ohniska E = [−e, 0] a F = [e, 0]. Podle definice | |EP | − |F P | | = 2a, √ √ (x + e)2 + y 2 − (x − e)2 + y 2 = 2a .
Abychom odstranili odmocniny, obˇe strany rovnic, kter´e jsou kladn´e, umocn´ıme: √ √ (x + e)2 + y 2 + (x − e)2 + y 2 − 2 (x + e)2 + y 2 (x − e)2 + y 2 = 4a2 . Vyuˇzijeme rovnost (x + e)2 + (x − e)2 = 2(x2 + e2 ) a rovnici vydˇel´ıme 2. Souˇcin odmocnin d´ame na pravou stranu, ˇclen 2a2 pˇrevedeme na levou stranu vyuˇzijeme rovnosti e2 = a2 + b2 a opˇet obˇe strany umocn´ıme [(x2 + y 2 ) − (a2 − b2 )]2 = [(x + e)2 + y 2 ][(x − e)2 + y 2 ] . Souˇciny na obou stran´ach rozn´asob´ıme a pravou stranu uprav´ıme podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe elipsy. Jestliˇze ˇcleny bez x, y d´ame na pravou stranu, ostatn´ı na levou, po u ´pravˇe dostaneme 4b2 x2 − 4a2 y 2 = 4a2 b2 odkud plyne rovnice x2 y2 − 2 = 1. 2 a b Prohozen´ım poloos a, b a promˇenn´ ych x, y dostaneme hyperbolu rovnici −x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Jestliˇze x nahrad´ıme x − m a m´ısto y d´ ame y − n dostaneme hyperbolu se stˇredem S = [m, n]. Vˇ eta 3.43. (Rovnice √ hyperboly) Hyperbola se stˇredem S = [m, n], poloosami a, b > 0, ohnisky [m − e, n] a [m + e, n], kde e = a2 + b2 a vodorovnou“ hlavn´ı osou y = n, tj. vˇetvemi otevˇren´ ymi“ vlevo a vpravo, ” ” je pops´ana tzv. stˇredovou rovnic´ı hyperboly (x − m)2 (y − n)2 − = 1. 2 a b2
(3.12)
V pˇr´ıpadˇe hlavn´ı osy x = m a ohnisky [m, n − e] a [m, n + e], tj. vˇetvemi otevˇren´ ymi“ dol˚ u a nahoru je ” hyperbola pops´ana rovnic´ı (x − m)2 (y − n)2 (3.13) − = −1 . 2 a b2 V obou pˇr´ıpadech asymptoty hyperboly jsou d´any rovnic´ı (x − m)2 (y − n)2 − = 0. 2 a b2
(3.14)
Pozn´ amky: Parametrick´e rovnice hyperboly obsahuj´ı tzv. hyperbolick´e funkce hyperbolick´ y kosinus cosh a hyperbolick´ y sinus sinh definovan´ y pomoc´ı exponenci´aln´ı funkce exp(x) = ex cosh(t) =
1 (exp(t) + exp(−t)) , 2
1 sinh(t) (exp(t) + exp(−t)) , 2
v pˇr´ıpadˇe prvn´ı hyperboly s hlavn´ı osou y = n parametrick´a rovnice lev´e vˇetve je x = m − a cosh(t) ,
y = n + b sinh(t) ,
t ∈ (−∞, ∞) ,
x = m + a cosh(t) ,
y = n + b sinh(t) ,
t ∈ (−∞, ∞) .
a prav´e vˇetve Parametrick´ y popis plyne z rovnosti cosh2 (t) − sinh2 (t) = 1, kterou lze snadno ovˇeˇrit v´ ypoˇctem. Vˇ eta 3.44. Rovnice xy = c2 popisuje pootoˇcenou“ hyperbolu s asymptotami x = 0 a y = 0, kter´a m´a ” vˇetve v prvn´ım a tˇret´ım kvadrantu a vrcholy [c, c] a [−c, −c]. Rovnice xy = −c2 popisuje hyperbolu s vˇetvemi ve druh´em a ˇctvrt´em kvadrantu, vrcholy [−c, c] a [c, −c] a stejn´ ymi asymptotami x = 0 a y = 0.
