Phasor
Impedans
Phasor dan Impedans Slide-09 Ir. Agus Arif, MT
Semester Gasal 2016/2017
1 / 23
Phasor
Impedans
Materi Kuliah 1
Phasor Frekuensi Komplex Definisi Phasor Transformasi Phasor Hubungan Tegangan-Arus Hukum Ohm dan Kirchhoff Rangkaian RL dan RLC
2
Impedans Definisi Impedans Impedans Seri dan Paralel Reaktans Admitans
2 / 23
Phasor
Impedans
Frekuensi Komplex Berdasarkan pengalaman menerapkan sumber sinusoidal komplex pd suatu rangkaian linear utk mendapatkan tanggapan ajeg yg komplex: Faktor e jωt sempat dilenyapkan dr kedua sisi persamaan utk menyederhanakan persamaan aljabar yg dihasilkan Faktor e jωt kemudian disertakan kembali sebelum menentukan bagian real dr tanggapan yg komplex Stp tegangan dan arus dlm suatu rangkaian pasif mengandung faktor e jωt yg sama dgn frekuensi yg tidak berubah selama proses analisis Oleh krn itu, frekuensi sudut ω dpt diperlakukan sbg suatu besaran yg implisit (tersembunyi)
3 / 23
Phasor
Impedans
Definisi Phasor Demi memperoleh bentuk yg ringkas, besaran komplex dpt dinyatakan dlm bentuk polar drpd dlm bentuk exponensial Suatu sumber tegangan sinusoidal v (t) = Vm cos ωt = Vm cos (ωt + 0◦ ) dpt dinyatakan dlm bentuk komplex: Vm ∠ 0◦ Dan arus tanggapannya: i(t) = Im cos (ωt + φ) dpt juga dinyatakan dlm bentuk komplex: Im ∠ φ Bentuk komplex yg ringkas ini disebut phasor 4 / 23
Phasor
Impedans
Transformasi Phasor [1] Suatu arus sinusoidal yg real i(t) = Im cos (ωt + φ) dinyatakan sbg bagian real dr besaran komplex i(t) = Re{Im e j(ωt+φ) } Dgn melenyapkan operator Re{} dan melenyapkan faktor e j(ωt) : I = Im e j φ serta menuliskannya dlm bentuk polar: I = Im ∠ φ 5 / 23
Phasor
Impedans
Transformasi Phasor [2] Bentuk ringkas I = Im ∠ φ adalah representasi phasor phasor = besaran komplex yg tidak gayut waktu phasor hanya mengandung info amplitudo dan sudut fase i(t) = representasi lingkup-waktu I = representasi lingkup-frekuensi (walau frekuensi dinyatakan scr implisit) Contoh: Tegangan phasor V = 115 ∠ − 45◦ dan frekuensi ω = 500 rad/s adalah setara dgn tegangan lingkup-waktu: v (t) = 115 cos(500t − 45◦ ) atau v (t) = 115 sin(500t + 45◦ ) Berikutnya, penyederhanaan hubungan v-i dr resistor, induktor dan kapasitor 6 / 23
Phasor
Impedans
Resistor [1] Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku v (t) = R i(t)
Jk pd resistor diterapkan sumber tegangan komplex: v (t) = Vm cos(ωt + θ) + j Vm sin(ωt + θ) = Vm e j(ωt+θ) maka dihasilkan tanggapan arus komplex: i(t) = Im cos(ωt + φ) + j Im sin(ωt + φ) = Im e j(ωt+φ) 7 / 23
Phasor
Impedans
Resistor [2]
dgn hubungan v-i di antara keduanya: Vm e j(ωt+θ) = R Im e j(ωt+φ) Pembagian faktor e jωt pd kedua sisi persamaan menghasilkan: Vm e jθ = R Im e jφ
atau
Vm ∠ θ = R Im ∠ φ
yg tidak lain adalah bentuk phasor pd rangkaian sebelah kanan V=RI Sudut fase θ = φ shg tegangan & arus selalu sefase pd resistor
8 / 23
Phasor
Impedans
Induktor [1] Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku v (t) = L
