ko p
ie
Příklad 01: Navrhněte a posuďte prostě uloženou ocelobetonovou stropnici na rozpětí 6 m včetně posouzení trapézového plechu jako ztraceného bednění. - rozteč stropnic – 2 m - tloušťka betonové desky celkem – 100 mm - ocel – S 235 - beton – C 20/25 - užitné zatížení stropu 3 kN/m2 - stropnice není během montáže podpírána
1. Trapézový plech – poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) – TR 50/250-1mm PL!Ý PRŮŘEZ
EFEKTIV!Í PRŮŘEZ
t [mm]
m [kg/m2]
Ag [mm2]
Iy,g [mm4] x106
Wy,eff+ [mm3] x103
Wy,eff[mm3] x103
Iy,eff+ [mm4] x106
Iy,eff[mm4] x106
0,63 0,75 0,88 1,00 1,13 1,25
6,35 7,55 8,86 10,07 11,38 12,59
754 898 1053 1197 1352 1496
0,295 0,352 0,413 0,469 0,530 0,586
5,90 8,04 10,24 12,43 14,99 17,05
5,90 8,03 10,57 12,83 15,20 17,47
0,164 0,212 0,262 0,311 0,365 0,424
0,208 0,272 0,347 0,413 0,484 0,550
de n
ts
TR 50/250
Hmotnost
ká
PROFIL
Tloušťka
st u
pozn.: srovnaná tloušťka žeber – vyrovnaná tloušťka betonu v žebrech na 1 m´ 4 ⋅ (54 + 30,5) ⋅ 48,5 ts = = 16,4 mm 1000 Zatížení : (uvažuje se šířka 1 m) Stálé [kN/m] charakteristické - TR 50/250-1mm - beton (67,4 mm) 25*(0,0164+0,051) Stálé celkem Nahodilé při betonáži [kN/m] - na délce 3 m - jinde
souč. zatížení
návrhové
1,50 0,75
1/7
2,42
2000
2000
2000
ie
2,25
1,13
1,13
ko p
3000
500
500
1,95
ká
1,23
0,68
ts
1,38
MSÚ: Wa ⋅ f y
γ Ma
= 2,92 km ≥ M sd = 1,95 km
de n
Ma =
0,67
Navržený profil TR 50/250-1mm VYHOVUJE
MSP: - průhyb jen od stálého zatížení M 1 = 0,71 ⋅ 10 6 mm - moment nad podporou (pouze od stálého zatížení)
st u
Max. průhyb v prvním poli 1 5 1 L δ= ⋅ g ⋅ L4 − ⋅ M 1 ⋅ L2 = 3,25 mm ≤ = 8 mm E a ⋅ I a 384 16 250 Navržený profil TR 50/250-1mm VYHOVUJE
2/7
2. Stropnice – montážní stav (působí pouze ocelový nosník) – IPE 200 Zatížení : (zatěžovací šířka 2 m)
Nahodilé při betonáži [kN/m] - na délce 3 m - 1,5*2 - jinde - 0,75*2
Vsd
(
)
1 1 ⋅ q ⋅ L2 + ⋅ ( g ⋅ l ⋅ (2 ⋅ L − l )) = 40,76 km 8 8 1 1 = ⋅ (q ⋅ L ) + ⋅ ( g ⋅ l ) = 25,49 k 2 2
M sd =
souč. zatížení
návrhové
ie
charakteristické
ká
MSÚ: Av = 1,04 ⋅ h ⋅ t w = 1165 mm 2 fy Va = Av ⋅ = 158,07 k ≥ 2 ⋅ VSd = 50,98 k γa ⋅ 3 Wa ⋅ f y Ma = = 51,70 km ≥ M sd = 40,76 km
ko p
Stálé [kN/m] - IPE 200 - TR 50/250-1mm*2 - beton (67,4 mm) 25*(0,0674) *2 Stálé celkem
ts
γ Ma
Navržený profil IPE 200 VYHOVUJE
de n
MSP: - průhyb jen od stálého zatížení Při návrhu je nutno uvážit, zda platí MSP v montážním stavu (např. u konstrukcí s dodatečným podhledem není nutné průhyb od montážního zatížení omezovat) 1 5 ⋅ ⋅ g ⋅ L4 = 15,70 mm E a ⋅ I a 384 L 15,70 mm ≤ = 24 mm 250 15,70 mm ≤ 20 mm
st u
δ=
- není třeba uvažovat větší tloušťku betonové desky (zanedbává se tzv. rybníkový efekt – tj. rozdílná tloušťka betonové desky u podpor a uprostřed rozpětí). Pokud by byla překročena limitní hranice L/250 nebo 20mm, je nutné zvětšit tloušťku betonové desky při výpočtu zatížení o 0,7*δ. - jelikož je uvažován dodatečný podhled, není tento průhyb ocelového nosníku z hlediska použitelnosti rozhodující a pro posouzení MSP se bude uvažovat pouze průhyb spřaženého ocelobetonového nosníku.
