24 Parciální diferenciální rovnice

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV – kap. 24: Parciální diferenciální rovnice

16

24 Parciální diferenciální rovnice 24.1

Rovnice vedení tepla

Definice (Rovnice vedení tepla). Parciální diferenciální rovnici ∂u − div(k(x, t, u)∇u) = f (x, t) ∂t

c(x)ρ(x)

(1)

nazýváme obecnou rovnicí vedení tepla. Zde c(x) má význam (bodové) mˇerné tepelné kapacity, ρ(x) je bodová hustota látky, k(x, t, u) je koeficient tepelné vodivosti a f (x, t) vyjadˇruje hustotu tepelných zdroj˚u. Hodnota ˇrešení u(x, t) pak vyjadˇruje hodnotu teploty v cˇ ase t a bodˇe x. Poznámka. Zjednodušený model je charakterizovaný volbami c = ρ = 1, k = konst. = a2 > 0. Potom má rovnice (1) tvar ∂u − a2 ∆u = f (x, t) . (2) ∂t Rovnici (1) resp. (2) cˇ asto doplˇnujeme tzv. poˇcáteˇcní podmínkou u(x, 0) = g0 (x) ,

x ∈ Rm ,

(3)

kde g0 pˇredstavuje rozložení poˇcáteˇcní teploty v cˇ ase t = 0. Vˇeta 24.1 (Fundamentální ˇrešení operátoru vedení tepla). Bud’ L(u) =

∂u − a2 ∆u , ∂t

a > 0,

(4)

x ∈ Rm , t > 0 ,

(5)

operátor vedení tepla. Potom funkce (viz obrázek) G(x, t) :=

|x|2 1 − 2 m e 4a t , (4πa2 t) 2

je fundamentálním rˇešením operátoru L.

Fundamentální ˇrešení operátoru vedení tepla.

ˇ Vˇeta 24.2 (Rešení RVT). • G(x, t) ∈ C ∞ (Rm × (0, +∞)), limt→0+ G(0, t) = +∞, limt→0+ G(x, t) = 0 pro všechna x 6= 0. R • Rm G(x, t) dx = 1 pro všechna t > 0. http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


17

• Je-li g spojitá a omezená na Rm , a f spojitá a omezená na Rm × (0, T ), pak Z g(y)G(x − y, t) dy u(x, t) := Rm Z tZ f (y, τ )G(x − y, t − τ ) dy dτ , +

(6)

0

Rm

rˇeší na Rm × (0, T ) rovnici (2), a navíc splˇnuje poˇcáteˇcní podmínku lim(x,t)→(x0 ,0+) u(x, t) = g(x0 ) pro všechna x0 ∈ Rm . Poznámka. Úloze, kdy ˇrešíme nˇejakou evoluˇcní PDR na celém prostoru a pro t > 0, s poˇcáteˇcní podmínkou (nebo poˇcáteˇcními podmínkami) pro t = 0, ˇríkáme Cauchyova úloha. Poznámka. S využitím explicitniho tvaru funkce G lze (6) psát jako Z |x−y|2 1 − 4a2 t dy g(y)e u(x, t) = m (4πa2 t) 2 Rm Z t Z |x−y|2 1 1 − 2 4a (t−τ ) dy dτ, + f (y, τ )e m m (4πa2 ) 2 0 (t − τ ) 2 Rm

(7)