d i(t) dt
Setelah penyulihan tegangan komplex dan arus komplex diperoleh: i d h Im e j(ωt+φ) Vm e j(ωt+θ) = L dt Penjabaran derivatif menghasilkan: Vm e j(ωt+θ) = j ω L Im e j(ωt+φ) 9 / 23
Phasor
Impedans
Induktor [2]
Pembagian faktor e jωt pd kedua sisi persamaan menghasilkan: Vm e jθ = jωL Im e jφ
atau
Vm ∠ θ = jωL Im ∠ φ
yg tidak lain adalah bentuk phasor pd rangkaian sebelah kanan V = jωL I Sudut fase dr faktor jωL adalah tepat +90◦ shg I selalu tertinggal dr V sebesar 90◦ pd induktor 10 / 23
Phasor
Impedans
Kapasitor Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku i(t) = C
d v (t) dt
Stlh penyulihan tegangan dan arus komplex, penjabaran derivatif, pembagian faktor e jωt , dan pemakaian bentuk phasor diperoleh: 1 I = jωC V atau V = I jωC Dgn demikian, I selalu memimpin V sebesar 90◦ pd kapasitor 11 / 23
Phasor
Impedans
Lingkup-Waktu vs Lingkup-Frekuensi Hubungan v-i dlm lingkup-frekuensi disebut jg sbg Hukum Ohm:
Hukum Tegangan Kirchhoff (KVL) dlm lingkup-waktu: v1 (t) + v2 (t) + · · · + vN (t) = 0 dpt diolah spt sebelumnya pd komponen pasif shg menghasilkan: V1 + V2 + · · · + VN = 0 Hal serupa juga dpt dijabarkan bagi Hukum Arus Kirchhoff (KCL) 12 / 23
Phasor
Impedans
Rangkaian RL [1] Rangkaian RL yg telah dibahas pd kuliah sebelumnya dpt digambarkan dgn menggunakan besaran2 phasor:
Penerapan KVL menghasilkan: VR + VL = Vs Pemanfaatan hubungan v-i komponen2 pasif membuat: R I + jωL I = Vs 13 / 23
Phasor
Impedans
Rangkaian RL [2] Dgn demikian, arus phasor dijabarkan trhdp tegangan sumber: I=
Vs R + jωL
Dianggap amplitudo sumber tegangan adl Vm dgn sudut fase 0◦ : I=
Vm ∠ 0◦ R + jωL
Berikutnya, arus phasor dpt dinyatakan dlm bentuk polar: I= √
h i Vm ∠ − tan−1 (ωL/R) R 2 + ω 2 L2
dan ditransformasikan mjd bentuk real: Vm ωL cos ωt − tan−1 i(t) = √ 2 2 2 R R +ω L
14 / 23
Phasor
Impedans
Contoh #1: Rangkaian RLC [1] Utk rangkaian RLC berikut, tentukan Is dan is (t) jk kedua sumber bekerja pd ω = 2 rad/s dan diketahui IC = 2 ∠ 28◦
Jawab: Krn IC diketahui mk KCL dpt diterapkan pd simpul yg menghubungkan sumber arus sinudoidal Is , resistor 2 Ω dan kapasitor 1 F shg tegangan kapasitor: 1 −j −j VC = IC = IC = (2 ∠ 28◦ ) jωC ωC 2 = (0.5 ∠ − 90◦ )(2 ∠ 28◦ ) = 1 ∠ − 62◦ V 15 / 23
Phasor
Impedans
Contoh #1: Rangkaian RLC [2] Tegangan ini juga yg berada di ujung-ujung resistor 2 Ω shg arus resistor tsb: 1 IR2 = VC = 0.5 ∠ − 62◦ A 2 Berdasarkan KCL, sumber arus dlm bentuk phasor: Is = IR2 + IC = 0.5 ∠ − 62◦ + 2 ∠ 28◦ = (0.25 − j 0.44) + (1.77 + j 0.94) = 2.02 + j 0.5 = 2.08 ∠ 13.09◦
A
Alhasil, dgn diketahui frekuensi ω, dpt ditentukan kuat sumber arus sinusoidal yg real: is (t) = 2.08 cos(2 t + 13.09◦ )
A
16 / 23
Phasor
Impedans
Definisi Impedans Hubungan v-i dr ketiga komponen pasif pd lingkup-frekuensi: V=RI
V = jωL I
V=
I jωC
yg dpt ditulis sbg rasio antara phasor tegangan dan phasor arus: V =R I
V = jωL I
V 1 = I jωC
Impedans = rasio antara phasor tegangan dan phasor arus: ZR = R
