2. tétel Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával).
(C) 𝑝𝑙. (−1)
R pl. 3; 2; 𝜋
Q pl. 1/4; 1/2
Z pl. 1;2;0;-1;
N pl. 0
Z+ pl.2 (Komplex számok: C) Valós számok halmaza: R (pl.:; 2) 1 1 Racionális számok halmaza: Q (pl.: 2;3) Egész számok halmaza: Z (pl.: -1; 3) Természetes számok halmaza: N (pl.: 0; 1; 2; 3) A számkörök egymás bővítései. Az egyes halmazok tulajdonságait a számfogalom kialakulásának sorrendjében ismertetjük (a halmazábrán belülről kifelé). Z+ Természetes számok: N= 0; 1; 2… o Általában a természetes számokat használjuk dolgok megszámlálására. o A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra (azaz 2 halmazbeli összeművelésekor halmazbelit kapunk eredményül), és nem zárt a kivonásra és az osztásra. o Érdekesség: valahol a 0-t nem tekintik természetes számnak, történelmileg is sokkal később kezdték el használni, mint pl. a negatív számokat. Az arab számírással kellett bevezetni a 0-t, mint számot. Tágabb halmazokat a permanencia-elvnek megfelelően úgy vezetünk be, hogy az addig megismert műveleti azonosságok érvényben maradjanak, a műveletek ugyanúgy működjenek, mint a korábban meglevő halmazokban (legfeljebb kapunk eredményt arra, amit eddig nem értelmeztünk.) Egész számok: (Z=… -3; -2; -1; 0; 1; 2…) 1. oldal
o a 0, a pozitív egész számok és a pozitív egészek ellentettjei (ellentett: a negatív egészek azért jöttek létre, hogy a kivonást mindig tudják értelmezni, gyakorlati motivációt jelentett az adósságok kezelése) pl. 2-7=??? 7-2=5 (7-2)+(2-7)=7-2+2-7=0 2-7 így olyan szám, amit az 5-höz hozzáadva 0-t kapunk. 5+(-5)=0 Ezzel megkaptuk a pozitív számok ellentettjeit. o Az egész számok halmaza zárt összeadásra, kivonásra, szorzásra, de nem zárt az osztásra. 1 1 Racionális számok: (Q=1; 2 ; − 3 ….) 𝑛
o Def.: egy szám racionális, ha felírható két egész szám hányadosaként, vagyis 𝑞 = 𝑘 , 𝑛
𝑛; 𝑘 ∈ 𝑍, 𝑘 ≠ 0.Természetesen van 𝑘 -nak leegyszerűsített alakja, ahol n és k relatív prímek. o Egy racionális számot megadhatunk közönséges tört és tizedes tört alakban, lehetnek véges vagy végtelen szakaszos tizedes törtek. o Az ellentetthez hasonlóan itt megjelenik a reciprok fogalma. Def: reciprok: az a szám, amit az eredetivel megszorozva 1-rt kapunk eredményül.A 1 0-t kivéve minden számnak van reciproka 𝑎 ∙ = 1 𝑎 o A racionális számok halmaza zárt az osztásra is, annak ellenére, hogy a 0-val való osztást nem értelmezzük. (Tehát az összes alapműveletre zárt.) Nem lehet úgy bővíteni, hogy a 0-val való osztás értelmezett legyen: Tegyük fel, hogy értelmezzük. 7: 0 = 𝑥 0 ∙ 𝑥 = 7 Így viszont ellentmondáshoz jutunk, hiszen 0 ∙ 𝑥 = 0, megállapodás szerint. A 0val való osztást tehát egyáltalán nem lehet értelmezni, nem pedig az a probléma, hogy a számkörből vezetne ki. o A racionális számok halmazán az eddigi műveleti tulajdonságok érvényben maradnak. o A racionális számok halmaza zárt az összeadásra, kivonásra, szorzásra, osztásra, de nem zárt a gyökvonásra, szögfüggvényekre, stb. Valós számok: (R) o Megjelennek az irracionális számok (végtelen nem szakaszos tizedes törtek) o A Pitagorasz-tétel ismert volt a görögöknél. Keresték azt a számot, amit négyzetre emelve 2-t kapnak. A monda szerint vízbe fojtották azt, aki bebizonyította, hogy ez irracionális szám. Vannak dolgok, amelyeket nem lehet racionális számmal leírni. Tétel: 2 irracionális Bizonyítás: indirekt módon Tegyük fel, hogy 2 ∈ 𝑄. (Nem lehet egész, mert 1 < 2 < 2.) Így felírható két egész szám hányadosaként. 𝑛 2=𝑘 𝑛; 𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ≠ 0,n és k relatív prímek 𝑛
2=𝑘
/2
(ekvivalens, mert mindkét oldal pozitív)
𝑛2
2 = 𝑘2 /k2 >0 2 2 2𝑘 = 𝑛 Tehát a bal oldal páros. Ez csak akkor lehet, ha n is páros (mert a 2 prímszám): n=2l𝑙 ∈ 𝑍 Behelyettesítve: 2𝑘 2 = (2𝑙)2 2𝑘 2 = 4𝑙 2 𝑘 2 = 2𝑙 2 2. oldal
A fenti gondolatmenetet felhasználna k is páros, de ez ellentmondás, mert n és k relatív prímek (n; k)=1. Ezek szerint az indirekt feltevés hamis, azaz 2 Q, tehát irracionális.