pˇrípadnˇe s využitím operátoru konvoluce jako u(x, t) = g(x) ∗(x) G(x, t) + (f (x, t)Y (t)) ∗(x,t) (G(x, t)Y (t)), kde Y je Heavisideova funkce, a index u operátoru konvoluce vyjadˇruje, podle kterých promˇenných konvoluce probíhá. Poznámka. V jednodimenzionálním pˇrípadˇe se cˇ asto rˇeší speciální úlohy vedení tepla s tzv. okrajovými podmínkami (a také s poˇcáteˇcní podmínkou pro t = 0). • Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s poˇcáteˇcní podmínkou g, zadanou pro x > 0, a okrajovou podmínkou u(0, t) = 0 pro t > 0 (tzv. Dirichletova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka pˇredepisující hodnoty funkce), tj. tzv. Dirichletovu úlohu, ˇrešíme tak, že funkci g rozšíˇríme liše na R a ˇrešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšíˇrenou poˇcáteˇcní podmínkou. Výsledná funkce u splˇnuje díky lichosti g podmínku u(0, t) = 0 pro t > 0. Poznámka. • Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s poˇcáteˇcní podmínkou g, zadanou pro x > 0, a okrajovou podmínkou ∂u ∂x (0, t) = 0 pro t > 0 (tzv. Neumannova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka pˇredepisující derivace funkce), tj. tzv. Neumannovu úlohu, ˇrešíme tak, že funkci g rozšíˇríme sudˇe na R a ˇrešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšíˇrenou poˇcáteˇcní podmínkou. Výsledná funkce u splˇnuje díky sudosti g podmínku ∂u ∂x (0, t) = 0 pro t > 0. Poznámka. • Úlohu pro RVT na omezeném intervalu ha, bi s poˇcáteˇcní podmínkou g, zadanou pro x ∈ ha, bi, a s nulovými okrajovými podmínkami Dirichletova a/nebo Neumannova typu – jako výše, ˇrešíme tak, že funkci g rozšíˇríme sudˇe vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je pˇredepsána Neumannova podmínka, a liše vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je pˇredepsána Dirichletova podmínka. Poté ji rozšíˇríme periodicky na celé R a ˇrešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšíˇrenou poˇcáteˇcní podmínkou. K vyˇrešení této úlohy využijeme následující tvrzení. 2π P inx p je p-periodická, po cˇ ástech hladká Tvrzení 24.3 (vedení tepla na tyˇci). Necht’ g(x) = n∈Z bn e omezená funkce na R. Potom funkce X 2π 2 2 2 inx bn e−4π a n t e p u(x, t) := n∈Z

je rˇešením Cauchyovy úlohy pro rovnici vedení tepla s poˇcáteˇcní podmínkou g. Navíc, je-li g lichá (resp. sudá) vzhledem k bodu a ∈ R, je u(a, t) = 0 pro t > 0 (resp. ∂u ∂x (a, t) = 0 pro t > 0). http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


18

ˇ Cviˇcení. Rešte úlohu vedení tepla na Rm , m ≥ 2, s nulovou poˇcáteˇcní podmínkou a s pravou stranou f = δ ⊗Y (t) (ve všech kladných cˇ asech je v poˇcátku jednotkový bodový zdroj tepla). Studujte chování x ˇrešení této úlohy pro t → +∞, konkrétnˇe ukažte: • pro m = 2 je limt→+∞ u(x, t) = +∞, prostor R2 se p˚usobením vytrvalého bodového zdroje tepla "pˇrehˇrívá"; • pro m > 2 je limt→+∞ u(x, t) = (m−2)κ1m |x|m−2 , v prostoru Rm pro m > 2 je dosaženo rovnovážného rozložení teploty, které je rovno fundamentálnímu ˇrešení Laplaceova operátoru v Rm .

24.2

Vlnová rovnice

Definice (Vlnová rovnice). Parciální diferenciální rovnici 1 ∂2u − ∆u = f (x, t) , c2 ∂t2

x ∈ Rm , t > 0,

(8)

nazýváme lineární vlnovou rovnicí. Zde c > 0 má význam rychlosti šíˇrení vlny a f (x, t) vyjadˇruje hustotu vnˇejších sil. Hodnota ˇrešení u(x, t) pak vyjadˇruje hodnotu výchylky vlny v cˇ ase t a bodˇe x. Poznámka. Rovnici (8) cˇ asto doplˇnujeme dvˇema poˇcáteˇcními podmínkami: u(x, 0) = g0 (x) ,

x ∈ Rm ,

(9)

a

∂u (x, 0) = g1 (x) , x ∈ Rm . ∂t Zde g0 má význam hodnoty poˇcáteˇcní výchylky a g1 má význam rychlosti poˇcáteˇcní výchylky.

(10)

Poznámka. Díky linearitˇe rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadno ukázat tzv. princip superpozice ˇrešení: úlohu (8)–(10) ˇreší funkce u = u0 + u1 + u2 , kde u0 resp. u1 resp. u2 jsou ˇrešení (8)–(10) postupnˇe s daty f = 0, g1 = 0 resp. f = 0, g0 = 0 resp. g0 = 0, g1 = 0. Poznámka. Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u0 = E0 ∗(x) g0 , u1 = E1 ∗(x) g1 , u2 = E2 ∗(x,t) f ·Y (t), kde Y (t) je Heavisideova funkce, a E0 (x, t), E1 (x, t), E2 (x, t) splˇnují b t) = E c1 (ξ, t) = sin(2πc|ξ|t) , E(ξ, 2πc|ξ|

c0 (ξ, t) = cos(2πc|ξ|t) = d E(ξ, b t), E dt b t)·Y (t), c2 (ξ, t) = c2 sin(2πc|ξ|t) ·Y (t) = c2 E(ξ, E 2πc|ξ|

pˇriˇcemž symbol b znaˇcí Fourierovu transformaci vzhledem k promˇenné x.

