TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017 A. Pengantar Persamaan Diferensial 1.
2.
3.
Tentukan hasil turunan dari fungsi sebagai berikut: a.
( )=
b.
( )=
c.
( )=
cos
+
sin
cos +
sin
Tunjukan apakah fungsi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan diferensial yang berkorespondensi. a. y '' 6 y ' 13 y ; y ( x) e3 x cos 2 x b. y '' 2 y ' 3 y 0 ; y1 ( x) e 3 x , y2 ( x ) e x c. + = sec ; = sin + (cos ) ln(cos ) Rangkaian sirkuit memuat resistor dan kapasitor sebagaimana ditunjukkan pada gambar di samping. Tentukan persamaan diferensial untuk beban ( ) pada kapasitor jika resistensi adalah kapasitansi adalah C dan voltasi adalah ( ). (Hint : Perhatikan hubungan , , dan )
B. Persamaan Diferensial Orde Pertama 4.
Dengan menggunakan separasi variabel, tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut:
a.
+2 =
b. c.
5.
+
=
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut : a.
cos + sin = 1 =(
b. c.
−2 )
+ (1 + ) =
d. ( − e. ( ln
6.
=0
+ −
sin ) )
sin 2 = (3 +(
+ 2 cos )
+
ln )
=0
Diketahui persamaan diferensial biasa non linier
6 xy
3
cos y dx 2kx 2 y 2 x sin y dy 0
a. Tentukan nilai k sedemikian sehingga persamaan diferensial tersebut eksak! b. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial tersebut!
7.
Tentukan solusi khusus untuk persamaan diferensial berikut y ' 2 y 2 xy 2 ,
8.
y (0) 1
Diketahui persamaan diferensial sebagai berikut
dy 2 xy g ( x), y (0) 2 dx x, 0 x 1 g ( x) x 1 0, Tentukan solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut! C. Persamaan Diferensial Orde Tinggi
9.
Diketahui bahwa x(t ) c1 cos t c2 sin t adalah solusi umum dari persamaan diferensial x '' 2 x 0 pada interval ( , ) . Tunjukan bahwa solusi khusus yang memenuhi kondisi awal x(0) x0 , x '(0) x1 adalah x(t ) x0 cos t
10.
x1 sin t .
Periksa apakah himpunan fungsi yang diberikan berikut ini merupakan fungsi yang bebas linear atau tidak? Jelaskan!
f1 ( x ) cos 2 x,
11.
f3 ( x) cos 2 x
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut ini a. 4
+
b. 3
+ 2
+
c. 2
− 3
+ 4 =0
d.
12.
f 2 ( x ) 1,
= 0 =0
+ 9 =0
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial non homogen berikut n
y '' 2 y am sin m x m 1
dimana 0 dan m untuk setiap m 1, 2,..., n
13.
Diketahui akar-akar persamaan karakteristik derajat empat m1 1 , m2 1 dan m3 i . a. Tentukan bentuk persamaan diferensial yang mungkin! b. Tuliskan solusi umum dari persamaan diferensial tersebut! c.
14.
Jika diberikan nilai awal y (0)
7 5 , y '(0) 4, y ''(0) , y '''(0) 2 tentukan solusi khusus! 2 2
Diketahui persamaan diferensial non homogen y '' 2 y y 3e x a. Gunakan metode variasi parameter untuk menentukan solusi particular dari persamaan diferensial tersebut! b. Periksa kembali solusi persamaan diferensial pada bagian a dengan menggunakan metode koefisien tak tentu.
15.
Diketahui persamaan diferensial biasa orde dua y '' 3 y ' 4 y 3e 2 t 2sin t 8et cos 2t a. Tentukan solusi homogen persamaan diferensial tersebut! b. Tentukan solusi partikular persamaan diferensial tersebut! c. Tuliskan solusi umum persamaan diferensial tersebut!
16.
Tentukan solusi umum persamaan diferensial orde tinggi a.
− 4
− 5
=0
b.
( )
+2
+
=0
c.
( )
−2
+
=0
d.
+ 4
=
cos 2
e.
+ 4
+ 3
=
cos − 3
D. Sistem Persamaan Diferensial 17.
Verifikasi apakah vektor a.
=3 −4 = 4 −7
b.
;
=
1 2
;
=
5 cos 3 cos − sin
= −2 + 5 = −2 + 4
18.
merupakan solusi dari sistem yang diberikan!
Tentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial berikut: a. 5 =− +2 2 3 = −2 4 b.
= −6 + 5 = −5 + 4
c. = 4 +5 = −2 + 6
d.
= 2 −7 = 5 + 10 + 4 = 5 +2
e.
= 3 +2 +4 =2 +2 = 4 +2 +3
f.
=2 +
+2
=3 +6 = −4 − 3
19.
Tentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial nonhomogen berikt ini a.
=
b.
=
c. d.
20.
1 3 3 1 4
9 2 = 4 1 = 1
6 −1 2 −2 −1
+ −2 +5 +
−3 10
sin 2 2 cos 2 tan + 1 +
Diketahui sistem persamaan diferensial
dx 6 x y dt dy 5 x 4 y dt dimana adalah konstanta positif. a. Tentukan nilai sedemikian sehingga sistem persamaan diferensial merupakan masalah nilai eigen kembar! b. Tentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial tersebut!
21.
Diketahui sistem persamaan diferensial tak homogen: 1 5 sin t X X 1 1 2cos t
a. Tentukan solusi homogen dari persamaan diferensial tersebut! b.
Gunakan metode koefisien tak tentu untuk menentukan solusi partikular dari sistem tersebut! Tuliskan solusi umum sistem!
E. Tranformasi Laplace
22.
23.
24.
25.
Gunakan definisi tranformasi Laplace untuk menentukan ℒ{ ( )} ! a.
( )=
−1, 0 ≤ < 1 1, ≥1
b.
( )=
2 + 1, 0 ≤ < 1 0, >1
c.
( )=
sin , 0 ≤ < 0, ≥
d.
( )=
e.
( )= 4
+ 6 −3 − 5 sin 3
Tentukan invers transfomasi Laplace berikut: a. ℒ
{ }
b. ℒ
{ −
c. ℒ
{
(
)
} }
Dengan menggunakan transformasi Laplace, tentukan solusi dari masalah nilai awal berikut a.
+ 5
+ 4 = 0,
b.
− 4
= 6
c.
+ 9 =
,
− 3
(0) = 1, ,
(0) = 0,
(0) = 0
(0) = 1,
(0) = −1
(0) = 0
Diketahui masalah nilai awal persamaan diferensial homogen orde dua
y '' 2 y ' 5 y 0,
y (0) 1, y '(0) 3
a.
Gunakan transformasi Laplace untuk menentukan solusi dari masalah nilai awal tersebut!
b.
Periksa jawaban anda dengan menggunakan metode akar karakteristik!