- tól máshogy: 2𝑘 2 = 𝑛2 A 2𝑘 2 prímtényezős felbontásában a 2-es prímtényező a páratlanadik hatványon lesz, míg az 𝑛2 prímtényezős felbontásában minden prím a párosadik hatványon lesz. Ez ellentmond a számelmélet alaptételének. (Számelmélet alaptétele: minden 1-nél nagyobb pozitív egész szám sorrendtől eltekintve egyértelműen bontható fel
prímtényezők szorzatára.) ellentmondás, tehát a tétel igaz. o Egy pozitív egész szám gyöke vagy egész szám, vagy irracionális. o Egy irracionális szám tetszőlegesen közelíthető racionális számokkal. o Nem megszámlálhatóan végtelen sok irracionális szám van. 1 𝑛
o Nevezetes irracionális számok pl.: ; e [ 1 + 𝑛 sorozat határértéke] Komplex számok: C o A valós számok halmaza zárt a négy alapműveletre, de továbbra sem zárt teljesen a gyökvonásra (negatív számokkal). A kivezetés után kapjuk a komplex számokat. (Ez a kiterjesztés is permanens).
A valós számok szemléltethetőek, és megfeleltethetőek egy számegyenes pontjainak.A racionális számok a számegyenesen végtelenül sűrűn helyezkednek el, de mégsem töltik ki a számegyenest => az irracionális számok pontszerűen helyezkednek el közöttük. => A valós számok töltik ki a számegyenest. (Így érthetjük meg, hogy valaminek azért mégis csak lezárása a valós számok bevezetése.) o Szerkesztésük (velük egyenlő hosszúságú szakasz szerkesztése): nem minden valós szám szerkeszthető k darab n
racionális számok szerkesztése:
𝑛 𝑘
𝑛 𝑘
o
n Pitagorasz-tétel 1 1
1 egész számok négyzetgyöke
2 3 …
1
4 (=2)
𝑛
o De 𝑎 szerkesztésére nincs általános módszer, sőt nem is biztos, hogy szerkeszthető. 3 pl.: 2: nevezetes probléma a szerkesztésre (déloszi probléma) Tétel:rac± rac = rac rac*rac = rac rac/rac = rac
rac± irrac = irrac rac*irrac = irrac rac/irrac = irrac
irrac±irrac = irrac*irrac = irrac/irrac =
nem tudjuk, lehet rac és irrac is
Pl.: Tétel: 2 + 3 irrac Biz:Indirekt bizonyítunk. o Tegyük fel, hogy 2 + 3 racionális. Ekkor: 2 + 3 = 𝑞, 𝑞 ∈ 𝑄. o 2 + 2 2 3 + 3 = 𝑞2 3. oldal
o 2 6 + 5 = 𝑞2 𝑞 2 −5
o
6=
o
ellentmondás!
2
ez egy racionális szám
6 ∈ 𝑄 de 6 irrac!
2 + 3irrac.