b t) = sin(2πc|ξ|t) a E(x, t) bud’ její vzor ve Fourierovˇe transformaci podle promˇenné Vˇeta 24.4. Bud’ E(ξ, 2πc|ξ| x. Potom d E ∗(x) g0 + E ∗(x) g1 + c2 E · Y (t) ∗(x,t) f · Y (t) u(x, t) := dt je rˇešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f , které splˇnuje poˇcáteˇcní podmínky (9), (10) s funkcemi g0 , g1 . Pozn. Mlˇcky pˇredpokládáme, že funkce (pˇrípadnˇe distribuce) g0 , g1 , f jsou takové, že všechny uvedené operace jsou dobˇre definovány. Funkci (resp. obecnˇe distribuci) E nazýváme fundamentálním rˇ ešením vlnového operátoru.

http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


19

Vˇeta 24.5 (Vlnová rovnice v R1 , d’Alembert˚uv vzorec). Bud’te g0 ∈ C 2 (R), g1 ∈ C 1 (R), f ∈ C 1 (R × (0, T )). Potom Z 1 x+ct g0 (x + ct) + g0 (x − ct) g1 (y) dy + u(x, t) := 2 2c x−ct Z Z c t x+c(t−τ ) + f (y, τ ) dy dτ 2 0 x−c(t−τ ) je rˇešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R1 , které splˇnuje poˇcáteˇcní podmínky (9), (10) s funkcemi g0 , g1 . Vˇeta 24.6 (Fundamentální ˇrešení vlnového operátoru v R2 a R3 ). Pro fundamentální rˇešení vlnového operátoru v Rm platí m=2

=⇒

m=3

=⇒

1 p 2 2πc (c t2 − |x|2 )+ 1 νct E(x, t) = 4πc2 t

E(x, t) =

kde symbolem (. . . )+ rozumíme: "funkce E je dodefinovaná nulou všude tam, kde by výraz pod odmocninou byl nulový nebo záporný", a νct je plošná distribuce na sféˇre s polomˇerem ct, p˚usobící pˇres promˇennou x ∈ Rm . Vˇeta 24.7 (Vlnová rovnice v R2 ). Bud’te g0 ∈ C 3 (R2 ), g1 ∈ C 2 (R2 ), f ∈ C 1 (R2 × (0, T )). Potom Z 1 d g (x − y) p0 u(x, t) := dy 2πc dt |y|≤ct c2 t2 − |y|2 Z g (x − y) 1 p1 dy + 2πc |y|≤ct c2 t2 − |y|2 Z tZ c f (x − y, t − τ ) p + dy dτ 2π 0 |y|≤cτ c2 τ 2 − |y|2

je rˇešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R2 , které splˇnuje poˇcáteˇcní podmínky (9), (10) s funkcemi g0 , g1 . Vˇeta 24.8 (Vlnová rovnice v R3 ). Bud’te g0 ∈ C 3 (R3 ), g1 ∈ C 2 (R3 ), f ∈ C 2 (R3 × (0, T )). Potom Z g0 ∂g0 1 + (x − y) dS(y) u(x, t) := 4πct Sct (0) ct ∂n Z 1 + g1 (x − y) dS(y) 4πc2 t Sct (0) Z ct Z f x − y, t − rc 1 dS(y) dr + 4π 0 Sr (0) r

je rˇešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R3 , které splˇnuje poˇcáteˇcní podmínky (9), (10) s funkcemi g0 , g1 .