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
21
3. Analytick´a geometrie
3D. Kvadratick´e kˇrivky
Jsou seˇ cny kuˇ zelov´ e plochy kuˇ zeloseˇ cky? Tento probl´em jako cviˇcen´ı vyˇreˇs´ıme pomoc´ı analytick´e geometrie. Uvaˇzujme kuˇzelovou plochu danou rovnic´ı c2 (x2 + y 2 ) = z 2 , (c > 0). Je to rotaˇcn´ı plocha, kter´a vznikne rotac´ı pˇr´ımky z = cy, x = 0 kolem osy z. Proto bez u ´jmy na obecnosti m˚ uˇzeme uvaˇzovat jenom roviny rovnobˇeˇzn´e s osou x, tj. z = ky + q pˇr´ıpadnˇe y = q. Dosazen´ım rovnice roviny do rovnice kuˇzelov´e plochy dostaneme rovnice kuˇzeloseˇcky, pˇr´ıpadnˇe jej´ıho pr˚ umˇetu do roviny x, y nebo x, z. (a) Rovina z = q kolm´ a na osu z. Dost´av´ame c2 (x2 + y 2 ) = q 2 , coˇz je rovnice kruˇ znice, v pˇr´ıpadˇe q = 0 kruˇznice degenerovan´ a v bod [0, 0]. (b) Rovina z = ky + q, kde k √ splˇ nuje 0 < |k| < c. Dost´av´ame rovnici c2 x2 + (c2 − k 2 )y 2 − 2kqy = q 2 , coˇz je elipsa s poloosami c a c2 − k 2 a v pˇr´ıpadˇe q = 0 bod. (c) Rovina z = ky + q, kde k splˇ nuje |k| = c. Dost´av´ame rovnici c2 x2 − 2kqy = q 2 , coˇz je parabola, v pˇr´ıpadˇe q = 0 pˇ r´ımka. (d) Rovina z = ky + q, kde k splˇ nuje |k| > c, pˇr´ıpadnˇe y = q. Dost´av´ame rovnici c2 x2 − (k 2 − c2 )y 2 − 2kqy = q 2 ,
pˇr´ıpadnˇe
c2 x2 − z 2 = −c2 q 2
coˇz je v obou pˇr´ıpadech hyperbola, v pˇr´ıpadˇe q = 0 dvojice r˚ uznobˇ eˇ zek.
Kvadratick´ e kˇ rivky V pˇredchoz´ı ˇc´ asti jsme hledali analytick´e vyj´adˇren´ı kuˇzeloseˇcek v z´akladn´ım tvaru, tj. s osou rovnobˇeˇznou se souˇradnou osou. V t´eto ˇc´ asti pˇristoup´ıme k probl´emu opaˇcnˇe. Budeme zkoumat jakou kˇrivku urˇcuje rovnice s obecn´ ym kvadratick´ ym polynomem R(x, y) ≡ A x2 + B xy + C y 2 + a x + b y = q ,
(3.15)
kde koeficienty jsou re´aln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz alespoˇ n jeden z koeficient˚ u A, B, C je nenulov´ y, jinak by polynom nebyl kvadratick´ y. Protoˇze rovnice m˚ uˇze urˇcovat kuˇzeloseˇcku pootoˇcenou“, pod´ıv´ame se, jak se mˇen´ı rovnice u ´tvaru pˇri jeho ” rotaci nebo posunut´ı. Tyto transformace zachov´avaj´ı shodnost mnoˇziny, tj. tvar ani velikost mnoˇziny bod˚ u se nemˇen´ı. Pokud chceme mnoˇzinu danou rovnic´ı R(x, y) = 0 posunout o vektor (m, n), do rovnice dosad´ıme souˇradnice o tento vektor odeˇcten´e“, tj. poloˇz´ıme R(x − m, y − n) = 0. ” Napˇr´ıklad, je-li R(x, y) := x = 0, potom R(x − m, y − n) = x − m = 0, odkud plyne x = 0. Podobnˇe, chceme-li u ´tvar otoˇcit o u ´hel α, do rovnice R(x, y) = 0 mus´ıme dosadit souˇradnice bodu otoˇcen´eho o u ´hel −α. Vˇ eta 3.45. (Posunut´ı a otoˇ cen´ı mnoˇ ziny) Bud’ M mnoˇzina v rovinˇe pops´ana jednou (nebo nˇekolika rovnicemi, pˇr´ıpadnˇe nerovnicemi) typu R(x, y) = 0 s promˇenn´ ymi x, y. (a) Nahrad´ıme-li v rovnic´ıch R(x, y) = 0 kaˇzd´e x v´ yrazem x − m a kaˇzd´e y v´ yrazem y − n, rovnice R′ (x, y) := R(x − m, y − n) = 0
(3.16)
popisuje mnoˇzinu M ′ , kter´a vznikne posunut´ım mnoˇziny M o vektor (m, n). (b) Nahrad´ıme-li v rovnic´ıch R(x, y) = 0 kaˇzd´e x v´ yrazem x cos(φ) + y sin(φ) a kaˇzd´e y v´ yrazem −x sin(φ) + y cos(φ), potom rovnice R′ (x, y) := R(x cos(φ) + y sin(φ), −x sin(φ) + y cos(φ)) = 0
(3.17)
popisuje mnoˇzinu M ′ , kter´a vznikne otoˇcen´ım mnoˇziny M kolem poˇc´atku O = [0, 0] o u ´hel φ v kladn´em smˇeru, tj. proti smˇeru pohybu hodinov´ ych ruˇciˇcek. (c) Kaˇzd´ y pohyb“ geometrick´e mnoˇziny v rovinˇe lze z´ıskat vhodn´ ym otoˇcen´ı a posunut´ım. ” Uvaˇzujeme-li dvˇe shodn´e mnoˇziny M a M ′ , potom jednu lze pˇrev´est na druhou otoˇcen´ım, posunut´ım a pˇr´ıpadnˇe pˇrevr´ acen´ım“, tj. osovou symetri´ı, napˇr´ıklad zobrazen´ım [x, y] 7→ [−x, y]. ”
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
22
3. Analytick´a geometrie
3D. Kvadratick´e kˇrivky √
Pˇ r´ıklad: Otoˇcen´ı mnoˇziny o u ´hel φ = π6 = 30◦ provedeme transformac´ı x 7→ 23 x − 12 y a y 7→ 2 2 Elipsa 4 x + y = 8 po otoˇcen´ı bude m´ıt rovnici (√ )2 ( √ )2 √ 3 1 1 3 13 2 3 3 7 4 x− y + x+ y ≡ x − xy + y 2 = 8 . 2 2 2 2 4 2 4
1 2
√
x+
3 2
y.