SZÁMRENDSZEREK Az ókorban a számítás nem helyiértékek szerint történt, hanem például lerajzoltak annyi szimbólumot, amennyi mennyiséget jelölni akartak. A római számrendszer vegyes számrendszer, nem tekinthető helyiértékes számrendszernek. A nem helyiértékes számrendszerekkel nehéz számolni. Mezopotámiában kezdtek el először helyiérték szerint számolni (ez nem 10-es számrendszer volt) itt később keveredett a 60-as és a 10-es (ebben mérjük ma is a fokokat). A mai számírás az arabok közvetítésével terjedt el. A 10-es számrendszeren kívül ma a 2-est használják a leggyakrabban (az informatikában, néha a 8-as és a 16-os is megjelenik). Helyiértékes számrendszeres számírás A számrendszer alapszáma legyen 𝑎 ∈ 𝑍 +. Ebben a számrendszerben a db „szimbólum” (számjegy) használható (0-tól a-1-ig). A számok jelölésére 𝑎𝑛… 𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0 = 𝑎0 ∙ 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑎1 + 𝑎2 ∙ 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑛 0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 𝑎 − 1, 𝑎𝑖 ∈ 𝑍 + Előnye, hogy könnyű vele számolni. Véges sok szimbólummal bármekkora számot leírhatok. Számrendszeres helyiértékes számítás esetén könnyen láthatók bizonyos oszthatósági szabályok. A számrendszer helyiértékes írásmód,illetve a számrendszer alapszáma meghatározza a számrendszerbeli oszthatósági szabályokat. Az oszthatósági szabályoknak két nagy típusa van: végződéssel kapcsolatos szabályok számjegyek összegére vonatkozó szabályok 1. Végződéssel kapcsolatos oszthatósági szabályok Adott számrendszerbeli szám utolsó számjegye az alapszámmal való oszthatóságot illetve az alapszámmal való osztás maradékát jelöli. Az alapszám összes osztójára igaz, hogy az utoló számjegy dönti el az oszthatóságot illetve at osztási maradékot. Az alapszám k. hatványára vagy az alapszám osztójának k. hatványára az utolsó k db számjegyből álló szám dönti el az oszthatóságot illetve az osztási maradékot is. pl.: 10-esben: az utolsó számjegy dönti el a 2-vel, 5-tel, 10-zel való oszthatóságot és maradékot az utolsó két számjegy a 100-zal, 25-tel, 4-gyel stb. 2. Számjegyek összegére vonatkozó oszthatósági szabályok a alapú számrendszerben egy szám számjegyeinek összege a-1-gyel osztva ugyanannyi maradékot ad, mint az eredeti szám. a-1-nek minden osztójára igaz ez. konkrét példa: 10-es számrendszerben a 9-cel (3-mal) való oszhatóság 562 = 2 ∙ 1 + 6 ∙ 10 + 5 ∙ 102 = 2 ∙ 1 + 6 ∙ (9 + 1) + 5 ∙ (99 + 1) = 2 ∙ 1 + 6 ∙ 9 + 6 ∙ 1 + 5 ∙ 99 + 5 ∙ 1
osztható 9-cel
Összetett számokkal való oszthatóságot könnyű a halmazok nyelvén megfogalmazni (prímszámokkal való oszthatósághoz vezet). Az ilyen feladatokat sokszor logikai szita segítségével könnyű megoldani.
4. oldal
Alkalmazások Bináris számrendszer az informatikában, elektronikában, emellett megjelenik a 8-as és a 16-os számrendszer is. o Paritásellenőrző bit: 0-t vagy 1-et ír az adat végére (páros vagy páratlan-e), így lehet ellenőrizni, hogy 1 jegy nem romlott-e el másolás közben o A memóriák méretét is általában 2 hatványaiban adják meg. Római számokkal jelöljük sokszor a hónapokat. Sok alkalmazás van, amiért be kell vezetni új számhalmazokat (pl.: negatív számok adósság ma bankszámlán negatív összeg) Irracionális számok a Pitagorasz-tétel is mutatja, hogy bizonyos fizikailag létező szakaszok hosszát csak irracionális számokkal tudjuk jellemezni o vagy pl.: körnél o e a populációk növekedésénél hasznos
5. oldal