24.3

Laplace-Poissonova rovnice

Definice. Bud’ Ω ⊂ Rm oblast s dostateˇcnˇe hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici −∆u = f , x ∈ Ω, (11)



20

kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako o Laplaceovˇe rovnici.) Rovnici (11) cˇ asto doplˇnu∂u = h na ∂Ω), jeme o okrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na ∂Ω), Neumannova typu ( ∂n nebo smíšeného typu, kdy je na cˇ ásti ∂Ω zadána Dirichletova a na cˇ ásti Neumannova okrajová podmínka. Podle toho mluvíme o Dirichletovˇe, Neumannovˇe nebo smíšené úloze. ˇ Vˇeta 24.9 (Rešení Poissonovy rovnice v Rm ). rˇešení Laplaceova operátoru, tedy U (x) = U (x) =

• Bud’ f ∈ S ′ (Rm ), m ≥ 2 a bud’ U fundamentální

1 , m > 2, (m − 2)κm |x|m−2 1 1 ln , m = 2. 2π |x|

Potom funkce u := U ∗ f rˇeší rovnici −∆u = f v prostoru S ′ (Rm ) (vždy, když je daná konvoluce dobˇre definovaná). ˇ • Rešení rovnice −∆u = f v prostoru S ′ (Rm ) je urˇceno jednoznaˇcnˇe až na harmonický polynom, tedy polynom P splˇnující rovnici ∆P = 0. ˇ ˇ Vˇeta 24.10 (Rešení Dirichletovy úlohy v Ω). Rešení rovnice ∆u = 0 na oblasti Ω s (Dirichletovou) okrajovou podmínkou u = g na ∂Ω je jednoznaˇcné, pokud 1. Ω ⊂ Rm , m ≥ 2 je omezená oblast, nebo 2. Ω ⊂ R2 je (obecnˇe i neomezená) oblast a pˇredpokládáme omezenost rˇešení u, nebo 3. Ω ⊂ Rm , m ≥ 2 je neomezená oblast a pˇredpokládáme, že existuje koule BR (0) a konstanta c > 0 takové, že |u(x)| ≤ c/|x|m−2 vnˇe koule BR (0). Poznámka. Omezenost ˇrešení ve druhém bodˇe je podstatná. Napˇríklad funkce u(x, y) = y i u(x, y) = 0 ˇreší Laplaceovu rovnici na horní polorovinˇe s okrajovou podmínkou u(x, 0) = 0. Bod tˇri je vyjádˇrením skuteˇcnosti, že ˇrešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na neomezené oblasti je jednoznaˇcné ve tˇrídˇe funkcí, které "v nekoneˇcnu klesají stejnˇe rychle jako elementární ˇrešení". Vˇeta 24.11 (Dirichletova úloha na horní polorovinˇe). Bud’ u0 (x, y) =

1 y · . π x2 + y 2

Bud’ dále g = g(x) omezená lokálnˇe integrovatelná funkce taková, že pro všechna (x, y) ∈ R × (0, ∞) existuje vlastní konvoluce Z g(t) y ∞ dt . (12) u(x, y) := g(·) ∗(x) u0 (·, y) = π −∞ (x − t)2 + y 2 Potom funkce u(x, y) definovaná pˇredpisem (12) je omezená, rˇeší rovnici ∆u = 0 v horní polorovinˇe {(x, y) ∈ R2 ; y > 0}, a pˇritom splˇnuje okrajovou podmínku u(x, 0) = g(x) ve smyslu limity ve všech bodech spojitosti funkce g. ˇ Pˇríklad 1. Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici na horní polorovinˇe s podmínkou u(x, 0) = g(x) = χha,bi (x). Ukažte, že rˇešením je funkce 1 u(x, y) = π


x−a x−b − arctg arctg . y y


21

ˇ Rešení Pˇríkladu 1

Vˇeta 24.12 (Dirichletova úloha na kruhu - rˇešení rˇadou). Bud’ KR ⊂ R2 kruh o polomˇeru R > 0 a P inα funkce, rovnající se souˇctu své Fourierovy rˇady pro α ∈ R. Potom (sféricky bud’ g(α) = n∈Z an e symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná pˇredpisem u(r, ϕ) :=

X

n∈Z

an

r |n| R

einϕ ,

(13)

r ∈ (0, R), ϕ ∈ (0, 2π), rˇeší (po spojitém dodefinování) rovnici ∆u = 0 na KR a splˇnuje okrajovou podmínku u(R, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.

ˇ Rešení Dirichletovy úlohy na kruhu, u(r, α) =

P40

n=1

n

rn (−1) n2cos(3nα) . +4

Vˇeta 24.13 (Dirichletova úloha na kruhu - rˇešení integrálem). Bud’ KR ⊂ R2 kruh o polomˇeru R > 0 a bud’ g(t), t ∈ h−π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná pˇredpisem Z π R2 − r 2 1 g(t) 2 u(r, ϕ) := dt , (14) 2π −π R − 2rR cos(ϕ−t) + r2 r ∈ (0, R), ϕ ∈ (0, 2π), rˇeší (po spojitém dodefinování) rovnici ∆u = 0 na KR a splˇnuje okrajovou podmínku u(R, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.