Uvaˇzujme opˇet rovnici (3.15). Vhodn´ ym otoˇcen´ım o u ´hel φ se lze zbavit ˇclenu B xy. Skuteˇcnˇe, necht’ B ̸= 0. Nahrad´ıme-li ve v´ yrazu Ax2 + Bxy + Cy 2 promˇenn´e x, y podle (b) Vˇety 3.45, po rozn´asoben´ı dost´av´ame v´ yraz A′ x2 + B ′ xy + C ′ y 2 , kde n´as zaj´ım´ a jedinˇe koeficient ( ) B ′ = 2(A − C) sin(φ) cos(φ) + cos2 (φ) − sin2 (φ) . Pomoc´ı vzorc˚ u pro dvojn´asobn´e u ´hly sin(2φ) = 2 sin(φ) cos(φ) a cos(2φ) = cos2 (φ) − sin2 (φ) koeficient B ′ ′ pˇrep´ıˇseme B = (A − C) sin(2φ) + B cos(2φ). Protoˇze B ̸= 0, podm´ınka B ′ = 0 d´av´a rovnici cos(2φ) A−C = cotg (2φ) = − , sin(2φ) B kter´a m´a vˇzdy ˇreˇsen´ı φ. Otoˇcen´ım o tento u ´hel vypadne B ′ xy a z´ısk´ame rovnici A′ x2 + C ′ y 2 + a′ x + b′ y = q ′ . 2 D´ale, pokud v rovnici je ˇclen s x a x, lze se vhodn´ ym posunut´ım zbavit ˇclenu s x. Skuteˇcnˇe, posunut´ım x 7→ x − m v´ yraz A′ x2 + a′ x pˇrejde na A′ (x − m)2 + a′ (x − m) = A′ x2 + (a′ − 2A′ m)x + (A′ − a′ )m2 a pro m = a′ /(2A′ ) ˇclen s x vypadne. Podobnˇe, pokud v rovnici je ˇclen s y 2 i ˇclen s y, vhodn´ ym posunut´ım se lze zbavit ˇclen˚ u y. Dost´av´ame tak n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıpady: (a) Rovnice obsahuje oba kladn´e kvadratick´e ˇcleny, tj. A x2 + C y 2 = q, (A > 0 a C > 0). Potom (i) mnoˇzina M je elipsa, pokud q > 0, nebo kruˇ znice jestliˇze nav´ıc A = C, (ii) mnoˇzina M je jednobodov´ a, pokud q = 0, (iii) mnoˇzina M je pr´azdn´ a, pokud q < 0. (b) Rovnice obsahuje oba kvadratick´e ˇcleny s r˚ uzn´ ymi znam´enkem A x2 − C y 2 = q, (A > 0 a C > 0). Potom (i) mnoˇzina M je hyperbola s vˇetvemi otevˇren´ ymi vlevo a vpravo, pokud q > 0, (ii) mnoˇzinu M tvoˇr´ı dvojice r˚ uznobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek, pokud q = 0, (iii) mnoˇzina M je hyperbola s vˇetvemi otevˇren´ ymi nahoru a dol˚ u, pokud q < 0. (c) Rovnice obsahuje jenom kvadratick´ y ˇclen x2 . Potom lze poloˇzit A = 1 a m´ame pˇr´ıpady (i) mnoˇzina M je parabola otevˇren´a nahoru v pˇr´ıpadˇe x2 = by, pokud b > 0, (ii) mnoˇzina M je parabola otevˇren´a dol˚ u v pˇr´ıpadˇe x2 = by, pokud b < 0, √ 2 (iii) v pˇr´ıpadˇe x = q mnoˇzina M je dvojice pˇr´ımek x = ± q, pokud q > 0, pˇr´ımka x = 0 pokud q = 0 a pr´azdn´ a mnoˇzina pokud q < 0. (d) Rovnice obsahuje jenom kvadratick´ y ˇclen y 2 . Lze poloˇzit C = 1 a m´ame pˇr´ıpady analogick´e pˇr´ıpadu (c): (i) mnoˇzina M je parabola otevˇren´a vpravo v pˇr´ıpadˇe y 2 = ax pokud a > 0, (ii) mnoˇzina M je parabola otevˇren´a vlevo v pˇr´ıpadˇe y 2 = ax pokud a < 