Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév
Kurzus adatai: Tárgy el˝oadója: Gyakorlatvezet˝o: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja:
Bessenyei Mihály Popovics Anna Bella Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek El˝oadás és gyakorlat TMBE0210; TMBG0210.
Követelmények: A gyakorlaton való részvétel kötelez˝o; háromnál több hiányzás esetén nem szerezhet˝o érdemjegy. A félév során három dolgozat megírására kerül sor, melyek közül kett˝o javítható. A javító dolgozat végeredménye fölülírja a javított dolgozat eredményét. A gyakorlati jegy három dolgozat összesített pontszáma alapján születik az alábbiak szerint (százalékban megadva): elégséges (2) 50–70 közepes (3) 71–80 jó (4) 81–90 jeles (5) 91–100 A vizsga szóbeli és el˝ofeltétele az elégtelent˝ol különböz˝o gyakorlati jegy. Amennyiben a húzott tételben alapvet˝o hiányosságok mutatkoznak, vagy az alapfogalmak (tételsorban d˝olt bet˝uvel szedve) nem teljesek, úgy az érdemjegy elégtelen. A bizonyítások ismerete nélkül legfeljebb közepes érdemjegy szerezhet˝o. Minden egyéb tekintetben, akár a szemináriumi, akár a kollokviumi számonkérést illet˝oen, a Debreceni Egyetem Tanulmányi- és Vizsgaszabályzata valamint Etikai Kódexe a mérvadó. Félév beosztása: Els˝o dolgozat: Második dolgozat: Harmadik dolgozat: Javító dolgozat: Javító dolgozat: Kollokvium Kollokvium Kollokvium
2015.03.19. 2015.04.23. 2015.05.21. 2015.05.28. 2015.06.02. 2015.06.11. 2015.06.25. 2015.07.09.
(csütörtök) (csütörtök) (csütörtök) (csütörtök) (kedd) (csütörtök) (csütörtök) (csütörtök)
12.00. 12.00 12.00 10.00. 10.00. 09.00. 09.00. 09.00.
M317 M317 M317 M317 M317 M326 M326 M326
Ajánlott irodalom: • • • • • •
Székelyhidi László: Többváltozós Differenciál- és Integrálszámítás, Palotadoktor, 2012. Lajkó Károly: Analízis III., www.math.klte.hu/∼lajko/jegyzet/an3.pdf Lajkó Károly: Differenciálegyenletek, DE Matematikai és Informatikai Intézet, 2002. A. F. Filippov: Differenciálegyenletek példatár, Nemzetei Tankönyvkiadó, Budapest, 1995. Rimán János: Matematikai analízis I., Líceum Kiadó, Eger, 1998. Rimán János: Matematikai analízis feladatgy˝ujtemény, Líceum Kiadó, Eger, 1998. Bessenyei Mihály és Popovics Anna Bella Debrecen, 2015. február 11.
Többváltozós analízis és közönséges differenciálegyenletek Vizsgatételsor, 2014/2015 tavaszi félév
1. Metrikus terek, normált terek, bels˝oszorzat terek. Metrika által indukált topológia. Konvergencia, folytonosság, határérték; átviteli elvek. Kompakt halmazok; kompaktság és folytonosság. Példák metrikus terekre. 2. Cauchy-sorozatok, teljes metrikus terek, Banach-terek, Hilbert-terek. Kontraháló leképezések; a Banach-féle fixponttétel. Ekvivalens metrikák; véges dimenziós normált terek. Lineáris leképezések normája. Az invertálható lineáris leképezések topológikus struktúrája. 3. A differenciálhatóság fogalma, a derivált egyértelm˝usége. Differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata; differenciálhatóság és m˝uveletek; lánc-szabály. A Lagrange-féle középértéktétel. 4. Iránymenti és parciális differenciálhatóság; a differenciálhatóság szükséges feltétele. Folytonos (parciális) differenciálhatóság; a differenciálhatóság elegend˝o feltétele. A folytonos differenciálhatóság jellemzése. 5. Az inverz- és implicitfüggvény-tétel. (Opcionális.) 6. Többszöri differenciálhatóság. A Schwarz–Young tétel. Taylor-tétel. A lokális széls˝oérték fogalma és szükséges feltétele. A lokális széls˝oérték másodrend˝u feltétele. 7. Téglák Rn -ben. Integrálközelít˝o összegek, szelekció, oszcilláció. A Darboux-integrál és tulajdonságai; Darboux-tétel. A Riemann-integrál és tulajdonságai. Oszcillációs kritérium, folytonosság és integrálhatóság. 