3/7
2. Stropnice – provozní stav (působí ocelobetonový nosník) – IPE 200 Zatížení: charakteristické
Celkem
)
1 ⋅ q ⋅ L2 = 73,67 km 8 1 = ⋅ (q ⋅ L ) = 49,11 k 2
ká
Vsd
(
návrhové
ko p
Nahodilé [kN/m] - dlouhodobé – podlaha, podhled - krátkodobé – užitné 3*2
M sd =
souč. zatížení
ie
Stálé [kN/m] - IPE 200 - TR 50/250-1mm*2 - beton (67,4 mm) 25*(0,0674) *2 Stálé celkem
MSÚ:
Nosník VYHOVUJE
de n
b) únosnost v ohybu
ts
a) únosnost ve smyku fy VRd = Av ⋅ = 158,07 k ≥ 2 ⋅ VSd = 98,22 k γa ⋅ 3
spolupůsobící šířka desky: 2⋅ L beff = = 1500 mm - (max. vzdálenost mezi nosníky (2000 mm)) 8
st u
poloha neutrální osy (vzdálenost x- od horního okraje betonové desky): předpoklad: neutrální osa prochází betonovou deskou – viz teorie Aa ⋅ f y x=
γa
beff ⋅ 0,85 ⋅ f ck
= 39,40 mm
γc
M Rd =
Aa ⋅ f y
γa
⋅ ha = 120,76 km ≥ M sd = 73,67 km Nosník VYHOVUJE
4/7
c) spřažení Trny o průměru 18,2mm, výšky 87 mm z oceli s mezí pevnosti po přivaření fu = 340 MPa (je nutné počítat s tím, že po přivaření se trn zkrátí cca o 5 mm, bezpečně tedy hsc = 80 mm) Spřahovací trny d
12,7
15,8
18,2
průměr hlavy trnu [mm]
D
25,0
31,3
31,2
výška hlavy trnu [mm]
hd
6,0
7,0
8,0
59
-
-
ko p
celková výrobní výška trnu [mm]
ie
průměr trnu [mm]
l
pozn. po přivaření se trn zkrátí cca o 5 mm
79
-
-
89
88
87
109
108
107
119
118
117
129
128
127
PRk
γv
hsc ≤ 4 hsc 80 = = 4,4 d ....... d 18,2
= 56,61k
⇒ α = 1,0
de n
PRd =
pro 3 ≤
ts
hsc + 1 0,2 ⋅ α = d 1,0
ká
- únosnost trnu v plné desce π ⋅d2 0 , 8 ⋅ f ⋅ = 70,76 ⋅ 10 3 u 3 4 PRk = = 70,76 ⋅ 10 0,29 ⋅ α ⋅ d 2 ⋅ f ⋅ E = 73,16 ⋅ 10 3 ck cm
- redukovaná únosnost v žebrové desce PRd ,r = PRd ⋅ k t = 44,84 k
kt =
0,7 b0 hsc − h p ⋅ ⋅ = 0,792 hp nr h p
nr – počet trnů v jednom žebru (max. 2), b0 – průměrná šířka vlny, hp – výška vlny TR
st u
- počet trnů na polovině nosníku (min. z hodnot) Spřahovací prvky přenášejí podélný smyk Vl. Jeho velikost je u prostého nosníku (navrženého podle plasticity) mezi podporou a místem maximálního momentu. -
pro prostý nosník –
-
pro spojitý nosník –
Vl = Fcf
Vl = Fcf + As ⋅
f sk
γs
5/7
Aa ⋅ f y F = = 669,75 ⋅ 10 3 cf ,a γa Fcf = F = Ac ⋅ 0,85 ⋅ f ck + As ⋅ f sk = Ac ⋅ 0,85 ⋅ f ck + zanedbáme = 875,5 ⋅ 10 3 cf ,c γc γs γc Fcf ,a Prd ,r
= 14,9 ks − na polovinu nosníku
ie
f =
ko p
tzn. rozteč trnů 3000/15 = 200 mm. Jelikož navržený trapézový plech má vlny po 250 mm a trny se umisťují vždy jeden do každé vlny, na celém nosníku může být umístěno pouze 24 trnů – jedná se tedy o neúplné spřažení, které je nutno dále posoudit.