22

Vˇeta 24.14 (Dirichletova úloha na vnˇejšku kruhu - ˇrešení ˇradou). Bud’ KR ⊂ R2 kruh o polomˇeru R > 0 P a bud’ g(α) = n∈Z an einα funkce, rovnající se souˇctu své Fourierovy rˇady pro α ∈ R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná pˇredpisem X R |n| einϕ , (15) an u(r, ϕ) := r n∈Z

r > R, ϕ ∈ (0, 2π), rˇeší (po spojitém dodefinování) rovnici ∆u = 0 na vnˇejšku kruhu KR a splˇnuje okrajovou podmínku u(R, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definiˇcním oboru. Vˇeta 24.15 (Dirichletova úloha na vnˇejšku kruhu - rˇešení integrálem). Bud’ KR ⊂ R2 kruh o polomˇeru R > 0 a bud’ g(t), t ∈ h−π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná pˇredpisem Z π 1 r 2 − R2 u(r, ϕ) := g(t) 2 dt , (16) 2π −π R − 2rR cos(ϕ−t) + r2 r > R, ϕ ∈ (0, 2π), rˇeší (po spojitém dodefinování) rovnici ∆u = 0 na vnˇejšku kruhu KR a splˇnuje okrajovou podmínku u(R, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definiˇcním oboru. Zajímavá otázka: je-li zadáno g na hranici kruhu KR ⊂ R2 o polomˇeru R > 0 jako v pˇredchozích dvou vˇetách, a definujeme-li u uvnitˇr a vnˇe kruhu ˇradami (13) a (15), pˇrípadnˇe integrály (14) a (16), bude pak u ˇrešením Laplaceovy rovnice na celém R2 ? Z následující vˇety plyne, že odpovˇed’ je záporná. Vˇeta 24.16 (Liouville). Bud’ u ∈ C 2 (Rm ), ∆u = 0 v Rm , která je alespoˇn jednostrannˇe omezená v Rm . Potom u je konstantní v Rm . Z Liouvilleovy vˇety tedy plyne, že v bodech kružnice bud’ nem˚uže být u tˇrídy C 2 nebo v nich nem˚uže splˇnovat Laplaceovu rovnici. Vˇeta 24.17 (o ˇrešení Dirichletovy úlohy na kouli). Bud’ g spojitá na sféˇre SR (0) ⊂ Rm a definujme funkci u(x) pˇredpisem Z R2 − |x|2 1 g(y) dS(y) , |x| < R . u(x) = κm R SR (0) |x − y|m Potom u ∈ C 2 (BR (0)) ∩ C(BR (0)), ∆u = 0 v BR (0) a u = g na SR (0). Vˇeta 24.18 (o ˇrešení Dirichletovy úlohy vnˇe koule). Bud’ g spojitá na sféˇre SR (0) ⊂ Rm a definujme funkci u(x) pˇredpisem Z 1 |x|2 − R2 u(x) = g(y) dS(y) , |x| > R . κm R SR (0) |x − y|m Potom u ∈ C 2 (Rm \ BR (0)) ∩ C(Rm \ BR (0)), ∆u = 0 v Rm \ BR (0) a u = g na SR (0). Navíc existuje koule B(0) a konstanta c > 0 takové, že |u(x)| ≤ c/|x|m−2 vnˇe koule B(0). Vˇeta 24.19 (o pr˚umˇeru). Bud’ Ω ⊂ Rm omezená oblast, u ∈ C 2 (Ω), ∆u = 0 v Ω. Potom pro všechna x ∈ Ω a všechny koule BR (x) ⊂ Ω platí Z Z 1 1 u(y) dS(y) = u(y) dy . u(x) = |SR (0)| SR (0) |BR (0)| BR (0) Vˇeta 24.20 (princip maxima a minima). Bud’ Ω ⊂ Rm omezená oblast s dostateˇcnˇe hladkou hranicí, u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), ∆u = 0 v Ω. Potom u nabývá svého maxima a minima na hranici ∂Ω. Vˇeta 24.21 (o regularitˇe). Bud’ Ω ⊂ Rm omezená oblast, u ∈ C 2 (Ω), ∆u = 0 v Ω. Potom u ∈ C ∞ (Ω).