0, √ (iii) v pˇr´ıpadˇe y 2 = q mnoˇzina M je dvojice pˇr´ımek y = ± q pokud q > 0, pˇr´ımka y = 0 pokud q = 0 a pr´azdn´ a mnoˇzina pokud q < 0. V obecn´em pˇr´ıpadˇe z kvadratick´ ych ˇclen˚ u lze snadno (tj. bez transformac´ı) urˇcit typ kˇrivky, m˚ uˇze vˇsak b´ yt degenerovan´a nebo i pr´azdn´ a, k tomu je nutn´a dalˇs´ı anal´ yza ˇclen˚ u ax, by, q: Tvrzen´ı Uvaˇzujme rovnici (3.15). Pokud pro koeficienty A, B, C plat´ı (a) B 2 − 4AC > 0, potom rovnice popisuje hyperbolu (pˇr´ıpadnˇe r˚ uznobˇeˇzky), (b) B 2 − 4AC < 0, potom rovnice popisuje elipsu (pˇr´ıpadnˇe kruˇznici, bod nebo pr´azdnou mnoˇzinu), (c) B 2 − 4AC = 0, potom rovnice popisuje parabolu (pˇr´ıpadnˇe rovnobˇeˇzky, pˇr´ımku, pr´azdnou mnoˇzinu).
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
23
3. Analytick´a geometrie
3E. Kvadratick´e plochy
´ plochy 3E. Kvadraticke Kvadratick´e plochy zvan´e kvadriky jsou mnoˇziny bod˚ u splˇ nuj´ıc´ıch rovnici s kvadratick´ ym polynomem ve tˇrech promˇenn´ ych x, y, z.
Regul´ arn´ı kvadriky Nedegenerovan´e, tj. regul´arn´ı, kvadratick´e plochy uvedeme v z´akladn´ım tvaru, kdy hlavn´ı osy symetrie spl´ yvaj´ı se souˇradn´ ymi osami. Zaˇcneme plochami, kter´e maj´ı vˇsechny tˇri kvadratick´e ˇcleny. Prvn´ı je sf´era: Definice 3.46. Sf´ era, kulov´ a plocha s polomˇerem r > 0 a stˇredem v poˇc´atku m´a rovnici x2 + y 2 + z 2 = r2 . Pozn´ amky: (a) Pozor, sf´era je plocha, na rozd´ıl od koule, kter´a je tˇelesem, koule (vˇcetnˇe povrchu) je urˇcena nerovnic´ı x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 . Sf´era je jenom povrch koule, podobnˇe jako kruˇznice je jenom hranice kruhu. (b) Sf´era je mnoˇzina vˇsech bod˚ u, jejichˇz vzd´alenost od stˇredu je rovna konstantˇe r > 0. (c) Sf´era m´a nekoneˇcnˇe mnoho os symetrie, jsou to vˇsechny pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı jej´ım stˇredem. Sf´era m´a tak´e nekoneˇcnˇe mnoho rovin symetrie, jsou to vˇsechny roviny proch´azej´ıc´ı stˇredem. (d) Kaˇzd´ y ˇrez sf´erou je kruˇznice, pˇr´ıpadnˇe bod nebo pr´azdn´a mnoˇzina. (e) Sf´era se stˇredem S = [xS , yS , zS ] m´a rovnici (x − xS )2 + (y − yS )2 + (z − zS )2 = r2 .
Definice 3.47. Elipsoid se stˇredem v poˇc´atku, s osami x, y, z a poloosami a, b, c > 0 po ˇradˇe v os´ach x, y, z je d´an rovnic´ı x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1, 2 a b c kde kladn´a ˇc´ısla a, b, c se naz´ yvaj´ı poloosy.
Obr. 3.14: Elipsoid x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1. 2 3 2 1 s poloosami a = 3, b = 2, c = 1.