ZL = jωL
ZC =
1 jωC
besaran komplex dgn dimensi ohm (Ω) bukan fasor shg tidak dpt ditransformasikan dgn faktor e jωt besaran lingkup-frekuensi dan bukan lingkup-waktu 17 / 23
Phasor
Impedans
Impedans Seri Krn KVL dan KCL berlaku pd lingkup-frekuensi mk impedans dpt dikombinasikan scr seri dan paralel menurut aturan yg sama spt pd resistor: Contoh: Pd ω = 10 × 103 rad/s, suatu induktor 5 mH terhubung seri dgn suatu kapasitor 100µF ZL = jωL = j 50 Ω −j 1 = = −j 1 Ω ZC = jωC ωC Keduanya dpt diganti dgn impedans ekivalen: Zeq = ZL + ZC = j 50 − j 1 = j 49 Ω Nilai ini hanya berlaku pd frekuensi tunggal, yakni ω = 10000 rad/s 18 / 23
Phasor
Impedans
Impedans Paralel Contoh: Pd ω = 10 × 103 rad/s, suatu induktor 5 mH terhubung paralel dgn suatu kapasitor 100µF ZL = jωL = j 50 Ω −j 1 = = −j 1 Ω ZC = jωC ωC Keduanya dpt diganti dgn impedans ekivalen: Zeq =
ZL × ZC (j 50)(−j 1) 50 = = = −j 1.020 Ω ZL + ZC j 50 − j 1 j 49
Nilai ini hanya berlaku pd frekuensi tunggal, yakni ω = 10000 rad/s Pd frekuensi yg berbeda, misalnya: ω = 5000 rad/s, impedans paralel ekivalen adl −j 2.17 Ω 19 / 23
Phasor
Impedans
Reaktans Kombinasi impedans dpt dinyatakan dlm bentuk rectangular dan polar: Z=R +jX Z = |Z| ∠ Θ Dlm bentuk rectangular, bagian real impedans terbentuk hanya dr resistans murni R bagian imajiner impedans, disebut reaktans X , terbentuk dr komponen2 penyimpan tenaga resistans dan reaktans memiliki satuan ohm (Ω), tp hanya reaktans yg gayut pd frekuensi ω resistor ideal memiliki reaktans nol dan induktor/kapasitor ideal sepenuhnya bersifat reaktif (dicirikan oleh resistans nol) Pertanyaan: Mungkinkah suatu kombinasi paralel atau seri dr kapasitor dan induktor menghasilkan reaktans nol? 20 / 23
Phasor
Impedans
Definisi Admitans Admitans Y dr komponen pasif = rasio antar phasor arus dan phasor tegangan atau kebalikan dr impedans: YR =
1 R
YL =
1 jωL
YC = jωC
Bagian real dr admitans = konduktans (G) dan bagian imajiner dr admitans = suseptans (B), ketiga2 nya bersatuan siemens (S) Y=G +jB =
1 1 = Z R +jX
Perhatian: persamaan tsb menyatakan bhw konduktans bukan kebalikan dr resistans suseptans bukan kebalikan dr reaktans 21 / 23
Phasor
Impedans
Contoh #2: Impedans Ekivalen [1] Tentukan impedans ekivalen yg setara dgn rangkaian berikut, jk diketahui frekuensi kerjanya adl 5 rad/s
Jawab: Mula2 stp komponen pasif diubah mjd impedans-nya masing2 shg rangkaian berubah mjd:
22 / 23
Phasor
Impedans
Contoh #2: Impedans Ekivalen [2] Impedans 6 Ω terhubung paralel dgn −j 0.4 Ω shg (6)(−j 0.4) = 0.02655 − j 0.3982 Ω 6 − j 0.4 yg kemudian terhubung seri dgn kedua2 impedans −j Ω dan j 10 Ω shg 0.02655 − j 0.3982 − j + j 10 = 0.02655 + j 8.602 Ω Impedans baru ini lalu terhubung paralel dgn resistor 10 Ω shg impedans ekivalen adl 10 k (0.02655+j 8.602) =
(10)(0.02655 + j 8.602) = 4.255+j 4.929 Ω 10 + 0.02655 + j 8.602
Atau impedans ekivalen dpt jg dinyatakan dlm bentuk polar: 6.511 ∠ 49.20◦ 23 / 23