24.4

23

Transportní rovnice, metoda charakteristik

V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárního transportu ∂u + ~a(x, t) · ∇u = f (x, t), ∂t

x ∈ Rm , t > 0,

(17)

kde ~a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitá pravá strana, resp., pro f = 0 ("bez vnˇejších sil"), ∂u + ~a(x, t) · ∇u = 0, ∂t

x ∈ Rm , t > 0.

(18)

Rovnici (17) resp. (18) doplˇnujeme o poˇcáteˇcní podmínku tvaru u(x, 0) = g(x),

x ∈ Rm .

(19)

ˇ Rešení úlohy (18)–(19) (s f = 0) lze hledat tzv. metodou charakteristik. Definice. Rovnici (18) pˇriˇradíme systém obyˇcejných diferenciálních rovnic (zvaný též charakteristický systém rovnice (18)) pro neznámé funkce t = t(s), xj = xj (s), j = 1, . . . , m, d t(s) = 1 , ds d xj (s) = aj x(s), t(s)) , ds

(20) j = 1, . . . , m,

(21)

s ∈ (α, β) ⊂ R, kde ~a = (a1 , . . . , am ) jsou funkce z (18). Každé klasické rˇešení (x, t) : (α, β) → Rm × (0, ∞) systému rovnic (20)–(21) nazvu charakteristikou (charakteristickou kˇrivkou) rovnice (18). Poznámka. Charakteristika je tedy kˇrivka v Rm × (0, ∞), jejíž parametrizace je dána zobrazením z (x, t) : (α, β) → Rm × (0, ∞). Vzhledem k tomu, že systém (20)–(21) je systém se spojitými pravými stranami aj , existuje podle teorie ODR ˇrešení tohoto systému alespoˇn lokálnˇe v okolí každé poˇcáteˇcní podmínky typu t(s) = t, xj (s) = xj ,

(x, t) ∈ Rm × (0, ∞) ,

(22)

kde s ∈ (α, β) je hodnota parametru, odpovídající poˇcáteˇcní podmínce. Bez újmy na obecnosti lze pˇredpokládat, že s = 0 ∈ (α, β). Studujme nyní chování funkce u ∈ C 1 (Rm × (0, T )) na charakteristice (~x(s), t(s)), pˇriˇrazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: m X d ∂u d ∂u d u(x, t) = (x, t) xj (s) + (x, t) t(s) = ds ∂xj ds ∂t ds

=

j=0 m X j=0

∂u ∂u (x, t) + (x, t) . aj x, t) ∂xj ∂t

Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, že funkce u je konstantní na charakteristice (~x(s), t(s)). Nulovost pravé strany pak znamená, že funkce u je klasickým ˇrešením rovnice (18) v bodech, které leží na charakteristice. Odtud plyne následující lemma. Lemma 24.22. Uvažujme funkci u ∈ C 1 (ΩT ), kde ΩT ⊂ (0, T ) × Rm je neprázdná oblast. 1. Bud’ u konstantní na charakteristice (~x(s), t(s)), s ∈ (α, β), ležící v ΩT , a pˇriˇrazené rovnici (18). Potom funkce u rˇeší v klasickém smyslu rovnici (18) v bodech charakteristiky, ležících v ΩT .



24

2. Necht’ naopak u je klasické rˇešení rovnice (18) v oblasti ΩT . Potom u je konstantní na libovolné charakteristice, ležící v oblasti ΩT . Nepˇresnˇe, ale ponˇekud výstižnˇeji lze uvedené lemma vyjádˇrit sloganem: u ˇreší (18) ⇐⇒ u je konstantní na charakteristikách. ∂u ˇ cáteˇcní podmínkou u0 , a poté s konkrétní poˇcáteˇcní Pˇríklad 2. Rešte rovnici ∂u ∂t + x ∂x = 0 s obecnou poˇ 2 −x podmínkou u0 (x) = e , x ∈ R. ˇ Rešení: Charakteristika, procházející bodem [x, t], x 6= 0, t > 0, má rovnici t = ln |x| + (t − ln |x|), jde tedy o "logaritmický vˇejíˇr", viz obrázek. Na základˇe toho lze explicite vyjádˇrit rˇešení uvedené rovnice pro data u0 ∈ C 1 (R), a sice u(x, t) = u0 (xe−t ). 2

Pro u0 (x) = e−x , x ∈ R, dostaneme u(x, t) = exp(−x2 e−2t ), x ∈ R, t ≥ 0, viz obrázek. 5

4

3 y 2

1

–4

0

–2

2

4 x

Charakteristiky rovnice ut + xux = 0.