Pozn´ amky: (a) Pod pojmem elipsoid budeme br´at plochu, pro tˇeleso omezen´e elipsoidem se ˇcasto uˇz´ıv´a stejn´ y n´azev. Elipsoid je mnoˇzina omezen´a. (b) Speci´aln´ım pˇr´ıpadem a = b = c elipsoidu je sf´era. V pˇr´ıpadˇe a = b dost´av´ame rotaˇcn´ı elipsoid s osou rotace z, vznikne rotac´ı elipsy x2 /a2 + z 2 /c2 = 1, y = 0 okolo osy z. Podobnˇe pro a = c dost´av´ame rotaˇcn´ı elipsoid s osou rotace y, kter´ y vznikne rotac´ı elipsy s osou rotace y a b = c d´av´a rotaˇcn´ı elipsoid s osou rotace x, kter´ y vznikne rotac´ı elipsy s osou rotace x. (c) Jestliˇze a = b < c jde o elipsoid prot´ahl´ y, v pˇr´ıpadˇe a = b > c je elipsoid zploˇstˇel´ y. (d) V pˇr´ıpadˇe a = b < c m´ ame rotaˇcn´ı elipsoid, kter´ y vznikne rotac´ı elipsy x2 /a2 + z 2 /c2 = 1 v rovinˇe y = 0 podle hlavn´ı osy z, a proto ho lze definovat u, jejichˇz souˇcet vzd´alenost´ı od √ jako mnoˇzinu vˇsech bod˚ ohnisek [0, 0, e] a [0, 0, −e] je roven 2c, kde e = c2 − a2 je excentricita (v´ ystˇrednost) elipsy. Analogick´a situace nastane v pˇr´ıpadech a = c < b a b = c < a. (e) Elipsoid s r˚ uzn´ ymi poloosami a, b, c m´a tˇri osy symetrie x, y, z a tˇri roviny symetrie x = 0, y = 0 a z = 0. Rotaˇcn´ı elipsoid m´a nekoneˇcnˇe mnoho os symetrie i nekoneˇcnˇe mnoho rovin symetrie. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
24
3. Analytick´a geometrie
3E. Kvadratick´e plochy
ˇ elipsoidem je elipsa, pˇr´ıpadnˇe kruˇznice, bod nebo pr´azdn´a mnoˇzina. (f) Rez (g) Posunut´ y elipsoid s poloosami a, b, c a stˇredem S = [xS , yS , zS ] m´a rovnici (y − yS )2 (z − zS )2 (x − xS )2 + + = 1. a2 b2 c2 Dalˇs´ı kvadratick´e plochy maj´ı tˇri kvadratick´e ˇcleny, ale nestejn´ ych znam´enek: Definice 3.48. Jednod´ıln´ y hyperboloid se stˇredem v poˇc´atku s hlavn´ı osou symetrie z a poloosami a, b, c je d´an rovnic´ı y2 z2 x2 + − = 1. a2 b2 c2 Dvojd´ıln´ y hyperboloid se stˇredem v poˇc´ atku s hlavn´ı osou symetrie z a poloosami a, b, c je d´an rovnic´ı y2 z2 x2 + 2 − 2 = −1 . 2 a b c Oba hyperboloidy se pro z → ±∞ bl´ıˇz´ı“ ke kuˇzelov´e ploˇse, kter´a je oddˇeluje. Jej´ı rovnice je ” x2 y2 z2 + 2 − 2 = −1 . 2 a b c
Obr. 3.15: Vlevo je hyperboloid jednod´ıln´ y x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 3 3 2 a vpravo hyperboloid dvoud´ıln´ y x2 y2 z2 + 2 − 2 = −1. 2 3 3 2
Pozn´ amky: (a) Oba hyperboloidy jsou plochy neomezen´e. Jednod´ıln´ y hyperboloid je mnoˇzina souvisl´a, dvoud´ıln´ y se skl´ad´a ze dvou oddˇelen´ ych ˇc´ ast´ı: horn´ı“ a doln´ı“ plochy. ” ” (b) Jak pozn´ame, zde je hyperboloid jednod´ıln´ y nebo dvoud´ıln´ y? Upravme rovnici hyperboloidu tak, aby dva kladn´e kvadratick´e ˇcleny byly na jedn´e stranˇe a tˇret´ı na druh´e stranˇe rovnice, napˇr. x2 + z 2 = y 2 + q. V pˇr´ıpadˇe, kdy y 2 + q > 0, v´ yraz na x2 + z 2 na lev´e stranˇe d´av´a kruˇznici (v pˇr´ıpadnˇe r˚ uzn´ ych koeficient˚ u 2 2 u x a z elipsu), v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe bod nebo pr´azdnou mnoˇzinu. Pokud na prav´e stranˇe je q > 0, pro kaˇzd´e y je prav´a strana kladn´a a kaˇ y ˇrez hyperboloidu rovinou √zd´ ´ y = k je nepr´azdn´ y. Utvar je tedy jednod´ıln´ y. Pokud q < 0, pro |y| < |q| je prav´a strana z´aporn´a a ˇrezem je pr´azdn´ a mnoˇzina: u ´tvar je tedy dvoud´ıln´ y. V pˇr´ıpadˇe q = 0 jde o kuˇzelovou plochu. (c) Pokud a = b dost´ av´ ame plochu rotaˇcnˇe symetrickou, kterou dostaneme rotac´ı hyperboly v rovinˇe y = 0 pod´el osy z. V pˇr´ıpadˇe hyperboly s hlavn´ı osou x, tj. x2 /a2 − z 2 /c2 = 1, je to hyperboloid jednod´ıln´ y, v pˇr´ıpadˇe hyperboly s hlavn´ı osou z, tj. x2 /a2 − z 2 /c2 = −1, je to hyperboloid dvoud´ıln´ y. (d) Dvoud´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid s osou z je mnoˇzina u, jejichˇz rozd´ıl vzd´alenost´ı od ohnisek √ vˇsech bod˚ [0, 0, −e] a [0, 0, e] je roven konstantˇe 2a, kde e = a2 + b2 .