- neúplné spřažení
ká
(Plného spřažení by šlo teoreticky docílit umístěním 2 trnů do každé vlny. V takovém případě musí být ale splněna konstrukční podmínka – okraj trnu musí být umístěn min 20 mm od okraje profilu, osová vzdálenost mezi trny musí být min 2,5d – v našem případě bychom potřebovali pásnici šířky 2,5d+2*20+d = 3,5*18,2+40 = 103,7mm, což není splněno. avrhnout větší profil IPE 220 pouze pro dosažení plného spřažení je neekonomické, výhodnější je započítat vliv neúplného spřažení na únosnost).
ts
Částečné spřažení lze použít pouze pro nosníky, jejichž všechny průřezy jsou třídy 1 nebo 2 – pro válcovaný profil IPE 200 splněno – třída 1. Dále je zde podmínka pro dostatečnou deformovatelnost trnů: n 355 n pro Le ≤ 25 η= ≥ 1− ⋅ (0,75 − 0,03 ⋅ Le ) ale η = ≥ 0,4 fy nf nf
de n
Le je vzdálenost nulových bodů ohybových momentů v metrech, n je použitý počet trnů pro smykové spojení, nf je počet trnů pro plné spojení nmin = 15*0,4 = 6 trnů Pro výpočet neúplného spřažení se využívá toho, že ocelový průřez není plně využit a může přenášet ještě přídavné zatížení. Počet trnů se v tomto případě určuje pro sílu: M sd − M apl , Rd Fc = ⋅ Fcf , M pl , Rd − M apl , Rd kde Mapl,Rd je plastický moment únosnosti ocelového nosníku. Odpovídající snížený moment únosnosti plyne za schématu vnitřních sil pro c = Fc, ale nikdy nesmí být nižší než Msd.
st u
Fc = 213,1 k W pl ,a ⋅ f y M apl , Rd = = 51,7 k
γa
f ,reduk . =
Fcf
Prd ,r
= 4,9 ks − na polovinu nosníku Nosník VYHOVUJE
Trny budou umístěny v každé vlně, celkem tedy 12 trnů na1/2 nosníku.
6/7
ká
moment setrvačnosti ideálního průřezu 1 1 I i = I a + Aa ⋅ z a2 + ⋅ ⋅ beff ⋅ t c3 + t c ⋅ beff ⋅ z c2 n 12 6 4 I i = 77,94 ⋅ 10 mm
ko p
ie
MSP: Posoudí se průhyb spřaženého nosníku za předpokladu pružného působení. Účinný modul pružnosti betonu je uvažován vlivem dotvarování betonu: E 29 E ' c = cm = = 14,5 GPa 2 2 pracovní součinitel: E 210 n = 'a = = 14,5 E c 14,5 poloha neutrální osy: t 1 Aa ⋅ ha + ⋅ t c ⋅ beff ⋅ c n 2 = 86,5 mm x= 1 Aa + ⋅ t c ⋅ beff n
- průhyb od nahodilého zatížení pozn.: průhyb od stálého zatížení byl již určen v předchozím návrhu zatížení nahodilé: qk = 1,5 + 6 = 7,50 kN/m
ts
5 q k ⋅ L4 L δ= ⋅ = 7,73 mm ≤ = 20 mm 384 E ⋅ I i 300
de n
Protože nosník má jen částečné smykové spojení, projeví se toto ve zvětšení průhybu. Vliv částečného spřažení nelze zanedbat.
δ celkové = δ ⋅ 1 + 0,3 ⋅ 1 −
n nf
δa ⋅ − 1 δ
Ii = 31,06 mm Ia L = 9,09 mm ≤ = 20 mm 300
st u
δa = δ ⋅ δ celkové
Celkový průhyb spodní hrany ocelového nosníku činí 15,70+9,09 = 24,8 mm, což naznačuje, že by nosník nevyhověl z hlediska mezního stavu použitelnosti bez použití dodatečného podhledu. Nosník VYHOVUJE
7/7