1

0.8

0.6

0.4

0.2 3 0

2 –4

–2

0 x

2

2 −2t

Funkce u(x, t) = e−x

24.5

1

e

4

0

t

pro x ∈ h−5, 5i, t ∈ h0, 3i.

Fourierova metoda rozdˇelení promˇenných

Fourierova metoda rozdˇelení promˇenných slouží k hledání rˇešení okrajových resp. poˇcáteˇcnˇe-okrajových úloh pro nˇekteré PDR (napˇríklad pro Laplace-Poissonovu rovnici, rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, které lze psát jako kartézský souˇcin jednorozmˇerných interval˚u. Postup budeme ilustrovat na následujících úlohách:



25

ˇ Pˇríklad 3. Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici ∆u(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b), s okrajovými podmínkami (pro g ∈ C(h0, ai), g(0) = g(a) = 0): u(x, 0) = g(x), x ∈ h0, ai,

u(x, b) = 0, x ∈ h0, ai,

u(0, y) = 0,

u(a, y) = 0, y ∈ h0, bi.

y ∈ h0, bi,

Postup pˇri rˇ ešení. • Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) · Y (y) (s tzv. rozdˇelenými promˇennými), pˇredpokládáme X 6= 0, Y 6= 0. • Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme ∆u(x, y) = X ′′ (x) · Y (y) + X(x) · Y ′′ (y) = 0, odkud X ′′ Y ′′ enné x a funkce promˇenné y, proto obˇe musí X = − Y = λ = const. (jde o rovnost funkce promˇ být konstantní.) • Má-li být u(0, y) = X(0) · Y (y) = 0, y ∈ h0, bi, musí být X(0) = 0, podobnˇe X(a) = 0. • Okrajová úloha pro X(x) tvaru X ′′ = λX na (0, a), X(0) = 0, X(a) = 0, má nenulové ˇrešení jen nπ 2 pro λ = λn = −( nπ a ) , potom Xn (x) = sin( a x) (až na násobek libovolnou konstantou). • Podmínku u(x, b) = Xn (x) · Y (b) = 0, x ∈ h0, ai lze splnit volbou Y (b) = 0, podmínku u(x, 0) = Xn (x) · Y (0) = g(x), x ∈ h0, ai, však obecnˇe splnit nelze, budeme ji muset ˇrešit jinak. ˇ • Rešíme tedy úlohu pro Yn (x) tvaru Y ′′ = −λn Yn na (0, b) jen s podmínkou Yn (b) = 0 (s již nπ spoˇctenými konstantami λn ), a hledáme nenulové ˇrešení. Dostaneme Yn (y) = 2e a b sinh( nπ a (y−b)) (až na násobek libovolnou konstantou). • Abychom splnili i poslední okrajovou podmínku (s funkcí g), hledáme u ve tvaru u(x, y) =

∞ X

cn Xn (x)Yn (y)

n=1

s neznámými konstantami cn . • Víme, že g(0) = g(a) = 0, a pˇredpokládejme, že g lze rozvinout na x ∈ h0, ai do Fourierovy P∞ ˇrady v systému Xn (x), tj. g(x) = n=1 γn Xn (x). Pak z okrajové podmínky u(x, 0) = g(x), tedy P P∞ ∞ cteme dosud neznámé n=1 cn Xn (x)Yn (0) = n=1 γn Xn (x) dostaneme γn = cn Yn (0), odkud spoˇ kostanty cn . • Proved’te celý výpoˇcet a ukažte, že u(x, y) =

∞ X

n=1

kde an =

nπ sinh( nπ a (b − y)) sin an x , sinh( nπ a a b)

2 a

Z

a

0

g(x) sin

nπ x dx . a

ˇ Pˇríklad 4. Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici ∆u(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b), s okrajovými podmínkami u(x, 0) = g1 (x), x ∈ h0, ai,

u(x, b) = g2 (x), x ∈ h0, ai,

u(0, y) = g3 (y), y ∈ h0, bi,

u(a, y) = g4 (y), y ∈ h0, bi.