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
25
3. Analytick´a geometrie
3E. Kvadratick´e plochy
(e) Jednod´ıln´ y hyperboloid vznikne nejen rotac´ı hyperboly kolem jej´ı vedlejˇs´ı osy z, ale tak´e rotac´ı okolo osy z pˇr´ımky, kter´a je mimobˇeˇzn´ a s osou z. Je to tedy plocha pˇr´ımkov´a, kter´a obsahuje dva syst´emy mimobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek. Toho se vyuˇz´ıv´a ve stavebnictv´ı, typick´ ym tvarem chladic´ıch vˇeˇz´ı elektr´aren a tepl´aren je jednod´ıln´ y hyperboloid. ˇ hyperboloidy jsou kruˇznice, elipsy, paraboly, hyperboly. V pˇr´ıpadˇe jednod´ıln´eho hyperboloidu jsou (f) Rezy to nav´ıc rovnobˇeˇzn´e a r˚ uznobˇeˇzn´e pˇr´ımky, v pˇr´ıpadˇe dvoud´ıln´eho hyperboloidu pr´azdn´a mnoˇzina. (g) Jestliˇze a = b < c, oba hyperboloidy jsou prot´ahl´e“, u ´zk´e“. V pˇr´ıpadˇe a = b > c, oba hyperboloidy ” ” jsou zploˇstˇel´e“, rozevˇren´e“. ” ” (h) Hyperboloid s r˚ uzn´ ymi poloosami a, b, c m´a tˇri osy symetrie x, y, z a tˇri roviny symetrie x = 0, y = 0 a z = 0. V pˇr´ıpadˇe dvou stejn´ ych vedlejˇs´ıch poloos je hyperboloid rotaˇcn´ı s osou rotace z a m´a nekoneˇcnˇe mnoho os i rovin symetrie. (i) Vedle zm´ınˇen´ ych hyperboloid˚ u s hlavn´ı osou z existuje i jednod´ıln´ y a dvoud´ıln´ y hyperboloid s hlavn´ı osou y, jejich rovnice jsou x2 y2 z2 − 2 + 2 = 1, 2 a b c
x2 y2 z2 − 2 + 2 = −1 . 2 a b c
Jednod´ıln´ y a dvoud´ıln´ y hyperboloid s hlavn´ı osou x, je urˇcen rovnicemi −
x2 y2 z2 + + = 1, a2 b2 c2
−
x2 y2 z2 + + = −1 . a2 b2 c2
(j) Posunut´ y hyperboloid s hlavn´ı osou z, poloosami a, b, c a stˇredem S = [xS , yS , zS ] m´a rovnici (x − xS )2 (y − yS )2 (z − zS )2 + − = 1. a2 b2 c2 Analogicky lze napsat posunut´e hyperboloidy s hlavn´ı osou rovnobˇeˇznou s osou x a y. Dalˇs´ı plochy maj´ı uˇz jenom dva kvadratick´e ˇcleny. Naz´ yvaj´ı se paraboloidy a jsou dvou druh˚ u: Definice 3.49. Eliptick´ y paraboloid se stˇredem v poˇc´atku s hlavn´ı osou symetrie z a parametry p, q, kde jsou oba kladn´e nebo oba z´aporn´e, je d´an rovnic´ı z=
x2 y2 + . 2p 2q
v pˇr´ıpadˇe p = q se plocha naz´ yv´ a rotaˇcn´ı paraboloid. Pro p > 0, q > 0 je paraboloid otevˇren nahoru“, pro ” p < 0, q < 0 je otevˇren“ dol˚ u. ” Hyperbolick´ y paraboloid se stˇredem v poˇc´atku s hlavn´ı osou symetrie z a parametry p, q, kde p a q jsou oba kladn´e nebo oba z´aporn´e, je d´an rovnic´ı z=
Obr. 3.16: Paraboloid rotaˇcn´ı z =
y2 x2 − . 2p 2q
x2 y2 x2 y2 + a paraboloid hyperbolick´ y z= − . 2·2 2·2 2·2 2·2
Pozn´ amky: ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
26
3. Analytick´a geometrie
3E. Kvadratick´e plochy