8. M˝uveletek integrálható függvényekkel. Középérték-tétel Riemann-integrálra. Riemannintegrál és egyenletes konvergencia. Az Arzéla–Osgood tétel. A Fubini-tétel és el˝olemmája; az integrál kiszámítása. 9. A Jordan-mérték és tulajdonságai. Jordan nullmérték˝uség és Jordan-mérhet˝oség jellemzése. Integrálás Jordan-mérhet˝o halmazokon. 10. Az integrál tulajdonságai: additivitás, kapcsolat a folytonossággal, m˝uveletekkel, egyenletes konvergenciával. Fubini tétel normáltartományon. Integráltranszformáció. 11. Primitív függvény, görbementi integrál. Newton–Leibniz formula görbementi integrálra; primitív függvény létezésésnek szükséges feltétele. Primitív függvény és potenciálfüggvény. Primitív függvény létezésének szükséges és elegend˝o feltételei. 12. A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma. Nullmérték˝uség Lebesgue szerint. Folytonossági modulus; pontbeli folytonosság jellemzése. A Lebesgue-kritérium néhány következménye. 13. Els˝orend˝u közönséges explicit differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó Cauchy-feladat fogalma. Megoldás, globálisan egyértelm˝u megoldás. Peano tétele. Renormálás és ekvivalens integrálegyenlet. Lipschitz-feltétel; a globális egzisztencia és unicitási tétel. 14. Állandó együtthatós magasabbrend˝u lineáris differenciálegyenletekre vonatkozó Cauchyfeladat és megoldás fogalma. Globális egzisztencia és unicitási tétel; a megoldáshalmaz struktúrája. Karakterisztikus polinom; az alaprendszer el˝oállítása a karakterisztikus gyökökkel. 15. A variációszámítás elemei. Megengedett függvények, perturbált alapfunkcionál, differenciálhatósági lemma és a Du Bois–Reymond lemma. Az Euler–Lagrange differenciálegyenlet. 16. Alkalmazások: a sík és a henger geodetikusai. A Bolyai–Lobacsevszkij geometria Poincréféle félsíkmodellje. A minimális felszín˝u forgástest; a klasszikus mechanika variációs tárgyalása.
Bessenyei Mihály
Többváltozós függvények differenciálszámítása mintafeladatok az els˝o dolgozathoz
1. Feladat. Igazolja definíció szerint, hogy az f : R2 → R függvény differenciálható a p pontban, ha f (x, y) := x2 + 3xy, p = (1, 2); f (x, y) := y 2 − 3xy,
p = (2, 1).
2. Feladat. Vizsgálja definíció szerint, hogy mely irányok mentén differenciálható illetve hogy differenciálható-e az f : R2 → R függvény a p = (0, 0) pontban, ha p f (x, y) := 3 xy 2 + x2 y; p f (x, y) := 5 x3 y 2 + x4 y. 3. Feladat. Határozza meg a g ◦ f függvény p pontbeli, v irány menti deriváltját, ha (i) g(x, y) := (x2 + y 2 + xy, x + y 2 ), f (x, y, z) := (xz 2 + x2 y + xyz, xy − z 2 ), p := (1, 1, −1) v := (1, 1, 0); (ii) g(x, y, z) := (x2 + xy, y 2 + yz, xy + yz), f (x, y) := (x2 + xy, y 2 + xy, x + y) p := (1, 0) v = (−1, 1). 4. Feladat. Számítsa ki a g 0 (b) deriváltat, ha (i) x + 2y + g1 + sin g2 = 0, xy + cos g1 + g2 = 0; √ √ b := (− 2, 2/2); g(b) := (0, 0) (ii) x2 − y + eg1 + g2 = −1, −y + g1 + g22 = −2; b := (0, 3);
g(b) := (0, 1)
5. Feladat. Írja föl (x + 1) és (y − 2) polinomjaként az alábbi polinomokat! p(x, y) = x3 − xy 2 + x2 − y;
p(x, y) = xy 2 + x2 − xy + 1.
6. Feladat. Vizsgálja lokális széls˝oérték szempontjából az f : R2 → R függvényt, ha f (x, y) := (x2 + y 2 − 4)2 − y 2 ;
f (x, y) := (x2 + y 2 − 1)2 − 6x2 .
Többváltozós függvények integrálszámítása mintafeladatok a második dolgozathoz
7. Feladat. Határozza meg az f : I → R függvény rácsfelosztás által származtatott alsó- és fels˝o integrálközelít˝o összegsorozatainak zárt alakját, ha f (x, y) := x2 + xy, 2
f (x, y) := y + xy,
I = [0, 1] × [0, 2]; I = [1, 2] × [0, 1].