Pˇritom pˇredpokládáme, že funkce gj (x), j = 1, 2, 3, 4 jsou spojité na svých definiˇcních intervalech a jsou nulové v krajních bodech tˇechto intervalu. ˚



26

Postup pˇri rˇ ešení. • Hledáme u ve tvaru u = u1 + u2 + u3 + u4 , kde ∆uj (x, y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b) pro všechna j = 1, 2, 3, 4, a pˇritom uj = gj na odpovídající cˇ ásti hranice obdélníku a na ostatních cˇ ástech hranice je uj nulová. • Tímto stojíme pˇred cˇ tyˇrmi úlohami pˇredešlého typu, které vyˇrešíme jako v pˇredešlém pˇríkladˇe. ˇ Pˇríklad 5. Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici ∆u(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b), s okrajovými podmínkami u(x, 0) = g1 (x), x ∈ h0, ai,

u(x, b) = g2 (x), x ∈ h0, ai,

u(0, y) = g3 (y), y ∈ h0, bi,

u(a, y) = g4 (y), y ∈ h0, bi.

Pˇritom pˇredpokládáme, že funkce gj (x), j = 1, 2, 3, 4 jsou spojité na svých definiˇcních intervalech, mají v rozích obdélníka obecnˇe nenulové hodnoty, pˇriˇcemž ovšem okrajová podmínka je spojitá na obvodu celého obdélníka, tedy g1 (0) = g3 (0), g1 (a) = g4 (0), g2 (0) = g3 (b), g2 (a) = g4 (b). Postup pˇri rˇ ešení. • Hledáme u ve tvaru u(x, y) = v(x, y) + c(x, y), kde c(x, y) = c0 + c1 x + c2 y + c3 xy. • Potom ∆c(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b) a vhodnou volbou konstant c1 , c2 , c3 , c4 lze dosáhnout toho, aby funkce c(x, y) mˇela v rozích obdélníka stejné hodnoty jako funkce gj . • Tím jsme úlohu pˇrevedli na úlohu pro neznámou funkci v(x, y), splˇnující ∆v(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) × (0, b) s novou okrajovou podmínkou na všech cˇ tyˇrech stanách obdélníka, která má však v rozích nulové hodnoty, tj. na úlohu pˇredešlého typu. ˇ Pˇríklad 6. Rešte Dirichletovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici ∆u(x, y) = f (x, y) na obdélníku (0, a) × (0, b), s nulovými okrajovými podmínkami. Pˇritom pˇredpokládáme, že funkci f lze (alespoˇn pro skoro všechna y ∈ (0, b)) rozvinout do sinové Fourierovy rˇady vzhledem k promˇenné x, tj. ∞ X

f (x, y) =

nπ x , a

fn (y) sin

n=1

kde tedy fn (y) =

2 a

Z

a

f (x, y) sin 0

nπ x dx . a

Postup pˇri rˇ ešení. • Hledáme u ve tvaru u(x, y) =

P∞

n=1 cn (y) sin

.

nπ a x

• Dosazením u a f do p˚uvodní rovnice a porovnáním koeficient˚u ve Fourierových ˇradách dostaneme rovnice pro neznámé funkce cn c′′n (y) −

nπ 2 a

cn (y) = fn (y)

a okrajové podmínky, které mají splˇnovat: cn (0) = cn (b) = 0 . • Doˇrešte úlohu.



27

Poznámka. Z uvedených pˇríklad˚u je jasné, že libovolnou Dirichletovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na obdélníku, s pravou stranou f a spojitou okrajovou podmínkou g, lze ˇrešit rozdˇelením na šest úloh: (1) úlohu s pravou stranou a nulovou okrajovou podmínkou, (2) úlohu s nulovou pravou stranou a s okrajovou podmínkou, která vynuluje hodnoty p˚uvodní o.p. v rozích obdélníka, (3) cˇ tyˇri úlohy s nulovou pravou stranou a okrajovou podmínkou nulovou na tˇrech stranách obdélníka. Poznámka. Podobnˇe (rozdˇelením promˇenných, nalezením rovnic pro takto separované funkce a jejich opˇetovným spojením pˇres nekoneˇcnou ˇradu) lze ˇrešit i úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na kvádru, úlohu pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici na cˇ asoprostorovém obdélníku nebo kvádru, atd. Tyto úlohy zde však z cˇ aso-prostorových d˚uvod˚u už nebudeme podrobnˇeji rozebírat a tuto dlouhou kapitolu zde ukonˇcíme.


24 Parciální diferenciální rovnice

Recommend Documents