Exploraties met GeoGebra
27 Macro’s voor de schijf van Poincaré 27.1 Inleiding In het secundair onderwijs zijn leerlingen vertrouwd met de “Euclidische meetkunde”. In het Euclidisch vlak geldt het beroemde 5de parallellen postulaat: door een punt buiten een rechte bestaat er precies één evenwijdige rechte aan de gegeven rechte.
Euclidische meetkunde is gewoon voor te stellen in het platte vlak. Tijdens de 19de eeuw ontdekken de Hongaar Bolyai en de Rus Lobachevsky een andere vorm van meetkunde, de hyperbolische meetkunde, waarbij het parallellenpostulaat wordt gewijzigd.
Janos Bolyai (1802 – 1860)
Nikolai Lobachevsky (1793 – 1856)
Het parallellen postulaat van de Euclidische meetkunde geldt NIET in
deze hyperbolische meetkunde en wordt als volgt aangepast: door een punt buiten een gegeven rechte gaan er oneindig veel rechten die de gegeven rechte niet snijden.
© De Winne Ivan
www.mathelo.net
1
Exploraties met GeoGebra Een dergelijke vorm van meetkunde kunnen wij ons moeilijk voorstellen. Dat maakt hyperbolische meetkunde niet minder relevant. Om ons heelal te beschrijven maken astronomen gebruik van een hyperbolisch model waarin de ruimte “negatief” gekromd is. In een drie-dimensionale ruimte is het wel mogelijk deze hyperbolische meetkunde op een zadeloppervlak te visualiseren. Dit is echter een moeilijke werkwijze omdat wij al te vertrouwd zijn met de “platte” meetkunde van een Euclidisch vlak. Vandaar dat er allerlei modellen bedacht zijn om hyperbolische meetkunde voor te stellen waarbij er door een punt buiten een gegeven rechte meerdere rechten gaan die de gegeven rechte niet snijden.
27.1.1
Bertrami-Klein model
Een eenvoudig model voor de hyperbolische meetkunde is het Beltrami-Klein model. Het hyperbolische vlak is het binnenste van een cirkel. Hyperbolische lijnen zijn koorden van de cirkel. Een koorde stelt dus een oneindig lange lijn voor, en de rand van de cirkel een soort horizon.
27.1.2
Het half-vlak model van Poincaré
Het Euclidische vlak wordt in twee halfvlakken verdeeld waarbij de X-as meestal als scheidingslijn wordt gekozen en het hyperbolisch vlak bestaat uit het bovenste halfvlak waar y>0. Rechten (lijnen) zijn in dit model:
Halfrechten loodrecht op de X-as of
Halfcirkels met middelpunt op X-as gelegen.
© De Winne Ivan
www.mathelo.net
2
Exploraties met GeoGebra 27.1.3
De schijf van Poincaré
De Franse wiskundige Poincaré geeft in 1906 in zijn boek “La science et l’hypothèse” een model voor de hyperbolische meetkunde uitgewerkt binnen een Euclidische cirkel. Binnen deze zogenaamde Poincaré-schijf gelden:
Punten (d-punten) worden voorgesteld door punten binnen deze (Euclidische cirkel).
Rechten (d-lijnen) worden voorgesteld door open cirkelbogen m die de cirkel c loodrecht snijden of door middellijnen van de cirkel (in feite een cirkelboog waarvan de straal oneindig is).
De hoek tussen twee rechten (d-lijnen) in het snijpunt is de hoek tussen de raaklijnen in dit d-punt. Hou er rekening mee dat rechten (d-lijnen) binnen dit Poincaré model worden voorgesteld als Euclidische cirkelbogen.
27.2 Macro’s voor rechten (d-lijnen) en d-cirkel op de schijf van Poincaré De bedoeling van deze opdracht is het uitbouwen van dit model van de hyperbolische meetkunde met GeoGebra en de creatie van een aantal gereedschappen voor o.a. het tekenen van een rechte (d-lijn) binnen deze Poincaré schijf en ook een d-cirkel binnen deze Poincaré schijf.
Euclidische cirkel middelpunt M en straal 1
Rechten (d-lijnen) op Poincaré schijf © De Winne Ivan
www.mathelo.net
d-cirkels op Poincaré schijf 3
Exploraties met GeoGebra 27.3
Het maken van een macro met GeoGebra
Vaak terugkerende handelingen kan men met GeoGebra bundelen in zogenaamde macro’s. Een eenvoudig voorbeeld: Maak vooreerst een GeoGebra bestand voor de constructie van de ingeschreven cirkel van een driehoek. Stap 1:
Start GeoGebra en open een nieuw leeg werkblad.
Teken een driehoek ΔABC.
Teken de bissectrices en bepaal het snijpunt M van deze bissectrices.
Teken de loodlijn vanuit M op één van de drie zijden van de driehoek en bepaal het snijpunt S.
De gevraagde cirkel heeft als middelpunt M en als straal de afstand tussen M en S.
Bewaar dit bestand als ingeschrevencirkel.ggb
Stap 2: Wij maken nu een macro om, gegeven de drie hoekpunten van een driehoek, met één enkele handeling de ingeschreven cirkel te tekenen. Aan de werkbalk zal ook een nieuwe knop worden toegevoegd. Veronderstel dat vooraf een afbeelding werd gemaakt voor deze knop incirkel.jpg
Jij kan deze figuur incirkel.jpg zelf maken of downloaden. © De Winne Ivan
www.mathelo.net
4
Exploraties met GeoGebra
Open het vorige bestand ingeschrevencirkel.ggb Kies in de menubalk bij het onderdeel “Macro’s” “Nieuwe macro aanmaken”.