(a) Oba paraboloidy jsou plochy neomezen´e, rotaˇcn´ı je omezen zdola nebo shora. (b) Pokud p = q, dost´av´ ame plochu rotaˇcn´ı, kterou dostaneme rotac´ı paraboly 2pz = x2 pod´el osy z. (c) Rotaˇcn´ı paraboloid s osou z je mnoˇzina vˇsech bod˚ u, kter´e maj´ı stejnou vzd´alenost od ohniska F = [0, 0, p2 ] p a ˇr´ıdic´ı roviny z = − 2 . Astronomick´a zrcadla maj´ı odrazovou plochu ve tvaru rotaˇcn´ıho paraboloidu, protoˇze paprsky rovnobˇeˇzn´e s osou z se odr´aˇzej´ı do ohniska F . Podobnˇe reflektory maj´ı za zdrojem svˇetla zrcadlo tvaru rotaˇcn´ıho paraboloidu, aby paprsky z ohniska po odrazu byly rovnobˇeˇzn´e a dosv´ıtily co nejd´al. (d) Hyperbolick´ y paraboloid m´a tvar sedla (horsk´eho i koˇ nsk´eho): v jednom smˇeru na obˇe strany plocha stoup´a a ve smˇeru kolm´em na prvn´ı smˇer plocha na obˇe strany kles´a. ˇ ˇ (e) Rezy rotaˇcn´ıho paraboloidu jsou kruˇznice, elipsy, paraboly a pr´azdn´a mnoˇzina. Rezy hyperbolick´eho paraboloidu jsou paraboly, hyperboly a r˚ uznobˇeˇzky. (f) Parametry p, q urˇcuj´ı pouze velikost“ paraboloid˚ u, pˇri stejn´em pomˇeru parametr˚ u p, q jsou oba para” boloidy podobn´e. (g) Eliptick´ y paraboloid s r˚ uzn´ ymi parametry p, q m´a jenom jednu osu symetrie z a dvˇe roviny symetrie x = 0, y = 0. V pˇr´ıpadˇe rotaˇcn´ıho paraboloidu je z tak´e osou rotace a roviny proch´azej´ıc´ı osou z jsou tak´e rovinami symetrie. (h) Vedle zm´ınˇen´ ych hyperboloid˚ u s hlavn´ı osou z existuj´ı eliptick´e a hyperbolick´e paraboloidy s hlavn´ı osou y a parametry p, q stejn´eho znam´enka. Jejich rovnice jsou y=
x2 z2 + , 2p 2q
y=
x2 z2 . − 2p 2q
Eliptick´e a hyperbolick´e paraboloidy s hlavn´ı osou x a parametry p, q jsou urˇceny rovnicemi x=
z2 y2 + , 2p 2q
x=
y2 z2 − . 2p 2q
(i) Posunut´ y eliptick´ y a hyperbolick´ y paraboloid s hlavn´ı osou z parametry p, q a stˇredem S = [xS , yS , zS ] m´a rovnici (x − xS )2 (y − yS )2 (x − xS )2 (y − yS )2 z = zS + + a z = zS + − 2p 2q 2p 2q Analogicky lze napsat posunut´e paraboloidy s hlavn´ı osou rovnobˇeˇznou s osou x a y. (j) Rovnice z = cxy pro c ̸= 0 urˇcuje hyperbolick´ y paraboloid s hlavn´ı osou z pootoˇcen´ you ´hel
π 4
(45◦ ).
Obecn´ a kvadratick´ a plocha Dosud jsme uvedli regul´arn´ı (nedegenerovan´e) kvadratick´e plochy a odvodili jejich rovnice. V tomto odstavci vezmeme obecnou rovnici s kvadratick´ ym polynomem ve tˇrech promˇenn´ ych A x2 + B y 2 + C z 2 + D xy + E xz + F yz + a x + b y + c z + q = 0
(3.18)
a budeme zkoumat, jakou mnoˇzinu popisuje. Jak se posunut´ı a otoˇcen´ı mnoˇziny projev´ı v rovnic´ıch pro jejich souˇradnice? Posunut´ı a otoˇcen´ı jsou transformace, kter´e zachov´avaj´ı shodnost mnoˇziny. Proti rovinn´emu pˇr´ıpadu, kdy staˇcil jeden druh rotace, zde potˇrebujeme tˇri druhy rotace. Vˇ eta 3.50. Necht’ rovnice R(x, y, z) = 0 urˇcuje mnoˇzinu M . Potom plat´ı: (a) Mnoˇzina M posunut´ a o vektor [m, n, o] je d´ana rovnic´ı R′ (x, y, z) := R(x − m, y − n, z − o) = 0. (b) Mnoˇzina M otoˇcen´ a kolem osy z o u ´hel α v kladn´em smˇeru je d´ana rovnic´ı R′ (x, y, z) := R(x cos(α) + y sin(α), −x sin(α) + y cos(α), z) = 0, (c) Mnoˇzina M otoˇcen´ a kolem osy y o u ´hel β je d´ana rovnic´ı R′ (x, y, z) := R(x cos(β) + z sin(β), y, −x sin(β) + z cos(β)) = 0 . ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