8. Feladat. Számítsa ki az alábbi integrálok értékét! Z 1Z 1√ Z 1Z 1 2 3 xy 2 sin(πx2 )dydx; x y dydx; 0
0
0
−1
1
Z
1
Z
y cos(πxy)dydx. −1
0
9. Feladat. Számítsa ki az alábbi integrálok értékét! Z (x2 + xy)d(x, y), H = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, 1], x2 ≤ y ≤ x}; ZH √ (y 2 + xy)d(x, y), H = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, 1], x ≤ y ≤ x}; ZH sin π(x + y) d(x, y), H = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x}; ZH cos π(x − y) d(x, y), H = {(x, y) ∈ R2 | y ∈ [0, 1], −y ≤ x ≤ y}. H
10. Feladat. Számítsa ki az alábbi integrálok értékét! Z 1Z 1 Z 1Z 1 |2xy − 1|dydx; |2x + y − 2|dydx; 0
0
0
0
Z 0
1
Z
1
|4x2 + y − 1|dydx.
0
11. Feladat. Számítsa ki az alábbi integrálok értékét! Z x2 + (y + 1)2 d(x, y); H = conv{(−1, 0); (0, −1); (0, 1); (1, 0)}; H Z 1 (x + 1)2 + (y + 2)2 d(x, y); H = conv{(−2, 0); (−1, −2); (−1, 2); (0, 0)}; 4 H Z sin π(x2 + y 2 ) d(x, y); H = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2}; ZH (x − y)2 d(x, y); H = {(x, y) ∈ R2+ | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2}. H
12. Feladat. Számítsa ki az alábbi függvények adott pálya menti integrálját! x + 2y y − 2x , , g(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]; f (x, y) = x2 + y 2 x2 + y 2 f (x, y, z) = yz, (x2 + y 2 )z, xy , g(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ [0, π/2]. 13. Feladat. Határozza meg az alábbi függvények origóban elt˝un˝o primitív függvényét! f (x, y, z) = (x, y 2 , −z 2 );
f (x, y, z) = (yz, xz, xy);
f (x, y, z) = (2xy 3 , 3x2 y 2 + z ey , ey ).
Közönséges differenciálegyenletek mintafeladatok a harmadik dolgozathoz
14. Feladat. Oldja meg az alábbi szeparálható változójú differenciálegyenleteket! p y 2 + 1 = xyy 0 ; 2x2 yy 0 + y 2 = 2; y 0 − xy 2 = 2xy; e−y (1 + y 0 ) = 1. 15. Feladat. Oldja meg az alábbi lineáris differenciálegyenleteket! y = x(y 0 − x cos x);
(xy 0 − 1) log x = 2y;
xy 0 + (x + 1)y = 3x2 e−x .
16. Feladat. Oldja meg az alábbi Bernoulli- illetve Riccati-típusú differenciálegyenleteket! √ y 0 = y 4 cos x + y tg x; xy 0 + 2x2 y = 4y; xy 0 + 2y + x5 y 3 ex = 0; y 0 − 2xy + y 2 = 5 − x2 ;
y 0 + 2y ex −y 2 = e2x + ex ;
xy 0 − (2x + 1)y + y 2 = −x2 .
17. Feladat. Oldja meg az alábbi egzakt differenciálegyenleteket! p p 2x 1 + x2 − y − x2 − yy 0 = 0; 1 + y 2 sin 2x − 2yy 0 cos2 x = 0; x3 (x2 + 1) cos y 0 x 2 3x (1 + log y) − 2y − +2+ y = 0. y 0 = 0; y sin y cos 2y − 1 18. Feladat. Adja meg a következ˝o állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! 2x00 − 5x0 + 2x = 0;
x00 − 4x0 + 5x = 0;
x(5) + 8x(3) + 16x(1) = 0; x00 + x0 − 2x = 3t et ;
x00 − 2x0 + x = 0;
x(3) − x = 0;
x(4) + 4x = 0;
x00 + 3x0 − 4x = t e−t ;
x(4) − 5x(2) + 4x = 0; x(6) + 64x = 0;
x00 − 3x0 + 2x = sin t.
19. Feladat. Határozza meg a következ˝o funkcionálok megadott feltételeknek eleget tev˝o extremális görbéit! Z 1 F (x) = x˙ 2 (t) + x(t)x(t) ˙ + 12tx(t) dt, x(0) = 1, x(1) = 0; 0 Z 1 F (x) = x˙ 2 (t) + x2 (t) dt, x(−1) = 1, x(1) = 1. −1
20. Feladat. Határozza meg a következ˝o funkcionálok megadott feltételeknek eleget tev˝o stacionárius görbéit! Z π 4 x˙ 2 (t) − 4x2 (t) + t3 dt, x(0) = 1, x(π/4) = −1; F (x) = 0
Z F (x) = 0
π 6
x˙ 2 (t) − 9x2 (t) + t2 dt,
x(0) = −1,
x(π/6) = 1.