In het dialoogvenster moet je vooreerst de eindobjecten (cirkel) en vervolgens de beginobjecten (de drie hoekpunten) van je macro specificeren.
Specificeer de Eindobjecten: selecteer het via het rolmenu of klik op de objecten in de tekening.
Specifiëer ook de Beginobjecten: GeoGebra selecteert voor jou automatisch de beginobjecten (in dit geval: de punten A,B en C).
Geef macro een naam (Ingeschreven cirkel) en voer ook de opdrachtnaam incirkel in.
Jij kan ook een icoon aan deze knop verbinden. De afbeelding hiervoor moet jij wel vooral maken, in dit geval incirkel.jpg
Klik op Pictogram en open het bestand cirkel.jpg dat werd bewaard in een map op jouw PC. Klik tenslotte op “Beëindigen”
© De Winne Ivan
www.mathelo.net
5
Exploraties met GeoGebra
Indien alles correct werd dan verschijnt er een nieuwe knop op de werkbalk.
Alle macro’s worden automatisch bewaard in het huidige constructiebestand, dat de extensie “ggb” heeft. Via het item Macro’s beheren in het menu Macro’s kan je een macro opnieuw verwijderen, of zijn naam of afbeelding wijzigen.
Bewaar dit bestand als incirkel.ggb
Stap 3: Indien men deze macro voor de ingeschreven cirkel wil gebruiken dan kan men dit bestand incirkel.ggb openen. De nieuwe knop is beschikbaar. Klik op deze knop, vervolgens op drie (hoek)punten en de ingeschreven cirkel wordt getekend.
Stap 4: GeoGebra voorziet ook de mogelijkheid om deze macro in een apart MACRObestand (met de extensie ggt) te bewaren. Men kan deze macro nadien inladen in een ander nieuw (leeg) GeoGebra bestand.
Open het vorige bestand incirkel.ggb
Klik op Macro’s beheren en Opslaan. © De Winne Ivan
www.mathelo.net
6
Exploraties met GeoGebra
27.4
Macro voor een d-lijn op de Poincaré schijf
De schijf van Poincaré wordt voorgesteld door een cirkelschijf met straal 1, waarbij het inwendige van deze schijf de hyperbolisch ruimte voorstelt en de rand het oneindige. Rechten (d-lijnen) worden voorgesteld in dit model van de hyperbolische meetkunde voorgesteld door:
open cirkelbogen m die de cirkel c loodrecht snijden
of middellijnen van de cirkel (in feite een cirkelboog waarvan de straal oneindig is).
Stap 1: constructie
Open een nieuw leeg werkblad in GeoGebra. Teken een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 1.
Invoerveld x^2+y^2=1 Deze cirkel is de grenslijn (horizon). Inzoomen.
Het inwendige van deze cirkelschijf kan men voorstellen m.b.v. een ongelijkheid x^2+y^2<1 Alle punten van de hyperbolische meetkunde liggen in dit model binnen de rand van de cirkel zoals de punten A en B.
Teken een twee punten A en B gelegen op de schijf. Bepaal de inversie A’ van A t.o.v. de cirkel c en de inversie B’ van B. Teken de lijnstukken AA’ en ook BB’. Middelloodlijnen van beide lijnstukken en snijpunt C van deze middelloodlijnen. (Orthogonale) cirkel met middelpunt C en gaande door A. Snijpunten D en E. Tenslotte cirkelboog met middelpunt C en gaande door D en E. Dit is de gevraagde d-lijn. © De Winne Ivan
www.mathelo.net
7
Exploraties met GeoGebra GeoGebra bestand: constructie van d-lijn.ggb Stap 2: bewaren van deze constructie als macro.
Uitgewerkt bestand: MACRO-d-lijn.ggb
27.5
Macro voor een d-cirkel op de Poincaré schijf.
Wij vullen nu deze Poincaré schijf aan met een macro voor een d-cirkel (hyperbolische cirkel). Omdat in dit model de afstanden tussen punten naar rand toe gelegen (horizon) met onze “Euclidische” ogen kleiner wordt zal het middelpunt van deze d-cirkel niet samenvallen met het middelpunt van de Euclidische cirkel. © De Winne Ivan
www.mathelo.net
8
Exploraties met GeoGebra Een cirkel is immers per definitie de verzameling van punten op een gelijke afstand van het centrum. Stap 1: constructie
Teken een willekeurig punt A op de schijf van Poincaré. Dit punt wordt het middelpunt van de d-cirkel.
Teken een tweede punt B op deze Poincaré schijf en de d-lijn door A en B. Naar analogie met een Euclidische cirkel waarbij alle middellijnen loodrecht op de cirkel staan is dit ook het geval voor de hyperbolische cirkel. Dit middelpunt ligt uiteraard op de lijn door C en D.
De gevraagde cirkel moet orthogonaal op de d-lijn door A en B gelegen zijn. Het middelpunt P is het snijpunt van de raaklijn in B aan de cirkelboog en de middellijn door A en M.
Kort samengevat kunnen wij stellen dat voor een d-cirkel (hyperbolische) het middelpunt A niet overeenstemt met het middelpunt P van de Euclidische cirkel. Uitgewerkt GeoGebra bestand: Constructie_d-cirkel.ggb Stap 2: opslaan als MACRO: eindobject is een cirkel, beginobjecten A en B.
© De Winne Ivan
www.mathelo.net
9
Exploraties met GeoGebra Uitgewerkte GeoGebra bestanden: d-lijnen_en_d-cirkels.ggb en d-lijnen_door_middelpunt.ggb
© De Winne Ivan
www.mathelo.net
10