27
3. Analytick´a geometrie
3E. Kvadratick´e plochy
(d) Mnoˇzina M otoˇcen´ a kolem osy x o u ´hel γ je d´ana rovnic´ı R′ (x, y, z) := R(x, y cos(γ) + z sin(γ), −y sin(γ) + z cos(γ)) = 0 . Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe kvadratick´e kˇrivky, pootoˇcen´ım o vhodn´ yu ´hel, tj. transformacemi typu (d), (c) a (b), se postupnˇe zbav´ıme ˇclen˚ u s yz, xz a xy. Dost´av´ame tak rovnici (koeficienty budeme d´ale znaˇcit bez ′ ): A x2 + B y 2 + C z 2 = a x + b y + c z + q . D´ale transformac´ı (a) se postupnˇe zbav´ıme ˇclen˚ u s x, y a z (pokud v rovnici je odpov´ıdaj´ıc´ı kvadratick´ y ˇclen x2 , y 2 a z 2 ). Nyn´ı m˚ uˇzeme pˇristoupit k anal´ yze jednotliv´ ych pˇr´ıpad˚ u, (konstanty A, B, C budou kladn´a ˇc´ısla): (a) Rovnice obsahuje tˇri kvadratick´e ˇcleny se stejn´ ymi znam´enky, tj. rovnici lze napsat ve tvaru A x2 +B y 2 + 2 C z = q, coˇz d´av´ a v pˇr´ıpadˇe (i) q > 0 – elipsoid (pˇr´ıpadnˇe sf´eru), (ii) q = 0 – jeden bod (poˇc´ atek) a (iii) q < 0 – pr´azdnou mnoˇzinu. (b) Rovnice obsahuje tˇri kvadratick´e ˇcleny s nestejn´ ymi znam´enky, tj. rovnici lze pˇrepsat ve tvaru A x2 + 2 2 B y − C z = q, coˇz d´av´ a v pˇr´ıpadˇe (i) q > 0 – hyperboloid jednod´ıln´ y, (ii) q = 0 – kuˇzel a (iii) q < 0 – dvoud´ıln´ y hyperboloid. (c) Rovnice obsahuje jenom dva kvadratick´e ˇcleny se stejn´ ym znam´enkem, napˇr. A x2 + B y 2 = cz + q, odkud plyne v pˇr´ıpadˇe (i) (ii) (iii) (iv)
c ̸= 0 c=0 c=0 c=0
– a a a
paraboloid eliptick´ y, pˇr´ıpadnˇe rotaˇcn´ı, q > 0 – v´alec eliptick´ y, pˇr´ıpadnˇe rotaˇcn´ı, q = 0 – pˇr´ımku (osu z) a q < 0 – pr´azdnou mnoˇzinu.
(d) Rovnice obsahuje jenom dva kvadratick´e ˇcleny ale s r˚ uzn´ ymi znam´enky, napˇr. A x2 − B y 2 = cz + q, odkud plyne v pˇr´ıpadˇe (i) c ̸= 0 – paraboloid hyperbolick´ y, pˇr´ıpadnˇe rotaˇcn´ı, (ii) c = 0 a q ̸= 0 – v´alec hyperbolick´ ya (iii) c = 0 a q = 0 – r˚ uznobˇeˇzn´e roviny prot´ınaj´ıc´ı se v ose z. (e) Rovnice obsahuje jenom jeden kvadratick´ y ˇcleny, napˇr. A x2 = by + cz + q, odkud plyne v pˇr´ıpadˇe (i) (ii) (iii) (iv)
b ̸= 0 nebo c ̸= 0 – parabolick´ y v´alec, b = c = 0 a q > 0 – dvˇe rovnobˇeˇzn´e roviny, b = c = q = 0 – rovina x = 0 a b = c = 0 a q < 0 – pr´azdnou mnoˇzinu.
T´ım jsme probrali vˇsechny moˇznosti. Pozn´ amky: Poˇcet a znam´enka kvadratick´ ych ˇclen˚ u lze zjistit pˇr´ımo bez transformac´ı t´ım, ˇze polynom A x2 + B y 2 + C z 2 + D xy + E xz + F yz dopln´ıme na tvar s nez´avisl´ ymi ˇctverci“, napˇr´ıklad ” x2 + 3y 2 + z 2 + 4xy − 2xz = (x + 2y − z)2 − y 2 + 4yz = (x + 2y = z)2 + (y − 2z)2 − (2z)2 , odkud plyne pˇr´ıpad tˇr´ı ˇctverc˚ u“ s r˚ uzn´ ymi znam´enky, tj. pˇr´ıpad (b). ”
´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM
28